Föreläsningsmanus fjärde veckan

Föreläsningsmanus i matematisk statistik
för lantmätare, vecka 3 och 4 HT07
1 Inledning
Bengt Ringnér
September 5, 2007
Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna.
2 Stokastiska variabler
En stokastisk variabel är ett slumpmässigt försök där resultatet är ett eller
flera tal. Ibland, t. ex. när man räknar kombinatorik, är det lämpligt
att betrakta den som en funktion fr˚an ett utfallsrum till tallinjen. Om
försöket g˚ar ut p˚a att räkna n˚agot, kallas variabeln diskret, medan den kallas
kontinuerlig om man mäter n˚agot varvid resultatet blir ett reellt tal.
2.1 Diskreta stokastiska variabler
2.1.1 Likformig fördelning
Här har alla värden samma sannolikhet. Exempel är tärningskast. Man
skriver
P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6, etc.,
där X betecknar resultatet av försöket att kasta en tärning och räkna antalet
prickar.
2.1.2 Binomialfördelning
Här utg˚ar man fr˚an ett försök som
• kan utfalla p˚a tv˚a sätt,
• kan upprepas flera g˚anger under samma betingelser och
1

• där upprepningarna är oberoende av varandra.
Man gör ett givet antal, n, försök som har en sannolikhet p att utfalla p˚a
ena sättet och räknar antalet s˚adana utfall. Det kan vara antalet dagar man
f˚ar punktering när man cyklar till skolan, antalet sexor vid tärningskast eller
antalet krona vid slantsingling. Man brukar benämna utfallen som lyckade
och misslyckade eller 0 och 1 och räkna antalet lyckade resp. antalet ettor.
Man sätter q = 1 − p.
För att beräkna sannolikheter börjar vi med specialfallet att n = 3. Vi
har d˚a följande möjligheter:
X = 0
⎧
000 sannolikhet qqq
⎨ 100 — ” — pqq
X = 1 010 — ” — qpq
⎩
⎧
001 — ” — qqp
⎨ 110 — ” — ppq
X = 2 101 — ” — pqp
⎩
011 — ” — qpp
X = 3 111 —”— ppp.
Detta ger, eftersom det inte spelar n˚agon roll i vilken ordning p och q multipliceras
ihop,
P(X = 0) = q 3 , P(X = 1) = 3pq 2 , P(X = 2) = 3p 2 q, P(X = 3) = p 3 .
Den allmänna formeln är
P(X = k) =
där
n
=
k
och
n! =
n
p
k
k q n−k
n!
(n − k)!k!
1 · 2 · ... · n om n = 1,2,...
1 om n = 0
Uttrycket n över k f˚ar man fram med kombinatorik. Det är lika med antalet
sätt att att välja ut k platser att sätta ettorna p˚a. Välj först en plats.
Detta kan göras p˚a n sätt. Till vart och ett av dessa finns n − 1 sätt att
välja plats nästa g˚ang. Antalet kombinationer är nu n(n −1), men eftersom
2

det inte spelar n˚agon roll vilken ordning platserna väljs, kan 2 platser väljas
p˚a n(n − 1)/2 sätt. Allts˚a
n n
= n, =
1 2
n(n − 1) n!
=
2 (n − 2)!2! .
Genom att fortsätta i samma stil f˚ar vi
n
=
3
n(n − 1)(n − 2)
2 · 3
osv. Slutligen gäller
n
=
0
=
n
= 1,
n
n!
(n − 3)!3! ,
eftersom man bara har en möjlighet.
Benämningen binomialfördelning kommer fr˚an binomialteoremet i matematiken;
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
osv. och allmänt
(a+b) n = a n +na n−1 b+
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ,
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ,
n(n − 1)
2
=
n!
a n−2 b 2 +...+
(n − k)!k! an−kb k +...+b n =
n
k=0
n
a
k
n−k b k ,
som man f˚ar fram just genom att räkna antalet ordningsföljder när man
multiplicerar ihop n − k stycken a:n och k stycken b:n. I specialfallet a = q
och b = p f˚ar vi
n
P(X = k) =
k=0
n
k=0
n
p
k
k q n−k = (q + p) n = 1 n = 1,
s˚a summan av sannolikheterna för alla möjliga utfall är ett, vilket den m˚aste
vara.
Slutligen en inledning till begreppet väntevärde, eller medelvärde i det
l˚anga loppet. Vid till exempel tärningskast säger teorin att man i det l˚anga
loppet kommer att f˚a sexa i 1/6 av fallen. I ett mindre antal försök brukar
det bli ungefär s˚a; om man gör t. ex. 60 kast är det rimligt att gissa p˚a
3

