Cap´ıtulo 15 Rudimentos da Teoria das Equaç˜oes a Derivadas ...

Capítulo 15Propriedades de Algumas Funções EspeciaisConteúdo15.1 Discussão Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66515.1.1 Relações de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66615.1.1.1 Condições de Contorno e a Origem das Relações de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . 67115.1.2 Fórmulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67515.2 Propriedades de Algumas Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67715.2.1 Propriedades dos Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67715.2.2 Propriedades dos Polinômios de Legendre Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68115.2.2.1 As Funções Harmônicas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68715.2.2.2 Fórmula de Adição de Funções Harmônicas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69015.2.3 Propriedades dos Polinômios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69315.2.3.1 As Funções de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69615.2.4 Propriedades dos Polinômios de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70015.2.5 Propriedades dos Polinômios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70015.2.6 Propriedades dos Polinômios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70415.2.7 Propriedades das Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70715.2.8 Propriedades das Funções de Bessel Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72315.3 Exercícios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72715.A Provando (15.54) a Força Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727Este capítulo dá continuidade ao Capítulo 14 e concentra-se no estudo de propriedades especiais de algumas dasfunções lá apresentadas como soluções de equações diferenciais de interesse. Nossos principais objetivos são adedução das relações de ortogonalidade de certas funções, a dedução das chamadas fórmulas de Rodrigues e derelações de recorrência para as mesmas e também a determinação de suas funções geratrizes. Essas propriedades,que serão devidamente definidas e discutidas na Seção 15.1, são úteis para a resolução de equações diferenciais,especialmente aquelas provenientes de problemas envolvendo equações diferenciais parciais submetidas a certas condiçõesiniciais e/ou de contorno. Exemplos de aplicações a problemas físicos são discutidos no Capítulo 20, página 877. Aindaque nosso tratamento seja tão completo quanto possível, dentro do escopo relativamente limitado que pretendemos ter,repetimos aqui a recomendação das referências listadas no Capítulo 14 à página 604.15.1 Discussão PreliminarNa próxima seção, a Seção 15.2, tencionamos apresentar ao leitor certas propriedades de algumas das funções encontradascomo solução de equações diferenciais de interesse em Física, propriedades essas cuja utilidade maior manifesta-seespecialmente, como mencionado, na resolução de equações diferenciais parciais submetidas a certas condições iniciaise/ou de contorno. Na presente seção prepararemos o terreno discutindo algumas idéias gerais.As idéias gerais que apresentaremos envolvem 1. as chamadas relações de ortogonalidade, que generalizam aquelasbem-conhecidas da teoria das séries de Fourier; 2. as chamadas fórmulas de Rodrigues, úteis para a obtenção de relaçõesde recorrência entre funções e 3. as chamadas funções geratrizes 1 , das quais outras propriedades úteis são extraídas, comopor exemplo representações integrais para certas funções.Os exemplos principais dos quais trataremos a seguir, na Seção 15.2, envolvem os polinômios de Legendre, de Hermitee de Laguerre e as funções de Bessel, todas de importância na resolução de problemas do Eletromagnetismo, de MecânicaQuântica, da Mecânica dos Fluidos e de outras áreas.1 A noção de função geratriz foi introduzida na Seção 6.1, página 258.665

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 667/2117Corolário 15.1 Seja O ⊂ R um aberto e seja x 0 um ponto de O. Seja u : O → C uma função diferenciável. Então, umacondição necessária e suficiente para que existam constantes reais α 1 e α 2 , ambas não-simultaneamente nulas, ou seja,(α 1 , α 2 ) ≠ (0, 0) tais que α 1 u(x 0 )+α 2 u ′ (x 0 ) = 0 para algum x 0 ∈ O é que valha u(x 0 )u ′ (x 0 )−u ′ (x 0 )u(x 0 ) = 0. 2Prova. Se existirem constantes reais α 1 e α 2 , ambas não-simultaneamente nulas, tais que α 1 u(x 0 )+α 2 u ′ (x 0 ) = 0 paraalgum x 0 ∈ O, então, adotando f = g = u em ( (15.2) segue ) que u(x 0 )u ′ (x 0 ) − u ′ (x 0 )u(x 0 ) = 0. Reciprocamente, seu(x 0 )u ′ (x 0 )−u ′ (x 0 )u(x 0 ) = 0 então a matrix u(x0 ) u ′ (x 0 )não tem inversa e, portanto, pelo Corolário 9.1, página 349,⎛ ⎞u(x 0 ) u ′ (x 0 )γ 1existe um vetor não-nulo ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∈ C2 tal queγ 2⎛ ⎞⎛⎞ ⎛ ⎞⎜u(x 0 ) u ′(x 0 )⎟⎜γ 1⎟⎝ ⎠⎝⎠ = 0⎜ ⎟⎝ ⎠ . (15.3)u(x 0 ) u ′ (x 0 ) γ 2 0Isso afirma que γ 1 u(x 0 )+γ 2 u ′ (x 0 ) = 0 e que γ 1 u(x 0 )+γ 2 u ′ (x 0 ) = 0. Tomando o complexo conjugado dessas igualdades,obtemos⎛ ⎞⎛⎞ ⎛ ⎞⎜u(x 0 ) u ′(x 0 )⎟⎜γ 1⎟⎝ ⎠⎝⎠ = 0⎜ ⎟⎝ ⎠ . (15.4)u(x 0 ) u ′ (x 0 ) γ 2 0Somando e subtraindo (15.3) de (15.4) obtemos⎛ ⎞⎛⎞ ⎛ ⎞⎜u(x 0 ) u ′(x 0 )⎟⎜Re(γ 1 )⎟⎝ ⎠⎝⎠ = 0⎜ ⎟⎝ ⎠u(x 0 ) u ′ (x 0 ) Re(γ 2 ) 0e⎛ ⎞⎛⎞ ⎛ ⎞u(x 0 ) u⎜′ (x 0 )Im(γ 1 )⎟⎜⎟⎝ ⎠⎝⎠ = 0⎜ ⎟⎝ ⎠ .u(x 0 ) u ′ (x 0 ) Im(γ 2 ) 0Como (γ 1 , γ 2 ) ≠ (0, 0) então ou (α 1 , α 2 ) = ( Re(γ 1 ), Re(γ 2 ) ) ou (α 1 , α 2 ) = ( Im(γ 1 ), Im(γ 2 ) ) (ou ambos) são vetores⎛reais não-nulos. ⎞Assim, ⎛ ⎞provamos ⎛ ⎞ que existem constantes reais α 1 e α 2 , ambas não-simultaneamente nulas, tais que⎜u(x 0 ) u ′(x 0 )⎟⎜α 1⎟⎝ ⎠⎝⎠ = 0⎜ ⎟⎝ ⎠ , e, portanto, tais que α 1u(x 0 )+α 2 u ′ (x 0 ) = 0.u(x 0 ) u ′ (x 0 ) α 2 0• Convenções sobre intervalos. Alguma notaçãoEm muitas das equações diferenciais de interesse em Física a variável x é restrita a uma região J ⊂ R da reta real,sendo J um intervalo fechado (tal como [a, b]), aberto (tal como (a, b)) ou semi-aberto (tal como (a, b] ou [a, b)).Podem também ocorrer intervalos infinitos, tais como J = (−∞, ∞), ou semi-infinitos, como J = (0, ∞) ou J = [0, ∞).Denotaremos por J 0 o interior do intervalo J, ou seja, J 0 é o maior intervalo aberto contido em J. Por exemplo, seJ = [a, b] teremos J 0 = (a, b), se J = [0, ∞) então J 0 = (0, ∞) e se J é aberto então J 0 = J.Daqui para frente vamos escrever o intervalo J 0 , finito ou não, na forma J 0 := (A, B) ⊂ R e, portanto, (A, B) poderepresentar intervalos finitos, como por exemplo (0, 1), semi-infinitos, como por exemplo (0, ∞) ou ainda toda a retareal (−∞, ∞).∫ B∫ bPara uma função f conveniente, vamos denotar por f(x)dx o limite lim f(x)dx, caso este exista. Os limitesa→AA+ ab→B −lim e lim representam os limites laterais à esquerda e à direita, respectivamente.x→Y − x→Y +• A forma canônica de LiouvilleAté aqui escrevemos nossas equações lineares homogêneas de segunda ordem na formay ′′ (x)+a(x)y ′ (x)+b(x)y(x) = 0

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 668/2117(agora já adotando como variável x ∈ J). Em muitos problemas de interesse essa equação pode ser escrita de outraforma, denominada por alguns autores de forma canônica de Liouville, e que será importante para o que segue:onde,(p(x)y ′ (x)) ′ +q(x)y(x)+µr(x)y(x) = 0, (15.5)1. p(x) é real, contínua e diferenciável em J 0 e p(x) > 0 para todo x ∈ J 0 .2. q é real e contínua em J.3. r(x) é real e contínua em J 0 e r(x) > 0 para todo x ∈ J 0 .(15.6)4. µ é uma constante.As condições de positividade de p e r em J 0 são as mais importantes. Note-se que não excluiremos que p e r possam seanular (ou mesmo divergir) nos extremos do intervalo J 2 .Como o leitor pode facilmente constatar, a relação entre essas funções é a seguinte:a(x) = p′ (x)p(x) , b(x) = 1p(x) (q(x)+µr(x)) .Dadas a(x) e b(x), a primeira relação acima fixa p(x) (a menos de uma constante), a saber,(∫ x)p(x) = exp a(x ′ )dx ′ +const. .0Já a segunda nem sempre fixa q(x) e r(x) univocamente, tudo dependendo da condição de positividade sobre r(x), quefoi mencionada acima, ou de qual parâmetro se deseja tomar por µ. Na maioria dos casos, porém, q e r podem ser fixadosunivocamente, o que ficará claro nos exemplos que seguem.Várias das equações diferenciais de segunda ordem das quais tratamos no Capítulo 14 podem ser escritas na formacanônica em algum intervalo J conveniente 3 . Vamos a alguns exemplos que nos interessarão:ˆ A equação do oscilador harmônico simples: y ′′ (x)+λy(x) = 0. Aqui p(x) = 1, q(x) = 0, r(x) = 1 e µ = λ.Vários tipos de intervalos J aparecem em problemas. No problema da corda vibrante, por exemplo, pode-se adotarJ = [0, L], L sendo o comprimento da corda.ˆ A equação de Legendre (1 − x 2 )y ′′ (x) − 2xy ′ (x) + λ(λ + 1)y(x) = 0 é tipicamente considerada no intervaloJ = [−1, 1] e pode ser escrita na forma canônica de Liouville como((1−x2 ) y ′ (x) ) ′+λ(λ+1)y(x) = 0 .Aqui p(x) = (1−x 2 ), q(x) = 0, r(x) = 1 e µ = λ(λ+1).Note que p(x) > 0 em J 0 = (−1, 1), mas anula-se nos extremos x = ±1. Já a função r(x) é positiva em todoJ = [−1, 1].ˆ A equação de Hermite y ′′ (x) − 2xy ′ (x) + λy(x) = 0, é tipicamente considerada no intervalo J = (−∞, ∞) epode ser escrita na forma canônica de Liouville como(e −x2 y ′ (x)) ′+λe−x 2 y(x) = 0 .Aqui p(x) = e −x2 , q(x) = 0, r(x) = e −x2 e µ = λ.Note que p(x) > 0 e r(x) > 0 em todo J = (−∞, ∞).2 O caso em que p e r permanecem finitas e positivas nos extremos do intervalo J é particularmente importante no chamado Problema deSturm-Liouville regular, tratado no Capítulo 17, página 803.3 A conveniência é ditada pelo problema físico subjacente.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 669/2117ˆ A equação de Tchebychev(1−x 2 )y ′′ (x)−xy ′ (x)+λ 2 y(x) = 0 étipicamenteconsideradanointervaloJ = [−1, 1]e pode ser escrita na forma canônica de Liouville como(√ ) ′1−x2 y ′ (x) +λ2 1√ y(x) = 0 . 1−x2Aqui p(x) = √ 1−x 2 , q(x) = 0, r(x) = 1/ √ 1−x 2 e µ = λ 2 .Note que p(x) > 0 em J 0 = (−1, 1), mas anula-se nos extremos x = ±1. Já a função r(x) é positiva em todoJ = (−1, 1), mas diverge nos extremos x = ±1. No entanto, r é integrável no intervalo J, isto é, ∫ 1−1 r(x)dx éfinita.ˆ A equação de Laguerre xy ′′ (x)+(1−x)y ′ (x)+λy(x) = 0 é tipicamente considerada no intervalo J = [0, ∞) epode ser escrita na forma canônica de Liouville como(xe −x y ′ (x) ) ′+λe −x y(x) = 0 .Aqui p(x) = xe −x , q(x) = 0, r(x) = e −x e µ = λ.Note que p(x) > 0 em J 0 = (0, ∞), mas anula-se no extremo x = 0. Já a função r(x) é positiva em todoJ = [0, ∞).ˆ A equação de Bessel de ordem ν, escrita na forma x 2 y ′′ (x) + xy ′ (x) + (α 2 x 2 − ν 2 )y(x) = 0, é tipicamenteconsiderada no intervalo J = [0, 1] e pode ser escrita no intervalo (0, 1] na forma canônica de Liouville como(xy ′ (x)) ′ − ν2x y(x)+α2 xy(x) = 0 .Aqui p(x) = x, q(x) = − ν2x , r(x) = x e µ = α2 .Note que p(x) > 0 em J 0 = (0, 1), mas anula-se no extremo x = 0, o mesmo valendo para r(x).A equação de Bessel esférica também podem ser escrita na forma canônica de Liouville. Porém, a mesma podeser facilmente transformada em uma equação de Bessel e, portanto, seu tratamento é um caso particular do daquelasequações. Vide Seção 15.2.8, página 723.• O operador de LiouvilleA forma canônica de Liouville (15.5) sugere a introdução de uma notação muito conveniente. Seja uma função udefinida em J que seja pelo menos duas vezes diferenciável. Sob as hipóteses (15.6) definimos o chamado operador deLiouville 4 , denotado por L, como sendo o operador diferencial dado porou seja,(Lu)(x) := (p(x)u ′ ) ′ +q(x)u , (15.7)L := d (p(x) d )+q(x) .dx dxDefinimos também o operador diferencial denotado por M porA equação (15.5) fica simplificada na formaM := − 1r(x) L = − 1r(x)ddx(p(x) d )−− q(x)dx r(x) .(Lu)(x)+λr(x)u(x) = 0 , ou seja, (Mu)(x) = λu(x) . (15.8)Se λ for um número tal que a equação (15.8) for satisfeita para alguma função u λ , então diz-se que λ é um autovalor eu λ é dito ser a auto-função associada ao autovalor λ. Essa nomenclatura surge por analogia com os conceitos de autovalor4 Essa nomenclatura não é universal, talvez por causar uma certa confusão com um outro operador, também dito de Liouville, que ocorre naMecânica Clássica: L := ∂H ∂∂p ∂q − ∂H ∂, com H sendo a função Hamiltoniana, q e p sendo coordenadas de posiçãoemomento, respectivamente.∂q ∂p

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 670/2117e auto-vetor de matrizes na álgebra linear. Estritamente falando λ e u λ são auto-valores, respectivamente, auto-funções,do operador M.• O Lema de GreenO seguinte resultado elemetar sobre o operador L, por vezes, denominado Lema de Green 5 , será importante no quesegue.Lema 15.2 Seja J ≡ (A, B) ⊂ R um intervalo como descrito acima e sejam u e v funções duas vezes diferenciáveisdefinidas em um intervalo finito [a, b] ⊂ J, com A < a < b < B. Sejam p, q e r satisfazendo as condições enumeradasem (15.6). Então,∫ bav(x) (Lu)(x) dx−∫ ba( ) ( )(Lv)(x) u(x) dx = p(b) v(b)u ′ (b)−v ′ (b)u(b) −p(a) v(a)u ′ (a)−v ′ (a)u(a) . (15.9)Se u e v forem definidas em J 0 , forem duas vezes diferenciáveis e satisfizerem as condições que os limites laterais( ) ( )lim p(a) v(a)u ′ (a)−v ′ (a)u(a) e lim p(b) v(b)u ′ (b)−v ′ (b)u(b)a→A + b→B −existem e satisfazementão teremos, conseqüentemente,o que equivale a dizer que( )lim p(a) v(a)u ′ (a)−v ′ (a)u(a)a→A +∫ BA∫ BAv(x) (Lu)(x) dx =v(x) (Mu)(x) r(x)dx =( )= lim p(b) v(b)u ′ (b)−v ′ (b)u(b) , (15.10)b→B −∫ BA∫ BA(Lv)(x) u(x) dx , (15.11)(Mv)(x) u(x) r(x)dx . (15.12)2Prova. Usando-se integração por partes, temos∫ bv(x) (Lu)(x) dx =∫ baa∫ bv(x)(p(x)u ′ ) ′ dx+av(x)q(x)u(x) dx∫ b= −av ′ (x)(p(x)u ′ ) dx+vpu ′ ∣ ∣∣ba + ∫ bav(x)q(x)u(x) dx=∫ ba∣u(pv ′ ) ′ dx+vpu ′ ∣∣b∫ a −v′ pu∣ b b+aav(x)q(x)u(x) dxou seja,∫ bav(x) (Lu)(x) dx−∫ ba=(Lv)(x) u(x) dx =∫ ba∣(Lv)(x) u(x) dx+vpu ′ ∣∣ba −v′ pu∣ b , (15.13)a( )∣vpu ′ ∣∣−v ′ b ( ) ( )pu = p(b) v(b)u ′ (b)−v ′ (b)u(b) −p(a) v(a)u ′ (a)−v ′ (a)u(a) .aNota para o estudante mais avançado. Se V for um espaço vetorial de funções duas vezes diferenciáveis satisfazendo (15.10), então(15.11) informa-nos que o operador L é um operador simétrico em V com relação ao produto escalar 〈f, g〉 = ∫ BA f(x)g(x)dx e (15.12)informa-nos que o operador M é um operador simétrico em V com relação ao produto escalar 〈f, g〉 r = ∫ BA f(x)g(x)r(x)dx. ♣5 George Green (1793–1841).

