Schack och matematik

Jun
2004
School of Mathematics and Systems Engineering
Reports from MSI - Rapporter från MSI
Schack och matematik
– En studie om springarproblemet
Amir Moaveni
MSI Report 04052
Växjö University ISSN 1650-2647
SE-351 95 VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MA/E/--04052/--SE
1

Sammanfattning
Schack har fascinerat människan i århundraden. Dess rötter kan spåras till Indien så långt
tillbaka som till ca 600 e kr. Det som fångat människan är dess rika mångfald då taktik och
planering av varje drag är centralt i spelet. Få spel har så enkla regler men samtidigt så
komplexa spelmönster som schack.
På grund av springarens speciella rörelse på schackbrädet anses den vara bland de mest
intressanta pjäserna att studera. Springarproblemet är gammalt och behandlades redan av
Leonard Euler (1707-83). Frågan är om springaren kan ta sig runt brädet och därvid besöka
varje ruta en och endast en gång och om det finns en sådan tur är följdfrågan hur många olika
sådana turer det finns. I den här uppsatsen studeras springarproblemet som är en av många
frågeställningar i schacksammanhang, med hjälp av grafteori. Springarens färd på brädet
illustreras med grafer.
2

INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 INLEDNING............................................................................................................................................................................... 4
1.1 SCHACKETS HISTORIA .......................................................................................................................................................4
1.2 MATEMATIKER INTRESSERAR SIG FÖR SCHACK.............................................................................................................4
1.3 NÅGRA KÄNDA PROBLEM .................................................................................................................................................5
1.3.1 Åtta damer.................................................................................................................................................................... 5
1.3.2 Icke-attackerande torn ............................................................................................................................................... 6
1.3.3 Minimalt och maximalt antal kungar...................................................................................................................... 7
2 INTRODUKTION TILL SPRINGARCYKEL/TUR...................................................................................................... 9
2.1 VAD ÄR SPRINGARCYKEL/TUR? .......................................................................................................................................9
2.2 BAKGRUND..........................................................................................................................................................................9
3 GRAFTEORI...........................................................................................................................................................................11
3.1 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP INOM GRAFTEORI ...........................................................................................................12
3.2 BIPARTIT GRAF .................................................................................................................................................................13
3.3 EULERSKA GRAFER..........................................................................................................................................................14
3.4 HAMILTONSKA GRAFER..................................................................................................................................................15
4 MATEMATISK BESKRIVNING PÅ SPRINGARPROBLEMET...........................................................................16
4.1 TILLÄMPNING AV WARNSDORFFS METOD....................................................................................................................17
4.2 FINNS DET NÅGRA GENERELLA REGLER FÖR EN SPRINGARCYKEL?..........................................................................21
4.3 GÅR DET ATT RÄKNA ALLA SPRINGARCYKLER FÖR ETT N X M BRÄDE?...................................................................22
4.4 CLIQUE OCH COCLIQUES.................................................................................................................................................23
5 SAMMANFATTNING..........................................................................................................................................................25
6 REFERENSER.........................................................................................................................................................................27
3

