• Teoria elasticităţii şi plasticităţii - Portal - Universitatea Transilvania

Vasile CIOFOAIA, Marius – Florin BOTIŞ, Ciprian CISMAŞ
•
Teoria elasticităţii şi plasticităţii

Teoria elasticităţii şi plasticităţii
- curs şi aplicaţii –
Vasile CIOFOAIA, Marius – Florin BOTIŞ, Ciprian CISMAŞ
Editura NAPOCA STAR
Cluj-Napoca 2011

Referenţi ştiinţifici: prof.univ.dr.ing. Ioan Száva
prof. univ. dr.ing Ion Balcu
Editura NAPOCA STAR
Piața Mihai Viteazul nr. 34/35, ap. 19
tel./fax: 0264/432.547
mobil: 0740/167461
Editura NAPOCA STAR este acreditată CNCSIS
Tehnoredactare: Autorii
Corectură: Autorii
© Toate drepturile rezervate autorilor
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale
Ciofoaia Vasile, Botiş Marius-Florin, Cismaş Ciprian
Teoria elasticităţii şi plasticităţii / Editura Napoca Star, Cluj-Napoca, 2011
bibliografie
306 p. A4
ISBN 978-973-647-841-3

5
Prefaţă
Teoria elasticităţi şi plasticităţii este o disciplină de cultură tehnică generală menită să stea
la baza cursurilor de specialitate. Această disciplină se bazează pe notele de curs ţinute de
peste două decade la Facultatea de Construcţii din Universitatea Transilvania din Braşov.
Deoarece autorii sunt preocupaţi de cercetarea teoriei materialelor şi în particular elasto
plasticitatea lor, aceste cursuri au fost destinate pentru a aduce pe studenţii aproape de
frontierele cunoaşterii de astăzi în acest domeniu special, o oportunitate de acum oferită şi
cititorilor, de asemenea. Această carte este destinat să furnizeze pentru ingineri şi studenţi
înţelegerea fizică a fenomenelor (indispensabilă în analiza corpului solid deformabil) şi
aplicarea concretă în practică a noţiunilor prezentate. Notaţiile matematice susţin analiza,
permit aprofundarea şi extinderea cunoaşterii, dar nu se substituie fenomenului real.
Noţiunile clasice de matematică, mecanică şi fizică sunt cunoscute de la disciplinele
generale şi prezentate acestora nu constituie unul din obiectivele lucrării. Cartea este scrisă
pentru a satisface nevoile de calcul interactive în tehnica de referinţă şi de învăţământ în
inginerie. Aceste necesităţi rezultă din cerinţe de proiectare pentru o mare acurateţe şi
performanţe în analiza structurilor, maşinilor şi dispozitivelor într-o diversitate de aplicaţii
de inginerie, şi de tendinţa din dezvoltarea ingineriei ca răspuns la mediul de astăzi de
schimbare rapidă a tehnologiilor.
Lucrarea satisface cerinţele unei tratări elementare a teorie elasticităţii şi plasticităţii şi în
plus cuprinde programa analitică a cursului de teoria elasticităţii şi plasticităţii pentru

pregătirea studenţilor de la specialitatea de Construcţii Civile, Industriale şi Agricole, Căi
Ferate, Drumuri şi Poduri. Ea poate servi ca material didactic şi studenţilor de la profil
mecanic, aeronautic, mecatronică etc.
Scopul primar în studiul elasticităţii este să modeleze deformaţia unui corp material elastic
sub forţe aplicate, incluzând forţele de volum şi forţele de suprafaţă aplicate. Pentru
simplitate, se consideră forţele a căror densităţi specifice asociate este independentă de
deformaţie. Acestea sunt cunoscute ca încărcări proprii şi în timp ce acest lucru poate părea
a fi o presupunere de limitare, încă este permisă pentru o gamă largă de aplicaţii practice.
Lucrare prezintă echilibrat teoria necesară şi este un instrument util pentru studiu. Fiecare
capitol începe cu generalităţi, principii şi demonstraţii corespunzătoare urmate de probleme
rezolvate şi se termină cu probleme rezolvate şi probleme propuse pentru studiu.
Autorii rămân profund îndatoraţi profesorilor dr.ing. Ioan Száva şi dr.ing Ion Balcu care au
analizat cu atenţie lucrarea şi care au formulat observaţii şi sugestii utile.
Suntem recunoscători tuturor celor care vor da sugestii menite să îmbunătăţească conţinutul
acestui curs şi aşteptăm pe orice cale întrebările şi observaţiile celor care vor folosi această
carte,
Braşov, decembrie 2011
6
Autorii