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 671/211715.1.1.1 Condições de Contorno e a Origem das Relações de OrtogonalidadeVamos nos interessar por equações diferenciais como Lu + µru = 0 definidas em um intervalo J = (A, B), nãonecessariamentefinito, como descrevemos acima, com as soluções u satisfazendo as condições que os limites laterais( ) ( )lim p(a) u(a)u ′ (a)−u ′ (a)u(a) e lim p(b) u(b)u ′ (b)−u ′ (b)u(b)a→A + b→B −existam e satisfaçam( )lim p(a) u(a)u ′ (a)−u ′ (a)u(a)a→A +( )= lim p(b) u(b)u ′ (b)−u ′ (b)u(b) . (15.14)b→B −Há várias condições sob as quais (15.14) é satisfeita. Listemos alguns dos casos que ocorrem em equações de interesse:I J = (A, B) é um intervalo finito ou não, lim p(A) = lim p(B) = 0 mas o produto u(x)u ′ (x) não diverge nosa→A + b→B −limites x → A + e x → B − . Essas condições implicam (15.14), ambos os lados da igualdade sendo nulos.II J = [A, B] é um intervalo finito, p(A) e p(B) são ambos finitos mas u satisfaz condições de contorno em A e emB do formaα 1 u(A)+α 2 u ′ (A) = 0 , (15.15)β 1 u(B)+β 2 u ′ (B) = 0 , (15.16)onde α 1 , α 2 , β 1 , β 2 são constantes reais fixadas, sendo (α 1 , α 2 ) ≠ (0, 0) e (β 1 , β 2 ) ≠ (0, 0).PeloCorolário15.1, página667, essascondiçõesimplicamqueu(A)u ′ (A)−u ′ (A)u(A) = 0eu(B)u ′ (B)−u ′ (B)u(B) =0, o que implica (15.14), ambos os lados da igualdade sendo nulos.III J = (A, B) é um intervalo finito e vale uma combinação dos casos anteriores. Por exemplo, lima→A +p(A) = 0 com oproduto u(x)u ′ (x) não divergindo no limite x → A + e, além disso, existem constantes reais (β 1 , β 2 ) ≠ (0, 0) taisque β 1 u(B)+β 2 u ′ (B) = 0.As condições (15.14) são, portanto, mais gerais que condições como I ou II, acima. A Proposição 15.1, adiante,aponta algumas de suas conseqüências.• Realidade dos autovalores, simplicidade e realidade das autofunçõesProposição 15.1 Seja um intervalo (não necessariamente finito) J = (A, B), como descrito acima, e sejam p, q e rfunções definidas em J, satisfazendo as condições enumeradas em (15.6).Considere-se o problema de determinar uma constante µ e uma solução u da equação diferencial Lu(x)+µr(x)u(x) = 0definida em J, com u satisfazendo as condições que os limites( ) ( )lim p(a) u(a)u ′ (a)−u ′ (a)u(a) e lim p(b) u(b)u ′ (b)−u ′ (b)u(b)a→A + b→B −existam e satisfaçam( )lim p(a) u(a)u ′ (a)−u ′ (a)u(a)a→A +( )= lim p(b) u(b)u ′ (b)−u ′ (b)u(b) . (15.17)b→B −Então, valem os seguintes fatos:a. µ ∈ R,b. A solução u é única a menos de uma constante multiplicativa,c. A solução u é múltipla de uma solução real.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 672/2117Conseqüentemente, toda solução da equação Lu(x)+µr(x)u(x) = 0 com µ ∈ R sob as condições (15.17) é múltipla deuma única solução real da equação Lu(x)+µr(x)u(x) = 0. Note-se que funções reais satisfazem trivialmente as condições(15.17). 2Prova. Parte a. Consideremos (a, b) um intervalo finito contido em J e seja a expressão ( µ − µ )∫ ba |u(x)|2 r(x)dx.Podemos escrevê-la como( ) ∫ bµ−µ |u(x)| 2 r(x) dx =a( ) ∫ bµ−µ u(x)u(x)r(x) dxa=∫ b(µu(x)r(x))u(x) dx−∫ baau(x) ( µr(x)u(x) ) dx= −∫ ba(Lu)(x)u(x) dx+∫ bau(x)(Lu)(x) dx( ) ( )(15.9)= p(b) u(b)u ′ (b)−u ′ (b)u(b) −p(a) u(a)u ′ (a)−u ′ (a)u(a) .Por (15.17), o lado direito converge a zero nos limites b → B − e a → A + . Como ∫ ba |u(x)|2 r(x)dx > 0 para todos a e bcom A < a < b < B, concluímos que µ = µ, provando que µ ∈ R.Parte b. Sejam u 1 , u 2 tais que Lu 1 + µru 1 = 0 e Lu 2 + µru 2 = 0 para um dado µ, ambas satisfazendo as condiçõesmencionadas no enunciado. Como vimos na parte a, µ é real. Considere-se a função⎛ ⎞u 1 (x) u ′ 1W 12 (x) = det⎜(x)⎟⎝ ⎠ = u 1(x)u ′ 2 (x)−u′ 1 (x)u 2(x) .u 2 (x) u ′ 2(x)Vamos em primeiro lugar mostrar que p(x)W 12 (x) é constante, ou seja, que (pW 12 ) ′ = 0. De fato,(pW 12 ) ′ = p ′ W 12 +pW ′ 12 = p ′ (u 1 u ′ 2 −u ′ 1 u 2)+p(u 1 u ′ 2 −u ′ 1 u 2) ′= p ′ (u 1 u ′ 2 −u′ 1 u 2)+p(u ′ 1 u′ 2 +u 1u ′′2 −u′′ 1 u 2 −u ′ 1 u′ 2 )= p ′ (u 1 u ′ 2 −u ′ 1 u 2)+p(u 1 u ′′2 −u ′′1 u 2)= u 1 (p ′ u ′ 2 +pu′′ 2 )−u 2(p ′ u ′ 1 +pu′′ 1 )= u 1 (pu ′ 2 )′ −u 2 (pu ′ 1 )′= −u 1 (qu 2 +µru 2 )+u 2 (qu 1 +µru 1 )= 0 . (15.18)Agora, p(x)W 12 (x) = p(x) ( u 1 (x)u ′ 2(x)−u 2 (x)u ′ 1 (x)) e, portanto, pelas hipóteses (15.17), seus limites b → B − e a → A +existem e anulam-se, provando que p(x)W 12 (x) = 0 para todo x. Pelas hipóteses em (15.6), p é positivo em J 0 e,portanto, W 12 (x) = 0 para todo x.Isso diz que as duas linhas que formam a matriz cujo determinante é W 12 (x) são, para cada x ∈ [a, b], proporcionaisuma a outra, ou seja, existe γ(x) tal que, por exemplo,u 1 (x) = γ(x)u 2 (x) e u ′ 1 (x) = γ(x)u′ 2 (x)para todo x. Derivando a primeira e comparando à segunda, conclui-se que γ(x) é constante, ou seja, não depende de x.Assim, verificamos que as funções u 1 e u 2 são múltiplas entre si. Com isso, mostramos que se tivermos duas auto-funçõescom o mesmo auto-valor as auto-funções são múltiplas uma da outra e o subespaço que ambas geram tem dimensão 1.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 673/2117Parte c. Como p, q, r são reais e também µ (pela parte a), então se u é solução de Lu+µru = 0 seu complexo conjugadou também o é. Fora isso, se u satisfaz as condições (15.17), seu complexo conjugado u também as satisfaz. Logo, pelaparte b, existe uma constante γ ∈ C tal que u = γu.A equação u = γu implica u = γu e, portanto |γ| = 1, ou seja, γ = e iθ , para θ ∈ R. Decompondo u em suas partesreal e imaginária, u = v+iw, concluímos que v−iw = (cosθ+isenθ)(v+iw), ou seja, valem (1−cosθ)v = −sen(θ)w e(1+cosθ)w = −sen(θ)v. Agora, se cosθ = 1, então a segunda igualdade ( implica w = 0 e, portanto, u = v. Se cosθ ≠ 1,então a primeira igualdade implica v = − senθ1−cosθ w e , portanto, u = − senθ1−cosθ)w. +iOs resultados da Proposição 15.1 podem ser parafraseados da seguinte forma. Considere-se o problema de determinaros autovalores µ e autofunções u da equação Lu+µru = 0 sob condições que impliquem a condições (15.17), tais como ascondições I ou II da página 671. Então os autovalores são reais, simples (ou seja, não-degenerados: para cada autovaloro espaço das correspondentes autofunções é unidimencional) e as autofunções podem ser tomadas reais.• Problemas de autovalores e relações de ortogonalidadeNo teorema a seguir consideraremos funções reais u 1 e u 2 definidas em um intervalo (não necessariamente finito)J = (A, B), que satisfaçam as condições de os limites() ()lim p(a) u 1 (a)u ′ 2a→A (a)−u′ 1 (a)u 2(a) e lim p(b) u 1 (b)u ′ 2 + b→B (b)−u′ 1 (b)u 2(b)−existirem e satisfazerem()lim p(a) u 1 (a)u ′ 2(a)−u ′ 1(a)u 2 (a)a→A +()= lim p(b) u 1 (b)u ′ 2(b)−u ′ 1(b)u 2 (b) . (15.19)b→B −Há várias condições sob as quais (15.19) é satisfeita. Listemos alguns dos casos que ocorrem em equações de interesse:I’ J = (A, B) é um intervalo finito ou não, lim p(A) = lim p(B) = 0 mas o produto u 1 (x)u ′ 2(x) − u ′ 1(x)u 2 (x)a→A + b→B −não diverge nos limites x → A + e x → B − . Essas condições implicam (15.19), ambos os lados da igualdade sendonulos.II’ J = [A, B] é um intervalofinito, p(A) e p(B) sãoambos finitos mas tanto a funçãou 1 quantoa função u 2 satisfazemcondições de contorno em A e em B do formaα 1 u(A)+α 2 u ′ (A) = 0 , (15.20)β 1 u(B)+β 2 u ′ (B) = 0 , (15.21)onde α 1 , α 2 , β 1 , β 2 são constantes reais fixadas, sendo (α 1 , α 2 ) ≠ (0, 0) e (β 1 , β 2 ) ≠ (0, 0).PeloLema15.1, página666, particularmentepor(15.1), essascondiçõesimplicamqueu 1 (A)u ′ 2 (A)−u′ 1 (A)u 2(A) = 0e u 1 (B)u ′ 2(B)−u ′ 1(B)u 2 (B) = 0, o que implica (15.19), ambos os lados da igualdade sendo nulos.III’ J = (A, B) é um intervalo finito e vale uma combinação dos casos anteriores. Por exemplo, lima→A +p(A) = 0com o produto u 1 (x)u ′ 2 (x)−u′ 1 (x)u 2(x) não divergindo no limite x → A + e, além disso, existem constantes reais(β 1 , β 2 ) ≠ (0, 0) tais que tanto a função u 1 quanto a função u 2 satisfazem β 1 u(B)+β 2 u ′ (B) = 0.Conseqüentemente, as condições (15.19) são mais gerais que condições como I’ ou II’, acima. O seguinte resultadoaponta uma das conseqüências das hipóteses de (15.19) e expressa uma da mais importantes propriedades das soluçõesdas equações diferenciais discutidas acima: as chamadas relações de ortogonalidade.Teorema 15.1 Considere-se a equação diferencial Lu(x) + µr(x)u(x) = 0 definida no intervalo (não necessariamentefinito) J = (A, B), com p, q e r satisfazendo as condições enumeradas em (15.6). Sejam λ 1 e λ 2 ∈ R com λ 1 ≠ λ 2 esuponhamos que u 1 e u 2 sejam funções reais não-nulas que satisfazemLu 1 (x)+λ 1 r(x)u 1 (x) = 0 e Lu 2 (x)+λ 2 r(x)u 2 (x) = 0 , (15.22)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 674/2117em J = (A, B) e suponhamos ainda que os limites()lim p(a) u 1 (a)u ′a→A +2(a)−u ′ 1(a)u 2 (a)e()lim p(b) u 1 (b)u ′ 2(b)−u ′ 1(b)u 2 (b)b→B −existam e satisfaçam()lim p(a) u 1 (a)u ′ 2a→A (a)−u′ 1 (a)u 2(a)+()= lim p(b) u 1 (b)u ′ 2b→B (b)−u′ 1 (b)u 2(b) . (15.23)−Então,∫ BAu 1 (x) u 2 (x) r(x) dx = 0 . (15.24)2Prova. Seja (a, b), com A < a < b < B, qualquer intervalo finito contido em J 0 . Consideremos a expressão∫ b(λ 1 −λ 2 ) u 1 (x)u 2 (x)r(x)dx .aComo λ 1 e λ 2 são reais, isso pode ser escrito por (15.22) como∫ ba∫ b(λ 1 r(x)u 1 (x)) u 2 (x) dx−au 1 (x) (λ 2 r(x)u 2 (x)) dx=∫ ba∫ bu 1 (x) (Lu 2 )(x) dx− (Lu 1 )(x) u 2 (x) dxa() ()= p(b) u 1 (b)u ′ 2 (b)−u′ 1 (b)u 2(b) −p(a) u 1 (a)u ′ 2 (a)−u′ 1 (a)u 2(a) ,sendo que na última igualdade usamos (15.9), lembrando que, no caso presente, todas as funções e constantes são reais.Conseqüentemente, tem-se pelas hipóteses,∫ B(λ 1 −λ 2 ) u 1 (x)u 2 (x)r(x)dxA() ()= lim p(b) u 1 (b)u ′ 2(b)−u ′ 1(b)u 2 (b) − lim p(a) u 1 (a)u ′b→B − a→A +2(a)−u ′ 1(a)u 2 (a)= 0 .Como λ 1 ≠ λ 2 , isso implica∫ BAu 1 (x)u 2 (x)r(x)dx = 0, como queríamos provar.A relação (15.24) diz-nos que u 1 e u 2 são ortogonais em relação ao produto escalar real〈f, g〉 r:=∫ BAf(x)g(x)r(x) dx , (15.25)definido no conjunto de todas as funções f : J → R tais que ∫ BA f(x)2 r(x) dx < ∞. Essas relações de ortogonalidade sãodesuma importância em aplicações, especialmente na resolução de equaçõesdiferenciais sob certas condiçõesde contorno.O leitor interessado em exemplos pode passar diretamente à Seção 15.2, página 677. Aplicações à solução de equaçõesdiferenciais parciais de interesse em Física serão vistas no Capítulo 20, página 877.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 675/211715.1.2 Fórmulas de RodriguesAs idéias desta pequena seção serão melhor ilustradas nos exemplos da Seção 15.2.Consideremos a equação diferencial (p(x)y ′ (x)) ′ + q(x)y(x) + µr(x)y(x) = 0, ou seja, Ly + µry = 0, com p, q e rsatisfazendo as condições enumeradas em (15.6) e suponhamos também que r seja uma função infinitamente diferenciávelde x. Consideremos que o intervalo J onde a equação é considerada seja J = [−1, 1]. Para n = 0, 1, 2, ..., sejamdefinidas as funções( )p n (x) := 1 d nr(x) dx n r(x)(1−x 2 ) n . (15.26)É fácil ver que se m < n, então∫ 1−1x m p n (x) r(x) dx = 0 , (15.27)ou seja, cada p n é ortogonal, segundo o produto escalar 〈·, ·〉 rdefinido em (15.25), a todos os polinômios de grau menorque n. Para provar (15.27), basta escrever∫ 1∫ ( )1x m p n (x) r(x) dx = x m dndx n r(x)(1−x 2 ) n dx−1e fazer n vezes integração por partes, lembrando que a expressão dkfator (1−x 2 ) que se anula em ±1.−1dx k (r(x)(1 − x 2 ) n ), com k < n, sempre contém umE. 15.1 Exercício importante. Faça isso! 6Se as funções p n forem elas mesmas polinômios de grau n, o que ocorre em vários casos, concluímos que∫ 1−1p m (x) p n (x) r(x) dx = 0 ,sempre que m ≠ n. Isso significa que os polinômios p n (x) são ortogonais dois-a-dois segundo o produto escalar 〈·, ·〉 rnointervalo J = [−1, 1].Várias equações diferenciais do tipo mencionado acima, definidas em um intervalo finito [−1, 1], têm soluções polinomiais,como por exemplo, a equação de Legendre e de Tchebychev. Como as mesmas, pelo Teorema 15.1, são ortogonaisem relação ao produto escalar 〈·, ·〉 rno intervalo J = [−1, 1] 6 , as considerações acima sugerem que as soluções polinomiaispossam ser escritas, a menos de uma constante multiplicativa, na forma (15.26). Isso é, de fato, verdade para váriasequações importantes (como as de Legendre e Tchebychev) e da expressão (15.26) será possível obter várias propriedadesdaqueles polinômios. Isso será melhor discutido nos exemplos que trataremos na Seção 15.2.A expressão (15.26) é denominada fórmula de Rodrigues 7 .E. 15.2 Exercício. Generalize a fórmula de Rodrigues (15.26) para um intervalo J = [a, b] finito arbitrário. Sugestão:procure uma transformação linear que mapeie bijetivamente [−1, 1] em [a, b]. 6Asfórmulasde Rodrigues podem ser generalizadas para equaçõesdiferenciais definidas em intervalosnão-finitos, comoJ = (0, ∞) ou J = (−∞, ∞). Tratemos disso.Para o caso J = (0, ∞) devemos supor novamente que r(x) seja infinitamente diferenciável, mas devemos ainda suporque r(x) seja limitada em x = 0 e que r(x) e todas as suas derivadas r (m) (x) caiam no infinito mais rápido que qualquerpotência, ou seja lim x→∞ x k r (m) (x) = 0 para todo k ≥ 0 e m ≥ 0. Definimos, nesse caso,p n (x) := 1 d n (r(x) dx n r(x)x n) . (15.28)6 Veremos isso explicitamente nos exemplos da Seção 15.27 Benjamin Olinde Rodrigues (1794–1851). Rodrigues foi banqueiro e matemático amador, nascido na França, mas de origem judaicoportuguesa.Encontrou a fórmula que leva seu nome apenas para o caso dos polinômios de Legendre. A generalização aqui apresentada éposterior. Rodrigues também deu contribuições para a teoria dos quatérnions e para o grupo SO(3) (vide Proposição 21.5, página 1028).Apesar de banqueiro, Rodrigues foi líder do partido socialista francês.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 676/2117É fácil ver que se m < n, entãoPara ver isso, escrevemos novamente∫ ∞0∫ ∞0x m p n (x) r(x) dx =x m p n (x) r(x) dx = 0 , (15.29)∫ ∞0x m dndx n (r(x)x n )dxe fazemos ( integração por partes, usando que lim x→∞ x k r (m) (x) = 0 para todos k ≥ 0 e m ≥ 0 e que a expressãod kdxr(x)x), n com k < n, sempre contém um fator x que se anula em 0.kE. 15.3 Exercício importante. Complete os detalhes. 6Em certos exemplos, como na equação de Laguerre, as funções p n são polinômios na variável x. Nesses casos, temosentão que∫ ∞0p m (x) p n (x) r(x) dx = 0 ,sempre que m ≠ n. Isso significa que os polinômios p n (x) são ortogonais dois-a-dois segundo o produto escalar 〈·, ·〉 rnointervalo J = (0, ∞). Como antes, isso sugere que as soluções polinomiais de certas equações diferenciais definidas nointervalo J = (0, ∞) possam ser escritas, a menos de uma constante multiplicativa, na forma sugerida pela fórmula deRodrigues (15.28). Veremos que tal é o caso para os polinômios de Laguerre e isso nos permitirá obter algumas relaçõesúteis sobre aqueles polinômios.Para o caso J = (−∞, ∞) devemos supor novamente que r(x) seja infinitamente diferenciável, mas devemosainda supor que r(x) e todas as suas derivadas r (m) (x) caiam no infinito mais rápido que qualquer potência, ou sejalim |x|→∞ |x| k |r (m) (x)| = 0 para todo k ≥ 0 e m ≥ 0. Definimos, nesse caso,p n (x) := 1 d n ( )r(x) dx n r(x) . (15.30)É fácil ver que se m < n, entãoPara ver isso, escrevemos novamente∫ ∞−∞∫ ∞−∞x m p n (x) r(x) dx =x m p n (x) r(x) dx = 0 , (15.31)∫ ∞−∞( )x m dndx n r(x) dxe fazemos integração por partes, usando que lim |x|→∞ |x| k |r (m) (x)| = 0 para todos k ≥ 0 e m ≥ 0.E. 15.4 Exercício importante. Complete os detalhes. 6Em certos exemplos, como na equação de Hermite, as funções p n são polinômios na variável x. Nesses casos, temosentão que∫ ∞−∞p m (x) p n (x) r(x) dx = 0 ,sempre que m ≠ n. Isso significa que os polinômios p n (x) são ortogonais dois-a-dois segundo o produto escalar 〈·, ·〉 rnointervalo J = (−∞, ∞). Como antes, isso sugere que as soluções polinomiais de certas equações diferenciais definidas nointervalo J = (−∞, ∞) possam ser escritas, a menos de uma constante multiplicativa, na forma sugerida pela fórmula deRodrigues (15.30). Veremos que tal é o caso para os polinômios de Hermite e isso nos permitirá obter algumas relaçõesúteis sobre os mesmos.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 677/211715.2 Propriedades de Algumas Funções EspeciaisVamos agora então reunir o conhecimento acumulado acima para obter várias propriedades úteis de algumas das funçõesespeciais que encontramos como soluções de equações diferenciais de interesse. As várias identidades que provaremos podemser obtidas de diferentes modos, de sorte que o leitor certamente encontrará na literatura demonstrações alternativasàquelas aqui apresentadas.15.2.1 Propriedades dos Polinômios de Legendre• Relações de ortogonalidade para os polinômios de LegendreA equação de Legendre (( 1−x 2) y ′ (x) ) ′+ λ(λ + 1)y(x) = 0, é tipicamente considerada no intervalo J = [−1, 1].Aqui, p(x) = (1 − x 2 ), q(x) = 0, r(x) = 1 e µ = λ(λ + 1). A função p(x) anula-se nos extremos ±1 do intervaloJ = [−1, 1].Os polinômios de Legendre P m (x) foram definidos em (14.14), página 608, porP m (x) :=⌊m/2⌋∑a=0(−1) a (2m−2a)!2 m (m−a)!(m−2a)!a!x m−2a , (15.32)onde ⌊m/2⌋ é o maior inteiro menor ou igual a m/2, e são soluções da equação de Legendre com µ = m(m+1), sendo(as únicas) soluções da equação de Legendre que permanecem limitadas nos pontos ±1.Como p(x) anula-se nos extremos ±1 e os P m (x) são limitados nesses pontos, vale para os polinômios de Legendre arelação (15.23) e concluímos pelo Teorema 15.1, página 673, quepara todo n ≠ m, com m, n = 0, 1, 2, 3, .... Notemos que isso implica∫ 1−1∫ 1P n (x)P m (x) dx = 0 (15.33)−1x k P m (x) dx = 0 (15.34)para todo k < m, pois os monômios x k podem ser escritos como combinações lineares dos polinômios P n ’s com n < m.Para calcular as integrais de (15.33) no caso n = m, podemos elegantemente usar as relaçõeseP ′ n+1(x) = (2n+1)P n (x)+P ′ n−1(x) , n ≥ 0 , (15.35)P n (1) = 1 , P n (−1) = (−1) n , n ≥ 0 , (15.36)as quais serão demonstradas mais abaixo (relações (15.41) e (15.45), respectivamente) como conseqüência da fórmula deRodrigues para os polinômios de Legendre. De fato, por integração por partes, tem-se∫ 1−1∫P n (x)P n+1(x) ′ dx = P n (x)P n+1 (x) ∣ 1 1− P n(x)P ′ n+1 (x) dx .−1Por (15.36), P n (x)P n+1 (x) ∣ 1 = −1 1+(−1)2n = 2. Por (15.34), ∫ 1−1 P′ n (x)P n+1(x)dx = 0, pois P n ′ (x) é seguramente umpolinômio de grau n−1. Assim,∫ 1∫ 12 = P n (x)P n+1(x) ′ dx (15.35)= P n (x) [ (2n+1)P n (x)+P n−1(x) ′ ] ∫ 1dx = (2n+1) P n (x) 2 dx ,−1−1−1pois, novamente por (15.34), ∫ 1−1 P n(x)P n−1 ′ (x) dx = 0, já que P′ n−1 (x) é um polinômio de grau n−2. Isso provou que∫ 1−1P n (x)P m (x) dx =−122n+1 δ n,m , (15.37)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 678/2117para todos m, n ≥ 0. Estas são as relações de ortogonalidade para os polinômios de Legendre. Para uma outrademonstração, vide Exercício E. 15.28, página 726.Emmuitassituaçõespráticaséconvenienteexpressar(15.37)atravésdamudançadevariávelx = cosθ, com0 ≤ θ ≤ π.Ficamos com ∫ π2P n (cosθ)P m (cosθ) sen(θ) dθ =2n+1 δ n,m , (15.38)para todos m, n ≥ 0.0Na Seção 35.6, página 1724, é demonstrada a importante propriedade de completeza dos polinômios de Legendre noespaço de Hilbert L 2 ([−1, 1], dx).• Fórmula de Rodrigues para os polinômios de LegendrePelas nossas considerações gerais sobre as fórmulas de Rodrigues da Seção 15.1.2, página 675, podemos presumir queos polinômios P m , por serem ortogonais entre si (vide (15.33)), possam ser expressos na forma (15.26) com r(x) = 1, ouseja,d m (P m (x) = K mdx m (1−x 2 ) m) ,onde K m são constantes que dependem da normalização adotada. De fato, essa pressuposição é correta pois, escrevendo(1−x 2 ) m = ∑ m ma=0(a)(−1) m−a x 2m−2a (binômio de Newton) e notando qued m (dx m x 2m−2a) =(justifique!), concluímos facilmente que⎧⎪⎨⎪⎩(2m−2a)!(m−2a)! xm−2a , para 0 ≤ a ≤ ⌊m/2⌋0, para ⌊m/2⌋+1 ≤ a ≤ md m (dx m (1−x 2 ) m) = dm ∑m ( mdx a)m (−1) m−a x 2m−2aa=0= dm⌊m/2⌋∑( mdx a)m (−1) m−a x 2m−2aa=0(15.39)=∑( ) m (2m−2a)!(−1) m−a a (m−2a)! xm−2a⌊m/2⌋a=0= (−1) m 2 m m!⌊m/2⌋∑a=0(−1) a (2m−2a)!2 m (m−a)!(m−2a)!a! xm−2a= (−1) m 2 m m! P m (x) .Assim, K m = (−1) m /(2 m m!) e1 d m (P m (x) =2 m m! dx m (x 2 −1) m) , (15.40)como pressuposto. Essa expressão é conhecida como fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre e é válidapara todo m ≥ 0, inteiro.De (15.40) outras relações úteis podem ser extraídas, nosso próximo assunto.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 679/2117• Relações de recorrência para os polinômios de LegendreVamos aqui demonstrar as seguintes relações válidas para os polinômios de Legendre:P n+1 ′ (x) = (2n+1)P n(x)+P n−1 ′ (x) , (15.41)P ′ n+1(x) = xP ′ n(x)+(n+1)P n (x) , (15.42)nP n (x) = xP n ′ (x)−P′ n−1 (x) , (15.43)(n+1)P n+1 (x) = (2n+1)xP n (x)−nP n−1 (x) , (15.44)P n (1) = 1 , P n (−1) = (−1) n . (15.45)Todas as relações acima têm aplicações (vimos isso quando provamos as relações de ortogonalidade para os P n ’s). Arelação (15.44) é particularmente interessante por permitir determinar os P n ’s recursivamente a partir dos dois primeiros:P 0 (x) = 1 e P 1 (x) = x.Comecemos por provar (15.41). Como ddx (x2 −1) n+1 = 2(n+1)x(x 2 −1) n , segue da fórmula de Rodrigues para P n+1queP ′ n+1(x) ===12 n+1 (n+1)!12 n n!12 n n!d n+1 [dx n+1 2(n+1)x(x 2 −1) n]d n [dx n (x 2 −1) n +2nx 2 (x 2 −1) n−1]d n [dx n (2n+1)(x 2 −1) n +2n(x 2 −1) n−1]= (2n+1)P n (x)+P ′ n−1 (x) ,provando (15.41). Por outro lado, começando pela primeira linha obtida acima, e usando-se a regra de Leibniz, tem-seP ′ n+1 (x) = 12 n n!=12 n n!d n+1 [dx n+1 x(x 2 −1) n]n+1∑( )( )( )n+1 dp dn+1−pp dx px dx n+1−p(x2 −1) np=0=12 n n! x dn+1dx n+1(x2 −1) n + (n+1)2 n n!d ndx n(x2 −1) n= xP ′ n (x)+(n+1)P n(x) ,provando (15.42). A relação (15.43) é obtida subtraindo-se (15.42) de (15.41). Por fim, para obter (15.44), multiplicamos(15.41) por x e escrevemos(2n+1)xP n (x) = xP ′ n+1(x)−xP ′ n−1(x)=(xP′n+1 (x)−P ′ n (x)) +P ′ n (x)−xP′ n−1 (x)(15.43)= (n+1)P n+1 (x)+ ( P ′ n(x)−xP ′ n−1(x) )(15.42)= (n+1)P n+1 (x)+nP n−1 (x) .Disso (15.44) segue imediatamente.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 680/2117Por fim, vamos provar (15.45) por indução. Como P 0 (x) = 1 e P 1 (x) = x, as relações acima valem para n = 0 en = 1. Supondo-as válidas para n−1 e n, teremos por (15.44) que (n+1)P n+1 (1) = (2n+1)−n = (n+1), o que implicaP n+1 (1) = 1 e (n+1)P n+1 (−1) = −(2n+1)(−1) n +n(−1) n = (n+1)(−1) n+1 , o que implica P n+1 (−1) = (−1) n+1 . Issoencerra a demonstração de (15.41)-(15.45).• A função geratriz dos polinômios de LegendreA função geratriz 8 dos polinômios de Legendre é∞∑L(x, t) := P n (x)t n =n=01√1−2tx+t2 , (15.46)válida para |t| < 1 e |x| ≤ 1. Essa relação tem diversas demonstrações, a mais elegante sendo a seguinte (de [116]).Calculando-se ∂ ∂tL(x, t) e usando-se (15.44), tem-se∂∞∂t L(x, t) = ∑∞∑nP n (x)t n−1 = (n+1)P n+1 (x)t nn=1n=0(15.44)=∞∑n=0[](2n+1)xP n (x)−nP n−1 (x) t n∞∑ ∞∑ ∞∑= 2x nP n (x)t n +x P n (x)t n − nP n−1 (x)t nn=0 n=0 n=0∞∑ ∞∑ ∞∑= 2x nP n (x)t n +x P n (x)t n − (n+1)P n (x)t n+1n=0 n=0 n=0= 2xt ∂ ∞∑∞∑P n (x)t n +(x−t) P n (x)t n −t 2 ∂ ∞∑P n (x)t n∂t∂tn=0n=0n=0= (2xt−t 2 ) ∂ L(x, t)+(x−t)L(x, t) .∂tE. 15.5 Exercício. Verifique! 6Assim, L(x, t) satisfaz a equação diferencialO lado direito é − 1 ∂2∂t ln( 1−2xt+t 2) . Logo,1 ∂ (x−t)L(x, t) =L(x, t) ∂tL(x, t) =1−2xt+t 2 .exp(l(x))√1−2tx+t2 ,onde l(x) é, em princípio, uma função arbitrária. Lembrando, porém, que L(x, 0) = P 0 (x) = 1 para todo x, obtem-sede imediato que l(x) = 0 para todo x. Isso estabelece (15.46), como queríamos.• Representações integrais para os polinômios de LegendreA bem-conhecida Fórmula Integral de Cauchy, afirma que, para uma função f analítica em um domínio abertosimplesmente conexo D, valef (n) (z) = n! ∫f(w)dw , (15.47)2πi C (w −z)n+18 A noção de função geratriz foi introduzida na Seção 6.1, página 258.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 681/2117para todo z ∈ D, onde a curva C é uma curva diferenciável fechada inteiramente contida em D e dá precisamente umavolta no sentido anti-horário em torno de z. Combinando a fórmula de Rodrigues e a Fórmula Integral de Cauchy,obtem-se imediatamenteP l (z) =∫12 l+1 πi C(w 2 −1) ldw , (15.48)(w −z)l+1onde C é uma curva fechada e diferenciável no plano complexo dando uma volta em torno de z no sentido anti-horário.Essa expressão é conhecida como representação integral de Schläfli 9 dos polinômios de Legendre.Uma conseqüência dessa representação é a seguinte expressão:P l (z) = 12π∫ π−π(z +i(1−z 2 ) 1/2 cos(φ)) ldφ, (15.49)válida para |z| < 1. A demonstração dessa expressão será apresentada mais adiante como caso particular de umaidentidade mais geral (expressão (15.59), abaixo), válida para os polinômios de Legendre associados. Como a equação deLegendre é invariante pela mudança l → −(l+1) (verifique que l(l+1) é levado em si mesmo por essa transformação!),vale também a identidade 10 P l (z) = 12π∫ π−π(1) l+1dφ . (15.50)z +i(1−z 2 ) 1/2 cos(φ)Para z real no intervalo [−1, 1], podemos escrever, como é comum em aplicações, z = cos(θ) com 0 ≤ θ ≤ π e com issoas duas identidades acima ficamP l (cos(θ)) = 1 ∫ π () ldφ∫1 π1cos(θ)+isen(θ) cos(φ) = ()2π −π2πl+1dφ .−πcos(θ)+isen(θ) cos(φ)Usando o binômio de Newton podemos usar a primeira identidade para escrever P l (cos(θ)) como um polinômio emcosθ e senθ:P l (cos(θ)) = 1 l∑( li2π p)p( ) l−p ( ) p∫ π ( pdφcos(θ) sen(θ) cos(φ))−πp=0==⌊l/2⌋∑q=0⌊l/2⌋∑q=0(−1) q2 2q ( l2q)( 2qq) (cos(θ)) l−2q (sen(θ)) 2q(−1) q l!( ) l−2q ( 2q2 2q (l−2q)!(q!) 2 cos(θ) sen(θ)).15.2.2 Propriedades dos Polinômios de Legendre AssociadosNa Seção 14.3.1, página 651, introduzimos a equação de Legendre associada (14.156) e mostramos que para λ = l ∈ N 0e µ = m ∈ N 0 a mesma possui soluções da formaPl m (z) := (1−z 2 m/2 dm)dz mP l(z) , (15.51)para z ∈ C com |z| < 1, onde P l é o polinômio de Legendre de grau l. É claro que P ml(z) é nulo se m > l (pois P l éum polinômio de grau l). A relação (15.51), como dissemos na Seção 14.3.1, define os chamados polinômios de Legendreassociados 11 , ainda que eles não sejam exatamente polinômios na variável z.9 Ludwig Schläfli (1814–1895).10 Esse argumento envolvendo a transformação l → −(l+1) é ainda incompleto, mas pode-se provar que o lado direito de (15.50) é de fatoigual ao esquerdo, pois é regular e satisfaz a equação de Legendre. Deixamos os detalhes como exercício.11 O leitor deve ser advertido que, lastimavelmente, não há uniformidade na literatura quanto à definição dos polinômios de Legendreassociados. Alguns autores (e.g., [160]) introduzem um fator (−1) m no lado direito de (15.51). Assim, algumas das expressões que obtemosaqui podem diferir das correspondentes encontradas em alguns textos e o leitor deve compará-las cuidadosamente. A definição que seguimosé a recomendada pela American Mathematical Society.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 682/2117Vimos também que, devido à fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre, podemos escrever P ml(z) comoPl m (z) = 1 (2 l l! (1−z2 m/2 dl+m)dz l+m (z 2 −1) l) , (15.52)para z ∈ C com |z| < 1 e 0 ≤ m ≤ l. Lá notamos também que essa expressão faz sentido mesmo para m inteiro negativo,mas tal que −l ≤ m ≤ l. Assim, definimostambém com 0 ≤ m ≤ l e para z ∈ C com |z| < 1. Afirmamos queP −ml(z) = 1 (2 l l! (1−z2 −m/2 dl−m)dz l−m (z 2 −1) l) , (15.53)P −ml(z) = (−1) m (l−m)!(l+m)! Pm l (z) . (15.54)Essa relação é importante por mostrar que P −ml(z) é também uma solução da equação de Legendre associada, por serproporcional a Pl m (z). Fora isso a expressão acima é relevante para as chamadas funções harmônicas esféricas, das quaistrataremos mais abaixo.Apresentaremos duas demonstrações de (15.54), ambas instrutivas. Uma “a força bruta”, usando diretamente asdefinições, é desenvolvida no Apêndice 15.A, página 727. Uma segunda, mais gentil, será vista logo abaixo e usa umarepresentação integral dos polinômios de Legendre associados.• Representações integrais para os polinômios de Legendre associadosNossa intenção agora é obter algumas representações integrais úteis para os polinômios de Legendre associados mas,en passant, encontraremos uma outra demonstração mais gentil da identidade (15.54).As expressões (15.52) e (15.53) envolvem derivadas do tipo dkdz(z 2 −1) l para k = l+m e k = l−m, respectivamente.kProcuremosprimeiramenteexpressar genericamente dk (z 2 −1) l emtermos decertasintegrais. Tomemosprovisoriamentedz kz real no intervalo aberto −1 < z < 1. Pela Fórmula Integral de Cauchy (15.47), podemos escrever 12d kdz k(z2 −1) l = k! ∫(w 2 −1) ldw , (15.55)2πi C (w −z)k+1onde C é uma curva fechada e diferenciável no plano complexo, dando uma volta em torno de z no sentido anti-horário.Escolhemos a curva C dada por C := {w ∈ C| |w−z| = (1−z 2 ) 1/2 }, de modo que podemos escrever todo ponto w deC na formaw = z +i(1−z 2 ) 1/2 e iφcom −π ≤ φ ≤ π. Com isso, a integral em w sobre C pode ser escrita como uma integral em φ e para isso, usa-sedw = −(1−z 2 ) 1/2 e iφ dφ ,w −z = i(1−z 2 ) 1/2 e iφ ,w 2 −1 = −(1−z 2 )(e 2iφ +1)+2iz(1−z 2 ) 1/2 e iφ(= 2 i(1−z 2 ) 1/2) 2eiφ( e iφ +e −iφ= 2i(1−z 2 ) 1/2 e iφ( )z +i(1−z 2 ) 1/2 cos(φ) .2)+2iz(1−z 2 ) 1/2 e iφ12 As idéias que se seguem provavelmente originam-se dos trabalhos de Schläfli. Nossas fontes são [116] e [270], que seguimos com adaptações.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 683/2117Assim,d kdz k(z2 −1) l = k! ∫(w 2 −1) ldw2πi C (w −z)k+1( )) l∫= −(1−z 2 1/2 k! π(2i(1−z 2 ) 1/2 e iφ z +i(1−z 2 ) 1/2 cos(φ)) (2πi −π i(1−z2 ) 1/2 e iφ) e iφ dφk+1e assim,pois∫ π−π= (1−z 2 ) (l−k)/2 2l i l−k k!2π∫ π−π(z +i(1−z 2 ) 1/2 cos(φ)) le i(l−k)φ dφd kdz k(z2 −1) l = (1−z 2 ) (l−k)/2 2l i l−k ∫k! π (lz +i(1−z 2 ) 1/2 ( )cos(φ))cos (l−k)φ dφ , (15.56)2π −π(lz +i(1−z 2 ) cos(φ)) 1/2 sen ((l−k)φ) dφ = 0, pelo fato de o integrando ser uma função ímpar.Aplicando (15.56) às expressões (15.52) e (15.53) de Pl m e P −ml(adotando k = l+m e k = l−m, respectivamente),chegamos a∫Pl m (z) = i−m (l+m)! π (lz +i(1−z 2 ) 1/2 ( )cos(φ))cos −mφ dφ ,2πl! −πe comparando-as, extraímos que∫P −ml(z) = i+m (l−m)! π (lz +i(1−z 2 ) 1/2 ( )cos(φ))cos +mφ dφ ,2πl! −πP ml (z) = (−1) m (l+m)!(l−m)! P−m l(z) . (15.57)Com isso, encontramos uma segunda demonstração de (15.54). As identidades acima foram provadas para z real em−1 < z < 1, mas valem para todo z complexo com |z| < 1 (e mesmo em z = ±1), pois lá Pl m (z) e P −ml(z) têm umaextensão analítica única.Coletemos o que provamos acima. Aplicando (15.55) à definição (15.52) de P ml(z), agora para todo m ∈ Z com−l ≤ m ≤ l, chegamos à expressãoPl m (z) = (l+m)!2 l+1 πil! (1−z2 )∫Cm/2 (w 2 −1) ldw , (15.58)(w −z)l+m+1onde C é uma curva fechada e diferenciável no plano complexo dando uma volta em torno de z no sentido anti-horário.Essa expressão generaliza a representação de Schläfli (15.48) para os polinômios de Legendre. Como conseqüência,estabelecemos também logo acima a representação integral∫Pl m (z) = i−m (l+m)! π (lz +i(1−z 2 ) 1/2 ( )cos(φ))cos mφ dφ , (15.59)2πl! −πválida para |z| < 1 e para todo l ∈ N 0 e todo m ∈ Z com −l ≤ m ≤ l.Assim como a equação de Legendre, a equação de Legendre associada é invariante pela transformação l → −(l +1).Assim, vale também 13P ml (z) =i m ∫l! π2π(l −m)! −π1(z +i(1−z 2 ) 1/2 cos(φ)) l+1cos ( mφ ) dφ , (15.60)13 Esse argumento envolvendo a transformação l → −(l+1) é ainda incompleto, mas pode-se provar que o lado direito de (15.60) é de fatoigual ao esquerdo, pois é regular e satisfaz a equação de Legendre associada. Deixamos os detalhes como exercício.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 684/2117onde acima usamos o fato que (l+m)!l!= (l + m)(l + m − 1)···(l + 1) é levado pela transformação l → −(l + 1) em(−1−l +m)(−2−l+m)···(−l) = (−1) m (l)(l +1)···(l−m+1) = l!(l−m)! .Em aplicações é comum tomar-se z real no intervalo [−1, 1] e escrever z = cos(θ) com 0 ≤ θ ≤ π. Com isso, as duasidentidades acima ficamP ml (cos(θ)) = i−m (l+m)!2πl!∫ π−π(cos(θ)+isen(θ)cos(φ)) lcos(mφ)dφ , (15.61)P ml (cos(θ)) =i m ∫l! π2π(l−m)! −π1(cos(θ)+isen(θ)cos(φ)) l+1cos ( mφ ) dφ . (15.62)Através do binômio de Newton, a primeira identidade pode ser usada para expressar P ml (cos(θ)) como um polinômio emcosθ e senθ:Plm ( )cos(θ)= i−m (l+m)!2πl!−m+|m| (l+m)!= i2 |m| l!l∑p=0( l ( ) l−p ( ) p∫ π ( pcosip) p ( )cos(θ) sen(θ) cos(φ))mφ dφ ,−π⌊ l−|m|2 ⌋∑q=0⌊ l−|m|2= i −m+|m| (l+m)! ∑⌋2 |m|q=0(−1) q ( ) ( )l 2q +|m| (cos(θ) ) l−2q−|m| ( ) 2q+|m|sen(θ)2 2q 2q +|m| q(−1) q ( ) l−2q−|m| ( ) 2q+|m|cos(θ) sen(θ) . (15.63)2 2q (l−2q −|m|)!(q +|m|)!q!Note que i −m+|m| = 1 se m ≥ 0 e i −m+|m| = (−1) m se m < 0, de modo que P ml (cos(θ)) é real se 0 ≤ θ ≤ π. Notetambém que podemos colocar ( sen(θ) ) |m|em evidência em (15.63) e escrever(sen(θ)) 2q=(1 −(cos(θ)) 2 ) q, obtendona somatória um polinômio em cos(θ).A expressão (15.63) é por vezes utilizada na prática para expressar as funções harmônicas esféricas (que definiremosabaixo) como polinômios em cosθ e senθ. Logo adiante faremos uso da mesma no estudo das relações de ortogonalidadedas funções P ml .• A função geratriz dos polinômios de Legendre associadosUsando (15.51), (15.46) e a identidade, válida para m ≥ 0,(prove-a!) é fácil mostrar queválida para todo m ≥ 0.d mdx m(1−2tx+t2 ) −1 2 = (2m)!2 m m! tm (1−2tx+t 2 ) −m− 1 2∞∑l=0P ml+m (x)tl = (2m)!2 m m!(1−x 2 ) m 2(1−2tx+t 2 ) m+1 2, (15.64)E. 15.6 Exercício. Mostre isso. 6Aexpressão(15.64)étambémdenominadafunção geratriz dos polinômios de Legendre associados. Aexpressão(15.64)tem poucas aplicações diretas, mas pode ser usada para demonstrar outras relações sobre os polinômios de Legendreassociados.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 685/2117• Relações de recorrência para os polinômios de Legendre associadosOs polinômios de Legendre associados satisfazem uma série de relações de recorrência. Listemos as mais relevantes:[ ]P m+1 2mxl(x) = √1−x2 Pm l (x)− l(l+1)−m(m−1) P m−1l(x) ,P m+1l+1 (x) = (2l+1)√ 1−x 2 P ml (x)+P m+1l−1 (x) ,(2l+1) √ 1−x 2 P ml (x) = (l+m)(l+m−1)P m−1l−1 (x)−(l−m+1)(l−m+2)Pm−1 l+1 (x) ,(2l+1)xP ml (x) = (l+m)P ml−1(x)+(l−m+1)P ml+1(x) ,2 √ 1−x 2 ddx Pm l (x) = P m+1l(x)−(l+m)(l−m+1)P m−1l(x) .Asdemonstraçõespodemserobtidasdaseguinteforma: 1.apartirdasrelaçõesderecorrênciadospolinômiosdeLegendre(15.41)-(15.45) com uso da definição (15.51); 2. a partir de (15.52) ou, em alguns casos, 3. com o uso da função geratriz(15.64). Deixamos as demonstrações como exercício.E. 15.7 Exercício. Prove todas as relações acima. Sugestão: tente por conta própria seguir as sugestões do últimoparágrafo. Senão, consulte a literatura supracitada, mas com as seguintes precauções: a. diferentes textos apresentamdefinições diferentes dos Pl m , o que conduz a relações de recorrência distintas das de acima; b. nem todos os livros-texto 14provam todas as relações e c. alguns contêm erros. 6• Relações de ortogonalidade para os polinômios de Legendre associadosObteremos agora relações de ortogonalidade para os polinômios de Legendre associados, relações essas de grandeimportância na Análise Harmônica e que inspiram a definição das chamadas funções harmônicas esféricas.A equação de Legendre associada (14.156) é considerada na maioria das aplicações no intervalo [−1, 1], como jámencionamos. A mesma, em analogia com a equação de Legendre, pode ser escrita como((1−x 2 )y ′ (x)) ′ +l(l+1)y(x)− m2y(x) = 0 , (15.65)1−x2 onde aqui já nos restringimos ao caso l ∈ N 0 , m ∈ Z com −l ≤ m ≤ l. Como se vê, temos aqui p(x) = (1 −x 2 ), maspodemos fazer as seguintes escolhas1) q(x) = − m21−x2, r(x) = 1, µ = l(l+1) ,2) q(x) = l(l+1), r(x) =11−x 2, µ = −m2 .Analisaremos essas duas opções em separado. O caso 1 é o mais interessante, especialmente devido a sua aplicação paraas funções harmônicas esféricas. O caso 2 não é de grande interesse e o leitor pode dispensar sua leitura, se o desejar 15 .Caso 1) A primeira questão que aqui se coloca é se a condição (15.23) é satisfeita para funções Pl m (x) e Pl m ′ (x) coml ≤ l ′ , ou seja, se(p(x) Pl m (x)(Pl m ′ (x))′ −Pl m ′ (x)(Pm l (x)) ′)∣ 1∣ = 0 , (15.66)−1com l ≤ l ′ . A maneira mais fácil de discutir isso é escrever x = cos(θ) e, comoddx Pm l (x) = − 1′ sen(θ)ddθ Pml ′ (cosθ),14 Segundo o Houaiss, “livros-textos” ou “livros-texto” são dois plurais gramaticalmente corretos para “livro-texto”, assim como “espaçostempos”e “espaços-tempo” são plurais aceitáveis para “espaço-tempo”.15 O caso 2 é um tanto patológico (pois a função r(x) diverge em ±1 e não é integrável) e é evitado por quase todos os livros-texto.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 686/2117e p(x) = sen(θ) 2 , (15.66) fica(sen(θ) Pl m (cosθ) d dθ Pm l ′ (cosθ)−Pm l (cosθ) d )∣ ∣∣θ=π′dθ Pm l (cosθ) . (15.67)θ=0Agora, por (15.63), P ml (cosθ) é um polinômio trigonométrico, e assim o é também d dθ Pm l (cosθ). Logo, ambos são finitosem θ = 0 e θ = π. Como, porém, senθ anula-se nesses extremos, concluímos que (15.67) é nula, confirmando a validadede (15.23) no caso em questão. Concluímos assim, pelo Teorema 15.1, página 673, que deve valersempre que l ≠ l ′ .∫ 1P m−1l (x)P m ′ (x) dx = 0 (15.68)lInteressamo-nos agora pelo caso l ′ = l. Caso l = l ′ = 0 vale P0 0(x) = 1 e ∫ 1−1 (P0 0 )2 dx = 2. Para calcular∫ 1−1 (Pm l (x)) 2 dx com l > 0 podemos proceder de diferentes maneiras, a mais direta sendo a seguinte. Usando (15.54) eas expressões (15.52) e (15.53) para Pl m e P −ml, respectivamente, escrevemos∫ 1Pl m (x)Pl m (x) dx = (−1) m (l+m)! ∫ 1Pl m (x)P −ml(x) dx(l−m)! −1−1=int. por partes l−m vezes=(−1) m ∫(l +m)! 1( )( )dl+m d2 2l (l!) 2 (l −m)! −1 dx l+m(x2 −1) l l−mdx l−m(x2 −1) l dx(−1) l ∫(l +m)! 1( ) d2l2 2l (l!) 2 (l −m)! −1 dx 2l(x2 −1) l (x 2 −1) l dx===(2l)! (l +m)!2 2l (l!) 2 (l −m)!(2l)! (l +m)!2 2l (l!) 2 (l −m)!22l+1(l+m)!(l−m)! .∫ 1−1(1−x 2 ) l dx( ) 2(2l)!!(2l+1)!!Na terceira linha aplicamos integração por partes l−m vezes. Isso é justificado pois, como facilmente se vê por indução,derivadas como dpdx(x 2 −1) l , com 0 ≤ p < l são proporcionais a (x 2 −1) l−p e, por isso, os termos de fronteira se anulam.p(2l)!Na última passagem usamos o fato que(2l+1)!!= (2l)!!2l+1 e o fato que (2l)!! = 2l l!. Na penúltima passagem usamos aidentidade ∫ 1(1−x 2 ) l dx = 2 (2l)!!−1 (2l+1)!! , (15.69)a qual pode ser provada da seguinte forma. Seja A l := ∫ 1−1 (1−x2 ) l dx. Então, para l > 0,A l :=∫ 1−1(1−x 2 ) l dx =∫ 1−1( ) dx(1−x 2 ) l dxdx∣int. por partes= x(1−x 2 ) l ∣∣1−1} {{ }= 0∫ 1+2l x 2 (1−x 2 ) l−1 dx = −2lA l +2lA l−1 .−1Assim, A l = 2l2l+1 A l−1 e como A 0 = 2, segue (15.69).

