Raport stiintific.pdf - ITIM

Raport stiintific
Introducere
Prezentul proiect are ca scop general elaborarea unui model numeric pentru studiul difuziei /
migratiei in sisteme multistrat. Un astfel de model compact, precum si diferitele metode
numerice dezvoltate care fac parte din model constituie un instrument de calcul numeric general
care poate fi utilizat cu succes in modelarea catorva fenomene fizice din diferite domenii.
Aplicatiile la care se foloseste modelul (sau parti din model) dezvoltat in acest proiect sunt
urmatoarele:
a. Modelarea migratiei de impuritati chimice din ambalajul de polimer multistrat in aliment,
precum si estimarea concentratiei acestora in functie de timpul petrecut de la momentul
ambalarii pana la consum. O aplicatie similara este modelarea migratiei de impuritati organice
din conductele de apa (tevi de polimer multistrat) in apa potabila.
b. Modelarea difuziei caldurii si variatia parametrilor termici statici (ex. difuzivitate) si dinamici
(ex. efuzivitate) ale unor probe solide si lichide prin iradierea lor cu impulsuri laser in
configuratia fotopiroelectrica.
c. Modelarea propagarii radiatiei electromagnetice in impulsuri (ex. impulsuri laser intense si
ultrascurte) in medii gazoase.
Initial modelul a fost conceput pentru aplicatia din punctul a., dar ulterior s-a dovedit ca modelul
poate fi extins, generalizat in asa fel incat sa devina un instrument de calcul general, util in cele
mai diferite aplicatii.
In rapoartele stiintifice pentru fazele precedente am prezentat bazele matematice ale unui model
numeric de rezolvare a ecuatiei de difuzie in conditii generale: sistemul in care are loc difuzia
este compus din mai multe straturi, fiecare avand caracteristici diferite pentru difuzie (coeficienti
de difuzie si coeficienti de partitie la interfata dintre straturi adiacente), iar migratia se petrece in
conditii nestationare pornind dintr-un volum finit (migrantul se poate gasi initial intr-un singur
strat al sistemului) si respectand conditiile la limita atat la periferia sistemului cat si la interfata
dintre straturi. Am prezentat modelul elaborat si rezultatele pentru cazul in care tot procesul se
desfasoara intr-un sistem stratificat de geometrie plana.
1. Modelarea datelor de migratie si difuzie in sisteme multistrat
Modelul si softul dezvoltat in cadrul acestui proiect si-au gasit domenii de aplicare in doua
directii importante:
- modelarea experimentelor de difuzie efectuate in laboratoare specializate care se ocupa cu
certificarea calitatii ambalajelor alimentare

- estimarea cantitatii de migrant care trece din ambalaj in aliment pentru cazuri specifice;
asemenea calcule constitutie baza pentru estimarea expunerii consumatorului la migrantii din
ambalaje
De la bun inceput trebuie sa mentionam ca aceasta ultima directie de aplicare s-a dovedit de mare
interes in cadrul UE astfel incat INCDTIM a devenit partener in cadrul proiectului FACET
(Flavors Additives and Food Contact Materials Exposure Task) care isi propune dezvoltarea unui
model si a softului corespunzator pentru estimarea expunerii consumatorului. Abordarea acestei
modelari este una stochastica dar in cadrul ei se foloseste modelul determinist dezvoltat in acest
proiect.
1.1 Pregatirea si structurarea datelor de input pentru modelarea migratiei si difuziei
In functie de domeniul de aplicare datele de input au fost structurate corespunzator. In general
structura de date in fisierul de intrare arata ca mai jos.
4, INTEGER, number of layers (1

