MATEMATICÄ‚ PENTRU NOI TOÅ¢I - Scoala cu clasele I-VIII Nr 4 Cugir

REVISTA CONSTITUIE PRODUSUL FINAL AL
PROIECTULUI DE PARTENERIAT
„MATEMATICĂ PENTRU NOI TOŢI”
ÎNTRE:
ŞCOALA „MIHAI EMINESCU”
ALBA IULIA
ŞCOALA CU CLASELE I-VIII
NR. 4 CUGIR
COORDONATORI PROIECT:
prof. VLASEA FLOARE
prof. MARINESCU RODICA
prof. ŢIBEA MARIA
ECHIPĂ DE IMPLEMENTARE:
prof. SAVA CORINA
prof. URCAN MIHAELE
prof. DROGOŢEL VIORICA
prof. LOGA ALEXANDRU
prof. IRIMIE SANDA
prof. PIPOŞ CORINA
prof. MIRON RAVECA
COLEGIUL TEHNIC „APULUM”
ALBA IULIA
1

Coordonatori revistă:
prof. Floare Vlasea prof. Rodica Marinescu
prof. Maria Ţibea
Profesori colaboratori:
prof. Viorica Drogoţel
prof. Corina Sava
prof. Mihaela Urcan
prof. Alexandru Loga
Colectiv de redacţie elevii:
Bodron Valentina –cls. a VIII-a – “ director ”
Isvanescu Alexandra, cls. a VIII-a – “Redactor şef”
Popa Roxana -cls. a VIII -a – “administrator financiar”
Troancheş Andrei - redactor
Badoiu Iulia- redactor
Muntiu Alina- redactor
Redacror: prof. Floare Vlasea
.
2

Sumar:
� Nota redacţiei
� Istoria apariţiei unităţilor de măsură
� Diferite tipuri de unităţi de măsură
� Construcţii geometrice
� Asemănare
� Arii
� Proprietăţile dreptunghiurilor
� Curiozităţi matematice
� Bibliografie
Revistă bianuală de matematică editată în parteneriat şcolar
Cugie – Alba Iulia
Numărul 2/ aprilie 2010
3

Introduse din necesitatea de a determina distanţe, arii ale
suprafeţelor terenurilor, volume, greutăţi (de fapt mase) de produse,
apă şi diferite materiale sau de a determina durate, intervale de timp
şi de a stabili scări de timp etc, măsurile de lungime şi de masă
(denumită, ca mijloc de măsurare, greutate), au fost bazate, în toată
lumea, la începuturile lor, pe unităţi de măsură care derivau de la
diferite elemente ale corpului omenesc. Cotul, palma, palmacul,
degetul, piciorul omului, care au reprezentat chiar primele mijloace
de măsurare, au alcătuit baza sistemului de măsuri pentru lungime,
arie, volum/capacitate. Aşa au fost, în antichitate, cotul egiptean,
cotul persan şi cotul babilonean şi, în Grecia, piciorul antic şi
piciorul olimpic, iar în Europa apuseană piciorul roman, piciorul
antic şi piciorul olimpic.
Greutăţile folosite în antichitate ca măsuri de masă în
terminologia actuală au fost stabilite pe baza greutăţii unui anumit
număr de boabe de grâu, orez sau orz. O greutate asiro-chaldeeană
denumită siclul, reprezenta, de exemplu, greutatea egală cu aceea a
180 de boabe de grâu, iar greutatea romană siligna era egală cu
greutatea a patru boabe de grâu. Livra era egală cu greutatea a 6912
boabe de grâu.
Pentru măsurările agrare, unitatea de arie pied pătrat era
prea mică, din care motiv romanii au folosit unitatea jugerum, egală
valoric cu dublul ariei unui pătrat cu aria de 120 pieds. Multiplii şi
submultiplii unităţilor de măsură romane nu erau zecimali, deşi
romanii foloseau sistemul de numeraţie zecimal.
Numeroase unităţi de măsură romane au fost preluate de
civilizaţia Europei occidentale, dar căderea Imperiului roman de
occident a condus la o diversitate de obiceiuri care au generat multă
confuzie. Ca urmare, Carol cel Mare, rege al francilor (768-814) şi
împărat al Occidentului (800-814) a trebuit să promulge un decret
privind unificarea unităţilor de măsură în toate ţările reunite sub
Coroana sa, dar tentativa a eşuat odată cu Imperiul său.
4

Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost
influenţate de cele folosite în statele cu care ei au avut relaţii
economice şi culturale. Mărturii arheologice confirmă existenţa pe
teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de
măsurare grecesc şi roman, cu prioritate a celor din sistemul roman,
care a a fost introdus mai întâi în Banat şi Transilvania după
cucerirea Daciei de către Imperiul Roman la începutul secolului al
II-lea. Unităţile şi, respectiv, măsurile de lungime pasus, palmus,
digitus ale romanilor au devenit pas, palmă şi, respectiv, deget la
români, iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit
jugărul din Transilvania. Valorile acestor unităţi exprimate în
unitatea metru erau, însă, diferite: de exemplu, cotul la romani şi
greci era de 0,444 m şi , respectiv, 0,462 m, în timp ce la români
era de 0,637 m în Moldova şi 0,664 m în Muntenia.
Măsurile, respectiv unităţile de măsură folosite pentru
lungime, capacitate/volum şi, de asemenea, pentru masă (respectiv
greutate) au diferit valoric între ele, de la o provincie românescă la
altă provincie românescă, deşi aveau aceeaşi denumire. De
exemplu, stânjenul moldovenesc echivala cu 1,900 m în
Transilvania şi cu 1,962 m în ţara Românească. Deşi diferite
valoric între ele, unităţile de măsură din proviciile româneşti au
contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre
acestea. În acelaşi timp, unitatea denumirilor acestor unităţi de
măsură reflectă unitatea limbii şi culturii poporului român. Se
impunea, însă, cu absolută necesitate, unificarea unităţilor de
măsură, în ţările române, în prima jumătate a secolului al XIX-lea,
aşa cum aceasta se impusese în ţările din Europa de vest, în primul
rând în Franţa, prin revoluţia din 1789.
Dezvoltarea unei societăţi, odată cu naşterea unor oraşe
importante şi independente în Franţa, Germania şi Italia precum şi
în alte ţări Europene, începând încă din secolul al XIV-lea, şi
dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe
agricultură, care au determinat relaţii comerciale terestre şi
maritime, au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea
ştiinţelor teoretice - matematică, astronomie, mecanică - şi a
ştiinţelor aplicate. A apărut, atunci, necesitatea imperioasă a
5