1 Inledning
1.1 Schackets historia
Med största säkerhet uppfanns schacket i Indien. Schack nämns första gången i sanskritkällor
från ca 600 e.Kr. Man har dessutom funnit primitiva schackpjäser från ca 150 e.Kr. Det är
möjligt att schack är äldre än så, men det finns inga källor som kan verifiera det.
Schack kallades ursprungligen chaturanga som betyder 'fyra lemmar' som syftar på
uppdelningen av de indiska vapenslagen i historisk tid. Chaturanga simulerade de olika
vapenslagen kavalleri, elefanter, infanteri och stridsvagn [4].
Chaturanga spreds på 600-talet till Persien. Perserna introducerade schackmatt samt begreppet
schack. Tidigare kunde man slå kungen. Engelskans rook för torn kommer av det gamla
persiska ordet rukh. Det persiska ordet för kung, shah, har gett upphov till spelets namn på de
flesta språk idag. Teorin om spelet växte snabbt. Teoretiker skrev verk om öppningsteori,
systematisk taktik samt om strategiska teman i mittspel och slutspel. År 833 fällde Al-
Mamum, kalifen i Bagdad, detta yttrande: -”Det är märkligt att jag som härskar över världen
från Indus i öster till Andalusien i väster inte kan hantera 32 schackpjäser på detta lilla bräde”.
Det islamiska imperiets expansion medförde att spelet spreds till Mellanöstern, Nordafrika
och Sydeuropa. Det är framförallt via Spanien som schack tog sig till Europa. De första
källorna som nämner schack i Europa är från strax efter år 1000. Araberna var dock mest
framstående fram till 1200-talet då starka europeiska spelare började framträda. Efter 1200talet
började européerna förändra reglerna för att göra spelet mer spännande och intressant.
Den äldsta bevarade schackboken är från 1497. Den är skriven av Luis Ramirez de Lucena
som bl.a. gav rådet att man skulle se till att motståndaren är berusad innan man börja spela.
Vid slutet 1500-talet var schackreglerna slutligen i stort sett fastlagda. Internationaliserade
regler jämnade vägen för de riktigt stora schackspelarna. Den förste av dessa var spanjoren
Ruy Lopez som uppfann spanskt försvar och som förmodligen var sin tids bäste spelare. Han
besegrade Italiens och Spaniens bästa spelare och skrev den inflytelserika boken Libro de la
Invencion Liberal y Arte del Juego del Ajxedrez. Andra stora spelare från denna tid var Paolo
Boi, Alessandro Salvio och Gioachino Greco, alla från Italien.
Centrum för det europeiska intellektuella livet flyttade norrut under sena renässansen och
schacklivet följde efter. 1700-talets överlägset bäste spelare var fransmannen André Danican
Philidor. Han var också en erkänd musikkompositör. Philidors försvar är uppkallat efter
honom. Philidor spelade bl.a. i England och Frankrike och besegrade allt motstånd. Han
förnyade den analytiska tekniken och införde nya modernistiska positionella begrepp, såsom
bondekedjans betydelse.
1.2 Matematiker intresserar sig för schack
Ända sedan schackspelet uppfanns i Indien för cirka 1500 år sedan har spelet roat och
fascinerat människor världen över. Egenskaper som pjäsernas rörelser på brädet, taktik och
planering av varje drag, brädets enkelhet och spelets oändliga utmaningar har gjort många
människor nyfikna på schackspelet. Särskilt har matematiker varit intresserade av att studera
schack eftersom spelet delar matematikens logik och abstraktion vad gäller problemlösning.
Ansträngningar att skapa en matematisk teori för schackspelet har hittills inte medfört några
konkreta resultat trots att kända matematiker som Euler, Gauss, Vanermonde, Legendre har
studerat området [1]. En del matematiska teorier såsom grafteori, aritmetik,
4

kombinationsanalys och geometri har används som hjälpmetod för att analysera spelet. Och i
vissa fall har schackspelet även kunnat användas i matematiska sammanhang.
Springarproblem, som behandlas i denna uppsats, är ett exempel på hur matematiska teori
används inom schack och vice versa.
Trots flera hundra års analys och studium av schack och dess oändliga kombinationer är spelet
än idag mycket intressant på grund av dess fantastiskt stora kombinationsmöjligheter.
De flesta matematiska studier och forskningar om schack har gjorts i syfte att söka
sifferhemligheterna hos schackbrädet och schackpjäsernas rörelser. Det görs även andra
matematiska studier inom detta område. Två frågor som brukar ställas i detta sammanhang är:
• Hur många pjäser av en given typ kan placeras på ett schackbräde utan att de
attackerar varandra?
• Vad är minsta antalet pjäser som krävs för att täcka eller attackera alla rutor på ett
bräde?
1.3 Några kända problem
1.3.1 Åtta damer
Ett av de mest kända problemen, är ”Åtta damer”, som framlades av M. Bezzel i Berlin
Schachzeitung i 1848. Frågan är hur åtta damer kan ställas upp på ett 8 x 8 rutor stort
schackbräde så att ingen dam kan slå den andra? Och om det går, hur många kombinationer
finns det? Frank Nauck publicerade 1850 i Illustrierte Zeitung 12 kombinationslösningar på
problemet. Den tyske matematikern Gauss räknade ut 92 olika kombinationer för detta
problem. Egentligen finns det bara 12 kombinationer, men de övriga fås genom att vända på
schackbrädet och genom symmetriska uppställningar. Motsvarande problem med åtta torn har
inte mindre än 40 320 olika varianter. Med löparen blir kombinationsmöjligheter ännu fler
[11].
Bilden 1.1 visar ett av sätten att ställa upp åtta damer så att de inte kan slå varandra.
Bild 1.1
Det går givetvis att utveckla problemet ”åtta damer” till det mer generella problemet ”n
damer” på ett n x n bräde. För n < 4 är det ganska enkelt att kontrollera att det inte finns
lösning på problemet med undantaget för det triviala fallet med en dam på ett 1 x 1 bräde.
Antalet ”fundamentala” kombinationslösningar F(n) och alla lösningar inklusive rotation av
schackbrädet och symmetriska uppställningar S(n), för n=1,…,12 framgår av tabell 1.1 [17].
5