Mentionam ca programul a fost dezvoltat ca o aplicatie de tip consola, fara capacitati grafice,
acest fisier de date fiind construit de utilizator conform cerintelor si cunostintelor din domeniu.
De exemplu valorile coeficientilor de difuzie si de partitie pot fi luate din baze de date sau pot fi
estimate cu diferitele modele existente in literatura. Daca nu exista determinari experimentale ale
coeficientului de difuzie, modelul Piringer este unul din cele mai folosite si el permite calculul
coeficientului de difuzie cunoscand cateva date fizico-chimice despre matrice si despre migrant.
Formula propusa de dr. Piringer (Fabes GmbH) si folosita in literatura este de forma:
⎛
2 / 3
1 ⎞
DP
= D0
e ⎜ APx−
0.1 pM
r
3 + 0.05 M
r
−01
⎟3
⎝
T ⎠
unde D p este coeficientul de difuzie in (cm²/s), D 0 un factor preexponential egal cu 10 4 cm²/s, A P
=A' P -τ/T sunt constante specifice polimerului, M r masa moleculara a migrantului in (g/mol) iar
T este temperatura in (K).
Aici trebuie de asemenea specificat faptul ca s-a reusit intr-o singura executie a programului
includerea mai multor trepte de temperatura, pana la 5, care sa modeleze cazuri in care un sistem
polimeric folosit la ambalare este produs la o temperatura T 1 , depozitat la o temperatura T 2 , pus
in contact cu alimentul la o temperatura de raft T 3 , tinut apoi de catre consumator la alte 2
regimuri de temperatura T 4 si T 5 .
Aceste cazuri au fost dezvoltate in urma consultarilor expertilor in domeniu, in special a
partenerilor nostri de pe proiectul FP7 FACET.
1.2 Adaptarea aplicatiei pentru configuratii experimentale folosite in laboratoarele de
testare
Fata de dezvoltarea initiala (a se vedea raportul stiintific din 2009) structura datelor de intrare
cuprinde o facilitate deosebit de importanta, si anume tipul de problema care trebuie rezolvat.
Aceasta facilitate a fost creata pentru a include in aceeasi aplicatie numerica mai multe tipuri de
probleme, cu conditii initiale si conditii la limita diferite. Aceste cazuri pot fi rulate succesiv
astfel incat la sfarsitul primei faze de executie sa se obtina datele de input pentru a doua faza de
executie. Problemele ce au fost impementate testate si pot fi rezolvate au fost etichetate astfel:
- ss - ns layers, step concentration profile
- sf - ns-1 layers, step concentration profile + food at right
- so - setoff case, ns=2*nsi layers. step conc profile
- gf - ns-1 layers, general concentration profile + food at right
- gl - ns-1 layers, general concentration profile + 1 receptor at left
- gr - ns-1 layers, general concentration profile + 1 receptor at right
- g2 - ns-2 layers, general concentration profile + 2 receptors
left/right
In cele ce urmeaza vom descrie acest cazuri si vom specifica domeniul lor de aplicare:

1. Cazul ‘ss’ este structura cea mai simpla si anume atunci cand profilul initial de
concentratie este de tip treapta, adica in fiecare strat concentratie uniforma independenta
de variabila spatiala x. Cazul cel mai des intalnit este concentatie zero in toate straturile
exceptand unul in care avem concentratia c 0 . Se foloseste ca pas initial in modelarea
migratiei presupunand ca ea nu a avut inca loc.
2. Cazul ‘sf’, in care alimentul este al ns-lea strat, pozitionat cel mai la dreapta iar in
celelalte avem profile de concentratie de tip treapta ca si in cazul ‘ss’. In acest caz
alimentul nu poate avea concentratie diferita de zero.
3. Cazul ‘so’ adica set-off. Este
unul din cele mai interesante, si
se intalneste atunci cand
sistemul multistrat (folia de
ambalaj de ex.) este pus in
contact cu un alt sistem identic.
Este un caz des intalnit
deoarece ambalajul este intai
produs, stocat de exemplu in
baloti (folia) si apoi folosit la
ambalare. Un exemplu modelat
de noi este ilustrat in figura
alaturata, in care s-au
considerat pahare (pentru
inghetata de exemplu) care au
fost produse, s-a inscriptionat pe ele si apoi au fost tinute unul in altul astfel incat
migrantii din partea exterioara a unui pahar ajung in contact cu partea interioara a
paharului de jos. Modelarea arata ca intr-o zi trec 6 ppb de etanol (in acest caz pe post de
simulant alimentar) din paharul ce nu a fost tinut in stiva si 36 ppb din paharul tinut in
stiva. Cazul ‘so’ se realizeaza generand 2 sisteme in contact, adica dubland numarul de
straturi si considerand un coeficient de partitie de obicei unitar intre ultimul strat al
sistemului din stanga si primul strat al celui din dreapta.
4. Cazul ‘gf’ presupune o modelara anterioara de tip ‘ss’ in care profilul de concentratie a
ajuns la o functie oarecare de x, coordonata spatiala. Acest caz vrea sa reproduca
realitatea in care ambalajul a trecut prin
faza de productie si depozitare
(manufacturing and storage) si apoi a fost
pus in contact cu alimentul.
5. Cazul ‘gl’, modeleaza, dupa ce a avut loc

