Fö 3: Partikeldynamik - IFM

Forts. Ex 5 på relativ rörelse från föregående föreläsning
Bil A kör i 70 km/h och blir omkörd av bil B som kör i 90 km/h.
Någon i bil A kastar en boll med hastigheten 100 km/h mot bil B. Bollen studsar
elastiskt mot bil B.
Vad är bollens hastighet relativt marken efter studs?
A V ˆ
bA = 100x km/h B
V 70xˆ
AM =
km/h
boll
Bolls hastighet före studs relativt:
Koordinatsystem Bil A:
Koordinatsystem Mark:
Koordinatsystem Bil B:
V bA
V bM
V bB
xˆ
( f ) = 100xˆ
km/h
V 90xˆ
BM =
( f ) = 170xˆ
km/h
( f ) = 80xˆ
km/h
km/h
Vi hann hit!

Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Partikeldynamik
En partikel är en kropp där utsträckningen saknar betydelse för dess rörelse. Den
kan betraktas som en punktmassa utan rotation.
Massa kan definieras på två sätt. Den ena baserar sig på att olika massor attraheras
olika starkt av jordens gravitation. Att två massor är lika kan bestämmas med en
balansvåg. I en fjädervåg är uttänjningen proportionell mot massan.
Enligt denna definition är massa ett mått på hur gravitationen påverkar en kropp,
man talar om "tung massa".
Den andra definitionen är: Massan anger vilken kraft som åtgår för att ge en kropp
en viss acceleration, "trög massa".
m
Balansvåg
m
Fjädervåg

Newtons I:a lag (tröghetslagen)
En partikel är fri om den inte påverkas av några krafter (finns?)
En fri partikel befinner sig i vila eller rör sig med konstant hastighet (dvs i en rät linje)
Detta är Newtons I:a lag även kallad tröghetslagen.
Observera att även observatören av rörelsen måste vara fri (finns?), dvs. mätningen
måste göras i ett inertialsystem. Ett inertialsystem accelererar inte (och får därför inte
rotera, eftersom rotation innebär acceleration). Har man hittat ett inertialsystem
kommer alla system som rör sig med konstant hastighet relativt detta också att vara
inertialsystem.

Begreppet rörelsemängd (eng. momentum)
Två fria partiklar med massorna m 1 och m 2 och hastigheterna v 1 och v 2 påverkar varandra i
det skuggade området.
Efter att ha påverkat varandra har de hastigheterna v 1 ´ och v 2 ´ och Δv 1 och Δv 2 är
motriktade (experimentellt bevisat).
Beloppen av Δv 1 och Δv 2 är relaterade till m 1 och m 2 enligt:
Vektorrelation: ΔΔΔΔv 1 m 1 = −−−− ΔΔΔΔv 2 m 2
Definiera rörelsemängd (vektor) enligt: p = mv, ΔΔΔΔp = mΔΔΔΔv
⏐ΔΔΔΔv 1 ⏐/ ⏐ ΔΔΔΔv 2 ⏐ = m 2 / m 1 (experimentellt bevisat).
ΔΔΔΔp 1 = − ΔΔΔΔ p 2
I ord: När två partiklar påverkar varandra utbyts rörelsemängd

p 1
p 2
p 2 ´
Totala rörelsemängden vid tid t P = p1 + + + + p2 vid tid t´ P´ = p´ 1 + + + + p´ 2
P = P´
Totala rörelsemängden hos ett system av två partiklar som enbart
påverkar varandra förblir konstant.
P = p1 + + + + p2 = konstant
Gäller även för många partiklar enligt:
p 1 ´
Rörelsemängdskonservering
p 2 ´
p 2
ΔΔΔΔp 2 p 1
p 1 ´
P
ΔΔΔΔp 1
= ∑
ΔΔΔΔp 1 = p´ 1 −−−− p 1
p
1
+
p
2
+
p
3
+
ΔΔΔΔ p 2 = p´ 2 −−−− p 2
p´ 1 −−−− p1 = −−−− (p´ 2 −−−− p2 ) = −−−− p´ 2 + + + + p2 p´ 1 + + + + p´ 2 = p1 + + + + p2 ...
=
konstant
Exempel: 1,2

Newtons II:a och III:e lag
Sätt F = dp /dt förändringen av rörelsemängd per tidsenhet är lika med
kraften som verkar på partikeln
Om m ej beror av t (vanligt): F =dp /dt =m dv /dt = m a
Sorten för kraft får vi ur ekvationen ovan:
"Newton" = [kg m/s 2 ]
Newtons II:a lag
Detta ger en andra definition av massa: Massan anger vilken kraft som åtgår för att
ge en kropp en viss acceleration, "trög massa".
trög massa = tung massa
Därför får alla kroppar samma acceleration i ett gravitationsfält (ca 9.8 m/s 2 på
jorden).
W=mg Tyngden W är den kraft som krävs för att förhindra en kropp med
massan m att falla pga gravitationsaccelerationen.