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 687/2117Demonstramos, assim, as relações de ortogonalidade∫ 1−1P ml (x)P ml ′ (x) dx = 22l+1(l+m)!(l−m)! δ l, l ′ , (15.70)válidas para todo l, l ′ ∈ N 0 e m, m ′ ∈ Z com −l ≤ m ≤ l e −l ′ ≤ m ′ ≤ l ′ .a mudança de variáveis x = cosθ:É por vezes útil expressar essas relações com∫ π0P ml (cosθ)P ml ′ (cosθ) senθ dθ = 22l+1(l+m)!(l−m)! δ l, l ′ . (15.71)Essa forma das relações de ortogonalidade dos polinômios de Legendre associados será particularmente relevante para asfunções harmônicas esféricas, como veremos adiante.Caso 2) A primeira questão que aqui se coloca é se a condição (15.23) é satisfeita para funções P ml (x) e P m′l (x), com|m| ≠ |m ′ | (lembre-se o leitor que µ = −m 2 e, portanto µ ≠ µ ′ equivale a |m| ≠ |m ′ |), ou seja, se( ) ′p(x) Pl m (x)(Pl m′(x) −Pm ′l (x)(Pl m (x)) ′)∣ ∣1= 0 . (15.72)−1sempre que |m| ≠ |m ′ |. A mesma análise feita para o caso 1 mostra que isso é verdadeiro, confirmando a validade de(15.23) no caso em questão. Concluímos assim, pelo Teorema 15.1, página 673, que deve valer∫ 1−1P ml (x)P m′l (x)∫1π1−x 2 dx = 0, ou seja,0P ml (cosθ)P m′l (cosθ)1dθ = 0, (15.73)sen(θ)sempre que |m| ≠ |m ′ |. A expressão (15.63) ensina-nos que Pl m (cosθ) é proporcional a (senθ) |m| . Logo, como |m| ≠ |m ′ |,sempre haverá no produto Pl m (cosθ)Pl m′1(cosθ) pelo menos um fator senθ para compensar osenθ, o que mostra que ointegrando em (15.73) é limitado. O caso |m ′ | = |m| é um tanto patológico (a integral diverge se m = m ′ = 0), difícil dedemonstrar e sem conseqüências práticas relevantes, de modo que nos limitamos a apresentar o resultado final 16 :∫ 1−10, se |m⎧⎪ ′ | ≠ |m|,Pl m 1 ⎨ ∞, se m ′ = m = 0,(x)Pl m′(x)1−x 2 dx = (−1) mm , se −m′ = m > 0,⎪ 1 (l+m)! ⎩m (l−m)! , se m′ = m > 0.(15.74)Note o leitor que a condição m > 0 só pode ocorrer se l > 0.Como já dissemos, as relações (15.74) são menos importantes na prática que as de (15.70). Essas inspiram umadefinição importante: a das funções harmônicas esféricas.15.2.2.1 As Funções Harmônicas EsféricasNo espaço R n , n ≥ 2, o conjunto de pontos que distam de uma unidade da origem formam a assim chamada esferaunitária 17 , denotada por S n−1 :{S n−1 := (x 1 , ..., x n ) ∈ R n∣ }∣ (x1 ) 2 +···+(x n ) 2 = 1 .O conjunto S 1 ⊂ R 2 é o círculo unitário e seus pontos podem ser descritos por um único ângulo ϕ com −π ≤ ϕ ≤ π:{ (cosϕ,S 1 ):= senϕ ∈ R 2 , −π ≤ ϕ ≤ π}.16 Para uma referência mais detalhada, vide [176], pag. 74.17 Há aqui um abuso de linguagem, pois S n−1 é, estritamente falando, a superfície da esfera.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 688/2117Como se vê, os pontos correspondentes a ϕ = ±π são identificados. O conjunto S 2 ⊂ R 3 é a esfera unitária e seus pontospodem ser descritos por dois ângulos: ϕ e θ, com −π ≤ ϕ ≤ π e 0 ≤ θ ≤ π:{ (sen(θ)cos(ϕ),S 2 ):= sen(θ)sen(ϕ), cos(θ) ∈ R 3 , −π ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π}.Novamente, os pontos correspondentes a ϕ = ±π são identificados e para os pontos correspondentes a θ = 0 e θ = π oângulo ϕ é indeterminado.AschamadasFunções Harmônicas Esféricas,ousimplesmenteHarmônicas Esféricas(ouaindaHarmônicos Esféricos),são as funções definidas por√Yl m (θ, ϕ) := (−1) m 2l+1 (l−m)!4π (l+m)! Pm l (cos(θ)) e imϕ , (15.75)onde 0 ≤ θ ≤ π, −π ≤ ϕ ≤ π, l ∈ N 0 e m ∈ Z com −l ≤ m ≤ l. Note-se queY 0l (θ, ϕ) =√2l+14π P l(cos(θ)) , (15.76)onde P l são os polinômios de Legendre. As funções harmônicas esféricas foram introduzidas por Mehler 18 .Mais uma vez o leitor deve ser advertido da existência de outras convenções sobre a definição das funções harmônicasesféricas. Essas funções são empregadas em diversas áreas de pesquisa, como na Física Atômica, no Eletromagnetismo,na Geofísica, na Geodesia, na Sismologia, no estudo do magnetismo terrestre e planetário e, mais modernamente, naCosmologia, no estudo da radiação cósmica de fundo. Assim, diferentes comunidades empregam por vezes convençõesdiferentes quanto à normalização das funções harmônicas esféricas. A que adotamos é a mais freqüentemente empregadana Física Quântica, mas mesmo lá há excessões: alguns autores substituem o fator (−1) m por i m na definição (15.75).Outros não incluem o fator (−1) m na definição das funções harmônicas esféricas, mas sim na definição dos polinômiosde Legendre associados o que, afinal, resulta no mesmo. O fator de fase (−1) m , que adotamos em (15.75) é denominadofase de Condon-Shortley 19 em referência aos autores de um texto clássico sobre espectros atômicos (ref. [47]).As funções harmônicas esféricas são solução da equação diferencial parcial(1 ∂(senθ) ∂Y )senθ ∂θ ∂θ (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y+(senθ) 2 ∂ϕ2(θ, ϕ)+l(l+1)Y(θ, ϕ) = 0 , (15.77)que é encontrada quando da resolução da equação de Helmholtz ou de Laplace em três dimensões em coordenadasesféricas, assim como no problema do átomo de hidrogênio na Mecânica Quântica ou qualquer outro problema quânticoem três dimensões no qual o potencial seja esfericamente simétrico. Vide equação (20.45) e seguintes.É um exercício relevante verificar que, devido à relação (15.54), tem-se, com a definição acima,As primeiras funções harmônicas esféricas sãoY ml(θ, ϕ) = (−1) m Y −ml(θ, ϕ) . (15.78)Y0 0 1(θ, ϕ) = √ , (15.79)4πY −22=Y −11 (θ, ϕ) =√1532π( sen θ) 2e −2iϕ , Y−12√38π senθe−iϕ , Y 01 (θ, ϕ) =√ √334π cosθ , Y 1 1 (θ, ϕ) = −8π senθeiϕ , (15.80)√ √15= senθ cosθ e −iϕ , Y2 0 5( 3 = ( ) 21)√ √cosθ − , Y 1 152 = − senθ cosθe iϕ , Y 2 152 = ( ) 2e 2iϕ senθ .8π4π 2 28π32π(15.81)• Relação com séries de FourierNo círculo unitário S 1 valem as bem-conhecidas relações de ortogonalidade∫ ∫ πe m ′ e m dl = e m ′(ϕ) e m (ϕ) dϕ = δ m,m ′ (15.82)S 118 Gustav Ferdinand Mehler (1835–1895).19 Edward Uhler Condon (1902–1974). George H. Shortley (?–?).−π