folosirii unor unităţi de măsură unice, materializate prin măsuri şi
greutăţi, pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi
fizice ce se măsurau curent, atât în cadrul fiecărei ţări cât şi în
relaţiile economice şi culturale dintre ele.
Am văzut în cele de mai sus că ceea ce a impus, încă din cele
mai vechi timpuri, ca oamenii să stabilească unităţi de măsură
pentru diferite mărimi cu care lucrau, sau care le condiţionau
existenţa a fost activitatea practică. De asemenea că pentru
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile
diferitelor părţi ale corpului omenesc, cum sunt: cotul, palma,
piciorul, degetul; pentru măsurarea volumelor: vadra, ocaua, litra;
pentru măsurarea duratelor: ziua, noaptea.
Primele încercări de a stabili unele principii pentru elaborarea
unor etaloane au apărut abia în secolul al XVII-lea. Atunci s-a
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere
posibilitatea de a fi oricând refăcută.
La 10 decembrie 1799, Adunarea Naţională a Franţei a
adoptat, printr-un decret, prototipurile de platină ale metrului şi
kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi. Metrul, ca
unitate de măsură pentru lungimi, reprezenta a 40-a milioana parte
din lungimea meridianului pământesc care trece prin Paris, iar
kilogramul, ca unitate de măsură pentru mase, reprezenta masa
unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 4 0 C.
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale
Franţei, motiv pentru care au primit numele de „metrul de la
Arhive” respectiv „kilogramul de la Arhive”.
Poporul român a avut de-a lungul veacurilor atât etaloane
proprii, cât şi etaloane împrumutate de la alte popoare cu care a
stabilit legături comerciale. Cu un secol în urmă măsurarea
lungimilor se făcea cu cotul, stânjenul, palma, pasul, funia, iar
măsurarea volumelor se făcea cu găleata, vadra, ocaua, baniţa,
chila. Aceste etaloane, transmise la început prin obicei, au început
să fie reglementate la noi începând cu secolul al XVII-lea.
În anul 1830 s-a înfiinţat în Ţara Româneasca „Comisia
îndestulării şi îndreptării cumpenilor şi măsurilor”.
6

Primele încercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut în timpul Revoluţiei Franceze, dar au fost
respinse de autorităţile de atunci, pe motiv că introducerea lor va
produce „împiedicare şi învălmăşală”.
Abia în anul 1864, în timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric, obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866.
O dată memorabilă în istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875, când, la Conferinţa
diplomatică a metrului, un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri:
1. Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon;
2. Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi, ca
instituţie ştiinţifică internaţională;
3. Crearea unui Comitet Internaţional, care avea în
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi;
4. Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi în vederea „discutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metric”.
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie în anul 1881,
deşi sistemul metric a fost adoptat încă din timpul lui Al. I. Cuza.
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi îşi are originea în
timpul Revoluţiei Franceze, odată cu înfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea, la 22 iunie 1799, a celor două etaloane de platină
reprezentânt metrul şi kilogramul, la Arhivele Republicii Franceze.
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare,
independente unele de altele, celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor. Astfel el a propus încă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi, considerând că pentru a se putea
7

efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume: unitatea pentru lungime, unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată. Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric împreună cu secunda definită în
astronomie, ca sistem unic în toate ştiinţele naturii. El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pământului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul, gramul şi secunda). În anii care au urmat, Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice.
Aceste aplicaţii în domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson. Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atât mărimi
fundamentale cât şi mărimi derivate. În 1874, s-a introdus un
sistem , bazat pe trei mărimi mecanice: centimetrul, gramul şi
secunda, care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali. Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală, s-a bazat în mod deosebit pe acest
sistem. Mărimile acestui sistem din păcate, nu sunt foarte
convenabile în domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care,
prin anii 1880, s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice.
Printre ele se numărau: ohmul pentru rezistenţa electrică, voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric.
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor, ţinut
la Paris în anul 1881, s-a hotărât adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice, denumit sistemul CGS, bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul), unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda).
După înfiinţarea Convenţiei Metrului, la 20 mai 1875,
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane având la bază unităţile de lungime şi de masă. În anul
1889, s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime. Împreună
cu secunda astronomică, aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior, dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul, kilogramul şi secunda.
8

În anul 1901, Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice, cum ar fi ohmul sau amperul, pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile câmpului
electromagnetic în formă raţională. Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual. După revizuirea
Convenţiei Metrului, în 1921, propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută îndelung. În anul 1939, se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram, metru, secundă şi amper, propunere
aprobată în 1946.
În anul 1954, s-a aprobat introducerea amperului, a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale. Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat în 1960. La cea de-a 14a
Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi în anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă, aducând numărul total de unităţi
fundamentale la şapte.
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice. În fizică şi în metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi, pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale, ca bază a metode ştiinţifice.
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri, care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale, în special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vânzătorii şi cumpărătorii să poată măsura în manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură, bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale. Sistemul cel mai
folosit în ziua de azi e Sistemul Internaţional, care are şapte unităţi
de măsură de bază („fundamentale”), din care toate celelalte sunt
derivate.
Există şi ate sisteme, utilizate în diverse scopuri, unele încă
utilizate, altele doar istorice.
9

Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 10 24 10 21 10 18 10 15 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m µ n p f a z y
Factor 10 −1 10 −2 10 −3 10 −6 10 −9 10 −12 10 −15 10 −18 10 −21 10 −24
10

1. Reguli de utilizare
� Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul când sunt la
început de propoziţie), lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire): micrometru, miliamper, gigahertz.
� Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea, fără spaţiu, a simbolului prefixului de simbolul unităţii: μm,
mA, GHz. Întreg simbolul se scrie cu litere drepte, indiferent de
context.
� Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului, regulile se
aplică ca şi când unitatea de bază ar fi gramul: 1.000 kg = 1 Mg;
0,1 kg = 1 hg; 0,001 g = 1 mg.
� Nu este permisă utilizarea unui prefix singur, fără numele
unităţii la care se referă.
� Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate.
� În expresii unde unităţile sunt înmulţite, împărţite sau
ridicate la putere, operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix, nu asupra unităţii simple:
1 km² = 1 (km)² = 1×(1.000 m)² = 1.000.000 m²
� Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare împreună cu SI. Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min), oră (h) şi zi (d).
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime înseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură. Prin
convenţie internaţională, unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m).
Multiplii metrului:
-decametrul(dam); 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km); 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m.
11

Submultiplii metrului:
-decimetrul (dm); 1dm = 0,1 m
-centimetrul (cm); 1cm = 0,01m
-milimetrul (mm); 1mm= 0,001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitãţi de lungime
1 deget = 0,02 m
1 lat de palmã = 0,08 m
1 palmã = 0,24 m
1 cot = 0,48 m
1 picior = 0,32 m
1 pas = 0,96 m
1 braţ = 1,75 m
1 trestie (prãjinã) = 2,88 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milã = 1480 m
1 inch = 25,4 mm
1 ţol = 25,4 mm
1 picior = 12 ţoli = 0,3048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 0,9144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1,828798 m
1 milã terestrã = 1760 iarzi = 1609,344 m
1 milã USA = 1609,347 m
1 milã marinã = 1853,25 m
12

Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă:
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39, 3701 3,2808 1, 0936 - - -
Inch (in) 0, 0254 1 0, 0833 0, 0277 - - -
Foot (ft) 0, 3048 12 1 0, 3333 - - -
Yard (yd) 0, 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr)
201, 168 - 660 220 1 0, 125 0, 1085
Mila (mi) 1609, 344 - 5280 1760 8 1 0, 8684
Mila
marină
1853, 25 - 6080 2025, 4 9, 2121 1, 1515 1
13

Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate în ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stânjeni 1,67 km
Funie 4 prăjini = 12 st 26,76 m 24,24 m
Prăjină 3 stânjeni 6,69 m
Stânjen
(< lat. stadium)
8 palme
6 picioare
2,23 m
Cot 66,4 cm 63,7 cm
Palmă
10 degete
8palmace
27,875 cm 24,625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 20.5 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 2,9 mm 2,5 mm
14
1,97 m (Şerban vodă)
2,02 m (Constantin vodă)

Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stânjen pescăresc aprox. 1,5 m
Stânjen marin 1,83 m
Poştă aprox. 20 km (în funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Românească)
Pas mare 6 palme (Ţara Românească; Moldova)
Lat de palmă 1/2 palmă
Leghe 4 - 5,5 km
Probleme:
1. Un copil are lungimea pasului de 60 cm. Care este distanţa
de acasă şi până la şcoală dacă el face 1235 paşi?
Rezolvare:
60 � 1235 = 74100 (cm) = 741 (m).
.2. Pentru împrejmuirea unui teren cu 3 rânduri de sârmă, s-au
cumpărat 30 role de sârmă de 0,1 km fiecare. Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m , care este lungimea sârmei rămase?
Rezolvare:
1) Câţi m de sârmă se folosesc?
875 � 3 = 2625 (m)
2) Câţi m de sârmă s-au cumpărat?
0,1 � 30
= 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 – 2625 = 375 (m) (au rămas).
3. La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti. Ştiind că pentru un costum se folosesc 3,5 m de stofă,
iar 1m de stofă costă 27,50 lei, să se afle ce sumă s-a plătit pentru
întregul material folosit la confecţionarea costumelor.
Rezolvare: 1) Căţi m de stofă se folosec?
156 � 3,
5 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material?
546 � 27,
50 = 15015 lei.
15

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă înseamnă a afla de câte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură în aceea suprafaţă.
Oricărei suprafeţe îi corespunde prin măsurare un număr.
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este m² , adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m.
În măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
m², iar în măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii m².
Submultiplii m²
- decimetrul pătrat (dm²)
1m² = 100 dm 2 = 10 2 dm 2 ;1 dm 2 = 0,01 m 2
- centimetrul pătrat (cm 2 )
1m² = 10000 cm 2 = 10 4 cm 2 ; 1 cm 2 = 0,0001 m 2
- milimetrul pătrat (mm 2 )
1m² = 1000000 dm 2 = 10 6 mm 2 ;
1 mm 2 = 0,000001 m 2
1m² = 10 2 dm 2 = 10 4 cm 2 = 10 6 mm 2 .
Multiplii m²
- decametrul pătrat (dam²) 1dam² = 100 m 2 = 10 2 m 2 ;
- hectometrul pătrat (hm 2 ) 1 hm² = 10000 m 2 = 10 4 m 2
- kilometrul pătrat (km 2 ) 1 km² = 1000000 m 2 = 10 6 m 2
1 km² = 10 2 hm 2 = 10 4 dam 2 = 10 6 m 2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare:
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hm² = 10000 m 2
- arul (ar) 1 ar = 1 dam² = 100 m 2
- pogonul 1 pogon = 5000 m 2 = 0,5 ha.
Alte unitãti de măsură pentru suprafatã
1 Ţol pãtrat = 16, 387 cm 2
1 picior pãtrat = 9,2903 cm 2
1 iard pãtrat = 9 picioare pãtrate = 0,836126 cm 2
1 acru = 4849 iarzi pãtrati = 0,4047 ha
1 milã pãtratã = 640 acri = 258,97 ha
16

Cum depind unităţile de arie una de cealaltă:
Aria m 2 ar hectar in 2 ft 2 yd 2 acri
m 2 1 10 -2 10 -4 1 550 10, 7636 1, 1959 -
ar (a) 10 2 1 10 -2 - 1076, 36 119, 59 -
Hectar (ha) 10 4 10 2 1 - - 11959, 9 2, 471
in 2 (sq.inch) 6, 4516 10 -4 - - 1 - - -
ft 2 (sq.foot) 9, 29 10 -2 - - 144 1 0, 111 -
yd 2 (sq.yard) 0, 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (S.U.A) 4046, 87 40, 469 0, 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate în ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(

Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 m²
Ferdelă 1/4 pogon
Iugăr
Alte unităţi de suprafaţă
cât ară doi boi într-o zi
7166 m² (Transilvania la 1517); 0,5755 ha sau 1600
stânjeni pătraţi (mai târziu)
PROBLEME:
1. Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm, iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm.
L + 40
86
l
Rezolvare:
86 – 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 : 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm 2 ( aria).
2. Un fermier, măsurând un lot dreptunghiular, a găsit 217
paşi în lungime şi 161 paşi în lăţime. Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5, 25 m.
1)Lungimea în m este:
217 : 7 ٠ 5,25 = 31 ٠ 5,25 = 162,75 (m)
2) Lăţimea în m este:
161 : 7 ٠ 5,25 = 23 ٠ 5,25 = 120,75 (m)
3) Aria este:
162,75 ٠ 120,75 = 19652,0625 (m 2 ).
3. Un dreptunghi are perimetrul 480 m . Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decât lăţimea.
1) Semiperimetrul este:
480 m : 2 = 240 m
18

240
L
l
3) Lăţimea este 240 : 4 = 60 m.
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m 2 ).
4. Pe un lot agricol în formă de pătrat având perimetrul de
360m s-au cultivat roşii. Ştiind că pe fiecare m 2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut în medie 2, 5 kg roşii, să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe întregul lot ?
Rezolvare:
1) Latura pătratului este 360 : 4 = 90 m .
2) Aria lotului este 90 2 = 8100 m 2 .
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire).
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 2,5 = 121 500 (kg).
5. O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei, aşa cum
arată figura de mai jos. Aleile au lăţimea de 1,25 m. Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii, folosind datele din desen.
63,5 m
20 m
84 m
Rezolvare:
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este :
84 m – 1,25 m = 82,75 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este :
30,5 m – 1,25 m = 29,25 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este:
82,75 ٠ 29,25 = 2420,4375 (m 2 ) .
19
30,5 m

UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp înseamnă a afla numărul
care arată de câte ori se cuprinde o unitate de măsură în acel
volum.Unitate standard pentru volum este m³ şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m.
SUBMULTIPLII m³
- decimetru cub (dm³) 1m³=10³ dm³ (1dm³ = 0.001m³)
- centimetru cub (cm³) 1m³ =10 6 cm³ (1cm³=0,000001m³)
- milimetru cub (mm³) 1m³=10 9 mm³ (1mm³=0,000000001m³
1m³ = 10³dm³ = 10 6 cm³ = 10 9 mm³
MULTIPLII m³
-decametru cub(dam³) 1dam³=10³ m³
-hectometru ³(hm³) 1hm= 10 6 m³
-kilometru ³(km³) 1km³=10 9 m³
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al m³ este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior.
Alte unitãti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16,387 cm 3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 28,3173 dm 3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 0,76456 m 3
1 gal = 0,142 l
1 pint = 4 gali = 0,568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 1,1361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4,549 l
1 galon SUA = 4,549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36,368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290,942 l
1 baril = 36 galoane = 163,656 l
20

Volum m 3 Litru (L) Pinta
m 3
Litru (L)
Pinta
Quarta, UK
Galon, SUA
Galon, UK
Baril, SUA
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă:
21
Quarta,
UK
Galon,
SUA
Galon, UK Baril,
SUA
1 10 3 - - 264, 2 220 6, 2898
10 -3 1 1, 7598 0, 8799 - 0, 2199 -
- 0, 568 1 0, 5 - 0, 125 -
- 1, 136 2 1 - 0, 25 -
- 3, 785 - - 1 0, 8327 0, 0238
- 4, 546 8 4 1, 201 1 0, 0286
0, 159 158, 98 - - 42 34, 9714 1

