C:\Documents and Settings\Sever Serban\My Documents\carti ...

C 

A 

P 

I 

T 

O 

L 

U 

L 

1 

modelarea ªi simularea 

proceselor ªi sistemelor 

1.1. noÞiuni fundamentale 

Disciplina Tehnici de Modelare şi Simulare a Proceselor şi Sistemelor (TMSPS) se 

ocupă cu studiul metodelor şi tehnicilor prin care, procese din lumea reală, se 

reprezintă sub formă de modele matematice abstracte, pe baza cărora, prin simulare, 

se pot obţine informaţii pertinente asupra procesului analizat; utilitatea modelelor rezidă 

atât în analiza comportamentului dinamic din trecutul evoluţiei sale temporale, cât, mai 

ales, în scopul acţiunilor de prognoză a comportamentului său. Utilitatea cea mai 

elevată a modelelor de procese este reprezentată de accepţiunea de sistem -un model 

matematic cu o formă specifică de reprezentare- ce permite sinteza structurilor de 

conducere automată a proceselor implicate. 

Prin noţiunea de PROCES se înţelege un ansamblu de elemente concrete -uzual, de 

factură artificială- inclusiv fenomenele fizico- chimice implicate, cu o destinaţie 

economică concretă cum ar fi: producere de energie, conversie între diverse forme de 

energie, producerea de bunuri materiale, transport, etc. Este important faptul că, un 

proces, poate fi privit ca o structură de sine stătătoare, separabilă de mediul 

înconjurător, cu care dialoghează doar prin fluxurile de intrare în proces, respectiv de 

ieşire din acesta. Multitudinea proceselor -cu care ne putem confrunta într-un astfel de 

studiu- este foarte diversă, cele mai importante fiind: 

Procesele industriale sunt destinate producţiei de forme finite de energie sau 

bunuri materiale, reprezentând pseudototalitatea obiectelor ce fac obiectul 

modelării matematice, cu scopul declarat al realizării conducerii automate; 

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2 S. ERBAN MODELARE i SIMULARE 

Procesele economice sunt specifice dezvoltării societăţilor productive, 

economiilor naţionale şi chiar structurilor mondiale; caracterizate -uzualvaloric 

-monetar- sunt procese de o complexitate deosebită, caracterizarea lor 

presupunând cunoştinţe de specialitate dar şi sistemice deosebite. Este 

domeniul în care prognoza dezvoltării, obţinută pe baza modelării matematice, 

este cea mai intuitivă şi elocventă; 

Procesele biologice sunt specifice ştiinţelor vieţii care, privite din perspectiva 

modelării matematice, oferă perspective nebănuite pentru diagnoza 

deficienţelor de funcţionare precum şi a metodelor de corijare. 

Dacă este necesară o exemplificare a noţiunii de proces, cea mai sugestivă ilustrare este 

dată de cea a proceselor industriale. Astfel 

Exemplul 1.1. Grupul turbină -generator reprezentat în figura 1.1 este evident un 

proces industrial destinat producerii de energie electrică prin consumul unei alte 

forme de energie cum ar fi: energia termică a aburului -grup turbogenerator, energia 

hidraulica a apei -grup hidrogenerator, etc. Procesul poate fi privit ca izolat de mediul 

înconjurător, cu care dialoghează doar prin fluxul de energie de intrare (mărime cauză) 

în acest proces care este (se face referire la grupul turbogenerator) energia termică, 

caracterizată de debitul de abur, temperatura şi presiunea acestuia, respectiv fluxul de 

energie de ieşire (mărimea efect), caracterizat de tensiune, curent şi frecvenţă, mărimi 

ce determină puterea electrică 

produsă de generator. 

Exemplul 1.2. Procesul industrial 

din figura 1.2 este reprezentat de 

un amestecător în care, pe baza a 

două debite de intrare Q1, Q2, cu 

concentraţii în aceeaşi substanţă 

activă c1, c2 (şi care reprezintă 

fluxul de intrare w Fig. 1.1. Grup turbin-generator 

i ) se obţine un 

debit de ieşire Q de concentraţie c 

ca proces industrial 

(fluxul de ieşire we ), singurele cu 

care se produce interacţiunea sa cu mediul înconjurător. 


