MATEMATICÄ‚ PENTRU NOI TOÅ¢I - Scoala cu clasele I-VIII Nr 4 Cugir
MATEMATICÄ‚ PENTRU NOI TOÅ¢I - Scoala cu clasele I-VIII Nr 4 Cugir
MATEMATICÄ‚ PENTRU NOI TOÅ¢I - Scoala cu clasele I-VIII Nr 4 Cugir
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
REVISTA CONSTITUIE PRODUSUL FINAL AL<br />
PROIECTULUI DE PARTENERIAT<br />
„MATEMATICĂ <strong>PENTRU</strong> <strong>NOI</strong> TOŢI”<br />
ÎNTRE:<br />
ŞCOALA „MIHAI EMINESCU”<br />
ALBA IULIA<br />
ŞCOALA CU CLASELE I-<strong>VIII</strong><br />
NR. 4 CUGIR<br />
COORDONATORI PROIECT:<br />
prof. VLASEA FLOARE<br />
prof. MARINESCU RODICA<br />
prof. ŢIBEA MARIA<br />
ECHIPĂ DE IMPLEMENTARE:<br />
prof. SAVA CORINA<br />
prof. URCAN MIHAELE<br />
prof. DROGOŢEL VIORICA<br />
prof. LOGA ALEXANDRU<br />
prof. IRIMIE SANDA<br />
prof. PIPOŞ CORINA<br />
prof. MIRON RAVECA<br />
COLEGIUL TEHNIC „APULUM”<br />
ALBA IULIA<br />
1
Coordonatori revistă:<br />
prof. Floare Vlasea prof. Rodica Marines<strong>cu</strong><br />
prof. Maria Ţibea<br />
Profesori colaboratori:<br />
prof. Viorica Drogoţel<br />
prof. Corina Sava<br />
prof. Mihaela Urcan<br />
prof. Alexandru Loga<br />
Colectiv de redacţie elevii:<br />
Bodron Valentina –cls. a <strong>VIII</strong>-a – “ director ”<br />
Isvanes<strong>cu</strong> Alexandra, cls. a <strong>VIII</strong>-a – “Redactor şef”<br />
Popa Roxana -cls. a <strong>VIII</strong> -a – “administrator financiar”<br />
Troancheş Andrei - redactor<br />
Badoiu Iulia- redactor<br />
Muntiu Alina- redactor<br />
Redacror: prof. Floare Vlasea<br />
.<br />
2
Sumar:<br />
� Nota redacţiei<br />
� Istoria apariţiei unităţilor de măsură<br />
� Diferite tipuri de unităţi de măsură<br />
� Construcţii geometrice<br />
� Asemănare<br />
� Arii<br />
� Proprietăţile dreptunghiurilor<br />
� Curiozităţi matematice<br />
� Bibliografie<br />
Revistă bianuală de matematică editată în parteneriat şcolar<br />
Cugie – Alba Iulia<br />
Numărul 2/ aprilie 2010<br />
3
Introduse din necesitatea de a determina distanţe, arii ale<br />
suprafeţelor terenurilor, volume, greutăţi (de fapt mase) de produse,<br />
apă şi diferite materiale sau de a determina durate, intervale de timp<br />
şi de a stabili scări de timp etc, măsurile de lungime şi de masă<br />
(denumită, ca mijloc de măsurare, greutate), au fost bazate, în toată<br />
lumea, la începuturile lor, pe unităţi de măsură care derivau de la<br />
diferite elemente ale corpului omenesc. Cotul, palma, palma<strong>cu</strong>l,<br />
degetul, piciorul omului, care au reprezentat chiar primele mijloace<br />
de măsurare, au alcătuit baza sistemului de măsuri pentru lungime,<br />
arie, volum/capacitate. Aşa au fost, în antichitate, cotul egiptean,<br />
cotul persan şi cotul babilonean şi, în Grecia, piciorul antic şi<br />
piciorul olimpic, iar în Europa apuseană piciorul roman, piciorul<br />
antic şi piciorul olimpic.<br />
Greutăţile folosite în antichitate ca măsuri de masă în<br />
terminologia actuală au fost stabilite pe baza greutăţii unui anumit<br />
număr de boabe de grâu, orez sau orz. O greutate asiro-chaldeeană<br />
denumită siclul, reprezenta, de exemplu, greutatea egală <strong>cu</strong> aceea a<br />
180 de boabe de grâu, iar greutatea romană siligna era egală <strong>cu</strong><br />
greutatea a patru boabe de grâu. Livra era egală <strong>cu</strong> greutatea a 6912<br />
boabe de grâu.<br />
Pentru măsurările agrare, unitatea de arie pied pătrat era<br />
prea mică, din care motiv romanii au folosit unitatea jugerum, egală<br />
valoric <strong>cu</strong> dublul ariei unui pătrat <strong>cu</strong> aria de 120 pieds. Multiplii şi<br />
submultiplii unităţilor de măsură romane nu erau zecimali, deşi<br />
romanii foloseau sistemul de numeraţie zecimal.<br />
Numeroase unităţi de măsură romane au fost preluate de<br />
civilizaţia Europei occidentale, dar căderea Imperiului roman de<br />
occident a condus la o diversitate de obiceiuri care au generat multă<br />
confuzie. Ca urmare, Carol cel Mare, rege al francilor (768-814) şi<br />
împărat al Occidentului (800-814) a trebuit să promulge un decret<br />
privind unificarea unităţilor de măsură în toate ţările reunite sub<br />
Coroana sa, dar tentativa a eşuat odată <strong>cu</strong> Imperiul său.<br />
4
Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost<br />
influenţate de cele folosite în statele <strong>cu</strong> care ei au avut relaţii<br />
economice şi <strong>cu</strong>lturale. Mărturii arheologice confirmă existenţa pe<br />
teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de<br />
măsurare grecesc şi roman, <strong>cu</strong> prioritate a celor din sistemul roman,<br />
care a a fost introdus mai întâi în Banat şi Transilvania după<br />
<strong>cu</strong>cerirea Daciei de către Imperiul Roman la începutul secolului al<br />
II-lea. Unităţile şi, respectiv, măsurile de lungime pasus, palmus,<br />
digitus ale romanilor au devenit pas, palmă şi, respectiv, deget la<br />
români, iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit<br />
jugărul din Transilvania. Valorile acestor unităţi exprimate în<br />
unitatea metru erau, însă, diferite: de exemplu, cotul la romani şi<br />
greci era de 0,444 m şi , respectiv, 0,462 m, în timp ce la români<br />
era de 0,637 m în Moldova şi 0,664 m în Muntenia.<br />
Măsurile, respectiv unităţile de măsură folosite pentru<br />
lungime, capacitate/volum şi, de asemenea, pentru masă (respectiv<br />
greutate) au diferit valoric între ele, de la o provincie românescă la<br />
altă provincie românescă, deşi aveau aceeaşi denumire. De<br />
exemplu, stânjenul moldovenesc echivala <strong>cu</strong> 1,900 m în<br />
Transilvania şi <strong>cu</strong> 1,962 m în ţara Românească. Deşi diferite<br />
valoric între ele, unităţile de măsură din proviciile româneşti au<br />
contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre<br />
acestea. În acelaşi timp, unitatea denumirilor acestor unităţi de<br />
măsură reflectă unitatea limbii şi <strong>cu</strong>lturii poporului român. Se<br />
impunea, însă, <strong>cu</strong> absolută necesitate, unificarea unităţilor de<br />
măsură, în ţările române, în prima jumătate a secolului al XIX-lea,<br />
aşa <strong>cu</strong>m aceasta se impusese în ţările din Europa de vest, în primul<br />
rând în Franţa, prin revoluţia din 1789.<br />
Dezvoltarea unei societăţi, odată <strong>cu</strong> naşterea unor oraşe<br />
importante şi independente în Franţa, Germania şi Italia pre<strong>cu</strong>m şi<br />
în alte ţări Europene, începând încă din secolul al XIV-lea, şi<br />
dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe<br />
agri<strong>cu</strong>ltură, care au determinat relaţii comerciale terestre şi<br />
maritime, au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea<br />
ştiinţelor teoretice - matematică, astronomie, mecanică - şi a<br />
ştiinţelor aplicate. A apărut, atunci, necesitatea imperioasă a<br />
5
folosirii unor unităţi de măsură unice, materializate prin măsuri şi<br />
greutăţi, pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi<br />
fizice ce se măsurau <strong>cu</strong>rent, atât în cadrul fiecărei ţări cât şi în<br />
relaţiile economice şi <strong>cu</strong>lturale dintre ele.<br />
Am văzut în cele de mai sus că ceea ce a impus, încă din cele<br />
mai vechi timpuri, ca oamenii să stabilească unităţi de măsură<br />
pentru diferite mărimi <strong>cu</strong> care lucrau, sau care le condiţionau<br />
existenţa a fost activitatea practică. De asemenea că pentru<br />
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile<br />
diferitelor părţi ale corpului omenesc, <strong>cu</strong>m sunt: cotul, palma,<br />
piciorul, degetul; pentru măsurarea volumelor: vadra, ocaua, litra;<br />
pentru măsurarea duratelor: ziua, noaptea.<br />
Primele încercări de a stabili unele principii pentru elaborarea<br />
unor etaloane au apărut abia în secolul al XVII-lea. Atunci s-a<br />
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere<br />
posibilitatea de a fi oricând refă<strong>cu</strong>tă.<br />
La 10 decembrie 1799, Adunarea Naţională a Franţei a<br />
adoptat, printr-un decret, prototipurile de platină ale metrului şi<br />
kilogramului şi <strong>cu</strong> aceasta primul sistem de unităţi. Metrul, ca<br />
unitate de măsură pentru lungimi, reprezenta a 40-a milioana parte<br />
din lungimea meridianului pământesc care trece prin Paris, iar<br />
kilogramul, ca unitate de măsură pentru mase, reprezenta masa<br />
unui decimetru <strong>cu</strong>b de apă distilată aflată la temperatura de 4 0 C.<br />
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale<br />
Franţei, motiv pentru care au primit numele de „metrul de la<br />
Arhive” respectiv „kilogramul de la Arhive”.<br />
Poporul român a avut de-a lungul vea<strong>cu</strong>rilor atât etaloane<br />
proprii, cât şi etaloane împrumutate de la alte popoare <strong>cu</strong> care a<br />
stabilit legături comerciale. Cu un secol în urmă măsurarea<br />
lungimilor se făcea <strong>cu</strong> cotul, stânjenul, palma, pasul, funia, iar<br />
măsurarea volumelor se făcea <strong>cu</strong> găleata, vadra, ocaua, baniţa,<br />
chila. Aceste etaloane, transmise la început prin obicei, au început<br />
să fie reglementate la noi începând <strong>cu</strong> secolul al XVII-lea.<br />
În anul 1830 s-a înfiinţat în Ţara Româneasca „Comisia<br />
îndestulării şi îndreptării <strong>cu</strong>mpenilor şi măsurilor”.<br />
6
Primele încercări de a se introduce şi la noi sistemul metric<br />
zecimal au apărut în timpul Revoluţiei Franceze, dar au fost<br />
respinse de autorităţile de atunci, pe motiv că introducerea lor va<br />
produce „împiedicare şi învălmăşală”.<br />
Abia în anul 1864, în timpul domniei lui Alexandru Ioan<br />
Cuza a fost adoptat sistemul metric, obligativitatea lui fiind legată<br />
de data de 1 ianuarie 1866.<br />
O dată memorabilă în istoria extinderii sistemului metric de<br />
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875, când, la Conferinţa<br />
diplomatică a metrului, un număr de 17 state au adoptat<br />
următoarele măsuri:<br />
1. Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al<br />
kilogramului etalon;<br />
2. Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi, ca<br />
instituţie ştiinţifică internaţională;<br />
3. Crearea unui Comitet Internaţional, care avea în<br />
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să<br />
