Probleme mecanică cuantică [pdf] - Andrei

Probleme- Bazele experimentale ale Mecanicii Cuantice.
1). Un model de corp negru este realizat sub forma unei cavitati prevazute cu o mica deschidere
cu diametrul d=1cm. Cavitatea este incalzita cu o rezistenta electrica ce consuma puterea
P=100W. Din energia consumata se pierde prin pereti 10%.
Orificiul emite radiatie ca un corp negru cu temperatura T. Sa se calculeze aceasta
−8
−2
−4
temperatura ( σ = 5,
67 ⋅10
Wm K ).
2). Radiatia Soarelui are un spectru cu o compozitie apropiata de radiatia unui corp negru
pentru care maximul de putere corespunde lungimii de unda λ = 0,
48µ
m . Sursa de unde de
radiofrecventa in domeniul metrilor este coroana solara. Sa se determine:
a) Masa pierduta de Soare intr-o secunda prin radiatie;
b) Timpul in care masa Soarelui se diminueaza cu 1%;
c) Fluxul de energie ce cade pe unitatea de suprafata, pentru undele radio care vin de la Soare,
pe unitatea de frecventa, in jurul frecventei de 1MHz. Presupunem ca Soarele emite ca un
corp negru.
30
8
Masa Soarelui = 1, 97 ⋅10
kg , raza coroanei solare = 7 ⋅10
m , raza orbitei Pamintului
R SP
M S
11
= 1, 50 ⋅10
m , temperatura la suprafata Soarelui T=5500K.
3). Formula Planck pentru densitatea energetica spectrala a radiatiei termice este:
3
8πh
ν
ω ν ( ν , T ) =
.
3 hν
c
kBT
e − 1
4
a) Sa se calculeze constanta σ din legea Stefan-Boltzmann, P = σT
, stiind ca intre densitatea
4
energetica ω si puterea de emisie exista legatura ω = P ;
c
b) Sa se exprime densitatea energetica spectrala pe unitatea de interval de lungime de unda;
c) Sa se determine constanta b din legea Wien:
λ ⋅ T = b .
m
−34
−23
8
Se dau: h = 6,
626 ⋅10
J ⋅ s,
k B = 1,
380 ⋅10
J / K,
c = 3⋅
10 m / s.
∑
1
∞
n=
4
1 π
x
= , ecuatia transcendenta e
4
n 90
x =
5
5 −
R S
are solutia x = 4,
9651.
4). Fie radiatia termica la temperatura T.
a) Sa se arate ca numarul de fotoni pe unitatea de volum este
b)
−23
Valoarea medie a energiei per foton este ε = 3,
73⋅
10 T ( J ) ;
c) Sa se particularizeze pentru radiatia de fond de 3K.
∞
∫
0
2
x
( dx = 2,
4041).
x
e − 1
N 2 ⋅ T fotoni m
7 3
3
= , 029 10 / ;

5). Sa se calculeze temperatura T la care energia medie a moleculelor unui gaz perfect,
monoatomic, este egala cu energia fotonilor corespunzatori lungimii de unda pentru care
densitatea spectrala de energie data de formula Planck are valoare maxima, pentru:
a) corpul omenesc (λm=10µm);
b) suprafata Soarelui (λm=5500Α)
6). Care este energia si impulsul unui:
a) foton γ cu m
13
10 −
λ = ?
b) foton de lumina vizibila cu m
7 −
λ = 5 ⋅10
?
c) foton de unda radio cu λ = 10m
?
7). Pragul fotoelectric al unei fotocatode de Cs are lungimea de unda m
6 −
λ = 0,
6 ⋅10
. Se trimite
pe fotocatoda un fascicul de lumina monocromatica cu lungimea de unda m
6 −
λ = 0,
5 ⋅10
, cu un
flux Φ = 1W
.
a) Sa se calculeze energia cinetica maxima a fotoelectronilor si lungimea de unda de Broglie
atasata;
b) Acelasi lucru pentru iluminare cu raze X cu m
11
1 10 −
λ = ;
c) Stiind intensitatea curentului fotoelectric I=16,3mA, sa se calculeze procentul din electronii
incidenti care scot electroni (randament cuantic).
8). Suprafata unui metal este iluminata cu un fascicul de radiatii monocromatice cu λ 1 = 350nm
.
Iluminand aceeasi suprafata cu radiatii monocromatice cu λ 2= 300nm
, potentialul de franare
creste cu ∆ = 0,
589V
. Cunoscand constanta Planck si viteza luminii, sa se determine sarcina
electronului.
U f
9). Pentru un anumit unghi θ fata de directia initiala a unui fascicul de raze X, cu lungimea de
0
unda λ 0 = 0, 1Α
, s-a constatat ca deplasarea Compton este ∆λ = 0, 024 Α . Sa se determine:
a) energia transferata electronului de recul;
b) viteza electronului de recul;
c) unghiul sub care sunt difuzati fotonii.
10). Un foton de raze X cu
0
imprastiat la un unghi θ = 30 fata de directia de incidenta.
a) Sa se calculeze deplasarea Compton, ∆ λ ;
b) Care este unghiul de recul al electronului;
c) Ce fractiune din energia initiala pierde fotonul.
0
0
λ = 1 A cade pe un electron liber aflat in repaus. Fotonul este
11). Un atom de hidrogen in repaus emite un foton corespunzator tranzitiei n=2→n=1. Fotonul
smulge un electron al altui atom de hidrogen aflat in repaus, in starea excitata cu nr cuantic n=2.
Sa se calculeze:
a) Raportul dintre viteza primului atom de hidrogen dupa emisia fotonului si viteza luminii;
b) Frecventa fotonului emis;
0
0

