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Resistência do ConcretoProf. P. B. FUSCOProf. Eduardo C. S. ThomazNotas de aulaAVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA DO CONCRETOProf. Dr. Péricles Brasiliense FuscoProfessor Titular da Escola Politécnica da USP23-09-20091 CONCEITOS BÁSICOS DE SEGURANÇA ESTRUTURAL1.1 - IntroduçãoNo início do emprego do concreto armado, iniciou-se também o processo denormalização do projeto estrutural.Os primeiros projetos de estruturas da construção civil foram feitos com adeterminação das dimensões das peças estruturais por meio da comparação direta desuas peças com as peças análogas empregadas em construções semelhantes, queempiricamente haviam sido julgadas como bem construídas.Posteriormente, os desenvolvimentos ocorridos com os conhecimentos deResistência dos Materiais permitiram o início da normalização dos projetosestruturais, feita com a aplicação do método de cálculo de tensões admissíveis. Ascargas atuantes foram fixadas subjetivamente, com valores arbitrariamenteconsiderados como plausíveis. As tensões admissíveis foram fixadas com asmáximas tensões calculadas em regime elástico linear nas estruturas consideradascomo bem construídas, se elas fossem solicitadas pelas cargas úteis então arbitradas.Com isso, o método comparativo de projeto deixou de lidar diretamente asdimensões das peças estruturais, passando a comparar tensões máximas com tensõesadmissíveis.Com o correr do tempo, a resistência do concreto passou a ser determinadaexperimentalmente, adotando-se como referência o valor médio obtido com oensaio de 3 corpos-de-prova, empregando-se os coeficientes de segurança 3 para opróprio concreto, e 2 para o aço das armaduras.No Brasil, a normalização começou na década de 40 do século passado, com aelaboração da NB-1.Para o concreto, na compressão simples, a tensão admissível adotada foi de 40 kgf/ cm 2 (4 MPa) e, na flexão simples ou composta, de 60 kgf / cm 2 (6 MPa).

No cisalhamento, o valor admissível era de 6 kgf / cm 2de8 kgf / cm 2 (0,8 MPa) para as lajes.(0,6 MPa) para as vigas, eNa década de 50, quando se introduziu o cálculo de concreto armado em regime deruptura, surgiu o conceito de resistência mínima do concreto, cujo valor seria de ¾da resistência média.Mais tarde, introduziu-se a ideia de que a distribuição de resistências do concretoseria normal (gaussiana), e que a resistência característica, definida como o valorcom apenas 5% probabilidade de ser ultrapassado no sentido desfavorável, deveriaser adotada como o valor representativo da resistência mecânica dos materiais deconstrução.A ideia de probabilização da segurança das estruturas sempre existiu, desde ocódigo de Hamurabi. Não existe estrutura absolutamente segura. Sempre existiráuma probabilidade de ruína.Ao poucos, a probabilização das ideias de segurança estrutural foram sendoconstruídas. De início, o método probabilista de projeto das estruturas foiconsiderado como uma simples alternativa ao método de tensões admissíveis.Atualmente ele é o método fundamental do cálculo estrutural. Esse é um caminhoque ainda está sendo percorrido.Uma das ideias básicas para essa probabilização é a de que a resistência do concretotenha uma distribuição normal de valores.Nesse sentido, dado um conjunto de valores x i , que medem uma dadapropriedade dos elementos que compõem uma certa população normal de Nelementos, definem-se os parâmetros mostrados na Fig. 1.De um lado, da própria população e, de outro, de amostras com n exemplaresdela extraídas, que irão servir para a estimativa dos parâmetros desse universo,sendo :média da amostra : x m = x média da população : x2variância da amostra : s2x variância da população : σ xdesvio padrão da amostra : sx desvio padrão da população : σ xcoeficiente de variação : δx coeficiente de variação : δxda amostrada populaçãoµ

