En populärvetenskaplig introduktion till urvalsaxiomet och dess ...

En populärvetenskaplig introduktion till 

urvalsaxiomet och dess konsekvenser 

Hampus Altvall 

Eli Cramsky 

Alexander Davidson 

Tobias Magnusson 

Handledare: Petter Strandmark 

17 maj 2012 

Sammanfattning 

I denna artikel ges läsaren en introduktion till urvalsaxiomet och de 

underliggande matematiska koncept som krävs för att förstå vad urvalsaxiomet 

är. De händelser inom matematikforskningen som gav upphov 

till urvalsaxiomet och de axiomsystem det tillhör sammanfattas på lekmannanivå. 

Vidare bekrivs givetvis vilka matematiker som låg bakom 

det. Specifikt kommer klargöras den centrala roll som Ernst Zermelos 

och Abraham Fraenkels axiomatisering av mängdläran och Georg Cantors 

ursprungliga mängdlära har. Utöver detta läggs stor vikt på att förklara 

vilka synbara paradoxer urvalsaxiomet ger upphov till. Ett antal 

av dessa beskrivs i detalj med stringenta matematiska formuleringar. 

1

Inledning 

Denna artikel ämnar att för matematikstudenten introducera urvalsaxiomet 

på ett lättbegripligt men likväl adekvat sätt. I avsnitt 1 ges en definition av 

urvalsaxiomet, i avsnitt 2 förklaras mängdlärans historia och urvalsaxiomets 

uppkomst, i avsnitt 3 kommenteras urvalsaxiomets användningsområden, 

i avsnitt 4 introduceras diverse begrepp inom mängdlära och algebra som 

krävs för att förstå senare avsnitt, i avsnitt 5 ges ett par exempel på ickeintuitiva 

följder av urvalsaxiomet, i avsnitt 6 introduceras begreppet mått 

och urvalsaxiomet används för att visa existensen av omätbara mängder och 

i avsnitt 7 ges en kort introduktion till Banach-Tarskis sats. 

Symboler 

∀ för alla ∃ det finns 

tomma mängden ⊆ delmängd 

∪ union ∩ snitt 

∈ tillhör ¬ logisk negation 

ℵ alef (kardinaltal) 

2

1 Urvalsaxiomet 

Definition 1. Urvalsaxiomet kan formuleras på följande sätt. 

Låt Ψ vara en mängd av icke-tomma mängder Ψ = {ψi}i∈I. Det 

gäller då att det finns en mängd U så att 

U = {f : Ψ → 

ψi | f (ψi) ∈ ψi} (1) 

med |U| > 0. Om f ∈ U så kallas f en urvalsfunktion för Ψ. 

i∈I 

Det är med andra ord alltid möjligt att ur elementen ψ1, ψ2, ψ3, ... (som 

i sin tur är mängder) av Ψ med hjälp av en urvalsfunktion välja exakt ett 

element och av dessa bilda en ny mängd Φ. 

Urvalsaxiomet låter oss härleda existensen av en mängd utan att explicit 

konstruera dess element. Walesaren Bertrand Russell (1872-1970) uttryckte 

det som följer. Betrakta en oändlig mängd med par av skor. Genom att exempelvis 

plocka ut vänsterskon ur varje par kan en ny mängd bildas. Betrakta 

nu i stället en oändlig mängd med par av strumpor. Det finns då ingen möjlighet 

att specificera en regel som explicit väljer ut ett element ur varje par 

eftersom strumporna är identiska. Urvalsaxiomet kungör dock att en mängd 

med ett element från varje par av strumpor existerar, utan att förtälja hur 

varje element är valt. 

2 Historia 

Urvalsaxiomet i den form det används idag uppträdde först som en bevisteknik 

i det första beviset av välordningssatsen 1 . Detta bevis utfördes av tysken 

Ernst Zermelo (1871-1953) och publicerades 1904 i hans artikel Beweis, 

dass jede Menge wohlgeordnet werden kann[1] och uppkom genom ett antal 

diskussioner med landsmannen Erhard Schmidt (1876-1959). Faktum är att 

Zermelo i denna artikel visade att det som senare skulle kallas urvalsaxiomet 

implicerar välordningssatsen (det går även att visa omvändningen och alltså 

är välordningssatsen faktiskt ekvivalent med urvalsaxiomet). Sannolikt 

betraktade Zermelo redan vid denna tid detta som något av ett axiom vilket 

framgår av formuleringen ”Dieses logische Prinzip lässt sich zwar nicht 

auf ein noch einfacheres zurückführen, wird aber in der mathematischen Deduktion 

überall unbedenklich angewendet.” [1, s. 516] som kan översättas 

till ”Denna logiska princip kan med säkerhet inte reduceras till en enklare 

sådan, men används överallt inom matematisk slutledning utan vidare 

eftertanke.” och mycket riktigt blev principen 1908 axiom VI i Zermelos axiomatisering 

av mängdläran[2], den första av sitt slag. Man kan ställa sig 

1 Välordningssatsen kungör att det för varje mängd går att hitta en ordning så att alla dess 

icke-tomma delmängder har ett minsta element. 