un calcul de tip ‘ss’, cazul in care sistemul de ns straturi se pune in contact cu un receptor
de tip polimeric la stanga sistemului. Este folosit in testarile de laborator.
6. Cazul ‘gr’, modeleaza, dupa ce a avut loc un calcul de tip ‘ss’, cazul in care sistemul de
ns straturi se pune in contact cu un receptor de tip polimeric la dreapta sistemului. Este
folosit in testarile de laborator.
7. Cazul ‘g2’, modeleaza, dupa ce a avut loc un calcul de tip ‘ss’, cazul in care sistemul de
ns straturi se pune in contact cu doi receptori de tip polimeric la stanga si la dreapta
sistemului. Este cazul cel mai folosit in testarile de laborator, asa cum se vede din figura
alaturata unde ns=3.
1.3. Analiza influentei conditiilor initiale asupra datelor de migratie
Acest aspect a fost investigat in detaliu pe diferite cazuri de polimeri folositi in ambalare. Fiecare
caz a fost pregatit cu grija in ce priveste valorile parametrilor folositi in modelare. Figura de mai
jos ilustreaza cazul mentionat mai sus:
Conditiile initiale (adica doar straturile de carton si adezivul dintre ele) au fost calculate pentru
diverse scenarii de relevanta practica, de ex. la 5 zile, la 60 de zile si la echilibru, dupa un timp
foarte lung:

Odata aflat profilul initial de concentratie s-a putut face calculul cu foliile de polimer virgin
atasate la stanga si la dreapta (cazul ‘g2’) si s-au putut compara cu masuratori experimentale de
unde s-au extras informatii priving coeficientii de difuzie si de partitie a adezivului in contact cu
cartonul.
Rezultatele modelarii se regasesc in doua fisiere principale, unul care da structura spatiala a
concentatiei in cele ns straturi si la intervale de timp egal distribuite intre momentul initial si
tmax specificat in fisierul de intrare, Al doilea fisier ne furnizeaza dependenta de timp a
concentratiei medii in cele ns straturi. Structura primului fisier este astfel:
Number t1 t2 t3 t4 t5
of times
5 0.0 254600.0 509200.0 763800.0 1018400.0
x c(x,t1) c(x,t2) c(x,t3) c(x,t4) c(x,t5)
0.0000000 0.00000 118.377 114.032 109.986 106.26497
…...........................................
41.233913 250500. 211888. 204067. 196880. 190269.87
…...........................................
94.200000 0.00000 298.451 288.766 279.867 271.68148
Structura celui de al doilea fisier este:
0.0000000 0.0000000 250500.00 0.0000000 0.0000000
403.35868 8.9139376 229771.95 21563.870 46.805079
887.38910 14.358675 228134.89 22492.628 80.446276
1371.4195 18.164220 227467.11 22626.224 103.44604
1613.4347 19.793677 227180.03 22687.518 113.03871