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi;<br />
4. Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de<br />
Măsuri şi Greutăţi în vederea „dis<strong>cu</strong>tării şi luării de măsuri<br />
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metric”.<br />
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie în anul 1881,<br />
deşi sistemul metric a fost adoptat încă din timpul lui Al. I. Cuza.<br />
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL<br />
Actualul Sistem Internaţional de unităţi îşi are originea în<br />
timpul Revoluţiei Franceze, odată <strong>cu</strong> înfiinţarea Sistemului Metric<br />
şi <strong>cu</strong> depunerea, la 22 iunie 1799, a celor două etaloane de platină<br />
reprezentânt metrul şi kilogramul, la Arhivele Republicii Franceze.<br />
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că<br />
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se<br />
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare,<br />
independente unele de altele, celelalte fiind determinate <strong>cu</strong> ajutorul<br />
primelor. Astfel el a propus încă din anul 1832 principiile de<br />
alcătuire a unui sistem de unităţi, considerând că pentru a se putea<br />
7
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei<br />
unităţi independente şi anume: unitatea pentru lungime, unitatea<br />
pentru masă şi unitatea pentru durată. Gauss susţine <strong>cu</strong> tărie<br />
utilizarea Sistemului Metric împreună <strong>cu</strong> se<strong>cu</strong>nda definită în<br />
astronomie, ca sistem unic în toate ştiinţele naturii. El a fost primul<br />
care a fă<strong>cu</strong>t măsurări precise ale forţei magnetice a pământului <strong>cu</strong><br />
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice<br />
(milimetrul, gramul şi se<strong>cu</strong>nda). În anii care au urmat, Gauss şi<br />
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele<br />
electrice.<br />
Aceste aplicaţii în domeniul electricităţii şi magnetismului au<br />
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a <strong>cu</strong>nos<strong>cu</strong>ţiolor<br />
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson. Ei au pledat pentru<br />
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atât mărimi<br />
fundamentale cât şi mărimi derivate. În 1874, s-a introdus un<br />
sistem , bazat pe trei mărimi mecanice: centimetrul, gramul şi<br />
se<strong>cu</strong>nda, care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a<br />
exprima multiplii şi submultiplii zecimali. Evoluţia ulterioară a<br />
fizicii ca ştiinţă experimentală, s-a bazat în mod deosebit pe acest<br />
sistem. Mărimile acestui sistem din păcate, nu sunt foarte<br />
convenabile în domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care,<br />
prin anii 1880, s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice.<br />
Printre ele se numărau: ohmul pentru rezistenţa electrică, voltul<br />
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru <strong>cu</strong>rentul electric.<br />
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor, ţinut<br />
la Paris în anul 1881, s-a hotărât adoptarea primului sistem de<br />
unităţi ştiinţifice, denumit sistemul CGS, bazat pe unitatea de<br />
măsură pentru lungime (Centimetrul), unitatea de măsură pentru<br />
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Se<strong>cu</strong>nda).<br />
După înfiinţarea Convenţiei Metrului, la 20 mai 1875,<br />
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor<br />
etaloane având la bază unităţile de lungime şi de masă. În anul<br />
1889, s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime. Împreună<br />
<strong>cu</strong> se<strong>cu</strong>nda astronomică, aceste trei unităţi au constituit un sistem<br />
de unităţi mecanice asemănător celui anterior, dar care avea ca<br />
mărimi fundamentale metrul, kilogramul şi se<strong>cu</strong>nda.<br />
8
În anul 1901, Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la<br />
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-se<strong>cu</strong>ndă a unei<br />
mărimi electrice practice, <strong>cu</strong>m ar fi ohmul sau amperul, pentru a<br />
forma un sistem coerent şi a se scrie e<strong>cu</strong>aţiile câmpului<br />
electromagnetic în formă raţională. Propunerea lui Giorgi a deschis<br />
drumul spre Sistemul Internaţional actual. După revizuirea<br />
Convenţiei Metrului, în 1921, propunerea lui Giorgi a fost<br />
dezbătută îndelung. În anul 1939, se recomandă adoptarea unui<br />
sistem bazat pe kilogram, metru, se<strong>cu</strong>ndă şi amper, propunere<br />
aprobată în 1946.<br />
În anul 1954, s-a aprobat introducerea amperului, a kelvinului<br />
şi a candelei ca mărimi fundamentale. Numele de Sistemul<br />
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat în 1960. La cea de-a 14a<br />
Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi în anul 1971 s-a<br />
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate<br />
pentru cantitatea de substanţă, aducând numărul total de unităţi<br />
fundamentale la şapte.<br />
Prefixe ale unităţilot de măsură<br />
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a<br />
cantităţilor fizice. În fizică şi în metrologie este necesară o definiţie<br />
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi, pentru a garanta utilitatea<br />
reyultatelor experimentale, ca bază a metode ştiinţifice.<br />
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a<br />
conceptului de greutăţi şi măsuri, care s-au dezvoltat iniţial <strong>cu</strong><br />
scopuri comerciale, în special pentru a creea o serie de instrumente<br />
<strong>cu</strong> care vânzătorii şi <strong>cu</strong>mpărătorii să poată măsura în manieră<br />
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată<br />
Există diverse sisteme de unităţi de măsură, bazate pe<br />
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale. Sistemul cel mai<br />
folosit în ziua de azi e Sistemul Internaţional, care are şapte unităţi<br />
de măsură de bază („fundamentale”), din care toate celelalte sunt<br />
derivate.<br />
Există şi ate sisteme, utilizate în diverse scopuri, unele încă<br />
utilizate, altele doar istorice.<br />
9
Unitate de măsură (Prefixe SI)<br />
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca<br />
Simbol Y Z E P T G M k h da<br />
Factor 10 24 10 21 10 18 10 15 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 1<br />
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto<br />
Simbol d c m µ n p f a z y<br />
Factor 10 −1 10 −2 10 −3 10 −6 10 −9 10 −12 10 −15 10 −18 10 −21 10 −24<br />
10
1. Reguli de utilizare<br />
� Prefixele se scriu <strong>cu</strong> literă mică (afară de cazul când sunt la<br />
început de propoziţie), lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau<br />
linie de unire): micrometru, miliamper, gigahertz.<br />
� Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin<br />
lipirea, fără spaţiu, a simbolului prefixului de simbolul unităţii: μm,<br />
mA, GHz. Întreg simbolul se scrie <strong>cu</strong> litere drepte, indiferent de<br />
context.<br />
� Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului, regulile se<br />
aplică ca şi când unitatea de bază ar fi gramul: 1.000 kg = 1 Mg;<br />
0,1 kg = 1 hg; 0,001 g = 1 mg.<br />
� Nu este permisă utilizarea unui prefix singur, fără numele<br />
unităţii la care se referă.<br />
� Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi<br />
unitate.<br />
� În expresii unde unităţile sunt înmulţite, împărţite sau<br />
ridicate la putere, operaţia se aplică asupra unităţii formate <strong>cu</strong><br />
prefix, nu asupra unităţii simple:<br />
1 km² = 1 (km)² = 1×(1.000 m)² = 1.000.000 m²<br />
� Prefixele se pot utiliza <strong>cu</strong> unităţi din afara SI dar acceptate<br />
pentru utilizare împreună <strong>cu</strong> SI. Totuşi ele nu se utilizează <strong>cu</strong><br />
unităţile de timp minut (min), oră (h) şi zi (d).<br />
UNITĂŢI DE MĂSURĂ <strong>PENTRU</strong> LUNGIMI<br />
A măsura o lungime înseamnă a o compara <strong>cu</strong> o altă<br />
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură. Prin<br />
convenţie internaţională, unitatea principală pentru măsurat<br />
lungimile este metrul (m).<br />
Multiplii metrului:<br />
-decametrul(dam); 1dam = 10m<br />
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m<br />
-kilometrul (km); 1km =1000m<br />
1km = 10hm = 100dam = 1000m.<br />
11
Submultiplii metrului:<br />
-decimetrul (dm); 1dm = 0,1 m<br />
-centimetrul (cm); 1cm = 0,01m<br />
-milimetrul (mm); 1mm= 0,001mm<br />
1m = 10dm = 100cm = 1000mm<br />
Alte unitãţi de lungime<br />
1 deget = 0,02 m<br />
1 lat de palmã = 0,08 m<br />
1 palmã = 0,24 m<br />
1 cot = 0,48 m<br />
1 picior = 0,32 m<br />
1 pas = 0,96 m<br />
1 braţ = 1,75 m<br />
1 trestie (prãjinã) = 2,88 m<br />
1 stadiu = 185 m<br />
1 drum sabatic = 960 m<br />
1 milã = 1480 m<br />
1 inch = 25,4 mm<br />
1 ţol = 25,4 mm<br />
1 picior = 12 ţoli = 0,3048 m<br />
1 iard (yard) = 3 picioare = 0,9144 m<br />
1 fatom = 2 iarzi = 1,828798 m<br />
1 milã terestrã = 1760 iarzi = 1609,344 m<br />
1 milã USA = 1609,347 m<br />
1 milã marinã = 1853,25 m<br />
12
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă:<br />
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină<br />
Metru (m) 1 39, 3701 3,2808 1, 0936 - - -<br />
Inch (in) 0, 0254 1 0, 0833 0, 0277 - - -<br />
Foot (ft) 0, 3048 12 1 0, 3333 - - -<br />
Yard (yd) 0, 9144 36 3 1 - - -<br />
Furlong<br />
(fr)<br />
201, 168 - 660 220 1 0, 125 0, 1085<br />
Mila (mi) 1609, 344 - 5280 1760 8 1 0, 8684<br />
Mila<br />
marină<br />
1853, 25 - 6080 2025, 4 9, 2121 1, 1515 1<br />
13
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate în ţara noastră<br />
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia<br />
Verstă 835 stânjeni 1,67 km<br />
Funie 4 prăjini = 12 st 26,76 m 24,24 m<br />
Prăjină 3 stânjeni 6,69 m<br />
Stânjen<br />
(< lat. stadium)<br />
8 palme<br />
6 picioare<br />
2,23 m<br />
Cot 66,4 cm 63,7 cm<br />
Palmă<br />
10 degete<br />
8palmace<br />
27,875 cm 24,625 cm<br />
Palmac 12 linii Md 35 mm 20.5 mm<br />
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm<br />
Linie 2,9 mm 2,5 mm<br />
14<br />
1,97 m (Şerban vodă)<br />
2,02 m (Constantin vodă)
Alte unităţi de lungime<br />
Denumire Echivalent<br />
Stânjen pescăresc aprox. 1,5 m<br />