7
Cuprins
Prefaţă …………………………………………………………………………… 3
Cuprins …………………………………………………………………………… 5
1 Introducere ………………………………………………………………………… 11
1.1 Generalităţi ………………………………………………………………... 11
1.2 Obiectivele cursului ………………………………………………………. 13
1.2.1 Teoria elasticităţii ………………………………………………. 13
1.2.2 Teoria plasticităţii ………………………………………………. 14
1.3 Conţinut cursului ………………………………………………………… 14
2 Concepte în elasticitate şi plasticitate.... ………………………………………...... 15
2.1 Preliminarii matematice ………………………………………………….. 15
2.1.1 Sisteme de coordonate …………………………………………... 15
2.1.2 Mărimi scalare ………………………………………………….. 15
2.1.3 Vectori ………………………………………………………….. 16
2.14 Tensorul de gradul doi ………………………………………….. 16
2.2 Concepte în teoria elasticităţii şi plasticităţii …………………………….. 17
2.2.1 Forţe exterioare …………………………………………………. 18
2.2.2 Condiţii de echilibru ……………………………………………. 18
2.2.3 Forţe interioare ………………………………………………….. 19
2.2.4 Tensiunea mecanică …………………………………………….. 19
2.2.5 Deplasări şi deformaţii …………………………………………. 20
2.2.5.1 Deplasări…………………………………………….. 20
1.2.5.2 Deformaţii ………………………………………….. 20
2.2.6 Elasticitate şi plasticitate ……………………………………….. 20
2.2.7 Relaţii tensiune-deformaţie ……………………………………... 21
2.3 Modelul corpului solid deformabil ……………………………………….. 21
2.3.1 Ipoteze pentru caracterizarea modelului pentru corpul elastic ….. 21
2.3.2 Ipoteze pentru simplificarea calculelor ………………………….. 22
3 Teoria tensiunii .……………………………………………………………………. 23
3.1 Tensiunea ………………………………………………………………….. 24
3.2 Starea de tensiune …………………………………………………………. 27
3.3 Ecuaţii de echilibru ……………………………………………………….. 28
3.3.1 Ecuaţii de echilibru în alte sisteme de coordonate ……………… 29
3.3.2 Condiţii de contur ………………………………………………. 30
3.4 Formulele lui Cauchy …………………………………………………….. 30

