Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

- 106 - 

3. Elemente de fizica solidului cristalin 

3.1. Structura cristalină 

Experienţe de difracţie cu raze X au dovedit că un cristal este format din aranjamente 

periodice de atomi. 

Un cristal ideal este constituit prin repetarea regulată, infinită, în spaţiu a unei unităţi 

4 

structurale numită bază. Baza poate conţine de la un atom (Cu, Au, Ag) până la 10 atomi (în 

cristalele proteinelor). Baza este dispusă în puncte aflate în spaţiu şi care constituie nodurile 

unei reţele, ansamblul nodurilor alcătuind reţeaua cristalină. 

Avem relaţia logică: 

reţea + bază = structură cristalină 

r r r 

Reţeaua este definită de trei vectori de translaţie fundamentali a, 

b, 

c, 

astfel încât 

aranjamentul atomic arată la fel când este văzut dintr-un punct cu vectorul de poziţie r , sau 

din orice alt punct cu vectorul de poziţie r′ 

r : 

r r r r r 

′ = r + n a + n b + n c 

r 1 2 3 

unde n 1, 

n 2 , n 3 sunt numere întregi. Cel mai mic paralelipiped definit de vectorii necoplanari 

r r r 

a, 

b, 

c se numeşte celulă elementară. 

O celulă elementară este caracterizată prin 

r r r 

şase elemente de bază: a, 

b, 

c şi unghiurile α , β, 

γ . În 

funcţie de simetria celulei elementare, există 14 tipuri 

de reţele cristaline, grupate în şapte sisteme 

cristalografice, care diferă prin valorile parametrilor 

r r r 

a, 

b, 

c , α , β, 

γ . 

În cristale reale, din cauza agitaţiei termice, au loc vibraţii ale ionilor bazei în jurul 

nodurilor reţelei. În plus, există defecte structurale, care pot fi vacanţe (absenţa unei baze 

dintr-un nod al reţelei), atomi interstiţiali (plasarea suplimentară a unei baze între nodurile 

reţelei), atomi de impuritate (baze de altă natură decât cele ale reţelei, fie aflate între nodurile 

reţelei, fie înlocuind o bază a reţelei) etc. 

În funcţie de natura forţelor de legătură dominante dintre particulele constituiente 

(atomi, ioni, molecule) ale unui cristal, putem avea cristale atomice, ionice, moleculare, 

metalice etc. În cazul cristalelor atomice şi moleculare, forţele de legătură dintre particulele 

neutre (atomi, molecule) scad foarte rapid cu distanţa, putându-se lua în considerare numai 

interacţiunea dintre particulele vecine. Legătura dintre atomii neutri ai unui cristal este o 

legătură covalentă (electronii de valenţă aparţin în egală măsură diferiţilor atomi). La

- 107 - 

cristalele moleculare, momentul de dipol al moleculelor neutre polarizează moleculele vecine, 

conducând la apariţia unor forţe de coeziune foarte slabe în comparaţie cu cele existente la 

cristalele covalente. În cristalele ionice există o atracţie electrostatică între ionii de semn opus. 

Cristalele metalice conţin în nodurile reţelei cristaline ioni metalici, iar spaţiul dintre aceşti 

ioni este ocupat de electronii de valenţă, care au o mare mobilitate. 

Mişcarea de agitaţie termică nu poate rupe legătura dintre particulele constituienteale 

cristalului, deoarece la temperatura camerei energia mişcării termice este de 0,025 eV, în timp 

−10 

ce energia potenţială de interacţiune dintre doi atomi aflaţi la o distanţă r = 3⋅10 

m este 

mult mai mare ( e / r 4,8 eV 

2 

0 = ). Datorită mişcării termice, atomii unui cristal execută 

oscilaţii de mică amplitudine în jurul poziţiilor de echilibru. 

3.2. Capacitatea calorică molară la volum constant 

În modelul oscilatorilor independenţi se consideră că fiecare atom execută oscilaţii 

armonice cu aceeaşi frecvenţă ν . Deoarece poziţia unui atom este dată prin cele trei 

coordonate ale centrului său de masă, mişcarea atomului este echivalentă cu mişcarea a trei 

oscilatori armonici liniari independenţi. Astfel un atom dintr-o reţea cristalină tridimensională 

poate executa oscilaţii armonice după fiecare din cele trei direcţii, independent de atomii 

vecini. Într-un kilomol de cristal există un ansamblu de A N 3 oscilatori armonici. 

Energia medie a unui oscilator este dată de formula lui Planck: 

hν 

hν 

〈 E 〉 = + 

2 hν 

ekT 

− 1 

Energia internă medie a celor 3 N A oscilatori este: 

hν 

hν 

〈 U 〉 = 3NA 

〈 E 〉 = 3NA 

+ 3NA 

(3.1) 

2 hν 

ekT 

− 1 

Capacitatea calorică molară la volum constant este: 

hν 

⎛ ∂〈 U 〉 ⎞ 

−1 

hν 

C = ⎜ ⎟ = ν 

− kT 

V 

3N Ah 

( ) ( ) e ⇒ 

2 

⎝ ∂T 

⎠ 

hν 

V 

kT 

(ekT 

2 

− 1) 

C 

V 

= 

hν 

2 

⎛ hν 

⎞ 

3N 

kT 

Ak 

⎜ ⎟ ⋅ e 

⎝ kT ⎠ 

hν 

kT 2 

(e − 1) 

(3.2) 

La temperaturi mari ( kT >> hν 

) se poate dezvolta exponenţiala în serie: 

Rezultă: 

hν 

ekT 

hν 

≈ 1 + 

kT 

, 

hν 

− 

e kT 

hν 

≈ 1 − 

kT

C 

V 

2 

- 108 - 

⎛ hν 

⎞ 

⎛ hν 

⎞ 

3N Ak 

⎜ ⎟ 

3N Ak 

⎜ ⎟ 

⎝ kT ⎠ 

⎝ kT 

= 

= 

⎠ 

hν 

hν 

hν 

− 

⎛ hν 

⎞ ⎛ hν 

⎞ 

⎜1 

− 1 + ⎟ ⎜1 

+ − 1⎟ 

e kT (ekT 

− 1)(ekT 

− 1) ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ 

= 3N k = 3R 

(3.3) 

C V A 

Acest rezultat exprimă legea empirică a lui Dulong şi Petit (la temperaturi foarte mari 

capacitatea calorică molară la volum constant este independentă de temperatură şi de natura 

fizică a cristalului). Totuşi, unele cristale (Si, B) au capacitatea calorică molară la volum 

constant mult mai mică decât 3R, la temperatura camerei. 

La temperaturi joase ( kT

- 109 - 

Energia cinetică a particulei de ordin n este T = 

1 2 

mx& 

n , iar energia sa potenţială 

2 

datorită forţelor elastice care apar este ( ) ( ) 2 

U = 

Lagrange este: 

1 

2 

β x n − x n − 1 

2 

+ 

1 

β x n + 1 − x n . Funcţia lui 

2 

1 2 

L = T − U = mx& 

n − ( ) 

2 

( ) 2 

1 

2 

β x n − x n − 1 

2 

Ecuaţia lui Lagrange: 

− 

1 

β x n + 1 − x n 

2 

d ⎛ ∂L 

⎞ 

dt ⎜ 

x ⎟ = 

⎝ ∂& 

n ⎠ 

∂L 

∂x 

n 

devine: 

m& x& 

n = − β ( x n 

sau: 

− x n −1 

) + β ( x n + 1 − x n ) ⇒ Fn 

= − β ( x n − x n + 1 ) − β ( x n − x n −1 

) (3.5) 

& x& 

β x + x − 2x 

(3.6) 

( ) 

m n = n + 1 n −1 

n 

Relaţia (3.5) putea fi scrisă direct, întrucât F n reprezintă forţa elastică rezultantă. 