Probleme
1. S-au transportat 43m³ cu o maşină în care încap
0,005dam³. Câte transporturi au fost efectuate?
Rezolvare
0.005 dam³ = 5m³
43 : 5 = 8,6 (transporturi)
R : au fost făcute 9 transporturi.
2. Câţi m³ de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
2,5m ştiind că grosimea ei este de 18cm.
Rezolvare
18cm = 0,18m
35 · 2,5 · 0,18 = 15,75 (m³)
3. Într-o cutie în formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm, 50cm şi respectiv 0,3m , un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm, 12cm,
respectiv 2cm, la un anticariat. Căte transporturi face elevul?
Rezolvare
4dm = 40cm
0,3m = 30cm
1) Volumul cutiei:
40 · 50 · 30= 60000(cm³)
2) Volumul unei cărţi:
25 · 12 · 2 = 600 (cm³)
3) Căte cărţi încap în cutie?
60000 : 600 = 100 cărţi
Având de transportat 160 de cărţi, înseamnă că face 2 transporturi.
22

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid.
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură.
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l).
Observaţii :
1. Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm 3 , adică
1l de lichid ocupă 1dm 3 .
2. Dacă se schimbă unitatea de masură, se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului.
3. Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului, iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului.
4. Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
.
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=0,1 l
centilitru(cl) 1cl=0,01 l
mililitru(ml) 1ml=0,001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitãţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 38,8 litri
1 sea = 12,9 litri
1 hin(ã) sau efa omer = 6,5 litri
1 omer sau isaron = 3,88 litri
23

1 cab = 2,2 litri
1 log sau cotil = 0,55 litri
Capacitãţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 6,5 litri
1 cab = 2,2 litri
1 log = 0,55 litri
1 galon imperial (gal.) = 4,545963 litri
1 galon USA = 3,785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate în ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 386.4 l
Vadră (Tină) 10 oca 15,20 l 12,88 l
Pintă 3,394 l
Oca 4 litre 1,520 l 1,288 l
Litră 25 dramuri 0,38 l 0,322 l
Dram 152,0 ml 128,8 ml
Chiup
Câblă
vas mare de lut
pentru lichide
O găleată de
grâu
Alte denumiri
24
30 - 40 l
Ferdelă 1/4 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale

Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate /
poloboc
25
80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stânjen (de
lemne)
Probleme:
8 steri
1. Pentru a-şi sarbători ziua de naştere, un elev cumpără
răcoritoare:4 sticle de 1,5 l; 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml.
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată?
Rezolvare:
250cl=2,5 l
500ml=0,5 l
Cantitatea este:
4∙1,5 + 3∙2,5 + 10∙0,5 = 6 + 7,5 + 5 = 18,5(litri)
2. Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 0,35m ,lăţimea de 2,5dm şi înălţimea de 46cm. Câti
litri de apă încap în acvariu?
Rezolvare:
L=0,35m, l=2,5dm, h=46cm
0,35m=3,5dm
46cm=4,6dm.
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=3,5∙
2,5∙4,6 = 40,25(dm 3 )
. 40,25dm 3 = 40,25l
3. Un robinet are debitul de
450litri pe oră. În cât timp va umple un bazin acest robinet, dacă
bazinul este în formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm,3m şi respective 10dm?

Rezolvare:
150cm=1,5m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=1,5 ∙3∙ 1 = 4,5 m 3
4,5m 3 = 4.500dm 3 = 4500 l
Timpul de umplere este:
4500 : 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decât un alt obiect. A măsura masa unui
obiect înseamnă a vedea de câte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură în
masa acelui obiect, adică a afla câte
unităţi de masă cântăresc tot atâta cât
obiectul respectiv.
Observatii:
1.Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cântărire.
2.Pentru a cântari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă.
3.Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cântarul.
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul.
Multiplii kilogramului:
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului:
-hectogramul(hg) 1hg=0,1kg
-decagramul(dag) 1dag=0,01kg
-gramul(g) 1g=0,001kg
-decigramul(dg) 1dg=0,1g=0,0001kg
-centigramul(cg) 1cg=0,01g=0,00001kg
-miligramul(mg) 1mg=0,001g=0,000001kg
26

1 kg înseamnă 1dm 3 de apă distilată aflată la temperatura
de 4 o C.
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 34,5 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minã = .5 kg = 50 sicli
1 siclu = 11,5 g = 20 ghere
1/2 siclu = 5,75 g = 10 ghere
1 gherã (1/20 siclu) = 0,57 g = valoarea cea mai micã
1 litrã = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 28,35 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453,592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 50,8 kg
1 tonã lungã = 2240 funti = 1016,047 kg
1 tonã scurtã = 2000 funti = 907,184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate în ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 516,4 kg 508,8 kg 22,5 l
Baniţă 40 oca 51,64 kg 50,88 kg
Oca 4 litre 1,291 kg 1,272 kg
Litră 322,75 g 318 g
Dram 3,38 g 3,38 g
Funt / livră 0,5 kg
Probleme:
27

1.Câte pachete de napolitane se află într-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g, cutia goală cântăreşte 350 g, iar
plină cântăreşte 4,1 kg?
Rezolvare:
4,1 kg = 4100 g
1) Cât cântăresc toate napolitanele?
4100g - 350g = 3750 g
2) Câte pachete sunt?
3750:75=50(pachete)
R: 50 pachete
2. Câte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material, dacă el poate încărca 4500 kg?
Rezolvare:
4500kg = 4,5 t
40 : 4,5 = 8,(8
3.O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu câte 25
de comprimate, fiecare comprimat cântăreşte câte 25 g. Cutia
goală cântăreşte 20 g, iar tubul gol 5 g. Cât cântăreşte cutia cu
medicamente?
Rezolvare:
1)Cât cântăresc comprimantele dintr-un tub?
25 ∙ 25 = 625g
2) Cât cântăreşte un tub plin?
625 + 5 = 630 g
3)Cât cântăresc toate tuburile?
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cât cântăreşte cutia cu medicamente?
12600 + 20 = 12620 g
R: 12620 g
28

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme, oamenii au observat în natură, fenomene
care se repetă. De exemplu, înşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor. Ei au pus schimbările observate în
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparându-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate, cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi,
durata în care se schimbă cele 4 anotimpuri etc.
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s).
Alte unităţi de timp:
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămâna (are 7 zile)
-luna are 28,29,30,31 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
* 1 an are 365 de zile( sau 366 de zile în
ani bisecţi când februarie are 29 de zile)
* Anii bisecţi se repetă din 4 în 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4.
* Instrumentele de măsură pentru timp sunt: ceasul, cronometrul,
clepsidra.
Probleme
1. Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute .Cât timp a durat drumul?
7h58min - 7h35min = 23min
2. Câte zile au la un loc anii
1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996?
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996, deci 2 ani.
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
29