Noiuni fundamentale 3 

Fig. 1.2. Amestectorul ca proces industrial 

Exemplul 1.3. Un algoritm de calcul implementat pe un calculator numeric, ce 

prelucrează “sincronizat” (toate semnalele sunt definite la aceleaşi momente de timp, 

precizate de ceasul de timp real) semnalele numerice este absolut similar unui proces, 

cu specificităţi datorate suportului discret al funcţiilor. 

Exemplul 1.4. Un proces economic este reprezentat, de exemplu, de balanţa 

legăturilor între ramurile unei economii, producţiile acestora fiind p i : 1=1, 2, ..., n. 

Un MODEL al unui proces este o reprezentare, într-o formă utilizabilă, a aspectelor 

esenţiale legate de funcţionalitatea acestuia, folosind mărimile specifice ale procesului. 

Este de la sine înţeles că orice model dă o reprezentare simplificată a procesului 

implicat, că întotdeauna obţinerea acestuia este orientată spre un grad prestabilit de 

complexitate. De exemplu, deşi funcţionalităţile generale sunt, practic, întotdeauna 

neliniare, se caută modele liniare care să exprime suficient de exact funcţionalitatea 

procesului. Modul de caracterizare a diverselor procese, generează diverse tipuri de 

modele: 

modele empirice, folosite în general pentru fizica şi chimia microscopică; 

modele fenomenologice la care fundamentale sunt legile fizice şi chimice 

specifice domeniului de apartenenţă a procesului vizat; 

modele funcţionale pentru care reprezentările se fac prin relaţii sau scheme 

funcţionale; 

modele matematice sunt acelea pentru care reprezentările funcţionalităţilor 

sunt ecuaţionistice (analitice). 

Prin noţiunea de SISTEM se înţelege o formă rafinată de model al unui proces, în 

sensul unificării denumirilor mărimilor, a notaţiilor precum şi a modalităţilor de 



reprezentare. Pentru sisteme se pot construi teorii generale de analiză sau sinteză, cu 

formulări ce nu mai sunt tarate de natura procesului concret (şi deci, a modelului 

ataşat). Sistemele se pot descompune în SUBSISTEME sub restricţia ca legăturile de 

interconectare să fie numai de factură informaţională (fără transfer de masă sau 

energie); în egală măsură, din sisteme, se pot realiza structuri complexe, prin conexiuni 

informaţionale, menite să confere ansamblului proprietăţi superioare faţă de sistemul 

originar. 

1.2. modelare ªi simulare 

Prin MODELARE înţelegem operaţia de determinare a unui model ataşat unui proces 

concret, într-o formă adecvată de exprimare şi precizie, ce permite exploatarea sa 

pentru scopurile propuse. Obişnuit, modelul se rescrie imediat sub formă de sistem, pur 

şi simplu prin renotarea mărimilor implicate precum şi prin adaptarea exprimării 

acestuia la un şablon specific. 

Cât priveşte SIMULAREA, aceasta este o metodă experimental- aplicativă prin care 

se testează un model (sistem) pentru a stabili gradul de adecvare a acestuia în raport 

cu procesul iniţial. Simularea se realizează prin implementarea sistemului (modelului) 

pe un dispozitiv de simulare care poate să fie specializat (ataşat unui sistem anume) sau 

universal (calculator analogic sau numeric). Este cazul să menţionăm dezvoltarea fără 

precedent a tehnicilor numerice de simulare, care pun la dispoziţia cercetătorilor 

programe dedicate acestei operaţii, cu o interfaţare prietenoasă accesibilă chiar şi 

începătorilor în domeniul informatic. 

Operaţiile de modelare şi simulare se subordonează schemei din fiura 1.3 care 

sugerează inclusiv necesitatea perfecţionării modelelor pentru a satisface o serie de 

criterii de calitate impuse. 

Fig.1.3. Structura cibernetică asociată activităţilor de modelare şi simulare 

Cât priveşte modalităţile de simulare pentru un proces fizic existent, acestea sunt 

evidenţiate în figura 1.4. 



Fig.1.4. Schemă funcţională ce evidenţiază relaţia proces -simulare 

Se menţionează că, trecerea de la proces la sistem, se poate face pe două căi principale 

(vezi figura 1.4): 

# Prin experimente pe procesul (sau modelul) fizic existent, urmate de prelucrări 

adecvate ale datelor pentru a obţine exprimări analitice ale sistemelor asociate; 

# Prin modelare şi simulare, într-un proces iterativ, până la atingerea unui grad 

de acurateţe impus prin criterii adecvate. 