Stânjen marin 1,83 m<br />
Poştă aprox. 20 km (în funcţie de ţară)<br />
Pas mic 4 palme (Ţara Românească)<br />
Pas mare 6 palme (Ţara Românească; Moldova)<br />
Lat de palmă 1/2 palmă<br />
Leghe 4 - 5,5 km<br />
Probleme:<br />
1. Un copil are lungimea pasului de 60 cm. Care este distanţa<br />
de acasă şi până la şcoală dacă el face 1235 paşi?<br />
Rezolvare:<br />
60 � 1235 = 74100 (cm) = 741 (m).<br />
.2. Pentru împrejmuirea unui teren <strong>cu</strong> 3 rânduri de sârmă, s-au<br />
<strong>cu</strong>mpărat 30 role de sârmă de 0,1 km fiecare. Ştiind că perimetrul<br />
grădinii este de 875 m , care este lungimea sârmei rămase?<br />
Rezolvare:<br />
1) Câţi m de sârmă se folosesc?<br />
875 � 3 = 2625 (m)<br />
2) Câţi m de sârmă s-au <strong>cu</strong>mpărat?<br />
0,1 � 30<br />
= 3 (km) = 3000 (m)<br />
3) 3000 – 2625 = 375 (m) (au rămas).<br />
3. La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume<br />
bărbăteşti. Ştiind că pentru un costum se folosesc 3,5 m de stofă,<br />
iar 1m de stofă costă 27,50 lei, să se afle ce sumă s-a plătit pentru<br />
întregul material folosit la confecţionarea costumelor.<br />
Rezolvare: 1) Căţi m de stofă se folosec?<br />
156 � 3,<br />
5 = 546 (m)<br />
2) Ce sumă s-a plătit pentru material?<br />
546 � 27,<br />
50 = 15015 lei.<br />
15
UNITĂŢI DE MĂSURĂ <strong>PENTRU</strong> SUPRAFAŢĂ<br />
A măsura o suprafaţă înseamnă a afla de câte ori se<br />
<strong>cu</strong>prinde o anumită unitate de măsură în aceea suprafaţă.<br />
Oricărei suprafeţe îi corespunde prin măsurare un număr.<br />
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este m² , adică<br />
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat <strong>cu</strong> latura de 1m.<br />
În măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii<br />
m², iar în măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii m².<br />
Submultiplii m²<br />
- decimetrul pătrat (dm²)<br />
1m² = 100 dm 2 = 10 2 dm 2 ;1 dm 2 = 0,01 m 2<br />
- centimetrul pătrat (cm 2 )<br />
1m² = 10000 cm 2 = 10 4 cm 2 ; 1 cm 2 = 0,0001 m 2<br />
- milimetrul pătrat (mm 2 )<br />
1m² = 1000000 dm 2 = 10 6 mm 2 ;<br />
1 mm 2 = 0,000001 m 2<br />
1m² = 10 2 dm 2 = 10 4 cm 2 = 10 6 mm 2 .<br />
Multiplii m²<br />
- decametrul pătrat (dam²) 1dam² = 100 m 2 = 10 2 m 2 ;<br />
- hectometrul pătrat (hm 2 ) 1 hm² = 10000 m 2 = 10 4 m 2<br />
- kilometrul pătrat (km 2 ) 1 km² = 1000000 m 2 = 10 6 m 2<br />
1 km² = 10 2 hm 2 = 10 4 dam 2 = 10 6 m 2<br />
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc<br />
suprafeţele agrare:<br />
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hm² = 10000 m 2<br />
- arul (ar) 1 ar = 1 dam² = 100 m 2<br />
- pogonul 1 pogon = 5000 m 2 = 0,5 ha.<br />
Alte unitãti de măsură pentru suprafatã<br />
1 Ţol pãtrat = 16, 387 cm 2<br />
1 picior pãtrat = 9,2903 cm 2<br />
1 iard pãtrat = 9 picioare pãtrate = 0,836126 cm 2<br />
1 acru = 4849 iarzi pãtrati = 0,4047 ha<br />
1 milã pãtratã = 640 acri = 258,97 ha<br />
16
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă:<br />
Aria m 2 ar hectar in 2 ft 2 yd 2 acri<br />
m 2 1 10 -2 10 -4 1 550 10, 7636 1, 1959 -<br />
ar (a) 10 2 1 10 -2 - 1076, 36 119, 59 -<br />
Hectar (ha) 10 4 10 2 1 - - 11959, 9 2, 471<br />
in 2 (sq.inch) 6, 4516 10 -4 - - 1 - - -<br />
ft 2 (sq.foot) 9, 29 10 -2 - - 144 1 0, 111 -<br />
yd 2 (sq.yard) 0, 8361 - - 1296 9 1 -<br />
Acri (S.U.A) 4046, 87 40, 469 0, 4047 - 43560 4840 1<br />
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate în ţara noastră<br />
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania<br />
Falcie sau falce<br />
(
Denumire Echivalent<br />
Prăjină 180 - 210 m²<br />
Ferdelă 1/4 pogon<br />
Iugăr<br />
Alte unităţi de suprafaţă<br />
cât ară doi boi într-o zi<br />
7166 m² (Transilvania la 1517); 0,5755 ha sau 1600<br />
stânjeni pătraţi (mai târziu)<br />
PROBLEME:<br />
1. Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea<br />
şi lăţimea sa este 86 cm, iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea<br />
acestuia este de 40 cm.<br />
L + 40<br />
86<br />
l<br />
Rezolvare:<br />
86 – 40 = 46 cm (dublul lăţimii)<br />
46 : 2 = 23 cm ( lăţimea)<br />
23 + 40 = 63 cm (lungimea)<br />
23 ٠ 63 = 1449 cm 2 ( aria).<br />
2. Un fermier, măsurând un lot dreptunghiular, a găsit 217<br />
paşi în lungime şi 161 paşi în lăţime. Care este aria lotului dacă 7<br />
paşi măsoară 5, 25 m.<br />
1)Lungimea în m este:<br />
217 : 7 ٠ 5,25 = 31 ٠ 5,25 = 162,75 (m)<br />
2) Lăţimea în m este:<br />
161 : 7 ٠ 5,25 = 23 ٠ 5,25 = 120,75 (m)<br />
3) Aria este:<br />
162,75 ٠ 120,75 = 19652,0625 (m 2 ).<br />
3. Un dreptunghi are perimetrul 480 m . Să se afle aria ştiind<br />
că lungimea este de trei ori mai mare decât lăţimea.<br />
1) Semiperimetrul este:<br />
480 m : 2 = 240 m<br />
18
240<br />
L<br />
l<br />
3) Lăţimea este 240 : 4 = 60 m.<br />
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m<br />
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m 2 ).<br />
4. Pe un lot agricol în formă de pătrat având perimetrul de<br />
360m s-au <strong>cu</strong>ltivat roşii. Ştiind că pe fiecare m 2 s-au plantat 6 fire<br />
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut în medie 2, 5 kg roşii, să se<br />
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe întregul lot ?<br />
Rezolvare:<br />
1) Latura pătratului este 360 : 4 = 90 m .<br />
2) Aria lotului este 90 2 = 8100 m 2 .<br />
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire).<br />
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 2,5 = 121 500 (kg).<br />
5. O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei, aşa <strong>cu</strong>m<br />
arată figura de mai jos. Aleile au lăţimea de 1,25 m. Să se afle aria<br />
totală <strong>cu</strong>ltivabilă a grădinii, folosind datele din desen.<br />
63,5 m<br />
20 m<br />
84 m<br />
Rezolvare:<br />
1)Lungimea <strong>cu</strong>ltivabilă a grădinii este :<br />
84 m – 1,25 m = 82,75 m<br />
2) Lăţimea <strong>cu</strong>ltivabilă a grădinii este :<br />
30,5 m – 1,25 m = 29,25 m<br />
3) Aria <strong>cu</strong>ltivabilă a grădinii este:<br />
82,75 ٠ 29,25 = 2420,4375 (m 2 ) .<br />
19<br />
30,5 m
UNITĂŢI DE MǍSURǍ <strong>PENTRU</strong> VOLUM<br />
A măsura volumul unui corp înseamnă a afla numărul<br />
care arată de câte ori se <strong>cu</strong>prinde o unitate de măsură în acel<br />
volum.Unitate standard pentru volum este m³ şi reprezintă volumul<br />
unui <strong>cu</strong>b <strong>cu</strong> latura de 1m.<br />
SUBMULTIPLII m³<br />
- decimetru <strong>cu</strong>b (dm³) 1m³=10³ dm³ (1dm³ = 0.001m³)<br />
- centimetru <strong>cu</strong>b (cm³) 1m³ =10 6 cm³ (1cm³=0,000001m³)<br />
- milimetru <strong>cu</strong>b (mm³) 1m³=10 9 mm³ (1mm³=0,000000001m³<br />
1m³ = 10³dm³ = 10 6 cm³ = 10 9 mm³<br />
MULTIPLII m³<br />
-decametru <strong>cu</strong>b(dam³) 1dam³=10³ m³<br />
-hectometru ³(hm³) 1hm= 10 6 m³<br />
-kilometru ³(km³) 1km³=10 9 m³<br />
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al m³ este<br />
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de<br />
ori mai mic decăt cel imediat superior.<br />
Alte unitãti de măsură pentru volum<br />
1 țol <strong>cu</strong>bic = 16,387 cm 3<br />
1 picior <strong>cu</strong>bic = 1728 țoli <strong>cu</strong>bici = 28,3173 dm 3<br />
1 iard <strong>cu</strong>b = 27 picioare <strong>cu</strong>bice = 0,76456 m 3<br />
1 gal = 0,142 l<br />
1 pint = 4 gali = 0,568 l<br />
1 cart = 2 pint = 8 gali = 1,1361 l<br />
1 galon imperial = 4 carti = 4,549 l<br />
1 galon SUA = 4,549 l<br />
1 busel imperial = 8 galoane = 36,368 l<br />
1 carter imperial = 8 buseli = 290,942 l<br />
1 baril = 36 galoane = 163,656 l<br />
20
Volum m 3 Litru (L) Pinta<br />
m 3<br />
Litru (L)<br />
Pinta<br />
Quarta, UK<br />
Galon, SUA<br />
Galon, UK<br />
Baril, SUA<br />
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă:<br />
21<br />
Quarta,<br />
UK<br />
Galon,<br />
SUA<br />
Galon, UK Baril,<br />
SUA<br />
1 10 3 - - 264, 2 220 6, 2898<br />
10 -3 1 1, 7598 0, 8799 - 0, 2199 -<br />
- 0, 568 1 0, 5 - 0, 125 -<br />
- 1, 136 2 1 - 0, 25 -<br />
- 3, 785 - - 1 0, 8327 0, 0238<br />
- 4, 546 8 4 1, 201 1 0, 0286<br />
0, 159 158, 98 - - 42 34, 9714 1
Probleme<br />
1. S-au transportat 43m³ <strong>cu</strong> o maşină în care încap<br />
0,005dam³. Câte transporturi au fost efectuate?<br />
Rezolvare<br />
0.005 dam³ = 5m³<br />
43 : 5 = 8,6 (transporturi)<br />
R : au fost fă<strong>cu</strong>te 9 transporturi.<br />
2. Câţi m³ de beton sunt necesari<br />
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de<br />
2,5m ştiind că grosimea ei este de 18cm.<br />
Rezolvare<br />
18cm = 0,18m<br />
35 · 2,5 · 0,18 = 15,75 (m³)<br />
3. Într-o <strong>cu</strong>tie în formă de paralelipiped dreptunghic <strong>cu</strong><br />
dimensiunile de 4 dm, 50cm şi respectiv 0,3m , un elev vrea să<br />
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm, 12cm,<br />
respectiv 2cm, la un anticariat. Căte transporturi face elevul?<br />
Rezolvare<br />
4dm = 40cm<br />
0,3m = 30cm<br />
1) Volumul <strong>cu</strong>tiei:<br />
40 · 50 · 30= 60000(cm³)<br />
2) Volumul unei cărţi:<br />
25 · 12 · 2 = 600 (cm³)<br />
3) Căte cărţi încap în <strong>cu</strong>tie?<br />
60000 : 600 = 100 cărţi<br />
Având de transportat 160 de cărţi, înseamnă că face 2 transporturi.<br />
22
UNITĂŢI DE MĂSURĂ <strong>PENTRU</strong> CAPACITATE<br />
Capacitatea exprimă volumul o<strong>cu</strong>pat de un lichid.<br />
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi<br />
alt vas (recipient) ca unitate de măsură.<br />
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l).<br />
Observaţii :<br />
1. Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm 3 , adică<br />
1l de lichid o<strong>cu</strong>pă 1dm 3 .<br />
2. Dacă se schimbă unitatea de masură, se schimbă si numărul<br />
ce reprezintă măsura capacităţii vasului.<br />
3. Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului, iar<br />
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului.<br />
4. Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate<br />
.<br />
Submultiplii litrului<br />
decilitru(dl) 1dl=0,1 l<br />
centilitru(cl) 1cl=0,01 l<br />
mililitru(ml) 1ml=0,001 l<br />
1 =10dl =100cl =1000ml<br />
Multiplii litrului<br />
decalitrul(dal) 1dal=10 l<br />
hectolitrul(hal) 1hl=100 l<br />
kilolitru(kl) 1kl=1000 l<br />
1kl =10hl =100dal =1000 l<br />
Capacitãţi pentru cereale<br />
