1.7_Relatii_de_ nedereminare.pdf

86
RELAŢIILE DE NEDETERMINARE HEISENBERG
1.8. RELATII DE NEDETERMINARE (INCERTITUDINE) HEISENBERG
Werner Karl Heisenberg, fizician german, laureat al premiului Nobel
pentru fizică în 1932, a fost considerat unul dintre "părinţii fondatori" ai mecanicii
cuantice. El a formulat principiile mecanicii cuantice într-o formă algebrică,
matricială, drept pentru care metoda lui de abordare a primit numele de
"formalismul Heisenberg".
Intr-un articol publicat în anul 1927, "Despre conţinutul intuitiv al
cinematicii şi mecanicii cuantice", Heisenberg a formulat "principiul
incertitudinii", principiu conceptual de bază care sublinia limitele percepţiilor
umane 43 .
Cazul A. S-a propus următoarea experienţă mentală. Fie un fascicul de
electroni care se deplasează de-a lungul axei Ox, având o anumită energie (şi
respectiv un anumit impuls). Acest fascicul de electroni trece prin fanta unei
diafragme şi este interceptat pe un ecran (cu ajutorul unui numărător de particule).
Dualitatea undă - corpuscul permite tratarea interacţiei particulă - ecran drept un
fenomen de difracţie.
Inainte de trecerea electronului prin fantă, impulsul acestuia era :
r r
p = p ⋅
x 1x
Dincolo de fantă direcţia de mişcare a particulei este nedeterminată.
Dacă electronul trece prin fantă, coordonata z este cunoscută cu imprecizia
Δz, egală cu lăţimea fantei (figura 1.34).
După trecere, electronul suferă
creşte.
p r
Δz
electron
fanta
θ x
diafragma
figura de
difractie
Figura 1.34
ecran
un fenomen de difracţie. In consecinţă
impulsul electronului capătă o
componentă Δpz pe direcţia z, a cărei
valoare este :
Δ = p ⋅ sin θ
p z
dar, de la difracţia Fraunhofer printr-o
fantă, ştim că pentru primul minim nul
este valabilă relaţia :
Δz ⋅ sin θ = λ
Se observă că, atunci când Δz scade, θ creşte şi - prin urmare - şi Δpz
43 "Aş vrea să mai spun o dată de ce nedeterminismul, adică nevalabilitatea
cauzalităţii riguroase, este necesar şi nu doar posibil de o manieră consistentă." (iunie 1927,
scrisoare a lui Werner Heisenberg către Einstein)
"Succesul sistemului lui Heisenberg va conduce poate la folosirea unei metode pur
algebrice pentru descrierea naturii, adică la eliminarea funcţiilor continue ale fizicii." (Albert
Einstein)

BAZELE EXPERIMENTALE ŞI ISTORICE ALE TEORIEI CUANTICE 87
Pe de altă parte :
λ Δpz
sin θ = =
Δz
p
In general :
⇒
h
Δz
⋅ Δpz
= p ⋅ λ = p ⋅ = h
p
Δ xi ⋅ Δpi
≅ h
(1)
ceea ce însemnă că produsul de mai sus este de ordinul de mărime al constantei lui
Planck.
Imprecizia cu care se localizează o particulă cuantică este dependentă de
imprecizia determinării simultane a impulsului.
Relaţia (1) permite - totodată - o evaluare cantitativă a domeniului de
aplicabilitate. Astfel, se observă că imprecizia în determinarea vitezei unei
particule este :
h
Δ vi
=
(2)
m ⋅ Δxi
Intrucât constanta lui Planck, h = 6,6⋅10 -34 J⋅s are un ordin de mărime
h
extrem de mic, raportul stabileşte - esenţial - mărimea lui Δvi . Astfel, pentru
m
particule macroscopice, clasice, se consideră că Δ vi → 0 ; ca exemplu : pentru un
corp de masă "clasică", cu m ≅ 1 kg , a cărui imprecizie de localizare este de 10 -4
m (0,1 mm), se constată că :
−34
6,
6 ⋅10
−30
Δ vi
= = 6,
6 ⋅10
m/s
−4
10
O astfel de imprecizie în stabilirea vitezei depăşeşte limita posibilităţilor de
măsurare.
