Hela kompendiet - Åbo Akademi

˚ABO AKADEMI 

TEKNISKA DEPARTMENT OF 

FAKULTETEN ENGINEERING 

Laboratoriet för Process Control 

reglerteknik Laboratory 

LOGIKSTYRNING 

Hannu Toivonen 

Jari Böling 

Augusti 2012 

Biskopsgatan 8 

FIN–20500 ˚Abo Finland

Inneh˚all 

0 Inledning 5 

0.1 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1 Klassisk logik och boolesk algebra 9 

1.1 Insignaler, utsignaler och tillst˚and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.2 Propositionskalkyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.3 Boolesk algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4 N˚agot om implementeringen av logiska funktioner . . . . . . . . . . . . . . 14 

2 Booleska funktioner 17 

2.1 Disjunktiv och konjunktiv normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.2 Förenkling av booleska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.2.1 Karnaugh-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.2.2 QMC-metoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.2.3 System med flera utsignaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.2.4 Konjunktiv minimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.3 Kombinatoriska automationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3 Sekvensstyrningsproblem 35 

3.1 Syntes av sekventiella system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.2 Deterministiska sekvensstyrningsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4 Programmerbar logik 45 

4.1 Funktionssättet hos en PLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

4.2 Programmering av en PLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.2.1 L˚ag-niv˚a programmeringsspr˚ak (IL) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.2.2 Kontaktdiagram (LD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.2.3 Function Block Diagram (FBD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

5 Petri nät 53 

6 Planering av säkerhet för styrsystem 59 

3

4 INNEH ˚ ALL

Kapitel 0 

Inledning 

Man kan dela in regler- och styrproblem i tre grupper: 

1. Reglering och styrning av procesesser som kan beskrivas med hjälp av differential- eller differensekvationer. 

Ing˚aende variabler beskrivs av reella tal. T.ex. temperatur, spänning, position och 

dylikt. 

r 

✲ 

+ ✻ 

- 

✲ Gk 

u 

✲ 

Gp 

2. Styrning av sekventiella processer, vars dynamiska egenskaper karakteriseras av diskreta händelser. 

Ing˚aende variabler beskrivs av logiska tal eller heltal. T.ex. en ventil som kan vara öppen eller 

stängd, en beh˚allare som kan vara tom, halvfull eller full. 

3. Hybrida system, blandning av ovanst˚aende typer. 

I samtliga fall s˚a önskar man styra processessen s˚a att önskad funktion uppn˚as. Kursen logikstyrning är 

inriktad p˚a grupp 2. 

Exempel p˚a logikstyrningsproblem 

• Processindustrin: 

– Start och nedkörning av processer 

– Byte av driftstillst˚and 

– Säkerhetssystem, ˚atgärder vid felsituationer 

– Operation av batch-processer 

• Styckegodsindsutrin 

– Operation av verktyg 

– Robotar 

• Vardagen 

– Tjuvlarm 

– Bankomater 

– All slags elektronik 

• Telefonväxlar 

5 

y ✲

6 KAPITEL 0. INLEDNING 

Angränsande omr˚aden: 

• Digitalteknik och elektronik 

• Datateknik: Realtidssystem 

Denna kurs fokuserar p˚a industriella sekvensstyrningsproblem och implementering med hjälp av programmerbar 

logik. 

Exempel 0.1 Blandningsprocess 

Reaktor 

A B 

VA 

❄ ❄ 

∞ 

❄ 

Önskad funktion för blandningsprocessen: 

Reaktorna skall fyllas med inneh˚allen i beh˚allarna A och B, reaktorns inneh˚all skall omröras och uppvärmas 

till 80 o C, varefter reaktorn skall tömmas. 

VR 

VB

Schematiskt: 

Stäng VA d˚a A tom 

Reaktorn tom 

VR stängd 

Öppna VA och VB 

A töms B töms 

A tömd 

Stäng VB d˚a B tom 

B tömd 

Sl˚a p˚a uppvärming 

Uppvärming 

Sl˚a av uppvärming och 

öppna VR d˚a T ≥ 80 o C 

Reaktorn töms 

Stäng VR d˚a reaktorn tom 

Slut 

Problemet att styra sekventiella processer av denna typ är ett exempel p˚a logikstyrning: styrningen kan 

realiseras med hjälp av logiska funktioner av typen 

Utför aktionen A ifall premissen P är uppfylld 

Logikstyrning implementerades tidigare med hjälp av reläer, och numera oftast med programmerbar logik. 

Sm˚a sekvensstyrningsproblem kräver ingen djupare analys, utan implementeringen kan vanligen baseras 

p˚a enkel boolesk algebra. Större system är däremot inte s˚a lätta att överblicka, utan fordrar systematiska 

analysmetoder. 

7

8 KAPITEL 0. INLEDNING 

0.1 Litteratur 

Litteratururvalet p˚a detta omr˚ade är inte särskilt stort, och det finns egentligen ingen bok som skulle vara 

riktigt lämplig som kursbok. Följande böcker kan dock nämnas som bredvidläsning för den intresserade: 

1. L. Alm: Styrteknik. Studentlitteratur 1991. Fokuserar p˚a verkstads- och styckegodsprocesser. 

2. W. Bolton: Programmable logic controllers. Newnes, fjärde upplagan, 2006. 

3. G.C. Cassandras och S Lafortune: Introduction to discrete event systems. Kluwer 1999 och Springer 

2007. Ganska teoretisk, behandlar Petri-nät utförligt. 

4. M. Costanza: Programmable logic controllers - The industrisl computer. Arnold 1997. 

5. A.J Crispin: Programmable logic controllers and their engineering applications. McGraw-Hill 1997. 

Inneh˚aller IEC-standarden för programmering av PLC:n. 

6. K.H. Fasol: Binäre steuerungstechnik. Springer 1988. 

7. T. Floyd: Digital fundamentals. Prentice-Hall 1997. 

8. S. Friedman: Logical design of automation systems. Prentice-Hall 1980. 

9. B. Haag: Industriell systemteknik – Ellära, elektronik och automation. Studentlitteratur 1998. 

10. T.R. McCalla: Digital logic and computer design. MacMillan 1992. 

11. E.W. Kamen: Industrial controls and manufacturing. Academic Press 1999. 

12. J. Palmer och D. Perlman: Introduction to digital systems (Schaum’s outline). McGraw-Hill 1993. 

13. M. Treseler: Designing state machine controllers using programmable logic. Prentice Hall 1992.

Kapitel 1 

Klassisk logik och boolesk algebra 

1.1 Insignaler, utsignaler och tillst˚and 

Ett sekvensstyrsystem kan schematiskt framställas i form av följande diagram: 

✲ 

✲ 

u1 

y1 

✲ 

✲ 

u2 

y2 

. . 

✲ 

. 

. 

. 

. . 

✲ . 

un 

ym 

✲ 

. 

✲ 

. 

. 

x1 

. 

xp 

✛ 

x 

. 

. 

✛ 

. 

+ 1 , . . . , x+ Insignaler (fr˚an process) Utsignaler(till process) 

Logisk 

funktion 

Nytt 

tillst˚and 

Tillst˚and 

p 

Minne 

Insignaler, utsignaler och tillst˚and antas i denna kurs ha logiska värden. Utsignalernas Y = {yi} och det 

interna tillst˚andens X + = {x + 

i } nya värden bestäms som funktioner av insignalerna U = {ui} och de 

tidigare tillst˚anden X = {xi}. Dessa funktioner kan i praktiken beskrivas med hjälp av klassisk logik 

eller, analogt, med boolesk algebra. 

Exempel 1.1 Transportör 

Insignaler: U = {ui} 

1. G˚a till vänster (← -knapp) 

2. G˚a till höger (→ -knapp) 

3. Stopp (STOP-knapp) 

4. Lägessensor vid A (A) 

5. Lägessensor vid B (B) 

A B 

9

10 KAPITEL 1. KLASSISK LOGIK OCH BOOLESK ALGEBRA 

Tillst˚and: X = {xi} 

1. Stillast˚aende vid A 

2. Stillast˚aende vid B 

3. Stillast˚aende mellan A och B 

4. P˚a väg mot höger (mot B) 

5. P˚a väg mot vänster (mot A) 

Utsignaler: Y = {yi} 

1. Mot vänster (V) 

2. Mot höger (H) 

3. Stilla (S) 

Styrsystemets funktion kan representeras med hjälp av en graf, s.k. tillst˚andsgraf, där 

• tillst˚and representeras av noder, 

• tillst˚andsöverg˚angar representeras av riktade länkar mellan noderna, och 

• insignal resp. utsignal associerade med tillst˚andsöverg˚angen anges vid länken. 

xi 

un/ym✲ 

Exempel 1.2 Tillst˚andsgraf för styrsystemet i exempel 1.1. 

✿ 4 

→ /H ✻ 

A/S 

1 ② 

→ /H 

3 

③ 

2 

← /V 

A/S 

❄ 

✾ 

5 

← /V 

✻ 

ST OP/S 

❄ 

ST OP/S 

I en tillst˚andstabell (Huffman-tabell) anges 

xj 

xs/yk = (följande tillst˚and/utsignal) 

som funktion av insignaler och tillst˚and i tabellform. 

Exempel 1.3 Tillst˚andstabell för styrsystemet i exempel 1.1. 

Insignaler 

← → STOP A B 

Tillst˚and 1 2 3 4 5 

1. Vid A 1/S 4/H 1/S 1/S (1/S) 

2. Vid B 5/V 2/S 2/S (2/S) 2/S 

3. Mellan A och B 5/V 4/H 3/S 1/S 2/S 

4. Mot B 3/S 4/H 3/S 4/H 2/S 

5. Mot A 5/V 3/S 3/S 1/S 5/V 

Vissa situationerna förekommer ej normalt (beteckna dessa med parentes), endast vid felsituationer. För 

att felsituationerna skall klaras av, bör man i praktiken definiera förnuftiga tillst˚andsöverg˚angar och 

aktioner även för dessa situationer. 

I praktiken kan sekvensstyrningsproblem ofta leda till tämligen komplicerade operationer. Det krävs d˚a 

systematiska metoder vid planeringen av systemet. Analys och syntes av sekventiella processer baserar 

sig i hög grad p˚a klassisk logik och boolesk algebra. Vi skall därför börja med att behandla dessa.

1.2. PROPOSITIONSKALKYL 11 

1.2 Propositionskalkyl 

Propositionskalkylen eller propositionslogiken är en del av den formella logiken som kan härledas tillbaka 

till Aristoteles (382 – 322 f.Kr.). I propositionskalkylen är grundbyggstenarna p˚ast˚aenden, eller 

propositioner. Ett p˚ast˚aende är antingen sant (S) eller falskt (F ). 

Exempel 1.4 Propositioner 

Tydligen gäller P = S, Q = F . 

P : ’Granen är ett finskt trädslag’ 

Q : ’Kokospalmen växer vild p˚a ˚ Aland’ 

I propositionskalkylen sammansätts propositioner till nya propositioner med hjälp av de logiska konnektiven 

”och”, ”eller” samt negationen ”icke”. Man brukar använda beteckningarna 

∨ ”eller” (OR) 

∧ ”och” (AND) 

P ”icke P” (NOT P) 

Propositionkalkylens konstanter är S (sann) och F (falsk). För dessa införs följande postulat, som är i 

enlighet med vardagens spr˚akbruk och intuition: 

F ∨ F = F (P 1) 

S ∨ S = S (P 2) 

S ∨ F = F ∨ S = S (P 3) 

S ∧ S = S (P 4) 

F ∧ F = F (P 5) 

F ∧ S = S ∧ F = F (P 6) 

F = S (P 7) 

S = F (P 8) 

Ur dessa postulat följer för en godtycklig proposition x (vars sanningshalt, S eller F , inte är given, dvs. 

en variabel) följande samband: 

x ∨ x = x (R1) 

x ∨ x = S (R2) 

x ∨ S = S (R3) 

x ∨ F = x (R4) 

x ∧ x = x (R5) 

x ∧ x = F (R6) 

x ∧ F = F (R7) 

x ∧ S = x (R8) 

x = x (R9) 

Vidare kan logiska samband för uttryck som inneh˚aller tv˚a eller flera propositioner härledas. N˚agra av de 

viktigaste sambanden i propositionskalkylen kommer att diskuteras nedan i samband med den booleska 

algebran.


1.3 Boolesk algebra 

Boole introducerade ˚ar 1854 en tv˚avärd algebra som är isomorf 1 med propositionskalkylen. P˚a detta sätt 

var det möjligt att beskriva den klassiska logiken matematiskt (i form av en tv˚avärd algebra). I boolesk 

algebra antar variabler n˚agot av värdena (konstanterna) 0 eller 1. Operationerna i boolesk algebra är 

ELLER (OR), logisk summa (disjunktion), med beteckningen + (x + y) 

OCH (AND), logisk produkt (konjuktion), med beteckningen · (x · y eller xy) 

ICKE (NOT), logisk invers, med beteckningen x (= icke x). Beteckningarna x ′ och ¬x används även. 

Operationerna definieras med hjälp av följande postulat: 

Operationerna kan sammanfattas i form av en sanningstabell: 

0 + 0 = 0 (P 1) 

1 + 1 = 1 (P 2) 

0 + 1 = 1 + 0 = 1 (P 3) 

1 · 1 = 1 (P 4) 

0 · 0 = 0 (P 5) 

0 · 1 = 1 · 0 = 0 (P 6) 

0 = 1 (P 7) 

1 = 0 (P 8) 

A B A A + B AB 

0 0 1 0 0 

1 0 0 1 0 

1 1 0 1 1 

0 1 1 1 0 

Förutom ovannämnda operationer brukar man införa ytterligare ett antal operatationer: 

Dessa operationer beskrivs av sanningstabellen 

NOR (icke eller) A + B 

XOR (exklusivt eller) A ⊕ B 

XNOR (exklusivt NOR) A ⊕ B 

NAND (icke och) AB 

A B A + B A ⊕ B A ⊕ B AB 

0 0 1 0 1 1 

1 0 0 1 0 1 

1 1 0 0 1 0 

0 1 0 1 0 1 

Den egenskap som gör boolesk algebra speciellt viktig är dess isomorfi med propositionskalkylen. Denna 

isomorfi ges enligt följande: 

1 isomorf = med samma struktur 

Boolesk algebra Propositionskalkyl 

1 ←→ S 

0 ←→ F 

+ ←→ ∨ 

· ←→ ∧ 

x ←→ x

1.3. BOOLESK ALGEBRA 13 

Postulaten (P 1) − (P 8) för propositionskalkyl respektive boolesk algebra är ekvivalenta om man substituerar 

konstanter och operationer enligt ovan. 

Alla de lagar i logiken som följer ur propositionskalkylens postulat (P 1) − (P 8) har s˚aledes sina exakta 

motsvarigheter i boolesk algebra. Den klassiska logiken (beskriven av propositionskalkyl) kan s˚aledes 

representeras rent algebraiskt i form av den tv˚avärda booleska algebran. 

Sambanden (R1) − (R9) givna tidigare för propositionskalkylen blir för boolesk algebra: 

x + x = x (R1) 

x + x = 1 (R2) 

x + 1 = 1 (R3) 

x + 0 = x (R4) 

x · x = x (R5) 

x · x = 0 (R6) 

x · 0 = 0 (R7) 

x · 1 = x (R8) 

x = x (R9) 

I följande tabell anges n˚agra av de viktigaste räknereglerna för tv˚a och tre variabler, som kan härledas 

fr˚an postulaten (P 1) − (P 8). 

Associationslagar: 

(R10) x + (y + z) = (x + y) + z 

(R11) x(yz) = (xy)z 

Kommutationslagar: 

(R12) x + y = y + x 

(R13) xy = yx 

Distributionslagar: 

(R14) x(y + z) = xy + xz 

(R15) x + yz = (x + y)(x + z) 

Absorptionslagar: 

(R16) x + xy = x 

(R17) x(x + y) = x 

Transivitetslagar (konsensus): 

(R18) xy + xz + yz = xy + xz 

(R19) (x + y)(x + z)(y + z) = (x + y)(x + z) 

de Morgans lagar: 

(R20) x + y = x · y 

(R21) xy = x + y 

Lagarna kan direkt generaliseras till flera variabler. De Morgans lagar generaliseras t.ex. till 

(R20) ′ x1 + x2 + . . . + xn = x1 · x2 · . . . · xn 

(R21) ′ x1 · x2 · . . . · xn = x1 + x2 + . . . + xn 

Anm. S˚asom nedan framg˚att, följer ur isomorfin mellan propositionskalkyl och boolesk algebra att alla 

lagar som kan härledas för den senare har sin motsvarighet i propositionskalkyl. 

Uppgift 1.1 Ange de Morgans lagar med hjälp av propositionskalkyl. 

Alla lagar i boolesk algebra följer ur postulaten (P 1) − (P 8). Lagarna kan visas och härledas, antingen 

• genom att undersöka de ing˚aende uttryckens värden för samtliga kombinationer av variabelvärden 

med hjälp av en sanningstabell, och konstaterande av ekvivalens (sk. perfekt induktion), eller 

• genom algebraisk härledning och användning av redan bevisade lagar.