3

frågan varför en axiomatisering av mängdläran över huvud taget är nödvändig 

och denna fråga är definitivt en legitim sådan men för att kunna besvara 

den behöver först mängdlärans historia förklaras. 

2.1 Den ursprungliga mängdläran 

Till skillnad från många andra matematiska principer uppstod inte den första 

mängdläran gradvis genom korrespondens mellan ett stort antal forskare 

utan kan spåras tillbaka till en enskild artikel 2 av den mycket inflytelserika 

och vid sin tid tämligen kontroversiella tyske matematikern Georg Cantor 

(1845-1918), publicerad 1874.[3] Ett argument för varför detta bör kallas 

mängdlärans ursprung är att det är det första matematiska verket som studerar 

mängder för sig själva och dessutom mängder med ett oändligt antal 

element (vilket inte tidigare gjorts på ett rigoröst sätt). I artikeln visade Cantor 

att mängden av alla reella algebraiska tal är uppräknelig 3 och att mängden 

av reella tal inte är det och därmed insågs att oändliga mängder verkade 

kunna ha olika storlekar trots att de är oändliga.[4] Cantors upptäckt var inte 

populär av alla inom matematikvärlden och landsmannen Leopold Kronecker 

(1823-1891) var starkt kritisk till hans resultat och motarbetade Cantor 

aktivt genom sitt redaktörskap på den tidsskrift (Journal für die reine und 

angewandte Mathematik) Cantor skickade sin artikel till och lyckades försena 

publiceringen av Cantors nästa artikel.[4] Denna artikel är dock oerhört 

viktig för mängdlärans och matematikens utveckling som helhet och innehåller 

den första definitionen av en bijektion mellan två mängder och Cantor 

använde även detta för att definiera vad det innebär att två mängder har 

samma kardinalitet (antal element).[5] 

Efter dessa två artiklar publicerade Cantor sex artiklar som vidare utvecklade 

hans idéer kring mängdläran mellan 1879 och 1884.[6] Denna gång 

i Mathematische Annalen för att undvika Kroneckers kritiska redaktörskap. 

I dessa artiklar utvecklade han de första så kallade transfinita talen i form 

av de transfinita ordinaltalen. Dessa tal användes först för att särskilja mellan 

olika oändliga mängder (och var alltså alla oändligt stora men ändå av 

olika storlek, därav begreppet transfinit) men i de senare av dessa sex artiklar 

utvecklade Cantor även en aritmetik för dessa tal och försvarade deras 

existens. Det är viktigt att poängtera att under hela denna tid är själva 

begreppet mängd mycket vagt. Cantor definierade begreppet mängd (tyska: 

menge) först 1895, men även då mycket vagt; ”Unter einer ’Menge’ verstehen 

wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten 

m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ’Elemente’ von 

M genannt werden) zu einem Ganzen”[7] vilket kan översättas till ”Med en 

mängd menar vi varje samling M av givna välurskiljbara objekt m från vå- 

2Detta beror dock på vad som skall kallas mängdlära, begreppet mängd definierades först 

senare. 

3En mängd A säges vara uppräkneligt oändlig om det finns en bijektion mellan N och A. 

4

a tankar eller vår uppfattning (vilka säges vara element i M)”. Denna artikel 

innehöll även den kända kontinuumhypotesen 4 vilken Cantor till sitt 

stora förtret inte kunde bevisa 5 .[6] Kurt Gödel (1906-1978)[8] och Paul Cohen 

(1934-2007)[9, 10] visade dock senare att kontinuumhypotesen inte kan 

bevisas i Zermelo och Fraenkels mängdlära och därmed ej heller i Cantors 

mängdlära vilket förklarar de svårigheter Cantor hade med att finna ett bevis. 

Mot 1800-talets slut och 1900-talets början började ett antal paradoxer 

uppenbara sig inom Cantors mängdlära. 

2.2 Paradoxer i Cantors mängdlära 

Cantor hittade 1899[11] en paradox i sin mängdlära gällandes kardinaliteten 

av mängden av alla mängder. 

Cantors paradox 

Informellt kan Cantors paradox beskrivas som följer. Betrakta 

mängden C av alla mängder. Givetvis gäller 6 2 C = C och alltså 

|2 C | = |C| men enligt Cantors sats gäller att |2 C | > |C|, en motsägelse. 

Cantors paradox publicerades dock först 1932.[12] Innan Cantor hade funnit 

sin paradox hade italienaren Cesare Burali-Forti (1861-1931) 1897[13] också 

hittat en paradox, gällande mängden av alla ordinaltal. 

Burali-Fortis paradox 

I Cantors mängdlära gäller följande för ordinaltalen: 

1. Till varje välordnad mängd finns ett unikt ordinaltal. 

2. Varje mängd av ordinaltal där varje element förutom det 

första har en föregångare är välordnad och har ett ordinaltal 

som är större än alla ordinaltal i mängden. 