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F(n) 1 - - 1 2 1 6 12 46 92 341 1784
S(n) 1 - - 2 10 4 40 92 352 724 2680 14200
Tabell 1.1
Någon generell metod för att räkna ut alla kombinationer för ”n damer” på ett n x n bräde har
jag inte sett någonstans. Djupare undersökning av detta problem ligger utanför denna uppsats.
Ett annat intressant problem med damen är finna minsta antalet damer som behövs för att
täcka, eller attacker, alla rutor Det behövs minst fem damer för att täcka eller attackera alla
rutor på ett 8 x 8 bräde. Det finns inte mindre än 638 olika ”fundamentala”
kombinationslösningar på detta problem. Bilden 1.2 visar en av dessa lösningar.
Bild 1.2
Det är intressant att notera att fem damer även kan täcka bräden med 9 x 9, 10 x 10 och 11 x
11 rutor [17].
1.3.2 Icke-attackerande torn
Ett annat intressant exempel är att bestämma antalet icke-attackerande torn på bräden med 8 x
8 rutor. Svaret är 8 torn, diagonalt placerade på 8 x 8 brädet. Maximalt antal icke-attackerande
torn som kan placeras på ett bräde med n x n rutor är n och totalt antal placeringssätt av n
icke-attackerande torn på n x n brädet är n! [18]. Bilden 1.3 visar 8 icke-attackerande torn på 8
x 8 brädet.
Bild 1.3
6

1.3.3 Minimalt och maximalt antal kungar
Den icke-attackerande pjäsen kan givetvis vara kung, springare eller löpare. Som ett sista
exempel i detta avsnitt har jag valt icke-attackerande kungar men återkommer till detta
problem i avsnitt 4.4 för pjäsen springare. Det kanske inte är så svårt att svara på den frågan
efter lite laborering med pjäserna på brädet, även om det kräver tålamod och systematiskt
tankearbete. Bilden 1.4 visar 16 icke- attackerande kungar på schackbrädet [18].
Bild.1.4
Finns det då någon generell metod för att räkna ut det maximala antalet icke-attackerande
kungar k (n) på ett n x n rutor stort bräde? Generellt gäller:
k(n)=n 2 /4 n jämn
k(n)=(n+1) 2 /4 n udda
Minsta antalet kungar (bild 1.5) för att täcka eller attackera alla rutorna på ett bräde med 8 x 8
rutor är 9 [18].
Bild 1.5
Det är inte bara kul att syssla med den här sortens problemlösningar, utan ibland kan det
komma till praktisk nytta också. I den ryska (sovjetiska) filmen ”Havets skräck” skildras
utnyttjandet av schackkunskaper. Filmen handlar om sovjetmarinens arbete med att rensa upp
tyska minfält som en viktig sjöfartsled efter andra världskriget. Efter omfattande sökning
lyckades man oskadliggöra 32 av 36 minor. All uppmärksamhet var givetvis riktad på att hitta
de fyra återstående minorna som utgjorde en stor fara för sjöfarten. Kapten Ratonov, en av
dem som intensivt försökte lösa problemet, fick veta att den som placerat ut minorna var en
tysk ingenjör med mycket stort intresse för schack. Ratonov, själv schackentusiast, kom på
7

