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ANEXO VI 1. Determine o quociente e o resto na divisão euclidiana ...

ANEXO VI 1. Determine o quociente e o resto na divisão euclidiana ...

f = 3(X-4)(X+4)(X - 3

f = 3(X-4)(X+4)(X - 3 )(X-i)(X+i). 4. Se A não é um anel de integridade, então existem polinômios distintos de mesmo grau n com n + 1 raízes. Seja A = Z6. f:=x->x^3-x^2 mod 6: g:=x->x^3-2*x^2+x mod 6: f(0)=g(0); f(1)=g(1); f(3)=g(3); f(4)=g(4); 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 Veja que grau de f é igual a grau de g e que f ≠ g. 5. Fatorar : a) f =: x^3 – x^2 - x – 2: em Z[X]. factor(f); ( ) − x 2 ( + + ) x2 x 1 Observe que X - 2 e X 2 + X + 1 são irredutíveis sobre Z. b) f=: x^8 – 2*x^4 + 1: em R[X] factor(f); ( ) − x 1 2 ( x + 1 ) 2 ( x + ) 2 2 1 Assim vemos que 1 é raiz de f com multiplicidade 2 e -1 também é raiz com multiplicidade 2. As outras raízes são complexas. 165

factor(f,complex); ( ) + x 1. 2 ( x + 1. I) 2 ( x − 1. I) 2 ( x − 1. ) 2 As raízes são: 1, -1, i, -i todas com multiplicidade 2. Observe que a resolução de um problema depende onde ele é formulado e de qual o interesse do momento. 6. Dado o polinômio, f:=x^5-10*x^4+30*x^3-135*x+162: que possui 3 como raiz, determinar a multiplicidade desta raiz. f1:=diff(f,x); f1 := 5 x − + − 4 40 x 3 90 x 2 135 subs(x=3,f1); 0 f2:=diff(f,x$2); f2 := 20 x − + 3 120 x 2 180 x subs(x=3,f2); 0 f3:=diff(f,x$3); f3 := 60 x − + 2 240 x 180 subs(x=3,f3); 0 f4:=diff(f,x$4); f4 := 120 x − 240 subs(x=3,f4); 120 Como f (4) (3) ≠ 0, temos que m(f,3) = 4. X 7. Decompor em frações parciais. 2 ( X + 1)( X − 1) gcd(x,(x^2+1)*(x-1)); 1 portanto, estamos em condição de utilizar o procedimento. Também devemos perceber que X 2 +1 é irredutível sobre R. 166