Vi skall illustrera procedurerna med exempel: 

Uppgift 1.2 Visa a) de Morgans lagar 

b) transivitetslagen (R18) 

1.4 N˚agot om implementeringen av logiska funktioner 

C.E. Shannon visade ˚ar 1938 (i sitt diplomarbete) att boolesk algebra kan användas för att beskriva 

funktionen hos vissa elektriska och elektroniska kretsar, t.ex. de som används i telefonväxlar. Omvänt 

kan varje logisk samband som kan beskrivas med boolesk algebra implementeras elektroniskt. 

L˚at tillst˚andet hos en kontakt representera en variabel x, s˚a att 

x = 1 d˚a kontakten är sluten 

x = 0 d˚a kontakten är öppen 

och l˚at en spänningsniv˚a representera en variabel z, enligt 

z = 1 d˚a spänningen är hög (typiskt 2.4 − 5.5V ) 

z = 0 d˚a spänningen är l˚ag (typiskt 0 − 0.4V ) 

5.5V 

2.4V 

0.4V 

0 

z = 1 

z = 0 

Operationerna i den booleska algebran kan d˚a implementeras med hjälp av s.k. logiska grindar. T.ex. 

1 x y 

z = xy (AND) 

x 

1 z = x + y (OR) 

y 

I praktiken är den elektroniska realiseringen av olika grindtyper betydligt mer komplicerad. Tabell 1.1 

ger en sammanfattning av symbolerna för de enkla logiska grindarna.

1.4. N ˚ AGOT OM IMPLEMENTERINGEN AV LOGISKA FUNKTIONER 15 

Tabell 1.1: Symbolerna för de logiska grindarna (Källa: Sten Gustafsson) 

Grind Funktion IEC−symbol Amerikansk symbol 

Buffert 

Inverterare 

OCH 

NAND 

ELLER 

NOR 

XOR 

X = A 

X = A 

X = A . B 

X = A . B 

X = A + B 

X = A + B 

X = A + B 

1 

A X 

1 

A X 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

& 

& 

1 

>− 

1 

>− 

=1 

X 

X 

X 

X 

X 

A X 

Förutom symbolerna i tabell 1.1 anges invertering av insignalen symboliskt, t.ex.: 

x = A · B: 

A 1 & 

B 

A 1 

B 

x = A + B: 

1 

≥ 1 

x ≡ 

x ≡ 

B 

A 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

A & 

A ≥ 1 

De enkla logiska grindarna kan användas för implementering av allmänna logiska funktioner, och kan 

s˚aledes utnyttjas för processtyrningsproblem. 

Uppgift 1.3 Planera ett nät som med hjälp av logiska grindar realiserar den logiska funktionen x = 

AB + AC 

B 

X 

X 

X 

X 

X 

X 

x 

x


Det är lätt att inse att de logiska grindarna ocks˚a kan implementeras mekaniskt, hydrauliskt eller pneumatiskt. 

I den sistnämnda representeras variablerna av ventillägen (öppen/stängd) samt tryck (högt/l˚agt). 

Dessa metoder finns närmare beskrivna i speciallitteraturen. 

Figur 1.1: Exempel p˚a mekaniska logiska grindar 

Figur 1.2: Exempel p˚a pneumatiska logiska grindar 

I praktiken implementeras ˚atminstone enklare logiska styrproblem ofta elektroniskt med hjälp av logiska 

grindar som baserar sig p˚a halvledarteknik, vilken ersatt tidigare reläteknik. I omgivningar där elektroniska 

komponenter är olämpliga, t.ex. p.g.a. explosionsfara, används även pneumatiska logiska grindar. 

Mera komplicerade logikstyrningsproblem implementeras nuförtiden med hjälp av s.k. programmerbar logik. 

Dessa är sm˚a, billiga datorer speciellt konstruerade för sekvensstyrningsproblem i industriell miljö. 

Ocks˚a vanliga mikrodatorer används. Realiseringen av sekvensstyrningsproblem med hjälp av programmerbara 

datorer tas upp i kapitel 4.

Kapitel 2 

Booleska funktioner 

2.1 Disjunktiv och konjunktiv normalform 

L˚at x1, . . . , xn vara booleska variabler. En boolesk funktion f(x1, . . . , xn) är d˚a en funktion av variablerna 

x1, . . . , xn som antar n˚agot av värdena 0 eller 1. Funktionen kan beskrivas fullständigt med en 

funktionstabell, i vilken funktionens värde anges för alla de olika kombinationer av variabelvärden. 

Följande exempel illustrerar hur funktionstabellen p˚a ett helt naturligt sätt kan konstrueras p˚a basen av 

specifikationerna för ett logikstyrningsproblem. 

Exempel 2.1 Funktionstabell 

Betrakta en konsol som styr en maskin. Maskinen kan startas och stoppas med en ON/OFF switch. 

Dessutom finns en nyckel utan vilken konsolen ej kan opereras. Styrsystemet har följande insignaler: 

A representerar ON/OFF switchen: 

A = 1, om switchen befinner sig i ON läget 

A = 0, om switchen befinner sig i OFF läget 

B representerar l˚aset: 

B = 1, om nyckeln är i 

B = 0, om nyckeln inte är i 

C representerar maskinen: 

C = 1, om maskinen g˚ar 

C = 0, om maskinen st˚ar 

Utsignalen X fr˚an styrsystemet skall styra maskinen: 

X = 1 anger att maskinen skall g˚a, 

X = 0 anger att maskinen skall stanna eller st˚a. 

Utsignalen X skall vara definierad för varje tänkbar kombination av insignalerna A,B och C. Detta kan 

sammanfattas i nedanst˚aende funktionstabell. Observera att man kan ta bort nyckeln utan att motorn 

stängs av, men att ON/OFF switchen d˚a slutar fungera. 

Funktionstabell Minterm Maxterm 

A B C X pi p i 

0 0 0 0 A B C A + B + C 

0 0 1 1 A BC A + B + C 

0 1 0 0 ABC A + B + C 

0 1 1 0 ABC A + B + C 

1 0 0 0 AB C A + B + C 

1 0 1 1 ABC A + B + C 

1 1 0 1 ABC A + B + C 

1 1 1 1 ABC A + B + C 

17

18 KAPITEL 2. BOOLESKA FUNKTIONER 

Funktionstabellen definierar X som en boolesk funktion X(A, B, C). Oberoende av sättet p˚a vilket logikstyrningsproblemet 

realiseras bör den booleska funktionen X = X(A, B, C) uttryckas i form av ett 

explicit booleskt uttryck i variablerna A, B och C. 

Vi söker allts˚a ett funktionsuttryck som antar de värden som kolumnen för X anger för de olika variabelkombinationerna. 

Ett s˚adant kan enkelt konstrueras p˚a följande sätt. För givna värden p˚a variablerna 

A, B och C s˚a finns enbart en term pi best˚aende av produkten av alla variabler (med eller utan icke) 

som tar värdet 1 (nämligen det som finns angivet i motsvarande rad i tabellen), medan de övriga är 0. Vi 

kan ta en pi för varje situation vid vilken X skall bli 1, och uttrycka X som summan dessa termer (jmf. 

tabellen) 

X = A BC + ABC + ABC + ABC 

I uttrycket ovan kallas A BC, osv., termer, och uttrycket för X är ett exempel p˚a disjunktiv form (summa 

av produkter). En disjunktiv form där varje variabel förekommer i varje term kallas disjunktiv normalform. 

En term där varje variabel förekommer kallas minterm (minimalpolynom, elementarprodukt). Termerna 

pi i tabellen är mintermer. 

Vi kan även konstruera termer p i som för givna värden p˚a variablerna A, B och C är den enda summan 

av alla variabler (med eller utan icke) som är 0. Man kan p˚a motsvarande sätt välja alla termer p i som 

motsvaras av variabelvärden för vilka X skall vara noll, och uttrycka X som produkten av dessa. I det 

här fallet f˚as 

X = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) 

Detta uttryck är ett exempel p˚a konjunktiv form (produkt av summor). Faktorerna i en konjunktiv form 

kallas altermer. En konjunktiv form i vilken varje variabel förekommer i varje alterm kallas konjunktiv 

normalform. Altermerna i en konjunktiv normalform kallas maxtermer (maximalpolynom, elementarsummor). 

Termerna p i i tabellen är maxtermer. 

Ur konstruktionerna ovan är det uppenbart att vilken som helst boolesk funktion kan beskrivas med ett 

uttryck i disjunktiv form, eller alternativt ett uttryck i konjunktiv form (Shannons expansionsteorem). 

Dessa uttryck kan konstrueras direkt p˚a basen av funktionstabellen. Detta resultat visar ocks˚a att en 

godtycklig boolesk funktion alltid kan uttryckas med hjälp av ett algebraiskt uttryck i den booleska 

algebran, vilket inte är helt självklart p˚a förhand. 

2.2 Förenkling av booleska uttryck 

D˚a ett logikstyrningsproblem karakteriseras med hjälp av en eller flera booleska funktioner blir de erh˚allna 

booleska funktionsuttrycken ofta onödigt komplicerade. För att kunna realisera en funktion möjligast 

enkelt (minsta antalet logiska grindar, eller minsta antalet programsteg) är det av vikt att kunna förenkla 

booleska uttryck. Förenklingen kan alltid göras algebraiskt, genom att använda den booleska algebrans 

räknelagar. 

Uppgift 2.1 Hur m˚anga logiska grindar behövs att realisera den booleska funktionen i exempel 2.1? 

Uppgift 2.2 Förenkla uttrycket x = (A + B)(B + C)(C + A)(ABC + A B C) 

Den algebraiska metoden har ˚atminstone följande nackdelar: 

1. Klar systematik saknas 

2. Metoden besvärlig i synnerhet d˚a variablernas antal ökar 

3. Metoden ger ingen garanti för att det uttryck som erh˚alls faktiskt är det enklaste, och ej kan 

förenklas vidare. 

Det har utvecklats systematiska metoder för förenkling av booleska funktionsuttryck, med vilka förenklingen 

kan göras effektivare, och vilka producerar det enklast möjliga uttrycken.

2.2. FÖRENKLING AV BOOLESKA UTTRYCK 19 

2.2.1 Karnaugh-diagram 

En standard procedur för förenkling av booleska funktioner baserar sig egenskaperna hos s.k. Karnaughdiagram. 

I dessa anges funktionsvärdena i rutor i ett diagram. Varje ruta motsvarar en kombination av 

variabelvärden. Nedan ges exempel p˚a Karnaugh-diagram (utan insatta funktionsvärden) för tv˚a, tre, 

fyra och fem variabler. 

CD 

Tv˚a variabler: Tre variabler: 

B 

0 

1 

A 

0 1 

C 0 

1 

AB 

00 01 11 10 

Fyra variabler: Fem variabler: 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

DE 

00 

01 

11 

10 

ABC 

000 001 011 010 100 101 111 110 

Karnaugh-diagrammen är s˚a konstruerade, att variabelvärdena för tv˚a avgränsande (närbelägna, adjacenta) 

rutor skiljer sig i en och endast en variabel. Omvänt skall tv˚a variabelkombinationer som skiljer sig 

i exakt en variabel finnas i närbelägna rutor. Härvid uppfattas radernas och kolumnernas ändrutor som 

angränsande. Diagrammet för fem variabler kan uppfattas som tredimensionell, s˚a att den högra delen 

av diagrammet ligger bakom den vänstra. 

Förenklingen av booleska funktioner med hjälp av Karnaugh-diagram baserar sig p˚a ovannämnda egenskaper 

hos närbelägna rutor, vilket illustreras av följande exempel. 

Exempel 2.2 Karnaugh-diagram 

Betrakta den booleska funktionen 

X = A BC + ABC + ABC + ABC 

fr˚an exempel 2.1. Karnaugh-diagrammet f˚ar följande utseende (med endast ettorna insatta): 

C 0 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 1 1 

Tack vare diagrammets konstruktion kan förenklingarna 

1 

ABC + ABC = AB 

A BC + ABC = BC 

X = AB + BC 

upptäckas direkt fr˚an diagrammet. Man ser ytterligare att förenklingen 

ABC + ABC = AC 

kan göras men detta leder ej till ett lika enkelt uttryck för X.


C 0 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 1 1 

Man kan formulera fem regler för förenklingsproceduren: 

1 

X = A BC + ABC + AC 

1. Varje ruta som ineh˚aller en etta m˚aste täckas av minst en cell (en ruta f˚ar täckas av flera celler). 

2. Endast rutor med ettor f˚ar täckas av celler. 

3. Cellerna m˚aste vara rektangulära, och täcka en potens av 2 (1, 2, 4, 8, ...) antal rutor. 

4. Antalet celler bör vara s˚a litet som möjligt 

5. Varje cell bör vara s˚a stor som möjligt 

Av dessa är reglerna 1-3 ovillkorliga medan 4-5 strävar till att hitta den enklaste realisationen. 

Det faktum att man f˚ar täcka ettor med flera olika celler innebär i ovanst˚aende exempel att användande 

av alla tre möjliga celler som täcker tv˚a rutor ger X = AB + BC + AC. Detta kan i sin tur förenklas till 

AB + BC, m.h.a. transivitetslagen (R18). Om vi följer regel 4 s˚a kommer man direkt till detta uttryck 

Förenkling av booleska uttryck med hjälp av Karnaugh-diagram grundar sig s˚aledes p˚a att mintermer som 

kan kombineras till enklare termer upptar närbelägna rutor i diagrammet. Förenklingarna kan därmed 

ses direkt fr˚an diagrammet. 

För fyra variabler har vi fyra typer av termer: 

1. Mintermer med alla fyra variabler, som täcker en ruta, och som ej kan kombineras med andra termer: 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 

ABCD 

2. Termer med tre variabler, som täcker tv˚a rutor (tv˚a skilda exempel): 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 

CD 

00 

01 

11 

10 

BCD B CD 

AB 

00 01 11 10 

1 1 

3. Termer med tv˚a variabler, som täcker fyra rutor (tre skilda exempel):


CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 1 1 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 

1 1 

CD 

CD AD B D 

4. Termer med en variabel, som täcker ˚atta rutor (tv˚a skilda exempel): 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

CD 

00 

01 

11 

10 

D D 

AB 

00 

01 

11 

10 

00 01 11 10 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

AB 

00 01 11 10 

1 1 

1 1 

Karnaugh-diagrammen lämpar sig bäst för funktioner med högst fyra variabler. Det g˚ar emellertid att 

använda metoden även för funktioner med upp till ˚atta variabler. 

Exempel 2.3 Fem variabler 

DE 

Exempel 2.4 Sex variabler 

CD 

00 

01 

11 

10 

00 

01 

11 

10 

ABC 

000 001 011 010 100 101 111 110 

1 1 

1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 

1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

AB 

EF 

C + D 

00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 

1 

1 1 

1 1 

1 1 

1 1 

1 

1 

00 01 11 10 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 1 

AB + BCDE F + A BCDE F + AC D EF + AC DEF + ACDE 

1 

1


Primimplikatorer 

En funktion f(x1, x2, . . . , xn) säges inkludera en annan funktion g(x1, x2, . . . , xn) om de värden för variablerna 

x1, x2, . . . , xn för vilka g = 1, ocks˚a ger f = 1. S˚aledes inkluderar f t.ex. termerna i ett disjunktivt 

uttryck för f. 

En primimplikator π för en funktion f(x1, x2, . . . , xn) definieras som en term i ett disjunktivt uttryck för 

f som har den egenskapen, att om n˚agon av de i termen ing˚aende variablerna avlägsnas, s˚a inkluderar f 

inte den ˚aterst˚aende produkten. 

Exempel 2.5 

har primimplikatorerna 

Obs. att x1x3x4 är inte en primimplikator. 

f(x1, x2, x3, x4) = x1x2x4 + x2x3x4 + x1x3x4 

π1 = x1x2x4 , π2 = x2x3x4 , π3 = x1x3 

x3x4 

00 

01 

11 

10 

x1x2 

00 01 11 10 

1 

1 1 

1 1 1 

Vid förenkling av en boolesk funktion är man i första hand intresserad av att uttrycka funktionen som en 

summa av primimplikatorer, ty man kan visa att detta resulterar i det i en viss mening enklaste uttrycket. 

I praktiken s˚a skall man just följa reglerna 4 och 5 givna ovan, d.v.s. vi bör försöka täcka ettorna med 

möjligast f˚a och möjligast stora celler. Och typiskt s˚a är antalet viktigare än storleken vid minimiering 

av uttryck. 

Utvecklingen av en funktion i primimplikatorer behöver inte vara entydig. En väsentlig (essential) primimplikator 

är en primimplikator som alltid bör ing˚a i varje minimalform. En väsentlig primimplikator 

kännetecknas i ett Karnaugh-diagram av att den inkluderar ˚atminstone en ruta som ej kan ing˚a i n˚agon 

annan primimplikator. Det är viktigt att man börjar med att ringa alla väsentliga primimplikatorer för 

att det minimala uttrycket skall erh˚allas. 

