Curs 3 partea 1 - derivat

'
t t t
xt ( ) t'
t t t
t t
− ( ) '
e t
xt
e t t
e e
xt C( ) =− e
e st (') dt'
e
e st (') dt'
st ().
t
t
− ⎡ −
⎤
⎢⎢⎢
⎥⎥⎥
−
+ ∫
=−
⎣
⎦
−
0 τ
0 −
τ
−
τ
0
⋅ τ
τ
τ
0 τ − ∫
τ ⋅ + ⋅
τ
τ
τ
2
0
τ
τ
0
(Am folosit relatia d t
xt () st ()
∫ f (') t dt' = f () t ). Evident xt C( ) =− + .
dt t
τ τ
0
Raspunsul circuitului contine doi termeni:
t t
− 0
xt (
0
) e
−
τ care se obtine pentru s(t)=0 si se numeste raspunsul la excitatie nula.
1
0 τ
t −t t
e τ st dt
t
− '
∫ ( ' ) ' care se obtine pentru xt ( 0 ) = 0 si se numeste raspunsul la stare initiala nula.
Observatii
i) raspunsul complet poate fi considerat ca superpozitia a doua raspunsuri: raspunsul la
excitatie nula care depinde numai de starea initiala si raspunsul la stare initiala nula care depinde
numai de excitatie
−t−t' ii) in cazul unui circuit cu τ > 0 pentru valori ale lui t’ astfel incat t − t'>>
τ factorul e τ
este foarte mic; rezulta ca valorile excitatiei la momente anterioare lui t cu mai mult de 5τ nu
influienteaza raspunsul la momentul t adica circuitul memoreaza practic numai ultimele 5 constante de
timp din evolutia sa
iii) in cazul unui circuit cu τ < 0 influenta valorilor excitatiei s(t’) este cu atat mai mare cu cat
momentul t’ este mai indepartat de momentul t in care se calculeaza raspunsul
t
1 −
iv) deoarece raspunsul la impuls Dirac unitar este ht ()= e τ (vezi paragraful 3.3.3.) rezulta
τ
ca raspunsul la stare initiala nula se poate scrie ht ( − t') st ( ') dt'.
3.3.5. Circuite liniare cu comutatoare
t
∫
t0
Presupunem ca circuitul rezistiv contine comutatoare a caror stare [inchis (R=0) sau deschis
(R=∞)] este specificata pentru orice t ≥ t0. Considerand fiecare interval de timp in care starea tuturor
comutatoarelor ramane neschimbata, analiza unui astfel de circuit se poate face ca in paragraful 3.3.3.,
78