1 homer = 388 litri<br />
1 letec = 194 litri<br />
1 efa = 38,8 litri<br />
1 sea = 12,9 litri<br />
1 hin(ã) sau efa omer = 6,5 litri<br />
1 omer sau isaron = 3,88 litri<br />
23
1 cab = 2,2 litri<br />
1 log sau cotil = 0,55 litri<br />
Capacitãţi pentru lichide<br />
1 cor = 388 litri<br />
1 bat = 38 litri<br />
1 hin = 6,5 litri<br />
1 cab = 2,2 litri<br />
1 log = 0,55 litri<br />
1 galon imperial (gal.) = 4,545963 litri<br />
1 galon USA = 3,785 litri<br />
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate în ţara noastră<br />
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania<br />
Balercă 30 vedre 366 l 386.4 l<br />
Vadră (Tină) 10 oca 15,20 l 12,88 l<br />
Pintă 3,394 l<br />
Oca 4 litre 1,520 l 1,288 l<br />
Litră 25 dramuri 0,38 l 0,322 l<br />
Dram 152,0 ml 128,8 ml<br />
Chiup<br />
Câblă<br />
vas mare de lut<br />
pentru lichide<br />
O găleată de<br />
grâu<br />
Alte denumiri<br />
24<br />
30 - 40 l<br />
Ferdelă 1/4 găleată (Transilvania)<br />
Obroc mare 44 ocale
Obroc mic 22 ocale<br />
butoi 50 - 80 vedre<br />
Giumătate /<br />
poloboc<br />
25<br />
80 - 100 vedre<br />
butie 100 - 200 vedre<br />
Stânjen (de<br />
lemne)<br />
Probleme:<br />
8 steri<br />
1. Pentru a-şi sarbători ziua de naştere, un elev <strong>cu</strong>mpără<br />
răcoritoare:4 sticle de 1,5 l; 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml.<br />
Care este cantitatea de racoritoare <strong>cu</strong>mpărată?<br />
Rezolvare:<br />
250cl=2,5 l<br />
500ml=0,5 l<br />
Cantitatea este:<br />
4∙1,5 + 3∙2,5 + 10∙0,5 = 6 + 7,5 + 5 = 18,5(litri)<br />
2. Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic <strong>cu</strong><br />
lungimea de 0,35m ,lăţimea de 2,5dm şi înălţimea de 46cm. Câti<br />
litri de apă încap în acvariu?<br />
Rezolvare:<br />
L=0,35m, l=2,5dm, h=46cm<br />
0,35m=3,5dm<br />
46cm=4,6dm.<br />
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=3,5∙<br />
2,5∙4,6 = 40,25(dm 3 )<br />
. 40,25dm 3 = 40,25l<br />
3. Un robinet are debitul de<br />
450litri pe oră. În cât timp va umple un bazin acest robinet, dacă<br />
bazinul este în formă de paralelipiped dreptunghic <strong>cu</strong><br />
dimensiunile150cm,3m şi respective 10dm?
Rezolvare:<br />
150cm=1,5m 10dm=1m<br />
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=1,5 ∙3∙ 1 = 4,5 m 3<br />
4,5m 3 = 4.500dm 3 = 4500 l<br />
Timpul de umplere este:<br />
4500 : 450 = 10(ore)<br />
UNITĂŢI DE MĂSURĂ <strong>PENTRU</strong> MASĂ<br />
Masa reprezintă calitatea unui<br />
obiect de a fi mai uşor sau mai greu<br />
decât un alt obiect. A măsura masa unui<br />
obiect înseamnă a vedea de câte ori se<br />
<strong>cu</strong>prinde masa unei unităţi de măsură în<br />
masa acelui obiect, adică a afla câte<br />
unităţi de masă cântăresc tot atâta cât<br />
obiectul respectiv.<br />
Observatii:<br />
1.Operaţia prin care comparăm masa unui obiect <strong>cu</strong> masa<br />
unei unităţi de măsură se numeşte cântărire.<br />
2.Pentru a cântari corpurile s-au construit corpuri <strong>cu</strong> masa<br />
marcată sau etaloane de masă.<br />
3.Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se<br />
folosesc balanţa şi cântarul.<br />
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul.<br />
Multiplii kilogramului:<br />
-chintalul(q) 1q =100kg<br />
-tona(t) 1t =1000kg<br />
-vagonul(v) 1v =10000kg<br />
Submultiplii kilogramului:<br />
-hectogramul(hg) 1hg=0,1kg<br />
-decagramul(dag) 1dag=0,01kg<br />
-gramul(g) 1g=0,001kg<br />
-decigramul(dg) 1dg=0,1g=0,0001kg<br />
-centigramul(cg) 1cg=0,01g=0,00001kg<br />
-miligramul(mg) 1mg=0,001g=0,000001kg<br />
26
1 kg înseamnă 1dm 3 de apă distilată aflată la temperatura<br />
de 4 o C.<br />
Alte unităţi de măsură pentru mase<br />
1 talant = 34,5 kg = 60 mine sau 3000 sicilii<br />
1 minã = .5 kg = 50 sicli<br />
1 siclu = 11,5 g = 20 ghere<br />
1/2 siclu = 5,75 g = 10 ghere<br />
1 gherã (1/20 siclu) = 0,57 g = valoarea cea mai micã<br />
1 litrã = 326 g = 12 uncii<br />
1 uncie (oz) = 16 drahme = 28,35 g<br />
1 fund (lb) = 16 uncii = 453,592 g<br />
1 sutar greutate = 112 funti = 50,8 kg<br />
1 tonã lungã = 2240 funti = 1016,047 kg<br />
1 tonã s<strong>cu</strong>rtã = 2000 funti = 907,184 kg<br />
Vechi unităţi de masă utilizate în ţara noastră<br />
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania<br />
Merţă 10 baniţe 516,4 kg 508,8 kg 22,5 l<br />
Baniţă 40 oca 51,64 kg 50,88 kg<br />
Oca 4 litre 1,291 kg 1,272 kg<br />
Litră 322,75 g 318 g<br />
Dram 3,38 g 3,38 g<br />
Funt / livră 0,5 kg<br />
Probleme:<br />
27
1.Câte pachete de napolitane se află într-o <strong>cu</strong>tie ştiind că un<br />
pachet de napolitane costă 75 g, <strong>cu</strong>tia goală cântăreşte 350 g, iar<br />
plină cântăreşte 4,1 kg?<br />
Rezolvare:<br />
4,1 kg = 4100 g<br />
1) Cât cântăresc toate napolitanele?<br />
4100g - 350g = 3750 g<br />
2) Câte pachete sunt?<br />
3750:75=50(pachete)<br />
R: 50 pachete<br />
2. Câte transporturi trebuie să facă un camion pentru a<br />
transporta 40 t de material, dacă el poate încărca 4500 kg?<br />
Rezolvare:<br />
4500kg = 4,5 t<br />
40 : 4,5 = 8,(8<br />
3.O <strong>cu</strong>tie de medicamente conţine 20 de tuburi <strong>cu</strong> câte 25<br />
de comprimate, fiecare comprimat cântăreşte câte 25 g. Cutia<br />
goală cântăreşte 20 g, iar tubul gol 5 g. Cât cântăreşte <strong>cu</strong>tia <strong>cu</strong><br />
medicamente?<br />
Rezolvare:<br />
1)Cât cântăresc comprimantele dintr-un tub?<br />
25 ∙ 25 = 625g<br />
2) Cât cântăreşte un tub plin?<br />
625 + 5 = 630 g<br />
3)Cât cântăresc toate tuburile?<br />
630 ∙ 20 = 12600 g<br />
4)Cât cântăreşte <strong>cu</strong>tia <strong>cu</strong> medicamente?<br />
12600 + 20 = 12620 g<br />
R: 12620 g<br />
28
UNITĂŢI DE MĂSURĂ <strong>PENTRU</strong> TIMP<br />
De multă vreme, oamenii au observat în natură, fenomene<br />
care se repetă. De exemplu, înşiruirea <strong>cu</strong> regularitate a zilelor şi a<br />
nopţilor sau a anotimpurilor. Ei au pus schimbările observate în<br />
legătură <strong>cu</strong> trecerea timpului şi l-au măsurat comparându-l <strong>cu</strong><br />
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se<br />
repetă <strong>cu</strong> regularitate, <strong>cu</strong>m ar fi durata unei zile sau a unei nopţi,<br />
durata în care se schimbă cele 4 anotimpuri etc.<br />
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de<br />
măsură a timpului se<strong>cu</strong>nda(s).<br />
Alte unităţi de timp:<br />
-minutul(min)<br />
-ora (h) 1min = 60s<br />
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s<br />
-săptămâna (are 7 zile)<br />
-luna are 28,29,30,31 zile<br />
-anul are 12 luni<br />
-deceniul are 10 ani<br />
-secolul (vea<strong>cu</strong>l) are 100 de ani<br />
-mileniul are 1000 ani<br />
* 1 an are 365 de zile( sau 366 de zile în<br />
ani bisecţi când februarie are 29 de zile)<br />
* Anii bisecţi se repetă din 4 în 4 ani şi<br />
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide <strong>cu</strong> 4.<br />
* Instrumentele de măsură pentru timp sunt: ceasul, cronometrul,<br />
clepsidra.<br />
Probleme<br />
1. Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si<br />
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute .Cât timp a durat drumul?<br />
7h58min - 7h35min = 23min<br />
2. Câte zile au la un loc anii<br />
1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996?<br />
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996, deci 2 ani.<br />
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile<br />
29
3. Câte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 până la 19 decembrie<br />
2003 inclusiv?<br />
Observăm că 2003 nu este bisect.(are 365 zile)<br />
Rezolvare:<br />
Ianuarie are 31 zile, februarie 28 zile, martie 31 zile, aprilie 30<br />
zile, mai 31 zile, iunie 30 zile, iulie 31 zile, august 31 zile,<br />
septembrie 30 zile, octombrie 31 zile, noiembrie 30 zile, decembrie<br />
19 zile.<br />
Numărul de zile este:<br />
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile.<br />
Altă rezolvare:<br />
1) Câte zile nu sunt numărate din decembrie?<br />
31-19=12 zile<br />
2) 365-12=353 zile<br />
4. Ioana pune o prăjitură în <strong>cu</strong>ptor la ora 18 şi un sfert.<br />
Prăjitura trebuie să se coacă într-o oră şi 10 minute. La ce oră va<br />
scoate Ioana prăjitura din <strong>cu</strong>ptor?<br />
5. Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge<br />
acasă în 30 de minute.<br />
La ce oră va ajunge acasă?<br />
6. Victor vrea să înregistreze un film care începe la orele 21 00<br />
şi se termină la orele 24 00 .<br />
Cât durează filmul?<br />
7. Pe uşa unui magazin era următorul anunţ: ,,Închis zilnic<br />
între orele 15-17.’’.<br />
Câte ore dintr-o săptămână este magazinul respectiv închis?<br />
8. Un tren care trebuia să sosească în gara din Buzău la orele<br />
15 30 are întârziere 1 oră.<br />
La ce oră va ajunge trenul a<strong>cu</strong>m în gara din Buzău?<br />
30
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII<br />
NOASTRE. CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE<br />
TERITORIUL ROMÂNIEI<br />
Baterea de monedă pe teritoriul actualei Românii începe în<br />
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră, aşezări ce desfăşurau<br />
o foarte fructuoasă activitate comercială. Într-adevăr, în secolul IV<br />
î.Chr, la Histria, Calatis, Tomis şi Dyonisopolis, existau ateliere<br />
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar), tetradrahme şi<br />
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei. După ce au<br />
<strong>cu</strong>cerit provincia, în 71 î.Chr., romanii au interzis baterea<br />
monedelor din metal preţios, dar au permis continuarea fabricării<br />
pieselor din bronz. Activitatea atelierelor monetare greceşti de la<br />
ţărmul Pontului Euxin a încetat definitiv în jurul anului 245 a.D.<br />
Monede folosite în vechime<br />
1 siclu = 16,36 g (aur) = 14,54 g (argint)<br />
1 jumãtate de siclu = 8,18 g (aur) = 7,27 g (argint)<br />
1 drahma = 4,09 g (aur) = 3.65 g (argint)<br />
1 didrahma = 8,18 g (aur) = 7.30 g (argint)<br />
1 statirul = 8,52 g (aur) = 14.6 g (argint)<br />
1 dinar = 4,5 g (argint)<br />
1 codrantes = 0,0703 g (argint)<br />
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)<br />
1 talant = 49,077 kg (aur) = 43,62 kg (argint)<br />
1 lepta = 0,035 g (argint)<br />