Exempel 2.6 ∗ anger rutor som definierar en väsentlig primimplikator. 

ABC + ACD + ABC + ACD 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

∗1 

1 1 ∗1 

∗1 

1 1 

Notera att vi enbart introducerar en term till (BD) om vi introducerar den största möjliga cellen i det 

här fallet. 

∗1


Uppgift 2.3 Bestäm de väsentliga primimplikatorerna och den minimala formen för funktionen i diagrammet 

nedan. Till˚atet att lösa denna uppgift i kompendiet. 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 1 

1 

1 1 1 1 

1 1 1 

Sedan de väsentliga primimplikatorerna uttagits, kan de ˚aterst˚aende oinringade rutorna med ettor inkluderas 

av primimplikatorer p˚a ett antal alternativa sätt. Dessa skall väljas s˚a att möjligast enkla termer 

f˚as. 

Exempel 2.7 Flera minimala uttryck 

Väsentliga primimplikatorer: 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

∗1 

1 1 

1 1 

∗1 

1 

BD , A B D 

Termen ABC D kan inkluderas antingen i A C D eller i ABC (icke-väsentliga primimplikatorer). Detta 

ger tv˚a alternativa minimala uttryck: 

Ofullständigt specificerade funktioner 

BD + A B D + A C D 

eller BD + A B D + ABC 

De booleska funktioner som uppträder i praktiska logikstyrningsproblem är ofta ofullständigt specificerade, 

dvs. funktionens värde för vissa kombinationer av variabelvärden är likgiltig. Vissa kombinationer av 

variabelvärden kan t.ex. vara fysikaliskt omöjliga (jmf. Ex. 1.1), s˚a att de aldrig förekommer. Funktionsvärdet 

för dessa omöjliga variabelkombinationer är d˚a likgiltigt. 

S˚adana likgiltiga funktionsvärden kallas ”don’t care” tillst˚and. I ett Karnaugh-diagram anges de med ett 

streck, ”–”, och anger s˚aledes att funktionsvärdet kan vara 0 eller 1. Detta kan utnyttjas för att konstruera 

ett möjligast enkelt funktionsuttryck. 

Exempel 2.8 ”Don’t care” tillst˚anden kan utnyttjas s˚a att funktionen kan uttryckas i den minimala 

formen 

BD + AD + ABD 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 1 1 

- - - - 

- -


2.2.2 QMC-metoden 

Den grafiska metoden med Karnaugh-diagram blir givetvis oanvändbar d˚a antalet variabler ökar. För 

större problem fordras algoritmer som kan programmeras. Den vanligaste algoritmen för förenkling av 

booleska funktioner är en metod enligt Quine och McClusky (QMC-metoden), som skall beskrivas nedan. 

Vi börjar med att numrera funktionstabellens rader i enlighet med det binära talsystemet. För tre variabler 

identifierar vi s˚aledes de olika variabelkombinationerna enligt följande tabell. 

j A B C 

0 0 0 0 

1 0 0 1 

2 0 1 0 

3 0 1 1 

4 1 0 0 

5 1 0 1 

6 1 1 0 

7 1 1 1 

(2 2 2 1 2 0 ) 

Proceduren är sedan följande. Först uppställs en funktionstabell med endast de rader för vilka funktionen 

antar värdet 1 insatta. En funktion med Karnaugh-diagrammet nedan f˚ar s˚aledes funktionstabellen i Tab. 

2.1. 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 1 

1 1 

1 1 

1 1 1 

Nästa steg är att undersöka vilka rader i tabellen som kan kombineras till en enklare term. Detta är 

möjligt d˚a tv˚a rader överensstämmer s˚a när som i en variabel. Raderna 0 och 2 i Tab. 2.1(a) kombineras 

t.ex. till den nya raden 

0 0 − 0 

(Detta motsvarar kombination av termer enligt A B C D + A BCD = A B D) 

De p˚a detta sätt konstruerade nya raderna samlas till en ny tabell, Tab. 2.1(b). Proceduren upprepas tills 

ytterligare kombinationer inte mera kan göras i Tab. 2.1(c). De termer som i denna procedur inte mera 

kan förenklas är primimplikatorer. Dessa har i Tabell 2.1 betecknats p1, p2, . . . , p7. 

S˚asom vi tidigare sett, ger en disjunktion av primimplikatorerna i allmänhet ej ett minimalt funktionsuttryck, 

eftersom alla primimplikatorer inte behöver medtas. För att finna vilka primimplikatorer som bör 

medtas uppgörs en primimplikatortabell, Tabell 2.2. I denna anger kolumnerna den ursprungliga funktionstabellens 

termer (Tab. 2.1 (a)), och raderna anger primimplikatorer. De termer som inkluderas av 

en primimplikator anges med ”x”. Proceduren är sedan följande. 

1. De kryss som förekommer ensamma i en kolumn omringas ( x ). Motsvarande primimplikator är 

en väsentlig primimplikator och bör medtas i funktionsuttrycket. De väsentliga primimplikatorerna 

anges med asterisk ∗. 

2. Alla kryss som förekommer i en rad med omringat x anges med klammer, [x]. 

3. Ange alla de kryss som förekommer i en kolumn med [x] med parentes, (x). Detta anger att motsvarande 

term redan ing˚ar i de primimplikatorer som medtagits och inte behöver beaktas i fortsättningen.


(a) 

Tabell 2.1: Stegvis förenkling 

(b) (c) 

j A B C D {j} A B C D 

{j} A B C D 

0 0 0 0 0 0, 2 0 0 - 0 

0, 2, 8, 10 - 0 - 0 p6 

2 0 0 1 0 0, 8 - 0 0 0 8, 10, 12, 14 1 - - 0 p7 

3 0 0 1 1 2, 3 0 0 1 - p1 

5 0 1 0 1 2, 10 - 0 1 0 

7 0 1 1 1 3, 7 0 - 1 1 p2 

8 1 0 0 0 5, 7 0 1 - 1 p3 

10 1 0 1 0 5, 13 - 1 0 1 p4 

12 1 1 0 0 8, 10 1 0 - 0 

13 1 1 0 1 8, 12 1 - 0 0 

14 1 1 1 0 10, 14 1 - 1 0 

12, 13 1 1 0 - p5 

12, 14 1 1 - 0 

4. Välj fr˚an de ˚aterst˚aende valbara primimplikatorerna (p1 −p5) ett antal s˚a att de ˚aterst˚aende kryssen 

medtas. Ange raderna med dubbel asterisk ∗∗. Valet skall göras s˚a att funktionsuttrycket blir 

minimalt, dvs. 

• Antalet termer (primimplikatorer) är minimalt, 

• Termerna (primimplikatorerna) är korta (av tv˚a primimplikatorer i tabellen är den vars rad 

inneh˚aller de flesta kryssen den kortare). 

Tabell 2.2: Primimplikatortabell 

j 

0 2 3 5 7 8 10 12 13 14 

p1 (x) x 

∗∗ p2 x x 

p3 x x 

∗∗ p4 x x 

p5 (x) x 

∗ p6 x [x] [x] [x] 

∗ p7 [x] [x] [x] x 

I Tabell 2.2 är de valbara primimplikatorerna p1 − p5 alla lika l˚anga. Det optimala valet är p2 och p4, 

ty alla andra val skulle kräva minst tre primimplikatorer. Enligt Tabell 2.2 ges det minimala funktionsuttrycket 

som en disjunktion av primimplikatorerna p2, p4, p6 och p7, av vilka p6 och p7 är väsentliga 

primimplikatorer. Uttrycket blir (jmf. Tab. 2.1) 

B D + AD + ACD + BCD 

I exemplet i Tabell 2.1 var funktionen fullständigt specificerad. Proceduren kan emellertid enkelt anpassas 

för ofullständigt specificerade funktioner, med ”don’t care” funktionsvärden för vissa variabelkombinationer. 

Härvid inkluderar man de rader för vilka funktionsvärdet är ospecificerat (”don’t care”) i 

funktionstabellen (Tab. 2.1), och bildar primimplikatorerna s˚asom ovan. Vid uppställningen av primimplikatortabellen 

(Tab. 2.1), lämnas emellertid motsvarande kolumner bort. (D˚a funktionens värde för dessa 

tillst˚and inte spelar n˚agon roll, behöver de ju ej beaktas d˚a primimplikatorerna väljs ut. Däremot bör de 

beaktas i det första skedet d˚a primimplikatorerna bildas, ty de kan endast leda till kortare primimplikatorer, 

ej längre.) Denna procedur leder till ett minimalt funktionsuttryck för ofullständigt specificerade 

funktioner.


Uppgift 2.4 Förenkla den logiska funktionen X med följande Karnoughdiagram (- motsvar don’t care 

tillst˚and): 

C 0 

1 

AB 

00 01 11 10 

- 1 - 

1 1 1 

QMC-metoden kan enkelt programmeras. I Friedman Logical Design of Automation Systems (Prentice – 

Hall, 1990), ges ett Fortran-program primp, som förenklar booleska uttryck. P˚a denna kurs hemsida s˚a 

finns även en Matlab-implementering av QMC-metoden tillgänglig, och en Scilab-version är ocks˚a under 

arbete. 

Nedan visas en exempelkörning där programmet tillämpats för funktionen i Tabell 2.1 (a). Funktionsvärdena 

läses in i ordningsföljd, och programmet ger en förteckning över primimplikatorerna (observera 

att numreringen ej överensstämmer med den i Tabellerna 2.1 och 2.2, primp sorterar primimplikatorerna, 

s˚a de kommer i ordningen p6, p1, p2, p4, p3, p7, p5), samt anger vilka som är väsentliga och vilka 

som väljs bland de valbara. I constraint table anges slutligen vilka mintermer de olika icke-väsentliga 

primimplikatorerna inkluderar (täcker). 

% ~jboling/sst/primp 

SIMPLIFICATION OF BOOLEN FUNCTIONS BY PRIME IMPLICANT ANALYSIS 

************************************************************** 

NUMBER OF VARIABLES : 4 

INPUT FUNCTION VALUES IN TRUTH TABLE 

( 16 VALUES: 1 = TRUE / 0 = FALSE / -1 = DON’T CARE ) : 

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 

*** BOOLEAN MINIMIZATION PROGRAM *** 

THIS FUNCTION CONTAINS 4 VARIABLES 

A LISTING OF THE INPUT DATA FOLLOWS 

TRUE MINTERMS = 1 

FALSE MINTERMS = 0 

REDUNDANT MINTERMS (DON’T CARES) = -1 

0 0 = 1, 1 = 0, 2 = 1, 3 = 1, 4 = 0, 

5 = 1, 6 = 0, 7 = 1, 8 = 1, 9 = 0, 

10 = 1, 11 = 0, 12 = 1, 13 = 1, 14 = 1, 

15 = 0, 

0 THE FOLLOWING IS A LIST OF THE PRIME IMPLICANTS OF THE 

MINIMIZED FUNCTION. 

ESSENTIAL PRIME IMPLICANTS ARE SO LABELED, AND 

PRIME IMPLICANTS SELECTED FROM A CYCLIC CHART ARE 

LABELED AS CHOSEN.


NO. COST PRIME IMPLICANTS 

A B C D 

1 2 - 0 - 0 ESSENTIAL 

2 3 0 0 1 - 

3 3 0 - 1 1 CHOSEN 

4 3 - 1 0 1 CHOSEN 

5 3 0 1 - 1 

6 2 1 - - 0 ESSENTIAL 

7 3 1 1 0 - 

- INDICATES A MISSING VARIABLE, 0 INDICATES A COMPLEMENTED 

VARIABLE AND 1 INDICATES A TRUE VARIABLE. 

THE FUNCTION IS REPRESENTED BY THE SUM OF BOTH THE 

ESSENTIAL AND THE CHOSEN PRIME IMPLICANTS. 

CONSTRAINT TABLE 

------------------ 

COVERED COVERING PRIME 

MINTERM IMPLICANTS. 

3 2 3 

5 4 5 

7 3 5 

13 4 7 

Samma problem kan ocks˚a lösas med matlab-rutinen qmc, hittas allts˚a p˚a kursens hemsida: 

>> qmc 

Program for minimizing Boolean expressions with the QMC-method 

Either a truth table or a boolean expression should be given. 

Use standard MATLAB logical operators: AND = & 

OR = | 

NOT = ~ 

Logical terms should be separated with parentesis: (A | ~B) & (B | 

~C) & (C | ~A) & ((A & B & C)|(~A & ~B & ~C)) 

Logical expression (L) or truth table (T)): T Number of variables: 4 

A B C D 

0: 0 0 0 0 1 

1: 0 0 0 1 0 

2: 0 0 1 0 1 

3: 0 0 1 1 1 

4: 0 1 0 0 0 

5: 0 1 0 1 1 

6: 0 1 1 0 0 

7: 0 1 1 1 1 

8: 1 0 0 0 1 

9: 1 0 0 1 0 

10: 1 0 1 0 1 

11: 1 0 1 1 0 

12: 1 1 0 0 1 

13: 1 1 0 1 1 

14: 1 1 1 0 1 

15: 1 1 1 1 0 

Processing....


Truth table: 

i A B C D f 

---------------- 

0 0 0 0 0 1 

1 0 0 0 1 0 

2 0 0 1 0 1 

3 0 0 1 1 1 

4 0 1 0 0 0 

5 0 1 0 1 1 

6 0 1 1 0 0 

7 0 1 1 1 1 

8 1 0 0 0 1 

9 1 0 0 1 0 

10 1 0 1 0 1 

11 1 0 1 1 0 

12 1 1 0 0 1 

13 1 1 0 1 1 

14 1 1 1 0 1 

15 1 1 1 1 0 

Prime implicants: 

1: 0 2 8 10 

2: 8 10 12 14 

3: 2 3 - - 

4: 3 7 - - 

5: 5 7 - - 

6: 5 13 - - 

7: 12 13 - - 

Essential prime implicants: 

1 2 

Chosen prime implicants: 

4 6 

Logical expression: (~B & ~D) | (A & ~D) | (~A & C & D) | (B & ~C & D) 

Matlab-programmet klarar ocks˚a av att förenkla logiska uttryck, det generar själv en sanningstabell och 

sedan beräknar minimalt uttryck. Nedan löses uppgift 2.2. 

>>qmc 

Program for minimizing Boolean expressions with the QMC-method 

Either a truth table or a boolean expression should be given. 

Use standard MATLAB logical operators: AND = & 

OR = | 

NOT = ~ 

Logical terms should be separated with parentesis: (A | ~B) & (B | 

~C) & (C | ~A) & ((A & B & C)|(~A & ~B & ~C)) 

Logical expression (L) or truth table (T)): L Give logical function: 

(A|~B)&(B|~C)&(C|~A)&((A&B&C)|(~A&~B&~C)) 

Processing....


Truth table: 

i A B C f 

------------- 

0 0 0 0 1 

1 0 0 1 0 

2 0 1 0 0 

3 0 1 1 0 

4 1 0 0 0 

5 1 0 1 0 

6 1 1 0 0 

7 1 1 1 1 

Prime implicants: 

1: 0 

2: 7 

Essential prime implicants: 

1 2 

Logical expression: (~A & ~B & ~C) | (A & B & C) 

2.2.3 System med flera utsignaler 

I praktiken har man ofta inte en, utan flera funktioner x1, x2, . . . , xn, som är funktioner av variablerna 

A, B, . . .. I s˚adana fall kan man givetvis konstruera ett minimalt uttryck för varje funktion separat enligt 

metoderna som behandlats ovan. En förenkling kan emellertid f˚as om man beaktar att vissa termer kan 

vara gemensamma för de olika funktionerna. S˚adana termer som delas av flera funktioner f˚as fram genom 

att betrakta produkter av formen x1 · x2, x1 · x3, x1 · x2 · x3, . . .. Vi skall illustrera proceduren med ett 

exempel. 

Exempel 2.9 Flera utsignaler 

Betrakta funktionerna x1, x2 och x3 med Karnaugh-diagrammen i Fig 2.1. I Fig 3.5 ges Karnaughdiagrammen 

för x1, x2 och x3 samt produktfunktionerna x1 · x2, x1 · x3, x2 · x3 och x1 · x2 · x3. Primimplikatorerna 

införs nu som normalt men s˚a att man startar med produkten av högsta grad, x1 · x2 · x3, 

fortsätter med x1 · x2, x1 · x3 och x2 · x3, och därefter betraktar x1, x2 och x3. Härvid markeras en 

primimplikator inte om den redan förekommer i en produktfunktion av högre grad. 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 

1 

1 

1 1 

CD 

Proceduren ger primimplikatorer i Tab. 2.3. 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 1 

1 

1 

CD 

x1 x2 x3 

Figur 2.1: Utsignalerna x1, x2 och x3 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 

1 1 

1 1


CD 

CD 

00 

01 

11 

10 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 

1 

1 

1 1 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 1 

1 

1 

CD 

x1 x2 x3 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 

1 

1 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 

1 1 

CD 

00 

01 

11 

10 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 

1 1 

1 1 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

x1 · x2 x1 · x3 x2 · x3 x1 · x2 · x3 

Figur 2.2: Förenkling av x1, x2 och x3 

Tabell 2.3: Primimplikatorer 

x1 · x2 · x3: p1 = ABC x3: p6 = A BD 

p7 = BC 

x1 · x3: p2 = ABC D 

p3 = BCD x2: p8 = ABC 

p9 = BCD 

x1 · x2: p4 = ABC D 

p5 = ABCD x1 p10 = BC D 

p11 = ABC 

Eftersom termen p1 = ABC kan användas i alla tre funktioner bör den medtas. Termerna p2 − p5 

uppträder i tv˚a funktioner och är s˚aledes lovande kandidater för att medtas. Primimplikatorn p6 hos x3 

är väsentlig och bör medtas. Termen p7 inkluderas däremot av p1, p3 och p6. Allts˚a medtas även p3. 