3. Mängden av alla ordinaltal X är välordnad. 

Av 3 och 1 följer att X har ett ordinaltal ω. Men ω ∈ X och alltså 

så måste ω < ω enligt 2, en motsägelse. 

Kanske mest signifikant i raden av alla paradoxer som uppkom var Russells 

paradox, uppkallad efter sin upptäckare Bertrand Russell och upptäckt 1901. 

4Kontinuumhypotesen kungör att det inte finns någon mängd S sådan att |N| = ℵ0 < |S| < 

2ℵ0 = |R|. 

5 ℵ0 Cantors formulering var 2 = ℵ1 men detta kräver dock både urvalsaxiomet (vilket Cantor 

använde informellt) och en förståelse av kardinaltalen vilket vi inte förutsätter att läsaren 

har. Kort kan sägas att kardinaltalen betecknar antal element (kardinalitet) för oändliga 

mängder. 

62C betecknar potensmängden, mängden av alla delmängder till C. 

5

Han beskriver den i ett brev till Gottlob Frege (1848-1925) 1902[14, s. 124- 

125] men den publiceras första gången 1903 i hans bok The Principles of 

Mathematics.[15] 

Russells paradox 

Denna paradox är enklare att förstå än de två föregående, ty den 

kräver inte någon förståelse för varken kardinaltal eller ordinaltal. 

Bilda A = {x | x ∉ x}. Om A ∈ A så A ∉ A, men om A ∉ A så 

A ∈ A. Alltså gäller A ∈ A ⇔ A ∉ A, en uppenbar motsägelse. 

Dessa tre paradoxer skakade fundamentet till Cantors mängdlära och någonting 

behövde göras för att undvika dessa. Russells lösning var att skapa ett 

typsystem vilket han introducerade i artikeln Mathematical logic as based 

on the theory of types[16], och den tidigare nämnda Ernst Zermelo utvecklade 

av denna anledning sin axiomatisering av mängdläran.[2] I denna artikel 

kommer Russells typsystem inte att förklaras; vi kommer i stället att ägna 

oss åt Zermelos axiomatisering, ty det är i denna urvalsaxiomet finns. 

2.3 Zermelos, Fraenkel och Skolems axiomatisering av mängdläran 

Som tidigare nämnt publicerade Zermelo det första försöket till en axiomatisering 

av mängdläran 1908.[2] Detta axiomsystem innehöll sju axiom vilka 

enligt Zermelo tycktes vara oberoende. Zermelo lyckades dock inte att visa 

dess konsistens, någonting som senare skulle visa sig vara omöjligt enligt Gödels 

andra ofullständighetssats. Målet med axiomatiseringen var dock främst 

att beskriva mängdläran på ett sådant sätt att det inte längre går att härleda 

alla kända paradoxer och detta lyckades Zermelo åstadkomma. 

Axiomatiseringen var dock inte helt utan brister och det tredje axiomet, 

uppdelningsaxiomet, utnyttjar något som Zermelo kallar för definita frågor 

eller påståenden. Problemet är att begreppet definit är tämligen vagt och 

åberopar till exempel de universellt gällande lagarna för logik utan att vidare 

förklara vilka dessa är. Denna brist reparerades 1922 av norrmannen Thoralf 

Skolem (1887-1963)[14, s. 290-301] och israelen Abraham Fraenkel (1891- 

1965)[14, s. 284-289], men även av ungersk-amerikanen John von Neumann 

(1903-1957)[14, s. 393-414] och tysken Hermann Weyl (1885-1955)[18, 19] 

men då med en annan bas än Zermelos ursprungliga axiomatisering. Zermelos 

axiomatisering tillsammans med Fraenkels korrigering och urvalsaxiomet 

kallas ZFC och är sedan 1960-talet en standardmässigt använd axiomimatisering 

av mängdläran. 

Det fanns dock fortfarande ett antal obesvarade frågor gällande ZFC. 

Kanske absolut viktigast var frågan om axiomen verkligen var konsistenta. 

Vidare ger som tidigare nämnt urvalsaxiomet upphov till många ickeintuitiva 

resultat, detta fick många inom matematikvärlden att tvivla på om 

urvalsaxiomet verkligen var välmotiverat som axiom. 

6

Genom Gödels ofullständighetssatser och Gödel och Cohens bevis för att 

urvalsaxiomet är logiskt oberoende blev dessa frågor besvarade, men kanske 

inte så som man hade tänkt sig. 

2.4 Ofullständighetssatserna och urvalsaxiomets logiska oberoende 

År 1931 publiceras kanske 1900-talets viktigaste artikel inom matematisk 

logik, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter 

Systeme I, skriven av den tidigare nämnda Kurt Gödel.[17] Varför 

denna artikel är så viktig är därför att den innehåller Gödels ofullständighetssatser, 

vilka beskrivs på ett informellt sätt nedan. 

Gödels första ofullständighetssats 

Varje formellt system som är kraftfullt nog att representera aritmetik 

för de naturliga talen (som till exempel ZFC, Peanos axiomsystem 

eller Principia Mathematica) kan inte vara både konsistent 

och fullständig. 