några springarproblem och fick idén att minorna kunde vara utplacerade som på schackbrädet
enligt ett schema. Detta antagande visade sig vara riktigt och ledde till att alla återstående
minorna hittades och oskadliggjordes [11].
I denna 10-poängsuppsats demonstreras samspelet mellan schack och matematik. För att göra
det har jag valt att utgå från ett konkret problem, nämligen Springarproblemet. I avsnitt 2 ges
en introduktion till springarproblemet. Därefter introduceras grafteori i avsnitt 3 för att vidare
i avsnitt 4 studera matematiska tillämpningar på springarproblemet.
8

2 Introduktion till Springarcykel/tur
Pjäsen springare är på grund av sin speciella L- rörelse på schackbrädet intressant att studera.
Bilden 2.1 visar springarens förflyttning på brädet.
Bild 2.1
2.1 Vad är springarcykel/tur?
Springarproblemet går ut på att hitta en tur på n x m bräde där springaren besöker varje ruta
endast en gång. Det finns två varianter av springarproblemet. Den första varianten är att finna
en tur där springaren besöker alla rutorna endast en gång. Denna tur kallas springartur. Den
andra varianten av springarproblemet är att finna en cykel som täcker alla rutor på brädet och
även här besöks alla rutor endast en gång. Med cykel menas att pjäsen kommer tillbaka till
utgångspunkten, eller att startrutan är nåbar från sista rutan i färden. Den här varianten kallas
för springarcykel och är intressant för den är exempel på en Hamiltoncykel i en graf (se
avsnitt 3.4). Problemet att finna sådana tillhör NP-kompletta problem dvs det går inte att hitta
en algoritm som garanterat kan finna en lösning inom en tid som kan uttryckas med hjälp av
polynom(NP = non deterministic Polynomial Time) [22].
2.2 Bakgrund
År 1759 lämnades den första uppsatsen om springarproblemet till vetenskapliga akademin i
Berlin av matematikern Euler. Han hade analyserat problemet och kunde i sina studier bland
annat konstatera att det inte finns någon cykel på ett bräde med udda antal rutor samt att på ett
5 x 5 bräde börjar eller slutar alla turer i hörnrutan. Euler koncentrerade sig på schackbrädet
med på 8 x 8 rutor för att konstruera turer. Bild 2.2 visar en springartur konstruerad av Euler.
1 48 31 50 33 16 63 18
30 51 46 3 62 19 14 35
47 2 49 32 15 34 17 64
52 29 4 45 20 61 36 13
5 44 25 56 9 40 21 60
28 53 8 41 24 57 12 37
43 6 55 26 39 10 59 22
54 27 42 7 58 23 38 11
Bild 2.2
9