Även p2 m˚aste medtas för att funktionen x3 skall kunna beskrivas. ˚ Aterst˚ar de fyra rutor som täcks av 

termerna p4, p5, p8, p9, p10 och p11. Fr˚an figuren ses att minst tre termer bör medtas: antingen p4, p9 

och p11, eller p5, p8 och p10. Detta resulterar i de minimala formerna 

respektive 

x1 = ABC + BCD + ABC D + ABC 

x2 = ABC + ABC D + BCD 

x3 = ABC + ABC D + BCD + A BD 

x1 = ABC + BCD + ABCD + BC D 

x2 = ABC + ABCD + ABC 

x3 = ABC + ABC D + BCD + A BD 

Uppgift 2.5 Konstruera ett nät som med hjälp av logiska grindar realiserar funktionerna x1, x2 och x3. 

Man kan även förenkla logiska uttryck med flera utsignaler med QMC-metoden. Man börjar med att söka 

efter primimplikatorer som vanligt, fast man skall göra det för samtliga utsignaler och samtliga kombinationer 

av produkter av utsignaler. Varje kombination betraktas som separat fall, med separata primimplikatorer. 

I exempel 2.9 innebär det att man skall bestämma primimplikatorer för alla 7 Karnough-diagram. 

Det har vi i praktiken redan gjort, s˚a l˚at oss g˚a till följande steg, som är att bilda en primimplikatortabell, 

som ser ut enligt följande: Sedan skall följande steg utföras: 

1 

1


Tabell 2.4: Primimplikatortabell 

x1 x2 x3 

2 4 10 11 12 13 4 5 10 11 13 1 2 3 10 11 12 

p1 x x 

p3 x x x1 

p10 x x 

p11 x x 

p1 x x 

p8 x x x2 

p9 x x 

p1 x x 

p2 

p6 x x x3 

p7 x x x x 

p1 x x x x 

p4 x x x1 · x2 

p5 x x 

p1 x x x x 

p2 x x x1 · x3 

p3 x x x x 

p1 x x x x x x x1 · x2 · x3 

1. De kryss som är ensamma i en kolumn skall inringas x , de motsvarar en väsentlig primimplikator. 

Märk motsvarande rader med asterisk ∗. 

2. Kontrollera även väsentliga primimplikatorer för de enskilda utsignalerna. Om de övriga kryssen i 

samma kolumn kommer fr˚an samma primimplikator, s˚a är denna primimplikator oundviklig, och 

krysset skall inringas (p˚a den plats där det förekommer längst ner). Märk även dessa rader med 

asterisk ∗. Övriga kryss i kolumnen anges med parentes. 

3. Alla rader där inringat kryss förekommer skall anges med klammer [x]. 

4. Ange alla de kryss som förekommer i en kolumn med [x] med parentes, (x). Detta anger att motsvarande 

term redan ing˚ar i de primimplikatorer som medtagits och inte behöver beaktas i fortsättningen. 

5. Välj fr˚an de ˚aterst˚aende valbara primimplikatorerna ett antal s˚a att de ˚aterst˚aende kryssen medtas. 

Märk raderna med dubbel asterisk ∗∗. Valet skall göras s˚a att funktionsuttrycket blir minimalt. 

6. Funktionerna konstrueras genom att ta summan av de för varje enskild funktion väsentliga, oundvikliga 

och valda primimplikatorer. Dvs man tittar p˚a en kolumn ˚at g˚angen och tar alla primimplikatorer 

som har kryss med ring runt, eller som är vald. De primimplikatorer som har kryss med 

enbart klamrar behövs eventellt inte, detta m˚aste skilt kontrolleras. I exemplet ovan s˚a är p2 oundviklig 

för x3, men ej för x1 (därför att p2 täcks av p10 eller p11 som är valbara för x1), och den 

behöver s˚aledes enbart medtas i x3. 

Vi kommer givetvis till samma resultat som i exempel 2.9 p˚a detta sätt. D˚a vi gör ovannämnda procedur 

s˚a kommer vi att, som tidigare, se att p6 är en väsentlig primimplikator. Det som inte tidigare framgick 

är att p1, p2 och p3 är oundvikliga för en disjunktiv form, vilket nu inses via punkt 2 i proceduren ovan. 

2.2.4 Konjunktiv minimalform 

De minimala uttryck som studerats ovan är disjunktiva minimalformer (summor av produkter). Det är 

ofta av vikt att ocks˚a undersöka den konjunktiva minimalformen (produkt av summor). Enligt de Morgans 

lag (R21) ′ kan ett konjunktivt uttryck för en funktion x uttryckas med hjälp av ett disjunktivt uttryck 

för x. Den konjunktiva minimalformen kan s˚aledes bestämmas genom att bestämma den disjunktiva 

normalformen för x. 

x


Exempel 2.10 Betrakta en funktion X med följande Karnaugh-diagram. 

Den minimala disjunktiva formen är 

CD 

För X f˚as ett minimalt uttryck enligt följande. 

Disjunktiv minimalform för X: 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

1 1 1 

1 1 1 

1 1 1 

X = BD + BC + AD + AC 

CD 

00 

01 

11 

10 

AB 

00 01 11 10 

0 1 1 1 

0 0 0 0 

0 1 1 1 

0 1 1 1 

X = A B + CD 

Den konjunktiva minimalformen för X f˚as med hjälp av de Morgans lagar (R21) ′ , (R20) ′ : 

X = A B + CD = A B · CD = (A + B) · (C + D) 

I detta exempel leder den konjunktiva minimalformen till ett enklare uttryck än den disjunktiva. 

Man kan även bestämma den konjuktiva minimalformen med QMC-metoden. Man skall d˚a ställa upp 

funktionstabellen med endast de rader för vilka funktionen antar värdet 0 (i stället för 1), övriga steg 

oförändrade. Detta ger p˚a samma sätt som med Karnough-diagram en disjunktiv minimalform för X, 

som kan omvandlas till konjunktiv minimalform för X med de Morgans lagar. 

Vid användning av programmet primp eller qmc s˚a skall man ta logisk icke p˚a varje enskilt funktionsvärde, 

s˚a beräknar programmet disjunktiv minimalform för X, som kan omvandlas till konjunktiv minimalform 

för X. 

Man kan även se att man fr˚an Karnoughdiagram eller QMC-primimplikatorer direkt kan utläsa den 

konjunktiva minimalformen. Man skall göra som när man utläser den disjunktiva normalformen, men 

byta ut + mot · och vise versa (och sätta parenteser där det behövs, för + skall ju ske före ·), samt 

ta logiskt icke p˚a alla enskilda variabler. Detta är analogt med hur konjunktiv normalform bestämdes i 

kapitel 2.1. 

För att det minimala uttrycket skall hittas bör s˚aväl den disjunktiva som den konjunktiva minimalformen 

undersökas. 

Observera att för programmering av uttrycken kan det totala antalet operationer (additioner och multiplikationer) 

ofta ytterligare minskas genom distributionslagarna (R14) ′ , (R15) ′ . T.ex. 

X = BD + BC + AD + AC = B · (D + C) + A · (D + C) 

= (A + B) · (D + C) 

I detta fall r˚akade detta leda till den konjunktiva minimalformen. Detta gäller dock ej allmänt.

2.3. KOMBINATORISKA AUTOMATIONSPROBLEM 33 

2.3 Kombinatoriska automationsproblem 

I ett kombinatoriskt automationsproblem bestäms utsignalerna fr˚an styrsystemet som booleska funktioner 

av insignalerna. 

u1 

u2 

un 

. 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

Insignaler Utsignaler 

(fr˚an process) (till process) 

Jämför Ex. 2.1. De booleska funktionerna följer ur specifikationerna och kan sammanfattas i form av en 

funktionstabell. De i avsnitt 2.2 diskuterade metoderna kan sedan tillämpas för att vid behov förenkla 

de booleska uttrycken. 

Hasard 

D˚a ett kombinatoriskt automationsproblem realiseras med hjälp av logiska grindar bör man beakta eventuell 

förekomst av sk. statisk hasard, och konstruera nätet s˚a att det är hasardfritt. Problemet illustreras 

av följande exempel. 

Exempel 2.11 Betrakta en funktion X med Karnaugh-diagrammet nedan. 

C 0 

1 

AB 

. 

00 01 11 10 

1 

1 1 1 

Funktionen har tv˚a väsentliga primimplikatorer vilka ger den disjunktiva minimala formen 

X = AC + AB 

Funktionen kan tydligen realiseras med hjälp av tv˚a AND- och en OR-grind: 

A 

B 

C 

& 

& 

AB 

AC 

≥ 1 

Betrakta nu vad som händer d˚a insignalerna ändras fr˚an 011 till 111: 

C 0 

1 

AB 

00 01 11 10 

1 

1 1 1 ✲ 

y1 

y2 

yn 

X


Funktionen X har fortfarande värdet 1 och ändras s˚aledes ej. I praktiken är emellertid tv˚a grindar aldrig 

exakt lika snabba. Om den nedre grinden i figuren är n˚agot snabbare än den övre, s˚a är utsignalerna fr˚an 

AND-grindarna 0 under ett kort ögonblick efter att den nedre grindens utsignal ändrats fr˚an 1 till 0, men 

innan den övre grindens utsignal ändrats fr˚an 0 till 1. Systemets utsignal ser d˚a ut s˚a här: 

Detta oönskade beteende kallas statisk hasard. 

1 X 

0 

Statisk hasard kan undvikas genom att observera att hasard inte förekommer för variabelförändringar 

som sker inom en primimplikator som medtagits i realiseringen (t.ex. ändringen 001 till 011 förorsakar 

ej hasard för nätet ovan). Vi inkluderar därför lämpliga icke-väsentliga primimplikatorer för att undvika 

hasard: 

X uttrycks nu i den icke-minimala formen 

C 0 

1 

AB 

00 01 11 10 

1 

✲ 

1 1 1 

■ icke-väsentlig 

primimplikator 

X = AC + AB + BC 

Denna funktion kan realiseras med tre AND- och en OR-grind: 

A 

B 

C 

Denna realisering är hasardfri. 

& 

& 

& 

Nuförtiden förverkligas logikstyrningsproblem oftast med hjälp av programmerbar logik eller mikrodatorer, 

i vilka de booleska funktionerna programmeras. Dessa fungerar s˚a att utsignalerna ges nya värden 

först d˚a hela programmet utförts, varefter cykeln upprepas, osv. S˚aledes uppst˚ar problemet med statisk 

hasard inte vid implementering med hjälp av programmerbar logik resp. mikrodatorer. 

≥ 1 

t 

X

Kapitel 3 

Sekvensstyrningsproblem 

Vid kombinatoriska styrproblem av den typ som betraktades i avsnitt 2.3, och i Ex. 2.1, bestämdes 

utsignalerna fr˚an styrsystemet som booleska funktioner av insignalerna. För att förverkliga mera generella 

sekvensstyrningsproblem bör systemet ocks˚a h˚alla reda p˚a tillst˚andet som processen befinner sig i vid en 

given tidpunkt. Detta sker i praktiken genom att införa tillst˚andsvariabler {xi}, vilkas värden definierar 

systemets olika tillst˚and. Styrsystemet kan schematiskt beskrivas med följande figur. 

✲ 

✲ 

u1 

y1 

✲ 

✲ 

u2 

y2 

. . 

✲ 

. 

. 

. 

. . 

✲ . 

un 

ym 

✲ 

. 

✲ 

. 

. 

x1 

. 

xp 

✛ 

x 

. 

. 

✛ 

. 

+ 1 , . . . , x+ Insignaler (fr˚an process) Utsignaler(till process) 

Logisk 

funktion 

Nytt 

tillst˚and 

Tillst˚and 

p 

Minne 

Figur 3.1: Styrsystem med minne 

Här är utsignalerna y1, . . . , ym till processen och tillst˚andsvariablernas nya värden x + 1 , . . . , x+ p (det nya tillst˚andet) 

booleska funktioner av insignalerna u1, . . . , un fr˚an processen samt tillst˚andsvariablerna x1, . . . , xp 

(det tidigare tillst˚andet). 

De booleska funktionerna kan behandlas med de metoder som diskuterades i avsnitt 2. Det nya problemet 

som tillkommer vid sekvensstyrningsproblem är att definiera tillst˚and och tillst˚andsvariabler samt att 

bestämma hur de nya värdena x + 1 , . . . , x+ p skall bestämmas. 

Sekvensstyrningsproblem kan ytterligare indelas i deterministiska sekvensstyrningsproblem, där processen 

skall genomg˚a en p˚a förhand bestämd sekvens (t.ex. fyllning och tömning av reaktor), och stokastista 

sekvensstyrningsproblem, där systemet skall funktionera rationellt för godtyckliga insignalsekvenser 

(jmf. Ex. 1.1). De stokastiska sekvensstyringsproblemen är i allmänhet besvärligare att behandla än de 

deterministiska. 

Vippor 

Medan kombinatoriska styrproblem kan realiseras enbart med hjälp av logiska grindar, fordrar sekventiella 

styrproblem dessutom element som h˚aller reda p˚a tillst˚andet, dvs. fungerar som minne. I elektroniken 

realiseras minnesfunktioner med hjälp av vippor (flip-flops). 

Den viktigaste typen av vippa är RS-vippan (Reset-Set) (även SR-vippa), vars symbol och sanningstabell 

ges i Fig. 3.2 

Vippan fungerar allts˚a s˚a, att för S = 1 (Set) blir x = 1, för R = 1 (Reset) blir x = 0, och för R = S = 0 

förblir x vid sitt tidigare värde. Vippan fungerar allts˚a som en minnesfunktion, där värdet hos variabeln 

35

36 KAPITEL 3. SEKVENSSTYRNINGSPROBLEM 

S 

R 

S 

R 

S R x + 

0 0 x 

0 1 0 

1 0 1 

1 1 – 

Figur 3.2: SR-vippa 

x anger vilkendera av signalerna S och R senast haft värdet 1. För insignalkombinationen R = S = 1 är 

x ej definierad. Funktionen hos en RS-vippa kan beskrivas av ekvationen 

x 

x 

x + = (x + S) · R (3.1) 

Uppgift 3.1 Verifiera ekvation 3.1 p˚a basen av sanningstabellen i Fig. 3.2. 

En RS-vippa kan realiseras i form av tv˚a ˚aterkopplade NOR-grindar (jmf. föreläsningarna i elektronik). 

Förutom RS-vippan används andra typer av vippor: JK-vippan, D-vippan och T-vippan är de vanligaste. 

Dessa skall dock ej behandlas här. 

3.1 Syntes av sekventiella system 

Det existerar flera syntesmetoder med vilka styrsystem för sekventiella processer kan planeras. Den klassiska 

metoden i detta sammanhang är en syntesmetod först presenterad av Huffman ˚ar 1954, och senare 

vidareutvecklad av andra. Huffmans metod är ursprungligen utvecklad för den situation d˚a systemet 

skall realiseras med hjälp av logiska grindar och vippor. Proceduren ägnar därför stor uppmärksamhet 

vid att systemet skall kunna realiseras med s˚a f˚a vippor som möjligt, och vid att undvika s˚adana oönskade 

funktioner som beror p˚a att de olika elementen reagerar olika snabbt, s˚asom (dynamisk) hasard och 

sk. kapplöpningar. D˚a man i praktiken nuförtiden vanligen implementerar sekvensstyrning med hjälp av 

datorer s˚a är ovan nämnda aspekter av underordnad betydelse. Detta leder till en avsevärd förenkling av 

syntesproceduren. 

Vi skall här beskriva en förenklad version av Huffmans metod, som är lämpad för styrsystem som implementeras 

med dator. 

Exempel 3.1 Alarmsystem 

Alarmsignal 

Kvitteringsknapp 

u1 

u2 

✲ 

Styrsystem 

✲ 

✲ 

✲ 

y1 

y2 

Siren 

Alarmlampa 

För att illustrera syntesproceduren skall vi betrakta alarmsystemet enligt figuren. Systemet skall fungera 

p˚a följande sätt. D˚a u1 = 1, vilket representerar en alarmsignal fr˚an processen, skall y1 = 1, vilket sl˚ar p˚a 

alarmsiren. Operatören kan kvittera signalen med en kvitteringsknapp (u2), s˚a att en (momentan) signal 

u2 = 1 sl˚ar av sirenen (y1 = 0), som ersätts av en blinkande alarmlampa (y2 = 1). Lampan bör fortsätta 

att blinka s˚a länge u1 = 1. D˚a u1 → 0, skall y2 = 0. 