Denna sats vilar på begreppen konsistenta och fullständiga formella system, 

det är långt utanför denna artikels omfång att ge en precis definition av 

dessa, men för att läsaren skall kunna få en översiktlig förståelse av satsen 

ges nedan en informell definition. 

Konsistens 

Ett formellt system säges vara konsistent om det inte innehåller 

några motsägelser. 

Fullständighet 

Ett formellt system säges vara fullständigt om för varje påstående 

φ i systemet finns ett bevis för antingen φ eller ¬φ. 

Från den första ofullständighetssatsen kan också härledas den andra 

ofullständighetssatsen som ger ett direkt svar på frågan om axiomens konsistens 

i ZFC. 

Gödels andra ofullständighetssats 

Ett formellt system kraftfullt nog för att representera aritmetik 

för de naturliga talen kan bevisa sin egen konsistens om och endast 

om det är inkonsistent. 

Denna sats säger alltså att om man inom ZFC kan bevisa att ZFC är konsistent 

så är det inkonsistent, och om det är konsistent kan detta inte bevisas 

i ZFC. Om Zermelo och Fraenkel varit duktiga nog i konstruktionen av sin 

axiomatisering av mängdläran skulle de alltså aldrig kunna bevisa att det 

är konsistent vilket ger ett tämligen intressant svar på den fråga vi ställde 

tidigare. 

7

Frågan om urvalsaxiomets motivering som axiom besvarades av Gödel[8] 

tillsammans med Cohen[9, 10] och beviset blev först klart 1964, 26 år efter 

det att Gödel bevisat den första delen. De visade att om ZF (Zermelo- 

Fraenkels axiomatisering utan urvalsaxiomet) är konsistent så är urvalsaxiomet 

logiskt oberoende i ZF, vilket betyder att varken urvalsaxiomet eller 

dess negation kan bevisas i ZF. Informellt kan bevisprocessen beskrivas som 

följer. 

Gödel: Om ZF är konsistent så är ZFC konsistent 

Gödel visade genom att skapa en så kallad inre modell som satisfierar 

ZFC att ZFC är konsistent förutsatt att ZF är det. Detta 

betyder att negationen till urvalsaxiomet ¬C inte kan bevisas i 

ZF för då hade ju ZFC inte kunnat vara konsistent. 

Cohen: Om ZF är konsistent så är ZF¬C konsistent 

Cohen konstruerade genom en teknik som kallas forcing en mycket 

mer komplex modell som satisfierar ZF¬C (ZF med negationen 

till urvalsaxiomet som axiom) vilket visar att ZF¬C är konsistent 

förutsatt att ZF är det. Detta betyder på samma sätt som 

innan att urvalsaxiomet inte kan bevisas i ZF. 

Alltså är urvalsaxiomet logiskt oberoende (ibland kallat oavgörbart) i ZF. 

Efter detta ansågs inte urvalsaxiomet lika kontroversiellt längre, man kunde 

nu motivera dess existens som ett axiom. 

3 Användning av urvalsaxiomet 

Urvalsaxiomet används framför allt som en bevisprincip och behövs exempelvis 

för att visa att varje vektorrum har en bas.[20, s. 48][21] Det går även 

att visa omvändningen. Urvalsaxiomet är alltså ekvivalent med detta påstående. 

Som tidigare nämnts gäller detta även för välordningssatsen, och det 

finns i själva verket många satser inom matematiken som är ekvivalenta med 

urvalsaxiomet. Senare i artikeln kommer att visas att urvalsaxiomet behövs 

för att konstruera en omätbar mängd, och kan även användas för att härleda 

ett stort antal icke-intuitiva resultat. Vi kommer strax att behandla några av 

dessa, men först krävs en förståelse av begreppet ekvivalensklass. Läsaren 

ges nedan möjligheten till en sådan förståelse. 

4 Diverse definitioner 

Detta avsnitt behandlar inte urvalsaxiomet. Här redovisas i stället teori nödvändig 

för läsarens fortsatta förståelse av denna rapport. Inspiration har 

hämtats ur Lars-Christer Böiers bok Diskret Matematik, en bok väl lämpad 

för den vidare intresserade läsaren.[22, s.110 - s.131] 

8

4.1 Några binära operationer på mängder 

Definition 2. Låt A och B vara mängder. Unionen av A och B, betecknad 

A ∪ B, är den mängd som innehåller de element som finns i antingen A eller 

B, eller i båda. 

Ett element x tillhör unionen av mängderna A och B om och endast om x 

tillhör A eller B. Det gäller alltså att 

A ∪ B = {x | x ∈ A eller/och x ∈ B}. 

Exempel 

Unionen av mängderna {1,2,3} och {2,3,4} är mängden {1,2,3,4}, 

det vill säga 

{1,2,3} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4}. 

Definition 3. Låt A och B vara mängder. Snittet av A och B, betecknat A∩B, 

är den mängd som innehåller de element som finns i både A och B. 

Ett element x tillhör snittet av mängderna A och B om och endast om x tillhör 

A och x tillhör B. Det gäller alltså att 

A ∩ B = {x | x ∈ A och x ∈ B}. 