10 sexor. Detta kallas väntevärde. Väntevärdet för en binomialfördelning
är tydligen np. I ett senare kapitel skall vi införa en matematisk definition
av väntevärdet tillsammans med varians och standardavvikelse som har att
göra med hur mycket utfallet brukar avvika fr˚an väntevärdet, antingen detta
sker upp˚at eller ned˚at.
2.1.3 Poissonfördelning
Denna används i situationer som kan tänkas beskrivas av en binomialfördelning,
men där bara väntevärdet, dvs. np, är känt och inte n och p separat, man
vet bara att n är mycket stort. Den kan ocks˚a användas som approximation
av binomialfördelningen. Som exempel kan vi ta trafikräkning; under en
tiominutersperiod räknar man antalet fordon som passerar en given punkt.
Detta är den stokastiska variabeln X. Trafikintensiteten antas vara 2.45 fordon
per minut, dvs i det l˚anga loppet kommer det i medeltal 2.45 fordon per
minut. Väntevärdet för antalet fordon under tiominutersperioden är allts˚a
24.5. Eftersom trafikintensiteten är ganska l˚ag behöver bilarna inte vänta
p˚a varandra och man kan resonera s˚a här: Det finns ett mycket stort antal
bilar som var och en har liten sannolikhet att passera under mätperioden.
Eftersom trafiken är gles kan man räkna med att de är oberoende av varandra.
Detta skulle innebära att X är binomialfördelad med np = µ = 24.5,
dvs. p = µ/n och q = 1 − µ/n. L˚at nu n g˚a mot oändligheten och utnyttja
standardgränsvärdena
lim 1 +
n→∞
1
n = e ≈ 2.7182818
n
och
lim 1 +
n→∞
x
n = e
n
x ,
(som bland annat används vid ränteberäkningar). Detta ger
P(X = 0) = lim
n→∞
P(X = 1) = lim
n→∞ nµ
n
1 − µ
n = e
n
−µ ,
1 − µ
n−1 = µe
n
−µ ,
(1−µ/n) n /(1 − µ/n)
→1
osv. Vi fördjupar oss inte i detta utan skriver upp den allmänna formeln
P(X = k) = e −µµk
, k = 0,1,2,... .
k!
4

Notera ocks˚a att
∞
P(X = k) =
k=0
∞
k=0
e −µµk
k!
enligt n˚agon Mac-Laurin-utveckling, som man kan sväva i lycklig okunnighet
om i denna kurs.
I situationer som den ovan har man exakt poissonfördelning. Men resonemanget
ger ocks˚a att man kan approximera binomialfördelningen med poissonfördelningen
om n är n˚agorlunda stort i förh˚allande till p. Detta kan
underlätta beräkningar. Man har kommit fram till att approximationen
är hyfsad (det beror naturligtvis p˚a vilken noggrannhet man vill ha) om
p ≤ 0.1.
2.1.4 Geometrisk fördelning
Man utg˚ar fr˚an samma försök som i binomialfördelningen, men räknar antalet
nollor innan man f˚ar en etta. Till exempel antalet dagar i sträck man
kan cykla till skolan utan att f˚a punktering. Nu gäller
etc., dvs.
= 1
P(X = 0) = p, P(X = 1) = qp, P(X = 2) = q 2 p,
P(X = k) = q k p, k = 0,1,2,... .
Om man räknar med det sista försöket ocks˚a, kallas det en ffg-fördelning
efter för första g˚angen. Om Y = X + 1, är allts˚a Y ffg-fördelad och
etc., dvs.
P(Y = 1) = p, P(Y = 2) = qp, P(Y = 3) = q 2 p,
Som kontroll konstaterar vi att
P(Y = k) = q k−1 p, k = 1,2,3,... .
∞
P(X = k) =
k=0
∞
P(Y = k) = 1
k=1
enligt formeln för geometriska seriens summa. Sannolikheten är allts˚a noll
att man aldrig kommer till slut. Vi g˚ar inte in p˚a filosofiska resonemang
kring detta, utan konstaterar bara att i praktiken kan man lugnt räkna med
att förr eller senare f˚a punktering (skulle jag ha fel p˚a den punkten kommer
det aldrig att märkas).
5