Important: Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi<br />
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau<br />
monede, ci denumiri ale sumelor monetare mari.<br />
31
Monedele dacilor<br />
Monedele fabricate în coloniile de la<br />
Marea Neagră au avut doar o cir<strong>cu</strong>laţie<br />
locală. În restul Daciei erau preferate<br />
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea<br />
şi ale urmaşilor săi, sau, după <strong>cu</strong>cerirea<br />
Macedoniei de către romani, dinarii<br />
republicani. În jurul anului 280 i.Chr, apar în<br />
cir<strong>cu</strong>laţie monede din argint bătute de către<br />
daci în propriile lor ateliere. Imitând ca desen<br />
pe cele macedonene sau romane, monedele<br />
dacilor respectau greutatea monetară a<br />
originalelor pe care le imitau. Aşa se explica<br />
faptul că, deși nu erau prea reuşite din punct<br />
de vedere artistic, monedele dacilor cir<strong>cu</strong>lau<br />
în paralel <strong>cu</strong> monedele greceşti sau romane pe care le copiau.<br />
Cucerirea Daciei de către romani în 106 a.D. a pus capăt activităţii<br />
atelierelor monetare ale dacilor. Comerţul zonei, devenită provincie<br />
romană, a fost acaparat de monedele imperiale, a căror cir<strong>cu</strong>laţie a<br />
continuat după retragerea aureliană din 271 a.D. până la căderea<br />
Romei în 476 a.D.<br />
Cir<strong>cu</strong>laţia monetară în secolele V – XIV<br />
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au<br />
readus în actualitate tro<strong>cu</strong>l. Deşi diminuată, cir<strong>cu</strong>laţia monetară<br />
până în secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului<br />
Roman de Răsărit (Bizantin). Monedele Bizantine au fost practic<br />
primele monede folosite de către poporul ce se forma în spaţiul<br />
vechii Dacii - poporul român. În secolul XII, odată <strong>cu</strong> ridicarea<br />
noilor state vecine ţinuturilor lo<strong>cu</strong>ite de români: Ungaria, Polonia,<br />
Serbia şi Bulgaria, monedele acestora au înlo<strong>cu</strong>it în cir<strong>cu</strong>laţie pe<br />
cele bizantine. Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din<br />
nou configuraţia economică a zonei, favorizând patrunderea unor<br />
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti), înlo<strong>cu</strong>ite la<br />
32
ândul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii<br />
Ungariei. De la numele acestor banali s-a format în limba româna<br />
<strong>cu</strong>vântul "ban", care desemnează atât moneda ca atare, cât şi<br />
monedele de valoare mică - maruntişul. Astăzi "banul", chiar dacă<br />
auzim mai rar de el, este subdiviziunea monedei naţionale.<br />
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre<br />
În 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine în<br />
cir<strong>cu</strong>laţie pe teritoriul Principatelor Unite. În 22.04/04.05.1867<br />
„Legea pentru înfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru<br />
fabricarea monetelor naţionale” este promulgată. Unitatea monetară<br />
este leul divizat în 100 de bani, fiind adoptat sistemul monetar<br />
zecimal al Uniunii Monetare Latine, bazat pe bimetalism (aur şi<br />
argint). 1 leu trebuia să cîntărească 5 grame şi să conţină 4,175<br />
grame de argint <strong>cu</strong>rat. Din Uniunea Monetară Latină au fă<strong>cu</strong>t parte<br />
Franţa, Elveţia, Belgia, Italia şi Grecia. Luxemburg, Spania, Serbia,<br />
Muntenegru, Vaticanul şi România au utilizat acest sistem monetar.<br />
În Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese în valoare de 5 unităţi,<br />
din argint <strong>cu</strong> titlul 90.0%, piese de 0.50, 1 şi 2 unităţi, din argint <strong>cu</strong><br />
titlul 83.5%, pre<strong>cu</strong>m şi piese de aur de 90.0% (10, 20, 50 sau 100<br />
de unităţi). România nu a căpătat statutul de membru al Uniunii<br />
Monetare Latine, deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă<br />
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei<br />
cir<strong>cu</strong>laţii.<br />
În 01.01/13.09.1868 Legea intră în vigoare.<br />
Cursuri bancare obişnuite pentru leul românesc în secolul XIX:<br />
Paris: 100 lei = 99,16 ... 99,91 franci<br />
Berlin: 100 lei = 79,13 ... 81,14 mărci<br />
Londra: 100 lei = 4 lire sterline<br />
În 24.02/08.03.1870 se inaugurează oficial Monetăria<br />
Statului, unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de<br />
argint.<br />
33
În 01.12/13.12.1873 monedele străine - ruseşti, austriece sau<br />
turceşti - şi-au încetat oficial cir<strong>cu</strong>laţia în ţară (pe baza decretului<br />
din luna mai al lui Petre Mavrogheni, ministru de Finanţe).<br />
În 04.05/16.05.1877 este adoptată legea care stabilea <strong>cu</strong>rsul<br />
monedelor ruseşti. O dată <strong>cu</strong> intrarea trupelor ruseşti în ţară, rublele<br />
au căpătat <strong>cu</strong>rs legal şi obligatoriu în România, rubla fiind<br />
supraevaluată.<br />
În 12.06/24.06.1877 este adoptată legea pentru emisiunea<br />
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30.000.000 lei) garantate de<br />
bunurile imobiliare ale statului, prima hîrtie-monedă din România.<br />
În 17.04/29.04.1880 Legea pentru înfiinţarea unei bănci de<br />
scont şi emisiune „Banca Naţională a României” (capital de<br />
12.000.000 lei) <strong>cu</strong> privilegiul exclusiv de a bate monedă, sub formă<br />
de societate anonimă <strong>cu</strong> participarea statului (1/3 din acţiuni fiind<br />
ale statului şi 2/3 ale deţinătorilor parti<strong>cu</strong>lari).<br />
În 29.05/10.06.1889 este votată legea pentru introducerea<br />
sistemului monometalist (etalon aur), ce intră în vigoare pe<br />
17/29.03.1890. 1 leu este echivalent <strong>cu</strong> 1/3 dintr-un gram de aur fin<br />
<strong>cu</strong> titlul de 90%. Emisiunile de hârtie-monedă trebuiau să fie<br />
acoperite în proporţie de 40% <strong>cu</strong> aur.<br />
În 01.11.1920 - 1921 are loc Unificarea monetară. Sunt<br />
scoase din cir<strong>cu</strong>laţie bancnotele emise de Austro-Ungaria, de Rusia<br />
şi de trupele de o<strong>cu</strong>paţie germane, prin preschimbare <strong>cu</strong> bancnote<br />
emise de BNR.<br />
În 07.02.1929 este emisă Legea pentru stabilizarea<br />
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului în aur).<br />
Un leu valorează 10 miligrame de aur <strong>cu</strong> titlul 90%. Un leu aur este<br />
egal <strong>cu</strong> 32 de lei hîrtie. Biletele de bancă emise de BNR sînt<br />
convertibile în aur, dar numai în cazul sumelor mai mari de<br />
100.000 de lei.<br />
În 15.08.1947 se produce stabilizarea monetară: 1 leu nou =<br />
20.000 lei vechi. În urma reformei un leu valora 6,6 miligrame de<br />
aur <strong>cu</strong> titlul 90%. La stabilizare, fiecare cetăţean a putut să schimbe<br />
personal doar o sumă fixă de bani, suma posibil de schimbat de un<br />
om fiind între 1,5 şi 7,5 milioane de lei vechi, în funcţie de o<strong>cu</strong>paţia<br />
prezentatorului.<br />
34
De la 1 Iulie 2005, moneda românească a fost denominată<br />
astfel încît 10.000 lei vechi au devenit 1 leu nou. În acest fel a<br />
revenit în cir<strong>cu</strong>laşie subdiviziunea leului - banul. Valorile: 100,<br />
500, 1000 şi 5000 lei au devenit: 1, 5, 10 şi 50 bani. Însemnele<br />
monetare vechi au fost valabile pâna la data de 31 decembrie 2006.<br />
Astfel în cir<strong>cu</strong>laţie în prezent există monede de 1 ban, 5 bani,<br />
10 bani, 50 bani şi bancnote de 1 leu, 5 lei, 10 lei, 50 lei, 100 lei,<br />
200 lei, 500 lei.<br />
1 leu = 100 bani.<br />
EURO (simbol EUR sau €) este moneda<br />
comună pentru cele mai multe state din<br />
Uniunea Europeană. Monedele Euro (şi<br />
bancnotele euro) au intrat în cir<strong>cu</strong>laţie pe 1<br />
ianuarie 2002, dar anul emiterii lor poate să<br />
meargă înapoi până în anul 1999, când<br />
moneda a fost lansată oficial. Un euro este<br />
divizat în 100 cenţi.<br />
Pentru monede există opt denominaţii diferite:<br />
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine<br />
1 cent |<br />
0,01 €<br />
2 cenţi |<br />
0,02 €<br />
5 cenţi |<br />
0,05 €<br />
10 cenţi |<br />
0,10 €<br />
20 cenţi |<br />
0,20 €<br />
50 cenţi |<br />
0,50 €<br />
16,25 mm 1,67 mm 2,30 g<br />
18,75 mm 1,67 mm 3,06 g<br />
21,25 mm 1,67 mm 3,92 g<br />
19,75 mm 1,93 mm 4,10 g<br />
22,25 mm 2,14 mm 5,74 g<br />
24,25 mm 2,38 mm 7,80 g<br />
35<br />
Oţel <strong>cu</strong><br />
înveliş de<br />
<strong>cu</strong>pru<br />
Oţel <strong>cu</strong> un<br />
înveliş de<br />
<strong>cu</strong>pru<br />
Oţel <strong>cu</strong> înveliş<br />
de <strong>cu</strong>pru<br />
Aliaj de <strong>cu</strong>pru<br />
(aur nordic)<br />
Aliaj de <strong>cu</strong>pru<br />
(aur nordic)<br />
Aliaj de <strong>cu</strong>pru<br />
(aur nordic)<br />
Netedă<br />
Netedă <strong>cu</strong> o<br />
canelură<br />
Netedă<br />
Cu crestături<br />
fine<br />
Netedă (<strong>cu</strong><br />
şapte spaţii)<br />
Cu crestături<br />
fine
1 euro |<br />
1,00 €<br />
2 euro |<br />
2,00 €<br />
23,25 mm 2,33 mm 7,50 g<br />
25,75 mm 2,20 mm 8,50 g<br />
36<br />
Interior: aliaj<br />
de <strong>cu</strong>prunichel<br />
Exterior:<br />
nichel-bronz<br />
Interior:<br />
nichel-bronz<br />
Exterior: aliaj<br />
de <strong>cu</strong>prunichel<br />
Şase segmente<br />
alternante, trei<br />
netede, trei<br />
zimţate<br />
Zimţată,<br />
inscripţionată
1. Construcţia unui segment congruent <strong>cu</strong> un segment dat<br />
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px.<br />
Construiţi punctul Q � [Px, astfel încât [AB] � [PQ].<br />
P1: Dăm compasului deschiderea [AB].<br />
P2: Fixăm vârful compasului în punctul P şi trasăm un arc de cerc<br />
care intersectează [Px în D.<br />
( Instrumente: compas)<br />
2. Construcţia, <strong>cu</strong> rigla şi compasul, a mijlo<strong>cu</strong>lui unui segment<br />
Problemă Se dă segmentul [AB]. Construiţi punctul M �<br />
[AB] astfel încât [AM] � [MB].<br />
P1: Fixăm vârful compasului în A, dăm compasului<br />
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc.<br />
P2: Fixăm vârful compasului în B (păstrăm aceeaşi<br />
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc.<br />
P3: Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile<br />
celor două arce).<br />
P4: Notăm {M}=PQ � AB .<br />
(Se poate verifica <strong>cu</strong> rigla sau compasul că [AM] � [MB]).<br />