unde prima coloana este timpul iar urmatoarele dau concentratia medie in cele 4 straturi
considerate aici. In ambele fisiere se observa ca al doilea strat contine migrantul la momentul
initial in timp ce celelalte sunt curate. Difuzia apare in acestea din urma pe masura scurgerii
timpului. Reprezentarile grafice din acest raport sunt obtinute folosind informatiile stocate in
acest tip de fisiere.
1.4. Modelarea difuziei caldurii produse de impulsuri laser in configuratia
fotopiroelectrica. Interpretarea rezultatelor
Ideea acestui studiu a constat in utilizarea calorimetriei IPPE-TWRC (inverse photopyroelectric
calorimetry-thermal wave resonator cavity) pentru a obtine informatii asupra proprietatilor
termice ale materialului solid folosit ca “backing” in celula fotopiroelectrica de detectie. In
tehnica TWRC parametrul de scanare este grosimea probei lichide (care este de fapt fluid de
cuplare intre senzorul piroelectric si “backing”).
Configuratia de detectie analizata contine un numar de 4 straturi (Fig. 1.): aer (g), senzor
piroelectric (p), proba lichida (s), backing (b). Primul si ultimul strat sunt considerate
semiinfinite, senzorul are grosimea l 1 si este optic opac iar proba (lichida) are grosimea l 2 .
Radiatia luminoasa incidenta modulata cu frecventa f se propaga pe directia Ox, originea axei
fiind pe fata superioara a senzorului.
backing
sample
senzor
aer
Radiatie optica
modulata
(b)
(s)
(p)
(g)
- ∞ -(l 1 +l 2 ) -l 1
0 ∞
Fig. 1. - Schema de detectie a celulei FPPE cu senzor opac.
In configuratia din Fig. 1. prin monitorizarea grosimii fluidului de cuplare se pot obtine
informatii termice despre “backing”.
Pentru aceasta configuratie de detectie se poate demonstra ca semnalul complex normalizat are
urmatoarea expresie:
V
N
−1 −1 −1
( bs
+ 1)( sp
+ 1) + ( bs
−1)( sp
−1) ( − 1) + ( bs
+ 1)( sp
− 1) + ( bs
− 1)( sp
+ 1) ( −1)
−1 −1 −1
⎡ ( bs
+ )( sp
+ ) + ( bs
− )( sp
− ) ⎤ + ⎡ ( bs
+ )( sp
− ) + ( bs
− )( sp
+ ) ⎤
Vt ()
⎡S b b S b b ⎤ P ⎡S b b S b b ⎤ P
= =
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
V0
() t
⎣
S b 1 b 1 S b 1 b 1
⎦
P
⎣
S b 1 b 1 S b 1 b 1
⎦
P
(1)

unde V(t) este semnalul PPE corespunzator configuratiei din Fig. 1., iar V0(t) este semnalul dat
de senzorul direct iluminat (configuratia aer, senzor, aer).
In Ec (1) simbolurile care intervin se exprima prin:
b
sp
=
ksσ
s
k σ
p
p
=
e
e
s
p
,
b
bs
=
kbσ
b
k σ
s
s
=
e
e
b
s
,
P
= e
σ l
p 1
,
S
= e
σ l
s 2
b ij =e i /e j este raportul efuzivitatilor termice ale mediilor i si j, σ i =(1+j)/μ i este coeficientul
α
i
complex de difuzie termica, iar µ
i
= este lungimea de difuzie termica in mediul i .
πf
Am efectuat un numar mare de masuratori folosind diferite materiale, iar pentru a obtine
rezultatele teoretice am pormit in fiecare caz de la formula generala a semnalului piroelectric.
Am confrontat rezultatele experimentale cu cele obtinute din calcule, iar concluziile acestor
constatari sunt cuprinse in Tabelul nr. 1.
Tabelul 1. -Valorile efuzivitatilor termice si erorile de masura pentru o gama de
materiale testate prin tehnica IPPE-TWRC.
Material Thermal effusivity [Ws 1/2 /m 2 K] Eroarea relativa [%]
wood 350 ±15
bakelite 750 ±5
glass 1300 ±10
indiu-based alloy 6350 ±10
brass 12850 ±50
Cu 18300 ±50
In concluzie, metoda este aplicabila pentru o gama de materiale cu efuzivitati apropiate de a
fluidului de cuplare (materiale ceramice, sticle, izolatori, polimeri).
2. Extinderea modelului si explorarea potentialelor aplicatii
2.1. Adaptarea aplicatiei pentru a fi folosita la configuratii cu geometrie cilindrica
Dorinta de a creea un instrument util in aplicatii practice ne-a condus la necesitatea sa extindem
modelul la o configuratie cilindrica. De exemplu problema migratiei impuritatilor din conducte
in apa potabila se poate aborda doar daca se construieste o metoda de rezolvare a ecuatiei
difuziei in geometrie cilindrica. De asemenea multe categorii de alimente sunt ambalate intr-un
recipient cilindric.
Ecuatia de difuzie in geometrie cilindrica are forma:

∂ c 1 ∂ ⎛ c
rD
∂ ⎞
= ⎜ ⎟
∂t r ∂r⎝
∂r⎠
(1)
Ca sa rezolvam numeric aceasta ecuatie trebuie sa parcurgem urmatorii pasi:
- Sa definim o retea numerica pe care ulterior vom rezolva ecuatiile algebrice care vor
rezulta din discretizarea ecuatiei (1)
- Folosim metoda polinoamelor Lagrange pentru aproximatea diferentelor finite in
punctele retelei numerice pe directie radiala, iar pentru discretizarea in timp si exprimarea
derivatelor temporale se foloseste metoda Crank-Nicolson. Principiile ambelor metode au
fost prezentate in rapoartele anterioare.
- Folosim metoda punctului fictiv (prezentata intr-un raport precedent) pentru a descrie
comportamentul ecuatiei la interfetele dintre straturi adiacente.
- Discretizam ecuatia de difuzie folosind metoda diferentelor finite. La sfarsitul acestei
etape obtinem un sistem de ecuatii algebrice definite in punctele retelei numerice.
- Se rezolva sistemul de ecuatii algebrice cu o metoda matriceala. Principiile acestei
metode au fost prezentate in raportul precedent.
Desi principiul urmarit in rezolvarea problemei intr-o configuratie cilindrica este similara cu cel
dezvoltat pentru cazul plan, in coordonate cilindrice problema se complica in ceea ce priveste
cantitatea si efortul de calcul. Mai mult, testarea metodei numerice devine mai problematica,
pentru ca intr-o asemenea configuratie geometrica rezultate analitice se pot obtine doar pentru
putine cazuri si acelea foarte simplificate.
Forma ecuatiilor algebrice pentru concentratia de mirant obtinute dupa discretizarea ecuatiei (1)
este urmatoarea:
( − 1 + 1 ) (1 ) ( − 1 + 1)
n 1 n n 1 n 1 n 1
n n n
c + i
− ci = Dδt ⋅F ⎡θ Ac + i
Bc + i
Ec +
i
θ Aci Bci Ec ⎤
⎣
− + + − − +
i ⎦ , (2)
unde c i n este concentratia de migrant in nodul i la timpul n∆t, iar A, B, E, F sunt coeficienti cu
expresii complicate care rezulta din geometria specifica a sistemului dupa aplicarea polinoamelor
Lagrange pentru derivatele spatiale.
Testare si rezultate
Asa cum am indicat mai sus, testarea si validarea metodei numerice este ingreunata de faptul ca
solutii analitice pentru aceasta configuratie sunt putine si cu o plaja restransa a parametrilor care
limiteaza validitatea solutiei. In bibliografia [1] este prezentata solutia analitica pentru cazul
difuziei unui migrant (initial concentratie C 0 si uniforma pe toata durata procesului) dintr-un
cilindru cu miezul gol (teava) intr-un cilindru plin care umpla acest miez (apa – initial fara