P = 5 0 %P O P U L A Ç Ã O C O MD I S T R I B U I Ç Ã ON O R M A LP = 5 %P = 0,5 %x dx k1, 6 5σxxM= µ x 9 5 %9 9, 5%2 ,5 8σ xx m = x = x ns 2 xA M O S T R A. . . . . .1+ x 2 +nΣ (= 1 in - 1x - xm+x n =) 2 = δ xnΣ1xnis xx m2xx+µ x = 1nΣσ = 1(P O P U L A Ç Ã Oxx+ . . . . . .2 +Ni- µ ) 2xNxΣ x iN = 1Nδ x=Nσxµ x1.2 -Segurança da estruturaPARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO NORMALFigura 1A passagem projeto estrutural do método de tensões admissíveis para um métodoprobabilista ficou consolidada no início da década de 70 do século passado.Ficaram então definitivamente implantadas as ideias probabilistas referentes àcaracterização das resistências dos materiais e das ações atuantes nas estruturas.Igualmente, foram imaginadas formas plausíveis de quantificar a segurança dasestruturas por meios probabilistas.A Fig. 2 apresenta sinteticamente os conceitos empregados pelo chamado métodoprobabilista de nível I, também dito método semiprobabilista de projetoestrutural,sendo:

S E G U R A N Ç A P E L O M É T O D O P R O B A B I L I S T A N Í V E L - IS O L I T A Ç Ã OD I F E R E N T E SD I S T R I B U I Ç Õ E SSd = γ S S k9 5 % 9 9 , 5 %R d=RγkRR E S I S T Ê N C I AP O P U L A Ç Ã O C O MD I S T R I B U I Ç Ã ON O R M A LP = 0,5 %P = 5 %SmSkS dR1 dR dRk1, 6 5σxRm2 ,5 8 σx,R 1 dR 1dR 1, 6 5kσ xRm2 ,5 8σ x= 0,85R dFigura 2 : PARÂMETROS PROBABILÍSTAS DE SEGURANÇA

RESISTÊNCIAS:R m = valor médio = fc mR k = valor característico (inferior) =R d = valor de cálculo = R k / γ c =fc kfc dfck=γγ c = coeficiente de ponderação (minoração) da resistência do concretocSOLICITAÇÕESS m = valor médioS k = valor característicoS d = valor de cálculo = γ f S kγ f = coeficiente de ponderação (majoração) das açõesNeste método de cálculo, admite-se que a ruína da estrutura ocorra quandona seção mais solicitada a resistência de cálculo for igual a R d e,simultaneamente, a respectiva solicitação máxima for igual S d , ou seja, aprobabilidade de ruína seria dada interseção.( R = R1d∩ S = Sd)Na verdade, a ruína pode ocorrer com muitas outras combinações deesforços resistentes e esforços solicitantes.A Fig.3 apresenta um croquis explicativo dessa condição generalizada deruína.

SO C O R R Ê N C I A G E R A L D E R U Í N ARSkSdR1 dRkP R O J E T OPara qualquer S , sempre haverá a possibilidade de ocorrerPara qualquer R, sempre haverá a possibilidade de ocorrerFigura 3RefetivaSefetiva< S .> R .

Na Fig. 4 estão apresentadas as principais ideias referentes à determinação da resistência das estruturas deconcreto, as quais envolvem os seguintes conceitos:f = f = kfγckc, estrutura 1c d mod ;ckmod = coeficiente de modificação = kmod1 ⋅ kmod 2⋅ kmod3;kmod1 = considera a influência da altura do corpo-de-prova;kmod 2 = considera o aumento da resistência com o tempo;k = considera a perda de resistência pela permanência das cargas;mod3γc = coeficiente de minoração = γc1 ⋅γ c2 ⋅ γc3;γ c1 = considera a variabilidade intrínseca da resistência do concreto;γc2 = considera a diferença dos processos de produção da estrutura e do corpo-de-prova;γc3 = considera outros possíveis efeitos deletérios (defeitos localizados,peneiramento pela armadura , cura defeituosa, etc).

AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA PELO MÉTODO PROBABILISTA - NÍVEL IH I P Ó T E S E B Á S I C A : f é u m v a l o r c o n h e c i d oc kR U Í N A T E Ó R I C A = E S T A D O L I M I T E Ú L T I M O( P a r a e f e i t o d e p r o j e t o )C O N D I Ç Ã O D E R U Í N A D E P R O J E T OE S T R U T U R A S D E C O N C R E T Of 1 = k c dkγk km o d 1 m o d 2 m o d 3 γc 1=m o dkm o d1 k m o dk =2 m o d 3c = γc1 γ c 2γc 3 = 1,2 1,08 1,08 =fγf0, 951,4c kc , e s t r u t u r aγc 2 c 3[ ( R = R 1d) ( S = S d1, 20, 75== f =1c d0, 85) ]k m o df c kγ cFigura 4 : CONCEITOS PRINCIPAIS

1.3- Resistência característica do concreto de 1 caminhão-betoneiraDe acordo com procedimentos normalizados de colheita do material para moldagem dos 2 corpos–de-prova que formam aamostra para o controle da resistência do concreto fornecido por um único caminhão-betoneira, exige–se que o material sejaretirado do terço médio da descarga.Com isso, espera-se que o valor X 0 assim obtido esteja isento do efeito de uma eventual sedimentação do cimento ao longoda altura do equipamento.Para controlar a variabilidade da resistência do concreto existente ao longo do material fornecido por uma única betoneira,devem ser colhidas mais duas porções de material, uma ao se atingir 15% da descarga e outra nos 85% da operação, com asquais podem ser obtidos mais dois valores da resistência desse concreto.De acordo com a ( NBR-11562 - ítem 6.3 ), para aceitar que uma betoneira esteja em condições satisfatórias deX − X ≤ 0,15X.funcionamento, das 3 resistências obtidas para seu controle, exige-se que seja max min 0Desse modo, a tolerância admitida para a variabilidade da resistência do concreto fornecido por uma única betonada é dadaporXmax – X0 = 7,5% ( X0 )X0 –Xmin = 7,5% ( X0 )o que mostra que a distribuição de resistências ao longo da betonada é simétrica, e que o valor médio X 0 é uma boaestimativa da média dessa distribuição, confirmando-se assim a hipótese de que tal distribuição seja gaussiana.Por outro lado, empiricamente , sabe-se que na amostragem de populações com distribuição normal, muito raramente asamostras apresentam valores individuais Xi fora do intervalo µX−3σ X≤ Xi ≤ µX+ 3σXondeµX é a média e σX o desvio-padrão dessa população.

A título de ilustração dessa regra empírica, no caso do concreto produzido por um único caminhão-betoneira, com oqual poderia ser construída uma população de cerca de 1600 corpos-de-prova, a probabilidade de serem obtidosvalores individuais abaixo de determinados limites está indicada na tabela apresentada na Fig. 5 .P= 50% X0,5µXCAMINHÃO-BETONEIRA : 1600 corpos-de-prova 15x30P= 5% 0,051,645P== NXµXX0,5X X µ σ6,21× 10 −3 X0,00621µX2,5 σXP= 5ä 0,0052,58P== = − k X XX 0,05= − ( N )XXX X µ σ1,35 × 10 −3 X0,00135µX3σX=d=X−X( NXX )= −( NXX )( < = ) = 1600 / 2 = 800( N < X ) = 1600× 0,05 = 80

Desse modo, da condiçãoconclui-se que:( X0 0,075 X0 X0 X0 0,075 X0− ≤ ≤ + ),µ =Xmédia da população : X 0desvio padrão da população :0,075X30σX≤ =0,025 Xlogo, a resistência característica efetiva do concreto fornecido por um único caminhãobetoneiravalef X X Xck≥k=0− 1,645 × 0,0250 = 0,96 X 002 CONTROLE DA RESISTÊNCIA DO CONCRETO2.1 O processo de controleO controle básico da resistência do concreto é feito por meio de ensaios de corpos-deprovamoldados por ocasião do lançamento do concreto na obra.A partir dos resultados desses ensaios, procura-se estimar o valor da resistênciacaracterística inferior do concreto, que corresponde à probabilidade de 5% deexistirem frações do concreto com resistência ainda menor.Nas decisões a respeito do que se deve considerar a respeito da resistência doconcreto da estrutura, tomadas em função das resistências determinadas nos ensaiosde corpos-de-prova moldados por ocasião do seu lançamento, é preciso levar emconta que os resultados dos ensaios de controle também podem ser afetados pelascondições de moldagem, de cura na obra, e do transporte dos corpos-de-prova desde aobra até o laboratório de ensaio, podendo também ser afetados pelas condições de curaaté a data de ensaio e pelos procedimentos de preparação desses corpos-de-prova paraensaio, e pelos próprios procedimentos de ensaio.No caso de não existir conformidade do valor da resistência do concreto determinadoa partir dos ensaios de controle com o valor da resistência característica especificadapara o concreto da estrutura, podem ser realizados ensaios de contra-prova quepermitam a tomada de decisões a respeito da segurança da estrutura.Para o controle da resistência do concreto, é necessário distinguir dois procedimentosdistintos, o controle total e o controle parcial, como adiante especificados.