3.5 Relaţii de transformare a tensiunilor ……………………………………… 31
3.6 Orientarea vectorilor tensiunii totale, normale şi tangenţiale …………….. 32
3.7 Tensiuni principale ……………………………………………………….. 33
3.8 Tensiunea tangenţială maximă ……………………………………………. 35
3.9 Elipsoidul lui Lamé pentru tensiuni ………………………………………. 38
3.10 Cercul lui Mohr pentru tensiuni în spaţiu ………………………………… 38
3.11 Tensiuni octaedrice ……………………………………………………….. 40
3.12 Tensorul sferic şi deviatorul tensiunilor ………………………………….. 41
3.13 Tensiuni în stare plană ……………………………………………………. 42
Probleme ………………………………………………………………….. 46
4 Starea de deformaţie……………………………………………………………… 53
4.1 Introducere ……………………………………………………………….. 53
4.2 Starea de deplasări ……………………………………………………….. 53
4.3 Deformaţii specifice liniare şi unghiulare în termeni de deplasări……….. 55
4.4 Construcţia geometrică a teoriei deformaţiilor mici …………………….. 56
4.5 Compatibilitatea deformaţiei …………………………………………….. 57
4.6 Cazuri speciale de deformaţii ……………………………………………. 58
4.7 Deformaţii termice ...................................................................................... 59
4.8 Relaţii de transformare a deformaţiilor ....................................................... 59
4.9 Deformaţii principale şi direcţii principale ................................................. 60
4.10 Deformaţia specifică de volum ................................................................... 61
4.11 Deformaţii octadrice .................................................................................... 61
4.12 Tensorul deformaţiei ................................................................................... 63
Probleme ...................................................................................................... 63
5 Ecuaţii constitutive .................................................................................................... 69
5.1 Elasticitate izotropică ................................................................................... 69
5.2 Legea generalizată a lui Hooke..................................................................... 70
5.3 Energia specifică de deformaţie ................................................................... 73
Probleme ....................................................................................................... 74
6 Ecuaţiile teorie elasticităţii ....................................................................................... 77
6.1 Ecuaţiile teoriei elasticităţii ân coordonate carteziene ................................. 77
6.2 Rezolvarea ecuaţiilor teorie elasticităţii …………………………………... 79
6.2.1 Integrarea ecuaţiilor teoriei elasticităţii …………………………. 79
6.2.1.1 Metoda deplasărilor ......................................................... 80
6.2.1.2 Metoda forţelor ................................................................ 81
6.2.1.3 Metoda
81
mixtă....................................................................
6.2.2 Principiul lui Saint Venant ............................................................ 81
6.3 Problema directă ............................................................................................ 82
6.3.1 Tipuri de funcţii biarmonice .......................................................... 82
6.3.2 Metoda separării variabilelor ........................................................ 83
6.4 Ecuaţiile teorie elasticităţii în coordonate curbilinii ……………………. 86
6.4.1 Probleme în coordonate cilindrice ………………………………. 86
6.4.2 Solide axial simetrice ……………………………………………. 86
6.5 Problema Boussinesq ……………………………………………………… 89
6.6 Probleme elementare ale teorie elasticităţii.................................................... 91
6.7 Funcţia de tensiune Prandtl pentru torsiune ................................................... 96
6.8 Torsiunea barelor de secţiune dreptunghiulară …………………………….. 98
Probleme …………………………………………………………………… 99
8

7 Teoria problemelor plane în coordonate carteziene …………………………….. 101
7.1 Introducere ………………………………………………………………… 101
7.2 Probleme plane în coordonate carteziene ………………………………….. 101
7.2.1 Tipuri de probleme ………………………………………………. 101
7.2.2 Ecuaţiile fundamentale ale elasticităţii plane …………………… 103
7.2.3 Soluţia problemei plane a elasticităţii …………………………… 106
7.3 Formularea în deplasări – metoda deplasărilor ……………………………. 106
7.4 Formularea în tensiuni – metoda forţelor ………………………………….. 107
7.5 Formularea mixtă (în tensiuni şi deplasări) ……………………………….. 107
7.6 Metoda inversă …………………………………………………………….. 108
7.6.1 Soluţia prin polinoame algebrice ………………………………… 109
7.6.2 Serii Fourier ……………………………………………………… 111
7.6.2.1 Rezolvarea Faylon ……………………………………... 112
7.6.2.2 Rezolvarea Rebière
113
……………………………………..
7.7 Transformări ale tensiunilor ……………………………………………….. 116
7.8 Transformări ale deformaţiei ………………………………………………. 119
Probleme …………………………………………………………………… 121
8 Probleme plane în coordonate polare …………………………………………….. 131
8.1 Introducere…………………………………………………………………. 131
8.2 Ecuaţiile diferenţiale ale problemelor plane în coordonate polare ………... 132
8.3 Formularea în tensiuni …………………………………………………….. 133
8.4 Stări particulare de tensiune ………………………………………………. 136
8.5 Bara plană de curbură mare încovoiată ……………………………………. 137
8.6 Starea de deformaţie plană simetrică ............................................................ 139
8.6.1 Problema lui Lamé ......................................................................... 139
8.6.2 Efectul variaţiei de temperatură ..................................................... 143
8.7 Pana triunghiulară elastică ............................................................................. 144
8.8 Problema lui Kirch - concentrarea tensiunilor în jurul găurilor……………. 146
Probleme ........................................................................................................ 149
9 Metode variaţionale ……………………………………………………………….. 155
9.1 Introducere …………………………………………………………………. 155
9.2 Metode numerice aproximative ……………………………………………. 155
9.2.1 Metode variaţionale ……………………………………………… 155
9.2.2 Metoda diferenţelor finite ……………………………………….. 159
9.2.3 Metoda elementului finit ………………………………………… 159
9.3 Analiza stării de tensiune şi deformaţie cu metoda elementelor finite …….. 161
9.3.1 Analiza stării de deformaţie şi tensiune în corpuri solide
deformabile bidimensionale ……………………………………... 161
9.3.1.1 Elementul finit triunghiular ……………………………. 169
9.3.1.2 Elementul finit patrulater
.................................................
175
9.3.1.3 Analiza modală a copurilor solid deformabile
bidimensionale ............................................................... 182
9.3.2 Analiza stării de tensiune şi deformaţie în corpuri deformabile
tridimensionale .............................................................................. 208
9.3.2.1 Elementul finit hexaedral
.................................................
219
9.3.2.2 Analiza modală a copurilor solide deformabile
9