Soluţia ecuaţiei (3.6) este: 

i ( ωt 

− kna) 

x n = A e 

(3.7) 

unde na reprezintă distanţa particulei de ordin n faţă de particula considerată în origine, iar 

k reprezintă modulul vectorului de undă. Astfel vibraţiile termice ale atomilor din reţeaua 

cristalină ideală considerată pot fi descrise de o undă plană progresivă, care se propagă în 

lungul lanţului de atomi. Impunând soluţiei (3.7) să verifice ecuaţia (3.6) obţinem: 

2 

& 

− ω x , x = e 

− i ka 

⋅ x , x = e 

i ka 

⋅ x ⇒ 

x n = n n + 1 

n n −1 

n 

− mω 

mω 

2 

2 

= β 

= 2β 

( i ka 

+ 

− i ka 

2 

e e − 2 ) ⇒ − mω 

= β ( 2 cos ka − 2) 

⇒ 

ka 

2 

2 

( 1− 

cos ka) 

= 4β 

⋅ sin ⇒ 

β ka 

ω = 2 sin 

(3.8) 

m 2 

Formula (3.8) care leagă pulsaţia ω de numărul de undă k constituie relaţia de 

dispersie. Deoarece pulsaţia nu este dependentă de ordinul n al atomului, rezultă că toţi 

atomii din lanţul considerat vibrează cu aceeaşi pulsaţie. Valorile pozitive ale lui k 

corespund undelor progresive, iar valorile negative ale lui k corespund undelor regresive. 

Datorită naturii periodice a relaţiei de dispersie, rezultă că valorile distincte ale lui k sunt 

cuprinse în intervalul: 

π π 

− ≤ k < 

(3.9) 

a a 

numit prima zonă Brillouin pentru un lanţ liniar de atomi. Pentru a arăta acest lucru luăm o 

valoare a lui k în afara intervalului considerat. Dacă la acest k adăugăm sau scădem un 

multiplu întreg de 2π / a atunci vom obţine o valoare k’ care este cuprinsă în intervalul 

considerat. Într-adevăr din (3.8) rezultă: 

β k′ 

a β ⎛ 2π 

⎞ a β ⎛ ka ⎞ β ka 

ω = 2 ⋅ sin = 2 ⋅sin 

k s 2 sin s = 2 ⋅ sin = ω 

k 

⎜ ± ⎟ = ⋅ ⎜ ± π 

′ 

⎟ 

m 2 m ⎝ a ⎠ 2 m ⎝ 2 ⎠ m 2 k 

s = 1 , 2 , 3 , . . .

- 110 - 

La acelaşi rezultat se ajunge dacă se foloseşte 

relaţia (3.7) . Pentru k = 0 rezultă ω = 0, 

iar 

pentru k max = 

π 

rezultă: 

a 

ω max = 2 

β 

(3.10) 

m 

Graficul curbei de dispersie este dat în figura 

alăturată. 

Viteza de fază a undei este: 

v = 

ω 

k 

= a 

ka 

sin 

β 2 

m ka 

2 

(3.11) 

Viteza de grup, care este asociată vitezei de transport a energiei, este: 

v g = 

dω 

dk 

= a 

β 

⋅ cos 

m 

ka 

2 

(3.12) 

Pentru k = 0 viteza de fază este egală cu viteza de grup, atingând valoarea lor 

maximă v max = v gmax 

= a 

β 

, iar pentru 

m 

k = k max = 

π 

, caz în care λ = 2a , rezultă 

a 

2a β 

v = iar v g = 0 . În ultimul caz transferul de energie este nul, iar în şirul 

π m 

unidimensional de atomi se formează un sistem de unde staţionare. Într-adevăr pentru 

k = π/a 

din (3.7) rezultă: 

i ( ωmaxt 

− k maxna) 

i ( ωmaxt 

− nπ) 

n i ωmaxt 

x n = A e 

= A e 

= ( −1) 

A e 

Se constată că faza vibraţiilor este determinată de ordinul n al atomului. Rezultă că 

pentru doi atomi vecini vibraţiile sunt în opoziţie de fază. 

În cazul real al unui lanţ finit de N atomi se impune condiţia de ciclicitate: 

x n = x n ± N 

(3.13) 

Din relaţiile (3.7) şi (3.13) rezultă: 

e 

± i kNa 

= 1 ⇒ kNa = 2πl 

⇒ k = 

2π 

⋅ l , l = 0 , 1, 

2 . . . 

Na 

Deoarece k max = 

π 

rezultă: 

a 

π 

a 

= 

2π 

Na 

l max ⇒ l max = 

N 

2 

⇒ 

N N 

− ≤ l < ⇒ l = 0 , 1, 

. . . , N −1 

( N valori ) (3.14) 

2 2 

Rezultă că numărul modurilor de vibraţie este egal cu numărul atomilor şi este acelaşi 

cu numărul gradelor de libertate. 

În cazul unei reţele tridimensionale rezultă mai multe relaţii de dispersie. 

Fiecărui mod de vibraţie i se asociază o particulă fictivă numită fonon. Energia 

fononilor este cuantificată E = hω, 

impulsul lor fiind p = hk 

. Introducerea fononilor este 

utilă în studiul interacţiunilor dintre electroni şi fononi, sau dintre fotoni şi fononi.

- 111 - 

3.4. Masa efectivă a electronului în cristal 

Viteza de grup a undei asociate mişcării electronului din cristal este: 

( hω) 

r 

v g = 

dω 

r = 

dk 

d 

r 

d( 

hk) 

= 

1 dE 

r 

h dk 

(3.15) 

Forţa cu care un câmp electric exterior acţionează asupra electronului din cristal este: 

r 

( hk) 

r 

r 

r 

dp 

d dk 

F = = = h 

(3.16) 

dt dt dt 

Sub acţiunea acestei forţe electronul capătă acceleraţia: 

r 

r 

r 

2 

r dv 

g 1 d ⎛ dE ⎞ 1 d ⎛ dE ⎞ dk 

1 d E dk 

a = = ⋅ ⎜ r ⎟ = ⋅ r ⎜ r ⎟ = ⋅ r ⋅ 

(3.17) 

2 

dt h dt ⎝ dk 

⎠ h dk 

⎝ dk 

⎠ dt h dk 

dt 


r 2 

h r 

F = ⋅ a 

(3.18) 

2 

d E 

r 

2 

dk 

r r 

Prin analogie cu legea a doua a lui Newton F = m 

∗ 

a , rezultă masa efectivă a 

electronului în cristal: 

2 

−1 

2 d E 

m 

∗ ⎛ ⎞ 

= h ⎜ r 

2 

dk 

⎟ 

(3.19) 

⎝ ⎠ 

Deosebirea între masa electronului liber şi masa efectivă a electronului din cristal se 

datorează interacţiunii dintre electron şi reţea. 

Noţiunea de masă efectivă poate fi introdusă într-un mod diferit, prin dezvoltarea în 

serie Taylor a energiei E(k) în jurul valorii corespunzătoare echilibrului: 

2 

⎛ ∂E 

⎞ 

1 ⎛ ∂ E ⎞ 

2 

E ( k) 

= E ( k 0 ) + ⎜ ⎟ ( k − k 0 ) + 

( k − k 0 ) + . . . 

2 

k k k 2 ⎜ 

k 

⎟ 

⎝ ∂ ⎠ = 0 

⎝ ∂ ⎠k 

= k0 

⎛ ∂E 

⎞ 

Al doilea termen este nul datorită condiţiei de echilibru ⎜ ⎟ = 0. ( 0 

⎝ ∂k 

⎠k 

= k0 

k 

corespunde minimului funcţiei E(k) . Rezultă: 

2 

h 

2 

E ( k) 

≈ E ( k 0 ) + ( k − k 0 ) 

2m 

∗ 

(3.20) 

unde: 

2 

m 

∗ h 

= 

(3.21) 

2 ⎛ d E ⎞ 

⎜ r 

2 

dk 

⎟ 

⎝ ⎠k 

= k0 

este masa efectivă a electronului. 

Masa efectivă a unui electron din banda de conducţie a semiconductorului GaAs este 

m 

∗ 

− 31 

= 0,07 m 0 , unde m 0 este masa electronului liber ( m = 9,108 ⋅10 

kg ). Raportul 

0

- 112 - 

m / m 

∗ 

este de 0,69 la Li, de 1,20 la Cs şi de 1,07 la Na. În cazul sodiului, electronii de 

valenţă pot fi consideraţi liberi. Pentru un electron liber, dependenţa energiei de vectorul de 

undă k r al undei de Broglie asociate mişcării electronului este de forma: 

r r 

2 2 2 

p h k 

E = = 

(3.22) 

2m 0 2m 0 

În acest caz, din relaţiile (3.21) şi (3.22) rezultă 0 m m 

∗ 

= . 