3. Câte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 până la 19 decembrie
2003 inclusiv?
Observăm că 2003 nu este bisect.(are 365 zile)
Rezolvare:
Ianuarie are 31 zile, februarie 28 zile, martie 31 zile, aprilie 30
zile, mai 31 zile, iunie 30 zile, iulie 31 zile, august 31 zile,
septembrie 30 zile, octombrie 31 zile, noiembrie 30 zile, decembrie
19 zile.
Numărul de zile este:
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile.
Altă rezolvare:
1) Câte zile nu sunt numărate din decembrie?
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4. Ioana pune o prăjitură în cuptor la ora 18 şi un sfert.
Prăjitura trebuie să se coacă într-o oră şi 10 minute. La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor?
5. Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă în 30 de minute.
La ce oră va ajunge acasă?
6. Victor vrea să înregistreze un film care începe la orele 21 00
şi se termină la orele 24 00 .
Cât durează filmul?
7. Pe uşa unui magazin era următorul anunţ: ,,Închis zilnic
între orele 15-17.’’.
Câte ore dintr-o săptămână este magazinul respectiv închis?
8. Un tren care trebuia să sosească în gara din Buzău la orele
15 30 are întârziere 1 oră.
La ce oră va ajunge trenul acum în gara din Buzău?
30

ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE. CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMÂNIEI
Baterea de monedă pe teritoriul actualei Românii începe în
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră, aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială. Într-adevăr, în secolul IV
î.Chr, la Histria, Calatis, Tomis şi Dyonisopolis, existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar), tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei. După ce au
cucerit provincia, în 71 î.Chr., romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios, dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz. Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a încetat definitiv în jurul anului 245 a.D.
Monede folosite în vechime
1 siclu = 16,36 g (aur) = 14,54 g (argint)
1 jumãtate de siclu = 8,18 g (aur) = 7,27 g (argint)
1 drahma = 4,09 g (aur) = 3.65 g (argint)
1 didrahma = 8,18 g (aur) = 7.30 g (argint)
1 statirul = 8,52 g (aur) = 14.6 g (argint)
1 dinar = 4,5 g (argint)
1 codrantes = 0,0703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49,077 kg (aur) = 43,62 kg (argint)
1 lepta = 0,035 g (argint)
Important: Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede, ci denumiri ale sumelor monetare mari.
31

Monedele dacilor
Monedele fabricate în coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală. În restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi, sau, după cucerirea
Macedoniei de către romani, dinarii
republicani. În jurul anului 280 i.Chr, apar în
circulaţie monede din argint bătute de către
daci în propriile lor ateliere. Imitând ca desen
pe cele macedonene sau romane, monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau. Aşa se explica
faptul că, deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic, monedele dacilor circulau
în paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau.
Cucerirea Daciei de către romani în 106 a.D. a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor. Comerţul zonei, devenită provincie
romană, a fost acaparat de monedele imperiale, a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 a.D. până la căderea
Romei în 476 a.D.
Circulaţia monetară în secolele V – XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus în actualitate trocul. Deşi diminuată, circulaţia monetară
până în secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin). Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma în spaţiul
vechii Dacii - poporul român. În secolul XII, odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de români: Ungaria, Polonia,
Serbia şi Bulgaria, monedele acestora au înlocuit în circulaţie pe
cele bizantine. Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei, favorizând patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti), înlocuite la
32

ândul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei. De la numele acestor banali s-a format în limba româna
cuvântul "ban", care desemnează atât moneda ca atare, cât şi
monedele de valoare mică - maruntişul. Astăzi "banul", chiar dacă
auzim mai rar de el, este subdiviziunea monedei naţionale.
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
În 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine în
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite. În 22.04/04.05.1867
„Legea pentru înfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionale” este promulgată. Unitatea monetară
este leul divizat în 100 de bani, fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine, bazat pe bimetalism (aur şi
argint). 1 leu trebuia să cîntărească 5 grame şi să conţină 4,175
grame de argint curat. Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa, Elveţia, Belgia, Italia şi Grecia. Luxemburg, Spania, Serbia,
Muntenegru, Vaticanul şi România au utilizat acest sistem monetar.
În Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese în valoare de 5 unităţi,
din argint cu titlul 90.0%, piese de 0.50, 1 şi 2 unităţi, din argint cu
titlul 83.5%, precum şi piese de aur de 90.0% (10, 20, 50 sau 100
de unităţi). România nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine, deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii.
În 01.01/13.09.1868 Legea intră în vigoare.
Cursuri bancare obişnuite pentru leul românesc în secolul XIX:
Paris: 100 lei = 99,16 ... 99,91 franci
Berlin: 100 lei = 79,13 ... 81,14 mărci
Londra: 100 lei = 4 lire sterline
În 24.02/08.03.1870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului, unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint.
33

În 01.12/13.12.1873 monedele străine - ruseşti, austriece sau
turceşti - şi-au încetat oficial circulaţia în ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni, ministru de Finanţe).
În 04.05/16.05.1877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti. O dată cu intrarea trupelor ruseşti în ţară, rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu în România, rubla fiind
supraevaluată.
În 12.06/24.06.1877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30.000.000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului, prima hîrtie-monedă din România.
În 17.04/29.04.1880 Legea pentru înfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune „Banca Naţională a României” (capital de
12.000.000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă, sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (1/3 din acţiuni fiind
ale statului şi 2/3 ale deţinătorilor particulari).
În 29.05/10.06.1889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur), ce intră în vigoare pe
17/29.03.1890. 1 leu este echivalent cu 1/3 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90%. Emisiunile de hârtie-monedă trebuiau să fie
acoperite în proporţie de 40% cu aur.
În 01.11.1920 - 1921 are loc Unificarea monetară. Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria, de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane, prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR.
În 07.02.1929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului în aur).
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90%. Un leu aur este
egal cu 32 de lei hîrtie. Biletele de bancă emise de BNR sînt
convertibile în aur, dar numai în cazul sumelor mai mari de
100.000 de lei.
În 15.08.1947 se produce stabilizarea monetară: 1 leu nou =
20.000 lei vechi. În urma reformei un leu valora 6,6 miligrame de
aur cu titlul 90%. La stabilizare, fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani, suma posibil de schimbat de un
om fiind între 1,5 şi 7,5 milioane de lei vechi, în funcţie de ocupaţia
prezentatorului.
34

De la 1 Iulie 2005, moneda românească a fost denominată
astfel încît 10.000 lei vechi au devenit 1 leu nou. În acest fel a
revenit în circulaşie subdiviziunea leului - banul. Valorile: 100,
500, 1000 şi 5000 lei au devenit: 1, 5, 10 şi 50 bani. Însemnele
monetare vechi au fost valabile pâna la data de 31 decembrie 2006.
Astfel în circulaţie în prezent există monede de 1 ban, 5 bani,
10 bani, 50 bani şi bancnote de 1 leu, 5 lei, 10 lei, 50 lei, 100 lei,
200 lei, 500 lei.
1 leu = 100 bani.
EURO (simbol EUR sau €) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană. Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat în circulaţie pe 1
ianuarie 2002, dar anul emiterii lor poate să
meargă înapoi până în anul 1999, când
moneda a fost lansată oficial. Un euro este
divizat în 100 cenţi.
Pentru monede există opt denominaţii diferite:
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
0,01 €
2 cenţi |
0,02 €
5 cenţi |
0,05 €
10 cenţi |
0,10 €
20 cenţi |
0,20 €
50 cenţi |
0,50 €
16,25 mm 1,67 mm 2,30 g
18,75 mm 1,67 mm 3,06 g
21,25 mm 1,67 mm 3,92 g
19,75 mm 1,93 mm 4,10 g
22,25 mm 2,14 mm 5,74 g
24,25 mm 2,38 mm 7,80 g
35
Oţel cu
înveliş de
cupru
Oţel cu un
înveliş de
cupru
Oţel cu înveliş
de cupru
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă
Netedă cu o
canelură
Netedă
Cu crestături
fine
Netedă (cu
şapte spaţii)
Cu crestături
fine