tridimensionale ................................................................ 222
10 Teoria încovoierii plăcilor plane subţiri …………………………………………... 263
10.1 Introducere …………………………………………………………………. 263
10.2 Încovoierea plăcilor dreptunghiulare ………………………………………. 264
Ipoteze de calcul. Teoria Kirchhoff ……………………………… 264
Tensiuni ………………………………………………………….. 265
10.3 Eforturi secţionale …………………………………………………………. 266
10.4 Ecuaţia diferenţială pentru încovoierea plăcilor subţiri …………………… 267
10.5 Formularea condiţii de contur ……………………………………………... 268
10.6 Metode de integrare a ecuaţiei diferenţiale a plăcii ……………………….. 270
10.7 Exemple elementare ale încovoierii plăcilor dreptunghiulare……………… 270
10.7.1 Încovoierea cilindrică ……………………………………………. 270
10.7.2 Soluţia lui Navier prin serii trigonometrice duble ……………….. 271
10.7.3 Placă simplu rezemată pe contur solicitată de o forţă concentrată . 273
10.7.4 Soluţia în serii simple (metoda lui Levy) ……………………….. 274
10.8 Placă cu margini rezemate pe grinzi ......................................................... 276
10.9 Încovoierea plăcilor pe mediu elastice …………………………………….. 278
10.10 Plăci circulare………………………………………………………………. 278
10.10.1 Plăcii circulare încărcat nesimetric ……………………………… 278
10.10.2 Plăci circulare încărcate axial- simetric ………………………… 279
Probleme …………………………………………………………………… 282
11 Teoria plasticităţii ………………………………………………………………….. 285
11.1 Introducere…………………………………………………………………. 285
11.2 Deformaţia activă şi pasivă ……………………………………………….. 286
11.3 Rezolvarea problemelor teorie plasticitate ………………………………… 286
11.3.1 Teoria micilor deformaţii elasto – plastice ………………………. 287
11.3.2 Teoria curgerii plastice …………………………………………... 288
11.4 Criterii de plasticitate ……………………………………………………… 291
11.5 Curbe caracteristice ………………………………………………………… 292
11.6 Calculul după starea limită …………………………………………………. 293
11.7 Probleme elementare ale teorie plasticităţii ………………………………... 294
11.7.1 Întindere / compresiune ………………………………………….. 294
11.7.2 Torsiunea barelor de secţiune circulară …………………………. 294
11.7.3 Încovoierea plastică a grinzilor ………………………………….. 295
11.7.3.1 Articulaţia plastică …………………………………….. 297
11.7.3.2 Lungimea zonei de curgere din grindă ………………… 297
11.8 Analiza plastică a grinzilor …………………………………………………. 298
11.8.1 Calculul în domeniul plastic al sistemelor static nedeterminate… 298
11.8.2 Metoda ecuaţiilor de echilibru ……………………………………. 299
11.8.2 Metoda lucrului mecanic virtual ………………………………….. 299
11.9 Calculul capacităţii portante la plăci ………………………………………... 300
11.10 Plasticitatea betonului ……………………………………………………….. 301
11.11 Plasticitatea solului ………………………………………………………….. 301
11.12 Plasticitate generalizată ……………………………………………………... 302
Probleme …………………………………………………………………….. 302
Bibliografie …………………………………………………………………………… 305
10