Många matematiker har analyserat springarproblematiken ur olika perspektiv för att finna en
generell metod som är applicerbar för alla n x m bräden. Hittills har dessa studier inte lett till
någon generell lösning på problemet. Det är lätt att tänka sig sökprocedurer för att gå igenom
alla färdvägar och hitta alla turer eller cykler som kan finnas men eftersom beräkningstiden
antas växa exponentiellt med brädets storlek blir det i praktiken omöjligt att undersöka stora
bräden.
Ett sätt att ta reda på om det finns sådana turer eller cykler är att helt enkelt pröva alla möjliga
vägar som springaren kan välja mellan. De flesta slutar i en återvändsgränd, dvs springaren
kommer till en ruta varifrån den inte kan ta sig vidare utan att hamna på en ruta som redan
besökts. Denna metod kallas ”Backtracking”. Metoden går ut på att man backar ett steg och
provar en annan väg och har man redan provat alla val då får man backa ett steg till osv.
Problemet att hitta springarturer/cykler är hanterbart på ett mindre bräde. På ett 6 x 6 rutors
bräde är backtracking en användbar metod för att räkna antalet turer och cykler. På ett sådant
bräde finns 9 862 olika springarcykler, ett resultat som fås efter att ha provat 4 056 367 434
drag [4].
På ett 8 x 8 rutors schackbräde visar sig problemet vara en tidskrävande process som är riktig
utmanande även för dagens datorer. Bild 2.3 visar olika färdvägar för springaren på 8 x 8
brädet.
Bild 2.3 Springarcykel
En annan praktisk metod för att konstruera springarturer/cykler upptäcktes redan på början av
1800-talet av H.C Warnsdorff [26]. Warnsdorffs metod går ut på att undvika att skapa
återvändsgränder – dvs rutor från vilka springaren inte kan ta sig vidare utan att hamna på en
redan besökt ruta. Ínför varje drag undersöks därför vilka nya rutor som springaren har att
välja mellan. Sedan noteras hur många nya valmöjligheter och fria utgångar nya rutorna har
och därefter väljer springaren att gå till den ruta som har minst fria utgångar kvar.
Warnsdorffs metod ger lösningar, men inte samtliga. Det går att göra vägval i strid med
metoden och ändå uppnå en komplett färdväg för springaren. Det finns ett drag av
godtycklighet i detta då vägvalen ofta är likvärdiga enligt metoden och på riktigt stora bräden
uppstår problem. Warnsdorrf själv hade knappast möjlighet att undersöka detta. Dagens
datorexperiment visar att metoden inte fungerar för schackbräde större än 76 x 76 rutor men
den fungerar ganska bra för mindre bräden. Bild 2.4 visar springarfärder på 5 x 5 och 6 x 6
rutor stora bräden. I avsnitt 4 visas en tillämpning av metoden.
10

Bild 2.4
Springarfärder illustreras bäst med grafer (se avsnitt 3). Rutorna på brädet är hörn i grafen och
springarens förflyttning från till exempel ruta a1 till b3 utgör en kant i grafen. Därför är det
naturligt att se problemet med att finna springarfärder som ett grafteoretiskt problem.
Arnd Roth applicerade en algoritm som Axel Conrad upptäckte 1994 [15] för att hitta
Hamiltonturer (definieras i 3.4) i grafer svarande mot springarens rörelse på schackbrädet.
Enligt denna algoritm finns Hamiltontur för n =5. Roth styckade brädet i mindre schackbräden
och hittade turer på bräden n= 5 till 8. Med n avses antal rutor på brädet och antalet hörn i
grafen. Bilderna 2.4 och 2.5 visar turer ritade av Roth.
Bild 2.5 Springarturer på 7 x 7 och 8 x 8 bräden
3 Grafteori
I staden Königsberg (numera Kaliningrad) i östra Preussen sägs det att man på söndagar roade
sig med att försöka promenera runt i staden så att man korsade stadens sju broar men att man
endast korsade varje bro en gång. Eftersom varje försök hade misslyckats trodde många att
detta var omöjligt. År 1736 fick en av dåtidens största matematiker, Leonhard Euler höra om
problemet och i en artikel som publicerades samma år bevisade han att det verkligen inte
kunde lösas. För att försöka lösa gåtan delade Euler staden i fyra delar och sju broar vilket
illustreras i bilden nedan [16].
Bild 3.1
I sin artikel formulerade han följande tre regler med vilka man alltid ska kunna finna en
lösning [3].
11