Om två partiklar påverkar varandra gäller:
ΔΔΔΔp 1 = −ΔΔΔΔp 2
Dela med ΔΔΔΔt dp 1 /dt = −p 2 /dt
ΔΔΔΔt →0
Newtons II:a och III:e lag
F 1 = −−−−F 2
Newtons III:e lag
I ord: Om en kropp påverkar en annan med en given kraft så återverkar
den senare kroppen på den första med en lika stor men motsatt riktad
kraft
Exempel: 3,4

Galile transformation (Konstant relativ v)
r´ = r − vt
V´= V − v
a´ = a
t´= t
Klassiska relativitetsprincipen
m 1 V 1 + m 2 V 2 = konst (S inertialsystem)
V´ 1 = V 1 − v och V´ 2 = V 2 − v
m 1 (V´ 1 + v ) + m 2 (V´ 2 + v ) = konst
m 1 V´ 1 + m 2 V´ 2 = konst − v(m 1 + m 2 )
Eftersom v är konstant får vi:
m 1 V´ 1 + m 2 V´ 2 = ny konst
Alltså bevaras rörelsemängden även i S´.

Galile transformation (Konstant relativ v)
r´ = r − vt
V´= V − v
a´ = a
t´= t
Klassiska relativitetsprincipen
Krafterna:
F = dp/dt = m dV/dt = ma (Newton II)
F´= dp´/dt = m dV´/dt = ma´
Eftersom a´ = a blir F = F´
Slutsats: Rörelsemängden konserveras och
samma krafter mäts i inertialsystem som rör
sig med konstant hastighet relativt varandra.

S
S´ a r
m
S är inertialsystem
S´ accelererar relativt S
a mätt i S
a´ mätt i S´
m är massan hos kroppen
Tröghetskrafter
Med tröghetskrafter menas krafter som uppstår i accelererade koordinatsystem. Betraktas
situationen från ett inertialsystem (utan acceleration) kommer tröghetskrafterna inte att
ingå i beskrivningen.
a´= a −−−− a r
Från S mäts F = ma
Från S´ mäts F´ = ma´
F´ = ma´= m(a −−−− a r )= F − ma r
f = − ma r Tröghetskraft
(Kallas även fiktiv eller skenbar kraft)

Ex. 1 Person i accelererande bil
Tröghetskrafter
S: Jorden S´: Bilen m: Personens vikt
a´= 0 eftersom personen sitter still i bilen
a r = bilens acceleration i positiv x-riktning
Betraktat utifrån (S): Personen accelererar med a r eftersom den påverkas med kraften
F =ma r från bilen som verkar i positiv x-riktning
Personen inne i bilen: Jag sitter still men påverkas av en kraft f = − ma r
(minustecknet visar att kraften verkar i negativ x-riktning)
S
S´ a r
m
a mätt i S
a´ mätt i S´
S är inertialsystem
S´ accelererar relativt S
m är massan hos kroppen

Ex. 2 Sten i ett snöre som snurrar runt
S är ett inertialsystem (accelererar ej)
Tröghetskraften centrifugalkraft
S´ systemet roterar med stenen som är fäst med ett snöre i
centrum
Sett från S: Stenen roterar med vinkelhastighet ω, och har en
centripetalacceleration. Eftersom den accelererar in mot centrum
måste den påverkas av en kraft från snöret i denna riktning som är
lika med F S = mω 2 R u N
Sett från S ´ : Stenen står still och påverkas av två krafter: En
utåtriktad centrifugalkraft F C = −mω 2 R u N och en lika stor och
motriktad kraft i snöret F S = mω 2 R u N . Dessa krafter tar ut
varandra så stenen befinner sig i vila här.
Allmänna uttrycket för centrifugalkraft: FC = − mωωωω×( ω ω ω ω × r )

ω
v
Sett utifrån.
Plattan roterar.
Kulan går rakt
fram och träffar
ej siktpunkten.
Tröghetskraften corioliskraft
Sett från plattan.
Ingen rotation.
Kulans kurva tycks
böja av åt höger.
Tänk er att figurerna visar en platta fäst vid
nordpolen. Periferin kommer då att röra
sig moturs. Sett från ett inertialsystem
kommer en kula att färdas i en rät linje om
den skjuts ut från centrum. Skytten siktar
mot den röda punkten som roterar med
plattan.
Då plattan roterar kommer kulan att missa
siktpunkten.
Corioliskraften gör att
partikelbanor avlänkas åt höger på
norra halvklotet, vilket bl.a. leder
till den karaktäristiska rotationen
hos vädersystem.

Relativ rotationsrörelse
m
Coriolis acceleration: a co = −2 ωωωω× V´
Corioliskraft: F CO = −2 m ωωωω× V'
O ser att O´ roterar med ωωωω
O´ ser att O roterar med − ωωωω
P:s hastighet för O: V = (dr/dt) O
Om P stilla relativt O´ ser O att P
har hastigheten:
V= ω ω ω ω × r
Men om P har hastighet V´ relativt
O´ ser O hastigheten:
V = V´ + ω ω ω ω × r
För acceleration gäller:
a = a´ + 2ωωωω× V´ + ωωωω × ( ωωωω × r)
a´ = a − 2ωωωω× V´ − ωωωω × ( ωωωω × r)
(OBS fel i Alonso Finn)
Centrifugalacceleration: a c = − ωωωω × ( ωωωω × r)
Centrifugalkraft: F C = − mωωωω × ( ωωωω × r)

Centrifugalaccelerationens inverkan på tyngdaccelerationen
Beräkning av effektivt g
g= g 0 − 2ωωωω× V´ − ωωωω × ( ωωωω × r)
Här är g 0 jordens gravitation utan rotation (eller gravitationen en
observatör mäter som inte roterar med jorden).
Vid små hastigheter (V´ ) kan bidraget från coriolis accelerationen
försummas eftersom 2ωωωω× V´