3.5. Energia Fermi a electronilor dintr-un metal 

Electronii de valenţă dintr-un metal au o mare mobilitate şi de aceea putem considera 

că aceştia se mişcă liber în interiorul metalului, ca într-o groapă de potenţial tridimensională 

cu pereţii infiniţi. Deoarece energia potenţială de interacţiune dintre electroni şi reţea este 

neglijabilă, ecuaţia lui Schrödinger este de forma: 

∆Ψ 

+ 

2m 

2 

h 

( E − V) 

Ψ = 0 ⇒ 

(3.23) 

2 

∆Ψ + k Ψ = 0 

(3.24) 


2 2 2 2 2mE 

k = k x + k y + k z = 

(3.25) 

2 

h 

Ecuaţia (3.24) poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor. Se exprimă 

soluţia ecuaţiei ca un produs de trei funcţii dependente fiecare numai de câte o singură 

variabilă: 

Ψ x, y, z = Ψ x Ψ y Ψ z 

(3.26) 

( ) ( ) ( ) ( ) 

1 

2 

Impunând soluţiei (3.26) să verifice ecuaţia (3.24) , rezultă trei ecuaţii: 

2 

d Ψ1 

2 

dx 

2 

+ k x Ψ1 

= 0 ; 

2 

d Ψ2 

2 

dy 

2 

+ k y Ψ2 

= 0 ; 

2 

d Ψ3 

2 

dz 

2 

+ k z Ψ3 

= 0 

Aceste ecuaţii admit soluţiile: 

i kxx 

Ψ 1 = C1 

e , 

i kyy 

Ψ2 

= C 2 e , 

i kzz 

Ψ3 

= C3 

e 

(3.27) 

Aplicând condiţiile la limită periodice pentru un paralelipiped de laturi L x , L y , L z 

obţinem: 

Ψ x = Ψ x + L , Ψ y = Ψ y + L , Ψ z = Ψ z + L 

3 

( ) 1 ( x ) 2 ( ) 2 ( y ) 3 ( ) 3 ( z ) ⇒ 

i kxx 

e 

i kx 

( x + L x ) = C1 

e 

⇒ 

i kxL 

x e = 1 ⇒ k xL 

x = 2πn 

x , n = 0, 1, 2, . . . 

i kyy 

e = C 

i k y( 

y + L y ) e 

⇒ 

i k yLy 

e = 1 ⇒ k L = 2πn 

, n = 0, 1, 2, . . . 

1 

C1 x 

C 2 

2 

y y 

y y 

( z + L z ) i kzLz 

⇒ e = 1 ⇒ k L = 2πn 

, n = 0, 1, 2, . . . 

i k z i k 

z 

z 

C3 e = C3 

e 

z z 

z z 

k x 

2 

n x 

L 

, k y 

2 

n y 

L 

, k z 

2 

⋅ n z 

L 

π 

= 

π 

⋅ = 

π 

⋅ = 

(3.28) 

Constantele 1 2 3 

x 

y 

C , C , C din (3.27) se determină din condiţia de normare: 

z

L 

x 

x 

2 

Ψ 

∗ 

1 ⋅ Ψ1 

dx = 1 ⇒ C1 

⋅ ∫ 

∫ 

0 

La fel se arată că: 

C 2 = 

1 

L 

, 

y 

L 

0 

- 113 - 

dx = 1 

C = 

Înlocuind C 1, 

C 2 , C3 

şi x y z 

3 

1 

L 

z 

⇒ 

C 

2 

1 

L 

x 

= 1 

⇒ 

k , k , k din (3.28) în (3.27) obţinem: 

2πn 

2πn 

x 

y 

i y 

2πn 

z 

i ⋅ x 

⋅ 

i ⋅ z 

1 L 

1 L 

1 

x 

y 

L z 

Ψ 1 = e , Ψ2 

= e , Ψ3 

= e 

(3.29) 

L 

L 

L 

x 

y 

Înlocuind Ψ1 , Ψ2 

, Ψ3 

în (3.26) rezultă: 

r 

1 i ( k xx 

+ k yy 

+ k z ) 1 

r 

z 

Ψ = e 

= e 

i k ⋅ r 

(3.30) 

L L L 

Ω 

x 

y 

z 


Ω = L xL 

yL 

z 

(3.31) 

este volumul paralelipipedului. Din relaţiile (3.26) şi (3.28) rezultă energia electronului: 

2 ⎛ 2 2 2 

h 

⎞ 

2 ⎜ 

n n x y n z 

E = ⋅ 4π 

+ + ⎟ 

(3.32) 

⎜ 2 2 2 

2m 

⎟ 

⎝ L x L y L z ⎠ 

La studiul radiaţiei corpului negru am arătat că numărul de oscilaţii proprii care au 

numărul de undă mai mic decât k este egal cu numărul de puncte interioare sferei de rază k 

(într-o optime de sferă, deoarece n i sunt pozitivi). Acest număr este dat de relaţia (1.29): 

3 

2 k 

V 

z = ⋅ 

(3.33) 

6π 

Înlocuind k din (3.25) în (3.33) obţinem: 

3 / 2 

V ⎛ 2mE ⎞ 

z = 2 ⎜ 2 ⎟ 

6π 

h ⎠ 

(3.34) 

⎝ 

Deoarece energia Fermi E F este energia maximă a electronilor din groapa de potenţial 

la T = 0 K, fiecare nivel de energie fiind ocupat de doi electroni cu spinii opuşi, în 

conformitate cu principiul lui Pauli, numărul de nivele complet ocupate la T = 0 K este: 

3 / 2 

N V ⎛ 2mE F ⎞ 

z F = = ⎜ ⎟ 2 2 

2 6π 

h ⎠ 

(3.35) 

⎝ 

Din relaţia (3.35) rezultă: 

2mE F 

2 

h 

2 

2 / 3 

⎛ 6π 

N ⎞ 

= ⎜ 

⎟ 

⎝ 2V 

⎠ 

⇒ 

(3.36) 

( ) 3 / 2 

2 

2 

E F = 3π 

n 

2m 

h 

(3.37) 

unde n = 

N 

este concentraţia electronilor (N este numărul total de electrono din cristal, iar 

V 

V este volumul cristalului). 

z 

C 

1 

= 

1 

L 

x

- 114 - 

3.6. Teorema lui Bloch 

În aproximaţia unielectronică se consideră că fiecare electron din cristal se mişcă întrun 

potenţial efectiv V(r) creat de restul electronilor şi de ionii cristalului. 

Teorema lui Bloch afirmă că soluţia generală a ecuaţiei lui Schrödinger în aproximaţia 

unielectronică: 

2 

h r r r r 

− ∆Ψk 

() r + V () r Ψk 

() r = E Ψk 

() r 

(3.38) 

2me 

pentru electronul din reţeaua cristalină 

r 

are forma: 

r 

r 

() r e 

i k r r 

Ψ k = 

⋅ 

⋅ u k () r 

(3.39) 

unde energia potenţială efectivă V( r) 

r este o funcţie periodică având perioada spaţială egală 

cu constanta reţelei a r : 

r r r 

V() 

r = V( 

r + a) 

(3.40) 

Astfel în locul unei soluţii de forma undei plane (3.30) de amplitudine constantă, 

obţinută în cazul în care s-a neglijat potenţialul de interacţiune dintre electroni şi reţea, în 

r 

cazul în care V () r este diferit de zero apare factorul modulator u k ( r ) cu aceeaşi periodicitate 

spaţială ca şi V() r : 

r r r 

u k () r = u k ( r + a) 

(3.41) 

De asemenea, energia electronului nu va fi dată de relaţia (3.32) , ci se vor obţine 

benzi de energie permise (în care energia electronului este o funcţie aproape continuă într-un 

interval mare de valori ale lui k ) şi benzi de energie interzise. 