Exempel 

Snittet av mängderna {1,2,3} och {2,3,4} är mängden {2,3}, det 

vill säga 

{1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}. 

Definition 4. Två mängder kallas disjunkta om deras snitt är den tomma 

mängden. 

Exempel 

Låt A = {1,3,5,7} och B = {2,4,6,8}. Eftersom A ∩ B = är A och 

B disjunkta. 

Begreppen union och snitt kan generaliseras till att gälla ett godtyckligt antal 

mängder. 

Definition 5. Unionen av en samling av mängder är den mängd som innehåller 

de element som tillhör åtminstone en av mängderna i samlingen. 

Vi använder notationen 

A1 ∪ A2 ∪ ··· ∪ An = 

n 

Ai 

i=1 

för att beteckna unionen av mängderna A1, A2,..., An. 

Motsvarande notation gäller för snittet av ett godtyckligt antal element. 

9

4.2 Cartesisk produkt 

Definition 6. Låt A och B vara mängder. Den cartesiska produkten av A 

och B, betecknad A × B, utgörs av mängden av alla ordnade par (a, b), där 

a ∈ A och b ∈ B. Således, 

A × B = {(a, b) | a ∈ A och b ∈ B}. 

Då B = A skrives vanligen A 2 . Definitionen utvidgas helt naturligt till ett 

godtyckligt antal mängder. 

Exempel. 

Om A = {1,2,3} och B = { 2,π} så är 

A × B = {(1, 2),(1,π),(2, 2),(2,π),(3, 2),(3,π)}. 

Observera att produkterna A × B och B × A i regel är olika. 

Exempel. 

Läsaren är sedan tidigare bekant med R × R, det vill säga R 2 , och 

allmännare R n , den cartesiska produkten av n stycken R. 

4.3 Relation 

Definition 7. Låt A och B vara mängder. En relation ∼ från A till B är en 

delmängd av A × B. 

Då man tolkar en delmängd ∼ av A × B som en relation, med a ∈ A och 

b ∈ B, skrives a ∼ b. Man säger att a är relaterat till b. I de fall då B = A 

pratar man om en binär relation på A. 

A. 

Exempel. 

Låt A = {2,3,4,5,6}. Definiera en relation ∼ på A genom 

x ∼ y ⇔ x|y (x delar y). 

Relationen utgörs då av följande element ur A × A: 

(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5). 

Vi skriver till exempel att 2 ∼ 4 och 2 ∼ 3. 

Vidare definierar vi följande begrepp för binära relationer på en mängd 

Definition 8. En relation ∼ på A är 

(a) reflexiv om a ∼ a, för alla a ∈ A, 

(b) symmetrisk om a ∼ b ⇒ b ∼ a, och 

10

(c) transitiv om a ∼ b och b ∼ c ⇒ a ∼ c. 

Definition 9. En relation på en mängd A som är reflexiv, symmetrisk och 

transitiv utgör en ekvivalensrelation på A. 

Exempel. 

Låt A vara mängden Z av heltal, och n ett fixt positivt heltal. 

Relationen ∼ på Z definierad av 

är en ekvivalensrelation, ty ∼ är 

a ∼ b ⇔ n|a − b 

• reflexiv: n|a − a för alla a ∈ Z, 

• symmetrisk: n|a − b ⇒ n|b − a, 

• transitiv: n|a − b och n|b − a ⇒ n|a − b + b − c ⇔ n|a − c. 

Denna ekvivalensrelation kallas kongruens modulo n och skrives 

a ≡ b mod n. 

Två tal a och b är kongruenta modulo n exakt då a och b ger 

samma rest vid division med n. För n = 3 gäller exempelvis 

4.4 Ekvivalensklasser 

6 ≡ 9 mod 3 och 6 ≡ 10 mod 3. 

Låt A vara en mängd och Ai, för i ∈ I, ett ändligt eller oändligt antal delmängder 

av A. 

Definition 10. Vi säger att {Ai}i∈I utgör en partition av A om 

A = 

Ai och Ai ∩ A j = , då i = j. 

i∈I 

I en partition är med andra ord mängderna Ai parvis disjunkta, och täcker 

tillsammans hela A. 

Exempel 

Antag att A = {1,2,3,4,5,6}. Samlingen av mängder A1 = {1,2,3}, 

A2 = {4,5} och A3 = {6} bildar tillsammans en partition av A, eftersom 

dessa mängder är disjunkta och deras union är A. 

Definition 11. För en ekvivalensrelation ∼ på en mängd A definieras ekvivalensklassen 

[x] tillhörande x ∈ A som mängden 

[x] = {y ∈ A | y ∼ x}. 

11

Klassen [x] utgörs av alla y ∈ A som är ekvivalenta med, det vill säga relaterade 

till, x. 

Exempel. 

Betrakta ekvivalensrelationen kongruens modulo n på Z, och låt 

n = 3. Klassen [0] utgörs av alla heltal kongruenta med 0 modulo 

3, det vill säga alla heltal som vid division med 3 ger samma rest 

som 0 (det vill säga 0). Således är 

Analogt är 

[0] = {...,−3,0,3,...}. 