• Om det finns fler än två landmassor (hörn) med ett udda antal broar (kanter) är sådan
promenad (Eulersk tur) omöjlig att genomföra.
• Om det finns exakt två landmassor (hörn) med ett udda antal broar (kanter) så kan man
utföra promenaden (Eulersk tur) om man startar på en av landmassorna och slutar i den
andra.
• Slutligen, om det inte finns någon landmassa (hörn) med udda antal broar (kanter) kan
man utföra promenaden (sluten Eulersk tur) och starta från valfritt ställe.
Närmare studie av den förenklade bilden (grafen) av problemet som visas, till höger i bilden
3.1 visar att ett udda antal broar leder till landsmassorna och därför är det enligt den första
regeln, omöjligt att promenera runt staden på sådant sätt att man korsar varje bro precis en
gång.
Grafteori handlar om egenskaperna hos illustrerade figurer som är uppbyggda av två typer av
element: hörn och kanter. I kommande avsnitt ges en kort genomgång av de mest
grundläggande definitionerna och begreppen i grafteori. Vidare studeras bipartita grafer och
Eulerska och Hamiltonska grafer presenteras mera ingående.
3.1 Grundläggande begrepp inom grafteori
En graf kan avbildas som en figur med punkter och linjer i vilken punkterna representerar
grafens hörn och linjerna representerar kanterna.
En graf består av två disjunkta mängder (V,E). Elementen i V kallas för hörn. E är en
delmängd av två mängder ur V. Elementen i E kallas för kanter. Med disjunkta menas att det
inte skall förekomma några gemensamma element, element som i sådana fall skulle både vara
hörn och kanter samtidigt.
En kant förbinder exakt två hörn och därför beskrivs den lättast av sina ändpunkter.
Ordningen på hörnen som beskriver en kant har ingen betydelse eftersom kanten som går från
hörn u till hörn v är samma kant som går från v till u och beskrivs därför lättast med en mängd
som har precis två element (tagna från hörnmängden). Observera att riktade grafer ej tas upp i
denna uppsats.
En kant sägs tillhöra var och en av sina ändpunkter, och två kanter som tillhör samma
ändpunkter sägs vara näraliggande [7].
Definition 1: En graf G består av två ändliga mängder: en mängd V(G) av hörn och en
mängd E(G) av kanter (bågar), där varje kant är associerad med en mängd bestående av
antingen en eller två hörn(Observera att det är alltid ett par av hörn såsom (a,a)loop eller
(a,b) vanlig kant) vilka kallas kantens ändpunkter. Grafen betecknas som G=(V,E).
En enkel graf innehåller inga multipla kanter eller loopar. En multigraf är en graf med flera
kanter mellan samma hörn.
Definition 2: Låt G vara en graf där v och w är hörn i G. En tur (promenad) från v till w är
en ändlig alternerande följd av på varandra följande hörn och kanter i G. Sålunda har en tur
formen v 0e1v1e2… v n-1en v n, där v-na representerar hörn, e-na representerar kanter, v0 = v, vn
= w, och för alla i = 1, 2, … ,n, vi-1 och vi är ändpunkterna till ei. Den triviala turen från v till
v består av det enda hörn v.
12

Definition 3: Låt G vara en graf och v ett hörn i G. Graden (valensen) av v, betecknad deg(v),
är lika med antalet kanter som tillhör v, med en kant som är en loop räknad två gånger. Den
totala graden av G är summan av graderna hos alla hörn i G.
Sats 1: Om G=(V,E) är en graf ( icke riktad), då gäller att ? v?V deg(v)=2¦ E¦ .
Därav följer omedelbart att:
Följdsats 2: Den totala graden hos en icke riktad graf är jämn.
Definition 4: En delmängd S av hörn i en graf där alla par av hörn i S är närliggande
(adjacent), kalls för Clique.
Definition 5: En delmängd S av hörn i en graf där inga två hörn i S är närliggande (adjacent),
kalls för Coclique.
Exempel:
Betrakta grafen på bild 3.2. Den har hörnmängden V={a, b, c, d, e} och kantmängden
E={{a,b}, {a,d}, {b,e}, {b,d}, {c,e}, {c,d}}.
Bild 3.2
En cykel i grafen är till exempel a, {a,b}, b, {b,e}, e, {e,c}, c, {c,d}, d, {d,a}, a eller kortare
abecda. Hörnen a, c och e har grad två, hörnen b och d har däremot grad tre.
Hörnen a, b och d formar en Clique.
3.2 Bipartit graf
För en bipartit graf kan man dela in alla hörn i två olika grupper på ett sådant sätt att det inte
finns några kanter mellan de hörn som är i samma grupp, utan det finns bara kanter som
förbinder de båda grupperna. Se bild 3.3.
Bild 3.3
Definition 5: Grafen G=(V,E) är bipartit om V=V1U V2 med V1n V2 =Ø och varje kant av G
är från formen {a,b} med a? V1 och b? V2 . Med andra ord, en graf bestående av två disjunkta
13

