Teoria elementara a numerelor(curs si seminar, Ciclul I: Licenta ...

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVAAprobat din anul univ.Facultatea de matematică şi informatică 2009-2010Departamentul de matematicăDomeniul fundamental : MATEMATICASpecializarea: MATEMATICAForma de învăţământ: cursuri de ziDurata studiilor : 3 aniFIŞA DISCIPLINEITeoria elementară a numerelorTitular curs: Lect.dr. Florentina ChirteşCod: M2306Ciclul I : LICENTAAnul II, Semestrul III, Curs 28 ore, Seminar 28 oreNr. credite: 5Domeniu: MatematicăTip disciplină: obligatorieCategoria formativă: disciplină fundamentalăObiective: Prezentarea celor mai importante rezultate legate de teoria elementară a numerelor(teoreme referitoare la numere prime, resturi pătratice, fracţii continue, ecuaţii diofantice, etc.).Discipline anterioare cerute: Logică şi teoria mulţimilor, algebră abstractă.Forma de evaluare: Examen (E)Conţinut:A. Elemente de aritmetică. Divizibilitate pe N. Divizibilitate pe Z. Teorema fundamentală aaritmeticii. Congruenţe pe Z. Teoremele lui Euler, Fermat, Wilson. Teorema chinezească aresturilor.B. Mulţimea numerelor prime. Teoreme referitoare la infinitatea numerelor prime (cazuriparticulare ale teoremei lui Dirichlet). Ciurul lui Eratostene. Teorema Bertrand-Cebâşev.Inegalităţile lui Cebâşev. Teorema lui Scherk. Numere prime gemene.C. Clase speciale de numere întregi. Numere de tip Fermat. Numere de tip Mersenne.Numere de tip Fibonacci. Alte cazuri speciale de numere.D. Funcţii aritmetice. Generalităţi. Operaţii cu funcţii aritmetice. Funcţii multiplicative.Funcţii complet multiplicative.E. Resturi pătratice. Generalităţi. Simbolul lui Legendre. Legea reciprocităţii pătratice. Altecazuri particulare ale teoremei lui Dirichlet.F. Fracţii continue. Proprietăţi elementare. Aproximări ale numerelor reale prin numereraţionale. Fracţii periodice şi pur periodice.G. Teoreme de reprezentare pentru numere întregi. Reprezentarea unui număr natural casumă de două pătrate de numere întregi. Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de patru pătratede numere întregi. Scrierea numerelor naturale sub forma x 2 +2y 2 . Alte teoreme de reprezentare anumerelor întregi.H.Ecuaţii diofantice.Ecuaţia ax+by+c=0, a,b,c∈Z;

Ecuaţia x 2 +y 2 =z 2 ;Ecuaţia x 4 +y 4 =z 4 ;Ecuaţii de tip Pell : x 2 -Dy 2 =±1, D∈N;Ecuaţii de tipul: ax 2 +by 2 +cz 2 =0, a,b,c∈Z;Ecuaţii de tip Bachet;Rezolvarea în numere întregi a sistemelor de ecuaţii liniare.I.Puncte laticeale în plan şi spaţiu. Puncte laticeale în plan. Puncte laticeale în spaţiu.Bibliografie:1. Buşneag D., Maftei I.: Teme pentru cercurile şi concursurile de matematică ale elevilor,Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1983.2. Buşneag D.: Teoria grupurilor, Editura Universitaria, Craiova, 1994.3. Buşneag D., Boboc Fl., Piciu D.: Aritmetică şi teoria numerelor, Editura Universitaria,1999.4. Buşneag D., Chirteş Fl., Piciu D.: Complemente de aritmetică şi teoria elementarănumerelor, Ed. Gil, Zalau, 2007.5. Cucurezeanu I.: Probleme de aritmetică şi teoria numerelor, Editura Tehnică, Bucureşti,1976.6. Hincin A.I.: Fracţii continue, Editura Tehnică, Bucureşti, 1960.7. Mc. Carthy: Introduction to Arithmetical Functions, Springer-Verlag, 1986.8. Panaitopol L., Gica L.: Probleme celebre de teoria numerelor, Editura Universităţii dinBucureşti, 1998.9. Popescu D., Obroceanu G.: Exerciţii şi probleme de algebră, combinatorică şi teoriamulţimilor, Editura Didactică si Pedagogică, Bucureşti, 1983.10. Popovici C.P.: Teoria numerelor, Editura Didactică si Pedagogică, Bucureşti ,1973.11. Radovici Marculescu P.: Probleme de teoria elementară a numerelor, Editura Tehnică,Bucureşti, 1983.12. Sierpinsky W.: Elementary Theory of Numbers, Polski Academic Nauk, Warsaw, 1964.13. Sierpinsky W.: 250 Problemes des Théorie Elementaire des Nombres, CollectionHachette Universite, 1972.