2.2 Controle totalNo controle total, é feita a amostragem total, isto é, o concreto de cada amassada(caminhão-betoneira) é controlado individualmente, e também é realizado omapeamento do lançamento do concreto ao longo da estrutura.Como o resultado do ensaio do exemplar de controle do concreto de cada caminhãobetoneirasomente é obtido cerca de um mês após o seu lançamento na obra, ele sófica conhecido após a utilização dessa betonada.Desse modo, se a resistência obtida for inferior ao valor especificado no projetoestrutural, isto é, se f ck,est < f ck,esp , qualquer providência posterior a respeitodessa betonada particular somente poderá ser tomada se sua localização puder serrastreada ao longo da estrutura. Esse rastreamento somente poderá ser feito setambém houver sido realizado o mapeamento do lançamento do concreto ao longoda estrutura.CRITÉRIO DE CONTROLEC1No caso de controle total, a resistência do concreto de cada caminhão-betoneira éavaliada individualmente.Dos dois corpos-de-prova ensaiados, considera-se apenas o resultado X 0 mais alto.Em princípio, a resistência característica estimada deve ser adotada com o valorf = 0,96 X .ck , e st0Se o resultado obtido for f ck,est ≥ fck,esp, a resistência dessa betonada seráaceite automaticamente como conforme.Se resultarf ck,est < fck,esp, o material será considerado como não conforme.No caso de ter havido controle total, existindo o correspondente mapeamento doslocais de lançamento das diferentes frações do concreto empregado, a critério doprojetista da estrutura, esse concreto poderá ser considerado como conforme, emfunção da avaliação da segurança das peças estruturais onde esse concreto foiempregado.CRITÉRIO ALTERNATIVO C1’Existe a alternativa de uma eventual adoção do critério que admite a conformidade daresistência quando fc k, est= X0 . Esse critério exigiria uma revisão dos valores

numéricos apresentados nos critérios de conformidade e de aceitação adianteanalisados.A título de esclarecimento, considere-se a influência da adoção mostrada na tabelaseguinte, do critério fck, est= X0 sobre a resistência de cálculo 1,c d , admitindo afckrelação básica f1, c d= 0,85 = 0,607 fck, sendo:1,4f f ≥ 0,961,cd ef1,cd espfRESISTÊNCIAESPECIFICADAf ck, espVALORES em MPaVALORESPECIFIC.f 1,cd espVALOREFETIVOf 1,cd ef ≥DIFERENÇAf 1,cd esp – f 1,cd ef ≤2.3 Controle parcial20 12,1 11,7 0,430 18,2 17,5 0,740 24,3 23,3 1,050 30,3 29,1 1,2No controle parcial, não é realizado o mapeamento do lançamento do concreto aolongo da estrutura, embora possa ter sido feita a amostragem total.Na ausência de mapeamento do lançamento do concreto, não se sabe localizar a posiçãode cada betonada empregada na estrutura.CRITÉRIO DE CONTROLE C2No caso de controle parcial, o concreto deverá ser julgado pelo conjunto de resultadosexperimentais obtidos das betonadas empregadas em todo um certo trecho da estrutura.Dos resultados dos ensaios de N testemunhos, sendo N um número par,resistências individuais 1 2 m−1 M N −1NM = N 2 , considera-se apenas a metade menos resistente, obtendo-se a estimativacomf ≤ f ≤L ≤ f ≤ f ≤L f ≤ f , sendo( L ) ( )f = 2[ f + f + + f / M −1 ] − fck, e st 1 2 M −1MO significado probabilista desta expressão está apresentado no item 3.O emprego deste estimador admite que o todos os exemplares sejam extraídos de umaúnica população homogênea. Desse modo, se a amostra foi extraída de uma mistura de