Slutligen n˚agot om väntevärdet. Om sannolikheten att f˚a punktering
är, säg, 0.1, kommer man i det l˚anga loppet att f˚a punktering en tiondel
av dagarna, vilket är samma sak som att det är i medeltal tio dagar
mellan punkteringarna. Enligt detta resonemang är väntevärdet för en ffgfördelning
1/p, och 1/p − 1 = q/p för en geometrisk, vilket kommer att visa
sig stämma med teorin senare.
2.1.5 Allmänt
Funktionen som ger P(X = k) kallas sannolikhetsfuntionen, p˚a engelska
probability mass function, pmf, i Matlab pdf, för den stokastiska variabeln
X och betecknas pX. I de olika fallen ovan har vi
1/6 om k = 1,2,3,4,5,6
pX(k) =
0 annars,
pX(k) =
n
p
k
k q n−k , k = 0,1,... ,n,
pX(k) = e −µµk
, k = 0,1,2,... ,
k!
och s˚a vidare. Det är underförst˚att att funktionen är noll för de k-värden
som inte finns med i formeln.
Vilken fördelning som man använder beror p˚a sammanhanget.
Det finns fler sannolikhetsfunktioner än de som g˚atts igenom ovan. Man
kan ha vilken funktion som helst bara den uppfyller
• 0 ≤ pX(k) ≤ 1 för alla k, och
• ∞
k=0 pX(k) = 1.
Det vanliga är att man med teoretiska resonemang kommer fram till en
formel som inneh˚aller okända parametrar, t ex µ. Metoder att skatta
parametrarna fr˚an data och metoder att kontrollera att funktionsuttrycket
är förenligt med observationer kommer i andra delen av kursen.
2.2 Kontinuerliga stokastiska variabler
Här kan man inte tala om sannolikheten för enskilda värden; sannolikheten
är noll att f˚a 0.0000..., 1.3400000..., π eller √ 2 med alla decimaler rätt
i all oändlighet. Däremot kan man tala om sannolikheten att hamna i ett
intervall mellan a och b.
6

2.2.1 Likformig fördelning, eller rektangelfördelning
Istället för att kasta tärning kan vi tänka oss att snurra en penna och notera
vinkeln, mätt i grader, när den stannar. Om man har bra snurr p˚a pennan
fr˚an början är det rimlig att alla värden mellan 0 och 360 är lika sannolika
i den meningen att intervallen 0–1, 1–2, ..., 359–360 har sannolikhet 1/360.
Motsvarande gäller om man delar in i tiondels grad, hundradels grad, osv.
Allts˚a
b − a
P(a < X < b) =
360 .
Medelvärdet i det l˚anga loppet, dvs. väntevärdet, är 180.
2.2.2 Exponentialfördelning
Detta är den kontinuerliga motsvarigheten till den geometriska fördelningen;
i varje ögonblick kan n˚agonting inträffa oberoende av hur l˚ang tid som g˚att,
och man registrerar tiden tills detta sker. Om man räknar tiden i hela
dagar, hela timmar, hela minuter, etc, f˚ar man en geometrisk fördelning, om
man inte avrundar blir det en exponentialfördelning. Om sannolikheten för
händelsen (t ex punktering) i ett litet intervall är λ g˚anger intervallängden,
kan man efter en del gränsöverg˚angar komma fram till
b
P(a < X < b) = λe −λx dx.
Detta kan man jämföra med geometriska fördelningens
a
P(a ≤ X ≤ b) =
b
q k p
om man tänker p˚a att q k = e k log q , varvid log q, som är negativt, svarar mot
−λ och p svarar mot λdx.
Man brukar införa µ = 1/λ, varvid
a
k=a
b 1
P(a < X < b) =
µ e−x/µ dx,
och µ är väntevärdet av X, vilket verkar rimligt om man tänker p˚a att
väntevärdet av en ffgfördelning är 1/p.
7