migrant). Cantitatea de migrant M t in apa dupa o perioada de timp t raportat la cantitatea M ∞ care
ar fi dupa un timp infinit de lung de migratie este:
1 1
M 2 2
3 2 2
3 4 2
2
4
1 γ ⎡
t
Dt Dt Dt Dt
exp 4
3
erfc
γ ⎤ γ ⎡
exp 4
2 2 2 4
erfc
γ ⎤
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − γ
⎢
⎜ ⎟
⎥− γ
⎢−
2 2 ⎜ 2 ⎟
⎥
M∞
γ3+ γ4 ⎣
⎢ r α ⎦
⎥ ⎢ α ⎝ r ⎠ ⎥ γ3+
γ ⎢
4 ⎣ r α ⎦
⎥ ⎢ α ⎝ r ⎠ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
unde am folosit urmatoarele notatii: α = V /( K⋅ V ) cu K coeficient de partitie,
1 (1 )
1/2
⎡ 1
pipe
γ3
= + α + ⎤
2 ⎣ ⎦ si γ4 = γ3− 1, iar r si R sunt razele cilindrului interior si exterior. Aceasta
solutie este valabila doar pentru timp de migratie nu foarte lung si α moderat. Asadar solutia
analitica nu este buna pentru cazuri reale cand timpul de migratie este de ordinul zecilor de ani,
iar parametrul α poate avea valori pentru care solutia isi pierde valabilitatea. In Fig. 1. aratam
rezultatele testarii modelului numeric. Parametri de calcul au fost: r = 1 cm, R = 1.01 cm, C 0 =
1000 mg/kg, D = 10 12 cm 2 /s. Rezultatele testeleor arata ca rezultatele numerice sunt in
concordanta buna cu cele obtinute analitic pentru un set bine definit de parametri, si in plus
rezultatele obtinute cu metoda numerica raman valide si realiste pentru valori de parametri la
care aproximatia analitica esueaza vizibil.
water
(3)
In fig. 2. Aratam rezultatele testelor facute pentru verificarea respectarii conditiilor la limita
(coeficientului de partitie) la interfata dintre straturi. In Fig. 2. Am reprezentat variatia spatiala
(radiala) a concentratiei de migrant la perioade diferite de timp dupa inceperea migratiei si
diferite valori K.

Comportamentul graficelor din fig. 2. confirma ca modelul numeric functioneaza corect, deci
este edecvat pentru aplicatii de modelare a cazurilor reale.
2.2. Extinderea si adaptarea aplicatiei la rezolvarea ecuatiei de propagare a campului
electromagnetic pulsat
Pentru aceasta faza a proiectului unul dintre obiectivele propuse a fost extinderea modelului de
rezolvare a ecuatiei difuzuei in sisteme multistrat si explorarea potentialelor aplicatii. Acest
obiectiv s-a realizat prin extinderea si adaptarea aplicatiei la rezolvarea ecuatiei de propagare a
campului electromagnetic pulsat.
Bazele matematice ale acestei aplicatii
Asa cum am aratat in rapoartele precedente, in acest proiect am dezvoltat o metoda numerica
adecvata pentru rezolvarea ecuatiei de difuzie in conditii generale: cand difuzia are loc in
geometrie plana sau in geometrie cilindrica, in conditii arbitrare de migratie cum ar fi: difuzia
migrantului dintr-un volum finit prin straturi cu caracteristici fizice diferite.
S-a aratat ca ecuatia de difuzie in 3D este o ecuatie parabolica care se poate rezolva numeric
folosind metoda diferentelor finite (prezentata in raportul precedent).
Se observa ca si ecuatia de unda care descrie propagarea campului electromagnetic intr-un mediu
dielectric se poate transforma inntr-o ecuatie parabolica. In continuare prezentam pasii acestei
transformari.
Fie E 1 (x,y,z,t) campul electric al unui puls laser care se propaga in directia z intr-un mediu gazos
de indice de refractie η eff . Ecuatia de propagare a pulsului poate fi scrisa ca:

2
2
2
1 ∂ E1(
x,
y,
z,
t)
ω
2
∇ E1( x,
y,
z,
t)
−
= (1 −η
) E1(
x,
y,
z,
t)
2
2
2 eff
c ∂t
c
, (1)
care dupa explicitarea operatorului de derivare spatiala devine
∂
E
2
1
2
∂x
∂ E
+
∂y
2
1
2
∂ E
+
∂z
2
1
2
1
−
2
c
∂
2
1
2
∂t
E
2
ω
=
2
c
(1 −
2
η eff
) E1
. (2)
Pentru a ajunge la o forma rezolvabila numeric pentru Ec.(2), vom rescrie ecuatia in sistemul de
referinta S’ care se misca cu viteza c fata de referinta laboratorului. Transformarea este:
z ' = z,
t'
= t −
z
c
,
iar derivatele spatiale si temporale de ordinul 1 si 2 devin:
∂E
∂z
∂E
∂z'
∂E
∂t'
∂E
1 ∂E
= ⋅ + ⋅ = −
∂z'
∂z
∂t'
∂z
∂z'
c ∂t'
∂E
∂t
=
∂E
∂t'
∂E
∂z'
⋅ + ⋅
∂t'
∂t
∂z'
∂t
=
∂E
∂t'
2
∂ E
2
∂t
2
∂ E
2
∂z
2
∂ E
=
2
∂t'
2
2
∂ E 2 ∂ E 1
= − +
2
2
∂z'
c ∂z'
∂t'
c
2
∂ E
2
∂t'
Cu aceste transformari Ec. (2) devine:
∂
E
2
1
2
∂x
∂ E
+
∂y
2
1
2
2
−
2
c
2
2
∂ E1
ω
=
2
∂z'
∂t'
c
(1 −
2
η eff
) E
1
(3)
La acest pas am efectuat aproximatia paraxiala, neglijand termenul care contine derivata de
ordinul 2 in z’, adica
∂
2
E ∂z'
2
. In cazurile experimentale pe care intentionam sa le modelam
aproximatia paraxiala este valida.
Rezolvarea analitica a ecuatiei (3) este ingreunata de faptul ca termenul liber din partea
dreapta contine o dependenta de solutia insasi a ecuatiei. In aceasta ecuatie η eff
este indicele de

efractie al mediului, si are o dependenta neliniara si complicata de campul electric necunoscut
E. Asadar se recurge la o metoda numerica iterativa de rezolvare a ecuatiei (3)
Pentru a elimina dependenta de timp in ec.(2) vom face o transformata Fourier de forma:
∞
∫
−∞
~
iωt
E1 ( r,
z,
ω ) = E1( r,
z,
t)
e dt
(4)
dupa care ecuatia (2) devine
~
∂ E
∂x
2
1
2
~
∂ E
+
∂y
2
1
2
~
2iω
∂E1
+
2
c ∂z'
=
1
2
c
F
2 2
[ ω ( 1 − ) E ]
η eff
1
(5)
unde am notat cu F( E )
~
E = transformata Fourier a campului E 1 (t), si s-a tinut cont de o
1
binecunoscuta proprietate a transformatei Fourier:
∞
∫
−∞
∂f
∂t
( t)
e
iωt
∞
∫
−∞
( t)
1
iωt
dt = −iω f e dt
(6)
Se observa ca Ec.(5) obtinuta este de gradul 2 in coordonatele transversale pe directia de
propagare si de gradul 1 in coordonata in lungul directiei de propagare. Facand notatiile:
G
1 2 2
( r, z,
ω) F[ ω ( −η
) E ]
=
eff 1
si tinand cont ca toate aceste marimi sunt complexe, ele pot fi
c
1
1
2
scrise explicit ca:
~
E = E + iF
1
si
G
1
= G + iH . (7)
Cu aceste notatii ecuatia (5) devine:
⎧
⎪
∇
⎨
⎪∇
⎩
2
⊥
2
⊥
2ω
∂F
E +
c ∂z
2ω
∂E
F +
c ∂z
= G
= H
(8)
unde operatorul nabla poate fi scris in coordonate polare:
2
2 ∂ 1 ∂
∇ ⊥
= +
2
∂r
r ∂r
(9)