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 689/2117onde, para m ∈ Z,e m (ϕ) := 1 √2πe imϕ , −π ≤ ϕ ≤ π ,dl = dϕ sendo a medida de comprimento do círculo unitário S 1 . Usando as relações de ortogonalidade (15.82) e asrelações de ortogonalidade (15.71), é fácil constatar que∫ ∫ π ∫ πYl m dΩ = Yl m′ (θ, ϕ) Y m′ l (θ, ϕ) sen(θ)dθdϕ = δ m,m ′ δ l,l ′ (15.83)Yl m′′S 2−π0para todos l, l ′ ∈ N 0 e todos m, m ′ ∈ Z com −l ′ ≤ m ′ ≤ l ′ e −l ≤ m ≤ l, onde dΩ = sen(θ)dθdϕ é a medida de áreana esfera unitária S 2 em coordenada polares. Essas são as relações de ortogonalidade das funções harmônicas esféricas,as quais desempenham um relevante papel na resolução de problemas envolvendo certas equações diferenciais parciaisem três dimensões que tenham simetria esférica. As funções harmônicas esféricas surgem na importante solução de umproblema fundamental da Mecânica Quântica, o problema do átomo de hidrogênio. As formas dos orbitais eletrônicos,de importância fundamental no estudo de átomos e moléculas e suas ligações químicas, estão intimamente relacionadasàs funções Y ml(θ, ϕ) e aos polinômios de Laguerre associados.Como se percebe da comparação de (15.82) com (15.83), as funções harmônicas esféricas desempenham na esferaunitária S 2 o mesmo papel que as funções e m desempenham no círculo S 1 : formam um conjunto ortonormal em relaçãoà medida de área dΩ = sen(θ)dθdϕ. Assim como as funções e m formam um conjunto ortonormal completo para asfunções definidas em S 1 , o que nos permite expressar funções f(ϕ), periódicas de período 2π, contínuas por partes ouapenas de quadrado integrável, em termos de uma série de Fourier:f(ϕ) =∞∑m=−∞c m e m (ϕ) com c m :=∫ π−πe m (ϕ) f(ϕ) dϕ ,as funções harmônicas esféricas também formam um conjunto ortonormal completo para as funções definidas em S 2 .Assim, em um sentido a ser precisado, todas as funções f(θ, ϕ) definidas em S 2 , e que sejam contínuas por partes ouapenas de quadrado integrável, podem ser escritas em termos de uma série envolvendo funções harmônicas esféricas.Essa série é dada porf(θ, ϕ) =∞∑l∑l=0 m=−lc l,m Y ml (θ, ϕ), com c l,m :=∫ π ∫ π−π0Y ml(θ, ϕ) f(θ, ϕ) sen(θ)dθdϕ ,e é uma espécie de generalização para a esfera S 2 da série de Fourier. Essas considerações justificam a denominação de“funções harmônicas esféricas” para as funções Y ml .As funções harmônicas esféricas também desempenham um papel na teoria de representações do grupo SO(3). Hátambémgeneralizaçõesdasfunçõesharmônicasesféricasparaasesferas S n comn ≥ 3. Essasgeneralizaçõessãoestudadas,por exemplo, em [116].• A paridade das funções harmônicas esféricasA transformação que leva cada vetor ⃗x ∈ R 3 no vetor −⃗x ∈ R 3 é freqüentemente denominada operação de paridadeou inversão de paridade ou troca de paridade. Trata-se, evidentemente, de uma reflexão em torno da origem. No contextoda Mecãnica Quântica é importante estudar como funções de onda transformam-se por tal reflexão. Para coordenadasesféricas (r, θ, ϕ) a inversão de paridade é a transformação (r, θ, ϕ) ↦−→ (r, π −θ, ϕ+π). Verifique!Vamos determinar a forma como as funções harmônicas esféricas transformam-se pela inversão de paridade. Com atransformação θ ↦→ π −θ, temos cos(θ) ↦→ −cos(θ) e sen(θ) ↦→ sen(θ). Com isso, vemos imediatamente de (15.63) que( )cos(π −θ) = (−1) l−|m| P m ( )cos(θ) .P mlAo mesmo tempo, é claro que e im(ϕ+π) = (−1) m e imϕ . Segue desses dois fatos e da definição (15.75) das funçõesharmônicas esféricas queYlm ( )π −θ, ϕ+π = (−1) l Yl m (θ, ϕ) , (15.84)pois −|m| + m é sempre um número par (igual a 0 ou a 2m, caso m seja positivo ou negativo, respectivamente). Aexpressão (15.84) indica a forma como as funções harmônicas esféricas transformam-se por troca de paridade.l

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 690/211715.2.2.2 Fórmula de Adição de Funções Harmônicas EsféricasOapolinômiosde Legendre e as funçõesharmônicasesféricaspossuem umapropriedade especial utilizada naEletrostática(na chamada expansão de multipolos, vide página 692) e na Mecânica Quântica, o chamado teorema de adição defunções harmônicas esféricas, ou fórmula de adição de funções harmônicas esféricas. No que segue apresentaremos ademonstração dessa propriedade. Começamos com uma observação sobre o operador Laplaciano.• Invariância por rotações do Laplaciano( Consideremos um sistema de coordenadas Cartesianas em R 3 onde cada ponto do espaço é descrito por uma triplax1)x 2 definidas em relação a um sistema de coordenadas ortonormais ˆx, ŷ e ẑ. Por uma rotação desse sistema dex 3( x′ )1( x1)coordenadas, as coordenadas de cada ponto do espaço são transformadas segundo = R x 2 , onde R é umax 3matriz ortogonal, ou seja, satisfazendo R T R = RR T = 1. Assim, para cada i = 1, 2, 3 vale x ′ i =x ′ 2x ′ 33∑R ij x j . Note quepara todos a e b vale ∂ x′ a∂x b= R ab , que são constantes. Com isso, é fácil ver que o operador Laplaciano em coordenadasCartesianas é invariante por rotações. De fato,∆ =3∑∂ 2∂x 2 k=1 k=3∑3∑3∑k=1 l=1 m=1∂ x ′ l∂x k∂ x ′ m∂x k∂∂∂x ′ l∂x ′ m==3∑3∑3∑k=1 l=1 m=13∑3∑3∑l=1 m=1(k=1R lk R mk∂∂x ′ lR lk R T km)∂∂x ′ m∂∂∂x ′ l∂x ′ mj=1=3∑ 3∑ (RRT ) lml=1 m=1∂ ∂∂x ′ l∂x ′ m=3∑3∑l=1 m=1δ lm∂∂x ′ l∂∂x ′ m=3∑l=1∂ 2∂x ′2l= ∆ ′ ,como queríamos provar. O operador Laplaciano pode ser escrito em coordenadas esféricas como∆ = 1 (∂r 2 r 2 ∂ )+ 1 ∂r ∂r r 2L2 , onde L 2 := 1 (∂(senθ) ∂ )1 ∂ 2+senθ ∂θ ∂θ (senθ) 2 ∂ϕ 2 . (15.85)Como a coordenada radial é invariante por rotações, concluímos que(L 2 = (L 2 ) ′ 1 ∂, ou seja, (senθ) ∂ )+senθ ∂θ ∂θ1 ∂ 2 ((senθ) 2 ∂ϕ 2 = 1 ∂senθ ′ ∂θ ′ (senθ ′ ) ∂ )∂θ ′ +1 ∂ 2(senθ ′ ) 2 ∂ϕ ′2 .Acima θ e θ ′ são os ângulos polares em relação aos eixos definidos por ẑ e ẑ ′ , respectivamente, e ϕ e ϕ ′ são os correspondentesângulos azimutais.O estudante familiarizado com a Mecânica Quântica há de perceber que o uso da notação L 2 para denotar a parteangular do operador Laplaciano provém da forma do operador momento angular orbital (ao quadrado) em coordenadasesféricas de um sistema composto por uma partícula.Para o que segue o estudante deve recordar também que, segundo (15.77) (vide também a equação (20.45) e seguintes,página 891), as funções harmônicas esféricas satisfazem L 2 Yl m (θ, ϕ) = l(l+1)Yl m (θ, ϕ).• Fórmula de adição de funções harmônicas esféricasSejam ˆn e ˆn ′ dois versores em R 3 . Suas coordenadas Cartesianas em relação a algum sistema de referência ortogonaldefinidoportrêsversores ˆx, ŷ eẑ podemserescritasemtermosdosângulospolareazimutaldeumsistemadecoordenadasesféricas obtidas da maneira usual a partir do eixo definido por ẑ comoˆn := ( sen(θ)cos(ϕ), sen(θ)sen(ϕ), cos(θ) ) e ˆn ′ := ( sen(θ ′ )cos(ϕ ′ ), sen(θ ′ )sen(ϕ ′ ), cos(θ ′ ) ) .

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 691/2117Seja θ ′′ o ângulo entre as direções que estes vetores definem, de sorte que ˆn · ˆn ′ = cosθ ′′ . Naturalmente, escrevendoexplicitamente o produto escalar ˆn· ˆn ′ em termos das componentes de ˆn e ˆn ′ , obtemosexpressão essa que relaciona θ ′′ aos ângulos θ, ϕ, θ ′ e ϕ ′ .cosθ ′′ = cosθ cosθ ′ + senθ senθ ′ cos(ϕ ′ −ϕ) ,Se realizarmos uma rotação do sistema de coordenadas de modo a fazer o versor ˆn coincidir com o novo eixo ẑ ′′ , ascoordenadas que descreverão o vetor ˆn serão (0, 0, 1) e, como o ângulo entre ˆn e ˆn ′ é preservado, as coordenadas quedescreverão o vetor ˆn ′ serão ( sen(θ ′′ )cos(ϕ ′′ ), sen(θ ′′ )sen(ϕ ′′ ), cos(θ ′′ ) ) .Denotamos por (L 2 ) ′ o operador diferencial definido em (15.85) referente às coordenadas θ ′ e ϕ ′ e por (L 2 ) ′′ correspondenteooperadordiferencial referente àscoordenadas θ ′′ e ϕ ′′ . Como mencionamos acima, a invariânciado Laplacianopor rotações de sistemas de coordenadas implica (L 2 ) ′ = (L 2 ) ′′ .Sendo uma função contínua de θ ′ e ϕ ′ , a função P l (cosθ ′′ ) = P l(cosθ cosθ ′ + senθ senθ ′ cos(ϕ ′ −ϕ) ) pode serdesenvolvida em série de funções harmônicas esféricasP l (cosθ ′′ ) =∞∑n∑n=0m=−nmas só comparecem acima termos com n = l, a saber, tem-sec nm (θ, ϕ) Y m n (θ ′ ,ϕ ′ ) (15.86)P l (cosθ ′′ ) =l∑m=−lc lm (θ, ϕ) Y ml (θ ′ , ϕ ′ ) . (15.87)Para provar√(15.87) notamos que P l (cosθ ′′ ) satisfaz (L 2 ) ′′ P l (cosθ ′′ ) = l(l + 1)P l (cosθ ′′ ) pois, devido a (15.76), tem-seP l (cosθ ′′ ) =l (θ′′ , ϕ ′′ ). Dessa forma,4π2l+1 Y 0l(l+1)∞∑n∑n=0m=−nAssim, estabelecemos quec nm (θ,ϕ)Y m n (θ ′ , ϕ ′ ) = l(l+1)P l (cosθ ′′ ) = (L 2 ) ′′ P l (cosθ ′′ ) = (L 2 ) ′ P l (cosθ ′′ )∞∑=∞∑n∑n=0m=−nn∑n=0m=−nc nm (θ, ϕ)(L 2 ) ′ Y m n (θ ′ , ϕ ′ ) =∞∑n∑n=0m=−n[ ]l(l+1)−n(n+1) c nm (θ, ϕ) Yn m (θ ′ , ϕ ′ ) = 0 ,c nm (θ, ϕ)n(n+1)Y m n (θ ′ , ϕ ′ ) .o que implica que para todos θ e ϕ tem-se c nm (θ, ϕ) = 0 sempre que n(n+1) ≠ l(l +1), ou seja, sempre que n ≠ l (aoutra solução para n da equação n(n+1)−l(l +1) = 0 é n = −l−1, que é negativa e, portanto, deve ser descartada).Isso estabeleceu (15.87).De maneira totalmente análoga é possível estabelecer queY ml (θ ′ , ϕ ′ ) =l∑q=−la m lq(θ, ϕ)Y ql (θ′′ , ϕ ′′ ) . (15.88)Por (15.86) e usando as relações de ortogonalidade das funções harmônicas esféricas, temosc lm (θ, ϕ) =√Lembrandopor(15.76)queP l (cosθ ′′ ) =esféricas, obtemos,∫P l (cosθ ′′ )Yl m (θ ′ , ϕ ′ )dΩ (15.88)=4π2l+1 Y 0l∑∫a m lq (θ, ϕ)q=−lP l (cosθ ′′ )Y ql (θ′′ , ϕ ′′ ) dΩ ′′ .l (θ′′ , ϕ ′′ )eusandoasrelaçõesdeortogonalidadedasfunçõesharmônicasc lm (θ, ϕ) =√4π2l+1 am l0(θ, ϕ) . (15.89)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 692/2117No caso em que ˆn = ˆn ′ tem-se, naturalmente, θ = θ ′ e ϕ = ϕ ′ , mas também tem-se θ ′′ = 0. A expressão (15.88)afirma, então, quel∑Yl m (θ, ϕ) = a m qlq(θ, ϕ) Yl (0, ϕ′′ ) .Agora, pela definição (15.75), valeComo P ql√4π2l+1 Y mq=−lY ql (0, ϕ′′ ) = (−1) q √2l+14πm(1) = 0 para q ≠ 0 e P0 l (1) = 1, obtemos Yl (θ, ϕ) =l (θ, ϕ). Levando isso a (15.89), obtemosPortanto, obtemos por (15.86)√(l−q)!(l+q)! Pq l (1) eiqϕ′′ .c lm (θ, ϕ) = 4π2l +1 Y ml(θ, ϕ) ,P l (cosθ ′′ ) = 4π2l+1l∑m=−lComo P l (cosθ ′′ ) é real, podemos escrever isso também na formaP l (cosθ ′′ ) = 4π2l+1l∑m=−l√2l+14πY ml(θ, ϕ)Y ml (θ ′ , ϕ ′ ) .a m l0(θ, ϕ) e, portanto, a m l0 (θ, ϕ) =Y ml(θ ′ , ϕ ′ )Y ml (θ, ϕ) . (15.90)Esta é a chamada fórmula de adição das funções harmônicas esféricas ou teorema de adição das funções harmônicasesféricas. Note que (15.90) afirma também queou seja,P l (cosθ ′′ ) =l∑m=−lP l (cosθ ′′ ) = P l (cosθ)P l (cosθ ′ )+2(l−m)!(l+m)! Pm l (cosθ)P ml (cosθ ′ )e im(ϕ′ −ϕ) , (15.91)Para o caso em que θ = θ ′ e ϕ = ϕ ′ tem-se θ ′′ = 0 e a relação (15.90) informa quel∑m=−ll∑m=1(l−m)!(l+m)! Pm l (cosθ)P ml (cosθ ′ ) cosm(ϕ ′ −ϕ) . (15.92)|Yl m (θ, ϕ)| 2 = 2l+1 , (15.93)4πrelação esta válida para todos θ e ϕ. Essa relação é por vezes denominada regra de soma de quadrados de funçõesharmônicas esféricas.• Aplicação à Eletrostática. Expansão de multipolosApresentaremos aqui uma aplicação da fórmula de adição de harmônicos esféricos à Eletrostática.Sejam ⃗x e ⃗x ′ dois vetores em R 3 cujas componentes Cartesianas escritas em termos de um sistema de coordenadasesféricas sejam⃗x = ( rsen(θ)cos(ϕ), rsen(θ)sen(ϕ), rcos(θ) ) e ⃗x ′ = ( r ′ sen(θ ′ )cos(ϕ ′ ), r ′ sen(θ ′ )sen(ϕ ′ ), r ′ cos(θ ′ ) ) .Naturalmente, para ⃗x ≠ ⃗x ′ vale1‖⃗x−⃗x ′ ‖ = 1⎪⎨√ =‖⃗x‖2 +‖⃗x ′ ‖ 2 −2⃗x·⃗x ′ ⎪⎩⎧1r√1−2 ( r ′r1)cosθ′′+ ( r ′r) 2, se r ′ < r ,1 1√r ′ 1−2 ( )rr cosθ′′+ ( ), se r < r ′ ,r 2 ′ r ′

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 693/2117onde θ ′′ é o ângulo entre ⃗x e ⃗x ′ (de sorte que ⃗x·⃗x ′ = rr ′ cosθ ′′ ).Usando a expressão (15.46), página 680, a fórmula da função geratriz dos polinônios de Legendre, escrevemos∑⎧⎪ ∞ r ′lr l+1 P l(cosθ ′′ ) , se r ′ < r ,1 ⎨l=0‖⃗x−⃗x ′ ‖ = ∞∑ r l⎪ ⎩ r ′l+1 P l(cosθ ′′ ) , se r < r ′ .Podemos agora fazer uso da fórmula de adição (15.90) e obter∞∑ l∑4π⎧⎪1 ⎨l=0 m=−l‖⃗x−⃗x ′ ‖ = ⎪ ⎩4π∞∑l∑l=0 m=−ll=01( ) (r ′l Yl m (θ2l+1′ , ϕ ′ Y m )l(θ, ϕ))r l+1 , se r ′ < r ,(12l+1Y ml(θ ′ , ϕ ′ )r ′l+1)(r l Y ml (θ, ϕ) ) , se r < r ′ .(15.94)O interesse na expressão acima reside no fato de que as contribuições de ⃗x e ⃗x ′ ocorrem de forma fatorizada em cadatermo das somas em l e m (os fatores entre parênteses).Vams agora aplicar as expressões acima à Eletrostática (como referências gerais citamos [126], [90] ou [223]). Sejadada uma distribuição de cargas ρ(⃗x ′ ) e vamos supor que ao potencial elétrico φ(⃗x) não é imposta nenhuma condiçãode contorno, exceto anular-se no infinito. Sabemos que em tal caso a equação de Poisson 20 ∆φ = − ρ ǫ 0tem por soluçãoφ(⃗x) = 14πǫ 0∫ρ(⃗x ′ )‖⃗x−⃗x ′ ‖ d3 ⃗x ′ se ρ decair a zero suficientemente rápido no infinito.Se ρ tiver suporte compacto, de forma que para algum R > 0 tenha-se ρ(⃗x ′ ) = 0 para todo ⃗x ′ com ‖⃗x ′ ‖ > R, entãopara todo ⃗x satisfazendo ‖⃗x‖ > R podemos usar (15.94) (para o caso r ′ < r) e escreverφ(⃗x) = 1 ∑∞ l∑( )Q lm Yml (θ, ϕ)ǫ 0 2l+1 r l+1 , (15.95)ondeQ lm :=∫( )ρ(⃗x ′ ) r ′l Yl m (θ ′ , ϕ ′ ) d 3 ⃗x ′ =l=0 m=−l∫ ∞ ∫ π ∫ 2π000ρ(r ′ , θ ′ , ϕ ′ ) (r ′ ) l+2 Y ml(θ ′ , ϕ ′ ) senθ ′ dϕ ′ dθ ′ dr ′ . (15.96)A expansão (15.95) é denominada expansão de multipolos para o potencial φ. Os coeficientes Q lm dados em (15.96) sãodenominados momentos de multipolo.Usando que Y0 0 = √ 14π, vemos que primeiro termo da expansão de multipolos (correspondente ao termo com l = 0) éQ√ 00 1ǫ 0 4π r sendo que, por (15.96), Q ∫00 = √ 14π ρ(⃗x ′ ) d 3 ⃗x ′ = Q √total4π, sendo Q total a carga total da distribuição ρ. Percebemosque o primeiro termo da expansão de multipolos corresponde à bem-conhecida Lei de Coulomb 21 e podemos assimcompreender os demais como sendo correções a essa lei para distribuições de carga gerais ρ.Mais detalhes sobre usos da expansão de multipolos na Eletrostática podem ser encontrados em bons livros deEletromagnetismo (e.g. [126], [90] ou [223]).15.2.3 Propriedades dos Polinômios de Hermite• Relações de ortogonalidade para os polinômios de Hermite( ′A equação de Hermite e −x2 y (x)) ′ + λe−x 2 y(x) = 0 é tipicamente considerada no intervalo J = (−∞, ∞). Aqui20 Siméon Denis Poisson (1781–1840).21 Charles Augustin de Coulomb (1736–1806).