De asemenea, se atrage atenţia încă o dată că: 

• Sistemele sunt exprimări coerente şi aproximative a funcţionalităţilor 

proceselor; 

• Sunt preferate exprimările prin sisteme liniare, chiar dacă procesele modelate 

conţin neliniarităţi, datorită avantajelor pe care le conferă acestea în analiza şi 

sinteza structurilor automate de conducere; 

• Acceptarea, de facto, a exprimărilor sistemice aproximative va pretinde, în 

plus faţă de alte deziderate, ca structura de conducere să atenueze suficient 

incertitudinele modelului sistemic -parametrice sau de structură. De aceea 

structurile de conducere automată au ca element definitoriu reacţia (feedback), 

producerea erorii instantanee faţă de programul de conducere şi elaborarea 

comenzii printr-o prelucrare adecvată a acesteia. 

1.3. clasificarea sistemelor (modelelor) 



În tot ce urmează în continuare se practică următoarele notaţii specifice teoriei 

sistemelor: 

Mărimea de stare (stare): x n ; 

Mărimea de intrare (de comandă): u m ; 

Mărimea de perturbaţie: v r ; 

Mărimea de ieşire (măsurată): y p ; 

Variabila independentă timp: t (mai exact t + ) sau, după caz, t (în 

fapt real t ). 

Există o serie întreagă de criterii de clasificare a sistemelor (modelelor). Într-o listă, ce 

nu are pretenţia că este exhaustivă, acestea sunt: 

1. După natura modelului (sistemului): fizice, fenomenologice (conceptuale), 

simbolice (formale) sau matematice (analitice). 

2. După dependenţa de timp a mărimilor: 

- sisteme statice (mărimile sunt constante -nu depind de timp) 

Yf X , U (1.1) 

- sisteme dinamice (toate mărimile depind de timp -vezi în continuare). 

3. După varianţa parametrilor sistemului: 

- sisteme variante (parametrii depind de timp) 

- sisteme invariante (parametrii săi sunt constanţi). 

4. După liniaritatea dependenţelor: 

- sisteme neliniare 

- sisteme liniare. 

5. După caracterul variabilei independente timp: 

- sisteme netede sau continue (t sau, mai exact, t + ) 

- sisteme (cu timp) discrete (t sau, mai precis, t ). 

Cu aceste criterii se evidenţiază următoarele clase de sisteme: 

G Sisteme neliniare, netede şi variante 

x t f t,x t,ut,vt 

yt gt,x t 

cu x t 

G Sisteme neliniare, discrete şi variante 

d x t 

dt 

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 

(1.2)


x t1 f t,x t,ut,vt 

yt gt,x t 

G Sisteme liniare, netede şi variante 

x t A t x t B t u t E t v t 

y t C t x t 

(1.3) 

cu A t nxn , B t nxm C t pxn , E t nxr (1.4) 

G Sisteme liniare, discrete şi variante (relaţia de mai jos este (1.5)) 

x t1 A t x t B t u t E t v t 

y t C t x t 

G Sisteme neliniare, netede şi invariante 

x t f x t,ut,vt 

yt gxt 

cu x t 

d x t 

dt 

G Sisteme neliniare, discrete şi invariante 

x t1 f x t,ut,vt 

yt gxt 

G Sisteme netede, liniare şi invariante 

x t A xt Bu t Ev t 

y t Cxt 

cu 

G Sisteme discrete, liniare şi invariante 

x t1 A xt Bu t Ev t 

y t Cxt 

cu 

cu A t nxn , B t nxm 

C t pxn , E t nxr 

A nxn , B nxm 

C pxn , E nxr 

A nxn , B nxm 

C pxn , E nxr 

(1.6) 

(1.7) 

(1.8) 

(1.9) 

Se poate adăuga şi următoarele criterii: 

6. După dimensiunea mărimii de intrare şi/sau a celei de ieşire: 

- sisteme cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri (multi I/E sau, încă, după 

denumirea din engleză MIMO -multiple inputs- multiple outputs) sunt toate 

sistemele menţionate anterior; 