populações diferentes, a resistência característica calculada é, apenas, uma resistênciacaracterística aparente.CRITÉRIO DE CONTROLEC3No caso de controle parcial, havendo amostragem total mas não tendo sido feito omapeamento dos locais de lançamento, se o resultado obtido com todas as betoneirasfor fck,est≥ fck,esp , haverá aceitação automática , porém, se resultar um únicof < f , todo o concreto deverá ser rejeitado, pois não se saberá ondevalor ck,estck,espesse concreto foi lançado.2.4 Controle de contraprovaCaso o concreto tenha sido rejeitado pelo controle exercido com o material colhido porocasião de seu lançamento, o engenheiro responsável por essa análise deverárecomendar uma avaliação de contraprova da resistência do concreto, por meio deensaios de testemunhos extraídos das peças estruturais que julgar possam ter sidoexecutadas com o concreto não conforme.Para a contraprova, deverão ser consideradas, separadamente, as partes que possam serjulgadas como construídas com concreto razoavelmente homogêneo.No exame dessa homogeneidade, as análises esclerométrica e de ultra-som poderão serelementos auxiliares.CRITÉRIO DE CONTROLEC4No caso de rejeição inicial do concreto, para o controle de contraprova , para cada loteparcial deverão ser cuidadosamente especificados o número N e os locais de extraçãodos testemunhos, mantendo-se uma razoável distância entre eles, para que fiqueconsiderado todo o volume do concreto a ser examinado.O número N de testemunhos deve ser coerente com o tamanho de cada trecho emexame.Para o ensaio de testemunhos extraídos do concreto da estrutura, não há necessidade daextração de pares de corpos-de-prova gêmeos, pois não há risco de que o processoempregado na concretagem de um deles tenha sido diferente do empregado na dooutro. Além disso, os eventuais defeitos dos testemunhos extraídos serão visíveis e,quando houver dúvidas, sempre poderá ser extraído um novo testemunho nasimediações daquele que possa estar sob suspeição.

De maneira análoga, como nessa amostragem todos os testemunhos representam partesreais da estrutura em exame, não há razão de natureza física para desprezar-se a metadedos resultados mais altos obtidos nessa investigação.Por outro lado, como se mostra no item 3, não é correto fazer-se a estimativa daresistência característica com o estimador especificado pelo Critério C2 , admitindoque a amostra conhecida de N elementos seja a metade menos resistente de umaamostra ideal de 2N corpos-de-prova.Desse modo, como não se conhece a variabilidade da resistência ao longo de todo oconcreto em exame, é preferível subdividir o lote total a ser examinado em lotesindependentes e julgá-los individualmente. Para isso, de cada lote local, deve serextraído um número reduzido de corpos-de-prova, determinando-se assim o valor daresistência média de cada trecho.A resistência característica de cada trecho pode ser assim estimada a partir desse valormédio experimental, admitindo um critério análogo ao critério C1, adotando-se umvalor da ordem defc m,expfck,est= ≅ 0,9 f1,1c m,expNessa investigação, não poderão ser aceitos resultados muito discrepantes entre si.Caso isso ocorra, a critério do responsável pela investigação, deverão ser ensaiadostestemunhos suplementares.Dessa forma, na contraprova, o menor número aceitável de testemunhos, emfunção do volume estimado de cada lote em verificação, será de 2 a 3 corpos-deprova,quedevem ser localizados ao longo desse lote .No caso do lote em exame ser constituído pelo concreto de uma simples peçaestrutural de pequeno porte, admitindo-se que ela tenha sido concretada com omaterial de uma única betonada, à critério do engenheiro responsável pelo projetoestrutural, o julgamento poderá ser feito a partir de um único testemunho.No caso de elementos estruturais com grande volume de concreto, o material emexame certamente não foi produzido em uma única betonada.Nesse caso, se por motivos de natureza especial, como eventuais razões legais, fornecessária uma estimativa global desse concreto, será preciso extrair um númerode testemunhos que possam representar o concreto de todo o lote em exame, e suaresistência característica aparente, conforme justificação do item 3 seguinte,somente poderá ser determinada pelo Critério de Controle C2, considerando-seapenas a metade menos resistente dos resultados experimentais obtidos.