2.2.3 Normalfördelning
Kommer i särskilt avsnitt senare. Här gäller
b 1
P(a < X < b) = √ e
2πσ −(x−µ)2 /2σ2 dx.
2.2.4 Allmänt
a
Integranden kallas (sannolikhets)täthetsfunktion, p˚a enelska probability density
function, pdf, och betecknas med fX. I fallet likformig fördelning mellan
A och B gäller
s˚a
P(a < X < b) =
För exponentialfördelning är
b − a
B − A =
b
a
1
B − A dx,
1
fX(x) = B−A om A ≤ x ≤ B
0 annars.
fX(x) = 1
µ e−x/µ , x > 0,
underförst˚att att fX är noll för negativa x, alternativt att den bara är
definierad för värden som X kan anta, dvs positiva.
Som täthetsfunktion kan man ha vilken funktion som helst som uppfyller
• fX(x) ≥ 0 för alla x, och
• ∞
−∞ fX(x)dx = 1, alternativt B
värden mellan A och B.
A fX(x)dx = 1 om X bara kan anta
Observera att funktionen mycket väl kan vara större än ett. Det bör ocks˚a
p˚apekas att den skall ha n˚agon egenskap, t ex kontinuitet, som gör att den
är integrerbar.
2.3 Fördelningsfunktion
Sannolikhetsfunktionen och täthetsfunktionen talar om hur den totala sannolikheten
ett fördelar sig p˚a enskilda tal, resp. enligt arean under funktionskurvan.
Ett annat sätt att ange fördelningen är att använda fördelningsfunktionen.
Tag som exempel exponentialfördelningen.
b
P(a < X < b) =
a
1
µ e−x/µ
dx = −e −x/µ b
a = e−a/µ − e −b/µ
8

enligt den vanliga metoden med primitiv funktion. Primitiv funktion som
brukar betecknas med F i matematiken är bestämd s˚a när som p˚a en integrationskonstant;
vi hade lika gärna kunnat använda t ex 18 − e−x/µ .
Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel är ett specialfall
av primitiv funktion, nämligen
x
FX(x) = fX(s)ds.
Detta ger
För exponentialfördelningen f˚ar vi
−∞
P(a < X < b) = FX(b) − FX(a),
P(X < b) = FX(b)
P(X > a) = 1 − FX(a).
FX(x) =
0
0ds +
−∞
kan hoppas över
x 1
0 µ es/µ ds = 1 − e −x/µ .
Nu blir sannolikhetsberäkningen
b 1
P(a < X < b) =
µ e−x/µ dx =
= FX(b) − FX(a) = (1 − e −b/µ ) − (1 − e −a/µ ) = e −a/µ − e −b/µ .
Eftersom FX är ett val av primitiv funktion till fX gäller naturligtvis
a
fX(x) = F ′ X (x).
För normalfördelningen kan man inte räkna ut primitiv funktion analytiskt,
utan detta m˚aste göras numeriskt. I boken tabell 1 finns detta i fallet µ = 0
och σ = 1. I ett senare avsnitt skall vi g˚a igenom hur man kan f˚a övriga fall
ur detta.
Om den stokastiska variabeln är kontinuerlig spelar det ingen roll om
man har < eller ≤ i sannolikheten i vänsterledet. Är den diskret blir det
däremot skillnad:
P(a ≤ X ≤ b) =
b
P(X = k) =
k=a
9
b a−1
pX(k) − pX(k),
k=0
k=0