Pentru particule microscopice, ale căror mase sunt de ordine de mărime
apropiate cu h (cum ar fi de exemplu electronii, pentru care masa de repaus este de
aproximativ 10 -30 kg) , a căror imprecizie de localizare este de cel mult 10 -11 m, se
obţine :
−34
6,
6⋅10
7
Δvi =
= 6,
6⋅10
m/s
−11
−30
10 ⋅10
Deoarece în cazul unei probleme rezolvate de efect fotoelectric s-a arătat că
pentru o energie cinetică a electronului având valoarea de 0,123 MeV viteza
(relativistă) a acestuia este de aproximativ 1,8⋅10 8 m/s , prin comparaţie cu
rezultatul obţinut mai sus se constată că imprecizia în determinarea vitezei are
acelaşi ordin de mărime cu viteza însăşi. Prin urmare, principiul de nedeterminare
nu poate fi ignorat.
Cazul B. Vom verifica consecinţele relaţiei de nedeterminare asupra
nivelelor de energie stabilite pentru modelul atomic Bohr. Astfel (vezi figura 1.35):

88
RELAŢIILE DE NEDETERMINARE HEISENBERG
E
- pentru starea fundamentală :
ΔE = 0 ⇒ Δt
= ∞
cu alte cuvinte în starea fundamentală energia este
bine definită iar viaţă medie este infinită ;
- pentru starea excitată :
⋅ Δ~
ΔE
⋅ Δt
≥ h ⎫ hc ν ⋅ τ ≥ h
⎬ 1
Δ = τ
⎭
Δ~
t , timp de viata ν ≥
cτ
unde Δ ν
~ reprezintă lăţimea liniei spectrale ( Δ ν
~ apare
şi datorită efectului Doppler, datorat mişcării atomilor
/ subiect neabordat încă).
• Relaţiile de nedeterminare Heisenberg afirmă că nu pot fi măsurate
simultan, cu orice precizie, două mărimi conjugate 44 .
• Mărimile conjugate sunt mărimi al căror produs are dimensiunile unei
acţiuni (vezi mecanica analitică ) :
- impulsul şi coordonata de poziţie ( p, r)
r r 45
:
r r
Δp
⋅ Δr
≥ h
⎧Δpx
⋅ Δx
≥ h
⎪
⇒ ⎨Δp
y ⋅ Δy
≥ h
⎪
⎩Δp
z ⋅ Δz
≥ h
- momentul cinetic şi coordonata unghiulară :
ϕ r
stare
excitata
stare
Figura 1.35
fundamentala
r
L, ⇒ Δ ⋅ Δϕ
≥ h , ΔL
⋅ Δϕ
≥ h , ΔL
⋅ Δϕ
≥ h
( )
- energia şi timpul : Δ E ⋅ Δt
≥ h
Lx x
y y
z z
44
In anul 1930 a avut loc Conferinţa 6 Solvay. La această conferinţă Einstein propune
un contraexemplu celor descrise mai sus. "Se ia o cutie plină cu radiaţie.De una din feţele cutiei
se fixează un ceas care este programat ca la un anumit moment să deschidă o fereastră şi să lase
să iasă un singur foton. După care cutia este cântărită. Ce am obţinut ? Un experiment în care am
determinat simultan şi energia şi timpul în cazul unui foton. Principiul lui Heisenberg era
infirmat ! Bohr a fost şocat. Nu putea găsi pe loc un contraargument !.. Bohr a petrecut una din
cele mai negre seri din viaţa lui, extrem de nefericit de ceea ce părea fără replică. dar doar părea,
pentru că a doua zi triumful total este al lui Bohr, care găseşte soluţia. Prima "poantă" era...
măsurarea masei. Căci pentru a o efectua, trebuia agăţată de cutie o greutate compensatorie, care
ar fi imprimat cutiei un impuls. Care ar fi indus o eroare în măsurarea poziţiei cutiei. Care,
pentru că timpul nu este absolut, ar fi indus o eroare în determinarea timpului. De unde ştiu că
timpul nu este absolut ? Din Teoria Relativităţii a lui Einstein. Aceasta a fost a doua poantă. Cel
nefericit a fost acum Einstein..." (Andrei Dorobanţu, "Einstein vs. Bohr", Revista Stiinţă şi
tehnică, mai 2005, pag. 28 ÷31)
Einstein n-a renunţat niciodată în a gândi contraexemple. Unul dintre ele, celebru
(formulat în 1935), este experimentul EPR (Einstein, Podolski şi Rosen).