CRITÉRIO DE CONTROLE C5Na verificação da segurança da estrutura, a partir da estimativa de contraprovada resistência do concreto por meio de testemunhos extraídos do concreto jáendurecido, as cargas permanentes constituídas pelos pesos próprios das partesda estrutura e das alvenarias e divisórias que já tenham sido construídas, e quepossuam dimensões praticamente iguais aos correspondentes valores adotadosno projeto da construção, poderão ser consideradas com o coeficiente parcial demajoração das açõespermanentes com o valor γ f G = 1,2 .Esse procedimento não poderá ser aplicado a pilares, quando houverpavimentos ainda não concretados.Em qualquer caso, com a necessária anuência do projetista da estrutura, aeventual aceitação poderá ser feita se for verificada a condiçãof≥ 0,9 f , que equivale a adotar γ2= 1,0 , por se admitirck , e st ck , e s pcque as causas que justificam a presença desse coeficiente parcial de minoraçãoda resistência do concreto, para corpos-de-prova moldados por ocasião daconcretagem, não poderão agir com os testemunhos extraídos da estrutura jáexistente.CRITÉRIO DE CONTROLE C6Quer para testemunhos extraídos da estrutura, quer para corpos de prova moldadospor ocasião da concretagem, mas ensaiados em idade superior a 28 dias, osresultados, em princípio, deverão ser corrigidos para idade padrão de 28 dias.Todavia, para ensaios de concreto com até cerca de 3 meses de idade, a critério doresponsável pela investigação, os valores obtidos podem ser considerados comoreferências diretamente válidas para aceitação ou rejeição do concreto.Essa opção pode ser admitida uma vez que, para essa idade, o acréscimo deresistência em relação à de 28 dias é de aproximadamente 10% , cujo efeito sobre asegurança da estrutura é equivalente à aceitação do concreto ensaiado aos 28 diasquando se adota o critério fck , e st≥ 0,9 fck,e s p .

3 FUNÇÃO DE ESTIMAÇÃO DO VALORCARACTERÍSTICO NO CONTROLE PARCIALDada uma população de valores X com distribuição normal , de médiaµX edesvio padrão σX , a Fig. 6 mostra as características probabilísticas essenciaisdessa população e da correspondente população formada pela variável reduzida,definida porux − µX= , cujos parâmetros são u0σXµ = e 1σ = .Nessa figura, f ( x ) é a função de densidade de frequência, e F ( x ) é afunção de frequência.u

D I S T R I B U I Ç Ã O N O R M A L R E D U Z I D AD I S T R I B U I Ç Ã O N O R M A Lf (u)f (u)F(u)0,399F(u)F(u)10,5f (x)F (x)f (x)0,399 / σ xF (x)F(x )1F(x )2100% ( )50%∆ F(x)u = x -µ xσ u = 1u k0µ u> 0+ 1,65σ x-1,65uf (u)u 0 xminx kµ xx> 01,65σxf (x1) f (x2)µ xx 1x 2∆ xx =xmaxxµx+ u σxf (x) ∆ x = ∆ F(x)Figura 6