1 euro |
1,00 €
2 euro |
2,00 €
23,25 mm 2,33 mm 7,50 g
25,75 mm 2,20 mm 8,50 g
36
Interior: aliaj
de cuprunichel
Exterior:
nichel-bronz
Interior:
nichel-bronz
Exterior: aliaj
de cuprunichel
Şase segmente
alternante, trei
netede, trei
zimţate
Zimţată,
inscripţionată

1. Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px.
Construiţi punctul Q � [Px, astfel încât [AB] � [PQ].
P1: Dăm compasului deschiderea [AB].
P2: Fixăm vârful compasului în punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px în D.
( Instrumente: compas)
2. Construcţia, cu rigla şi compasul, a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB]. Construiţi punctul M �
[AB] astfel încât [AM] � [MB].
P1: Fixăm vârful compasului în A, dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc.
P2: Fixăm vârful compasului în B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc.
P3: Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce).
P4: Notăm {M}=PQ � AB .
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] � [MB]).
37

3. Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM. Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB.
(i) Construcţia cu raportorul:
P1: Să află m (

(ii) Construcţia cu compasul:
P1: Fixăm vârful compasului în O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA în D şi [OB în E.
P2: Fixăm vârful compasului în Q şi, păstrând aceeaşi deschidere a
compasului, trasăm un arc de cerc care intersectează QM în P.
P3 : Dăm compasului deschiderea [DE].
P4 : Fixăm vârful compasului în P (păstrând deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat în N (� DOE � � PQN deci � AOB � �
MQN).
4. Construcţia triunghiurilor
1. Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscând două laturi şi
unghiul cuprins între ele.(Cunoaştem BC = a, AC=b şi m (� C)= �).
P1: Desenăm �XCY astfel încât m(� ZCY) =�.
P2: Pe semidreaptă [CX construim punctul A, cu CA = b.
P3: Pe semidreapta [CY construim punctul B, cu BC = a.
P4: Punem în evidenţă [AB].
(Instrumente folosite:
rigla gradată şi
raportorul)
39

2. Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscând două unghiuri
şi latura cuprinsă între ele.
(Fie m (�A) =�; m (�B) = � şi AB = c).
P1: Cu rigla gradată construim AB = c.
P2: Cu ajutorul raportorului, construim [Ax astfel încât m(�
BAx) = �.
P3: Cu raportorul, construim [BY astfel încât m (< ABy) =
�.
P4: Notăm [Ax � [BY = {C}.
Obs! Dacă �+� � 180� triunghiul nu se poate construi.
3. Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscând cele 3 laturi ale
sale. (Fie AB = c; AC = b; BC = a).
P1: Cu rigla gradată construim AB = c.
P2: Cu compasul, construim cercul cu centrul în B, şi cu
raza a.
P3: Construim, cu compasul, cercul cu centrul în A şi cu
raza în b.
P4: Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem în evidenţă [AC] şi [BC].
40

Obs!
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante, adică
dacă �b-a� � c � b+a* . În această situaţie, avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi C’).
Dacă inegalitatea * nu este verificată, problema nu are
soluţii.
5. Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască, dintr-un punct dat A, perpendiculara
d’ pe dreapta dată d.
Construcţia cu riglă şi compas
P1: Trasăm un cerc cu
centrul în A şi cu raza r ( r
mai mare decât distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d în B şi C.
P2: Deschidem compasul
pe o rază R>r şi trasăm
cercul cu centrul în B.
P3: Cu deschiderea R,
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E ).
P4: Punem în evidenţă d’=DE ( evident, A � d’).
41

6. Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi � xOy, construiţi, cu rigla şi
compasul, bisectoarea [OM.
P1: Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r, şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A,
respectiv B (A � [OX;
B � OY).
P2: Construim
cercul cu centrul în A şi
aceeaşi rază r.
P3: Construim
cercul cu centrul în B şi
raza r.
P4: Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem în evidenţă [OM.
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB], construiţi CD=d astfel încât
CD�AB şi ( dacă [AB]�[CD] = M ) [AM]�[MB].
P1: Construim cercul cu centrul în A şi raza r ( r = AB).
P2: Construim
cercul cu centrul în
B şi raza r.
P3: Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem în
evidenţă d = CD (
eventual, M =
CD�AB).
42

Există figuri geometrice care “seamănă”, dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea. Intuitiv, două
triunghiuri sunt asemenea dacă 'seamănă', adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare. Este evident că nu întotdeuna triunghiurile sunt
'frumos aliniate' ca în figura de mai sus. De cele mai multe ori, ele
sunt 'rotite, răsucite, inversate', adică aşezate în aşa fel încât să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de.... iarbă verde!
� Ca şi relaţia de congruenţă, relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vârfurilor, corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente. Aşadar, când scriem asemănarea a două
triunghiuri, trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente.
� Fie triunghiriel ABC şi MNP. Aceste triunghiuri sunt
asemenea. Ele au :
�A
� �M
�B
� �N
�C
� �P
AB
MN
43
�
BC
MN
�
AC
MP
Dacă între două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem � ABC ~ �MNP
Perechile de unghiuri � (A, P), � (B, M), � (C, N) şi perechile de
laturi ( AB, MN), (BC, NP), (AC, MP) se numesc corespondente
sau omoloage .
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare.
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1

.
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează � ABC ~ �AMN
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente.
44

B
D
DEMONSTRAŢIE :
Tales AM AN
MN BC � �
AB AC
,
� B � �M,
�C
� �N
(1) ; Fie P �(BC) a.î. NP AB.
Obţinem în mod analog egalitatea
BP AN
� (2) ; pe de altă parte
BC AC
MNPB paralelogram � MN � BP(3)
; din (1), (2) şi (3) rezultă
� ABC ~ �AMN
A
OBSERVAŢII :
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales având
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă, referindu-se la toate laturile
triunghiurilor .
2) Teorema asemănării rămâne valabilă şi în cazul în care
segmentul MN se afla în exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri).
PROPRIETĂŢI :
i) � ABC ~ �ABC
(reflexivitate) ;
ii) � ABC ~ �MNP
� �MNP
~ �ABC
(simetrie)
P
45
E
C

�ABC
~ �A'
B'C'
�
iii) � � �ABC
~ �A''
B''C'
' (tranzitivitate)
�A'
B'C'
~ �A''
B''C'
'�
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea � au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente.
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea � au o pereche de
unghiuri congruente.
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea.
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea.
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea.
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu:
- raportul bisectoarelor;
- raportul înălţimilor;
- raportul medianelor;
- raportul razelor cercurilor înscrise;
- raportul razelor cercurilor circumscrise.
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea. Este suficent să verificăm doar două condiţii. Ca şi la
congruenţa triunghiurilor, aceste teoreme se numesc criterii.
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care îl formează proporţionale.
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente.
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale.
46