Un alt exemplu celebru poartă numele de "Pisica lui Schrödinger". Vom povesti câte
ceva despre ea în următorul capitol.
≥
45 Semnul " " se explică prin faptul că impreciziile în măsurarea mărimilor conjugate
sunt afectate suplimentar şi de impreciziile instrumentale sau statistice inerente fenomenului
măsurării.

BAZELE EXPERIMENTALE ŞI ISTORICE ALE TEORIEI CUANTICE 89
Concluziile 46 care pot fi formulate până în acest moment sunt că :
1. Pentru particulele clasice relaţia de nedeterminare nu funcţionează.
2. Noţiunea de traiectorie pentru particule cuantice este lipsită de sens.
3. Procedeul de măsură la scară microscopică perturbă starea iniţială
("observatorul, prin actul de observare, provoacă manifestarea ondulatorie sau
corpusculară a fenomenelor").
4. Relaţiile de nedeterminare se manifestă numai la măsurarea simultană a
celor două mărimi conjugate.
5. Relaţiile de nedeterminare au un caracter principial, reflectând dublul
caracter ondulatoriu şi corpuscular al microparticulelor.
Problemă rezolvată. Un atom emite un foton cu λ = 5000 Å cândva, în
intervalul de timp de τ = 10 -8 s. Cu ce precizie poate fi localizat fotonul pe direcţia
sa de mişcare ? Care este imprecizia în evaluarea lungimii de undă ?
Rezolvare
Imprecizia în localizarea fotonului este dependentă de imprecizia în ceea ce
priveşte momentul emiterii acestuia :
Δ x = c ⋅ Δτ
= 3 m
In ceea ce priveşte lungimea de undă, se foloseşte relaţia lui Heisenberg :
h
Δ x ⋅ Δp
≥ h ⇒ Δp
≥
Δx
dar :
h
p =
λ
de unde rezultă :
de unde Δp
=
2
λ
−4
Δ λ = = 8,
3 ⋅10
Å
Δx
h
λ
2
⋅ Δλ
46 In 1928 Heisenberg, Bohr şi Max Born au elaborat "Interpretarea de la
Copenhaga", care înglobează atât ideea de complementaritate, de semnificaţie a funcţiei de
undă, de formalism specific matematic, de nedeterminare, cât şi enunţarea unor principii de
înţelegere a lumii cuantice pe baze nu numai fizice, matematice ci si profund legate de o altă
structură a teoriei cunoaşterii. Astfel, tezele acestei interpretări, aşa cum au fost formulate ele de
către Primas, au fost :
"1. Teoria se ocupă de obiecte individuale.
2. Probabilităţile sunt esenţiale.
3. Frontiera care separă obiectul observat şi metodele de observaţie este lăsată la
alegerea observatorului.
4. Metodele observaţionale trebuie descrise în termenii fizicii clasice.
5. Actul de observaţie este ireversibil şi crează un document.
6. Saltul cuantic ce are loc la efectuarea unei măsurători este o tranziţie de la
potenţialitate la actualitate.
7. Proprietăţile complementare nu pot fi observate simultan.
8. Numai rezultatele unei măsurători pot fi considerate adevărate.
9. Stările cuantice pure sunt obiective, dar nu reale." (vezi [6] , pag. 90)

90
RELAŢIILE DE NEDETERMINARE HEISENBERG
1.9. Consideraţii finale
Toate experimentele şi observaţiile corespunzătoare care au fost trecute în
revistă în primul capitol au condus la o primă concluzie, majoră în conţinutul ei :
maniera de a gândi în lumea microparticulelor (incluzând aici şi structura
atomului) este / trebuie să fie TOTAL DIFERITA de tot ceea ce a studiat fizica
clasică ! Acest lucru înseamnă nu numai altă concepţie în ceea ce priveşte calitatea
fenomenelor observate (probabilitate versus determinism) dar şi alegerea unor
mărimi fizice specifice - care pot fi evaluate / "măsurate" - , a unui aparat
matematic corespunzător regulilor particulare ale acestui domeniu, a unui edificiu
de principii şi de postulate care să justifice rezultatele obţinute până în acel
moment dar - totodată - să permită o dezvoltare ulterioară.
