Idag Kvantifikatorer Sista föreläsning Kvantifikatorer

DD1350 Logik för dataloger
- Föreläsning 4 -
Predikatlogik: Syntax
Idag
• Kvantifikatorer och objektvariabler
•Ekvivalens
• Funktionssymboler
• Fria och bundna variabler
•Substitution
• Läs boken kapitel 2.1 och 2.2
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 3
Kvantifikatorer
• Ett påstående att varje eller något
objekt står i en viss relation till vissa
andra objekt är också en sats!
•Exempel:
–”Varje student är yngre än någon lektor”
–”Inte varje lista är sorterad”
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 5
Sista föreläsning
• Satslogik som formellt språk:
syntax och semantik
• Sundhet och fullständighet
•Avgörbarhet
• Boken kapitel 1.3, 1.4 och 1.5.1
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 2
Satser som relationer mellan objekt
• Relationer mellan objekt är satser!
•Exempel:
–”7 är mindre än 9” 7, 9 M
–”Listanlst är sorterad” lst S
• Satser som relationer mellan objekt kan
uttryckas med hjälp av predikat:
–”7 är mindre än 9” M(7, 9)
–”Listanlst är sorterad” S(lst)
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 4
Kvantifikatorer
• Kan uttryckas med hjälp av:
– kvantifikatorer:
• ∀ ”för alla” universell kvantifikator
• ∃ ”för någon” existentiell kvantifikator
– objekt-variabler: x, y, z
över objekt ur ett objektuniversum
•Exempel:
–”Varje student är yngre än någon lektor”
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 6
1

Exempel
•”Varje student är yngre än någon lektor”
– ”student” och ”lektor” kan betraktas som
egenskap S och L till objekt ur ett objektuniversum
bestående av personer
–”Varje person som är student är yngre än
någon person som är lektor”
–”För alla x, om x är student så finns y
så att y är lektor och x är yngre än y”
∀x (S(x) → ∃y (L(y) ∧ Y(x, y)))
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 7
Ekvivalens
• Särskilda predikatet =
betraktas vanligtvis som ”inbyggd” i
predikatlogiken
•Exempel:
– ”max ett objekt har egenskapen E”
∀x ∀y (E(x) ∧ E(y) → x = y)
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 9
Predikatlogik: Syntax
•Översikt:
–Termer
• beskriver objekt med hjälp av variabler och
funktionssymboler
• obs: konstanter är funktionssymboler med 0
argument!
–Formler
• predikat över termer
obs: atomer är predikat med 0 argument!
• negation, konjunktion, etc.
• kvantifierade formler
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 11
Satser i predikatlogik
•Atomer: p, q, r eller
•Predikat över
–konstanter a, b, c och/eller
– kvantifierade objektvariabler x, y, z
ur ett objektuniversum:
P(a, b) ∃xP(x, b) ∃x ∀yP(x, y)
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 8
Funktionssymboler
• Det är också vanligt att uttrycka
relationer av funktionstyp med
hjälp av funktionssymboler
– ”varje person är yngre än sin far”
•variant 1: ∀x ∀y (F(x, y) → Y(x, y))
•variant 2: ∀xY(x, f(x))
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 10
Symboler
• Vi måste fixera två mängder:
– funktionssymboler: f, g, h ∈F
– predikatsymboler: P, Q, R∈P
• Varje symbol kommer med sitt antal
argument (”ställighet”, eng: arity)
• Symboler med 0 argument:
–konstanter: c ∈F
–atomer: p, q, r ∈P
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 12
2

Syntax: Termer
• I Backus-Naur form (BNF):
t ::= x | c | f (t, … , t)
Läs:
–variabler x, y, z, … är termer
–konstanter c är termer
–om t 1 , …, t n är termer, och om f ∈F har n > 0
argument, så är f (t 1 , …, t n ) en term
– inga andra symbolsekvenser är termer
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 13
• I BNF:
Syntax: Formler
φ ::= P(t 1 , …, t n )|
(¬φ) | (φ∧φ) | (φ∨φ) | (φ → φ) |
(∀x φ) | (∃x φ)
Läs:
–om t 1, …, t n är termer, och om P∈P har n > 0
argument, så är P(t 1, …, t n) en formel
– etc. (som vanligt)
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 15
För många parenteser?
•Exempel: ((∀x P(x)) ∧ (∃y Q(y)))
•Konvention:
– negation och kvantifikatorerna binder
starkare än konjunktion och disjunktion
– konjunktion och disjunktion binder starkare
än implikation, som är högerassociativ
∀x P(x) ∧∃y Q(y)
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 17
Exempel
• Objektuniversum
– naturliga talen: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Funktionssymboler
–konstanter: 0, 1, 2, 3, 4, …
– binära operationer: +, -
•Termer:
• 8
• -(x, 3) eller x –3
• + (6, -(5, y)) eller 6 + (5 – y)
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 14
Exempel
• Objektuniversum …, -2, -1, 0, 1, 2, …
• Funktionssymboler
–konstanter: …, -2, -1, 0, 1, 2, …
– binära operationer: +, -
• Predikatsymboler
– binära jämförelser:

Fria och bundna variabler
• En förekomst av en variabel x i en formel φ är
bunden om den ligger inom räckvidden för
någon kvantifikator, och är fri annars
• En kvantifikator ∀x eller ∃x binder alla fria
förekomster av variabeln x inom sin räckvidd
• Exempel: i formeln ∃y (P(x,y) ∧ ∃x Q(x,y))
är första förekomsten av variabeln x fri, och
den andra bunden
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 19
Variabelinfångande
•Problem:
P(x) ≡ ∃y (x < y) men
P(y) ≡ ∃y (y < y) har inte samma mening!
variabelinfångande (eng: variable capture)
•Term t är fri för variabeln x i formeln φ
om ingen fri förekomst av x i φ är i
räckvidden av någon kvantifikator ∀y
eller ∃y för någon variabel y i t
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 21
Substitution
• För en variabel x, en term t och en
formel φ, betecknar φ[t / x] formeln som
är resultatet av substitutionen av varje
fri förekomst av x i φ med t
•Exempel:
∃y (P(x,y) ∧∃xQ(x,y)) [x+1/x]
= ∃y (P(x+1,y) ∧∃xQ(x,y))
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 20
Substitution igen
•Substitutionen φ[t / x] undviker
infångande om t är fri för x i φ
• Problemet kan lösas med omdöpning:
P(x) ≡ ∃y (x < y) och y kan döpas om till z
P(x) ≡ ∃z (x < z) med samma mening, och
P(y) ≡ ∃z (y < z)
Föreläsning 4 Dilian Gurov, VT 2009 22
4