[1] = {...,−2,1,4,...}, 

[2] = {...,−1,2,5,...}. 

Fortsatt gäller att [3] = [0], [4] = [1], [5] = [2], och så vidare. Inga 

nya delmängder tillkommer, och eftersom [0], [1] och [2] är disjunkta 

bildar de tillsammans en partition av Z. 

5 Icke-intuitiva resultat 

I detta avsnitt presenteras ett antal icke-intuitiva resultat som urvalsaxiomet 

ger upphov till. På grund av sin icke-intuitiva natur uppfattas ofta dessa 

resultat som paradoxala, men eftersom de formellt sett inte ger upphov till 

motsägelser kan de inte sägas vara paradoxer. 

5.1 Fångar i hatt 

Ett uppräkneligt oändligt antal fångar har radats upp på ett led och iklätts 

varsin färgad hatt. Varje fånge ges chansen att gissa färgen på sin hatt en 

gång. Om en fånge gissar rätt friges hen omedelbart, annars skjuts hen på 

fläcken. Varje fånge kan se alla andra fångars hattar, men ej sin egen. 

Givna chansen att i förväg lägga upp en strategi, kan fångarna säkerställa 

att endast ett ändligt antal fångar skjuts? 

Lösning. Låt F vara mängden 

F = {f | f : N → Ω}, 

där Ω = {alla färger}. Definiera ekvivalensrelationen 

där n ∈ N. Låt sedan A vara mängden 

f ∼ g ⇔ ∃ω ∈ N. ∀n ≥ ω. f (n) = g(n), (2) 

A = {[f ] | f ∈ F}, 

12

där [f ] är ekvivalensklasserna definerade så att 

[f ] = {g | g ∼ f }. 

Enligt urvalsaxiomet finns det en urvalsfunktion 

u : A → F 

sådan att ∀[f ] ∈ A. u([f ]) ∈ [f ]. 

Fångarna skapar i förväg gemensamt en mängd B, 

B = {u([f ]) | [f ] ∈ A}. 

När fångarna sedan ställs i ett faktiskt led, givet av en funktion f i F, ser 

varje fånge att f ∼ g för någon funktion g = u([f ]) i B. Varje fånge k gissar nu 

att hen har samma hattfärg som g(k). Men enligt (2) är f (k) = g(k) för alla 

k ≥ ω, varför alla fångar inklusive och efter k = ω kommer att överleva. 

Urvalsaxiomet kan även användas för att bestämma en funktions värde 

i en punkt, givet att övriga punkters funktionsvärden är kända. 

5.2 Funktionsvärdesgissning 

1. Leopold tänker på en godtycklig funktion f : R → R. 

2. Georg väljer ett x ∈ R. 

3. Leopold ger Georg mängden G = {(x0, f (x0)) | x0 = x}. 

4. Georg gissar värdet av f (x). 

Kan Georg gissa rätt med sannolikheten 1? 

Lösning. Låt F vara mängden 

Definiera sedan ekvivalensrelationen 

F = {f | f : R → R}. 

f ∼ g ⇔ ∀x0 ∉ C. f (x0) = g(x0) (3) 

där C = {xi | xi ∈ R,1 ≤ i ∈ N ≤ n, n ändligt}. Låt A vara mängden 

A = {[f ] | f ∈ F}, 

där [f ] är ekvivalensklasserna definierade sådana att 

[f ] = {g | g ∼ f }. 

13

Enligt urvalsaxiomet existerar en urvalsfunktion 

u : A → F 

sådan att ∀[f ] ∈ A. u([f ]) ∈ [f ]. Georg skapar mängden 

B = {u([f ]) | [f ] ∈ A}. 

När Georg väljer sitt x gör han det med likformig sannolikhetsfördelning 

från ett godtyckligt valt intervall [a, b] ∈ R. När sedan Leopold ger Georg 

mängden G ser Georg att f ∼ g, för någon funktion g = u([f ]) i B. Om Georg 

nu gissar att f (x) = g(x) så kommer han att gissa rätt så länge x ∉ C i (3). Men 

sannolikheten att med likformig sannolikhetsfördelning välja ett tal från den 

ändliga mängden C av ett oändligt antal möjliga tal på [a, b] är noll. Georg 

gissar därför rätt med sannolikheten 1, oavsett vilket f Leopold väljer. 

6 Mått och mätbarhet 

Inom måtteorin är Lebesgue-måttet[23], uppkallat efter den franske matematikern 

Henri Lebesgue (1875-1941), det standardiserade sättet att tilldela 

mått till delmängder av det Euklidiska rummet R n . För n = 1, 2 och 3 

sammanfaller Lebesgue-måttet med vårt vanliga sätt att mäta längd, area 

respektive volym. I det allmänna fallet talar man om n-dimensionell volym, 

n-volym eller bara volym. Mängder som kan tilldelas Lebesgue-mått säges 

vara Lebesgue-mätbara, och måttet för en sådan mängd A skrives λ(A). 