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 694/2117p(x) = e −x2 , q(x) = 0, r(x) = e −x2 e µ = λ. Note que p(x) > 0 e r(x) > 0 em todo J = (−∞, ∞). Os polinômios deHermite H m (x) foram definidos 22 em (14.20) porH m (x) :=⌊m/2⌋∑k=0(−1) k m!k!(m−2k)! (2x)m−2k . (15.97)onde ⌊m/2⌋ é o maior inteiro menor ou igual a m/2, e são soluções da equação de Hermite com µ = 2m.Como p(x) decai a zero para x → ±∞ e os H m (x) são polinômios, vale para os polinômios de Hermite a relação(15.23) e concluímos pelo Teorema 15.1 que∫ ∞−∞H n (x)H m (x) e −x2 dx = 0 (15.98)para todo n ≠ m, com m, n = 0, 1, 2, 3, .... Para calcular as integrais acima no caso n = m, podemos elegantementeusar as relaçõesH n+1 (x) = 2xH n (x)−2nH n−1 (x) , (15.99)as quais serão provadas mais abaixo (expressão (15.106)). Seja A n := ∫ ∞−∞ (H n(x)) 2 e −x2 dx. Tem-se que2nA n−1 =(15.99)==(15.99)=∫ ∞−∞∫ ∞−∞∫ ∞−∞∫ ∞−∞(2nHn−1 (x) ) H n−1 (x) e −x2 dx(2xHn (x) ) ∞H n−1 (x) e dx−∫ −x2 H n+1 (x)H n−1 (x) e −x2 dx−∞} {{ }=0 por (15.98)H n (x) ( 2xH n−1 (x) ) e −x2 dx∫ ∞H n (x)H n (x) e −x2 dx+(2n−2) H n (x)H n−2 (x) e −x2 dx−∞} {{ }=0 por (15.98)= A n .Logo, A n = (2n)A n−1 , ou seja, A n = (2n)!!A 0 = 2 n n!A 0 . Como A 0 = ∫ ∞−∞ e−x2 dx = √ π, concluímos que∫ ∞−∞H n (x)H m (x) e −x2 dx = 2 n n! √ π δ n,m , (15.100)para todos m, n ≥ 0. Estas são as relações de ortogonalidade dos polinômios de Hermite.Na Seção 35.6, página 1724, é demonstrada a importante propriedade de completeza dos polinômios de Hermite noespaço de Hilbert L 2 (R, e −x2 dx).• A função geratriz exponencial dos polinômios de HermiteVamos aqui considerar a função geratriz exponencial dos polinômios de Hermite e provar que a mesma satisfaz∞∑n=0H n (x)n!t n = e 2xt−t2 . (15.101)22 Advertência. Nestas notas usamos a chamada “definição física” dos polinômios de Hermite. Há uma outra convenção, usada especialmentena Teoria das Probabilidades, que difere da definição usada em Física por um fator constante e por um reescalonamento do argumento.O leitor deve, por isso, ter cuidado ao comparar nossas expressões com outras usadas em textos da Teoria das Probabilidades.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 695/2117Usando-se diretamente (15.97) e separando-se na soma n’s pares de n’s ímpares, segue que∞∑n=0H n (x)n!t n ===∞∑m=0∞∑m=0k=0∞∑H 2m (x)(2m)!m∑∞∑k=0 m=kt 2m +∞∑m=0(−1) k (2x) 2m−2k t 2mk!(2m−2k)!(−1) k (2x) 2m−2k t 2mk!(2m−2k)!H 2m+1 (x)(2m+1)! t2m+1++∞∑m∑m=0k=0∞∑∞∑k=0m=k(−1) k (2x) 2m+1−2k t 2m+1k!(2m+1−2k)!(−1) k (2x) 2m+1−2k t 2m+1k!(2m+1−2k)!m→m+k==∞∑ ∞∑ (−1) k (2x) 2m t 2m+2k ∞∑ ∞∑ (−1) k (2x) 2m+1 t 2m+1+2k+k!(2m)!k!(2m+1)!k=0 m=0(∑ ∞)((−1) k t 2k ∑ ∞k=0k!( ∞)∑ (2xt) n= e −t2 n!n=0m=0k=0m=0) ((2xt) 2m ∑ ∞+(2m)!k=0)((−1) k t 2k ∑ ∞k!m=0)(2xt) 2m+1(2m+1)!= e 2xt−t2 ,como queríamos provar.• Fórmula de Rodrigues para os polinômios de HermitePelas nossas considerações gerais sobre as fórmulas de Rodrigues, podemos presumir que os polinômios H m , por seremortogonais entre si (vide (15.98)), possam ser expressos na forma (15.30) com r(x) = e −x2 , ou seja,dn x2H n (x) = K n e ,dx ne−x2ondeK m sãoconstantesquedependemdanormalizaçãoadotada. Defato, essapressuposiçãoécorretapois, multiplicando(15.101) por e −x2 , obtem-see −(x−t)2 =∞∑ H m (x)e −x2t m . (15.102)m!m=0Encarando o lado direito como a expansão em série de Taylor em t, em torno de t = 0, da função do lado esquerdo,concluímos queH n (x)e −x2 = dndt ne−(x−t)2 ∣∣∣∣t=0,dpara todo n ≥ 0. Com a mudança de variável u = x−t,dt = − ddu, ficamos comAssim,H n (x)e −x2 = (−1) n d ndu ne−u2 ∣∣∣∣u=x= (−1) n dndx ne−x2 .H n (x) = (−1) n dn x2e , (15.103)dx ne−x2para todo n ≥ 0. Essa é a fórmula de Rodrigues dos polinômios de Hermite.E. 15.8 Exercício. Prove as relações de ortogonalidade (15.100) usando a relação (15.103), a relação (15.97) e integraçãopor partes. 6

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 696/2117• Relações de recorrência para os polinômios de HermiteTomando-se a derivada em x de (15.103), é elementar constatar queAo mesmo tempo,H ′ n (x) = 2xH n(x)−H n+1 (x) . (15.104)H n+1 (x) = (−1) n+1 dn+1 x2edx n+1e−x2( )= (−1) n+1 dn x2 dedx n dx e−x2(= 2(−1) n dn x2edx n xe −x2)Leibniz= 2(−1) n e x2 n ∑p=0( np) ( dpdx p x ) ( dn−pdx n−p e−x2 )= 2(−1) n e x2 (x dndx n (e −x2) +n dn−1dx n−1 (e −x2))= 2xH n (x)−2nH n−1 (x) .Assim, H n+1 (x) = 2xH n (x)−2nH n−1 (x). Note que, como H 0 (x) = 1 e H 1 (x) = 2x, essa identidade vale também paran = 0. Reunindo isso com (15.104), somos conduzidos a H ′ n (x) = 2nH n−1(x), n ≥ 0. Resumindo, obtemos as seguintesrelações:H ′ n(x) = 2xH n (x)−H n+1 (x) , (15.105)H n+1 (x) = 2xH n (x)−2nH n−1 (x) , (15.106)H ′ n(x) = 2nH n−1 (x) , (15.107)válidas para todo n ≥ 0. Estas expressões são bastante úteis. A relação (15.106), por exemplo, permite obter recursivamentetodos os H n ’s a partir de H 0 (x) = 1 e H 1 (x) = 2x.Segue facilmente de (15.107) que para a p-ésima devivada de H n tem-sep=0H (p)n (x) = 2 p n!(n−p)! H n−p(x) (15.108)para todo p ∈ {0, ..., n}. Verifique! Essa relação tem a seguinte conseqüência: usando-se a expansão em série deTaylor, segue que∞∑ 1n∑ 1H n (x+y) =p! H(p) n (x)yp =p! H(p)(15.108)n∑ 1 n!n (x)yp =p! 2p (n−p)! H n−p(x)y pe, portanto,válida para todos x e y ∈ C e n ∈ N 0 .p=0H n (x+y) =n∑p=0p=0( np)H n−p (x)(2y) p , (15.109)15.2.3.1 As Funções de HermiteAs chamadas funções de Hermite são definidas porh n (x) := c n H n (x)e −x2 /2 , (15.110)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 697/2117com x ∈ N, n ∈ N 0 e ondec n :=1√2n n! √ π .Como podemos aprender na Seção 20.7, página 942, essas funções são as auto-funções normalizadas do operador Hamiltonianopara o oscilador harmônico unidimensional. De acordo com (15.100), essas funções satisfazem∫ ∞−∞h n (x)h m (x) dx = δ n,m (15.111)para todos n, m ∈ N 0 , como facilmente se verifica. Na Seção 35.6.2, página 1726, aprendemos também que essas funçõesformam uma base ortonormal completa no espaço de Hilbert L 2 (R, dx).E. 15.9 Exercício. Usando as relações (15.105)–(15.107) e a definição (15.110), obtenha as relaçõesh ′ n (x) = xh n(x)− √ 2(n+1)h n+1 (x) , (15.112)√n+1hn+1 (x) = √ 2xh n (x)− √ nh n−1 (x) , (15.113)h ′ n (x) = √ 2nh n−1 (x)−xh n (x) , (15.114)para todo n ≥ 0. De (15.112) e (15.114) obtenha também√ √n n+1h ′ n (x) = 2 h n−1(x)− h n+1 (x) . (15.115)2Usando a fórmula de Rodrigues (15.103) para os polinômios de Hermite H n , podemos escreverh n (x) = (−1) n c n e x2 /2 dndx ne−x2 . (15.116)6Essa fórmula pode ser reescrita de uma forma que é mais conveniente para certos propósitos.se f é uma função infinitamente diferenciável, valee x2 /2 d ( ) d ( )dx f(x) = dx −x e x2 /2 f(x) .É muito fácil perceber queVerifique! Assim, tem-se a seguinte relação operatorial:e x2 /2 ddx = ( ddx −x )e x2 /2que nos permite escrever e x2 /2 d ndx= ( dn dx −x) nex 2 /2 . Com isso obtemos a fórmula de Rodrigues para as funções deHermite:(h n (x) = c n x− d ) ne −x2 /2 , (15.117)dxválida para todo n ∈ N 0 . A relação (15.117) pode ser também demonstrada por indução a partir de (15.112). Faça-o!Na Seção 36.2.2, página 1768, provamos que as funções de Hermite são auto-funções da transformada de Fourier, asaber, que valeF[h n ] = (−i) n h n .para todo n ∈ N 0 .*

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 698/2117Em livros de Mecânica Quântica o estudante poderá aprender que algumas das propriedades dos polinômios deHermite e das funções de Hermite que obtivemos acima podem ser provadas com o uso dos chamados operadores decriação e aniquilação.• Outras propriedades das funções de Hermite. A fórmula de MehlerVamosdemonstrar mais algumas identidades úteisarespeito de funções de Hermite e polonômiosde Hermite 23 . Nossoponto de partida é a relaçãoe −x2 = √ 1 ∫ ∞e −s2 +2isx ds . (15.118)π−∞Essa identidade pode ser facilmente demonstrada por integração complexa. Neste texto são apresentadas outras demonstraçõesda mesma, por exemplo, na Proposição 36.8, página 1762, e no Exercício E. 36.42, página 1829.Usando (15.118) em (15.116), obtemosh n (x) = (−2i)n c n e x2 /2√ π∫ ∞−∞s n e −s2 +2isx ds . (15.119)E. 15.10 Exercício. Justifique por que é permitido diferenciar (15.118) sob o símbolo da integral. Algum conhecimento dateoria das Trasformadas de Fourier pode ajudar. Vide Seção 36.2, página 1755. 6Aexpressão(15.119) éuma representação integral das funções de Hermite. Paraospolinômiosde Hermiteela significaH n (x) = (−2i)n e x2√ πque é uma representação integral dos polinômios de Hermite.∫ ∞Por motivos que revelaremos adiante, vamos agora considerar a expressãoU(x, x, z) :=−∞s n e −s2 +2isx ds , (15.120)∞∑h n (x)h n (y)z n (15.121)n=0com x, y ∈ R e z ∈ C com |z| < 1. Antes de prosseguirmos, façamos um breve comentário sobre a convergência dessasérie. Temos por (15.119) que|h n (x)| ≤ 2 2n c n e x2 /2∫ ∞√ s n e −s2 ds (7.17)= 2n/2 Γ ( )n+12 /2ππ 3/4 (n!) 1/2 ex2 ,0onde Γ é a função gama de Euler (Capítulo 7, página 272). Usando na fórmula acima as aproximações de Stirling (7.70)e (7.78) para n! e Γ ( )n+12 , respectivamente, obtemos a estimativa assintótica |hn (x)| ≤ ( 2 1/4 π −1/2) n −1/4 e x2 /2 (válidapara todo n grande o suficiente). No que concerne à dependência em x esta é uma estimativa muito grosseira para |h n (x)|(é possível provar que para todo x ∈ R e todo n ∈ N 0 vale |h n (x)| ≤ K, onde K ≈ 1,086), mas ela é suficiente paraestabelecer que a série no lado direito de (15.121) é absolutamente convergente para x, y ∈ R e z ∈ C com |z| < 1.Retornando a (15.121), usando (15.119) e a definição de c n , temos+y 2 )/2 ∞∑(∫ ∞)(∫ ∞)U(x, x, z) = e(x2 z n (−1) n (2) 2n c 2 n s n e −s2 +2isx ds t n e −t2 +2ity dtπ−∞−∞= e(x2 +y 2 )/2π 3/2= e(x2 +y 2 )/2π 3/2n=0∫ ∞ ∫ ∞e −s2 −t 2 +2i(sx+ty)−∞ −∞∫ ∞ ∫ ∞−∞−∞(∑ ∞)(−2zst) ndsdtn!n=0e −s2 −t 2 +2i(sx+ty)−2zst dsdt (15.122)23 Seguiremos as indicações de [21].

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 699/2117E. 15.11 Exercício. Prove isso e justifique a troca de ordem das integrais com a somatória em n efetuada acima. 6Desejamos agora calcular a integral dupla do lado direito de (15.122). Isso é obtido por completamento de quadradose há mais de uma forma de fazê-lo. Sugerimos escrever-se(−s 2 −t 2 +2i(sx+ty)−2zst = − s+ ( zt−ix )) 2 (− 1−z2 )( t−i y −xz ) 2 ( −x 2 +2xyz −y 2 )1−z 2 +1−z 2 .E. 15.12 Exercício. Proveisso. Issopodeserfeitopartindo-sedoladoesquerdoechegando-seaodireitoporcompletamentode quadrados ou expandindo-se o lado direito e constatando-se que é igual ao esquerdo. 6Com isso, temosU(x, x, z) (15.122)=Agora,e (x2 +y 2 )/2∫ ∞ ∫ ∞π 3/2 −∞ −∞e −s2 −t 2 +2i(sx+ty)−2zst dsdt= 1 (π exp − (1+z2 )(x 2 +y 2 )∫ [ ()−4xyz ∞3/2 2(1−z 2 exp − ( 1−z 2)( t−i y −xz ) ) 2 (∫ ∞ ( ) 2) ]) −∞1−z 2 e − s+(zt−ix)ds dt .−∞∫ ∞−∞( ) 2e − s+(zt−ix)ds = √ π e∫ ∞−∞exp(− ( 1−z 2)( t−i y −xz ) ) 21−z 2 dt =√ π√1−z2 .Vide Corolário 36.1, página 1763, em particular, vide (36.40) . Note-se que Re(1−z 2 ) > 0, pois estamos supondo |z| < 1.Assim, obtemos(1U(x, x, z) =π 1/2√ 1−z exp − (1+z2 )(x 2 +y 2 ))−4xyz2 2(1−z 2 ,)ou seja,(∞∑h n (x)h n (y)z n 1= √n=0 π ( 1−z 2) exp − (1+z2 ) ( x 2 +y 2) )−4xyz2(1−z 2 (15.123))para x, y ∈ R e z ∈ C com |z| < 1. Essa relação é por vezes denominada fórmula de Mehler 24 . Usando-se (15.110),obtemos disso também(∞∑ H n (x)H n (y)z n 1( −z22 n = √n!exp x 2 +y 2) )+2xyz1−z2 1−z 2 . (15.124)n=0Verifique! O lado esquerdo da expressão (15.123) é relevante na Mecânica Quântica (daí nosso interesse pela mesma) porestar relacionada ao chamado propagador do oscilador harmônico unidimensional. Vide página 944.É fácil constatar que (15.123) pode ser reescrita como∞∑[h n (x)h n (y)z n 1= √ exp − 1 ( 1−zπ(1+z)(1−z) 4 1+z (x+y)2 + 1+z )]1−z (x−y)2 . (15.125)n=0Verifique! No limite formal z → 1 a expressão do lado direito aproxima-se de uma seqüência delta de Dirac (compare-secom (36.122), página 1788, com o parâmetro n que ocorre naquela expressão substituido por 1/ √ 2(1−z)) e obtemos∞∑h n (x)h n (y) = δ(x−y) , (15.126)n=0(δ sendo a distribuição delta de Dirac). Essa relação deve ser entendida no sentido de distribuições temperadas (Seção36.3, página 1784) e é uma manifestação da completeza das funções de Hermite em L 2 (R, dx), demonstrada na Seção35.6.2, página 1726.24 Gustav Ferdinand Mehler (1835–1895).

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 700/211715.2.4 Propriedades dos Polinômios de TchebychevOs polinômios de Tchebychev foram introduzidos na Seção 14.1.5, página 613 (vide particularmente a página 614). Ospolinômios de Tchebychev desempenham um papel importante na teoria das aproximações de funções contínuas porpolinômios, mas no tratamento resumido que aqui prentedemos vamos mencionar apenas as relações de ortogonalidadeque eles satisfazem.• Relações de ortogonalidade dos polinômios de TchebychevOs polinômios de Tchebychev podem ser expressos no intervalo [−1, 1] porT m (x) = cos ( marccos(x) ) ,para m ∈ N 0 . Os polinômios de Tchebychev são solução da equação de Tchebychev(1−z 2 )y ′′ (z)−zy ′ (z)+m 2 y(z) = 0para m ∈ N 0 . Como já observamos (vide página 669), a forma canônica de Liouville da equação de Tchebychev é(√ ) ′1−x2 y ′ (x) +m2 1√ y(x) = 0 .1−x2Assim, identificamos p(x) = √ 1−x 2 , q(x) = 0, r(x) = 1/ √ 1−x 2 e µ = m 2 . Por nossas considerações anteriores, devem∫ 11valer relações de ortogonalidade do tipo T m (x)T n (x) √ dx = K nδ m,n para certas constantes K n . De fato, a1−x2mudança de variáveis y = arccos(x) permite-nos escrever∫ 1−1Logo,T m (x)T n (x)√1−x2dx =∫ 1−1−1cos ( marccos(x) ) cos ( narccos(x) )√1−x2∫ 1−1= 1 2∫ π−πdx y=arccos(x)=∫ πcos(my)cos(ny)dy (35.63)=0cos(my)cos(ny)dy⎧⎪⎨⎪⎩πδ 0,m , n = 0, m ∈ N 0 .π2 δ n,m , n, m ∈ N ,1T m (x)T n (x) √ dx = K nδ m,n , (15.127)1−x2com K 0 = π/2 e K n = π para n > 0. Essas são as relações de ortogonalidade dos polinômios de Tchebychev. Devidoàs mesmas, os polinômios de Tchebychev normalizados Q n (x) := T n (x)/ √ K n , n ∈ N 0 , compõe um conjunto ortonormalcompleto no espaço de Hilbert L 2 ((−1, 1),1 √1−x 2 dx ). Disso trataremos na Seção 35.6.1, página 1724.15.2.5 Propriedades dos Polinômios de Laguerre• Relações de ortogonalidade para os polinômios de LaguerreA equação de Laguerre (xe −x y ′ (x)) ′ + λe −x y(x) = 0 é tipicamente considerada no intervalo J = [0, ∞). Para elatem-se p(x) = xe −x , q(x) = 0, r(x) = e −x e µ = λ. Note que p(x) > 0 em J 0 = (0, ∞), e anula-se em x = 0 e no infinito.Além disso, r(x) > 0 em todo J = [0, ∞). Os polinômios de Laguerre foram definidos em (14.140) porm∑L m (x) := (−1) n m! ( mxn! n)n (15.128)n=0e representam soluções da equação de Laguerre em J = [0, ∞) para µ = m. É bastante claro que para os polinômios deLaguerre vale a condição (15.23) e, portanto, pelo Teorema 15.1, segue que∫ ∞0L n (x)L m (x) e −x dx = 0 (15.129)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 701/2117para todo n ≠ m, com m, n = 0, 1, 2, 3, .... Notemos também aqui que (15.129) implica∫ ∞0x k L m (x) e −x dx = 0 (15.130)para todo k < m, pois os monômios x k podem ser escritos como combinações lineares dos polinômios L n ’s com n < m.Para calcular as integrais de (15.129) no caso m = n podemos fazer uso da identidadeque será demonstrada mais abaixo (expressão (15.135)). Com ela, vê-se que(n+1)∫ ∞0L n (x) 2 e −x dx =L ′ n+1 (x) = (n+1)L′ n (x)−(n+1)L n(x) , (15.131)(15.131)∫ ∞0( )L n (x) (n+1)L n (x) e −x dx∫ ∞= (n+1) L n (x)L ′ n(x) e −x dx−0} {{ }=0 por (15.130)∫ ∞0L n (x)L ′ n+1(x) e −x dx∣ ∫int. por partes= −L n (x)L n+1 (x)e −x ∣∣∞ ∞+ L ′ n(x)L n+1 (x) e −x dx0 0} {{ }=0 por (15.130)∫ ∞− L n (x)L n+1 (x) e −x dx0} {{ }=0 por (15.129)= L n (0)L n+1 (0)(15.128)= (n+1)(n!) 2 .Concluímos assim que∫ ∞0L n (x)L m (x) e −x dx = (n!) 2 δ n,m (15.132)para todos n, m ≥ 0. Estas são as relações de ortogonalidade para os polinômios de Laguerre.• Fórmula de Rodrigues para os polinômios de LaguerrePela ortogonalidade dos polinômios de Laguerre (15.129), podemos presumir, sob a luz das considerações da Seção15.1.2, página 675, que os polinômios de Laguerre satisfazem, por (15.28), uma relação como1 d m (L m (x) := K mr(x) dx m r(x)x m) (= K m e x dmdx m x m e −x) , (15.133)onde K m é uma constante dependente da normalização adotada. De fato, pela regra de Leibniz,(e x dmdx m x m e −x) ∑m ( ( ) ( )m d= ep) x m−p dpdx m−pxm dx pe−xp=0=m∑( ) m m!(−1) p p p!p=0x p (15.128)= L m (x) .Assim, K m = 1 e concluímos que(L m (x) = e x dmdx m x m e −x) , (15.134)para todo m ≥ 0. Esta é a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Laguerre.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 702/2117• Relações de recorrência para os polinômios de LaguerrePor (15.134), é elementar constatar queEstabelecemos assim que(L ′ m+1(x) = e x dm+1dx m+1 x m+1 e −x) +e x dm+1 d(x m+1dx m+1 e −x)dx= L m+1 (x)+(m+1)e x dm+1dx m+1 (x m e −x) −e x dm+1dx m+1 (x m+1 e −x)((15.134)= (m+1)e x dm+1dx m+1 x m e −x) = (m+1)e x ddx= (m+1)e x d ( )e −x L m (x)dx= −(m+1)L m (x)+(m+1)L ′ m (x) .d m (dx mx m e −x)L ′ m+1 (x) = (m+1)L′ m (x)−(m+1)L m(x) , (15.135)m ≥ 0. Essa é uma das fórmulas de recorrência para os polinômios de Laguerre, a qual empregamos acima para provaras relações de ortogonalidade (15.132) no caso m = n. Há uma segunda, da qual trataremos agora. Pela fórmula deRodrigues valeL m (x)(15.134)= e x dmdx m (x m e −x) = e x dmdx m [x(x m−1 e −x)]∑m Leibniz= e xp=0( mp) ( dpdx px ) dm−pdx m−p (x m−1 e −x)Estabelecemos queo que também implica (fazendo m → m+1)= e x x dmdx m (x m−1 e −x) +me x dm−1dx m−1 (x m−1 e −x)= e x x d (e −x L m−1 (x) ) +mL m−1 (x)dx= −xL m−1 (x)+xL ′ m−1 (x)+mL m−1(x) .L m (x) = −xL m−1 (x)+xL ′ m−1 (x)+mL m−1(x) (15.136)L m+1 (x) = −xL m (x)+xL ′ m (x)+(m+1)L m(x) . (15.137)Multiplicando ambos os lados de (15.136) por −m e somando o resultado a (15.137), teremos:L m+1 (x)−mL m (x) = −xL m (x)+xL ′ m (x)+(m+1)L m(x)+mxL m−1 (x)−mxL ′ m−1 (x)−m2 L m−1 (x) . (15.138)Por (15.135), os termos xL ′ m(x)−mxL ′ m−1(x) valem x(L ′ m(x)−mL ′ m−1(x)) (15.135)= −mxL m−1 (x). Introduzindo isso devolta a (15.138), inferimos queL m+1 (x) = (2m−x+1)L m (x)−m 2 L m−1 (x) .Resumindo nossas conclusões, estabelecemos as seguintes relações:L ′ m+1(x) = (m+1)L ′ m(x)−(m+1)L m (x) , (15.139)L m+1 (x) = (2m−x+1)L m (x)−m 2 L m−1 (x) . (15.140)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 703/2117Essas relações são denominadas fórmulas de recorrência para os polinômios de Laguerre. A relação (15.140), em particular,permite obter recursivamente todos os L m (x)’s a partir de L 0 (x) = 1 e L 1 (x) = 1−x.• A função geratriz exponencial dos polinômios de LaguerrePartindo de (15.128) obtemos para a função geratriz exponencial dos polinômios de LaguerreL(x, t) :=∞∑m=0L m (x)m!t mo seguinte desenvolvimento 25 :L(x, t) =∞∑ m∑(−1) n 1 ( mxn! n)n t m =m=0n=0=∞∑ ∞∑(−1) n 1 ( mxn! n)n t m (15.141)n=0m=n(∞∑(−1) n xn ∑ ∞ ( )mtn! n)m . (15.142)n=0m=nAgora,∞∑( mn)m=nt m m→m+n===Leibniz==t nn!t nn!t nn!t nn!t nn!∞∑m=0∞∑m=0(m+n)!m!d ndt n tm+nd n ( ) tndt n 1−tt m= tnn!(d n ∑∞dt n t nm=0n∑( ( ) ( )n dp dn−pp)dt ptn dt n−p(1−t)−1p=0p=0t m )n∑( ) ( ) ( )n n! (n−p)!p (n−p)! tn−p (1−t) n−p+1=t n1−tn∑( ) ( ) n−p n t=p 1−tp=0t n1−t(1+ t ) n=1−tt n(1−t) n+1 .Retornando com isso a (15.142), temosL(x, t) =11−t∞∑ (−1) nn=0n!( ) n xt,1−te assim concluímos queL(x, t) =Essa é a função geratriz exponencial dos polinômios de Laguerre.(exp − xt )1−t1−t. (15.143)25 Assumimos |t| e |x| pequenos o suficiente para justificar as diversas manipulações que faremos.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 704/211715.2.6 Propriedades dos Polinômios de Laguerre AssociadosA equação de Laguerre associadaxy ′′ +(m+1−x)y ′ +(n−m)y = 0 , (15.144)com m e n inteiros com 0 ≤ m ≤ n, é tipicamente considerada no intervalo J = [0, ∞). A mesma pode ser ser levada àforma canônica (15.5), transformando-se em(x m+1 e −x y ′ (x)) ′ +(n−m)x m e −x y(x) = 0 .Tem-se, portanto, p(x) = x m+1 e −x , q(x) = 0, r(x) = x m e −x e µ = n − m. Uma alternativa talvez melhor é tomar-sep(x) = x m+1 e −x , q(x) = −mx m e −x , r(x) = x m e −x e µ = n. Note-se que p(x) e r(x) são os mesmos em ambas asescolhas.Os polinômios de Laguerre associados foram definidos em (14.165) e expressões seguintes por 26( )L (m)n (x) = dmdx mL n(x) = dmdx m e x dndx n(xn e −x )com 0 ≤ m ≤ n. O polinômio L (m)ndefinição, tem-sen−m∑= (−1) m (−1) kn!k!k=0( ) nx k , (15.145)m+ké a única solução de (15.144) que é regular em x = 0. É de se notar que, por essaL (0)n (x) = L n(x) (15.146)para todo n ≥ 0 e, portanto, os polinômios de Laguerre são polinômios de Laguerre associados.E. 15.13 Exercício. Mostre queL (m)n (x) = (−1)m n!(n−m)! ex −m dn−m (x x ndx n−m e −x) .6É bastante elementar constatar que, com m fixo, as funções L (m)nJ = [0, ∞). Assim, vale que∫ ∞0com n ≥ m satisfazem (15.23) para o intervaloL (m)n (x)L(m) n ′ (x) xm e −x dx = 0 (15.147)sempre que n ≠ n ′ . Para calcular a integral acima no caso n ′ = n fazemos uso da relação (15.154), que será demonstradalogo adiante. Tomando (15.154), substituindo n → n−1 e multiplicando-a por n −1 L (m)n (x), obtemos(n−m)( ) 2L (m)nn(x) (m)= (2n−m−x−1)L n−1 (x)L(m) n (x)−(n−1)2 L (m)n−2 (x)L(m) n (x) .Tomando (15.154) e multiplicando-a por (n+1) −1 L (m)n−1 (x), obtemos(n+1−m)) 2L (m)n+1n+1(x)L(m) n−1 (x) = (2n−m−x+1)L(m) n (x)L(m) n−1 (x)−n2( L (m)n−1 (x) .Subtraindo uma expressão da outra, obtemos(n−m)(L (m)n (x)n) 2−(n+1−m)n+1L (m)n+1 (x)L(m) n−1 (x)) 2= −2L (m)n−1 (x)L(m) n (x)−(n−1)2 L (m)n−2 (x)L(m) n (x)+n2( L (m)n−1 (x) .26 Mais uma vez advertimos o leitor do fato de haver várias convenções distintas quanto à definição dos polinômios de Laguerre associadosna literatura. Para comparação, polinômios de Laguerre associados definidos em [160], que denotamos aqui por L L m n (x), diferem dos nossosL (m)n (x) da seguinte forma: L L m n (x) = (−1)m(n+m)! L(m) n+m (x).