c) Viteza fotoelectronului scos prin absorbtia fotonului.
Constanta Rydberg are valoarea
7 −1
RH = 1,
097 ⋅10
m , iar pt atomul de hidrogen
2 2
Mc = 938MeV
, pentru electron mc = 0,
511MeV
.
12).
a) Sa se calculeze lungimea de unda a radiatiei emise de atomul de hidrogen in urma tranzitiei
electronului de pe nivelul excitat n=2, pe nivelul fundamental;
8
b) Stiind durata medie de viata a starii excitate, 10 s
−
τ = , sa se determine numarul de revolutii
efectuate de electron nivelul n=2;
c) Ce scadere de temperatura trebuie sa sufere un gaz de hidrogen pentru ca pierderea de
energie cinetica a unei molecule sa fie egala cu scaderea energiei atomului in tranzitia
considerata.
13). Sa se calculeze potentialul de ionizare al atomului de hidrogen. Constanta Rydberg are
7 −1
valoarea = 1,
097 ⋅10
m .
R H
14). Atomii de hidrogen aflati in starea fundamentala se excita prin iradiere cu radiatie
monocromatica. Prin dezexcitare se emit radiatii monocromatice cu trei lungimi de unda diferite.
Sa se calculeze lungimea de unda a radiatiilor incidente si lungimile de unda ale radiatiilor
emise.
15). Care este energia cinetica pentru:
a) un electron;
b) o particula α (atom de He dublu ionizat);
c) un neutron,
d) avand lungimea de unda de Broglie de 1A?
16). Consideram ca legea Bragg, n λ = 2d sinθ
, este valabila si pentru undele de Broglie.
a) Sa se calculeze lungimea de unda asociata unui electron accelerat la o diferenta de potential
de 54V;
b) Intr-o experienta tip Devisson si Germer, fasciculul electronic, accelerat la U=15V, este
difractat de un monocristal de Al, cu distanta intre atomi D=2,33A. Sa se calculeze
unghiurile facute de fasciculele difractate cu suprafata cristalului pentru primele doua
maxime.

Indicatii
4
1). Puterea de emisie a corpului negru este data de legea Stefan-Boltzman P = σT
. Aceasta
putere reprezinta fractiunea η = 0,
9 din puterea consumata (in conditii de echilibru). Notand S
suprafata orificiului, rezulta:
4
σ T S = ηP
η 2
4 P
T = .
πd
σ
2).
2 2
a) ∆m
⋅ c = 4πR
S ⋅ P
b) 0,
01 = ∆m
⋅ t
M S
2
RS
c
c) Φ = ω 2
R 4
SP
2 3
RS
c
8πhν 1
Pe unitatea de interval de frecventa Φ ν = ω 2 ν . Vom lua ω ν =
si ν=1MHz.
3 hν
RSP
4
c
kBT
e − 1
3).
a) v. seminar.
b) Trecand la densitatea energetica pe unitatea de interval de lungime de unda, din conditia
c c
ων dν = −ω
λ dλ
si relatia λ = c / ν se obtine ω λ ( λ,
T ) = ω ( , T )
2 ν , astfel ca rezulta:
λ λ
−5
λ
ω ( λ,
T ) = 8πhc
.
λ
hc
k Tλ
B e − 1
dω
λ
c) Maximul densitatii de energie se obtine din conditia = 0 , de unde se obtine:
dλ
hc
hc kBTλ
( 5 − ) e = 5 .
k Tλ
B
Notam = hc / k Tλ
. Se obtine ecuatia
x B
Se obtine:
hc
−2
λ m ⋅ T = = 0,
28978 ⋅10
mK .
k x
4).
B
m
x
e
x =
5
5 −
, cu solutia = 4,
9651
x .
m