pentru a tine cont de simetria axiala a problemei propagarii unui fascicol in directia z.
Sistemul de doua ecuatii, adus la forma (8), este de tip parabolic si poate fi rezolvat prin
metoda diferentelor finite. In rapoartele precedente am detaliat metoda diferentelor finite
dezvoltata pentru o discretizare corecta a ecuatiilor parabolice. In cazurile precedente derivata de
ordinul intai a aparut in variatia temporala a functiei necunoscute, iar in cazul de fata descrie
propagarea undelor electromagnetice in directia z (directia de propagare) daca se tine cont de
aproximatia paraxiala. Metoda numerica de rezolvare a ecuatiei este valabila si in acest caz si
duce la rezultat corect.
Domeniul de aplicare
Metoda de rezolvare a ecuatiei de unda astfel dezvoltata este inglobata intr-un model complex
care are scopul sa modeleze generarea de armonice superioare. Acest model este unul nonadiabatic
3D si are potentialul sa modeleze propagarea pulsurilor laser in medii gazoase
ionizante, interactiunea pulsurilor laser ultraintense cu atomi si molecule folosind aproximatia de
camp intens (strong-field aproximation), generarea de armonice superioarea ale pulsului
fundamental, si propagarea in plasma a campului armonic. Faptul ca este posibil – cu metoda
prezentata – gasirea expresiei campului laser in fiecare punct spatial din regiunea de interactiune
laser-atom, modelul devine foarte puternic in ceea ce priveste tratarea efectelor macroscopice ale
interactiunii impulsurilor laser cu sisteme atomice. Asadar, in plus fata de modelarea generarii de
armonice superioare, modelul este adecvat pentru investigarea conditiilor favorabile de
interferenta (potrivire de faza) pentru a obtine radiatie XUV (armonice de ordin superior)
puternica. Esenta acestor calcule consta in posibiliatea de rezolvare a ecuatiei de unda atat pentru
campul fundamental cat si pentru radiatia armonica in fiecare punct in regiunea de interactiune.
Referinte
[1] Crank J 1975 The Mathematics of Diffusion (New York: Oxford University Press)
3. Diseminare
Lucrari publicate in domeniul migratiei in sisteme multistrat cu aplicatii in siguranta
alimentara:
P. Mercea, V. Tosa, Katalin Kovacs, and O. Piringer, Modeling Migration of Chemical
Impurities in Drinking Water Supply Systems, prezentare orala la Conferinta ICNAAM 2010,
Rhodes, Greece, 19-25 September 2010
P. Mercea, V. Tosa, Katalin Kovacs, and O. Piringer, Modeling Migration of Chemical
Impurities in Drinking Water Supply Systems, AIP Conference Proceedings 1281, pp. 87-90
(2010)
Lucrari publicate in tematica modelarii fenomenelor fotopiroelectrice:

D. Dadarlat, M. Streza, M. N. Pop, V. Tosa, S. Delenclos, S. Longuemart, A. Hadj Sahraoui,
Photopyroelectric calorimetry of solids FPPE–TWRC method, J. Therm. Anal. Calorim. 101,
397-402 (2010)
Lucrari publicate in domeniul modelarii interactiunii impuls laser – sisteme atomice:
K. Kovacs and V. Tosa: Quantum trajectories of electrons in arbitrary laser fields, Journal of
Modern Optics, 57 (11), 977–983 (2010)
K. Kovacs and V. Tosa, Time-dependent Phase-matching in Attosecond Pulse Generation, AIP
Proceedings 1228, 408-412 (2010)
K. Kovacs, E. Balogh and V. Tosa, Time-dependent phase-matching in the generation of water
window x-ray, poster sustinut la 10th European Conference on Atoms Molecules and Photons
ECAMP X, Salamanca 4-9 iulie 2010.
V. Tosa, K. Kovacs, C. Vozzi, M. Negro, F. Calegari, and S. Stagira, Phase matching role in
very high order harmoniv generation, poster sustinut la 10th European Conference on Atoms
Molecules and Photons ECAMP X, Salamanca 4-9 iulie 2010.
K. Kovács, V. Toşa, P. Dombi, M. A. Porras, Generating phase-matched high-order harmonics
using CEP controlled few-cycle pulses, poster sustinut la 31st European Conference on Laser
Interaction with Matter ECLIM, Budapesta 6-10 sept. 2010.
K. Kovács, V. Toşa, Femtosecond pulse propagation effects in attosecond pulse generation,
Invited lecture la Conferinta Nationala de Fizica, Iasi 23-25 sept. 2010.
INTOCMIT
dr. Valer Tosa
dr. Katalin Kovacs
20.09.2010