Pentru a demonstra teorema lui Bloch vom folosi un operator de translaţie Tˆ având 

următoarea proprietate: 

T f () r f ( r a) 

ˆ r r r 

⋅ = + 

(3.42) 

unde f () r este o funcţie oarecare, dependentă de r . Vom considera cazul particular al unui 

cristal unidimensional pentru care r este coliniar cu a r . Ecuaţia cu valori proprii a 

operatorului hamiltonian este: 

H r E r 

ˆ r r 

Ψ = Ψ 

(3.43) 

() ( ) 

r 

unde H ( r ) = − 

2 

h r 

∆ + V ( r ) 

ˆ 

2me 

este invariant la translaţia pe o distanţă egală cu constanta 

reţelei: 

() H( r a) 

ˆ H r ˆ r r r 

= + 

(3.44) 

Aplicând operatorul Tˆ relaţiei (3.43) rezultă: 

( () Ψ () ) = ( + ) Ψ( 

+ ) = ( ) Ψ( 

+ ) = Ψ() 

= TΨ() r = EΨ( 

r + a)⇒ 

ˆ 

TE r E ˆ 

H r r a ˆ 

(3.44) 

H r a r a 

ˆ 

H r r ˆ Tˆ r r r r r r r r r r r r r 

H() r ( r a) 

E ( r a) 

ˆ r r r r r 

Ψ + = Ψ + 

(3.45) 

r r r 

Din relaţiile (3.43) şi (3.45) se constată că Ψ ( r) 

şi Ψ ( r + a) 

sunt funcţii proprii ale 

lui H care corespund aceleiaşi valori proprii E. Rezultă că pentru un sistem nedegenerat (toate 

nivelele de energie ale spectrului discret al unui sistem unidimensional sunt nedegenerate) 

r r r 

Ψ () r şi Ψ ( r + a) 

trebuie să difere printr-o constantă multiplicativă C: 

r r 

Ψ r + a 

r 

= CΨ 

r 

(3.46) 

( ) ( ) 

Relaţia (3.46) poate fi generalizată:

n 

( r + na) 

= C Ψ( 

r ) 

- 115 - 

r r r 

Ψ (3.47) 

În cazul unui cristal real atomii de la capete au o influenţă neglijabilă, astfel că pentru 

un N destul de mare putem scrie: 

r r r 

Ψ ( r + Na) 

= Ψ( 

r ) ≡ condiţia de ciclicitate (3.48) 

r r 

Ψ ( r + Na) 

= 

(3.47) 

= 

N r 

C Ψ( 

r) 

(3.49) 

Din aceste două relaţii rezultă: 

C = 1 ⇒ 

N 

(3.50) 

i 2πl 

C = e N 

i 2πla 

= e Na = e 

i ka 

r r 

= e 

i k ⋅ a 

(3.51) 


k = 

2πl 

Na 

= 

2πl 

L 

(3.52) 

l = 0 , 1, 

2 , . . . , N −1 

(3.53) ≡ (3.14) 

2πil 


). 

r 

r r 

r 

Ψ ( + ) = 

i k ⋅ a r 

r a e Ψk 

( r) 

⇒ 

r 

r r r r 

r 

r 

− 

() ( ) ( + ) Ψ = 

− i k ⋅ a r r 

r 

⋅ Ψ + = 

i k ⋅ r i k r a r r 

k r e r a e ⋅ e ⋅ Ψ( 

r + a) 

14442 

r 

44443 uk 

() r 

⇒ 

(3.54) 

Ψ 

r 

r r 

= e 

i k ⋅ r 

⋅ u 

r 

(3.55) 

(Se verifică faptul că C e cos ( 2 ) i sin ( 2 ) 1 

N 

= = πl 

+ πl 

= 

k 

() () 

r k 


r r r r 

− 

( ) ( + + 

(3.54) 

r r r r r 

r r ik 

r a a) 

r r r − ik 

( ) ( r + a + a 

r ) u r + a = e 

Ψ r + a + a 

⋅ 

ik 

⋅ a r r 

k 

= e 

e ⋅ Ψk 

( r + a) 

= 

r r r 

− ik( 

r + a) 

r r r 

= e ⋅ Ψk 

( r + a) 

= u k ( r) 

(3.56) = (3.41) 

r 

Funcţia Ψ k () r este numită funcţia Bloch. În cazul tridimensional relaţiile au aceeaşi 

formă. 

Din (3.54) se constată că densitatea de probabilitate are aceeaşi periodicitate spaţială 

ca şi potenţialul efectiv din relaţia (3.40). Într-adevăr: 

r r 

r r 

r r 

2 i k a i k a r 2 r 

Ψ r + a = e 

− ⋅ 

⋅ e 

⋅ 

⋅ Ψ r = Ψ r 

( ) () () 2 

3.7. Benzile de energie. Modelul Kronig-Penney 

Experimental s-a stabilit că potenţialul unui ion dintr-o reţea metalică este diferit de un 

potenţial de tip coulombian ( Ze / 4πε 

0r 

) (deoarece electronii de valenţă ecranează ionul 

metalic). Debye a propus o formulă pentru energia potenţială de interacţiune dintre ionul 

2 − r / r 

Ze / r e 

r este raza efectivă de interacţiune 

metalic şi un electron, de forma ( ) D 

− 0 

unde D 

k 

k

- 116 - 

a ionului cu un electron. Energia potenţială scade foarte repede cu distanţa, din cauza 

factorului exponenţial. De aceea, pentru distanţe mari faţă de ion, energia potenţială este 

aproximată cu o constantă. Întrucât cele mai importante rezultate nu depind de forma 

potenţialului, vom aproxima energia potenţială cu un şir de gropi de potenţial de lăţime c 

intercalate de bariere de potenţial de lăţime b şi înălţime V 0 . 

V 

( ) ⎨ 

⎩ ⎧ 

x = 

Modelul Kronig-Penney 

( V0 → ∞ , b → 0 , V0b 

= finit) 

b = 0 ⇒ c = a 

0 , n (c + b) ≤ x ≤ n ( c + b) + c 

V , n (c + b) + c ≤ x ≤ n ( c + b) + c + b = (n + 1) (c + b) 

0 

Fiecărui ion din nodurile reţelei cristaline i se asociază o groapă de potenţial 

unidimensională. În acest caz relaţiile (3.40) , (3.48) , (3.55) şi (3.56) devin: 


( x) 

V( 

x a) 

V = + 

(3.57) 

( x ) = Ψ( 

x + Na) 

Ψ (3.58) 

Ψ 

i k x 

(3.59) 

k 

( ) = e ⋅ u ( x) 

x k 

( x) 

u ( x + a) 

u k 

k 

= (3.60) 

Pentru regiunile I şi II ecuaţia Schrödinger este ( 0 V E 0 < < ): 

d 

2 

2 

dx 

2 

d Ψ 

dx 

Ψ 

1 

2 

2 

2m 

+ ⋅ EΨ 

2 1 = 

h 

2m 

+ 2 

h 

0 

(regiunea I) 

d 

2 

2m 

2 

h 

2 

( E − V ) Ψ = 0 ⇒ − ( V − E) 

Ψ = 0 (regiunea II) 

Soluţiile acestor ecuaţii sunt: 

0 

2 

dx 

Ψ 

2 

Ψ = A e 

i α x 

+ B e 

− i α x 

(3.61) 

1 

1 

1 

− β x β x 

Ψ = A e + B e 

(3.62) 

2 

2 

2 

2mE 

α = 

(3.63) 

2 

h 

( V − E) 

2m 0 

β = 

(3.64) 

2 

h 

Pentru a pune în evidenţă funcţiile de undă de tip Bloch (3.59) vom scrie soluţiile sub 

forma: 

0 

2

- 117 - 

( α − k) 

x − i ( α k) 

x ⎤ i k x ( ) i k x 

⎡ i 

+ 

Ψ 1 = 

⎢ 

A1e 

+ B1e 

⎥ 

e = u1 

x e 

(3.65) 

⎣ 

⎦ 

( i β − k) 

x − i ( i β k) 

x ⎤ i k x ( ) i k x 

⎡ i 

+ 

Ψ 2 = 

⎢ 

A 2e 

+ B2e 

⎥ 

e = u 2 x e 

(3.66) 

⎣ 

⎦ 

Condiţiile la limită Ψ 1( 

0) = Ψ2 

( 0) 

şi 1 ( 0) = Ψ2 

( 0) 

1 ( 0) 

= u ( 0) 

, respectiv 

′ ′ ( 0) 

= u ( 0) 

u 2 

u1 2 

′ ′ 

Ψ sunt echivalente cu 

. Aceste condiţii de continuitate sunt necesare 

deoarece o funcţie este diferenţiabilă dacă este continuă. Impunând aceste condiţii relaţiilor 

(3.65) şi (3.66) obţinem: 

A + B = A + B 

(3.67) 

1 

1 

( − k) 

A1 

− i ( α + k) 

B1 

= i ( i β − k) 

A 2 − i ( i β k) 

B2 

2 

i α + 

(3.68) 

Conform teoremei lui Bloch, funcţia u este periodică, având aceeaşi perioadă spaţială 

ca şi V(x). Astfel: 

u1 () c = u 2 ( − b) 

(3.69) 