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 705/2117Multiplicando agora esta expressão por x m e −x , integrando entre 0 e ∞ e usando (15.147), ficamos com∫ ∞0(L (m)n (x)) 2x m e −x dx =n 3(n−m)∫ ∞0(L (m)n−1 (x) ) 2x m e −x dx .A indução pode ser feita diminuindo n até atingir o valor m, de onde extraímos que∫ ∞0(L (m)n (x)) 2x m e −x dx =(n!) 3(m!) 3 (n−m)!∫ ∞0(L (m)m (x)) 2x m e −x dx .Pela última igualdade em (15.145), tem-se L (m)m (x) = (−1) m m!. Ao mesmo tempo, ∫ ∞0x m e −x dx = m!. Assim,∫ ∞Essa expressão pressupõe, naturalmente, 0 ≤ m ≤ n.Concluímos assim que com nossas definições∫ ∞00(L (m)n (x) ) 2x m e −x dx =L (m)n (x)L(m) n ′ (x) xm e −x dx =(n!)3(n−m)! .(n!) 3(n−m)!Essas são as relações de ortogonalidade dos polinômios de Laguerre associados.δ n, n ′ . (15.148)Comentário para o leitor mais avançado. Chamamos à atenção do leitor o fato que as relações de ortogonalidade (15.148)não são as relações de ortogonalidade ( da parte radial das auto-funções de energia do átomo de hidrogênio. Para cadal ≥ 0 as funções ρ l e − ρ (2l+1)2p L ρp+l p), com p ≥ l+1, satisfazem as relações de ortogonalidade,∫ ∞0[ ( )][ (ρ l e − ρ2p ′ L (2l+1) ρp ′ +lp ′ ρ l e − ρ (2l+1)2pρLp+lp)]ρ 2 2p 2l+4 ((p+l)!) 3dρ = δ p,p ′ , (15.149)(p−l−1)!as quais discutiremos na Seção 20.8, página 944. Lamentavelmente, alguns livros-texto discutem incorretamente esseponto quando tratam do átomo de hidrogênio. Uma exceção, um tanto surpreendentemente, é [10].• Uma conseqüência de (15.148) empregada no estudo do átomo de hidrogênioAs relações (15.148) implicam um resultado que é usado no contexto do átomo de hidrogênio. Trata-se do seguinte:no caso n = n ′ (15.148) diz-nos que∫ ∞0(L (m)n (x)) 2x m e −x dx =(n!) 3(n−m)! .No problema do átomo de hidrogênio surge a necessidade de se determinar a integral∫ ∞0(L (m)n (x) ) 2x m+1 e −x dx (15.150)que difere da anterior pois o fator x m é substituído por x m+1 . Essa última integral pode ser calculada empregando-se arelaçãoxL (m)n(x) = −(n+1−m) L (m)n+1n+1(x)+(2n−m+1)L(m) n (x)−n2 L (m)n−1 (x) ,que será provada logo abaixo (expressão (15.154)). Inserindo-a em (15.150) e usando as relações de ortogonalidade(15.148), obtem-se facilmente∫ ∞0(L (m)n (x) ) 2x m+1 e −x dx =(n!) 3(2n−m+1) . (15.151)(n−m)!Essa expressão será usada quando da normalização das auto-funções de energia do átomo de hidrogênio.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 706/2117• Relações de recorrência para os polinômios de Laguerre associadosSe explorarmos a primeira igualdade em (15.145), que define os polinômios L (m)n , algumas fórmulas de recorrênciapara os polinômios de Laguerre associados podem ser obtidas diretamente daquelas dos polinômios de Laguerre listadasem (15.139)-(15.140) simplesmente diferenciando-as m vezes em relação a x. Como facilmente se constata, obtem-seL (m+1)n+1 (x) = (n+1)L (m+1)n (x)−(n+1)L (m)n (x) , (15.152)L (m)n+1 (x) = (2n−x+1)L(m)onde, em (15.152), usamos o fato evidente que L (m)ln (x)−mL (m−1)n′ (m+1) (x) = Ll(x).Tomando (15.152) e trocando m → m − 1, obtem-se L (m−1)n (x) = − 1(15.153), obtem-se(x)−n 2 L (m)n−1 (x) , (15.153)(n+1) L(m) n+1(x) + L(m) n (x). Inserindo isso em(n+1−m)L (m)n+1 (x) = (n+1)(2n−m−x+1)L(m) n (x)−n 2 (n+1)L (m)n−1 (x) . (15.154)Essas relações são denominadas fórmulas de recorrência para os polinômios de Laguerre associados.• A função geratriz exponencial dos polinômios de Laguerre associadosA partir da definição (15.145) e de (15.143) é elementar constatar que a função geratriz exponencial dos polinômiosde Laguerre associados é dada porL as. (x, t) :=∞∑l=mA soma acima começa com l = m pois dmdx m L l (x) = 0 caso m > l.• A equação de Laguerre generalizadaL (m)l(x)t l = (−1)m t m (l! (1−t) m+1 exp − xt )1−tA assim denominada equação de Laguerre generalizada é a equação diferencialzy ′′ (z)+(α+1−z)y ′ (z)+ny(z) .. (15.155)comn ∈ N 0 eα > −1, real. Trata-sedeumavariantedaequaçãodeLaguerreassociada, poisαaquinãoénecessariamenteum inteiro.E. 15.14 Exercício. Mostre que essa equação tem uma solução da forma de um polinômionL α n (z) := ∑( ) n Γ(n+α+1)(−1) k k Γ(k +α+1) zk ,k=0onde Γ é a função Gama de Euler, apresentada no Capítulo 7, página 272. 6E. 15.15 Exercício. Mostre que(L α n(x) = e x −α dnxdx n x n+α e −x) ,x > 0. 6E. 15.16 Exercício. Mostre que ∫ ∞L α n(x)L α m(x) x α e −x dx = 00se m ≠ n. Calcule a integral no caso m = n. 6

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 707/2117E. 15.17 Exercício. Para α = m, inteiro, mostre queL α n (x) = (−1)m(n−m)! L (m)nn!(x) . 615.2.7 Propriedades das Funções de BesselNa presente seção apresentaremos algumas das propriedades mais importantes e mais empregadas das funções de Bessel,especialmente as de ordem inteira. Devido à sua importância em um sem-número de problemas aplicados, as funções deBessel e de Neumann têm sido intensamente estudadas nos últimos duzentos anos e foi coletado um enorme conjunto deinformações sobre as mesmas, gerando uma vasta literatura. Por isso, nossas pretensões aqui são relativamente modestas.Um texto clássico sobre o assunto é [262]. Outros excelentes são [270], [116] e [160], mas todas as referências listadas àpágina 604 tratam do assunto com maior ou menor grau de profundidade.No estudo das propriedades das funções de Bessel J ν (x) procederemos de um modo ligeiramente diferente do quefizemos acima. Isso se dá por várias razões. Uma delas é que as funções de Bessel não são polinômios, ao contrário doscasos de acima. Outra é a natureza das relações de ortogonalidade dessas funções.• OrigensAs funções de Bessel surgem em vários problemas da Física-Matemática, especialmente envolvendo a resolução decertas equações diferenciais em coordenadas cilíndricas. O mais célebre desses problemas é aquele que estuda as vibraçõesde uma membrana circular (um tambor), problema encontrado em vários livros-texto e que estudamos na Seção 20.6,página 940. Esse problema foi tratado pela primeira vez por Euler 27 em 1764, antecedendo a Bessel. Em verdade, certasfunções de Bessel surgiram antes ainda, em 1703, na resolução da chamada equação de Riccati 28 por Jacob Bernoulli 29(vide nota histórica à página 510) e em 1732, em trabalhos de Daniel Bernoulli 30 sobre o problema da corda vibrantee suas variantes (vide problema da corda pendurada na Seção 20.5.2, página 933). O trabalho do astrônomo Bessel 31no qual as funções que levam seu nome foram (re)encontradas é bem posterior e data de 1817, tendo sido publicado em1824 32 .O problema que conduziu Bessel não foi o de resolver uma equação diferencial, mas o de determinar coeficientes deFourier que descrevem a trajetória de um planeta em movimento periódico em uma órbita elíptica em torno do Sol eobedecendo a segunda lei de Kepler 33 , segundo a qual o raio-vetor que conecta o Sol ao planeta em questão varre áreasiguais em tempos iguais 34 . Bessel obteve para esses coeficientes uma expressão integral que é a representação integraldas funções de Bessel que apresentamos em (15.186), mais abaixo. Posteriormente, identificou-se que esses coeficientesrepresentavam as funções previamente tratadas por Daniel Bernoulli e Euler, mas as mesmas acabaram sendo nomeadasem honra a Bessel (segundo [113], o nome de Bessel foi atribuído à equação diferencial por Schlömilch 35 em 1857 eLipschitz 36 em 1859). Em seu trabalho, na verdade, Bessel estendeu resultados anteriores de Lagrange 37 , de 1769, o qualtambém dedicou-se à questão de determinar os coeficientes de Fourier que expressam como função do tempo a distânciaao Sol de um planeta em órbita elíptica, calculando os três primeiros 38 .A determinação desses coeficientes de Fourier não é um mero exercício acadêmico, pois é importante para cálculos, viateoria de perturbações, da influência gravitacional que os planetas exercem entre si e da conseqüente previsão de desviosdas suas órbitas elípticas. O estudo matemático de perturbações periódicas ou quase-periódicas em sistemas mecânicos27 Leonhard Euler (1707–1783).28 Iacopo Francesco Riccati (1676–1754).29 Jacob Bernoulli (1654–1705).30 Daniel Bernoulli (1700–1782).31 Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846).32 F. W. Bessel, “Untersuchungen des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht”. BerlinerAbhandlungen, 1–52 (1824).33 Johannes Kepler (1571–1630).34 Como todo estudante de Física bem sabe, isso é conseqüência da conservação do momento angular sob uma força central.35 Oscar Xavier Schlömilch (1823–1901).36 Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832–1903).37 Joseph-Louis Lagrange (1736–1813).38 Outras informações históricas sobre o desenvolvimento das funções de Bessel podem ser encontradas em [262].

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 708/2117(ou em equações diferenciais, em geral) é um vasto assunto de pesquisa que tem desafiado inúmeros pesquisadores até aatualidade.Bessel é também autor de dois outros importantes feitos científicos, a proposição da existência de estrelas binárias ea medição da distância ao Sol de uma outra estrela.Bessel foi um dos primeiros a propor a existência de estrelas binárias, prevendo em 1834 a existência de uma companheirada estrela Sirius. Tal previsão foi possível em função de medidas de alta precisão, que Bessel produziu duranteanos, da posição de várias estrelas. Tais medidas indicavam um movimento elíptico periódico de Sirius cuja origem nãopoderia ser explicada em termos de movimentos da Terra ou do sistema solar. Bessel propôs que esse movimento eradevido à presença de uma outra estrela menos brilhante nas proximidades de Sirius e que ambas orbitavam em torno docentro de massa comum, explicando assim as observações. Em 1840, Bessel anunciou a observação de tais movimentosperiódicos em outra estrela, a estrela Procyon.A existência da companheira de Sirius foi confirmada por observações feitas em 1862 por A. G. Clark 39 e a de Procyonem 1896, por J. M. Schaeberle 40 , ambas após a morte de Bessel. As estatísticas atuais indicam que cerca de metade dasestrelas da nossa galáxia é composta por estrelas binárias. Há também sistemas triplos de estrelas (α Centauri sendo oexemplo mais popularmente conhecido), quádruplos (ǫ Lyrae) etc.Um problema matemático, levantado pela primeira vez por Laplace 41 em 1785 e ainda hoje em aberto, ao qualnomes como o de Poincaré 42 deram importantes contribuições, é o de saber se sistemas múltiplos como esses, ou como onosso próprio sistema solar, são estáveis. Esse problema deu origem a uma importante área de pesquisa atual, a teoriados sistemas dinâmicos 43 . Métodos como os que Bessel e outros empregaram para a detecção de sistemas binários sãoempregados hoje em dia na detecção de planetas orbitando estrelas, outro tema atual de pesquisa.Bessel foi também o primeiro, em 1838, a determinar a distância ao Sol de uma outra estrela, usando para tal ométodo de paralaxe. A estrela em questão foi 61 Cygni e Bessel calculou sua distância ao Sol como sendo cerca de 10anos-luz. O valor atualmente aceito é de cerca de 10,7 anos-luz, ou 3,3 parsecs 44 . Com esse trabalho, Bessel contribuiupara o estudo das escalas de distância cosmológicas, tarefa em implementação até os nossos dias.• Relações de recorrência para as funções de BesselSeja a função de Bessel J ν (x) definida em (14.106) porJ ν (x) :=∞∑k=0(−1) kk!Γ(k +1+ν)( x2) 2k+ν. (15.156)Consideremos provisoriamente ν diferente de 0 ou de um inteiro negativo (pois Γ(x) diverge se x é um inteiro negativo.Vide Capítulo 7, página 272). Multiplicando J ν por x ν e diferenciando em relação a x, obtem-seddx (xν J ν (x)) = ddx∞∑k=0(−1) kk!Γ(k +1+ν)( 12) 2k+ν(x) 2k+2ν=∞∑k=0(−1) k (k +ν)k!Γ(k +1+ν)( 12) 2k+ν−1(x) 2k+2ν−1= x ν ∞ ∑k=0= x ν J ν−1 (x) .(−1) kk!Γ(k +ν)( x2) 2k+ν−139 Alvan Graham Clark (1832–1897).40 John Martin Schaeberle (1853–1924).41 Pierre-Simon Laplace (1749–1827).42 Jules Henri Poincaré (1854–1912).43 Em verdade, boa parte da topologia moderna foi criada por Poincaré no seu tratamento do problema de estabilidade.44 Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano e corresponde a aproximadamente 9,4610 12 km, ou 9,5 trilhões de quilômetros.Um parsec é definido como a distância de um objeto cuja paralaxe em relação à Terra seja de um segundo de arco, uma medida de distânciausada tradicionalmente na Astronomia. Um parsec corresponde a aproximadamente 3,262 anos-luz, ou 3,0910 13 km.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 709/2117Multiplicando J ν por x −ν e diferenciando em relação a x, obtem-se analogamented (x −ν J ν (x) ) =dx=ddx∞∑k=1∞∑k=0(−1) kk!Γ(k +1+ν)(−1) k(k −1)!Γ(k +1+ν)( 12) 2k+ν(x) 2k( 12) 2k+ν−1(x) 2k−1Provamos assim que, para ν ≠ 0, −1, −2, −3...,= x −ν ∞ ∑k=1(−1) k(k −1)!Γ(k +1+ν)∑k→k+1∞= −x −ν (−1) kk!Γ(k +2+ν)k=0= −x −ν J ν+1 (x) .( x2) 2k+ν−1( x2) 2k+ν+1d (x ν J ν (x) ) = x ν J ν−1 (x) edxd (x −ν J ν (x) ) = −x −ν J ν+1 (x) . (15.157)dxAdotando-se a já mencionada definição J −m (x) = (−1) m J m (x), para m inteiro positivo ou zero, vemos que a expressãoacima também vale para ν = 0, −1, −2, −3....E. 15.18 Exercício. Mostre isso! 6Para ν = 0, a segunda relação em (15.157) diz-nos quee para ν = 1, a primeira relação em (15.157) diz-nos queExpandindo as derivadas em (15.157), teremos queou seja,J ′ 0 (x) = −J 1(x) , (15.158)xJ 0 (x) = d (xJ1 (x) ) . (15.159)dxx ν J ′ ν (x)+νxν−1 J ν (x) = x ν J ν−1 (x) ex −ν J ′ ν (x)−νx−ν−1 J ν (x) = −x −ν J ν+1 (x) ,xJ ′ ν (x) = xJ ν−1(x)−νJ ν (x) e xJ ′ ν (x) = νJ ν(x)−xJ ν+1 (x) . (15.160)Somando e subtraindo essas duas expressões uma da outra obtemos as seguintes relações importantes:J ′ ν(x) = 1 2J ν+1 (x) = 1 x( )J ν−1 (x)−J ν+1 (x) , (15.161)( )2νJ ν (x)−xJ ν−1 (x) . (15.162)Essas relações, válidas para todo ν ∈ C, são denominadas relações de recorrência das funções de Bessel. A segunda delaspermite, por exemplo, obter todas as funções J m com m inteiro positivo a partir de J 0 e J 1 . Na verdade, por (15.158),basta conhecer J 0 e sua derivada.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 711/2117e por indução. Apresentamos uma prova direta de (15.171) para o caso geral. Pela definição de J µ , tem-se∫ 1t µ+1( 1−t 2) ∫ (ν−µ ( ) 1∞(15.156)Jµ xt dt = t µ+1( 1−t 2) ν−µ−1∑00k=0(−1) kk! Γ(k +1+µ)( ) ) 2k+µ xtdt2como queríamos mostrar.=(7.38)===∞∑k=0∞∑k=0(−1) k ( x) 2k+µ∫ 1k! Γ(k +1+µ) 20t 2k+2µ+1( 1−t 2) ν−µ−1dt(−1) k ( x 2k+µ 1 Γ(k +µ+1)Γ(ν −µ)k! Γ(k +1+µ) 2)2 Γ(k +ν +1)Γ(ν −µ)2Γ(ν −µ)2( x2) µ−ν ∞ ∑( x2k=0) µ−νJν (x) ,(−1) k ( x) 2k+νk! Γ(k +1+ν) 2E. 15.20 Exercício. Justifique a troca de integral pela somatória realizada na segunda igualdade acima e entenda por quefazemos a restrição Re(ν) > Re(µ) > −1. 6De (15.171), para µ = 0 e Re(ν) > 0, tem-se o seguinte caso particular relevante de (15.171):J ν (x) = 2 ( x) ν∫ 1Γ(ν) 20t ( 1−t 2) ν−1J0(xt)dt , (15.172)válido para Re(ν) > 0 e para todo x ∈ C. Usando a primeira relação em (14.121), obtemos também, tomando-se µ = 1/2em (15.171),J ν (x) = √ 1 2( x) ν−1∫ 1t ( 1−t 2) ν−3/2sen(xt) dt , (15.173)π Γ(ν −1/2) 2para Re(ν) > 1/2 e x ∈ C. Usando a segunda relação em (14.121), obtemos também, tomando-se µ = −1/2 em (15.171),para Re(ν) > −1/2 e x ∈ C.J ν (x) = √ 1 2( x) ν∫ 1π Γ(ν +1/2) 200(1−t2 ) ν−1/2cos(xt) dt , (15.174)E. 15.21 Exercício. Verifique! 6Mais adiante (vide eqs. (15.202) e (15.203)) usaremos (15.173) e (15.174) para obter certas transformadas de Fourierrelacionadas às funções de Bessel.• A função geratriz das funções de BesselA determinação da função geratriz das funções de Bessel é importante, entre outras razões, por nos permitir obterrepresentações integrais para as funções de Bessel, representações essas que possuem grande relevância em váriasaplicações.Tomemos as funções de Bessel de ordem inteira definidas porJ m (x) :=∞∑k=0(−1) kk!(k +m)!( x) 2k+m, (15.175)2