- sisteme cu o intrare şi o ieşire (mono I/E sau, după literatura de limbă 

engleză, SISO -single input- single output) ce au ca particularitate m=1, u, 

r=1, v şi p=1 adică y ; se practică notaţiile particulare 



G Sisteme neliniare, netede sau discrete şi variante 

x / t f t,x t,u t,v t 

y t g t,x t 

cu x / t 

d x t 

dt 

, neted 

x t1 , discret 

G Sisteme neliniare, netede sau discrete şi invariante 

x / t f x t,u t,v t 

y t g x t 

cu x / t 

d x t 

dt 

, neted 

x t1 , discret 

G Sisteme liniare, netede sau discrete şi variante 

x / t A t x t b tut etvt 

yt c T t xt 

G Sisteme liniare, netede sau discrete şi invariante 

x / t A xt but evt 

yt c T xt 

cu 

cu 

(1.10) 

(1.11) 

A t nxn , b t n cT t 1xn , e t n (1.12) 

A nxn , b n 

c T 1xn , e n 

(1.13) 

7. După dependenţa variabilelor de o coordonată geometrică generalizată: 

- sisteme cu parametri concentraţi (finit dimensionale), sunt toate modelele 

prezentate anterior; 

- sistemele cu parametri distribuiţi se asociază proceselor la care mărimile 

caracteristice, la un moment de timp precizat, depind şi de o coordonată 

geometrică. 

Exemplul 1.1. Fie procesul fizic de încălzire a unei bare matalice pe la capetele sale, 

folosind temperaturile T 1 şi T 2 , aşa cum se prezintă în figura 1.5. 



Fig.1.5. Distribuia temperaturii într-o bar 

înclzit pe la capete 

Intuitiv chiar, se vede că temperatura din bară este funcţie de timp dar şi de coordonata 

geometrică, aici cu o singură dimensiune . Modelarea procesului de încălzire 

presupune aplicarea ecuaţiei difuziei căldurii la cazul monodimensional, rezultând 

t, 

t 

a 2 t, 

2 

;t , L,L ;a 

c >0 (1.14) 

care se completează cu condiţia iniţială (specificată ) 

0, f , L,L (1.15) 

şi condiţia la limită (la frontieră) scrisă, în acest caz, pe baza ipotezei Fourier 

t, 

 

 

L 

t, 

 

 

L 

1 T 1 t t,L 

2 T 2 t t, L 

(1.16) 

În aceste ecuaţii este conductibilitatea termică, este coeficient de transmitere a 

căldurii printr-o suprafaţă, este greutatea specifică, iar c este căldura specifică. 

Desigur că starea este x(t, ) = (t, ) iar comenzile sunt u 1 = T 1 , u 2 = T 2 dar, modelul 

matematic (şi deci sistemul dinamic asociat) este de o structură cu totul aparte. Având 

în vedere faptul că [ -L, L ] (o mulţime nenumărabilă) astfel de sisteme se 

numesc şi infinit dimensionale. 

8. După modul de caracterizare a modelului ataşat procesului analizat: 

- sistemele structurale sunt cele descrise pe stare, de forma celor exprimate 

anterior, deoarece starea x(t) este acceptată ca fiind asociată direct mărimilor 

interne procesului; 



- sisteme funcţionale sunt cele la care exprimarea se face intrare -ieşire (I/E 

sau I/O -în engleză), numai pe baza mărimilor de intrare şi de ieşire, fără a 

implica cu nimic structura internă a procesului; în acest sens se pot evidenţia 

G Sisteme liniare SISO, netede, caracterizate în domeniul timp 

n 

 

i0 

a i 

m 

d i y t 

dti 

j0 

b j 

d j u t 

dt j 

, n>m (1.17) 

G Sisteme liniare SISO, discrete, caracterizate în domeniul timp 

n 

 

i0 

m 

ai y t i 

j0 

b j u t j , n>m (1.18) 

G Sisteme liniare SISO, netede, caracterizate cu transformata Laplace (prin 

funcţie de transfer) 

H s b m s m b m1 s m1 b 1 sb 0 

a n s n a m1 s n1 a 1 sa 0 

 

m 

 

j0 

n 

 

i0 

b j s j 

a i s i 

, n>m (1.19) 

G Sisteme liniare SISO, discrete, caracterizate cu transformată Z (prin funcţie de 

transfer) 

H z b m z m b m1 z m1 b 1 zb 0 

a n z n a m1 z n1 a 1 za 0 

 

m 

 

j0 

n 

 

i0 

b j z j 

a i z i 

, n>m (1.20) 

ultimele reprezentând, în fapt, aplicarea transformatei Laplace respectiv Z modelelor 

din timp menţionate anterior. 