Dessutom skall i det fall d˚a den farliga situationen (u1 = 1) försvinner av sig själv (u1 = 0), innan 

kvittering getts, sirenen fortsättningsvis vara p˚a. Detta för att operatören skall tvingas observera att en 

farosituation förekommit. Vid kvittering i detta fall skall emellertid alarmlampan inte börja blinka.

3.1. SYNTES AV SEKVENTIELLA SYSTEM 37 

Tillst˚andsgraf 

Ur de verbalt givna systemspecifikationerna bör i nästa skede en kvantitativ modell för systemets funktion 

konstrueras. Systemets funktion kan ˚ask˚adliggöras grafiskt med en tillst˚andsgraf (flödesdiagram, 

överg˚angsdiagram). I denna representeras systemets tillst˚and av noder, och de möjliga tillst˚andsöverg˚angarna 

anges av riktade länkar mellan noderna. För alarmsystemet i Ex. 3.1 f˚as tillst˚andsgrafen i Fig. 

3.3. 

00/00 

01/00 

10/10 

✛ 

11/01 ✲ 10/01 

1 ✲ 2 ✲ 3 

✛ 

4 

✻ ❄ 

5 

✛ 

✻ ❄ 

6 

00/10 

✠ 

✒ 

Figur 3.3: Tillst˚andsgraf 

u1u2/y1y2 

I det normala händelseförloppet med inkommande alarmsignal och kvittering av denna genomg˚ar systemet 

tillst˚anden 1,2,3,4,1. Överg˚angarna fr˚an tillst˚and 2 till 6 resp. 3 till 5 representerar situationen d˚a 

alarmsignalen försvinner av sig själv (observera dubbelriktningen). Överg˚angarna fr˚an tillst˚and 1 till 5 

resp. 4 till 3 representerar de fall d˚a kvitteringsknappen trycks vid ifr˚agavarande tillst˚and hos systemet. 

Tillst˚andstabell 

Informationen i tillst˚andsgrafen representeras i följande skede i form av en tillst˚andstabell (flödestabell, 

primitiv tillst˚andstabell, primitiv flödestabell). I denna representeras varje tillst˚and av en rad, de olika 

insignalkombinationerna utsätts kolumnvis, och längst till höger anges systemets utsignaler vid ifr˚agavarande 

tillst˚and. 

I tabellen anges systemets nya tillst˚and för varje kombination av tillst˚and och insignaler . Ett tillst˚and 

sägs vara stabilt för en given uppställning insignaler, om systemet förblir i tillst˚andet i fr˚aga (tillst˚and och 

insignaler konsistenta med varandra). Ett tillst˚and sägs vara instabilt för en given uppsättning insignaler, 

om systemet överg˚ar till ett annat tillst˚and (tillst˚and och insignaler inkonsistenta med varandra). I detta 

fall är det nya tillst˚andet stabilt. I tillst˚andstabellen anges de stabila tillst˚anden genom inrigning, t.ex. 

1 . 

Tabell 3.1: Tillst˚andstabell 

u1 0 1 1 0 

u2 0 0 1 1 y1 y2 

1 1 2 - 5 0 0 

2 6 2 3 - 1 0 

3 - 4 3 5 0 1 

4 1 4 3 - 0 1 

5 1 - 3 5 0 0 

6 6 2 - 5 1 0 

Tabell 3.1 visar en tillst˚andstabell för systemet som beskrivs av tillst˚andsgrafen i Fig. 3.3. Observera att 

det antagits att det för de olika systemtillst˚anden finns vissa insignalkombinationer som ej kan förekomma. 

Detta motsvarar ett ”don’t care” tillst˚and i tillst˚andstabellen och anges där med ett streck ”-”. (I detta 

fall har det antagits att tv˚a insignaler ej kan ändras (exakt) samtidigt; ett antagande vars giltighet kan 

diskuteras.) 

I praktiken är konstruktionen av tillst˚andsgraf och tillst˚andstabell ofta det sv˚araste, och samtidigt det 

viktigaste, skedet av syntesproceduren. I detta skede bör systemets funktion definieras exakt, vilket kräver


en genomg˚aende analys av problemställningen. I motsats till detta skede är de senare faserna av syntesproceduren 

mera rutinmässiga. Observera att tillst˚andsgrafen och tillst˚andstabellen inneh˚aller samma 

information, och det är möjligt (˚atminstone med lite rutin) att konstruera tillst˚andstabellen direkt p˚a 

basen av systemspecifikationerna. Det brukar dock rekommenderas att ocks˚a tillst˚adsgrafen uppställs, ty 

tack vare sin ˚ask˚adlighet är det enklare att med hjälp av denna hitta eventuella felaktiga funktionssätt. 

Uppgift 3.2 Systemet i Fig. 3.4 skall upptäcka passagen av ett förem˚al vars längd överstiger L. Härvid 

skall utsignalen y f˚a värdet 1, efter att förem˚alet fullständigt passerat sensorn u2. (Signalen y kan t.ex. 

ange för en efterföljande del av processen, att förem˚alet skall skjutas ˚at sidan). Signalen y till˚ats förbli 

vid värdet 1 tills ett nytt förem˚al ger signal. Endast förem˚al som rör sig fr˚an vänster till höger skall ge 

y = 1, men systemet skall reagera förnuftigt ocks˚a i en situation d˚a ett förem˚al rör sig fr˚an höger till 

vänster. Konstruera tillst˚andsgraf och tillst˚andstabell för systemet. 

✲ 

✲ 

✲ y 

Tillst˚andsminimering 

✲ 

u1 

u2 

✛ L ✲ 

Figur 3.4: Sensorsystem 

Den primitiva tillst˚andstabellen enligt ovan kan i princip som s˚adan utnyttjas för att konstruera det 

slutliga styrsystemet. I praktiken tenderar emellertid antalet tillst˚and hos systemet härvid bli tämligen 

stort, vilket motiverar att man strävar till att förenkla systemet. En tillst˚andstabell kan förenklas genom 

kombination av tillst˚and. Tillst˚and kan kombineras genom att man även utnyttjar informationen hos 

insignalerna. P˚a detta sätt kan tv˚a, eller flera, tillst˚and kombineras förutsatt att de är konsistenta i 

den meningen att de tillst˚andsöverg˚angar som f˚as för olika insignalkombinationer, och som kan avläsas i 

tillst˚andstabellen, inte är motstridiga. P˚a detta sätt f˚as följande regler för kombinering av tillst˚and (rader 

i tillst˚andstabellen): 

1. Tv˚a eller flera rader (tillst˚and) i tillst˚andstabellen kan kombineras om raderna har samma tal i de 

kolumner som anger nästa tillst˚and. 

2. Ett stabilt (inringat) och ett icke-stabilt tillst˚and kombineras till stabilt (inringat) tillst˚and. 

3. Ett tillst˚and (stabilt eller icke-stabilt) och ett ”don’t care” kombineras till ifr˚agavarande tillst˚and 

(stabilt eller icke-stabilt). 

4. Tv˚a ”don’t care” kombineras till ”don’t care”. 

5. Tv˚a stabila tillst˚and (dvs med olika nummer) kan kombineras om tillst˚anden har identiska utsignaler. 

6. Tv˚a eller flera instabila tillst˚and (dvs med olika nummer) kan kombineras om de tillst˚andsöverg˚angar 

som sl˚as ihop sker mellan de sammanslagna tillst˚anden, och om alla tillst˚and har identiska utsignaler. 

Betrakta som exempel den primitiva tillst˚andstabellen 3.1. Enligt reglerna ovan f˚as följande kombinationer: 

(1,5), (2,6), (3,4,5). I allmänhet kan antalet tillst˚and reduceras p˚a flera olika sätt genom olika 

tillst˚andskombinationer. De olika kombinationsmöjligheterna brukar ˚ask˚adliggöras i form av ett sammansmältningsdiagram 

(e. ”merger diagram”). I denna anges raderna (tillst˚anden) i den primitiva tillst˚andstabellen 

i form av noder i en graf, och noderna förenas med en länk om motsvarande rader kan kombineras. 

För tillst˚andstabellen 3.1 f˚as diagrammet i Fig. 3.5. Varje grupp av noder i diagrammet med den egenskapen 

att varje nod i gruppen är förenad med alla andra noder i gruppen kan kombineras till ett nytt 

tillst˚and. I detta enkla exempel ger diagrammet direkt, att tillst˚anden kan reduceras antingen enligt 

(1), (2, 6), (3, 4, 5),

3.1. SYNTES AV SEKVENTIELLA SYSTEM 39 

eller 

6 

5 

1 

4 

Figur 3.5: Sammansmältningsdiagram 

2 

3 

(1, 5), (2, 6), (3, 4) 

B˚ada alternativen leder i detta fall till tre tillst˚and hos det reducerade systemet. I praktiken kan antalet 

sätt att reducera tillst˚anden bli mycket stort, och det optimala valet blir nödvändigtvis en kompromiss 

mellan olika kriterier. Följande tumregler har visat sig vara nyttiga: 

1. För att förenkla funktionerna för utsignalerna yi, är det fördelaktigt att kombinera rader (tillst˚and) 

med liknande eller identiska utsignaler yi. 

2. För att förenkla de booleska uttryck som behövs för att ange tillst˚andsöverg˚angar, är det fördelaktigt 

att välja kombinationer som eliminerar möjligast m˚anga instabila tillst˚and, och bevarar möjligast 

m˚anga ”don’t care” tillst˚and. 

För exemplet i tabell 3.1 och 3.5 f˚as enligt regel 1 att kombination enligt (1,5), (2,6), (3,4) är att föredra, 

ty enligt denna kombination kombineras endast tillst˚and med ekvivalenta utsignaler. Det reducerade 

systemet beskrivs med hjälp av en reducerad tillst˚andstabell. I denna introduceras tillst˚andsvariabler xi 

för de nya tillst˚and som skapats genom tillst˚andskombination. Dessa variabler brukar anges till höger i 

den reducerade tillst˚andstabellen. 

För det betraktade exemplet f˚as den reducerade tillst˚andstabellen 3.2. 

Tabell 3.2: Reducerad tillst˚andstabell 

u1 0 1 1 0 

u2 0 0 1 1 

1,5 1 2 3 5 x1 

2,6 6 2 3 5 x2 

3,4 1 4 3 5 x3 

I detta fall har det förenklade systemet tre tillst˚and. Tillst˚andsvariablerna xi (i = 1, 2, 3) kommer att 

bestämmas s˚a, att xi = 1 (i = 1, 2, 3), d˚a systemet befinner sig i tillst˚and i (i = 1, 2, 3), och xi = 0, 

annars. 

Uppgift 3.3 Bestäm en reducerad tillst˚andstabell för systemet i Uppgift 3.2. 

Bestämning av utsignalfunktionerna 

Vi skall nu bestämma utsignalfunktionerna yi för det reducerade systemet. Varje utsignal yi är d˚a en 

boolesk funktion av tillst˚anden x1, x2, . . ., och insignalerna u1, u2, . . .. För dessa booleska funktioner kan 

ett minimalt funktionsuttryck bestämmas med hjälp av de metoder som behandlats i avsnitt 2.2. 

Betrakta ˚ater exemplet med den primitiva tillst˚andstabellen 3.1 och den reducerade tillst˚andstabellen 

3.2. I detta exempel blir utsignalfunktionerna triviala, eftersom endast tillst˚and med identiska utsignaler 

kombinerats (enligt tumregel A). Enligt tabell 3.1 är y1 = 1 i de stabila tillst˚anden 2 och 6 dvs. d˚a 

x2 = 1, och y2 = 1 i de stabila tillst˚anden 3 och 4 , dvs. d˚a x3 = 1, och vi f˚ar: 

y1 = x2, y2 = x3 (3.2)


Mera allmänt kan stabila tillst˚and som befinner sig p˚a samma rad i den reducerade tillst˚andstabellen ha 

olika utsignaler. Utsignalfunktionerna bör d˚a bestämmas genom att betrakta varje stabilt tillst˚and i den 

reducerade tillst˚andstabellen. För exemplet i fr˚aga f˚as att y1 = 1 för de stabila tillst˚anden 2 och 6 

varvid tabell 3.2 ger: 

y1 = u1u2x2 + u1u2x2 

Detta uttryck kan förenklas genom att observera att utsignalernas värden är likgiltiga för instabila tillst˚and. 

Vi kan beskriva y1 med hjälp av Karnaugh-diagrammet nedan. 

x2 

0 

1 

u1u2 

00 01 11 10 

1 - - 1 

Bestämning av tillst˚andsöverg˚angar 

y1 = u1u2x2 + u1u2x2 

y1 = x2 

Den reducerade tillst˚andstabellen (3.2) anger systemets tillst˚andsöverg˚angar. I ett stabilt tillst˚and 

sker ingen tillst˚andsöverg˚ang. I ett instabilt tillst˚and anger tabellen det nya stabila tillst˚andet till vilket 

överg˚angen sker. 

För att beskriva tillst˚andsöverg˚angarna definieras för varje tillst˚andsvariabel xi en funktion av typen 

(3.1): 

xi = (xi + Si) · Ri 

där (Set) funktionen Si = 1 ger en överg˚ang till tillst˚andet i, xi = 1. Och (Reset) funktionen Ri = 1 ger 

en överg˚ang fr˚an tillst˚andet i, xi = 0. Samt att Si = Ri = 0 förorsakar ingen förändring, xi förblir vid 

sitt tidigare värde. Situationen Si = Ri = 1 är s˚adan att den ej kan förekomma. 

För systemet i tabell 3.2 har vi att överg˚ang till det stabila tillst˚andet x1 f˚as om systemet befinner sig 

i tillst˚andet x3 och u1 = u2 = 0 eller u1 = 0, u2 = 1, eller om systemet befinner sig i tillst˚andet x2 och 

u1 = 0, u2 = 1. S˚aledes f˚as 

S1 = u1u2x3 + u1u2x3 + u1u2x2 

= u1x3 + u1u2 (3.3) 

(Här har utnyttjats, att värdet för S1 är likgiltig för u1 = 0, u2 = 1, x1 = 1) Analogt har vi, att överg˚ang 

fr˚an tillst˚andet x1 sker, om systemet befinner sig i x1 och u1 = 1, u2 = 0 eller u1 = 1, u2 = 1. S˚aledes f˚as 

R1 = u1u2 + u1u2 = u1 

(x1 kan bortlämnas, ty R1 = 1 gör ingen skada, fastän systemet skulle befinna sig i n˚agot annat tillst˚and.) 

P˚a samma sätt f˚as för de övriga tillst˚anden 

S2 = u1u2x1, R2 = u1u2 + u1u2 = u2 

och för tillst˚andsvariablerna f˚as slutligen uttrycken 

(3.4) 

S3 = u1u2, R3 = u1u2 + u1u2 = u1 (3.5) 

xi = (xi + Si) · Ri 

De booleska funktionerna 3.2 - 3.6 beskriver fullständigt det i Ex. 3.1 sökta styrsystemet. Observera, 

att konstruktionen av funktionerna gjorts s˚a, att Si och Ri är funktioner av de nya insignalerna och 

de gamla tillst˚andsvariablerna, medan utsignalerna yi är funktioner av de nya insignalerna och de nya 

tillst˚andsvariablerna. Detta är viktigt att beakta vid implementering (programmering) av funktionerna. 

T.ex. i ladder-diagram som används i laborationsuppgiften s˚a utförs de fördefinerade set- och resetfunktionerna 

genast. Detta är typiskt inte ett problem, d˚a reset-funktioner i allmänhet är oberoende av 

tillst˚and (undantag förekommer t.ex. p˚a sidan 52). 

Uppgift 3.4 Slutför syntesen av styrsystemet i Uppgift 3.2 och 3.3 

Uppgift 3.5 Planera styrsystemet för Ex. 3.1 i det fall d˚a tillst˚anden i den primitiva tillst˚andstabellen 

3.1 kombineras enligt (1), (2, 6), (3, 4, 5). 

(3.6)

3.2. DETERMINISTISKA SEKVENSSTYRNINGSPROBLEM 41 

N˚agot om implementering med logiska grindar och vippor 

Styrsystemet kan implementeras med hjälp av logiska grindar och vippor. Härvid representeras tillst˚andsvariablerna 

som utsignaler fr˚an vippor. För att minimera antalet vippor utnyttjas det faktum 

att man med n st. logiska variabler kan beskriva 2 n st. tillst˚and. 

För att t.ex. beskriva 4 tillst˚and räcker det med 2 vippor, varvid de 4 tillst˚anden representeras av 

(00), (01), (11), (10). Liksom tidigare bör den kombinatoriska delen av nätet planeras s˚a att det är hasardfritt 

(jmf. avsnitt 2.3). I sekventiella nät av den typ som visas i Fig. 3.1 tillkommer dessutom problemet 

som uppst˚ar p.g.a. att vippornas reaktionstider inte är exakt desamma. Detta leder till att systemets 

beteende vid en tillst˚andsförändring kommer att bestämmas av den vippa vars utsignal reagerar först. 