Sigur că toate aceste cerinţe nu au fost uşor de îndeplinit. Istoria fizicii a
mai consemnat - din acest punct de vedere, suplimentar faţă de ceea ce am
prezentat până acum - următoarele momente importante.
Iulie, 1925. Werner Heisenberg publică (într-o revistă germană) un prim
articol în care abordează subiectul mecanicii cuantice ; revine cu un nou articol în
noiembrie, când - împreună cu Pascual Jordan - formulează principiile mecanicii
cuantice matriciale.
"Deşi în cercetările lui Rutherford, Bohr, Sommerfeld, ş.a. comparaţia unui
atom cu un sistem planetar de electroni conduce la interpretarea calitativă a
proprietăţilor optice şi chimice ale atomilor, totuşi, deosebirea fundamentală
dintre spectrul atomic şi spectrul clasic al unui sistem de electroni impune nevoia
de a abandona conceptul de traiectorie electronică şi de descriere vizuală a
atomului...In timp ce în teoria clasică felul observaţiei nu are nici o legătură cu
evenimentul, în teoria cuantică perturbaţia asociată cu fiecare observaţie a
fenomenului atomic are un rol decisiv. Mai mult, deoarece rezultatul unei
observaţii conduce de regulă la afirmaţii despre probabilitatea anumitor rezultate
ale observaţiilor ulterioare, partea fundamental neverificabilă a fiecărei
perturbaţii trebuie, cum a arătat Bohr, să fie decisivă pentru operarea
necontradictorie a mecanicii cuantice. Desigur, această diferenţă dintre fizica
clasică şi atomică este de înţeles deoarece pentru corpurile grele, cum sunt
planetele care se mişcă în jurul soarelui, presiunea luminii solare care se reflectă
la suprafaţa lor şi este necesară pentru ca acestea să fie observate este
neglijabilă ; în schimb, pentru cele mai mici unităţi constructive de materie,
datorită masei lor mici, fiecare observaţie are un rol decisiv asupra comportării
lor fizice. Perturbaţia sistemului observat cauzată de observaţie este, de asemenea,
un factor important pentru determinarea limitelor în care este posibilă o descriere
vizuală a fenomenelor atomice... O examinare mai de aproape a formalismului
arată că între precizia cu care este stabilită localizarea unei particule şi precizia
cu care impulsul ei poate fi simultan cunoscut există o relaţie conform căreia
produsul erorilor probabile în măsurarea poziţiei şi impulsului este invariabil cel

BAZELE EXPERIMENTALE ŞI ISTORICE ALE TEORIEI CUANTICE 91
puţin egal cu constanta lui Planck împărţită la 4π.... Legile mecanicii cuantice
sunt fundamental statistice... Relaţiile de incertitudine oferă un exemplu de modul
în care, în mecanica cuantică, cunoaşterea exactă a unei variabile poate exclude
cunoaşterea exactă a alteia. Această relaţie de complementaritate dintre diferitele
aspecte ale aceluiaşi proces fizic este caracteristică pentru întreaga structură a
mecanicii cuantice... De exemplu, determinarea relaţiilor energetice exclude
descrierea detaliată a proceselor spaţio-temporale. In mod similar, studiul
proprietăţilor chimice ale unei molecule este complementar cu studiul mişcării
electronilor individuali în moleculă, sau observarea fenomenelor de interferenţă
este complementară observării cuantelor de lumină individuale... Astfel fizica
clasică îşi are limitele în punctul din care influenţa observaţiei asupra
evenimentului nu mai poate fi ignorată. Invers, mecanica cuantică face posibilă
tratarea proceselor atomice prin renunţarea parţială la obiectivarea şi descrierea
spaţio-temporală." (Werner Heisenberg, "Dezvoltarea mecanicii cuantice")
In mecanica matricială (care a primit numele de formalism Heisenberg)
modelul atomic Bohr a fost înlocuit cu un model în care electronii atomului sunt
consideraţi oscilatori liniari, fiecărui electron fiindu-i asociată o matrice de numere
construită pe baza frecvenţelor de tranziţie (de emisie şi de absorbţie) posibile
pentru acest electron. Fără a intra în detalii, pentru că lucrurile sunt mult mai
complicate, trebuie arătat că aplicarea acestui formalism a condus la soluţii de tip
"salturi cuantice", fără ca acest lucru să fie postulat iniţial (ca în cazul Bohr).