9. După modul de explicitare a modelului se obţin: 

- modele parametrice sunt toate cele prezentate până la acest moment, 

comunicarea modelului făcându-se prin ecuaţii formulate pe baza parametrilor 

acestuia; 

- modele neparametrice se precizează prin elemente globale, ce nu ţin de 

explitarea bazată pe valorile parametrilor modelului; astfel de modele sunt 

răspunsul cauzal la impulsul unitar are strucura din figura 1.6 



Fig.1.6. Structura unui răspuns la impuls 

răspunsul indicial este ieşirea sistemului când intrarea este de formă treaptă 

unitară, forma tipică fiind cea din figura 1.7. 

Fig.1.7. Trei forme posibile pentru 

răspunsul indicial 

răspunsul în frecvenţă al modelului reprezentat, uzual, sub formă de hodograf 

(figura 1.8) sau caracteristici logaritmice (figura 1.9). 



1.4. limbaje numerice de simulare 

Fig.1.8. Hodograf, ca model neparametric 

Fig.1.9. Caracteristici logaritmice, 

ca model neparametri 

Simularea numerică a funcţionalităţilor sistemelor a cunoscut până în prezent o 

dezvoltare fără precedent. O serie întreagă de limbaje specializate sunt destinate 



simulării celor mai diverse structuri de sisteme liniare sau neliniare, dintre care 

se menţionează: 

MATLAB -un program compact ce dispune de o bibliotecă matematică 

performantă, elaborată pe principii de precizie şi acurateţe a calculelor 

numerice matriciale, are ataşate toolbox-uri specializate pe domenii 

specifice cum ar fi: electrotehnică, chimie, analiza semnalelor, analiză 

spectrală, teoria sistemelor (răspunsul în timp al sistemelor liniare şi 

neliniare de o manieră generală sau particulară (răspuns indicial, răspuns 

la impuls, răspuns liber, etc.), răspuns în frecvenţă, sinteza conducerii 

automate clasice, sinteza compensatoarelor dinamice pentru sistemele 

reprezentate pe stare (legi de reacţie, estimatoare de stare), conducerea 

robustă a sistemelor, etc.; grafica oferită de acest program este de 

asemenea sugestivă, reprezentativă şi usor de apelat; 

SIMULINK-ul din MATLAB este un toolbox specializat pentru 

modelarea sistemelor dinamice, de factură liniară sau neliniară, cu 

inovaţia esenţială a reprezentării sistemelor pe blocuri, similare 

funcţionalităţilor analogice (sumatoare, integratoare, conexiuni, aparate 

de vizualizare a semnalelor -aparate de măsură, osciloscoape cu mai 

multe canale, oscilografe, etc.), pentru o adaptare uşoară la tehnica 

numerică a mulţilor specialişti care au utilizat -timp îndelungat- tehnica 

analogică de modelare; 

LABVIEW este un program numeric care permite simularea structurilor 

de conducere automată, respectând structura fizică a buclelor de 

automatizare, relevând toată problematica aferentă acestei activităţi: 

sisteme de achiziţie a datelor (traductoare şi senzori), filtrarea 

semnalelor achiziţionate din procesul condus, modelarea sistemelor de 

execuţie, a compensatoarelor dinamice precum şi vizualizarea 

răspunsurilor dinamice ale acestora; 

MATHCAD excelează prin grafica tridimensională fiind recomandat 

proiectărilor tehnologice; 

MATEMATICA la care calculul matematic este cel vizat cu preponderenţă, 

apărând elemente de certă particularitate cum ar fi cel de calcul formal al 

primitivelor unor funcţii standard; 

SIMNON; 

MAPLE; 

SIMAN 

ultimele fiind programe cu o răspândire zonală redusă. 



În cadrul acestei discipline, pentru modelarea sistemelor, se va utiliza numai programul 

MATLAB, inclusiv modulul denumit SIMULINK.

C:\Documents and Settings\Sever Serban\My Documents\carti ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?