37
3. Construcţia unui unghi congruent <strong>cu</strong> un unghi dat<br />
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM. Să<br />
se construiască un unghi MQN congruent <strong>cu</strong> unghiul AOB.<br />
(i) Construcţia <strong>cu</strong> raportorul:<br />
P1: Să află m (
(ii) Construcţia <strong>cu</strong> compasul:<br />
P1: Fixăm vârful compasului în O şi trasăm un arc de cerc care<br />
intersectează [OA în D şi [OB în E.<br />
P2: Fixăm vârful compasului în Q şi, păstrând aceeaşi deschidere a<br />
compasului, trasăm un arc de cerc care intersectează QM în P.<br />
P3 : Dăm compasului deschiderea [DE].<br />
P4 : Fixăm vârful compasului în P (păstrând deschiderea [DE]) şi<br />
intersectăm ar<strong>cu</strong>l trasat în N (� DOE � � PQN deci � AOB � �<br />
MQN).<br />
4. Construcţia triunghiurilor<br />
1. Problemă Construiţi un triunghi ABC <strong>cu</strong>noscând două laturi şi<br />
unghiul <strong>cu</strong>prins între ele.(Cunoaştem BC = a, AC=b şi m (� C)= �).<br />
P1: Desenăm �XCY astfel încât m(� ZCY) =�.<br />
P2: Pe semidreaptă [CX construim punctul A, <strong>cu</strong> CA = b.<br />
P3: Pe semidreapta [CY construim punctul B, <strong>cu</strong> BC = a.<br />
P4: Punem în evidenţă [AB].<br />
(Instrumente folosite:<br />
rigla gradată şi<br />
raportorul)<br />
39
2. Problemă Construiţi un triunghi ABC <strong>cu</strong>noscând două unghiuri<br />
şi latura <strong>cu</strong>prinsă între ele.<br />
(Fie m (�A) =�; m (�B) = � şi AB = c).<br />
P1: Cu rigla gradată construim AB = c.<br />
P2: Cu ajutorul raportorului, construim [Ax astfel încât m(�<br />
BAx) = �.<br />
P3: Cu raportorul, construim [BY astfel încât m (< ABy) =<br />
�.<br />
P4: Notăm [Ax � [BY = {C}.<br />
Obs! Dacă �+� � 180� triunghiul nu se poate construi.<br />
3. Problemă Construiţi un triunghi ABC <strong>cu</strong>noscând cele 3 laturi ale<br />
sale. (Fie AB = c; AC = b; BC = a).<br />
P1: Cu rigla gradată construim AB = c.<br />
P2: Cu compasul, construim cer<strong>cu</strong>l <strong>cu</strong> centrul în B, şi <strong>cu</strong><br />
raza a.<br />
P3: Construim, <strong>cu</strong> compasul, cer<strong>cu</strong>l <strong>cu</strong> centrul în A şi <strong>cu</strong><br />
raza în b.<br />
P4: Notăm una din cele două intersecţii ale cer<strong>cu</strong>rilor <strong>cu</strong> C<br />
şi punem în evidenţă [AC] şi [BC].<br />
40
Obs!<br />
Problema este posibilă dacă cer<strong>cu</strong>rile sunt secante, adică<br />
dacă �b-a� � c � b+a* . În această situaţie, avem cele două<br />
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi C’).<br />
Dacă inegalitatea * nu este verificată, problema nu are<br />
soluţii.<br />
5. Construcţia perpendi<strong>cu</strong>larei dintr-un punct exterior unei<br />
drepte pe acea dreaptă<br />
Problemă Să se construiască, dintr-un punct dat A, perpendi<strong>cu</strong>lara<br />
d’ pe dreapta dată d.<br />
Construcţia <strong>cu</strong> riglă şi compas<br />
P1: Trasăm un cerc <strong>cu</strong><br />
centrul în A şi <strong>cu</strong> raza r ( r<br />
mai mare decât distanţa<br />
dintre A şi d) care<br />
intersectează d în B şi C.<br />
P2: Deschidem compasul<br />
pe o rază R>r şi trasăm<br />
cer<strong>cu</strong>l <strong>cu</strong> centrul în B.<br />
P3: Cu deschiderea R,<br />
trasăm un alt cerc <strong>cu</strong><br />
centrul C ( notăm<br />
intersecţiile cer<strong>cu</strong>rilor <strong>cu</strong> D<br />
şi E ).<br />
P4: Punem în evidenţă d’=DE ( evident, A � d’).<br />
41
6. Construcţia liniilor importante<br />
a) Construcţia bisectoarei<br />
Problemă Fiind dat un unghi � xOy, construiţi, <strong>cu</strong> rigla şi<br />
compasul, bisectoarea [OM.<br />
P1: Construim<br />
un cerc <strong>cu</strong> centrul O şi<br />
<strong>cu</strong> raza r, şi notăm<br />
intersecţiile acestuia <strong>cu</strong><br />
laturile unghiului A,<br />
respectiv B (A � [OX;<br />
B � OY).<br />
P2: Construim<br />
cer<strong>cu</strong>l <strong>cu</strong> centrul în A şi<br />
aceeaşi rază r.<br />
P3: Construim<br />
cer<strong>cu</strong>l <strong>cu</strong> centrul în B şi<br />
raza r.<br />
P4: Notăm<br />
intersecţia ultimelor două cer<strong>cu</strong>ri <strong>cu</strong> M şi punem în evidenţă [OM.<br />
b) Mediatoarea unui segment<br />
Problemă Fiind dat segmentul [AB], construiţi CD=d astfel încât<br />
CD�AB şi ( dacă [AB]�[CD] = M ) [AM]�[MB].<br />
P1: Construim cer<strong>cu</strong>l <strong>cu</strong> centrul în A şi raza r ( r = AB).<br />
P2: Construim<br />
cer<strong>cu</strong>l <strong>cu</strong> centrul în<br />
B şi raza r.<br />
P3: Notăm<br />
intersecţiile<br />
cer<strong>cu</strong>rilor <strong>cu</strong> C şi D<br />
şi punem în<br />
evidenţă d = CD (<br />
eventual, M =<br />
CD�AB).<br />
42
Există figuri geometrice care “seamănă”, dar care prin<br />
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)<br />
Figurile de mai sus se numesc asemenea. Intuitiv, două<br />
triunghiuri sunt asemenea dacă 'seamănă', adică unul dintre ele se<br />
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare<br />
corespunzătoare. Este evident că nu întotdeuna triunghiurile sunt<br />
'frumos aliniate' ca în figura de mai sus. De cele mai multe ori, ele<br />
sunt 'rotite, răsucite, inversate', adică aşezate în aşa fel încât să ne<br />
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de.... iarbă verde!<br />
� Ca şi relaţia de congruenţă, relaţia de asemănare presupune<br />
o corespondenţă a vârfurilor, corespondenţă care indică perechile<br />
de unghiuri congruente. Aşadar, când scriem asemănarea a două<br />
triunghiuri, trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe<br />
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente.<br />
� Fie triunghiriel ABC şi MNP. Aceste triunghiuri sunt<br />
asemenea. Ele au :<br />
�A<br />
� �M<br />
�B<br />
� �N<br />
�C<br />
� �P<br />
AB<br />
MN<br />
43<br />
�<br />
BC<br />
MN<br />
�<br />
AC<br />
MP<br />
Dacă între două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt<br />
asemenea şi scriem � ABC ~ �MNP<br />
Perechile de unghiuri � (A, P), � (B, M), � (C, N) şi perechile de<br />
laturi ( AB, MN), (BC, NP), (AC, MP) se numesc corespondente<br />
sau omoloage .<br />
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare.<br />
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
.<br />
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII<br />
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează <strong>cu</strong><br />
celelalte două laturi un triunghi asemenea <strong>cu</strong> cel iniţial<br />
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura<br />
BC se formează � ABC ~ �AMN<br />
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile<br />
congruente.<br />
44
B<br />
D<br />
DEMONSTRAŢIE :<br />
Tales AM AN<br />
MN BC � �<br />
AB AC<br />
,<br />
� B � �M,<br />
�C<br />
� �N<br />
(1) ; Fie P �(BC) a.î. NP AB.<br />
Obţinem în mod analog egalitatea<br />
BP AN<br />
� (2) ; pe de altă parte<br />
BC AC<br />
MNPB paralelogram � MN � BP(3)<br />
; din (1), (2) şi (3) rezultă<br />
� ABC ~ �AMN<br />
A<br />
OBSERVAŢII :<br />
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales având<br />
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă, referindu-se la toate laturile<br />
triunghiurilor .<br />
2) Teorema asemănării rămâne valabilă şi în cazul în care<br />
segmentul MN se afla în exteriorul triunghiului ABC (se disting<br />
două cazuri).<br />
PROPRIETĂŢI :<br />
i) � ABC ~ �ABC<br />
(reflexivitate) ;<br />
ii) � ABC ~ �MNP<br />
� �MNP<br />
~ �ABC<br />
(simetrie)<br />
P<br />
45<br />
E<br />
C
�ABC<br />
~ �A'<br />
B'C'<br />
�<br />
iii) � � �ABC<br />
~ �A''<br />
B''C'<br />
' (tranzitivitate)<br />
�A'<br />
B'C'<br />
~ �A''<br />
B''C'<br />
'�<br />
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea � au o pereche<br />
de unghiuri as<strong>cu</strong>ţite congruente.<br />
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea � au o pereche de<br />
unghiuri congruente.<br />
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.<br />
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea.<br />
vii) Două triunghiuri <strong>cu</strong> laturile respectiv paralele sunt asemenea.<br />
viii) Două triunghiuri <strong>cu</strong> laturile respectiv perpendi<strong>cu</strong>lare sunt<br />
asemenea.<br />
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul de<br />
asemănare al laturilor este egal <strong>cu</strong>:<br />
- raportul bisectoarelor;<br />
- raportul înălţimilor;<br />
- raportul medianelor;<br />
- raportul razelor cer<strong>cu</strong>rilor înscrise;<br />
- raportul razelor cer<strong>cu</strong>rilor cir<strong>cu</strong>mscrise.<br />
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR<br />
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este<br />
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor<br />
asemenea. Este suficent să verificăm doar două condiţii. Ca şi la<br />
congruenţa triunghiurilor, aceste teoreme se numesc criterii.<br />
CAZUL 1<br />
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi<br />
laturile care îl formează proporţionale.<br />
CAZUL 2<br />
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri<br />
respective congruente.<br />
CAZUL 3<br />
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile<br />
proporţionale.<br />
46
Demonstraţie: luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul<br />
AD congruent <strong>cu</strong> segmentul MP.<br />
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB. Rezultă că<br />
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării.<br />
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe rând :<br />
1. AC AB<br />
� , � A � �P<br />
PM<br />
A<br />
PN<br />
� A � �P,<br />
�C<br />
� �M<br />
2.<br />
AC<br />
3. �<br />
PM<br />
AB<br />
PN<br />
M<br />
�<br />
CB<br />
MN<br />
APLICAŢII<br />
1. În orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi<br />
lungimea înălţimii corespunzatoare ei este constant.<br />
B<br />
P<br />
Ducem înălţimile AM, BN, CP.Vrem să demonstrăm că<br />
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP<br />
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN.<br />
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel.<br />
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC .<br />
Triunghiul BNC este asemenea <strong>cu</strong> triunghiul AMC<br />