Dada uma amostra de N elementos retirados de um universo normal de média µX edesvio padrãocrescenteσonde M = N 2 .X, sendo N um número par, ordenam-se os valores em ordemx ≤ x ≤L ≤ x ≤ x ≤L≤ x ≤ x1 2 M −1 M N −1NSe N for impar, despreza-se o maior valor.A função de estimação do valor característico inferior de f ( )xx , que correspondentea seu quantil 0,05 , cuja probabilidade de ser ultrapassado no sentido de valores aindamenores é apenas de 5% , é definida porX( + + L + ) ( )= 2 ⎡⎣x x x / M −1⎤⎦− xk, est 1 2 M −1x − , que é a média dos ( M − 1) menoresConforme se mostra na Fig. 7, o valor de M 1valores contidos na amostra, representa a abscissa do centro de gravidade da áreadelimitada pela função f ( x ) , de 0 até a abscissa de xM− 1 , sendoMxM −1=x + x + L + xM −11 2 M −1xDe forma análoga, o valor de M , que divide a amostra total em duas partes comnúmeros iguais de elementos, representa uma estimativa da mediana da distribuição.Com distribuições normais, que são simétricas em relação à mediana, ela tambémrepresenta uma estimativa da média µX da população em questão.Em princípio, xM− 1 poderia ser calculada considerando a área desde 0 até a abscissarepresentativa de µ X .Todavia, evitando a hipótese de que sejam iguais os valores de xM− 1 e de x M ,x ≅ µ , adota-se x 1 = µ − 0,05σ, que no caso da resistência deσ ≤ .sendo M XM − X Xconcretos com f ≤ 50MPa, corresponde a um valor 0,05 0,25MPackX

Para o cálculo de xM− 1 em uma distribuição normal, calculam-se a área A e omomento estático S da figura mostrada na Fig. 7 em relação ao eixo verticalpassando pela abscissa xM− 1 .Considerando a função f ( u ) da variável normal reduzidaf ( u)=1e2πobtêm-se , respectivamente,2u−2x − µσ, sendoelogo−0,05∫A= f ( u)du = 0,48−4−0,05∫S = f ( u)⋅ udu = −0,398−40,398xCG= − = − 0,8290,48

f ( x )0,40,8290,3990 , 3 9 8σ x0, 2C G0 µx - 4σxµ x- 3 σ xµ x - 2 σ xx k1σx - _µ xx M-10,829 σ xx - 1 x M M0,0 5 σ x1,658 σ xµ xFigura 7

Desse modo, como o termo entre colchetes[( x1 + x2 + + xM−1 ) / ( M −1)L ]é uma estimativa da média M 1integral, pode-se escrever a expressão de k,e ste sendoresultaou sejaX = 2[ x ] − xk, e st M −1Mx− 1 = µ − 0,829σM X Xx − dos (M-1) menores valores da populaçãoX[ µ − 0,829σ]sob a formaX,= 2 − µ = µ −1,658σXk e st XX X X X≅Xk, est k,e fA função de estimativa aqui estudada é, portanto, um estimador centrado no valorcaracterístico da população analisada.Além disso, como ele decorre de duas estimativas de médias, uma da média doconjunto de valores da metade menos resistente da amostra, e outra da média doconjunto de todos os valores da amostra por meio da mediana desse conjunto, a suavariância é significativamente menor que a variância de estimadores que tambémlevam em conta a variância da população.

P O P U L A Ç Ã O R E A LA M O S T R A R E ALC O M M E L E M E N T O SP O P U L A Ç Ã O I D E A LA M O S T R A I D E A L C O M 2M E L E M E N T O S0x minx k, est =[( µ - x )xmin2 x - M -x1xMM- 1=µxµ] = 2x- x( xmaxxmaxx M - 1x- µ )= µ x- ( x maxM-= x maxx - xminµ x) = µ x- ( µ) = xminx = x + ( M - 1 1x2*+ * *x + x ) / (+ M-2M-1M-1 )Figura 8

Observe-se , finalmente, que ao contrário do que foi considerado anteriormente aesta publicação, esse estimador não pode ser aplicado imaginando-se que os Mvalores conhecidos sejam apenas a metade menos resistente de uma amostra idealde 2M valores.Como está mostrado na Fig. 8, se isso fosse admitido, o valor da média xM− 1seria praticamente uma estimativa da médiavalor xmax da amostra .µ X da população , e x M seria oNessas condições, o estimador estaria centrado no valor [2µ - x max ] .Com uma distribuição simétrica da variável X em torno de sua média, o estimadorforneceria valores( ) ( )x = 2µ − x = µ − x − µ = µ − µ − x = xk, e st x max x max x x x min minque seriam estimativas exageradamente baixas do valor característico.. . .X