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 712/2117para m ≥ 0, convencionando-se que J −m (x) = (−1) m J m (x) (vide (14.124) e a discussão que lhe acompanha). Vamosaqui considerar a função geratriz definida porJ(x, t) :=∞∑m=−∞t m J m (x)para t ≠ 0 e vamos provar que∞∑m=−∞( ( xt m J m (x) = exp t− 1 )). (15.176)2 tDessa importante relação serão extraídos vários fatos úteis sobre as funções de Bessel de ordem inteira. Antes deprovarmos isso, mostremos que J(x, t) está bem definida. Por (15.175), valede modo que|J(x, t)| ≤ |J 0 (x)|+|J m (x)| ≤∞∑k=01k!(k +m)!∞∑|t| m |J m (x)|+m=1∣ x 2∞∑1∣t∣m=1∣ 2k+m ≤ 1 ∣ x ∣ m ∑∞m! 2mk=01k!∣ x 2|J m (x)| ≤ |J 0 (x)|+e |x/2|2 ∞ ∑∣ 2k = 1 ∣ x ∣ m e |x/2|2 ,m! 2m=11m!∣xt2m ∑∞ ∣ +e |x/2|2sendo que as últimas somas são convergentes para todo x ∈ C e todo t ∈ C com t ≠ 0, o que prova que J(x, t) é analíticapara todo x ∈ C e todo t ∈ C com t ≠ 0.Podemos com isso demonstrar (15.176) de modo bem simples, tomando a derivada parcial em relação a x de J(x, t),derivando termo a termo na soma (o que é permitido, devido à analiticidade) e usando (15.161):∂∞∂x J(x, t) = ∑m=−∞m=11m!∣ x 2t∣ m ,t m J ′ m(x) (15.177)(15.161)=k=m−1,l=m+1==12t2∞∑m=−∞∞∑k=−∞t m J m−1 (x)− 1 2t k J k (x)− t−12∞∑m=−∞∞∑l=−∞t m J m+1 (x) (15.178)t l J l (x) (15.179)(1t− 1 )J(x, t) . (15.180)2 t∂Assim, J(x, t) satisfaz a equação diferencial∂x J(x, t) = ( 12 t−1t)J(x, t), cuja solução geral é( ( xJ(x, t) = f(t)exp t− 1 )),2 tpara alguma função f(t). Agora, como J m (0) = 0 para m ≠ 0 e J 0 (0) = 1, segue que J(0, t) = 1, o que implica f(t) = 1,provando (15.176).Estudando a demonstração acima o leitor poderá reconhecer a importância de definir-se J −m (x) = (−1) m J m (x), param inteiro positivo.• Fórmula de adição das funções de BesselUma das relações mais úteis que advêm de (15.176) é a seguinte:J m (x+y) =∞∑n=−∞J n (x)J m−n (y) , (15.181)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 713/2117válida para todo m ∈ Z e todos x, y ∈ C. Essa expressão é denominada por alguns autores fórmula de adição dasfunções de Bessel (a “adição”, aqui, refere-se à adição dos argumentos da função no lado esquerdo). As funções de Besselsatisfazem várias outras relações de adição do tipo de acima e remetemos o leitor à literatura supracitada (por exemplo,à referência [116]) para generalizações.A demonstração de (15.181) é obtida de (15.176) calculando-se o produto J(x, t)J(y, t) de duas formas: por um lado,( ( xJ(x, t)J(y, t) = exp t− 1 )) ( ( yexp t− 1 ))2 t 2 t( ( x+y= exp t− 1 ))2 t=∞∑m=−∞t m J m (x+y) . (15.182)Por outro lado,J(x, t)J(y, t) =( ∞∑k=−∞t k J k (x))( ∞∑l=−∞t l J l (y)Comparando-se (15.182) a (15.183) obtem-se (15.181).)=∞∑k=−∞∞∑l=−∞t k+l J k (x)J l (y) =∞∑m=−∞t m ( ∞∑n=−∞Se em (15.181) tomarmos y = −x e m = 0, e usarmos que J n (x) = J −n (−x) e que J 0 (0) = 1, obteremos1 =∞∑n=−∞( ) 2 (J n (x) = J 0 (x)) 2+2 ∞ ∑n=1J n (x)J m−n (y))(15.183)(J n (x)) 2. (15.184).Como J n (x) é real para x ∈ R, isso ensina-nos que |J 0 (x)| ≤ 1 e |J n (x)| ≤ 1 √2, para todo x ∈ R e n > 0, n inteiro.E. 15.22 Exercício. Justifique! 6É possível estabelecer limites superiores mais precisos para |J n (x)|, mas não trataremos disso aqui.• Representações integrais das funções de BesselJá obtivemos em (15.171), (15.172), (15.173) e (15.174) algumas relações integrais envolvendo funções de Bessel.Trataremos de obter mais algumas outras agora.A relação (15.176) tem vários usos, um deles é o de fornecer uma representação integral para as funções de Bessel,com a qual outras propriedades podem ser obtidas. A relação (15.176) foi provada para todo x ∈ C e t ∈ C com t ≠ 0.Tomemos t com |t| = 1, ou seja, tomemos t da forma t = e iϕ , com −π ≤ ϕ ≤ π. Obtemos,e ixsen(ϕ) =∞∑m=−∞J m (x)e imϕ . (15.185)O ponto interessante é que podemos interpretar o lado direito como sendo a série de Fourier na variável ϕ da funçãoperiódica de período 2π do lado esquerdo, de onde tiramos queJ m (x) = 12π∫ π−πe ixsen(ϕ) e −imϕ dϕ = 12π∫ π−πe ixsen(ϕ)−imϕ dϕ ,para todo m ∈ Z. Usando e ia = cos(a)+isen(a), tem-seJ m (x) = 1 ∫ πcos(xsen(ϕ)−mϕ) dϕ+ i ∫ πsen (xsen(ϕ)−mϕ) dϕ .2π −π2π −πA segunda integral do lado direito é nula, pois o integrando é uma função ímpar em ϕ. Como o integrando da primeiraintegral do lado direito é uma função par em ϕ, segue queJ m (x) = 12π∫ π−πcos(xsen(ϕ)−mϕ) dϕ = 1 π∫ π0cos(xsen(ϕ)−mϕ) dϕ , (15.186)válida para todo m ∈ Z. Essa expressão é a importante representação integral da função de Bessel J m (x), m ∈ Z.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 714/2117Tomando-se t = ie iϕ em (15.176), obtem-sede onde se extraie disso se obtémÉ fácil obter de (15.188) quee ixcos(ϕ) =J m (x) = (−i)m2πJ m (x) = (−i)m2πJ 2m (x) = (−1)m2πJ 2m+1 (x) = (−1)m2π∫ π∞∑m=−∞∫ π−π∫ π−π∫ π−π−πi m J m (x)e imϕ . (15.187)e ixcos(ϕ)−imϕ dϕ , (15.188)e ixcos(ϕ) cos(mϕ) dϕ . (15.189)( )cos xcos(ϕ)−2mϕ dϕ ,para todo m = 0, 1, 2, .... De (15.188) segue, em particular, a relaçãoJ 0 (x) = 12π( )sen xcos(ϕ)−(2m+1)ϕ dϕ .Aplicações dessa identidade encontram-se nos Exercícios E. 15.23 e E. 15.24.E. 15.23 Exercício. Seja f : R 2 → C integrável e sejaF[f](⃗p) := 12π∫ π∫−πe ixcos(ϕ) dϕ . (15.190)R 2 f(⃗x)e −i⃗p·⃗x d 2 ⃗xsua transformada de Fourier, onde ⃗x = (x 1 , x 2 ), ⃗p = (p 1 , p 2 ) e ⃗p ·⃗x = p 1 x 1 + p 2 x 2 . Suponha que f dependa apenas dacoordenada radial: f(⃗x) = f(r), com r = ‖⃗x‖ = √ x 2 1 +x2 2 . Mostre queF[f](⃗p) =∫ ∞0f(r)J 0 (pr)rdr ,onde p = |⃗p|. Sugestão: use (15.190). 6⎧⎪⎨ f 0 , 0 ≤ r ≤ RE. 15.24 Exercício. Seja f : R 2 → C definida por f(⃗x) = f(r) = , sendo f 0 e R constantes com⎪⎩ 0, r > RR > 0. Mostre queF[f](⃗p) = f 0Rp J 1(pR) .Sugestão: De (15.157) segue que xJ 0 (x) = (xJ 1 (x)) ′ . 6• Propriedades adicionaisDe (15.185) podemos extrair mais algumas relações de interesse. Mostremos algumas aqui. Separando a parte real ea parte imaginária de ambos os lados de (15.185), teremos( )cos xsen(ϕ)=∞∑m=−∞J m (x)cos(mϕ) ,( )sen xsen(ϕ)=∞∑m=−∞J m (x)sen(mϕ) .

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 715/2117Usando que J −m (x) = (−1) m J m (x), obtemos alguns cancelamentos que conduzem a( )cos xsen(ϕ)( )sen xsen(ϕ)Em particular, para ϕ = π/2, isso diz-nos que= J 0 (x)+2= 2∞∑J 2k (x)cos(2kϕ) , (15.191)k=1∞∑J 2k−1 (x)sen ( (2k −1)ϕ ) . (15.192)k=1cos(x) = J 0 (x)+2sen(x) = 2Tomando ϕ = 0 em (15.191), segue também a identidade∞∑(−1) k J 2k (x) , (15.193)k=1∞∑(−1) k+1 J 2k−1 (x) . (15.194)k=11 = J 0 (x)+2∞∑J 2k (x) .De (15.191)-(15.192), obtem-se também, usando as bem-conhecidas relações de ortogonalidade das funções seno eco-seno,⎧∫1 πcos ( xsenϕ ) ⎪⎨ J m (x), m parcos(mϕ)dϕ =.π 0⎪⎩ 0, m ímpark=1∫1 πsen ( xsenϕ ) sen(mϕ)dϕ =π 0⎧⎪⎨⎪⎩0, m parJ m (x), m ímpar.Outras identidades podem ser obtidas a partir das várias apresentadas de acima, ou com os mesmos métodos, masencerramos aqui nossa apresentação das mesmas, convidando o leitor a um passeio à literatura pertinente às funções deBessel. Nossa intenção agora é a de discutir as relações de ortogonalidade para as funções de Bessel.E. 15.25 Exercício. Usando (14.41), mostre a partir de (15.191) que vale a identidadecos(x √ )1−u 2= J 0 (x)+2∞∑J 2k (x)T 2k (u) , (15.195)onde T m é o m-ésimo polinômio de Tchebychev. 6k=1• A transformada de Fourier de J mSeguindo a convenção que adotamos no Capítulo 36, página 1745, definimos a transformada de Fourier F[f] de umafunção de uma variável f e a transformada de Fourier inversa F −1 [f] porF[f](p) = 1 √2π∫ ∞−∞A relação (15.189) pode ser escrita na formae −ipx f(x)dx e F −1 [f](p) = 1 √2π∫ ∞J m (x) = (−i)mπ∫ π0−∞e ipx f(x)dx .e ixcos(ϕ) cos(mϕ) dϕ . (15.196)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 716/2117Adotando m ∈ N 0 , com a mudança de variáveis ϕ = arccosu, isso ficaJ m (x) = (−i)mπ∫ 1−1e ixu cos ( marccos(u) ) 1√1−u2du(14.41)= (−i)mπonde T m é o m-ésimo polinômio de Tchebychev (vide página 614). Definamos uma função Ĵm porĴ m (u) := (−i) m √2π∫ 1−1e ixu √ T m(u)du , (15.197)1−u2T m (u)√1−u2 χ [−1, 1](u) , (15.198)onde χ [−1, 1] é a função característica do intervalo [−1, 1]:⎧⎪⎨ 1 , u ∈ [−1, 1] ,χ [−1, 1] (u) :=⎪⎩ 0 , u ∉ [−1, 1] .(15.199)Então, (15.197) traduz-se na afirmação quee, portanto,J m (x) = F −1[ Ĵ m](x) (15.200)F[J m ](u) = Ĵm(u) = (−i) m √2πT m (u)√1−u2 χ [−1, 1](u) . (15.201)Essa expressão determina a transformada de Fourier das funções de Bessel de ordem m ∈ N 0 . A função Ĵm é integrável,ouseja, umelementodeL 1 (R, dx)(justifique!) e, portanto, (15.200)estábemdefinida. As funçõesJ m nãosãointegráveisem R, nem de quadrado integrável, mas a expressão (15.201) é válida no sentido de distribuições temperadas. Vide Seção36.3.6, página 1806.• Mais algumas transformadas de Fourier relacionadas a funções de BesselÉ fácil constatar que a expressão (15.173), página 711, pode ser escrita na formaJ ν (x) =√2( x) ν−1∫ 1 ∞√ χ [−1, 1] (t)t ( 1−t 2) ν−3/2e ixt dt ,iΓ(ν −1/2) 2 2π −∞para Re(ν) > 1/2, com χ [−1, 1] definida em (15.199). Disso concluímos que para Re(ν) > 1/2 vale[ ]Jν (x) χ [−1, 1] (t)Fx ν−1 (t) = −i2 ν−3/2 Γ(ν −1/2) t( 1−t 2) ν−3/2, (15.202)no sentido de distribuições. Usando (15.174), página 711, escrevemosJ ν (x) =√2( x) ν∫ 1 ∞√ χ [−1, 1] (t) ( 1−t 2) ν−1/2e ixt dt ,Γ(ν +1/2) 2 2π −∞para Re(ν) > −1/2 e obtemos, novamemte no sentido de distribuições,[ ]Jν (x)Fx v (t) =χ [−1, 1] (t) (1−t2 ) ν−1/2, (15.203)2 ν−1/2 Γ(ν +1/2)para Re(ν) > −1/2. Observe-se que (15.202) é obtida de (15.203) por derivação e multiplicação por i, como esperado.E. 15.26 Exercício. Verifique e justifique as afirmativas de acima. 6• Zeros das funções de BesselAntesdeentrarmosnadiscussãosobreasrelaçõesdeortogonalidadeparaasfunçõesdeBesselemJ = [0, 1]precisamosfazer alguns comentários sobre os zeros das funções de Bessel. Os seguintes teoremas são válidos:

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 717/2117Teorema 15.2 Cada função J n (z), com n ∈ Z, possui zeros complexos e possui uma coleção infinita enumerável dezeros reais, todos simples, exceto z = 0, que é um zero de ordem |m| de J m (z) para m ∈ Z, m ≠ 0. Os zeros de J n (z),com n ∈ Z, não possuem pontos de acumulação em R. Como J n (x) = (−1) n J n (−x), vemos que os zeros de J n (x) sãosimétricos em relação ao ponto x = 0. Fora isso, como J −n (x) = (−1) n+1 J n (x), os zeros de J n (x) coincidem com os deJ −n (x). Por fim, os zeros positivos das funções de Bessel de ordem inteira positiva possuem a seguinte propriedade dealternância: entre dois zeros positivos sucessivos de J n existe um zero de J n−1 e um de J n+1 , para todos n ≥ 0. 2Teorema 15.3 Seja ν real e suponha que |argz| < π. Então J ν (z) possui uma coleção infinita enumerável de zerosreais e positivos e um número 2N(ν) de zeros conjugados complexos, sendo que1. N(ν) = 0 se ν > −1 ou ν = −1, −2, −3, ...,2. N(ν) = m se −m−1 < ν < m, m = 1, 2, 3, ....Os zeros reais positivos de J ν (z), com ν real, não possuem pontos de acumulação em R + . 2Teorema 15.4 Para ν ≥ 0 a função J ′ ν(z) possui apenas zeros simples, exceto em z = 0 e entre dois zeros sucessivosde J ′ ν (z) há exatamente um zero de J ν(z). 2O teorema seguinte é particularmente útil na resolução de problemas envolvendo condições de contorno mistas.Teorema 15.5 Para A e B reais e ν real com ν > −1 a equaçãoAJ ν (z)+BzJ ′ ν (z)para |argz| < π possui uma coleção enumerável de zeros reais positivos e no caso em que ν + A/B ≥ 0, também nãopossui raízes complexas. Caso ν +A/B < 0, AJ ν (z)+BzJ ′ ν(z) possui duas raízes imaginárias puras. 2Foi demonstrado por Siegel 46 em 1929 que se m, n ∈ N 0 com m ≠ n, então J m (x) e J m (x) não possuem zeroscomuns, exceto x = 0.Os enunciados acima foram extraídos de [160], [116] e [110] e suas demonstrações podem ser encontradas em [262]ou (parcialmente) em [116]. Não as apresentaremos aqui, mas o leitor não deve ser desestimulado a estudá-las pois asmesmas são elementares e utilizam-se essencialmente apenas do material que já apresentamos aqui.• As relações de ortogonalidade das funções de Bessel no intervalo [0, 1]Em muitos problemas, por exemplo, naquele em que estudamos os modos de vibração de uma membrana circular,estamos interessados nas soluções da equação de Bessel em um intervalo finito fechado. Consideraremos, para fixar idéias,o caso em que o intervalo é J = [0, 1]. Em uma tal situação encontraremos relações de ortogonalidade, as quais sãomuito importantes na resolução de certos problemas envolvendo equações diferenciais parciais submetidas a condiçõesiniciais e de contorno.Devido aos comentários que fizemos acima sobre os zeros das funções de Bessel consideraremos no que segue apenaso caso em que ν é real.Seja para um dado α ∈ R a função f α (x) := J ν (αx). É fácil verificar que f α(x) é solução da equação(xy ′ (x)) ′ − ν2x y(x)+α2 xy(x) = 0 . (15.204)E. 15.27 Exercício importante. Verifique isso. 6Como α aparece elevada ao quadrado na expressão acima podemos sem perda de generalidade considerar α > 0 (ocaso α = 0 é trivial, pois corresponde a uma função constante: f 0 (x) = J ν (0)).46 Carl Ludwig Siegel (1896–1981).

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 718/2117Nosso principal resultado será o seguinte teorema, o qual estabelece uma classe bastante geral de relações de ortogonalidadepara as funções de Bessel. Essas relações de ortogonalidade são de suma importância nas aplicações dessasfunções à solução de certas equações diferenciais submetidas a certas condições iniciais e de contorno.Teorema 15.6 Seja ν ≥ 0 e sejam fixados certos números reais A, B com (A, B) ≠ (0, 0) satisfazendo ν +A/B ≥ 0,caso B ≠ 0 (vide Teoremas 15.2-15.5). Seja também Z ν A,B o conjunto de todos os números α > 0 tais queAJ ν (α)+BαJ ′ ν(α) = 0 , (15.205)ou seja,Z ν A,B := {α > 0| AJ ν (α)+BαJ ′ ν (α) = 0 }. (15.206)Pelo Teorema 15.5, esse conjunto é não-vazio e enumerável. Então, a condição (15.23) do Teorema 15.1, página 673,com J = [0, 1], é satisfeita para todas as funções f α (x) = J ν (αx) com α ∈ Z ν A,B e, portanto, para α, β ∈ Zν A,B comα ≠ β valem as relações de ortogonalidade (com r(x) = x)ou seja,∫ 10∫ 10f α (x)f β (x)xdx = 0 ,para todos α, β ∈ Z ν A,B com α ≠ β. Para todos α, β ∈ Zν A,B , tem-se∫ 10J ν (αx)J ν (βx)xdx =J ν (αx)J ν (βx)xdx = 0 . (15.207)(15.165)−(15.167)=δ α,β2δ α,β2[ ) ](J ν ′ (α))2 +(1− ν2α 2 (J ν (α)) 2[ (Jν(α) ) 2−Jν−1 (α)J ν+1 (α)]. (15.208)Essa expressão é denominada relação de ortogonalidade das funções de Bessel. Note que há uma relação de ortogonalidadepara cada tripla (ν, A, B) com ν ≥ 0 e (A, B) ≠ (0, 0) e ν + A/B ≥ 0, B ≠ 0, pois cada tripla (ν, A, B) fixa oconjunto W ν A,B .Incidentalmente, a evidente positividade do lado esquerdo de (15.208) quando α = β implica que(Jν (α) ) 2> Jν−1 (α)J ν+1 (α) (15.209)para todo α ∈ Z ν A,B e tal deve ser verdadeiro para todo A, B.A relação (15.205) corresponde a condições de contorno freqüentemente encontradas na resolução de equações diferenciaisparciais da Física, como por exemplo no problema de propagação de ondas em uma membrana circular (um tambor).No caso A = 1, B = 0 o conjunto Z ν 1,0 coincide com o dos zeros da função de Bessel J ν(x). No caso A = 0, B = 1 oconjunto Z ν 0,1 coincide com o dos zeros da função J′ ν(x).Em particular, se ν ≥ 0 e α ν k é o k-ésimo zero da função J ν(x) no intervalo (0, ∞), então∫ 10J ν(ανk x ) J ν(ανl x ) xdx = δ k,l(J ′ ν (αν k ))22= δ k,l(J ν+1 (α ν k ))22. (15.210)Analogamente, se ν ≥ 0 e βk ν é o k-ésimo zero da função J′ ν (x) no intervalo (0, ∞), então∫ 10(J ν βνk x ) (J ν βνl x ) ( ) 2 νxdx = δ k,l(1−βk) ν(J ν (β ν k ))22. (15.211)Dessa relação percebemos incidentalmente que βk ν > ν para todo k, pois o lado esquerdo é certamente positivo quandok = l. 2