′ 

c 

′ 

= u − b 

(3.70) 

() ( ) 

u1 2 

Impunând aceste condiţii relaţiilor (3.65) şi (3.66) obţinem: 

( ) ( ) ( ) ( ) k i i 

α − k c − i α + k c − i i β − k b β + 

i 

A1e + B1e 

= A 2e 

+ B2e 

2 

b 

(3.71) 

i 

( ) ( α − k) 

c 

− i 

( ) ( α + k) 

c 

− i 

( ) ( iβ 

− k) 

b 

i 

( ) ( iβ 

+ k) 

α − k A e − i α + k B e = i iβ 

− k A e − i iβ 

+ k B e 

i 1 

1 

2 

2 

(3.72) 

Ecuaţiile (3.67) , (3.68) , (3.71) , (3.72) alcătuiesc un sistem liniar şi omogen de patru 

ecuaţii cu necunoscutele A 1, 

B1, 

A 2 , B2 

. Pentru ca sistemul să admită soluţii nebanale, 

trebuie ca determinantul coeficienţilor să fie nul. Din această condiţie rezultă: 

2 2 

β − α 

sin αc 

⋅ sh βb 

+ cos αc 

⋅ ch βb 

= cos k( 

c + b) 

(3.73) 

2αβ 

Această ecuaţie impune o relaţie între k, α şi β care permite obţinerea benzilor de 

energie (c şi b sunt mărimi constante). 

În modelul Kronig-Penney se consideră un caz special al relaţiei (3.73) în care 

V0 → ∞ şi b → 0 , astfel încât V0 b să rămână un număr finit. Din relaţia a = b + c , pentru 

b → 0 rezultă c → a . Din relaţia (3.64) se constată că 

finită pentru β → ∞ şi b → 0 , pe care o notăm cu 2 C / a . 

b 0 

lim β 

→ ∞ → β 

2 

b 

2C 

b 0 c 

lim = = 

→ 

2C 

a 

⇒ 

C 

2 

β ∼ 0 

1 

ab 

2 

b 0 

lim 

⎛ 2 ⎞ 

⎜ β ⋅ ⎟ > 

⎝ ⎠ 

→ ∞ → β 

= 

Deoarece: 

b 

b 0 

lim b 

b 0 

lim 

2 

β 

β 

→ 

= 

∞ → β 

β = 

→ ∞ → β 

rezultă că: 

lim ch( 

b) 

= 1 

b 0 

β 

→ ∞ → β 

V astfel că b 

2 

β are o limită 

0 

0 

, 

( β 

2 

b 

= 

(3.74) 

finit) 

b

Pentru β → ∞ 

sh 

2 

b 0 

lim 

2 

β 

⋅ 

αβ 

→ ∞ → β 

- 118 - 

2 2 2 

şi b → 0 rezultă β − α → β , αc 

→ αa 

, c + b = a , 

( βb) 

= 

1 

a α 

( βb) 

ab sh 

2 b 

b 0 

lim 

2 

β 

⋅ 

β 

→ ∞ → β 

= 

1 

a α 

ab 

2 

b 0 

lim 

2 

β 

→ ∞ → β 

( 3. 

74) 

= 

deoarece 

sh( 

βb) 

lim = 1 

b → 0 βb 

În relaţiile de mai sus se consideră mai întâi limita pentru b → 0 şi apoi limita pentru 

β → ∞ . În aceste condiţii limită relaţia (3.73) devine: 

( αa) 

C 

αa 

sin 

C ⋅ + cos ( αa) 

= cos ( ka) 

(3.75) 

αa 

Dacă C este foarte mic, atunci putem neglija primul termen din membrul stâng al 

relaţiei (3.75). Din (3.75) şi (3.63) rezultă: 

2 2 2 2 

⎡ π π⎤ 

h α h k 

cos α a = cos ka ⇒ α = k (pentru k ∈ 

⎢ 

− , ) ⇒ E = = 

⎣ a a ⎥ 

⎦ 

2m 

2m 

Am obţinut cazul limită al unui electron liber care poate lua orice energie. Desigur, 

2π 

⎛ 2π 

⎞ 

pentru α′ = k + obţinem cos α′ a = cos ⎜k 

+ ⎟ a = cos ( ka) 

. 

a 

⎝ a ⎠ 

Dacă C este foarte mare, deoarece cos ( ka) 

din (3.75) este cuprins între − 1 şi 1 , 

sin ( α a) 

rezultă că trebuie să fie foarte mic. La limită, pentru C → ∞ trebuie ca: 

αa 

sin ( αa) 

→ 0 ⇒ αa 

= nπ 

, n = ± 1, 

± 2 , . . . (3.76) 

αa 

Din (3.63) şi (3.76) rezultă: 

2 2 2 2 2 

h α n π h 

E = = , n = 1, 

2 , . . . 

(3.77) 

2 

2m 

2ma 

Am obţinut cazul limită al unui electron aflat într-o groapă de potenţial cu pereţii 

infiniţi. În acest caz energia electronului poate lua numai anumite valori (determinate de 

condiţia (3.76) ). 

Valorile lui α a pentru care: 

sin ( αa) 

C ⋅ + cos ( αa) 

≤ 1 

(3.78) 

αa 

definesc valorile permise pentru energia electronului. Valorile lui α a pentru care valoarea 

absolută a membrului stâng al relaţiei (3.75) este mai mare ca 1 (valoarea maximă a 

membrului drept) definesc intervalele (benzile) de energie interzise. Se constată că benzile de 

energie interzise apar şi pentru valori ale energiei 0 V E > . 

Pentru a evidenţia alternanţa benzilor de energie permise cu aceea a benzilor de 

energie interzise, membrul stâng al relaţiei (3.75) este reprezentat grafic pentru o valoare 

oarecare a mărimii C. 

Pentru o valoare finită a lui C şi pentru αa = ± nπ 

rezultă: 

sin ( αa) 

C ⋅ + cos ( αa) 

= cos ( ± nπ) 

, n = 1, 

2 , 3 , . . . 

αa 

α 

a = π ⇒ cos π = −1 

, αa 

= 2π 

⇒ cos 2π 

= 1 , αa 

= − π ⇒ cos − π = −1 

( ) ( )

- 119 - 

Pentru aceste valori apar benzile de energie interzise, care corespund următoarelor 

valori ale lui k: 

π 2π 

nπ 

k = ± , ± , . . . , ± , . . . 

a a a 

Pentru aceste valori ale lui k membrul drept din relaţia (3.75) devine ± 1. 

În cazul unei zone de energie permise, energia electronilor este cuantificată, dar 

π 

distanţa dintre două nivele de energie vecine este foarte mică. Intervalul − 

a 

≤ k < 

π 

se 

a 

numeşte prima zonă Brillouin. A doua zonă Brillouin este definită de valorile lui k date de 

2π 

inegalităţile − 

a 

π 

≤ k < − , 

a 

π 

a 

≤ k < 

2π 

a 

. 

Pentru k = nπ/a 

rezultă λ = 

2π 

k 

= 

2π 

⋅ a 

nπ 

⇒ 

λ 

a = n ⋅ , care se obţine şi din 

2 

relaţia lui Bragg ( 2 d ⋅ sin θ = nλ 

) dacă d = a şi 

2 

π 

θ = . Rezultă că unda asociată 

electronului suferă o împrăştiere Bragg când întâlneşte barierele de potenţial distanţate la un 

număr întreg de semiunde, astfel că undele reflectate de aceste bariere sunt toate în fază şi 

interferă constructiv. Această reflexie internă totală a undelor electronului împiedică trecerea 

unui curent electronic prin cristal, explicând apariţia benzilor de energie interzise pentru 

k = nπ/a 

, n = 1 , 2 , 3 , . . . . Cazul undelor electronice progresive neperturbate, 

corespunzătoare electronilor liberi, este reprezentat în fugura de mai sus sub forma unei 

parabole cu linii întrerupte. 

O altă cale de a ajunge la modelul benzilor de energie este şi aceea care pleacă de la 

ideea scindării prin rezonanţă a nivelelor de energie. Pentru doi atomi identici aflaţi la distanţă 

foarte mare, configuraţia electronilor este identică. Când cei doi atomi sunt foarte apropiaţi 

între ei, atunci electronii unuia din atomi interacţionează cu electronii celuilalt, astfel că 

nivelele de energie permise de sistemul format din cei doi atomi trebuie să asculte de 

principiul lui Pauli (doi electroni nu pot ocupa aceeaşi stare).