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice; deci au un unghi drept, iar<br />
unghiul ACM este comun.<br />
Putem scrie că BC BN<br />
� rezultă că BC∙AM=AC∙BN<br />
AC<br />
AM<br />
47<br />
N<br />
C
2. Determinatţi distanţa de la un observator aflat în punctul B de<br />
pe mal, la copa<strong>cu</strong>l A de pe malul celălalt.<br />
Se realizează din ţăruş, conform desenului, un triunghi ABC şi<br />
un segment DE, paralel <strong>cu</strong> BC, astfel încât punctele A, D, B şi<br />
respectiv A, E, C să fie coliniare.<br />
Din teorema fundamentală a asemănării, pentru triunghiul ABC şi<br />
paralela DE║BC avem , adică AD= .<br />
Toate lungimile DE, DB, BC pot fi măsurate (sunt pe<br />
acelaşi mal <strong>cu</strong> observatorul).După măsurători cal<strong>cu</strong>lul e simplu<br />
utilizând formula de mai sus, ne dă distanţa AD<br />
3. Un vânător are o puşcă AB, lungă de 1,20 m. Partea<br />
AD de la un capăt al puştii până la trăgaci este 1/3 din puşcă. El<br />
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de el.Dar<br />
vânătorului îi tremură mâna şi din cauza aceasta , în momentul<br />
când apasă pe trăgaci puşca se roteşte în jurul capătului A astfel<br />
încât punctul D se ridică <strong>cu</strong> un segment DE=2 mm.<br />
Cu câţi m deasupra ţintei trece glonţul?<br />
AC=100m =10000cm . DE=2mm=0,2cm,<br />
48<br />
B<br />
C<br />
D<br />
E<br />
A
AB=1,20m=120cm, �AD=40cm<br />
DE ||MC �� ADE~ �<br />
ACM �<br />
�MC=50cm=0,5m<br />
4. Determinarea înălţimii unei piramidei <strong>cu</strong> ajutorul<br />
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet).<br />
� ABC~ � DCE<br />
A<br />
B C E<br />
49<br />
D
Teorema bisectoarei<br />
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura<br />
pe care cade un raport direct egal <strong>cu</strong> raportul laturilor care<br />
formeaza unghiul.<br />
[AE bis�ABC<br />
BE<br />
�<br />
CE<br />
Demonstratie<br />
AB<br />
AC<br />
[ AEbisectoare<br />
� �BAE<br />
� EAC<br />
50<br />
A<br />
B<br />
E C<br />
" �"<br />
MC AEsiBM sec.<br />
� �BAE<br />
� �Mcorespondente<br />
MC AEsiACsecanta<br />
� �EAC<br />
� �ACM<br />
( alterne � int erne)<br />
deci�M<br />
� �ACM<br />
( tranzitivitate<br />
) � �ACMisoscel<br />
� [ AC]<br />
� [ AM]<br />
AB BE<br />
MC AE � � ( Thales),<br />
<strong>cu</strong>m[<br />
AC]<br />
� [ AM]<br />
�<br />
� Demonstratie AM EC(<br />
teorema reciproca)<br />
BE<br />
"<br />
�"<br />
MC AE � �<br />
EC<br />
� [ AM]<br />
� [ AC]<br />
�<br />
� �ACMisoscel<br />
� �ACM<br />
� �M<br />
;<br />
AE CM , BM sec.<br />
� �BAE�<br />
�M<br />
( corespondente)<br />
AE CM , ACsec.<br />
� �EAC�<br />
�ACE(<br />
alt.<br />
int)<br />
Deci�BAE�<br />
�EAC(<br />
tranzitivitate<br />
) � [ AEbis.<br />
�BAC<br />
BE<br />
EC<br />
BA<br />
BE AB<br />
AB<br />
( Thales),<br />
<strong>cu</strong>m � ( ipoteza)<br />
�<br />
AM<br />
EC AC<br />
AM<br />
�<br />
AB<br />
AC<br />
�<br />
AB<br />
AC<br />
M
Teorema lui Menelaus<br />
A<br />
'<br />
B<br />
C<br />
� O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC<br />
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele<br />
A',B',C' . Atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .<br />
� Reciproca : Daca A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C'<br />
apartine lui AB si daca A',B',C' sunt situate doua pe laturi si unul pe<br />
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca<br />
A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1<br />
coliniare .<br />
atunci punctele A',B',C' sunt<br />
51<br />
C<br />
'<br />
A<br />
B<br />
'<br />
Teorema lui Ceva<br />
Fie ABC un triunghi şi<br />
punctele M���AB, N���BC<br />
şi P���AC astfel încât MA =<br />
�MB, NB = �NC, PC =<br />
�PA. Atunci dreptele AN,<br />
BP, CM sunt con<strong>cu</strong>rente<br />
dacă şi numai dacă ��� =<br />
��.<br />
Demonstraţie:<br />
Notăm {O} = BP AN, {S} = MC AN. Aplicăm teorema lui<br />
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM. Se obţine<br />
relaţia MA : MB • CB : CN • ON : OA = 1 sau (ON:OA) = [1:α(1-
β)], (1). Din teorema lui Menelau în triunghiul ACN şi transversala<br />
BP obţinem: BN : BC • PC : PA • SA : SN = 1, de unde rezultă că:<br />
SA : SN = 1: γ • (1- 1:β), (2).<br />
Dreptele AN, BP, CM sunt con<strong>cu</strong>rente dacă şi numai dacă O = S.<br />
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 : γ [(β-1) : β] sau<br />
(1-β) • (1 + αβγ) = 0.<br />
Dacă β ≠ 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată.<br />
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate.<br />
Reciproca teoremei lui Ceva<br />
“Dacă pe laturile [AB], [BC], [AC] se iau punctele<br />
M, N, respectiv P astfel încât verifică relatia:<br />
MA<br />
�<br />
MB<br />
NB<br />
NC<br />
atunci AN, BP si CM sunt con<strong>cu</strong>rente .<br />
�<br />
PC<br />
PA<br />
Demonstraţia se face prin reducere la absurd.<br />
Presupunem că AN nu trece prin O, {O}= CP�BM. Fie<br />
AO�BC={N’}. Aplicând teorema lui Ceva pentru punctele M, P si<br />
N’ şi comparând <strong>cu</strong> relatia din enunţ ob-inem ca N = N’<br />
52<br />
�1
Studiul de faţă îşi propune să evidenţieze două metode<br />
“specta<strong>cu</strong>loase” de cal<strong>cu</strong>l ariei unui pentagon.(O figură geometrică<br />
mai puţin întâlnită în geometria plană din gimnaziu)<br />
De menţionat,că deşi atipice, metodele prezentate nu sunt deloc<br />
sofisticate şi apeleză la foarte puţine <strong>cu</strong>noştinţe “tehnice”.<br />
Aşadar, folosind doar formula de bază pentru cal<strong>cu</strong>l ariei, şi<br />
anume : vom rezolva trei probleme deosebite,<br />
toate bazate pe aceeaşi idée, din care se poate învăţa foarte mult.<br />
Vom trece ,mai întâi, în revistă următoarele rezultate:<br />
� O caracterizare a trapezelor:<br />
În trapezul ABCD, în care AB este paralelă <strong>cu</strong> CD, fie O<br />
intersecţia diagonalelor. Are loc egalitatea:<br />
Este important de observat că ,dacă, într-un patrulater convex<br />
are loc relaţia de mai sus, atunci AB şi CD sunt paralele, adică<br />
ABCD este trapez sau paralelogram. (1)<br />
� Un produs de arii:<br />
Se considerăm<br />
un patrulater convex<br />
ABCD şi să notam<br />
<strong>cu</strong><br />
ariile celor patru<br />
triunghiuri în care<br />
diagonalele împart<br />
triunghiul. Atunci<br />
are loc egalitatea:<br />
(2)<br />
53
Acestea fiind zise, să considerăm urmatoarea problema:<br />
� Fie ABCDE un pentagon convex <strong>cu</strong> propietatea că:<br />
Să se determine aria pentagonului.<br />
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite<br />
,USAMO)<br />
Să observăm mai întâi că din egalitatea<br />
.<br />
În mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului<br />
este paralelaă <strong>cu</strong> o latura a sa.<br />
Astfel, patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare,<br />
.<br />
În trapezul ABCE introducem notaţiile:<br />
54
Folosind (2) obtinem repede că:<br />
Pe de altă parte:<br />
Rezolvăm e<strong>cu</strong>aţia de gradul al doilealea şi găsim:<br />
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală <strong>cu</strong>:<br />
� Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează în interiorul<br />
pentagonului în punctele P,Q,R,S si T. Se stie ca :<br />
. Să se se<br />
cal<strong>cu</strong>leze aria pentagonului. (problema propusa la olimpiada de<br />
matematica din Japonia,1995)<br />
55
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi<br />
notând<br />
[ABS]=x<br />
Se demonstrează uşor că :<br />
Notăm a<strong>cu</strong>m şi rescriem egalitatea de mai<br />
sus sub forma:<br />
Şi de aici obţinem:<br />
A<strong>cu</strong>m,<strong>cu</strong>m x depinde doar de s, avem<br />
Pe de altă parte, avem şi :<br />
Înlo<strong>cu</strong>ind şi efectuând cal<strong>cu</strong>lele rezultă că , apoi<br />
56<br />
şi în fine:
O” bijuterie” pentru final<br />
� In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O. Prin O se<br />
duc trei drepte, fiecare intersectând câte două din laturile<br />
triunghiului, care determină trei triunghiuri de arii mai mici, de<br />
arii . Notăm <strong>cu</strong> S aria triunghiului ABC. Să se arate că:<br />
(Revista Kvant)<br />
Cu notaţiile din figură, printr-o asemănare evidentă se<br />
demonstrează că şi folosind inegalitatea<br />
mediilor obţinem imediat:<br />
57
Un pic de istorie:<br />
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid, având 23 de<br />
definiţii şi 48 de propoziţii. De-a lungul istoriei el a devenit un ring<br />
în interiorul căruia s-au dat şi se dau <strong>cu</strong> fiecare generaţie bătălii<br />
grele. Deşi cel mai ,,sărac” dintre poligoane el poate fi considerat<br />
,,vedetă” a geometriei elementare.<br />
Victor Thebault(Belgia), Jacques Hadamard (Franta), Fr.<br />
Morley (SUA), fizicianul Evangelista Torricelli, chiar Napoleon<br />
Bonaparte iată câteva nume care au gravitat în jurul ABC-ului…<br />
Iar dintre matematicieni români Traian Lales<strong>cu</strong>, Dimitrie Pompeiu,<br />
Gh. Mihoc, C.I.Bujor, Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul<br />
anilor celor mai sus menţionaţi.<br />
Inegalităţile geometrice sunt tot atât de vechi ca geometria<br />
însăşi.În celebrele ,,Elemente” ale lui Euclid există multe propoziţii<br />
referitoare la inegalităţi între laturile unui triunghi, cea mai<br />
semnificativă fiind:,, într-un triunghi, suma a două laturi este<br />
întotdeauna mai mare decât a treia latură”, considerată ca fiind la<br />
baza majorităţii inegalităţilor geometrice.<br />
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi<br />
Teoremă: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°.<br />
Consecinţe.<br />
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60°.<br />
2) In orice triunghi dreptunghic, unghiurile as<strong>cu</strong>ţite sunt<br />
complementare. Unghiurile as<strong>cu</strong>ţite ale unui triunghi dreptunghic<br />
isoscel au măsura de 45°.<br />
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz.<br />
Teoremă: Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală <strong>cu</strong><br />
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului, neadiacente<br />
lui.<br />
58
Teoremă: Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din<br />
acelaşi vârf al unui triunghi sunt perpendi<strong>cu</strong>lare.<br />