I detta avsnitt kommer vi att begränsa oss till mätning av längd på den 

reella talaxeln R, och vi skall visa att man med hjälp av urvalsaxiomet kan 

konstruera en icke Lebesgue-mätbar, begränsad delmängd av denna. 

6.1 Mått på intervall 

För att kunna bilda en icke Lebesgue-mätbar mängd behöver vi först redogöra 

för några av Lebesgue-måttets egenskaper för mätning av längd i R, vilka 

presenteras nedan. 

1. λ(A) ≥ 0 för alla Lebesgue-mätbara mängder A. 

2. En enhetslängd har längden 1. 

3. Om U är en disjunkt union av ett uppräkneligt antal disjunkta, 

Lebesgue-mätbara mängder An så är U själv Lebesguemätbar 

och λ(U) = λ(∪n An) = n 

i=1 λ(Ai). 

4. Om A är en Lebesgue-mätbar mängd och λ(A) = 0, en så 

kallad nollmängd, så är varje delmängd av A också en nollmängd. 

14

5. Om A är en Lebesgue-mätbar mängd och x ∈ R så är translationen 

(parallellförflyttningen) av A med x defienerad av 

A + x = {a + x | a ∈ A} även den Lebesgue-mätbar, med samma 

längd som A. Vidare är en delmängd B av R Lebesguemätbar 

om och endast om B + x är Lebesgue-mätbar. 

6.2 Existensen av en icke-mätbar mängd 

Sats 1. Det existerar på intervallet ]0,1[ en icke Lebesgue-mätbar delmängd 

av R.[24, s. 32] 

Bevis. Definiera relationen ∼ på R genom 

a ∼ b ⇔ a − b ∈ Q. 

Man verifierar lätt att ∼ är en ekvivalensrelation: den är reflexiv (a ∼ a för 

alla a), symmetrisk (a ∼ b medför att b ∼ a) och transitiv (a ∼ b och b ∼ c 

medför att a ∼ c). Observera att varje ekvivalensklass tillhörande ∼ för något 

a kan skrivas på formen Q+a, och är sålunda tät 7 i R. Eftersom dessa ekvivalensklasser 

är disjunkta, och eftersom varje dito skär intervallet ]0,1[ kan vi 

med hjälp av urvalsaxiomet skapa en delmängd E ⊆]0,1[ innehållande exakt 

ett element ur varje ekvivalensklass. Vi skall nu visa att E är icke-mätbar. 

Låt {rn} vara en uppräkning av de rationella talen i intervallet ] − 1,1[, 

och låt En = E + rn för varje n. Vi skall kontrollera att 

(a) delmängderna En är disjunkta, 

(b) ∪nEn ligger i intervallet ] − 1,2[, och 

(c) intervallet ]0,1[ ligger i ∪nEn. 

För att bekräfta (a) antar vi att Em ∩ En = . Det finns då element e och 

e ′ i E sådana att e + rm = e ′ + rn, varur det följer att e ∼ e ′ (omflyttning ger 

e − e ′ = rn − rm, som ju är rationellt). Men då är ju e = e ′ och n = m, vilket 

visar (a) eftersom det endast finns ett element från varje ekvivalensklass i 

E. Kriterium (b) uppfylles av att E ⊆]0,1[ och att varje term i {rn} ligger i 

] − 1,1[. Betrakta nu (c). Låt b vara ett godtyckligt element i ]0,1[, och låt e 

vara det element i E som uppfyller b ∼ e. Då är b − e rationellt och återfinns i 

intervallet ]−1,1[ (både b och e ligger ju i ]0,1[), och kan således skrivas som 

rn för något n. Därav följer att b ∈ En, och (c) är visad. 

Antag att mängden E är Lebesgue-mätbar. Då är för varje n delmängden 

En mätbar, varför egenskap (a) ovan medför att 

 

 

λ 

En 

n 

 

= 

λ(En). 

7 En tät mängd är en delmängd A till ett topologiskt rum X sådan att det i varje omgivning 

till varje element x ∈ X finns ett element ur A. 

15 

n

Vidare följer av invarians vid translation att λ(En) = λ(E) för varje n. Sålunda 

gäller att om λ(E) = 0 så är λ(∪nEn) = 0, vilket motsäger (c) ovan, medan 

om λ(E) = 0 är λ(∪nEn) = +∞ (alla En har ju samma längd, nämligen λ(E), 

och de är dessutom oändligt många), vilket i sin tur motsäger (b). Antagandet 

att E är Lebesgue-mätbar leder alltså till en motsägelse, och beviset är 

klart. 

Detta bevis är en modifierad variant av italienaren Giuseppe Vitalis (1875- 

1932) konstruktionbevis av denna sats[25], vilket var det första exemplet på 

en omätbar mängd. Mängden Vitali konstruerade i sitt bevis kallas Vitalimängden. 