- 120 - 

Astfel fiecare nivel de energie al unui 

atom individual este despicat în două nivele de 

energie distincte. În cazul a N atomi, fiecare 

nivel al fiecărui atom este despicat în N nivele 

de energie. 

Proprietăţile chimice şi optice ale atomilor sunt determinate de electronii lor exteriori 

(electronii cei mai îndepărtaţi de nucleu). Similar, în cazul cristalelor, cele mai importante 

proprietăţi ale acestora sunt determinate de electronii din benzile de energie superioare. Aşa 

se poate explica de ce unele cristale sunt conductoare, iar altele sunt izolante. Astfel în cazul 

unui metal cum este argintul, un monocristal format din N atomi conţine N electroni de 

valenţă. Fiecare bandă de energie conţine N nivele energetice. Cea mai înaltă bandă de 

energie care are nivelele ocupate de electroni este numită bandă fundamentală. În 

conformitate cu principiul lui Pauli un nivel de energie poate fi ocupat de cel mult doi 

electroni cu spinii opuşi. Rezultă că din cele N nivele ale benzii fundamentale numai N/2 

sunt ocupate de electroni, celelalte N/2 fiind nivele libere, disponibile. 

În figură partea dublu haşurată a benzii 

reprezintă nivelele ocupate de electroni, iar partea 

haşurată simplu reprezintă nivelele libere. Introducând 

acest monocristal într-un câmp electric, electronii de 

valenţă pot lua energie de la câmpul electric, deoarece 

Argint (metal) există în banda fundamentală nivele de energie 

superioare libere pe care să treacă. 

Aceşti electroni se pot deplasa prin metal sub acţiunea câmpului electric, astfel că 

metalele monovalente sunt bune conducătoare de electricitate. În cazul acestor metale banda 

de valenţă este în acelaşi timp şi bandă de conducţie. Banda de valenţă este banda energetică 

ocupată complet la 0 K , iar banda de conducţie este următoarea bandă energetică, incomplet 

ocupată sau liberă. În general între banda de valenţă şi banda de conducţie există o zonă 

interzisă.La 0 K electronii sunt astfel distribuiţi încât ocupă complet stările permise până la 

nivelul Fermi E F . Dacă nivelul Fermi se află în interiorul benzii de conducţie sau al celei de 

valenţă, solidul este un conductor (metal). 

Dacă nivelul Fermi se află în interiorul 

zonei interzise, iar lăţimea zonei interzise este 

mare (> 5 eV) avem un izolator. 

Diamant 

Siliciu 

Semiconductoarele au o lăţime a zonei interzise 

mai mică (sub 2 eV), aşa încât electronii pot 

trece relativ uşor din banda de valenţă în banda 

de conducţie (la temperatura camerei electronii 

pot avea destulă energie termică pentru a trece 

din banda de valenţă în banda de conducţie. 

(izolator) (semiconductor) 

Astfel diamantul care are o lăţime a zonei interzise de ∼ 7 eV este un izolator, în timp 

ce siliciul este un semiconductor, deoarece are lăţimea zonei interzise de ∼ 1 eV. 

3.8. Supraconductivitatea 

Supraconductivitatea este proprietatea unor materiale (metale, aliaje metalice) de a-şi 

− 25 

micşora rezistivitatea electrică la cel mult 4 ⋅10 

Ω ⋅ m atunci când temperatura scade sub o 

anumită valoare numită temperatură critică. Astfel, la temperaturi foarte joase, rezistivitatea 

electrică în curent continuu este practic egală cu zero (nu s-a constatat nici o descreştere a 

intensităţii curentului indus într-un inel supraconductor timp de doi ani şi jumătate de la

- 121 - 

începerea experienţei). Rezistivitatea corpurilor în starea supraconductoare este de 

16 

aproximativ 4 ⋅ 10 ori mai mică decât rezistivitatea cuprului în stare normală (la temperatura 

− 8 

7 −1 

−1 

camerei ρ = 1,7 ⋅10 

Ω ⋅ m , σ = 5,8 ⋅10 

Ω m ). Rezultă că sub temperatura critică 

Cu 

Cu 

TC curentul electric trece printr-un fir metalic fără pierdere de energie prin efect Joule. 

Supraconductivitatea este totuşi distrusă începând de la o anumită valoare a intensităţii 

curentului electric I C , sau de la o anumită valoare a intensităţii câmpului magnetic H C . 

Mărimea câmpului critic este dependentă de temperatură, conform relaţiei: 

H 

C 

= 

H 

C0 

⎡ ⎛ 

⋅ ⎢1 

− 

⎜ 

⎢⎣ 

⎝ 

T 

T 

C 

2 

⎞ ⎤ 

⎟ ⎥ 

⎠ ⎥⎦ 

unde H C reprezintă valoarea câmpului critic la temperatura T = 0 K. Metalele şi aliajele 

0 

supraconductoare au proprietatea de a „expulza” câmpul magnetic din interiorul lor (efectul 

Meissner). Pentru a descrie proprietăţile supraconductoarelor din diferite materiale se folosesc 

cei trei parametri T C , I C şi H C . 

Pentru metale pure supraconductoare, temperatura critică cea mai scăzută o are 

wolframul (0,012 K), iar temperatura critică cea mai mare o are niobiul (9,22 K). Dintre 

aliajele intermetalice temperatura critică cea mai înaltă o are Nb3Ge (22,3 K). În anul 1986 

fizicienii J. G. Bednorz şi K. A. Müller au descoperit că anumite materiale ceramice au 

proprietăţi supraconductoare la temperatura de 35 K (în sisteme Ba-La-Cu-O). Până în 1986 

oricine încerca să publice un rezultat în care arăta că a obţinut un material supraconductor la 

temperaturi critice mai mari de 23 K era considerat nebun. Nici lucrarea lui Bednorz şi Müller 

nu a fost acceptată până când japonezul Tanaka a confirmat rezultatele. În 1987 americanul de 

origine chineză M. K. Wu a reuşit să sintetizeze un material ceramic (BaPbBiO3) care are 

temperatura critică C T = 90 K (− 183 0 C). Este interesant faptul că metalele bune 

conducătoare de electricitate (Cu, Au, Ag) la temperatura camerei (în stare normală) nu se 

manifestă ca supraconductoare la temperaturile foarte scăzute realizate până în prezent. 

Supraconductivitatea este singurul fenomen cuantic care poate fi observat la scară 

macroscopică. 

Structura reţelei materialelor supraconductoare nu se modifică la trecerea lor din starea 

normală în starea supraconductoare. Experimental s-a constatat că temperatura critică este 

invers proporţională cu rădăcina pătrată din masa izotopului. Acest efect izotopic evidenţiază 

rolul oscilaţiilor reţelei cristaline la formarea stării supraconductoare. Un electron aflat în 

apropierea unui ion pozitiv al reţelei cristaline deformează (polarizează) reţeaua datorită 

atracţiei coulombiene. Această deformare conduce la o modificare a vibraţiilor reţelei, adică 

are loc generarea unor fononi. L. Cooper a arătat în anul 1956 că emisia unui fonon de către 

un electron cu impulsul 1 kr h , urmată de absorbţia acestui fonon de către un alt electron cu

- 122 - 

impulsul 2 kr h conduce la o atracţie efectivă între aceşti doi electroni. La temperaturi foarte 

joase această interacţiune depăşeşte repulsia electrostatică dintre electroni, dacă aceşti 

electroni schimbă între ei fononi cât mai des. Această interacţiune electron-electron realizată 

prin intermediul schimbului virtual de fononi conduce la o stare legată a celor doi electroni, 

numită pereche Cooper. Astfel la temperatura critică apare o corelaţie puternică între toţi 

electronii de conducţie. Probabilitatea de formare a perechilor Cooper este maximă (energia 

perechii este minimă) atunci când impulsurile electronilor ce interacţionează sunt egale şi de 

semn opus ( k1 r 

h = − k 2 

r 

r r 

h ) şi când spinii electronilor sunt antiparaleli ( s1 

= − s2 

), în acord cu 

principiul de excluziune al lui Pauli. Într-un metal normal, la 0 K sunt ocupate toate stările 

energetice până la limita nivelului Fermi. Într-un metal supraconductor trebuie să admitem 

însă că există sub nivelul Fermi şi unele stări energetice libere, deoarece în caz contrar nu ar fi 

posibilă tranziţia electronilor de la starea iniţială (dată de vectorii de undă k1 r şi k 2 

r ) la starea 

finală caracterizată de vectorii k′ 1 

r şi 2 k′ 

r . O pereche Cooper cu energia minimă, fiind 

caracterizată de un impuls total nul ( k1 r 

h + k 2 

r 

h = 0) şi de un spin total nul ( s1 + s2 

= 0 

r r 

) se 

comportă ca un bozon (numărul de bozoni dintr-o stare nu este fix). Se spune că perechea 

Cooper se comportă ca o cvaziparticulă. 