Demonstraţie: luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP.
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB. Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării.
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe rând :
1. AC AB
� , � A � �P
PM
A
PN
� A � �P,
�C
� �M
2.
AC
3. �
PM
AB
PN
M
�
CB
MN
APLICAŢII
1. În orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea înălţimii corespunzatoare ei este constant.
B
P
Ducem înălţimile AM, BN, CP.Vrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN.
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel.
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC .
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice; deci au un unghi drept, iar
unghiul ACM este comun.
Putem scrie că BC BN
� rezultă că BC∙AM=AC∙BN
AC
AM
47
N
C

2. Determinatţi distanţa de la un observator aflat în punctul B de
pe mal, la copacul A de pe malul celălalt.
Se realizează din ţăruş, conform desenului, un triunghi ABC şi
un segment DE, paralel cu BC, astfel încât punctele A, D, B şi
respectiv A, E, C să fie coliniare.
Din teorema fundamentală a asemănării, pentru triunghiul ABC şi
paralela DE║BC avem , adică AD= .
Toate lungimile DE, DB, BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul).După măsurători calculul e simplu
utilizând formula de mai sus, ne dă distanţa AD
3. Un vânător are o puşcă AB, lungă de 1,20 m. Partea
AD de la un capăt al puştii până la trăgaci este 1/3 din puşcă. El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de el.Dar
vânătorului îi tremură mâna şi din cauza aceasta , în momentul
când apasă pe trăgaci puşca se roteşte în jurul capătului A astfel
încât punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm.
Cu câţi m deasupra ţintei trece glonţul?
AC=100m =10000cm . DE=2mm=0,2cm,
48
B
C
D
E
A

AB=1,20m=120cm, �AD=40cm
DE ||MC �� ADE~ �
ACM �
�MC=50cm=0,5m
4. Determinarea înălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet).
� ABC~ � DCE
A
B C E
49
D

Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul.
[AE bis�ABC
BE
�
CE
Demonstratie
AB
AC
[ AEbisectoare
� �BAE
� EAC
50
A
B
E C
" �"
MC AEsiBM sec.
� �BAE
� �Mcorespondente
MC AEsiACsecanta
� �EAC
� �ACM
( alterne � int erne)
deci�M
� �ACM
( tranzitivitate
) � �ACMisoscel
� [ AC]
� [ AM]
AB BE
MC AE � � ( Thales),
cum[
AC]
� [ AM]
�
� Demonstratie AM EC(
teorema reciproca)
BE
"
�"
MC AE � �
EC
� [ AM]
� [ AC]
�
� �ACMisoscel
� �ACM
� �M
;
AE CM , BM sec.
� �BAE�
�M
( corespondente)
AE CM , ACsec.
� �EAC�
�ACE(
alt.
int)
Deci�BAE�
�EAC(
tranzitivitate
) � [ AEbis.
�BAC
BE
EC
BA
BE AB
AB
( Thales),
cum � ( ipoteza)
�
AM
EC AC
AM
�
AB
AC
�
AB
AC
M

Teorema lui Menelaus
A
'
B
C
� O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
A',B',C' . Atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .
� Reciproca : Daca A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C'
apartine lui AB si daca A',B',C' sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1
coliniare .
atunci punctele A',B',C' sunt
51
C
'
A
B
'
Teorema lui Ceva
Fie ABC un triunghi şi
punctele M���AB, N���BC
şi P���AC astfel încât MA =
�MB, NB = �NC, PC =
�PA. Atunci dreptele AN,
BP, CM sunt concurente
dacă şi numai dacă ��� =
��.
Demonstraţie:
Notăm {O} = BP AN, {S} = MC AN. Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM. Se obţine
relaţia MA : MB • CB : CN • ON : OA = 1 sau (ON:OA) = [1:α(1-

β)], (1). Din teorema lui Menelau în triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem: BN : BC • PC : PA • SA : SN = 1, de unde rezultă că:
SA : SN = 1: γ • (1- 1:β), (2).
Dreptele AN, BP, CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S.
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 : γ [(β-1) : β] sau
(1-β) • (1 + αβγ) = 0.
Dacă β ≠ 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată.
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate.
Reciproca teoremei lui Ceva
“Dacă pe laturile [AB], [BC], [AC] se iau punctele
M, N, respectiv P astfel încât verifică relatia:
MA
�
MB
NB
NC
atunci AN, BP si CM sunt concurente .
�
PC
PA
Demonstraţia se face prin reducere la absurd.
Presupunem că AN nu trece prin O, {O}= CP�BM. Fie
AO�BC={N’}. Aplicând teorema lui Ceva pentru punctele M, P si
N’ şi comparând cu relatia din enunţ ob-inem ca N = N’
52
�1

Studiul de faţă îşi propune să evidenţieze două metode
“spectaculoase” de calcul ariei unui pentagon.(O figură geometrică
mai puţin întâlnită în geometria plană din gimnaziu)
De menţionat,că deşi atipice, metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe “tehnice”.
Aşadar, folosind doar formula de bază pentru calcul ariei, şi
anume : vom rezolva trei probleme deosebite,
toate bazate pe aceeaşi idée, din care se poate învăţa foarte mult.
Vom trece ,mai întâi, în revistă următoarele rezultate:
� O caracterizare a trapezelor:
În trapezul ABCD, în care AB este paralelă cu CD, fie O
intersecţia diagonalelor. Are loc egalitatea:
Este important de observat că ,dacă, într-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus, atunci AB şi CD sunt paralele, adică
ABCD este trapez sau paralelogram. (1)
� Un produs de arii:
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri în care
diagonalele împart
triunghiul. Atunci
are loc egalitatea:
(2)
53

Acestea fiind zise, să considerăm urmatoarea problema:
� Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că:
Să se determine aria pentagonului.
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
,USAMO)
Să observăm mai întâi că din egalitatea
.
În mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa.
Astfel, patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare,
.
În trapezul ABCE introducem notaţiile:
54

Folosind (2) obtinem repede că:
Pe de altă parte:
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim:
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu:
� Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează în interiorul
pentagonului în punctele P,Q,R,S si T. Se stie ca :
. Să se se
calculeze aria pentagonului. (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia,1995)
55

Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notând
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că :
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma:
Şi de aici obţinem:
Acum,cum x depinde doar de s, avem
Pe de altă parte, avem şi :
Înlocuind şi efectuând calculele rezultă că , apoi
56
şi în fine:

O” bijuterie” pentru final
� In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O. Prin O se
duc trei drepte, fiecare intersectând câte două din laturile
triunghiului, care determină trei triunghiuri de arii mai mici, de
arii . Notăm cu S aria triunghiului ABC. Să se arate că:
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură, printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat:
57

Un pic de istorie:
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid, având 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii. De-a lungul istoriei el a devenit un ring
în interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele. Deşi cel mai ,,sărac” dintre poligoane el poate fi considerat
,,vedetă” a geometriei elementare.
Victor Thebault(Belgia), Jacques Hadamard (Franta), Fr.
Morley (SUA), fizicianul Evangelista Torricelli, chiar Napoleon
Bonaparte iată câteva nume care au gravitat în jurul ABC-ului…
Iar dintre matematicieni români Traian Lalescu, Dimitrie Pompeiu,
Gh. Mihoc, C.I.Bujor, Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi.
Inegalităţile geometrice sunt tot atât de vechi ca geometria
însăşi.În celebrele ,,Elemente” ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi între laturile unui triunghi, cea mai
semnificativă fiind:,, într-un triunghi, suma a două laturi este
întotdeauna mai mare decât a treia latură”, considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice.
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°.
Consecinţe.
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60°.
2) In orice triunghi dreptunghic, unghiurile ascuţite sunt
complementare. Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45°.
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz.
Teoremă: Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului, neadiacente
lui.
58