Resultatet är en s.k. kapplöpning (eng. race), vid vilken systemet genomg˚ar ett antal tillst˚andsförändringar 

till ett nytt stabilt tillst˚and, som kan vara det korrekta nya tillst˚andet eller inte, beroende p˚a vilken 

vippa som reagerar snabbast. Systemet kan ocks˚a börja oscillera mellan ett antal tillst˚and, utan att hitta 

ett nytt stabilt tillst˚and. Kapplöpningar och oscillationer undviks i princip p˚a liknande sätt som hasard: 

konstruera systemet s˚a att tv˚a vippor ej ändrar tillst˚and samtidigt. 

3.2 Deterministiska sekvensstyrningsproblem 

I avsnitt 3.1 behandlades närmast sk. stokastiska sekvensstyrningsproblem, där systemet bör fungera p˚a 

ett specificerat sätt för en mängd olika insignalsekvenser. 

Deterministiska sekvensstyrningsproblem kan uppfattas som ett specialfall av de mera generella stokastiska 

sekvensstyrningsproblemen, med en p˚a förhand given insignalsekvens. Metodiken i avsnitt 3.1 kan 

därför ocks˚a tillämpas för deterministiska sekvensstyrningsproblem. P.g.a. sin enklare struktur existerar 

emellertid ocks˚a andra procedurer som i praktiken tillämpas för problem av denna typ. 

FUP 

FUP (ty. Funktionsplan), ”funktionsdiagram”, är en tysk standard (DIN 40718) för beskriving av sekventiella 

styrproblem. I denna anges processens olika steg grafiskt i form av numrerade rutor. Vid dessa anges 

villkor som bör gälla för att processen skall överg˚a till ifr˚agavarande steg, en beskrivning av funktionerna 

hos processen vid skedet i fr˚aga, samt villkor för senare steg i processen. 

Stegnummer 

❘ 

Ev. 

✲ 

beskrivning 

av steget 

4 

5 

6 

& 

≥ 1 

u3 

u2 

u1 

Aktion 1 

Aktion 2 

Aktion 3 

a 

b 

c 

Aktion 4 

Aktion 5 

Aktion 6 

d 

g 

h 

c b 

a ✛ 

d 

g 

h 

Konjunktiva 

villkor för steg 4 

Konjunktiva villkor 

för steg 5 (alternativ 

beteckning) 

Figur 3.6: Funktionsplan 

Följd av framg˚ansrikt 

utförd aktion 

Disjunktiva 

villkor för steg 6


HA 

LA 

LR 

A B 

VA 

y1 

❄ ❄ 

∞ 

❄ 

VR 

Figur 3.7: Reaktor 

Exempel 3.2 Betrakta processen i Fig. 3.7. Den önskade funktionen är följande. Processen skall kunna 

startas med en START-signal, varvid ventilerna VA och VB öppnas (VA = 1, VB = 1) förutsatt att 

beh˚allarna A resp. B är fulla (HA = 1 resp. HB = 1) och reaktorn är tom (LR = 0). Efter tömning av 

beh˚allarna (LA = 0 resp. LB = 0) skall ventilerna VA resp. VB stängas (VA = 0, VB = 0), och omrörning 

och uppvärmning sl˚as p˚a (y1 = 1, y2 = 1). Reaktorinneh˚allet skall omröras och uppvärmas i t = 10 min, 

varefter reaktorn töms (VR = 1). Efter genomförd sekvens skall processen ˚ater kunna startas med en 

START-signal, förutsatt att ovan angivna villkor är uppfyllda. En funktionsplan för processen ses i Figur 

3.8. 

1 

Starta 

2 

Töm A 

& 

4 

Omrör och 

uppvärm 

5 

Töm reaktor 

HA 

& 

& 

xT MR(10min) 

START 

LR 

Stäng VR V R 

Stäng VA 

Stäng VB 

LA 

LB 

3 

Töm B 

VB 

V A 

V B 

Omrörning p˚a y1 

Uppvärmning p˚a y1 

Sätt timer xT MR 

Omrörning fr˚an y1 Uppvärmning fr˚an y2 Öppna VR VR 

y2 

HB 

HB 

LB 

Öppna VA VA Öppna VB VB 

Figur 3.8: Funktionsplan för reaktor

3.2. DETERMINISTISKA SEKVENSSTYRNINGSPROBLEM 43 

I vissa automationssystem kan man kompilera funktionsplaner direkt. Utan denna möjlighet s˚a kan man 

p˚a basen av funktionsplanen kan en primitiv tillst˚andstabell uppställas, och systemets logik kan planeras 

p˚a basen av denna p˚a samma sätt som i avsnitt 3.1, genom lämpligt beaktande av parallella processteg. 

Detta förfarande rekommenderas för processer med l˚anga sekvenser, d˚a det kan vara viktigt att förenkla 

logiken genom kombination av tillst˚and. Deterministiska sekventiella processer inneh˚aller emellertid i 

allmänhet mycket färre tillst˚and än stokastiska sekventiella processer. Därför planeras logiken ofta direkt 

p˚a basen av funktionsplanen. För att illustrera proceduren skall vi i detta exempel välja detta förfarande. 

Det är dock viktigt att komma ih˚ag att logiken kan förenklas enligt metoderna i avsnitt 3.1. 

För att realisera tidsfördröjningen i processteg 4 behövs n˚agon typ av tidsfördröjningsfunktion. I praktiska 

realiseringar, t.ex. med en programmerbar logik, finns vanligen olika typer av tidsfördröjningsfunktioner. 

Vi skall här använda oss av en vanligt förekommande funktion av denna typ. 

Vi introducerar en logisk ”timer”-funktion TMR med insignalen xT MR och utsignalen xT MR[∆t]: Här är 

xT MR 

✲ TMR ✲ 

∆t 

Figur 3.9: Timer 

xT MR[∆t] 

∆t(≥ 0) ett argument som kan väljas fritt. TMR-funktionen har följande funktionssätt: En förändring av 

insignalen (xT MR) fr˚an 0 till 1 f˚ar utsignalen (xT MR[∆t]) att överg˚a fr˚an 0 till 1 en tid ∆t senare. Däremot 

överg˚ar utsignalen till 0 utan tidsfördröjning d˚a xT MR = 0. En dylik timer kallas för Timer On Delay 

(TON), finns även andra typer av timers, t.ex. Timer Off Delay (TOFF), som fördröjer förändringen fr˚an 

1 till 0 men inte andra vägen. Funktionen för en TON illustreras i följande figur. 

För processen i Fig. 3.7 och 3.8 har vi 

Insignaler: HA, LA 

HB, LB 

LR, START 

Utsignaler: VA, VB 

y1, y2 

xT MR 

❄ 

❄ 

✻ 

✛ ∆t ✲ 

✻ 

✛ ∆t ✲ 

✻ 

❄ 

Figur 3.10: Timerns funktion 

xT MR[∆t] 

VR 

Enligt funktionsplanen i Fig. 3.8 har processen fem st. steg, för vilka fordras motsvarande tillst˚andsvariabler: 

x1 − x5. Dessutom definieras en variabel xT MR och motsvarande utsignal xT MR[t] fr˚an en TMRfunktion. 

Logiken kan nu konstrueras p˚a basen av Fig. 3.8. För varje tillst˚andsvariabel definieras Set- och Resetfunktioner 

enligt 

xi = (xi + Si) · Ri, i = 1, 2, 3, 4, 5 

Ur Fig. 3.8 f˚as: 

S1 = START · LR· R1 = HA + HB 

S2 = HA · (x1 + x3) R2 = LA · LB · (x2 · x3 + x4) 

S3 = HB · (x1 + x2) R3 = LA · LB · (x2 · x3 + x4) 

S4 = LA · LB · x2 · x3 R4 = xT MR[10min] 

S5 = xT MR[10min] R5 = START · LR 

Vi behöver här en speciell konstriktion av R2 och R3, därför att vi kommer att vara vid tillst˚anden 2 och 3 

samtidigt. Och man kan inte lita p˚a vid programmering att vi kommer att vara vid det gamla tillst˚andet


d˚a vi beräknar reset-funktionerna. T.ex. i ett ladder-diagram s˚a utförs set och reset genast, men det 

kan man heller inte lita p˚a i alla tillämpningar. xT MR[10min] är utsignalen fr˚an en TMR-funktion, vars 

insignal är xT MR = x4. Utsignalernas värden blir: 

Grafcet 

VA = x2 y1 = x4 

VB = x3 y2 = x4 

VR = x5 

GRAFCET (Graphe de Commande Etape-Transision) är en grafisk procedur för beskrivning av sekventiella 

processer. Proceduren, som ursprungligen utvecklats i Frankrike, har standardiserats i flera länder. Metoden 

har stora likheter med FUP, se Figur 3.11, som visar s˚aväl en GRAFCET som en FUP-beskrivning 

av ett automatiskt blandningssystem. 

Programmeringsspr˚aket SFC (se kapitel 4) som hör till IEC standarden, är baserat p˚a Grafcet. S˚a p˚a automationssystem 

som har detta programmeringsspr˚ak s˚a lönas det först˚as att direkt specificera processen 

med hjälp av SFC, som kan direkt kompileras. Det finns ocks˚a kompilatorer för Grafcet. 

(a) (b) 

Figur 3.11: (a) GRAFCET och (b) FUP beskrivningar av ett automatiskt blandningssystem

Kapitel 4 

Programmerbar logik 

Programmerbar logik (PLC: Programmable Logic Controller; fi. ohjelmoitava logiikka) är en sorts mikrodatorliknande 

instrument som är speciellt avsedda för logik- och sekvensstyrningsproblem. De introducerades 

inom den amerikanska bilindustrin p˚a 1970-talet, för att effektivera omställningen av produktionslinjerna 

vid produktbyten. I dag används programmerbar logik rutinmässigt i all industri. 

En PLC kan schematisk se ut enligt följande: Insignalerna och utsignalerna är spänningar som kan tänkas 

Elaggregat 

✲ 

Programmeringsenhet 

❄ 

Processor 

Minne 

✛ 

✲ 

Gränssnitt 

Inputmodul 

Outputmodul 

✛ 

✛ 

✛ 

Figur 4.1: Schematiskt diagram av PLC 

✲ 

✲ 

✲ 

Input 

Output 

represenera boolska variabler (hög spänning = 1, l˚ag spänning = 0). En PLC kan programmeras med logiska 

funktioner, s˚a att utsignalerna är booleska funktioner av insignalerna och eventuellt tillst˚andsvariabler. 

Programmering av dagens PLC:n sker idag uteslutande med PC:n. 

Det existerar en stor mängd olika PLC:n p˚a marknaden, nedan en lista p˚a n˚agra viktiga leverantörer (i 

alfabetisk ordning): 

- ABB (PROCONTIC) 

- Allen-Bradley 

- Mitsubishi 

- Omron 

- Philips 

- Schneider (Telemecanique) 

- Siemens (SIMATIC) 

- Texas Instruments 

- Toshiba 

45

46 KAPITEL 4. PROGRAMMERBAR LOGIK 

- m.fl. 

Figur 4.2: Illustration av modulär uppbyggnad, bilden fr˚an Allen-Bradleys websidor 

Dagens PLC:n har en modulär uppbyggnad, se Fig. 4.2 och 4.3. Man kan s˚aledes köpa de klossar man 

behöver, t.ex 

- Digitala inputs (typiskt i paket av 4-32 st.) 

- Analoga inputs (typiskt i paket av 4-16 st.) 

- Digitala outputs 

- Analoga outputs 

- PID-regulatorer 

- Redundans för kritiska tillämpningar 

D.v.s. man kan och brukar även utföra konventionell ”analog” reglering med dagens PLC:n. 

4.1 Funktionssättet hos en PLC 

En PLC opererar enligt sekvensen

4.2. PROGRAMMERING AV EN PLC 47 

1. Läs och lagra insignaler i minnet 

2. Exekvera programmet 

3. Uppdatera utsignalerna 

Figur 4.3: Närmare bild av PLC, bilden fr˚an Omrons websidor 

Tillst˚andsvariablernas och utsignalernas värden evalueras s˚aledes en g˚ang per cykel, och man undviker 

problem som hasard, kapplöpning och oskillation som förekommer i analog logik. Däremot förekommer 

nog liknande beteende i PLC:n ocks˚a, men det beror i s˚a fall p˚a programmeringsfel! 

Om t.ex. en variabel A i programmet tilldelas ett värde enligt 

A = A 

kommer värdet hos A att alternera periodiskt med den frekvens som sekvensen genomg˚ar. 

1 

0 

Tiden för en cykel är typiskt i omr˚adet 0.5-50 ms. Man l˚ater oftast programmets längd p˚averka cykelns 

längd, dvs man börjar p˚a nytt genast d˚a man är färdig med en cykel. Leverantörer specificerar tider för 

hur länge det tar att utföra 1000 ord (time/Kword) av programinstruktioner, och hur länge det tar att 

avläsa I/O. Dessa uppgifter kan användas för uppskattning av tiden ∆tc för en cykel. Denna tid bör 

beaktas d˚a man har snabba processer eller händelser med kort varaktighet: 

- Den tid som maximalt kan förflyta innan en förändring i en insignal p˚averkar utsignalerna är 2∆tc 

(förändringen sker strax efter att insignalerna inlästs). 

- En insignalförändring som varar en tid kortare än ∆tc kan bli odetekterad. 

4.2 Programmering av en PLC 

Programmering av en PLC sker med hjälp av en skild programmeringsenhet, som i dagens läge är en 

PC. Det finns ett antal olika sätt att programmera PLC:n, och det finns fem stycken IEC(International 

Electrotechnical Commission)-standardiserade programmeringsspr˚ak: 

- Structured Text (ST), hög-niv˚a textbaserat spr˚ak, liknar Pascal 

- Instruction List (IL), l˚ag-niv˚a textbaserat spr˚ak, liknar assembler, beskrivs närmare i kapitel 4.2.1.


- Ladder Diagram (LD), grafiskt spr˚ak, heter kontakt-diagram p˚a svenska. Ett av de mest använda 

spr˚aken, beskrivs närmare i kapitel 4.2.2. 

- Function Block Diagram (FBD), grafiskt spr˚ak, har bl.a. logiska grindar och vippor som grundelement. 

- Sequential Function Chart (SFC), grafiskt spr˚ak baserat p˚a Grafcet. 

I praktiken s˚a har varje leverantör sina egna programmeringsverktyg, som mer eller mindre p˚aminner om 

IEC-standarden. Förutom de ovan nämnda s˚a används ˚atminstone FUP, ”vanlig” Grafcet samt även C 

för programmering av PLC:n. 

4.2.1 L˚ag-niv˚a programmeringsspr˚ak (IL) 

PLC:n kan programmeras med speciella assemblerliknande programmeringsspr˚ak. Uppbyggnaden av ett 

IL-program illustreras med ett exempel: 

Märke Operator Operand Kommentar 

LD Count (* Ladda variabeln Count i dataregistret *) 

loop SUB 1 (* Minska värdet i dataregistret med ett *) 

NE 0 (* Kolla om dataregistret är 0 *) 

JMP loop (* Hoppa till märket ’loop’ om föreg˚aende jämförelse är sann *) 

Det finns tv˚a stycken s˚a kallade modifierare som kan användas i samband av de flesta av operatorerna, 

t.ex. s˚a betyder LDN att man tar logisk icke p˚a operanden innan den lagras i dataregistret. Parenteser 

är den andra typen av modifierare, vilket fungerar som väntat som modifierare av beräkningsprioritet. 

LD X (* Ladda variabeln X i dataregistret *) 

GT( A (* Utför GT efter att uttrycket i parentes beräknats *) 

ADD B (* Beräkna A+B *) 

) (* Nu först testas om X > (A+B) *) 

IL p˚aminner allts˚a mycket om assembler; man skall komma ih˚ag att man hela tiden jobbar med register 

och att beräkningen sker i den ordning som instruktionerna kommer (om man inte sätter parentes, som 

i exemplet ovan. Instruktionerna 

LD A 

ADD B (* A+B *) 

MUL C (* (A+B)C *) 

beräknar (A+B)C och inte A+(BC) som i ett högniv˚a programmeringsspr˚ak. 

Instruktionerna (operatorerna) som ges av IEC-standarden ses i Tabell 4.1. 