În starea normală ( C T T > ) a unui metal, toate nivelele de energie cu 

2 2 

E < E F = h k F / 2m 

sunt ocupate. Presupunem că ar exista doi electroni independenţi (care 

nu interacţionează între ei) în afara sferei Fermi de rază F k h . Energia minimă a acestei 

( 0) 

perechi de electroni este E min = E F + E F = 2E F . Funcţia de undă ( r1 , r2 

) 

r r 

Ψ care 

caracterizează starea normală a celor doi electroni independenţi se exprimă ca un produs al 

funcţiilor proprii unielectronice de forma (3.30): 

r r r r 

( 0) 

r r 

( 0) 

r ( 0) 

r 1 i k1⋅ 

r 1 1 i k2⋅ 

r2 

Ψ ( r1 

, r2 

) = Ψ1 

( r1 

) ⋅ Ψ2 

( r2 

) = e ⋅ e 

(3.79) 

Ω Ω 

r r 

Punând k 2 = − k1 

(deoarece k1 r 

h + k 2 

r 

h = 0) rezultă: 

r r r r r r r 

( 0) 

r r 1 i k ⋅ r − i k ⋅ r 1 i k 

( ) ( r1 

− r2 

) r r r 

1 1 1 2 

1 

Ψ r1 , r2 

= ⋅ e ⋅ e = ⋅ e 

, r = r1 

− r ⇒ 

Ω 

Ω 

r r 

( 0) 

r r 1 i k1⋅ 

r 

Ψ ( r1 

, r2 

) = ⋅ e 

(3.80) 

Ω 

Ecuaţia cu valori proprii pentru acest sistem se exprimă astfel: 

( 0) 

( 0) 

( 0) 

H 0 ( r1 

, r2 

) E ( r1 

, r2 

) 

ˆ r r 

r r 

Ψ = Ψ 

(3.81) 


Hˆ Hˆ Hˆ = + 

H ˆ 

H ˆ 

0 

01 

0 2 

Ψ 

01 

0 2 

( 0) 

( 0) 

( 0) 

( r ) = E Ψ ( r ) 

1 

Ψ 

r 

1 

1 

( 0) 

( 0) 

( 0) 

( r ) = E Ψ ( r ) 

2 

r 

2 

2 

1 

2 

r 

1 

r 

2 2 

2 2 2 2 

h k 

h k h k 

E E1 

E 2 , E1 

k1 

, E 2 k 2 

1 1 

2m 

2m 

2m 

2 

( 0) 

( 0) 

( 0) 

( 0) 

1 ( 0) 

2 

1 ( 0) 

= + ( ) = 

( ) = = = E ( k ) ⇒ 

( 0) 

( 0) 

( k ) 2 E ( k ) 

E = (3.82) 

1 

1 

1

- 123 - 

Înlocuind (3.82) în (3.81) obţinem: 

0 

H r , r 

0 

2 E k 

0 

r , r 

ˆ Ψ 

r r 

= Ψ 

r r 

(3.83) 

0 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

1 

2 

1 

1 

Presupunem acum că cei doi electroni interacţionează între ei . Pentru a determina 

energia minimă a acestei perechi vom exprima funcţia de undă ca o combinaţie liniară a 

funcţiilor de undă neperturbate de forma (3.80) corespunzătoare tuturor perechilor de 

electroni care s-ar afla în afara sferei Fermi din spaţiul impulsurilor de rază F k h : 

r 

r r 

1 

r 

( r , r ) a e 

i k′ 

r 

1 2 = 

⋅ ⋅ 

⋅ 

r r k′ 

(3.84) 

Ω 

Ψ ∑ 

k′ 

> k 

F 

unde coeficienţii a 

k′ 

se determină din condiţia ca această funcţie de undă să verifice ecuaţia 

cu valori proprii: 

( 1 2 ) ( H 0 Vee 

) ( r1 

, r2 

) E ( r1 

, r2 

) 

ˆ 

H r , r ˆ r r 

r r r r 

Ψ = + Ψ = Ψ 

(3.85) 

unde 0 Hˆ este hamiltonianul neperturbat care corespunde energiei cinetice a electronilor 

independenţi, iar V ee este energia potenţială de interacţiune dintre cei doi electroni care 

formează o pereche Cooper. Înlocuind funcţia de undă (3.84) în ecuaţia (3.85) şi folosind 

relaţia (3.83) obţinem: 

1 

1 

1 

H e 

i k r 

E a e 

i k r 

a V e 

i k r 

k 

k ee 

ˆ 

r r 

r r 

r r 

⎛ ′ ⎞ 

′ 

′ 

− a 

⋅ 

⋅ 

⋅ 

∑ k′ 

0 ⎜ ⎟ + ∑ ′ 

⋅ = ∑ ′ 

⋅ 

k′ 

> kF 

⎝ Ω ⎠ k′ 

> k Ω 

F 

k′ 

> k Ω 

F 

r 

( ) 1 

r 

r 

[ ( ) ] ′ ⋅ 

1 

r 

0 

′ 

− ′ + ⋅ = 

⋅ 

i k ⋅ r 

∑ a 

′ 

2 E k E e 

i k r 

∑ a 

′ 

Vee 

e ⇒ 

k 1 

Ω 

k Ω 

k′ 

> kF 

∑ 

k′ 

> kF 

a 

k 

′ 

( 0) 

[ E − 2 E ( k′ 

) ] 

1 

r r 

e 

i k′ 

⋅ r 

= 

∑ 

k′ 

> kF 

k′ 

> kF 

a 

k 

1 

2 

V e 

i 

ee 

′ 

r r 

k′ 

⋅ r 

(3.86) 

Înmulţind această ecuaţie cu funcţia complex conjugată neperturbată: 

( 0) 

∗ r r 

Ψ ( r1 , r2 

) = 

r 

1 

r 

⋅ e 

− i k⋅ 

r 

Ω 

(3.87) 

şi integrând peste întreg spaţiul obţinem: 

1 

∑ 

r r r 

( 0) 

i r 

[ ( ) ] ( k′ 

− k) 

a E 2 E k′ 

e dv dv 

k′ 

− 1 ∫ 

1 2 = 

1 

Ω ∑ 

r r r 

i r( 

k′ 

− k) 

a e Vee 

dv dv 

k′ 

∫ 

1 2 

Ω k′ 

> kF 

k′ 

> kF 

rezultă: 

Deoarece: 

L L 

x y Lz 

∫ dx1 

∫ dy1 

∫ dz1 

⋅ 

0 0 0 

r 

1 

r 

e 

− i k ⋅ r 

⋅ 

Ω 

r 

1 

r 

e 

i k′ 

⋅ r 

Ω 

= δ 

k, 

k′ 

L L 

x y Lz 

∫ dx 2 ∫ dy 2 ∫ dz 2 ⋅ 

0 0 0 

r 

1 

r 

e 

− i k ⋅ r 

⋅ 

Ω 

r 

1 

r 

e 

i k′ 

⋅ r 

Ω 

= δ 

k, 

k′ 

∫ 

r 

i r 

e 

r r 

( k′ 

− k) 

dv dv 

= 

Ω 

2 

δ 

k, 

k 

2 

1 2 

′

- 124 - 

( 0) 

1 

a [ E − 2 E1 

( k) 

] = 

k 

2 

Ω ∑ 

k′ 

> kF 

r r r 

i r( 

k′ 

− k) 

a e Vee 

dx1dy1dz1 

dx 2dy 

2dz 

k′ 

∫ 

2 

Presupunem că potenţialul V ee are o formă simplă care să ne permită să scriem 

integrala din membrul drept sub forma unui produs: 

r r r 

1 

i r( 

k′ 

− k) 

a e Vee 

dx dy dz dx dy dz 

2 ∑ k 

1 1 1 2 2 2 

Ω ′ ∫ 

k′ 

> kF 

= βv 

v 

k k′ 

unde constanta β corespunde la o atracţie ( β < 0 ) sau la o respingere ( β > 0 ) a electronilor. În 

acest caz obţinem: 