Triunghiul isoscel<br />
Definitie: Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte<br />
triunghi isoscel.<br />
Teoremă: Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi<br />
isoscel sunt congruente.<br />
Teoremă: Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana<br />
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi<br />
înălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă în mediatoarea<br />
bazei.<br />
Teoremă: Dacă un triunghi este isoscel, atunci înălţimea<br />
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi<br />
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă în mediatoarea bazei.<br />
Teoremă: Dacă un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea<br />
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi<br />
înălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă în mediatoarea<br />
bazei.<br />
Observaţie: In triunghiul isoscel ABC, AB=AC, dreapta AD, care<br />
conţine atât bisectoarea unghiului
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem:<br />
Teoremă: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci el<br />
este isoscel.<br />
Teoremă: Dacă într-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi<br />
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului, atunci triunghiul<br />
este isoscel.<br />
Teoremă: Dacă într-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi<br />
înălţime, atunci triunghiul este isoscel.<br />
Teoremă: Dacă într-un triunghi mediana corespunzatoare unei<br />
laturi este şi înălţime, atunci triunghiul este isoscel.<br />
Triunghiul echilateral<br />
Definiţie: Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte<br />
triunghi echilateral.<br />
Teoremă: Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente,<br />
având măsurile egale <strong>cu</strong> 60°.<br />
Având în vedere definiţia triunghiului echilateral, pre<strong>cu</strong>m şi<br />
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul<br />
echilateral este un triunghi isoscel <strong>cu</strong> oricare din laturi ca baza.<br />
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice<br />
triunghiului echilateral.<br />
Teoremă:.Intr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce<br />
pornesc din acelaşi vârf coincid.<br />
Observatie: Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie.<br />
A<br />
B C<br />
60
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi <strong>cu</strong><br />
ajutorul următoarelor teoreme:<br />
Teoremă: Dacă într-un triunghi unghiurile sunt congruente, atunci<br />
triunghiul este echilateral.<br />
Consecinţă: Dacă un triunghi are două unghiuri <strong>cu</strong> măsurile de<br />
60°, atunci el este echilateral.<br />
Teoremă: Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60°, atunci el<br />
este triunghi echilateral.<br />
Triunghiul dreptunghic<br />
Definitie: Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi<br />
dreptunghic.<br />
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale<br />
triunghiului dreptunghic, ce sunt foarte des folosite în rezolvarea<br />
problemelor. Dea semenea, demonstraţiile lor utilizează<br />
proprietăţile triunghiurilor isoscel, respectiv echilateral.<br />
Teoremă: Dacă într-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi<br />
este de 30°, atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este<br />
jumătate din lungimea ipotenuzei.<br />
Demonstraţie. C<br />
A B<br />
D<br />
Fie DєAC asfel încât Aє(CD), AC=AD<br />
In triunghiul BCD, [BA] este înălţime (din ipoteză) şi<br />
mediană (din construcţie), deci este isoscel. In plus, m(
=60°, de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral. Deducem<br />
că CD=BC şi <strong>cu</strong>m din construcţie AC=CD/2 rezultă că AC=BC/2.<br />
Teoremă: Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei<br />
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei.<br />
Inegalităţi geometrice<br />
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce<br />
se stabilesc în triunghi este ”Intr-un triunghi, la unghiul mai mare<br />
se opune latura mai mare”. Aceasta la rândul ei se bazează pe<br />
relaţia de inegalitate ce există între un unghi exterior unui triunghi<br />
şi unghiurile interioare neadiacente lui.<br />
Teorema 1(teorema unghiului exterior)<br />
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare<br />
decât măsura oricărui unghi interior triunghiului, neadiacent lui.<br />
A N<br />
M<br />
B C<br />
X<br />
Demonstratie: Fie M mijlo<strong>cu</strong>l lui AC si NєBM astfel încât<br />
BM=MN.<br />
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (L.U.L.) rezultă că
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)<br />
Intr-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi<br />
reciproc.<br />
A<br />
M<br />
B C<br />
Demonstratie:<br />
Fie triunghiul ABC, AB < AC şi Mє[AC] astfel încât<br />
AB=AD. Atunci triunghiul ABM este isoscel, deci<br />
m(
Observatie: Aceste relaţii ne ajută să ordonăm, după lungimile lor,<br />
unele linii importante în triunghi şi anume: bisectoarea fată de<br />
mediană, bisectoarea faţă de înălţime, mediana faţă de înălţime.<br />
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)<br />
Intr-un triunghi, lungimea oricărei laturi este strict mai mică decât<br />
suma lungimilor celorlalte două laturi.<br />
D<br />
B C<br />
Demonstraţie: Fie triunghiul ABC. Pe prelungirea laturii AB,<br />
construim AD=AC.<br />
In triunghiul isoscel ADC avem că
Teorema 5 : Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor<br />
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai<br />
mare decât modulul diferenţei celorlalte două.<br />
Demonstratie:<br />
Notam <strong>cu</strong> a,b,c lungimile celor trei segmente. Conform<br />
consecinţei de mai sus avem că a+b>c si a+c>b, de unde a>c-b şi<br />
a>b-c, sau a>Ib-cI. Analog se arată şi celelalte inegalităţi.<br />
Reciproc, din a>Ib-cI se obţine a>c-b şi a>b-c, sau a+b>c şi<br />
a+c>b. Folosind şi celelalte inegalităţi, în final obţinem că orice<br />
număr este strict mai mic decât suma celorlalte două.<br />
Observatie: Dacă trei puncte A,B,C sunt coliniare, spunem că<br />
triunghiul ABC este degenerat. Intr-un triunghi degenerat, exact<br />
una din cele trei inegalităţi devine egalitate.<br />
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv<br />
congruente si unghiurile <strong>cu</strong>prinse intre ele necongruente).<br />
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel încât ABΞA1B1 şi<br />
ACΞA1C1.<br />
Atunci m(m(B1C1.<br />
Aplicaţii.<br />
1.Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(
i)MB+MC
1<br />
6<br />
4<br />
5<br />
7<br />
9<br />
3<br />
67
GEOMETRICE<br />
ORIZONTAL:<br />
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180.<br />
2) Amabil… pe jumătate!; segmental ce uneşte vârful triunghiului<br />
<strong>cu</strong> mijlo<strong>cu</strong>l laturii opuse.<br />
3) O ,,bucată” de cerc; unghiul având măsura egală <strong>cu</strong> a<br />
suplementului său; segmental <strong>cu</strong> capetele C si D.<br />
68
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru; după aceea.<br />
5) Straiul oii; faţă <strong>cu</strong> capul în nori.<br />
6) Compoziţie musical- dramatică în care replicile cantata<br />
alternează <strong>cu</strong> cele vorbite; GC + ICT 100<br />
7) Notă muzicală; legarea a două sau a mai multe conducte<br />
electrice;<br />
8) Soluţe pentru lipit; avantaj; articol nehotărât;<br />
9) Dânşii; solicit; SECTE… amestecate;<br />
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri<br />
……………. interne; unghiul format de semidreptele [NC şi [NE.<br />
11) Instrument muzical de suflat, în formă de tub, <strong>cu</strong> găuri şi<br />
clape; navă mică folosită pentru călătorii de plăcere.<br />
12) Formă de organizare în societatea primitivă; prefix pentru<br />
perpendi<strong>cu</strong>laritate.<br />
13)Semidreaptă <strong>cu</strong> originea în vârful unghiului ce împarte unghiul<br />
în două unghiuri congruente; olimpic.<br />
VERTICAL<br />
1) Scaunul călăreţului; triunghiul <strong>cu</strong> două laturi congruente; tub<br />
avocalic.<br />
2) Omenos; extremităţile axei de rotaţie a Pământului; înmulţit.<br />
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă; prăpastie.<br />
4) Limpede; mulţimea literelor din care este format <strong>cu</strong>vântul<br />
COLIBE.<br />
5) Putem la final! CENT răsturnat; ite în<strong>cu</strong>rcate.<br />
6) Dreaptă perpendi<strong>cu</strong>lar pe segment în mijlo<strong>cu</strong>l acestuia; OLT pe<br />
maluri.<br />
7) Pătratul <strong>cu</strong> vârfurile E,D,R şi M; ANTERIOR în<strong>cu</strong>rcat la sfârşit!<br />
8) NIE 100+ IN; EUROPA(abrev.); pronume posesiv.<br />
9) Perechea caprei; era mezozoică… la final(masc)!SENIOR<br />
sărăcit de consoane!<br />
10) De la Polul Sud.<br />
11) ORA la final; Pâinea, pe la noi; prefix pentru ,,egal”.<br />
12) Segemente <strong>cu</strong> lungimi egale.<br />
13) Unghiuri <strong>cu</strong> o latură comună iar celelalte două situate în<br />
semiplane diferite, determinate de dreapta suport a laturii comune;<br />
formează scheletul(sg).<br />
69
BIBLIOGRAFIE :<br />
1. VECHI ŞI NOU ÎN MATEMATICĂ Autor: Viorica T.<br />
CÂMPAN, editura Ion Creangă – 1978, pag.37;<br />
2. CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor: Viorica T.<br />
CÂMPAN, editura Ion Creangă – 1972, pag.6, 34-43,52-53, 57-59;<br />
3. DIN ISTORIA MATEMATICII Autor: I.DEPMAN,<br />
editura A.R.L.U.S. – 1952, pag.74-75, 86-87;<br />
4. MISTERELE MATEMATICII Autor: Jhonny BALL,<br />
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ;<br />
5. ARITMETICĂ, ALGEBRĂ (vol. I şi II ) Autori: Dan<br />
Brânzei, Dan Zaharia ş.a. editura: Paralela 45, 2007.<br />
6. GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori: M.<br />
Rado, A. Coţa ş.a. Editura Didactică şi pedagogică, Bu<strong>cu</strong>reşti,<br />
1986<br />
7. VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori:<br />
F. Câmpan Editura: Ion Creangă, Bu<strong>cu</strong>reşti, 1984<br />
8. DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor:<br />
Tori Large Editura: Aquila, 2004.<br />
9. ARII Autor Bogdan Enes<strong>cu</strong> Gil,2006 ,<br />
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE, Autori<br />
Titu Andrees<strong>cu</strong> ,Bogdan Enes<strong>cu</strong> , Birhhauser 2004<br />
11 Colectia revistei Kvant<br />
70