Valoarea (şi inclusiv valabilitatea) mecanicii cuantice matriciale a fost
recunoscută în anul 1932, când Heisenberg a primit premiul Nobel în fizică.
Ianuarie 1926. Edwin Schrödinger publică prima lucrare de mecanică
cuantică ondulatorie ; punctul de sprijin al noului formalism propus este
reprezentat de teoria lui de Broglie (unda asociată unei particule, respectiv
electronului în atom). Schrödinger aplică ipoteza lui de Broglie într-o formulă
matematică, văzând electronul nu ca pe un punct material aflat în diferite poziţii în
jurul nucleului unui atom, ci ca pe o undă staţionară, localizată în jurul şi în
preajma nucleului, la nivele energetice definite.
In conferinţa "Ideea fundamentală a mecanicii ondulatorii" ţinută de către
Schrödinger cu prilejul acordării premiului Nobel (în 1933), acesta vorbeşte despre
existenţa "undelor de materie", care - în anumite împrejurări - joacă în procesele
mecanice acelaşi rol ca şi cel al undelor de lumină în procesele optice.
1928. Paul Adrien Maurice Dirac generalizează ecuaţia Schrödinger,
pornind de la premiza că - în atom - vitezele electronilor sunt relativiste. Astfel
formulează "ecuaţia relativist invariantă a electronului" , numită acum "ecuaţia lui
Dirac". Rezolvarea concretă a acestei ecuaţii îi permite (ulterior) să prezică
existenţa "pozitronului", antiparticula electronului, descoperită experimental mai
târziu.

92
RELAŢIILE DE NEDETERMINARE HEISENBERG
1930. In "Principii ale mecanicii cuantice" Dirac enunţă o teorie
matematică generală, în care mecanica matricială şi mecanica ondulatorie sunt
cazuri particulare ; tot el dovedeşte că cele două formalisme sunt echivalente
(Dirac obţine premiul Nobel în fizică în anul 1933, împreună cu Schrödinger,
"Pentru descoperirea de noi forme fecunde ale teoriei atomice".)
Echivalenţa dintre formalismul matricial Heisenberg şi formalismul
ondulatoriu Schrödinger a permis autorilor de cărţi didactice alegerea prezentării
unuia dintre ele. Din acest motiv, în cele ce urmează, dincolo de elementele de
bază (noţiuni, principii, postulate), maniera de tratare se va baza pe elemente care
aparţin formalismului Schrödinger (funcţie de undă, ecuaţie cu derivate parţiale
şi soluţii corespunzătoare, condiţii la limită, etc., adică - în general - lucruri
cunoscute din punct de vedere matematic din volumele de fizică precedente ale
autoarei.)
1.10. Bibliografie
[1] Max Born, "Fizica atomică", Editura Stiinţifică, Bucureşti, 1973
[2] Traian Creţu, "Fizica generală", vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti,
1986
[3] Dan Anghelescu, Diana Moisil, Leonard Müller, Alexandru Preda,
"Fizica", Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982
[4] E.V. Spolski, "Physique atomique", tome II, Ed. Mir, Moscou, 1978
[5] George Moisil, "Fizica pentru ingineri", vol. II, Editura Tehnică,
Bucureşti 19679
[6] Roland Omnès, "Interpretarea mecanicii cuantice", Editura Tehnică,
Bucureşti, 1999
[7] John Cornwell, "Oamenii de ştiinţă ai lui Hitler", Editura Aquila,
Bucureşti, 2005
[7] Andrei Dorobanţu, "Einstein vs. Bohr", Revista Stiinţă şi tehnică,
mai 2005, pag. 28 ÷31
[8] Andrei Dorobanţu, "Cei patru cavaleri ai Răsăritului (6) : Niels Bohr
şi Albert Einstein", Revista Stiinţă şi tehnică, martie 2001,
pag. 63 - 65
[9] Nicolae Chiorcea, "Titani ai ştiinţei", Editura Lucman, Bucureşti,
2005