( 0) 

a [ E − 2 E ( k) 

] v 

k 

1 = β 

k ∑ 

k′ 

> kF 

a v 

k′ 

k′ 

(3.88) 

unde suma din membrul drept nu depinde de k şi de aceea o notăm cu o constantă A: 

A = ∑ 

k′ 

> kF 

a v 

k′ 

k′ 

(3.89) 

Din relaţia (3.88) rezultă: 

a 

k 

βAv 

= 

k 

( 0) 

E − 2 E1 

( k) 

(3.90) 

Înlocuind (3.90) în (3.89) pentru a elimina a 

k′ 

obţinem: 

A 

= ∑ 

k′ 

> kF 

∑ 

k′ 

> kF 

βAv 

k′ 

E − 2 E 

( 0) 

( k′ 

) 

1 

( 0) 

( k′ 

) 

v 

k′ 

⇒ 

(3.91) 

2 

v 

1 = β 

k′ 

(3.92) 

E − 2 E 

( ) ( ) 

1 

0 

Deoarece E > 2 E1 

k′ 

conduce la inegalitatea F E 2 E > rezultă că relaţia (3.92) 

cere β > 0 (o respingere între electroni), pentru că membrul stâng este pozitiv. Dar acest 

proces de respingere între electroni este mai nefavorabil faţă de procesul de atracţie dintre 

electroni ( β < 0 ) , deoarece în ultimul caz energia este minimă ( F E 2 E < ). Rezultă că în 

cazul unei atracţii între electroni se obţine o stare coerentă specială a cărei energie minimă 

este mai mică decât energia minimă a stării normale ( E min = 2 E F ). Pentru a estima energia de 

legătură a unei perechi de electroni Cooper vom presupune că: 

v 

k 

⎪⎧ 

v 

′ 

= ⎨ 

⎪⎩ 0 

0 

, 

, 

E 

E 

( 0) 

≤ E ( k′ 

1 ) 

( 0) 

( k′ 

) > E 

F 

1 

≤ 

max 

E 

max 

(3.93) 

unde v 0 este o constantă pozitivă. Introducem densitatea stărilor bielectronice N ( E1 

) pe 

unitatea intervalului de energie şi presupunem că în (3.92) sumarea se face peste un interval 

de valori ale lui k′ suficient de mic lângă suprafaţa Fermi, care să ne permită să trecem de la 

sumă la integrală: 

Emax 

βv 

0 

1 = 

2 ∫ 

E 

N( 

E1 

) dE1 

E − 2 E1 

(3.94) 

F

- 125 - 

1 

Factorul a fost introdus pentru că din toate stările electronilor alegem numai pe cele 

2 

ale căror spini sunt antiparaleli. Pentru că domeniul de integrare este îngust, vom lua în locul 

lui N ( E1 

) pe N ( E F ) , pentru a o scoate în faţa integralei: 

Emax 

βv 

0N( 

E F ) ⎛ 1 ⎞ d( 

E − 2 E1 

) 

1 = ⎜− 

⎟ ∫ 

⇒ 

(3.95) 

2 ⎝ 2 ⎠ E 

E − 2 E1 

Emax 

βv 

0N( 

E F ) 

βv 

0N( 

E F ) 

βv 

0N( 

E F ) 

1= − ln ( E − 2 E1 

) = − ln ( E − 2 E max ) + ln 

F 

4 

E 

4 

4 

βv 

0N 

= 

4 

βv 

0N 

= 

4 

= 

β 

F 

( E F ) 

−1 

βv 

0N( 

E F ) 

[ ln ( E − 2 E ) + ln ( E − 2 E ) ] = 

v 

max 

F 

F 

4 

E − 2 E 

ln 

E − 2 E 

( E ) 2 E − E βv 

N( 

E ) 2 E − E β v N( 

E ) 

0 

4 

N 

F 

ln 

2 E 

( E ) 

F 

Mărimea: 

ln 

F 

max 

2 E 

= − 

− E 

max 

− 2 E 

2 E 

F 

F 

0 

− E 

4 

+ 2 E 

( E ) 

F 

F 

ln 

− E 

2 E 

, 

β 

max 

F 

− E 

< 

0 

= 

0 

4 

F 

max 

F 

= 

ln 

2 E 

2 E 

( E − 2 E ) = 

max 

F 

− E 

− E 

β v 0N 

F 2 E max − 2 E F + ∆ 

1 = ln 

(3.96) 

4 

∆ 

∆ = 2 E − E 0 

(3.97) 

F > 

caracterizează energia de legătură a unei perechi de electroni Cooper. Astfel limita superioară 

Fermi a energiei unei perechi Cooper este micşorată cu: 

E = 2 E F − ∆ 

(3.98) 

(energia totală a doi electroni pe suprafaţa Fermi este egală cu F E 2 în starea normală a 

metalului). 

Introducem energia Debye: 

E D = E max − E F = h ωD 

= k θ 

(3.99) 

unde ω D este pulsaţia Debye, care reprezintă pulsaţia maximă a unui fonon, iar θ este 

temperatura Debye a cristalului. Rezultă că la formarea unei perechi Cooper dintr-un 

supraconductor pot participa numai acei electroni de conducţie ale căror nivele de energie se 

află într-o bandă îngustă de lăţime D E în vecinătatea suprafeţei Fermi ( E D

- 126 - 

Am folosit faptul că / v N( 

E ) >> 1 

4 0 F 

caracterizată de β v 0 este foarte mică (subunitară). Se constată că energia de legătură a unei 

β deoarece interacţiunea electronilor 

stări coerente (a unei perechi Cooper) este proporţională cu energia Debye E D . Pentru a afla 

regiunea de interacţiune efectivă în spaţiul impulsurilor vom folosi relaţiile: 

2 

h k 

2m 


2 

2 

h k 

− 

2m 

2 

F 

< hω 

v 

D 

F 

hk 

+ hk 

F 

, 

2m 

hk 

F 

= 

m 

hk 

≈ 

m 

F 

⇒ 

( hk 

− hk 

)( hk 

+ hk 

) 

F 

2m 

F 

< hω 

D 

⇒ hk 

− hk 

F 

hω 

< 

v 

Când temperatura depăşeşte valoarea critică T C , 

energia de excitaţie termică este suficient de mare 

pentru a distruge corelaţia dintre electronii ce 

formează o pereche Cooper la C T T < . La temperaturi 

foarte joase ( T < TC 

) energia de excitaţie termică este 

mai scăzută decât energia de legătură ∆ a perechii de 

electroni. 

Materialele supraconductoare se folosesc la construirea unor electromagneţi utilizaţi 

pentru obţinerea de câmpuri intense (prin bobinele electromagneţilor folosiţi la trenul pe 

pernă magnetică circulă un curent de ∼ 1000 A), în transmiterea energiei electrice prin cabluri 

supraconductoare, în realizarea unor memorii pentru calculatoarele electronice etc. Aplicaţiile 

supraconductivităţii în transportul feroviar, în construcţia garniturilor de cale ferată cu pernă 

magnetică, permit nu numai mărirea vitezei comerciale a trenurilor (∼ 300 km/h), dar şi 

reducerea substanţială a consumurilor de energie în comparaţie cu transportul efectuat cu 

mijloace convenţionale. La trenul pe pernă magnetică tracţiunea feroviară se realizează prin 

acţiunea forţelor magnetice Lorentz create în sistemul criomagnetic al echipamentului rulant 

şi în calea de rulare (distanţa dintre criomagneţi şi calea de rulare nu depăşeşte 1 cm). Prin 

componentele criogenice circulă heliu lichid. Astfel chiar la curenţi foarte intenşi are loc o 

micşorare a rezistenţei ohmice şi deci se diminuează foarte mult pierderea de energie. 

Ecranarea magnetică a pasagerilor împotriva câmpurilor magnetice generate de criomagneţi 

(inducţia magnetică a Pământului este de 10 T 

4 − 

, iar o inducţie magnetică mai mare de 

− 3 

5⋅ 

10 T devine nocivă pentru organismul uman) se face cu ajutorul unor materiale având o 

mare permeabilitate magnetică µ şi o mare conductivitate σ , pentru a micşora adâncimea de 

pătrundere δ ∼ 1 / µσ şi deci pentru a micşora masa ecranelor de protecţie. 

F 

D

Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?