P(a < X ≤ b) =
b
k=a+1
P(X = k) =
b
pX(k) −
k=0
a
pX(k),
osv. För att räkna ut detta utan att behöva räkna ut varje term och summera,
kan man använda fördelningsfunktionen, som, när x är heltal, ges
av
x
FX(x) = pX(k).
k=0
För binomialfördelningen och poissonfördelningen finns den i tabell 8 resp 7.
För geometrisk fördelning f˚ar man använda formeln för geometrisk summa.
I praktiken är naturligtvis a och b heltal. Skulle man behöva räkna ut
sannolikheten att X ligger mellan t ex 3.4 och 12.5, utnyttjar man att detta
samma sak som 4 < X ≤ 12. Detta innebär att den allmänna definitionen
av fördelningsfunktionen är
⌊x⌋
FX(x) = pX(k)
k=0
där ⌊x⌋ betecknar heltalsdelen av x.
Slutligen bör det nämnas att det finns stokastiska variabler som är varken
diskreta eller kontinuerliga. Den allmänna definitionen av fördelningsfunktion
är
FX(x) = P(X ≤ x)
och definitionerna ovan är specialfall av detta. Eftersom händelserna X ≤ a
och a < X ≤ b inte kan inträffa samtidigt gäller
P(X ≤ b) = P(X ≤ a eller a < X ≤ b) = P(X ≤ a) + P(a < X ≤ b).
Detta ger
P(a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a).
Eftersom fördelningsfunktionen är definierad som en sannolikhet har den
egenskaperna
• den ligger mellan 0 och 1, och
• den är växande.
I specialfallen ovan ser man att
k=0
• om x g˚ar mot ∞ eller −∞ g˚ar FX(x) mot 1 resp. 0, och
10

• om FX hoppar, som när X är diskret och x passerar heltal, är det det
större värdet som gäller i hoppunkten.
För att bevisa detta allmänt skulle man behöva definiera sannolikhetsbegreppet
lite noggrannare än vad vi har gjort. Omvänt kan man med en
hel del djupsinnig matematik bevisa att varje funktion med de fyra egenskaperna
ovan kan användas som fördelningsfunktion, men det g˚ar vi inte
in p˚a här.
2.4 Sammanfattning
• För diskreta variabler har man sannolikhetsfunktionen
pX(k) = P(X = k).
• För kontinuerliga variabler har man täthetsfunktionen, s˚adan att
Observera
P(a < X < b)
P(a < X ≤ b)
P(a ≤ X < b)
P(a ≤ X ≤ b)
⎫
⎪⎬
b
= fX(x)dx.
⎪⎭ a
P(X = a) = 0.
• Sannolikheter för intervall kan man antingen räkna ut manuellt eller
f˚a ur fördelningsfunktionen. I det kontinuerliga fallet har man
P(a < X < b) = FX(b) − FX(a),
och sträng eller osträng olikhet spelar ingen roll, medan i det diskreta
gäller
P(a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a).
Här f˚ar man göra en omskrivning om man har andra olikheter. Till
exempel
P(3 < X < 7) = P(3 < X ≤ 6) = P(4 ≤ X < 7) = P(4 ≤ X ≤ 6) = FX(6)−FX(3).
• En hel del information finns i formelsamlingen.
11