Uppgift 4.1 Skriv ett PLC-program för den logiska funktionen för tillst˚and 1 fr˚an alarmuppgiften, dvs 

Ekv. 3.3, 3.4 och 3.6 

S1 = u1u2x3 + u1u2 

R1 = u1 

x1 = (x1 + S1) · R1


Tabell 4.1: IL-operatorerna enligt IEC 

Operator Modifierare Operandtyp Beskrivning 

LD N Alla Ladda operand i dataregister 

ST N Alla Spara inneh˚allet i dataregistret i operand 

S BOOL Tilldela operand värdet 1 (sant) om dataregistret sant 

R BOOL Tilldela operand värdet 0 (falskt) om dataregistret sant 

AND N och () BOOL Logisk OCH 

OR N och () BOOL Logisk ELLER 

XOR N och () BOOL Logisk XOR 

ADD () Alla Addition 

SUB () Alla Subtraktion 

MUL () Alla Multiplikation 

DIV () Alla Division 

GT () Alla Större än 

GE () Alla Större än eller lika med 

EQ () Alla Lika med 

NE () Alla Icke lika med 

LE () Alla Mindre än eller lika med 

LT () Alla Mindre än 

JMP N Märke Konditionellt hopp (beroende p˚a senaste jämförelsen) 

CAL N Namn Konditionellt anrop av funktionsblock 

RET N Konditionell retur fr˚an funktionsblock 

4.2.2 Kontaktdiagram (LD) 

Kontaktdiagram (e. ladder diagram, ty. kontaktplan) är en metod för att beskriva och logiska funktioner, 

som har varit redan länge standardiserad. Metoden härstammar fr˚an relä-tekniken, men utnyttjas idag 

allmänt för att programmering av PLC:n. 

I ett kontaktdiagram har man tv˚a vertikala ledningar, av vilka den vänstra är förbunden med en spänningskälla, 

och den högra är jordad (Fig. 4.4). Ledningarna är horisontalt förbundna med ”strömstigar”. 

1 0 

Figur 4.4: Kontaktdiagram 

Varje horisontal koppling representerar en variabel vars logiska värde är 1 om ström g˚ar genom kopplingen, 

och 0 annars. Funktionerna införs symboliskt; en kontakt som är sluten om u = 1, och annars öppen, 

anges med symbolen 

u 

Denna variabel u som avgör huruvida kopplingen är sluten eller ej kan vara en insignal eller en intern 

variabel (ett tillst˚and). Typiskt s˚a ges denna variabel som parameter till kontakten; man matar in en 

adress direkt eller en symbol (t.ex. u) som associerats med adressen. 

Bra minnesregel vid behandling av kontaktdiagram är att normalläge är 0, en 1 kräver en insats. T.ex. 

ovanst˚aende kontakt är öppen i normalläge, medan u = 1 s˚a sluter den. Symbolen för en kontakt som är 

sluten i normalläge, dvs d˚a u = 0 ser ut enligt följande 

u


Slutresultatet av varje horisontell rad kan lagras i en variabel, vilket betecknas enligt följande 

y 

( ) 

Med hjälp av dessa tre grundsymboler kan vi nu konstruera de vanligaste logiska funktionerna med hjälp 

av kontaktdiagram, se Fig. 4.5. Vi ser att logisk OCH f˚as med en seriekoppling och logisk ELLER med 

z = x1 · x2 

z = x1 + x2 

z = x 

z = x1 + x2 

z = x1 · x2 

z = x1 · x2 

z = x1 + x2 

Figur 4.5: Vanliga logiska fuktioner som kontaktdiagram. Observera de avvikande beteckningarna 

(x=insignal, z=utsignal). 

en parallellkoppling. 

RS-vippor konstrueras i IEC-standarden (och i labben) med hjälp av speciella S och R resultatvariabler. 

x 

(S) 

x 

(R) 

D˚a det logiska uttrycket till vänster är sant s˚a betyder det att den logiska variabeln associerad med 

RS-vippan (x i det här fallet) kommer att sättas till 1 respektive 0. 

Det finns m˚anga olika beteckningar och funktionssätt för timer-funktionen, och det finns ingen egentlig 

standardbeteckning. Timer-funktioner har oftast flera utsignaler, förutom den egentligen fördröjda 

signalen även interna variabler som t.ex. själva klockräknaren.


Uppgift 4.2 Konstruera ett kontaktdiagram för de boolska funktionerna y1, y2, VA, VB och VR i Ex. 

3.2. 

HA 

LA 

LR 

A B 

VA 

❄ ❄ 

∞ 

4.2.3 Function Block Diagram (FBD) 

y1 

❄ 

Function Block Diagram (FBD) är ett grafiskt programmeringsspr˚ak som p˚aminner om blockdiagram 

som används i reglerteknik-kurser. Blockena kan best˚a av enkla eller mera komplicerade operationer. 

Blocken som är fungera som logiska grindar s˚a ser även ut som logiska grindar, alla grindar som finns i 

Figur 4.5 s˚a finns alla i FBD. I figur 4.6 jämförs implementeringen av n˚agra enkla kretsar med FBD med 

kontaktdiagram och IL. 

Figur 4.6: N˚agra logiska kretsar implementerade med kontaktdiagram, Funktion Block Diagram, och 

Instruction List. Obs här används förkortade instruktioner i IL. 

I tabell 4.2 ges mera avancerade operationer definerade enligt IEC-standarden. Man kan även själv definera 

nya block, t.ex. med hjälp av programmeringsspr˚aket Structured Text. 

VR 

VB 

y2 

HB 

LB

II fr FH E 

@=--ss F 

I gE _i sä _I-J-? 

67 


I ,-l F H* _,., : [Il 

6-; gF rr;] åå f=-=; g 

fl N.F. 5E 

lo I 

l"äl .å L*l'å LrF 

-T-lt 

ra ES 

i i€ åE 

DOO (J (JC J i\ 

gtl C' 

-t! 

tt a 

tt 

r< 

EI 

tr 

€) 

Å 

-a H .- +r 

€) 

0 

-ra tr 

U fq ?', 

Ft l+ r\ A) 

?[råå R q 

? 

'OFt 

S*l 

o p:PttJF F., 6'ä 

O gA Fjl 

H/.J 

nnd o 6 

Tabell 4.2: Avancerade FBD-block enligt IEC-standarden (Crispin, 1997) 

:d a cr s- O 

sEE ä'R- 

9=.E' S_ q ? E 

;f?ä.=. 

åräåå 

O El Ft 

rx ax-i 

?såå$ 

o0ä pH-o pFt 

åfi;ää 

5 .+'O < i$ 

äåårB å 

åeEg s 

t! -'.C' ir. 

o.!t i+ F 

bE 9- .o 

! 99."I 

ä a F€,F 

å [*{F 

äFF,äå 

c+{ 

€ l{GI 

€ 

tr 

G' 

+r, 

a 

s årEåEåååJå*åå" *åäåå*å# 

|-{ st 

d E: = 

r äs=å5;BSJSTAA' är 

o '.t) 

EE-o F} 

H -rraH. c-'l 'u, 

F|' 

?iE : 

,-tK H g? 

r-rE (D O. O 

åo rr F ö 

.tWä 4 tf a 

q-E'* 9. o 

9Eo?+g \Y i+X F(D 

Edo E o g 

OIE ='9 

tr Å 

erä;r 

{-a 

O 

åiBåliåi 

o !td-oc) 

t' 7c 

€8ä E,' 

irö g 

= Edo 1 

6 Or å 

.- 

Edr'.\ o 

OF 

gP s 

PEä?A 

Ed' aö o 9s 

oCD 

$D 

F b: 

gsäe: 

\ (DP=o 

E 0. 

o 

U' 

J1 

Oo 

Fts 

Ål-( 

FgEe E E 6 

,f 

U' 

Os 

t'6 

Fb: 

^() oSG+' 

Äu) vts F. 

il 

€ 

*$F() 

Ft 

(D 

(t) 

g 

F 

'-? 

F. 

Ft 

ö 

E 

@ 

aå Fr 

H 

A) +'+ 

ea -\/ A)r- 

FIF 

-t; 

9ä 

o9 Fl) 

= 

-\o u 

aå 

Fre 

'hl 

Ait 

It(\ 

:3 

lFlo 

eq) SFI\ 

äö Ä)_E 

g'6 

o 

tåEiågåstå 

-s. 

\/ 

ååå 

\JH 

FT) 

F 

tsH SX o \J 

$. ra 

es Ga.Y 

FT 

I.H 

;H L. 

r!3 

=da 

Il. 

=o 

SrS'. 

F.S 

$- 

lrt C 

l-'e lB 

I sl å 

III E 

l: E s I F 

I sl g 

$* 

U,A 

YoF} 

o 

f) 

F} 

F. I' oe 

R EeI 

I ,Hl 

I 

I 

Håå 

lq e lä 

ll 

l* -T-To 

lä 

H 

og, G} 

s 

Is. 

st" 

-cl 

€) 

Å 

Etå 

14 '€ tt 

G 

-lc) 

€ 

* 

o 

-l I 

.- ts 

3I 

?') (D 

rst E 

\A.ra 

cts r 

fr 

c) 

E 

.ra 

E 

*) 

,11 

cJ 

o 

-I 

q) 

Fs (\ 

??3r?äräå; gFr 

??iEeö'ääq1 

S. (\ 

C., 

o \r 

\ sL 

6'! H)r 

oi T( 

h; o 

Ar ts.\ 

lt Oa, 

-.. 

pr 

Fl 

Ft 

o 

{a 

( 

I 

*,ålgg9-' HEF 

15.U) T Ooo 

iAe? 

I . oi$I. 

o.Eloa i*e 

r.Oa f 0O. o 

E 

Y.,+ 

f 

o(D(D 

Z se H 

.+ Ft 3SH ob)4 

g 

F. 

Fr. ' s30? 

El 

ägoo 

E €.€ 

FF .o E':+ 

$åäiålågiåff 

ro E 

o\E 

åEååa*tEågIgI 

s-€b? o8" Hööp€gEå 

$ Eå å;s €å*E Fåf, 

EååHåil åE€åHJ5 

H) 

D) 

f) 

oe E 

ooaF} 

(D 

o. 

,(T oq 

,o 

F. .o 'Hr 

o. F.l 

€ .o 

lA) 

oAt 

11 A !a Eplå 

gä;ä ao \ '-t B r-J'r io rE: 

r-t 

llt 

3Il äOc 

oa 

lo t' Q' 

loq 

L(D 

Eå i 

i-{ 

l!1 

äå 

= 

AE > E 

Fl'l+ 

g 6' ,--' 

il aä å 

&ht'& 

gXSa 

tYr+H 

ACD(DF. 

+rO 

'r 

= 

ågä$ X ä'-' At 

Hå RE 

\ 19 PFI 

€sä 

äsD 

DeE 

åååäätåäåå 

i=2=:;iFä;å 

s:;ååå;åEigå 

ol c) 

'ä A 

Fli - tr Yt gag 

6ä6 

Fr I 

3 Eåååä å 

3 g.eeqa:E; 

3€säEåå 

g€- [ äää 

bd åäåä 

: "i,F iAEi g 

EEl äåå e?Og 

O{+Fl 

;gaä Eåf p P 

E gEEAg ååEAå € 

:9rä 

€'F g 

å$ H ää€ 

€,eEEEE -8 

Eä o å;€ s' 

'h 5E, 

:< J.a 

..> s9 

age 

ää; ägå 

ä ä äu g: 

I ne 6 ooa 

=tr a-g €:ä :.E F 

r 

Fa ö; E.E a 

HFa Z 

äå äöe 

å4::E äE 

tE 6år,Z 

ågEge

Kapitel 5 

Petri nät 

Tillst˚andsautomatbeskrivningen i avsnitt 3.1 (tillst˚andsgraf, tillst˚andstabell) har en del begränsningar, 

vilka gör beskrivningen obekväm för vissa exempel. Detta har motiverat alternativa formalismer för att 

beskriva sekventiella system. Av dessa är Petri-nätet det viktigaste. Petri-nätet har varit som förebild vid 

utvecklandet av Grafcet-beskrivningen, se avsnitt 3.2. 

Vi skall först illustrera begränsningarna för tillst˚andsautomater med ett par exempel. 

Exempel 5.1 Betrakta ett system med där inkommande jobb betjänas av en server S (Fig. 5.1). Inkommande 

jobb som ej kan betjänas direkt sätts i en kö. Servern kan betjäna endast ett jobb ˚at g˚angen. 

Ink. jobb 

· · · 

Kö 

Server 

S 

Figur 5.1: Serverproblemet 

L˚at den logiska signalen A = 1 ange att ett jobb anländer, och l˚at S = 1 ange att ett jobb betjänats 

och att följande jobb kan betjänas av servern. En tillst˚andsautomatbeskrivning av systemet visas i Figur 

5.2, där nod nummer i (i=0,1,2,. . . ) motsvarar ett tillst˚and med i st. jobb i kön. Systemet har allts˚a ett 

oändligt antal tillst˚and. 

0 ✛ 

A 

✲ 

1 ✛ 

A 

✲ 

2 ✛ 

A 

✲ 

3 ✛ 

A 

✲ 

4 ✛ 

A 

✲ 

S S S S S 

Figur 5.2: Tillst˚andsautomat för serverproblemet 

Exempel 5.2 Betrakta p˚afyllningen av en reaktor fr˚an tv˚a beh˚allare (Fig. 3.7), där tömning av beh˚allarna 

A och B kan ske samtidigt. Figur 5.3 visar en tillst˚andsautomatbeskrivning av processen, där noderna 

motsvarar följande tillst˚and. 

53 

· · ·

54 KAPITEL 5. PETRI NÄT 

1. Klar för start 

2. A och B töms 

3. A töms, B fylls 

4. B töms, A fylls 

5. A tömd, B töms 

6. B tömd, A töms 

7. Reaktorn fylld 

Figur 5.3: Tillst˚andsautomat för blandningsprocess 

Det behövs ett tillst˚and för varje kombination av de tv˚a delprocessernas tillst˚and. Detta illustrerar en 

inherent svaghet hos tillst˚andsautomatbeskrivningen: Antalet tillst˚and ökar kombinatoriskt med antalet 

delsystem. Dessutom leder en utvidgning av systemet med nya delsystem (t.ex. en tredje beh˚allare C) till 

besvärliga modifieringar av tillst˚andsautomatbeskrivningen. 

För att kunna beskriva sekventiella, händelse-drivna system p˚a ett bekvämt sätt har man utvecklat 

alternativ till tillst˚andsautomatbeskrivningen. Det (sannolikt) mest utbredda av dessa är Petri-nätet 

(C.A. Petri 1964). 

Ett Petri-nät har tv˚a typer av noder: Cirklar representerar ”platser” (places), som beskriver tillst˚and eller 

aktiviteter hos ett system, och tvärstreck som representerar transitioner. Noderna kan förbindas med flera 

riktade länkar (Fig. 5.4). 

p1 

✲ 

t1 

Figur 5.4: Petri-nät med tv˚a platser p1, p2, och en transition t1 

En transition kan ”exekveras”, vilket kan användas för att representera tillst˚andsöverg˚angar. För att ange 

när en transition kan exekveras förses platserna med ”tecken” (token), jmf. Fig. 5.5. Antalet tecken i de 

• 

p1 

✲ 

t1 

Figur 5.5: Petri-nät med tecken, tillst˚and x = [1 0] 

✲ 

✲ 

p2 

p2

olika platserna definierar Petri-nätets tillst˚and x, dvs 

där x(pi) = antalet tecken i plats pi. 

• 

p1 

✲ 

t1 

x = [x(p1) x(p2) . . . x(pm)] 

✲ 

p2 

(a) x = [2 0] (b) x = [0 1] 

Figur 5.6: (a) Petri-nät med transition som kan exekveras (b) Tillst˚and efter transition 

p1 

✲ 

t1 

✲ • 

För att en transition skall kunna exekvera bör det finnas ett tecken för varje riktad länk till transitionen. 

Transitionen i Figur 5.5 kan s˚aledes ej exekveras. Däremot exekveras transitionen t1 i Figur 5.6(a). 

Observera att antalet tecken i ett Petri-nät i allmänhet ej behöver vara konstant; antalet kan s˚aväl öka 

som minska beroende p˚a antalet länkar till och fr˚an de transitioner som exekveras. Transitionerna kan 

vara förbundna med flera platser och vice versa. Notera även att en plats kan vara förbunden med en 

transition i b˚ada riktningarna, jmf. Fig. 5.7. 

p1 

✛ 

✲ 

t1 

Figur 5.7: Petri-nät med länkar med olika riktning 

Ett exempel p˚a dynamiken i ett Petri-nät illustreras i figurerna 5.8-5.10. 

p1 

• 

✲ 

t1 

✶ 

 

p2 

✛ 

p3 

✲ 

✸ 

✲ 

✙ 

✲ 

Figur 5.8: x0 = [2, 0, 0, 1], endast transition t1 kan exekveras 

t2 

t3 

✲ 

p2 

 

p4 

• 

p2 

55


p1 

• ✲ 

t1 

✶ 

 

p2 

• ✛ 

p3 

• 

✲ 

✸ 

t2 

t3 

✲ 

✙ 

✲ 

Figur 5.9: Nytt tillst˚and x1 = [1, 1, 1, 1] efter exekvering av t1 i x0 

p1 

• ✲ 

t1 

✶ 

 

p2 

• ✛ 

p3 

✲ 

✸ 

✲ 

✙ 

✲ 

Figur 5.10: Nytt tillst˚and x2 = [1, 1, 0, 2] efter exekvering av t2 i x1 

Observera att det i Fig. 5.10 antagits att t2 exekverats i x1. Lika väl kunde emellertid t1 eller t3 ha 

exekverats i x1, vilket leder till andra tillst˚and hos nätet. För att beteendet hos ett Petri-nät skall vara 

entydigt definierat bör ordningsföljden av de exekverbara transitionerna specifieras p˚a n˚agot sätt. Det 

viktigaste sättet ur ingenjörsmässig synvinkel är att binda transitionerna till externa händelser, varvid 

Petri-nätet beskriver det som är möjligt. Mera om detta under Exempel 5.3 och 5.4. 