7 Banach-Tarskis sats 

Banach-Tarskis sats är en tämligen icke-intuitiv sats som bevisades av polackerna 

Stefan Banach (1892-1945) och Alfred Tarski (1901-1983) år 1924 i 

deras artikel Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement 

congruentes.[26] Satsen kan formuleras som följer.[27] 

Sats 2 (Banach-Tarski). Om X och Y är begränsade delmängder av R 3 med 

icke-tomma inren så existerar ett tal n ∈ N och partitioner {X i | 1 ≤ i ≤ n} och 

{Yi | 1 ≤ i ≤ n} av X respektive Y sådana att X i är kongruent 8 med Yi för alla 

i. 

Låt nu X vara ett klot i rummet och Y vara unionen av två translaterade 

kopior av X. Då gäller enligt satsen att X kan delas upp i ett finit antal 

bitar och sedan roteras och translateras så att resultatet blir hela Y , det vill 

säga två kopior av X. Det bör poängteras att en uppdelning av detta slag 

är fysikaliskt omöjlig, ty bitarna är omätbara i den mening som definierades 

tidigare. 

Beviset lämnas åt läsaren som övning. (Tips: använd urvalsaxiomet.) 

8 Geometrisk kongruens; två delmängder av R 3 är kongruenta om den ena efter ett ändligt 

antal rotationer och translationer kan överföras på den andra. 

16

Referenser 

[1] E. Zermelo: Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. 

Mathematische Annalen 59, s. 514-516, 1904, http://resolver.sub.unigoettingen.de/purl?GDZPPN002260018 

[2] E. Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. 

Mathematische Annalen 65, s. 261-281, 1908, http://resolver.sub.unigoettingen.de/purl?GDZPPN002262002 

[3] G. Cantor: Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen 

Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, s. 

258-262, 1874, http://www.cs.elte.hu/ badam/matbsc/11o/cantor1874.pdf 

[4] P.E. Johnson: The Genesis and Development of Set Theory. The Two-Year 

College Mathematics Journal 3, s. 55-62, 1972 

[5] G. Cantor: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. Journal für die reine 

und angewandte Mathematik 84 s.242-258, 1878 

[6] T. Gowers, J. Barrow-Green, I. Leader: Princeton Companion to 

Mathematics, Princeton University Press, s.778-780, 2008, ISBN: 

9781400830398 

[7] G. Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. I. 

Mathematische Annalen 46, s.481-512, 1895 

[8] K. Gödel: The Consistency of the Axiom of Choice and of the 

Generalized Continuum-Hypothesis. Proceedings of the National 

Academy of Sciences of the USA 24, s.556-557, 1938, 

http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez& 

artid=1077160 

[9] P. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis I. Proceedings 

of the National Academy of Sciences of the USA 50, s. 1143-1148, 1963, 

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC221287/pdf/pnas00240- 

0135.pdf 

[10] P. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis 

II. Proceedings of the National Academy 

of Sciences of the USA 51, s. 105-110, 1964, 

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC300611/pdf/pnas00175- 

0117.pdf 

[11] H. Curry: Foundations of Mathematical Logic. Courier Dover Publications, 

s. 5, 1963 

17

[12] G. Cantor, red. E. Zermelo: Gesammelte Abhandlungen mathematischen 

und philosophischen inhalts, Berlin: J. Springer, 1932 

[13] C. Burali-Forti: Una questione sui numeri transfiniti. Rendiconti del Circolo 

Matematico di Palermo 11, s. 154-164, 1897 

[14] J. van Heijenoort: From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical 

Logic 1879-1931, Harvard University Press, 1967 

[15] B. Russell: The Principles of Mathematics, W. W. Norton & Company, 

Inc, 1903 

[16] B. Russell: Mathematical logic as based on the theory of types 

American Journal of Mathematics 30, s.222-262, 1908, 

http://www.jstor.org/stable/pdfplus/2369948.pdf 

[17] K. Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica 

und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38, 

s. 173-198, 1931 

[18] H. Weyl: Über die Definition der mathematischen Grundbegriffe 

Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter 7, s. 93-95, 1910 

[19] H. Weyl: Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen 

der Analysis, Leipzig: Veit, 1918 

[20] S. Roman: Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics 

135, New York: Springer-Verlag, Upplaga 3, 2005, ISBN: 978-0-387- 

24766-3 

[21] A. Blass: Existence of bases implies the axiom of choice. Contemporary 

Mathematics 31, s. 31-33, 1984 

[22] L.C. Böiers: Diskret Matematik, Studentlitteratur, Upplaga 2:6, 2003 

[23] http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure, 2012-04-25 

[24] D. Cohn: Measure Theory, Stuttgart: Birkhäuser, 1980, ISBN: 3-7643- 

3003-1 

[25] G. Vitali: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, 

Bologna: Tipografia Gamberini e Parmeggiani, 1905 

[26] S. Banach, A. Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points 

en parties respectivement congruentes. Fundamenta Mathematicae 6, s. 

244-277 

[27] K. Stromberg: The Banach-Tarski Paradox. The American Mathematical 

Monthly 86, s. 151-161, 1979 

18

En populärvetenskaplig introduktion till urvalsaxiomet och dess ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?