Views
5 years ago

ANEXO VI 1. Determine o quociente e o resto na divisão euclidiana ...

ANEXO VI 1. Determine o quociente e o resto na divisão euclidiana ...

A decomposição

A decomposição procurada será da forma X aX + b c = 2 2 ( X + 1)( X − 1) X + 1 X 1 + − Assim, X = (aX + b)(X - 1) + c(X 2 + 1). subs(x=1,x=(a*x+b)*(x-1)+c*(x^2+1)); 1 = 2 c subs(x=0,x=(a*x+b)*(x-1)+c*(x^2+1)); 0 = − b + c subs(x=2,x=(a*x+b)*(x-1)+c*(x^2+1)); 2 = 2 a + b + 5 c solve({2*c=1,-b+c=0,2*a+b+5*c=2},{a,b,c}); -1 1 1 { a = , c = , b = } 2 2 2 8. Análise e localização das raízes de equações do tipo X n –1 =0. a) Fazer o gráfico de X 6 – 1 e analisar as raízes pelo gráfico. with(plots): plot(x^6-1,x=-1.5..1.5); Pelo gráfico percebemos que –1 e 1 são raízes da equação dada, mas também sabemos que esta equação possui 6 raízes complexas. Onde estão as outras raízes? Mesmo tomando um intervalo de plotagem maior não as encontraremos no gráfico. Tente. Será possível localizá-las? 167

S:={solve(x^6-1=0,x)}; 1 1 1 1 1 1 1 1 S := { -1, 1, − + I 3 , − − I 3 , − I 3 , + I 3 } 2 2 2 2 2 2 2 2 Vamos agora obter a forma polar destas raízes. readlib(polar): for i to nops(S) do polar(S[i]) od; polar ( 1, π ) polar ( 1, 0 ) ⎛ ⎞ polar ⎜1, ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 π ⎛ ⎞ polar ⎜1, − ⎟ ⎝ ⎠ Obs. O primeiro elemento significa o módulo da raiz e o segundo o argumento. Por exemplo, a representação trigonométrica da última raiz é: π π cos( ) + i sen( ). 3 3 Utilizando a representação trigonométrica para cada raiz obtemos o que segue. hex:=[seq([cos(2*Pi*k/6),sin(2*Pi*k/6)],k=1..6)]: circ:=plot(cos,sin,º.2*Pi]): p:=polygonplot(hex,color=blue): display({circ,p}); 2 3 π ⎛ ⎞ polar ⎜1, − ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 π ⎛ ⎞ polar ⎜1, ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 π 168