a) Numarul de fotoni pe unitatea de volum si unitatea de interval de frecventa este
2
ων
( ν , T ) 8π
ν
n( ν , T ) = =
.
3 hν
hν
c
kBT
e − 1
Numarul total de fotoni pe unitatea de volum va fi:
∞
3 ∞ 3
3
8πk
B 3 x dx 8πk
B 3
7 3
N = ∫ n(
ν , T ) dν
= ⋅ T = 2,
4041 ⋅ T = 2,
029 ⋅10
T
3 3
x
3 3
h c ∫
.
e − 1 h c
0
b) Densitatea de energie este (v. seminar):
= = 3,
73⋅10
N
ω
ε
0
w
8π
k
5 4
= 3
B 4
T . 3
15h
c
3
6). Egalam energia medie a moleculelor unui gaz ideal, monoatomic, ε = k BT
, cu energia unui
2
foton, ε = hν
.
a) T=960K; b) T=15000K.
7).
1 1
a) T = hν
− hν
0 = hc(
− ) = 0,
41eV
λ λ
0
2
In acest caz T este mult mai mica decat energia de repaus a electronului ( m 0 c
Electronul se misca nerelativist.
= 0,511MeV ).
2
m0v
T =
2
⇒
v
=
c
2T
2
m c
3
= 1,
26 ⋅10
λ
B
=
h
p
=
hc
2m
0
c
2
T
0
= 19,
1⋅
10
−10
m
1
b) T = hν
− hν
0 ≅ hc = 0,
123 MeV , comparabila cu energia de repaus. Vom folosi expresia
λ
relativista pentru energia cinetica:
2 2
mc = m c + T
0
−23
T ( J )
2 1
v
1
T = m0c
( − 1)
⇒ = 1 −
≅ 0,
6
2
2
v
c ⎛ T ⎞
1 − 2
⎜
⎜1
+ 2 ⎟
c
⎝ m0c
⎠

2
h h
⎛ v ⎞
λ B = = = Λ C 1 − ⎜ ⎟ = 0,
8Λ
C , unde C
p m0c
c
fotonului.
⎛ v ⎞
1 − ⎜ ⎟
⎝ c ⎠
2
b) Numarul de electroni scosi in timpul t este
este N
Φ t
= .
hc
λ
n
Rezulta randamentul cuantic: η =
N
= 0,
04 .
⎝
⎠
Λ este lungimea de unda Compton a
It
n = . Numarul de fotoni incidenti in timpul t
e
9).
h 2 θ
a) ∆λ
= 2 sin
m0c
2
hc hc
3
Energia transferata electronului de recul este Erec = − = 24 ⋅10
KV .
λ λ + ∆λ
2 2 2 1
b) Erec = mc − m0c
= m0c
( − 1)
2
v
1 − 2
c
7
v ≅ 6,
5 ⋅10
m / s .
c) 90°.
11).
a) Impulsul total al sistemului se conserva. Dupa emisie , atomul are un impuls egal si de semn
contrar cu al fotonului.
1 3
3
Energia fotonului este ε = E2 − E1
= hcRH
( 1 − ) = 4 hcR
2
H , iar impulsul p = = hRH
2
c 4
ε
.
v pc ε
p = Mv ⇒ = = .
2 2
c Mc Mc
b)
3
ε = hν = E2
− E1
= 4
hcRH
1 mv 1 v hcR
ν .
2
2 2 c mc
2
c) h = ( 0 − E2
) + T = hcRH
+ T 2 ⇒ = hcRH
⇒ =
H
2
12).
2πr
b) t =
v
2
2

1 ! 2
1
rn = n , unde α ≅ este constanta structurii fine.
α mc
137
mv nrn
= n!
⇒
rn
vn
!
= 2 2
α mc
3
n .
3
3
c)Energia cinetica medie a unei molecule este k BT
. Deci ∆E
= k B∆T
.
2
2
1 2 2 1
Energia unui nivel este En = − mc α 2
2 n
3 2 2
. Rezulta ∆ E = mc α .
8
13). Potentialul de ionizare este dat lucrul mecanic necesar pentru a deplasa electronul de pe
obita sa la infinit:
eU ioniz = Lioniz
= E∞
− E1
1
Cum En = −hcRH
, rezulta:
2
n
hcRH
U ioniz =
e
= 13,
6eV
.
14). Deoarece se emit numai trei linii spectrale, dezexcitarea se face de pe nivelul n=3. Cu
1 1 1
formula Balmer = RH ( − ) , rezulta:
2 2
λ 1 n
λ = , 5nm
; λ = 656,
1nm;
λ = 121,
5nm
.
31
102 32
21