Teoremă: Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vârf al unui triunghi sunt perpendiculare.
Triunghiul isoscel
Definitie: Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel.
Teoremă: Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente.
Teoremă: Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
înălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă în mediatoarea
bazei.
Teoremă: Dacă un triunghi este isoscel, atunci înălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă în mediatoarea bazei.
Teoremă: Dacă un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
înălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă în mediatoarea
bazei.
Observaţie: In triunghiul isoscel ABC, AB=AC, dreapta AD, care
conţine atât bisectoarea unghiului

Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem:
Teoremă: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci el
este isoscel.
Teoremă: Dacă într-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului, atunci triunghiul
este isoscel.
Teoremă: Dacă într-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
înălţime, atunci triunghiul este isoscel.
Teoremă: Dacă într-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi înălţime, atunci triunghiul este isoscel.
Triunghiul echilateral
Definiţie: Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral.
Teoremă: Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente,
având măsurile egale cu 60°.
Având în vedere definiţia triunghiului echilateral, precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza.
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral.
Teoremă:.Intr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vârf coincid.
Observatie: Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie.
A
B C
60

Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme:
Teoremă: Dacă într-un triunghi unghiurile sunt congruente, atunci
triunghiul este echilateral.
Consecinţă: Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60°, atunci el este echilateral.
Teoremă: Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60°, atunci el
este triunghi echilateral.
Triunghiul dreptunghic
Definitie: Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic.
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic, ce sunt foarte des folosite în rezolvarea
problemelor. Dea semenea, demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel, respectiv echilateral.
Teoremă: Dacă într-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30°, atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei.
Demonstraţie. C
A B
D
Fie DєAC asfel încât Aє(CD), AC=AD
In triunghiul BCD, [BA] este înălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie), deci este isoscel. In plus, m(

=60°, de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral. Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD/2 rezultă că AC=BC/2.
Teoremă: Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei.
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc în triunghi este ”Intr-un triunghi, la unghiul mai mare
se opune latura mai mare”. Aceasta la rândul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există între un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui.
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decât măsura oricărui unghi interior triunghiului, neadiacent lui.
A N
M
B C
X
Demonstratie: Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel încât
BM=MN.
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (L.U.L.) rezultă că

Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc.
A
M
B C
Demonstratie:
Fie triunghiul ABC, AB < AC şi Mє[AC] astfel încât
AB=AD. Atunci triunghiul ABM este isoscel, deci
m(

Observatie: Aceste relaţii ne ajută să ordonăm, după lungimile lor,
unele linii importante în triunghi şi anume: bisectoarea fată de
mediană, bisectoarea faţă de înălţime, mediana faţă de înălţime.
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi, lungimea oricărei laturi este strict mai mică decât
suma lungimilor celorlalte două laturi.
D
B C
Demonstraţie: Fie triunghiul ABC. Pe prelungirea laturii AB,
construim AD=AC.
In triunghiul isoscel ADC avem că

Teorema 5 : Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decât modulul diferenţei celorlalte două.
Demonstratie:
Notam cu a,b,c lungimile celor trei segmente. Conform
consecinţei de mai sus avem că a+b>c si a+c>b, de unde a>c-b şi
a>b-c, sau a>Ib-cI. Analog se arată şi celelalte inegalităţi.
Reciproc, din a>Ib-cI se obţine a>c-b şi a>b-c, sau a+b>c şi
a+c>b. Folosind şi celelalte inegalităţi, în final obţinem că orice
număr este strict mai mic decât suma celorlalte două.
Observatie: Dacă trei puncte A,B,C sunt coliniare, spunem că
triunghiul ABC este degenerat. Intr-un triunghi degenerat, exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate.
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente).
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel încât ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1.
Atunci m(m(B1C1.
Aplicaţii.
1.Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(

i)MB+MC

1
6
4
5
7
9
3
67

GEOMETRICE
ORIZONTAL:
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180.
2) Amabil… pe jumătate!; segmental ce uneşte vârful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse.
3) O ,,bucată” de cerc; unghiul având măsura egală cu a
suplementului său; segmental cu capetele C si D.
68

4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru; după aceea.
5) Straiul oii; faţă cu capul în nori.
6) Compoziţie musical- dramatică în care replicile cantata
alternează cu cele vorbite; GC + ICT 100
7) Notă muzicală; legarea a două sau a mai multe conducte
electrice;
8) Soluţe pentru lipit; avantaj; articol nehotărât;
9) Dânşii; solicit; SECTE… amestecate;
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
……………. interne; unghiul format de semidreptele [NC şi [NE.
11) Instrument muzical de suflat, în formă de tub, cu găuri şi
clape; navă mică folosită pentru călătorii de plăcere.
12) Formă de organizare în societatea primitivă; prefix pentru
perpendicularitate.
13)Semidreaptă cu originea în vârful unghiului ce împarte unghiul
în două unghiuri congruente; olimpic.
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului; triunghiul cu două laturi congruente; tub
avocalic.
2) Omenos; extremităţile axei de rotaţie a Pământului; înmulţit.
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă; prăpastie.
4) Limpede; mulţimea literelor din care este format cuvântul
COLIBE.
5) Putem la final! CENT răsturnat; ite încurcate.
6) Dreaptă perpendicular pe segment în mijlocul acestuia; OLT pe
maluri.
7) Pătratul cu vârfurile E,D,R şi M; ANTERIOR încurcat la sfârşit!
8) NIE 100+ IN; EUROPA(abrev.); pronume posesiv.
9) Perechea caprei; era mezozoică… la final(masc)!SENIOR
sărăcit de consoane!
10) De la Polul Sud.
11) ORA la final; Pâinea, pe la noi; prefix pentru ,,egal”.
12) Segemente cu lungimi egale.
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate în
semiplane diferite, determinate de dreapta suport a laturii comune;
formează scheletul(sg).
69

BIBLIOGRAFIE :
1. VECHI ŞI NOU ÎN MATEMATICĂ Autor: Viorica T.
CÂMPAN, editura Ion Creangă – 1978, pag.37;
2. CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor: Viorica T.
CÂMPAN, editura Ion Creangă – 1972, pag.6, 34-43,52-53, 57-59;
3. DIN ISTORIA MATEMATICII Autor: I.DEPMAN,
editura A.R.L.U.S. – 1952, pag.74-75, 86-87;
4. MISTERELE MATEMATICII Autor: Jhonny BALL,
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ;
5. ARITMETICĂ, ALGEBRĂ (vol. I şi II ) Autori: Dan
Brânzei, Dan Zaharia ş.a. editura: Paralela 45, 2007.
6. GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori: M.
Rado, A. Coţa ş.a. Editura Didactică şi pedagogică, Bucureşti,
1986
7. VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori:
F. Câmpan Editura: Ion Creangă, Bucureşti, 1984
8. DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor:
Tori Large Editura: Aquila, 2004.
9. ARII Autor Bogdan Enescu Gil,2006 ,
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE, Autori
Titu Andreescu ,Bogdan Enescu , Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
70