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 719/2117Prova do Teorema 15.6. Podemos encarar a equação (15.204) como sendo da forma canônica (15.5) para o intervaloJ = (0, 1] com p(x) = x, q(x) = − ν2x , r(x) = x e µ = α2 . Perguntemo-nos agora se para duas funções f α (x) := J ν (αx)e f β (x) := J ν (βx) a condição (15.23) do Teorema 15.1, página 673 é satisfeita nos extremos do intervalo J = (0, 1], ouseja, se () ()p(1) f α (1)f β(1)−f ′ α(1)f ′ β (1) − lim p(x) f α (x)f ′x→0β(x)−f α(x)f ′ β (x) = 0 ,isto é, se(J ν (α)βJ ′ ν (β)−αJ′ ν (α)J ν(β))− limx→0x(J ν (αx)βJ ′ ν (βx)−αJ′ ν (αx)J ν(βx)) = 0 .Dado que o primeiro termo da expansão (15.156) de J ν (x) é proporcional a x ν , e que, conseqüentemente, o primeirotermo da expansão de J ν ′(x) é proporcional a xν−1 teremos que()lim x J ν (αx)βJ ν(βx)−αJ ′ ν(αx)J ′ ν (βx) ∝ lim xx ν x ν−1 = 0x→0 x→0sempre que ν > 0. Para ν = 0 a relação acima também é válida, pois o primeiro termo da expansão de J 0 (x) é constante,mas o primeiro termo da expansão de J 0 ′ (x) é proporcional a x. Para ν < 0 o limite x → 0 da expressão acima é singular.Concluímos que para ν ≥ 0 vale() ()p(1) f α (1)f β ′ (1)−f′ α (1)f β(1) − lim p(x) f α (x)f β ′ (x)−f′ α (x)f x→0β(x) = J ν (α)βJ ν ′ (β)−αJ′ ν (α)J ν(β) .Procuramos agora identificar condições sob as quais o lado direito se anula, o que nos garantirá a aplicabilidade doteorema de ortogonalidade, Teorema 15.1.Um caso óbvio é aquele no qual α e β são zeros da função de Bessel J ν . Outro caso óbvio é aquele no qual α e β sãozeros de J ′ ν , a derivada da função de Bessel J ν. Um caso mais geral está na seguinte proposição.Proposição 15.2 Suponhamos que para certos números A e B com (A, B) ≠ (0, 0) existam constantes reais α e β taisqueAJ ν (α)+BαJ ν ′ (α) = 0 e (15.212)AJ ν (β)+BβJ ′ ν(β) = 0 . (15.213)Então,J ν (α)βJ ′ ν(β)−αJ ′ ν(α)J ν (β) = 0 .2Prova. As relações (15.212)-(15.213) podem ser expressas em forma matricial como⎛ ⎞⎛⎞ ⎛ ⎞J ν (α) αJ ν ′ (α)A0=.⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝⎠ ⎝ ⎠J ν (β) βJ ν(β)′ B 0Como por hipótese (A, B) ≠ (0, 0), a relação acima só é possível se a matriz 2×2 do lado esquerdo for não-inversível,ou seja, se tiver determinante nulo. Assim, devemos ter⎛ ⎞J ν (α) αJ ν ′ (α)0 = det= J ν (α)βJ ν(β)−αJ ′ ν(α)J ′ ν (β) ,⎜ ⎟⎝ ⎠J ν (β) βJ ν(β)′que é o que queríamos estabelecer.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 720/2117Comessa proposição, fica estabelecido queacondição(15.23) do Teorema15.1, página673, com J = [0, 1], ésatisfeitapara todas as funções f α (x) = J ν (αx) com α ∈ Z ν A,B e, portanto, para α, β ∈ Zν A,B com α ≠ β valem as relações deortogonalidade (com r(x) = x)∫ 10f α (x)f β (x)xdx = 0ou seja,∫ 10J ν (αx)J ν (βx)xdx = 0 ,para todos α, β ∈ Z ν A,B com α ≠ β.Passemos à questão de provar (15.208) para o caso em que α = β. Isso pode ser feito de diversas maneiras, a maisdireta sendo a seguinte. Escrevamos a equação (15.204) na formaMultiplicando-a por 2y ′ (x), obtemosx 2 y ′′ (x)+xy ′ (x)+ ( α 2 x 2 −ν 2) y(x) = 0 . (15.214)0 = 2x 2 y ′ (x)y ′′ (x)+2x(y ′ (x)) 2 +2 ( α 2 x 2 −ν 2) y(x)y ′ (x)= x 2 ddx (y′ (x)) 2 +2x(y ′ (x)) 2 + ( α 2 x 2 −ν 2) ddx (y(x))2= d (x 2 (y ′ (x)) 2) + ( α 2 x 2 −ν 2) ddxdx (y(x))2e, portanto,0 = d (x 2 (y ′ (x)) 2) + d [ (α 2 x 2 −ν 2) (y(x)) 2] −2α 2 x (y(x)) 2 . (15.215)dx dxIntegrando-se ambos os lados da igualdade entre 0 e 1, obtem-se0 =(x 2 (y ′ (x)) 2)∣ ∣1[(+ α 2 x 2 −ν 2) (y(x)) 2]∣ ∫∣110 0 −2α2 x (y(x)) 2 dx . (15.216)Como f α (x) = J ν (αx) é solução de (15.214), podemos adotar y(x) = J ν (αx), acima. Assim,0(x 2 (y ′ (x)) 2)∣ ∣ ∣1[(α 2 x 2 −ν 2) (y(x)) 2]∣ ∣ ∣100= α 2( x 2 (J ′ ν (αx))2)∣ ∣ ∣1=0= α 2 (J ′ ν (α))2 .(α 2 −ν 2) (J ν (α)) 2 +ν 2 (J ν (0)) 2 =(α 2 −ν 2) (J ν (α)) 2 ,pois ν 2( J ν (0) ) 2= 0 para todo ν ≥ 0 (por que?). Portanto, (15.216) fica∫ 12α 2 x ( J ν (αx) ) 2dx = α2 ( J ν(α) ′ ) 2+(α 2 −ν 2) (Jν (α) ) 2,0o que conduz à primeira linha de (15.208) no caso α = β. A identidade)(J ν(α)) ′ 2 +(1− ν2α 2 (J ν (α)) 2 = ( J ν (α) ) 2−Jν−1 (α)J ν+1 (α)segue diretamente de (15.165)–(15.167). Com isso, o Teorema 15.6 está demonstrado.• Generalizações das relações de ortogonalidade das funções de Bessel e NeumannAlgumas vezes lidamos com problemas envolvendo a equações de Bessel em intervalos como [R 1 , R 2 ] com 0 < R 1

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 721/2117Teorema 15.7 Sejam 0 < R 1 < R 2 < ∞ e S νn (x) definida no intervalo [R 1 , R 2 ] por⎧ ( ) ( ) ( ) ( )µνn R 1 µνn ρ µνn R 1 µνn ρJ −ν J ν −J ν J −ν , para ν ∉ Z ,R ⎪⎨ 2 R 2 R 2 R 2S νn (x) :=( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ µmn R 1 µmn ρ µmn R 1 µmn ρN m J m −J m N m , para ν = m ∈ Z ,R 2 R 2 R 2 R 2onde, para ν ∉ Z, µ νn é o n-ésimo zero em (0, ∞) da função( ) ( )R1 R1J −ν x J ν (x)−J ν x J −ν (x)R 2 R 2e para ν = m ∈ Z, µ mn é o n-ésimo zero em (0, ∞) da função( ) ( )R1 R1N m x J m (x)−J m x N m (x) .R 2 R 2Pelas definições, S νn (R 1 ) = S νn (R 2 ) = 0 para todo ν ∈ R e todo n ∈ N. Além disso, S νn (x) é solução da equação deBesselx 2 y ′′ (x)+xy ′ (x)+ ( α 2 x 2 −ν 2) y(x) = 0 (15.217)no intervalo [R 1 , R 2 ], com α = µνnR 2, também para todo ν ∈ R e todo n ∈ N.Então, as funções S νn (x) satisfazem as relações de ortogonalidadepara n ≠ n ′ e todo ν ∈ R, com∫ R2R 1S νn (x)S νn ′(x)xdx = 0 (15.218)∫ R2R 1(S νn (x)) 2xdx= Kνn (15.219)para todo ν ∈ R e todo n ∈ N, ondeK νn = 1 ( ) ( ) ] 2{(R 2 )[J 2 R 1−ν µ νn J ν ′ 2 R (µ R 1νn)−J ν µ νn J −ν ′2 R (µ νn)2[ ( ) ( ) ( ) ( )] } 2−(R 1 ) 2 R 1J −ν µ νn J ν′ R 1 R 1µ νn −J ν µ νn J ′ R 1−ν µ νnR 2 R 2 R 2 R 2para ν ∉ Z eK mn = 1 2( ) ( ) ] 2{(R 2 )[N 2 R 1m µ mn J m ′ R (µ R 1mn)−J m µ mn N m ′2 R (µ mn)2[ ( ) ( ) ( ) ( )] } 2−(R 1 ) 2 R 1N m µ mn J m′ R 1 R 1µ mn −J m µ mn N ′ R 1m µ mnR 2 R 2 R 2 R 2para ν = m ∈ Z. 2Prova. As relações (15.218) seguem diretamente do Teorema 15.1, página 673 pelo fato que S νn (R 1 ) = S νn (R 2 ) = 0 paratodo ν ∈ R e todo n ∈ N.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 722/2117Para demonstrar (15.219) consideraremos apenas o caso ν ∉ Z, pois o caso ν = m ∈ Z é tratado identicamente.Nosso ponto de partida é a equação (15.215), página 720:0 = d (x 2 (y ′ (x)) 2) + d [ (α 2 x 2 −ν 2) (y(x)) 2] −2α 2 x (y(x)) 2 , (15.220)dx dxválida para qualquer solução de (15.217) (vide página 720). Integrando-se ambos os lados da igualdade entre R 1 e R 2 ,obtem-se0 =(x 2 (y ′ (x)) 2)∣ R∣ 2+[(α 2 x 2 −ν 2) (y(x)) 2]∣ ∫R R2∣ 2−2α 2 x (y(x)) 2 dx . (15.221)R 1 R 1 R 1Como( ) ( ) ( ) ( )µmn R 1 µmn µmn R 1 µmny(x) = S νn (x) := J −νm J νm x −J νm J −νm x ,R 2 R 2 R 2 R 2é solução de (15.217) com α = µmnR 2temos, para essa y,(x 2 (y ′ (x)) 2)∣ ∣ ∣R 2R 1=(x 2 (S ′ νn(x)) 2)∣ ∣ ∣R 2R 1=[(R 2 ) 2 (S ′ νn(R 2 )) 2 −(R 1 ) 2 (S ′ νn(R 1 )) 2] ,[(α 2 x 2 −ν 2) (y(x)) 2]∣ ∣ ∣R 2R 1=[(α 2 x 2 −ν 2) (S νn (x)) 2]∣ ∣ ∣R 2R 1= 0 ,pois S νn (x) anula-se em R 1 e em R 2 . Portanto, (15.221) ficao que conduz à2α 2 ∫ R2R 1x (S νn (x)) 2 dx =[(R 2 ) 2 (S ′ νn (R 2)) 2 −(R 1 ) 2 (S ′ νn (R 1)) 2] ,∫ R2x (S νn (x)) 2 dx = (R 2) 2 [R 12(µ mn ) 2 (R 2 ) 2 (S νn(R ′ 2 )) 2 −(R 1 ) 2 (S νn(R ′ 1 )) 2]como queríamos provar.= 1 2( ) ( ) ] 2{(R 2 )[J 2 R 1−νm µ mn J ν ′ R 1R m(µ mn )−J νm µ mn J −ν ′2 R m(µ mn )2[ ( ) ( ) ( ) ( )] } 2−(R 1 ) 2 R 1J −νm µ mn J ν ′ R 1 R 1R mµ mn −J νm µ mn J ′ R 1−ν2 R 2 R mµ mn ,2 R 2• Comentário sobre a equação de Bessel no intervalo J = [0, ∞)Seja a equação de Bessel x 2 y ′′ (x) + xy ′ (x) + (x 2 − ν 2 )y(x) = 0 e consideremo-la agora no intervalo semi-infinitoJ = [0, ∞). A mesma pode ser escrita como(xy ′ (x)) ′ − ν2xy(x)+xy(x) = 0 , (15.222)e aqui temos p(x) = x e poderíamos adotar q(x) = x, r(x) = 1 x e µ = −ν2 . Há, porém, uma diferença marcante emrelação aos casos anteriormente tratados. Para as funções J ν (x), mesmo com ν inteiro, não vale a relação (15.23), poislim x→∞ p(x)J ν (x)J ν ′(x) não se anula e, portanto, o Teorema 15.1 não se aplica nesse caso. De fato, J ν (x) comporta-separa x → ∞ como√2 cos ( x− νπ 2J ν (x) ≈− )π4√ .π x

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 723/2117Infelizmente, não apresentaremos a demonstração dessa expressão assintótica nestas Notas. O leitor poderá encontrá-laem vários textos, por exemplo, em [262], [270], [116] e mesmo em [154]. Em [116], por exemplo, encontra-se demonstradaa expressão assintótica mais detalhada√2 cos ( x− νπ 2J ν (x) ≈− )π4√π x∞ ∑r=0(−1) r Γ ( )ν +2r + 1 2(2r)!Γ ( )ν −2r + 1 2( ) 2r 12x√2 sen ( x− νπ 2−− )π4√π x∞ ∑r=0(−1) r Γ ( ν +2r+ 3 2(2r +1)!Γ ( ν −2r− 1 2))( ) 2r+1 1,2xválida para x → ∞. Com isso, percebemos que não devem valer para as funções de Bessel com ν’s diferentes relações deortogonalidade envolvendo integrais em J = [0, ∞).15.2.8 Propriedades das Funções de Bessel EsféricasAs funções de Bessel e Neumann esféricas de ordem ν foram definidas em (14.129) e (14.130) porj ν (z) :=√ π2z J ν+ 1 2 (z) , n ν(z) :=√ π2z N ν+ 1 (z) . (15.223)2Por serem fortemente relacionadas às funções de Bessel, suas propriedades podem ser facilmente deduzidas das propriedadesestudadas acima daquelas funções.Por (14.106), tem-sej ν (z) =√ π2∞∑k=0(−1) kk!Γ(k +1+ν +1/2)Pela fórmula de duplicação (14.27), podemos escrever isso como( z2) 2k+ν.Em particular, para ν = l ∈ N 0 , valej ν (z) = 2 ν ∞ ∑k=0j l (z) = 2 l ∞ ∑k=0(−1) k Γ(k +1+ν)k!Γ(2(k +1+ν)) z2k+ν .(−1) k (k +l)!k!(2k +2l+1)! z2k+l .• Relações de recorrência para as funções de Bessel esféricasFórmulas de recorrência para as funções de Bessel esféricas também podem ser obtidas daquelas para as funções deBessel listadas em (15.163)-(15.168). Analisando-as, é imediato ver que de (15.163) e (15.164) segue facilmente qued (x ν+1 j ν (x) ) = x ν+1 j ν−1 (x) edxDe (15.165) e (15.166) segue facilmente qued (x −ν j ν (x) ) = −x −ν j ν+1 (x) . (15.224)dxDessas duas relações segue facilmente quexj ′ ν(x) = xj ν−1 (x)−(ν +1)j ν (x) e xj ′ ν(x) = νj ν (x)−xj ν+1 (x) . (15.225)j ′ ν(x) = 1 2j ν+1 (x) = 1 x(j ν−1 (x)− j )ν(x)−j ν+1 (x) , (15.226)x()(2ν +1)j ν (x)−xj ν−1 (x) , (15.227)

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 724/2117para todo ν. Usando (15.227), é fácil ver que (15.226) pode ser reescrita comopara todo ν.Resumindo nossas conclusões, obtivemos que(2ν +1)j ′ ν (x) = νj ν−1(x)−(ν +1)j ν+1 (x) (15.228)d (x ν+1 j ν (x) ) = x ν+1 j ν−1 (x) , (15.229)dxd (x −ν j ν (x) ) = −x −ν j ν+1 (x) , (15.230)dxxj ′ ν(x) = xj ν−1 (x)−(ν +1)j ν (x) , (15.231)xj ′ ν (x) = νj ν(x)−xj ν+1 (x) , (15.232)(2ν +1)j ′ ν(x) = νj ν−1 (x)−(ν +1)j ν+1 (x) , (15.233)j ν+1 (x) = 1 xExpressões análogas são válidas para as funções n ν (x).()(2ν +1)j ν (x)−xj ν−1 (x) . (15.234)Com o uso das relações de recorrência acima é possível obter para as funções de Bessel esféricasoanálogoda expressão(15.170).• A relação entre j n e j 0 , n ∈ NA expressão (15.230) diz-nos queDisso segue imediatamente que( 1x1 d (x −ν j ν (x) ) = −x −(ν+1) j ν+1 (x) .xdx) nd (x −ν j ν (x) ) = (−1) n x −(ν+n) j ν+n (x) , (15.235)dxválida para todo ν, x ∈ C e n ∈ N 0 . No caso particular em que ν = 0, obtem-se,( n ( ) n( 1j n (x) = (−1) n x n d1(j 0 (x)) = (−1)xdx) n x n d senx), (15.236)xdxxválida para todo x ∈ C e n ∈ N 0 . A expressão (15.236) guarda certa semelhança com as fórmulas de Rodrigues.Para as funções de Neumann esféricas tem-se uma expressão análoga:( ) n(cosx 1n n (x) = (−1) n+1 x n d). (15.237)xdxxAs primeiras funções de Bessel esféricas sãoj 0 (x) = senxxe as primeiras funções de Neumann esféricas sãon 0 (x) = − cosxx, j 1 (x) = senxx 2 − cosxx ,j 2(x) = (3−x 2 ) senxx 3 −3 cosxx 2 (15.238), n 1 (x) = − cosxx 2 − senx , n 2 (x) = −(3−x 2 ) cosxxx 3 −3 senxx 2 . (15.239)• Relações de ortogonalidade para as funções de Bessel esféricas no intervalo [0, 1]As relações de ortogonalidade para as funções de Bessel esféricas podem ser provadas diretamente daquelas expressasno Teorema 15.6.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 725/2117Observemos em primeiro lugar que o conjunto Z ν+1/2A,BZ ν+1/2A,B:=pode ser caracterizado em termos de j ν como{Z ν+1/2A,B:= α > 0∣que, pela definição (15.206), é}{α > 0| AJ ν+1/2 (α)+BαJ ν+1/2 ′ (α) = 0(A+ B ) }j ν (α)+Bαj ′2ν(α) = 0 .Assim, ao lidarmos com problemas que possuem condições de contorno do tipoo conjunto de α’s que satisfazem isso é Z ν+1/2A−B/2,B .Aj ν (α)+Bαj ′ ν (α) = 0Isso mostra que podemos √ aplicar diretamente as conclusões do√Teorema 15.6, tomando o cuidado √ (de substituir: 1.)ν2αpor ν+1/2, 2. J ν (α) porπ j 2αxν(α), 3. (na integral) J ν (αx) porπ j ν(αx) e 3. e J ν(α) ′ 2por jν(α)π 2 √ α +√ αj ν(α)′ .Após algumas contas elementares, obtem-se o seguinte:Teorema 15.8 Seja ν ≥ 0, sejam fixados certos númerosreais A, B com(A, B) ≠ (0, 0) satisfazendo ν+1/2+A/B ≥ 0,caso B ≠ 0 (vide Teoremas 15.2-15.5) e seja definidoW ν A,B := {α > 0| Aj ν(α)+Bαj ν ′ (α) = 0} = Zν+1/2A−B/2,B .Pelo Teorema 15.5, esse conjunto é não-vazio e enumerável. Para todos α, β ∈ W ν A,B , tem-se∫ 10j ν (αx)j ν (βx)x 2 dx =(15.232−(15.234)=δ α,β2δ α,β2[ ( ) 21 jν (α)α 2 √ α +√ αj ν(α)′ +(1− (ν + 1 )2 )2 (jνα 2 (α) ) ]2[ (jν(α) ) 2−jν−1 (α)j ν+1 (α)]. (15.240)Essa expressão é denominada relação de ortogonalidade das funções de Bessel esféricas. Note que há uma relação deortogonalidade para cada tripla (ν, A, B) com ν ≥ 0 e (A, B) ≠ (0, 0), pois cada tripla (ν, A, B) fixa o conjunto Z ν A,B .No caso A = 1, B = 0 o conjunto W ν 1,0 coincide com o dos zeros da função de Bessel esférica j ν(x). No casoA = 0, B = 1 o conjunto W ν 0,1 coincide com o dos zeros da função j ′ ν(x).Em particular, se ν ≥ 0 e α ν k é o k-ésimo zero da função j ν(x) no intervalo (0, ∞), então∫ 100j ν(ανk x ) j ν(ανl x ) x 2 dx = δ k,l(j′ν (α ν k )) 22= δ k,l(jν+1 (α ν k )) 22. (15.241)Analogamente, se ν ≥ 0 e βk ν é o k-ésimo zero da função j′ ν (x) no intervalo (0, ∞), então∫ 1(j ν βνk x ) (j ν βνl x ) ( ) (x 2 ν(ν +1) jν (βk ν dx = δ k,l 1− )) 2(βk ν . (15.242))2 2Dessa relação percebemos incidentalmente que β ν k > √ ν(ν +1) para todo k, pois o lado esquerdo é certamente positivoquando k = l. 2É instrutivo considerar a relação (15.241) no caso ν = 0, quando j 0 (x) = sen(x)xe, portanto, α 0 k= kπ, com k > 0inteiro. Como j 0 ′ cos(x)(x) =x− sen(x)x, (15.241) está dizendo que2∫ 1( ) 2 cos(kπ)=ou seja,0sen(kπx)sen(lπx)klπ 2∫ 10dx = δ k,l2kπsen(kπx)sen(lπx) dx = 1 2 δ k,l .12(kπ) 2 δ k,l ,Essa é uma relação bem conhecida que, evidentemente, pode também ser provada por meios mais elementares.

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 726/211715.3 Exercícios AdicionaisE. 15.28 Exercício-dirigido. A idéia deste exercício é provar as relações de ortogonalidade dos polinômios de Legendreusando diretamente a fórmula de Rodrigues, expressão (15.40), página 678.a. Usando a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre, mostre que∫ 1para todo 0 ≤ m < n, m inteiro. Sugestão: integração por partes.−1x m P n (x)dx = 0 (15.243)b. Mostre quepara todo n ∈ N 0 .∫ 1−1(x 2 −1) n dx = (−1) n22n+1 (n!) 2(2n+1)!c. Mostre que∫ 1−1x n P n (x)dx = 2n+1 (n!) 2(2n+1)! . (15.244)Sugestão: use a fórmula de Rodrigues, integração por partes e a expressão do item b.d. Usando (15.243) e (15.244) mostre a validade das relações de ortogonalidade∫ 1−1P n (x)P m (x)dx =22n+1 δ n,m .Sugestão: use a fórmula de Rodrigues ou a expressão (15.32) para obter o coeficiente de maior grau dos polinômios deLegendre.6E. 15.29 Exercício. Prove que no intervalo (−1, 1) vale|x| = P 0(x)2Sugestão: para calcular integrais como+ 5P 2(x)8∫ 10+∞∑m=2(−1) m+1 (4m+1)(2m−3)!2 2m−1 (m+1)!(m−2)!P 2m (x) . (15.245)xP 2m (x)dx pode-se usar (15.41) e/ou (15.44), integração por partes e os fatosque P n (1) = 1, ∀n ∈ N 0 , e P 2m (0) = (−1)m (2m−1)!!2 m , ∀m ∈ N 0 , m ≥ 1, o qual segue de (15.32). 6m!

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 727/2117Apêndices15.A Provando (15.54) a Força BrutaA idéia é tomar (15.52), escrever (z 2 −1) l = (z−1) l (z+1) l e aplicar a regra de Leibniz. Tudo está resumido nas seguinteslinhas auto-explicativas, acompanhadas de uns poucos comentários ao final:P ml (z) :==(1−z 2 ) m/22 l l!(1−z 2 ) m/22 l l!d l+m (dz l+m (z 2 −1) l)d l+m (dz l+m (z −1) l (z +1) l)Leibniz=(∗)===(1−z 2 ) m/22 l l!(1−z 2 ) m/22 l l!(1−z 2 ) m/22 l l!(1−z 2 ) m/22 l l!l+m∑( ) l+m dp (p dz p (z −1) l) d l+m−p (dz l+m−p (z +1) l)p=0l∑( ) l+m dp (p dz p (z −1) l) d l+m−p (dz l+m−p (z +1) l)p=ml∑( )( )( )l+m l!p (l−p)! (z l!−1)l−p(p−m)! (z +1)p−mp=ml∑( ) l+m (l!) 2p (l−p)!(p−m)! (z −1)l−p (z +1) p−mp=m(∗∗)= (−1) m(z2 −1) m (1−z 2 ) m/2(1−z 2 ) m 2 l l!l∑( ) l+m (l!) 2p (l−p)!(p−m)! (z −1)l−p (z +1) p−mp=m=p→p+m=(−1) m (1−z 2 ) −m/22 l l!(−1) m (1−z 2 ) −m/22 l l!l∑( ) l+m (l!) 2p (l−p)!(p−m)! (z −1)l−p+m (z +1) pp=ml−m∑p=0( ) l+mp+m(l!) 2(l−p−m)!p! (z −1)l−p (z +1) p+m=(−1) m (1−z 2 ) −m/22 l l!l−m∑p=0(l +m)!(l!) 2(l−p)!(p+m)!(l−p−m)!p! (z −1)l−p (z +1) p+m= (−1) m(l+m)! (1−z 2 ) −m/2(l−m)! 2 l l!l−m∑p=0(l−m)!(l!) 2(l−p)!(p+m)!(l−p−m)!p! (z −1)l−p (z +1) p+m

JCABarata. Notas para um Curso de Física-Matemática. Versão de 9 de março de 2015. Capítulo 15 728/2117= (−1)m(l +m)! (1−z 2 ) −m/2(l −m)! 2 l l!= (−1)m(l +m)! (1−z 2 ) −m/2(l −m)! 2 l l!l−m∑( )( )( )l−m l!p (l−p)! (z l!−1)l−p(p+m)! (z +1)p+mp=0l−m∑( )( )( )l−m dp dl−m−pp dz p(z −1)l dz l−m−p(z +1)lp=0como queríamos provar.Leibniz= (−1)m(l +m)!(l −m)!(1−z 2 ) −m/22 l l!= (−1)m(l +m)! (1−z 2 ) −m/2(l −m)! 2 l l!d l−mdz l−m ((z −1) l (z +1) l)d l−mdz l−m(z2 −1) l = (−1) m (l+m)!(l−m)! P−m l(z) ,Nopontoindicadopor(∗)acima, usamosofatoque dpdz(z−1) l = 0sep > l e dl+m−pp dz(z−1) l = 0sel+m−p > l. Ambasl+m−pas condições juntas implicam m ≤ p ≤ l, daí a mudança nos limites da soma. No ponto indicado por (∗∗) multiplicamostoda a expressão por 1 = (−1) m (z 2 −1) m(1−z 2 ). Na linha seguinte o fator (z 2 −1) m é escrito como (z−1) m (z+1) m e distribuídom1dentro da soma. Fora isso, usamos também que(1−z 2 )(1−z 2 ) m/2 = (1−z 2 ) −m/2 .m