2.5 Flerdimensionella stokastiska variabler
En tv˚adimensionell stokastisk variabel är i praktiken samma sak som tv˚a
stokastiska variabler som hör ihop. Till exempel kan man mäta längd och
bredd p˚a samma objekt. Om variablerna heter X och Y , s˚a ger (X,Y ) ett
talpar eller koordinaterna för en punkt i planet. Ett exempel p˚a detta är
mötesproblemet i avsnitt 2.5 vecka 2.
2.5.1 Diskreta fallet
Detta fall lär man sig bäst genom att räkna övningsuppgifter. Dessa kommer
emellertid inte förrän senare i kursen. Sannolikheten att X = j och Y = k
skrivs
P(X = j,Y = k)
och funktionen pX,Y som ges av
pX,Y (j,k) = P(X = j, Y = k)
kallas sannolikhetsfunktion. Sedan räknar man n˚agra p˚ahittade exempel där
man inte har fler fall än att de kan sättas upp i en tabell, t ex:
X\ Y 0 1 2 3
0 0.05 0.12 0.12 0.05
1 0.12 0.08 0.05 0.10
2 0.08 0.05 0.08 0.05
Summan av alla värdena är 1. Sannolikhetsfördelningen för X ges av de tre
radsummorna och sannolikhetsfördelningen för Y ges av de fyra kolonnsummorna,
eftersom
P(X = j) = P(X = j, Y = vad som helst) =
= P(X = j, Y = 0)+P(X = j, Y = 1)+P(X = j, Y = 2)+P(X = j, Y = 3)
och motsvarande för Y . Därför kallas dessa fördelningar marginalfördelningarna.
Allmänt har vi
∞
∞
pX(j) = P(X = j) = P(X = j, Y = k) = pX,Y (j,k)
k=0
och motsvarande för Y . Man kan ocks˚a räkna ut sannolikheter för X + Y .
I exemplet ovan är t ex
k=0
P(X + Y ≥ 4) = 0.08 + 0.10 + 0.05 = 0.23
12

och
P(X + Y = 4) = 0.08 + 0.10 = 0.18.
Ett annat exempel är summan av tv˚a tärningskast i avsnitt 2.1.
Ett viktigt specialfall är
• X och Y är oberoende om
P(X = j, Y = k) = P(X = j)P(Y = k).
D˚a är alla rader i tabellen proportionella mot varandra, och alla kolonner
är det ocks˚a.
2.5.2 Kontinuerliga fallet
Detta avsnitt ligger utanför kursen och tas med för att f˚a en avrundning av
kursinneh˚allet, och för att öka först˚aelsen för resten.
Vi börjar med ett exempel: En person ˚aker först buss, sedan taxi.
Väntetiden p˚a bussen är likformigt fördelad i intervallet mellan 0 och 10
medan väntetiden p˚a taxin är exponentialfördelad med väntevärde 8, om
man räknar i minuter. Tiderna anses oberoende. Hur stor är sannolikheten
att han f˚ar vänta sammanlagt minst 15 minuter?
Om väntetiderna betecknas med X, resp. Y , skall vi räkna ut P(X+Y ≥
15). Detta är sannolikheten att hamna i det streckade omr˚adet i figuren.
Om man byter summa mot integral och sannolikhetsfunktion mot täthetsfunktion
i resonemanget i förra stycket, f˚ar 1 man
P(X + Y ≥ 15) =
10 ∞ 1 1
=
0 10 x−15 8 e−y/8 dy
e−(15−x)/8 fX(x)fY (y)dxdy =
x+y≥15
dx = e−15/8
10
x+y≥15
0≤x≤10
1 1
10 8 e−y/8 dxdy =
10
e
0
−x/8 dx
8(1−e−10/8 ≈ 0.0875.
)
1
För att härleda detta utg˚ar man fr˚an sannolikhetsmodellen att P(a < X < b) =
R b
a fX(x)dx, P(c < Y < d) = R d
fY (y)dy och att händelserna är oberoende. Sanno-
c
likheten att (X, Y ) hamnar i en ruta är d˚a
P(a < X < b, c < Y < d) =
Z b
a
fX(x)dx
Z d
c
fY (y)dy =
Z dZ
b
c
a
fX(x)fY (y)dxdy.
Genom att sedan dela in planet i mindre och mindre rutor och addera sannolikheterna för
dessa f˚ar man det sökta resultatet.
13

25
20
15
10
5
0
Y
−5
−5 0 5 10 15 20
Figure 1: Väntetiderna p˚a bussen resp. taxin med omr˚adet X + Y ≥ 15
streckat
14
X

Allmänt har vi en täthetsfunktion fX,Y s˚adan att
P((X,Y ) ∈ A) =
De marginella täthetsfunktionerna ges av
∞
fX(x) =
fX,Y (x,y)dxdy.
A
fX,Y (x,y)dy
−∞
och motsvarande för Y . Man definierar att X och Y är oberoende om
fX,Y (x,y) = fX(x)fY (y).
15