En variant av Petri-nät där transitionernas ordningsföljd kan specificeras genom att införa tider τi ≥ 0 för 

de olika transitionerna ti, som anger tiden efter vilken transitionen exekveras, d˚a villkoren för exekvering 

blivit uppfyllda (sk. timed Petri net). S˚adana fördöjda transitioner anges med en rektangel, se Fig. 5.11. 

Transitionen t1 i Fig. 5.11 exekveras efter τ1 tidsenheter efter att villkoren för exekvering (tv˚a tecken i 

plats p1) blivit uppfyllda. 

• 

p1 

✲ 

τ1 

t1 

t2 

t3 

Figur 5.11: Timed Petri net 

Teorin för Petri-nät analyserar olika egenskaper hos näten, s˚asom 

- Om det dynamiska beteendet fortsätter med nya transitioner i all oändlighet (”liveliness”), eller 

upphör vid n˚agot skede. 

- Om systemet hakar upp sig utan att komma vidare (”deadlock”). 

- Vilka tillst˚and som kan n˚as fr˚an ett givet starttillst˚and. 

- Om tillst˚andet (totala antalet tecken) förblir begränsat. 

Till slut skall vi illustrera hur systemen i exemplen 5.1 och 5.2 kan beskrivas med Petri-nät. 

Exempel 5.3 Betrakta systemet i Ex. 5.1. Ett sätt att beskriva nätet med Petri-nät visas i Fig. 5.12. 

Vi utnyttjar oss av tre stycken transitioner: 

a: representerar att ett inkommande jobb anländer 

s: representerar start av betjäning i servern 

c: representerar att servern fullbordat ett jobb. Jobben antas ta τc tidsenheter. 

Dessutom behövs tre platser 

✲ 

p2 

 

 

p4 

• 

p4 

•

Q: antalet tecken i Q anger antalet jobb i kön 

B: ett tecken i B anger att servern utför jobb (Busy) 

I: ett tecken i I anger att servern kan ta emot jobb (Idle) 

a 

Q 

❄ 

s ❘ 

B 

❄ 

✠ 

❄ 

c τc 

• I 

■ 

a 

❄ 

Q • • 

s ❘ 

❄ 

B • 

❄ 

c τc 

(a) Initialtillst˚and med tom kö och ledig server (b) Servern upptagen och tv˚a jobb i kön 

Figur 5.12: Petri-nät för server-problemet 

Här är ankomsten av jobb a en transition som specificeras utifr˚an. Observera att i motsats till tillst˚andsautomatbeskrivningen 

i Ex. 5.1 har Petrinätbeskrivningen ändligt antal noder. Antalet jobb i kön 

karakteriseras entydigt av nätets tillst˚and, dvs antalet tecken i platserna (och i det här fallet antalet 

tecken i Q). 

Uppgift 5.1 Modifiera Petri-nätet i Ex. 5.3 enligt följande: 

(a) Inkommande jobb kommer med en viss tid emellan 

(b) Jobben (kunderna) blir och prata i väntrummet efter att ha blivit betjänade av servern. 

(c) Servern kan g˚a sönder eller annars tas ur bruk för service. 

Till˚atet att lösa denna uppgift i kompendiet. 

a 

Q 

❄ 

s ❘ 

B 

❄ 

✠ 

❄ 

c τc 

✛ I 

✠ 

I 

■ 

57


Exempel 5.4 Betrakta systemet Fig. 3.7 och Ex. 3.2 med p˚afyllning av en reaktor fr˚an tv˚a beh˚allare A 

och B. Ett Petri-nät som beskriver detta system ses i Fig. 5.13. En extern signal för start av A och B har 

även införts. 

A fylld 

HA 

Fyll A 

✻ 

✻ 

✰ 

Start 

❘❄ 

❄ 

❄ 

❄ 

❄ LA 

❄ 

Start ok 

A töms 

(VA = 1) 

A tömd 

(VA = 0) 

 

❄ 

✰ 

Start ok 

B töms 

(VB = 1) 

LB 

B tömd 

(VB = 0) 

❄✠ 

❄ 

❄ 

❄ 

Omrör&Uppvärm 

❄ 10 min 

❄ 

❄ LR 

 

✻ 

✻ 

Töm reaktor (VR = 1) 

✴ 

❄ 

✛ Tömd reaktor (VR = 0) 

❄ 

Figur 5.13: Petri-nät för blandningsprocess 

B fylld 

HB 

Fyll B 

Observera att i motsats till tillst˚andsautomat beskrivningen i Fig. 5.3 kan de parallella processerna beskrivas 

oberoende av varandra i Petri-nät beskrivningen. Detta gör beskrivningen mera strukturerad, 

och det är enkelt att sätta till eller avlägsna delprocesser. Defacto s˚a har vi mycket mera detaljer med 

i Petrinätet i figure 5.13 än i tillst˚andsautomaten i figur 5.3. En nackdel med Petri-nät är att den grafiska 

representationen av ett realistiskt system nog kan bli relativt komplicerad, med m˚anga platser och 

transitioner. 

Vidare s˚a ses i ovanst˚aende exempel att platser är ofta sammankopplade med utsignaler (inom parentes), 

och transitioner är ofta sammankopplade med insignaler. Transitionerna som är kopplade med insignaler 

s˚a har som tillägssvillkor att den externa signalen m˚aste ha rätt värde. Dylika transitioner brukar kallas 

icke styrbara, eftersom de är beroende av omgivningen.

Kapitel 6 

Planering av säkerhet för styrsystem 

Säkerhet spelar en viktig roll vid design av styrsystem. Det finns standarder för val av h˚ardvara och 

struktur för styrsystem beroende p˚a hur hög risk som finns involverad. Detta avsnitt är baserat p˚a den 

EU-verifierade internationella standarden EN ISO 13849-1, som ersatte äldre standarder fr˚an och med 1.1 

2012. Till exempel försäkringsbolag kräver dokumenterad säkerhetsplanering av tillverkare av maskiner. 

Användingen av en maskin s˚a innebär alltid en viss risk för farosituation. Faror kan uppst˚a om komponenter 

i styrsystem g˚ar sönder. Alla fel leder inte till faror, index d används för att betona att det är fr˚aga 

om fel som leder till farositutioner. Styrsystem kan ibland avvärja farosituationer genom att automatiskt 

detektera fel. 

Ett styrsystem best˚ar typiskt av följande komponenter: 

In-enhet ✲ Logik ✲ Ut-enhet 

Figur 6.1: Typiska komponenter i ett styrsystem 

Leverantörer ger uppskattningar p˚a livslängden p˚a olika komponenter, som inverkar sannolikheten för 

att farositioationer uppst˚ar. I mera kritiska tillämpningar s˚a inför man till exempel diagnostik och/eller 

dubbla komponenter, som ökar p˚a tillförlitligheten. Finns speciella logikdatorer med alla komponenter 

dubblerade. 

Vid planering av säkra styrsystem rekommenderas följande arbetsg˚ang 

1. Riskevaluering 

(a) Gränser för maskin 

(b) Igenkännande av faror 

(c) Riskevaluering 

2. Planering 

3. Realisering 

4. Validering 

59

60 KAPITEL 6. PLANERING AV SÄKERHET FÖR STYRSYSTEM 

Riskevaluering s˚a best˚ar av tre delomr˚aden: 

S Severity, hur allvarliga skador kan uppst˚a. Överg˚aende (S1) eller best˚aende skador (S2), bl˚amärken vs 

avhuggna lemmar. 

F Frequency, hur ofta farosituationen uppst˚ar. Sällan (F1) eller ofta (F2). 

P Probability, sannolikhet att undvika fara d˚a farosituation uppst˚ar. Möjligt (P1) eller nästan omöjligt 

(P2). 

Riskevaluering innebär att man skall ställa sig ovanst˚aende tre fr˚agor, med tv˚a möjliga svar (1 eller 2). 

Riskevalueringen ger kravniv˚a (PLr), a-e. Kravniv˚an e betyder högst krav p˚a säkerhet. Om riskevaluering 

är S1+F1+P1, s˚a räcker kravniv˚a a. S2 höjer p˚a kravniv˚an tv˚a steg, medan F2 och P2 höjer p˚a kravniv˚an 

ett steg var. Kravniv˚a betyder att man accepterar farliga felsituationer enligt tabell 6.1. 

Tabell 6.1: Krav p˚a sannolikhet för farligt fel under en timme för olika kravniv˚aer 

Kravniv˚a (PLr) Krav p˚a sannolikhet för farligt fel under en timme (PFHd) 

a < 10 −4 

b < 10 −5 

c < 3 · 10 −6 

d < 10 −6 

e < 10 −7 

Kravniv˚a (PLr) s˚a är minimal prestandaniv˚a (PL) p˚a säkerheten i ett system. Man kan höja p˚a prestandaniv˚an 

genom att välja bättre komponenter (öka p˚a MTTFd), eller genom strukturella förbättringar. Som 

strukturella ˚atgärder som införande av diagnostik (DC), dubblering av kanaler som möjliggör automatisk 

diagnostik, och även ˚atgärder som motverkar fel som uppst˚ar av samverkan (CCF). Dessa strukturella 

förbättringar s˚a höjer p˚a säkerhetskategorin för systemet. De olika säkerhetskategorierna ges i tabell 6.2. 

Tabell 6.2: Olika kategorier av säkerhetssystem 

Kategori uppn˚aelig kravniv˚a MTTFd DC CCF 

B a-b 3-27˚ar - - 

1 b-c 30-100˚ar - - 

2, l˚ag DC a-d 3-100˚ar 60-90% behövs 

2, medel DC a-d 3-100˚ar 90-99% behövs 

3, l˚ag DC a-d 3-100˚ar 60-90% behövs 

3, medel DC b-e 3-100˚ar 90-99% behövs 

4 e 30-100˚ar 99% behövs 

MTTFd = Mean Time To dangerous Failure, tid tills farligt fel har uppst˚att i 

63% av komponenterna. 

DC = Diagnostic Coverage, hur stor procent av felen s˚a upptäcks av systemet. 

CCF = Common Cause Failure, ˚atgärder mot fel som uppst˚ar av samverkan. 

Kategorierna B och 1 ställer enbart krav p˚a komponenterna, om fel uppst˚ar s˚a utför systemet inga 

˚atgärder. I kategori 2 s˚a räcker det att fel upptäcks i regelbundna granskningar, som t.ex. självdiagnostik 

vid uppstart. Kategorierna 3-4 kräver dubblering, dvs flera kanaler, vilket möjliggör att systemet själv 

upptäcker fel, och automatiskt avbryter funktionaliteten. 

MTTFd för hela systemet beräknas p˚a basen av MTTFd,i för enskilda komponenter i, enligt formeln 

1 

= 

MTTFd 

∑ 1 

MTTFd,i 

Tillverkare anger inte alltid MTTFd, följande förekommer även: 

i 

• B10d, anger antal användingar varefter 10% av komponenterna har g˚att sönder. Anges för komponenter 

som används bara ibland, som t.ex. kontakter.

• PFHd, definierades redan tidigare, medelsannolikhet för att komponenten g˚ar sönder p˚a en timme. 

Vid omräkning fr˚an B10d till MTTFd används följande formel: 

MTTFd = B10d 

. 

0.1 · nop 

Här anger nop antal användningar per ˚ar. Faktorn 0.1 kommer av att MTTFd angav tiden för att 63% 

av komponenterna g˚ar sönder, medan för B10d s˚a var det bara 10% som hade g˚att sönder. 

Omräkning av PFHd till MTTFd g˚ar enligt följande ekvation 

1 

MTTFd = 

. 

365 · 24 · PFHd 

Man kan även räkna ut T10d, som är tiden det tar till 10% av komponenterna g˚ar sönder, enligt formeln 

T10d = B10d 

. 

nop 

T10d anger tiden varefter man borde byta ut komponenten, och är enligt ovanst˚aende formler en tiondel 

av MTTFd. 

Vid härledning av ovanst˚aende formler antar man att sönderfallshastigheten λ för en komponent är 

konstant, vilket allts˚a betyder att kvarst˚aende hela komponenter x ges av följande differentialekvation 

dx 

dt 

= −λx 

med initialtillst˚andet x(0) = 100%. Lösningen till denna är 

x(t) = (100%) · e −λt . 

Detta ger att vid tidpunkten T10d = 0.1/λ s˚a är x(0.1/λ) = 90.48% hela, andelen söndriga komponenter 

därmed ca 10%. Och vid tidpunkten MTTFd = 1/λ är x(1/λ) = 36.79% hela, och andelen söndriga 

komponenter därmed ca 63%. Enheten för λ är (˚ar) −1 , vilket allts˚a betyder att λ = PFHd · 24 · 365, vilket 

kombinerat med ovanst˚aende ger sambandet mellan MTTFd och PFHd. 

P˚ast˚aendet att bara 63% av komponenterna har g˚att sönder vid MTTFd är sannolikt optimistisk, för 

livslängden p˚a komponenter brukar följa en ”badkarsfördelning”, sannolikheten för att den skall g˚a sönder 

är hög i början (pga tillverkningsfel), varefter sannolikheten blir konstant l˚ag fram till T10d, varefter 

sannolikheten igen snabbt stiger p˚a grund av slitage. Rekommendationen brukar vara att komponenter 

skall bytas ut efter T10d. 

Under antagendet att sönderfallshastigheten skulle fördubblas efter T10d, s˚a skulle f˚as att 85% av komponenterna 

är sönder vid MTTFd, och om hastigheten tredubblas skulle andelen bli 94%. 

DC är andel farliga fel som detekteras av diagnostiken. Möjliga värden p˚a DC: 0%, 60%, 90% och 99%. För 

detaljer se BGIA:s rapport 2/2008e: Functional safety of machine controls, appendix E. För beräkning 

medel DC för hela systemet, DCavg 

respektive komponent, det vill säga 

s˚a beräknas det som ett medelvärde viktat med 1/MTTFd för 

DCavg = 

∑ 

i 

∑ 

i 

DCi 

MTTFd,i 

1 

MTTFd,i 

Om DCavg är just under en DC-gräns, s˚a blir säkerhetsberäkningen lätt pessimistisk p˚a grund av den 

grova indelningen av DC-klasser. Enligt ovan nämnda rapport är det till˚atet att i dylika fall använda en 

finare indelning av DC-klasser, se appendix G i rapporten. 

61

62 KAPITEL 6. PLANERING AV SÄKERHET FÖR STYRSYSTEM 

Vid evaluering av CCF, fel som uppst˚ar av samverkan, s˚a besvaras ett antal fr˚agor, med ja-nej svarskala. 

Tabell 6.3: Evaluering av fel som uppst˚ar av samverkan (CCF) 

Faktor som minskar risken för faror pga samverkan poäng om svaret är ja 

Fysisk separering av kanaler 15 

Använding av olika teknologier, t.ex. olika tillverkare 20 

Skydd mot överspänning, övertryck, och dylikt 15 

Kända komponenter 5 

Beaktande av CCF vid planering 5 

Operatörer medvetna om och tränade i CCF 5 

Skydd mot nedsmutsning och/eller elektromagnetiska störningar 25 

Skydd mot andra hot fr˚an omgivningen, t.ex. temperatur, stötar, 

vibrationer och fukt 

10 

Totalt 100 poäng möjliga, och 65 poäng krävs för säkerhetskategorierna 2-4. 

Efter evaluering av säkerhetskategori, samt beräkning av total MTTFd för systemet, och s˚a finns det 

tabeller som anger uppn˚aelig säkerhetsniv˚a (PL, som tar värden mellan a och e). Tabellen finns även som 

räknesticka, som ses i figuren nedan: 

Figur 6.2: Räkneskiva för beräkning av säkerhetsprestanda 

Kategorierna B och 1 är enkla att beräkna, t.ex. om man har MTTFd = 3, s˚a blir PFHd = 1/(365 · 24· 

MTTFd) = 0.00038, vilket även kan avläsas ur ovanst˚aende bild. P˚a basen av färgen ser man i bilden 

att man d˚a enbart n˚a säkerhetskategorin a, vilket även inses fr˚an tabell 6.1, PFHd borde vara mindre än 

10 −5 för att uppfylla kravniv˚a b. För detta skulle krävas att MTTFd > 1/(365 · 24 · 10 −5 ) = 11.42. 

I de högre kategorierna s˚a antar man att diagnostik och motsvarande ˚atgärder avvärjer farosituationen 

i en viss del av fallen, varav sannolikheten för farligt fel blir lägre än vad MTTFd direkt anger. T.ex. s˚a 

ser man i ovanst˚aende bild att för ett system i kategori 3, medel DC, s˚a uppn˚ar man kravniv˚a b redan 

med MTTFd = 3.

Hela kompendiet - Åbo Akademi

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?