delmängder V1 och V2 där varje hörn v1 ? V1 bara har grannar i V2 och där varje hörn v2 ?
V2 bara har grannar i V1, kallas för en bipartit graf.
En fullständig (komplett) bipartit graf på (m,n) hörn, betecknad km,n , är en bipartit graf med
hörn v1,v2,….vm och w 1, w2, …..wn som uppfyller följande villkor:
För alla i, k=1,2,…m och för alla j, l=1,2,…n, gäller att det finns en kant från varje hörn vi till
wj. I bild 3.4 nedan illustreras k2,3 [8].
Bild 3.4
3.3 Eulerska grafer
Vad som är intresserant i en Eulersk graf är att hitta en väg där det går att ”promenera” längs
alla kanter endast en gång. Om promenaden slutar i samma hörn som den påbörjades i, då har
grafen en Eulersk cykel och kallas därmed för Eulersk graf. En Eulersk graf innehåller alltså
en Eulersk cykel. Om promenaden däremot inte slutar i samma hörn som den började ifrån,
utan slutar i ett hörn skild från den första så är det en Eulersk tur (trail).
Sats 2: En graf har en Eulersk cykel om och endast om:
Grafen är sammanhängande.
Alla hörn har jämna grader.
Följdsats 2: En sammanhängande graf är Eulersk om och endast om dess kanter kan delas
upp i disjunkta cykler.
Följdsats 3: En sammanhängande graf har en Eulertur om och endast om det inte finns fler
än två hörn med udda grader.
Sats 1 kan appliceras för att visa att en graf har en Eulercykel, eftersom att,om det finns en
Eulercykel i en graf, så måste varje hörn av grafen ha jämna grader. Med andra ord om det
finns hörn av udda grader i grafen så kan det inte finnas en Eulercykel. Räcker det om varje
hörn i grafen är av jämn grad? Betrakta följande icke-sammanhängande graf.
Bild 3.5
Alla hörn i grafen i Bild 3.5 är av jämna grader, men det finns ingen Eulercykel.
14

3.4 Hamiltonska grafer
Sir William Rowan Hamilton utsågs till ”Astronomer Royal of Ireland” vid tjugotvå års ålder,
adlades vid trettio, och var en ledande matematiker på sin tid. Förutom sina stora upptäckter
inom algebra så är han även känd som uppfinnaren av "The Travellers Dodecahedron" (Den
resandes dodekaeder) även känt som "A Voyage Arond the World" (En resa runt världen).
Dodekaeder-spelet kommer från ett grekiskt ord som betyder tolvsiding. Hörnen på
tolvsidingen (tjugo stycken) var märkta med namn på viktiga städer som Bryssel, Canton,
Dehli och så vidare, och slutade med Zanzibar. Varje hörn hade också en kort pinne runt
vilken man kunde linda ett snöre. Målet för spelet var att ta ett snöre och linda det runt
tolvhörningen (man fick endast följa kanterna) så att man passerade varje stad precis en gång
(och därmed startade och slutade i samma stad.) En sådan resa kallades en "Resa jorden runt".
Bilden 3.6
Exempel 1 (med beteckningar från bild 3.6):
C D M N P Q Z X H J V W R S T L K F G B och slutligen C, visar en Hamiltoncykel.
Bild 3.7: Ikosaederspelet
Definition 6: Låt G=(V,E) vara en graf med |V|=3, då har G en Hamiltoncykel om det finns
en cykel i G som består av varje hörn i V.
En intressant egenskap för en graf är om den har en Hamiltoncykel eller inte. Det är lätt att tro
att det är enkelt att avgöra med tanke på att enda skillnaden mellan en Eulercykel och en
Hamiltoncykel tycks vara att man i princip byter ut villkoret att gå över varje kant precis en
gång mot att gå genom varje hörn precis en gång. Tyvärr verkar det vara betydligt svårare att
hitta enkla kriterier som avgör om en graf har en Hamiltoncykel. Det finns kriterier som
garanterar att de finns en Hamiltoncykel i en graf, men tyvärr finns det grafer som inte
15

uppfyller dessa kriterier men ändå har en Hamiltoncykel, alltså tillräckliga men ej nödvändiga
kriterier. Det finns dock satser som kan visa om vissa typer av grafer har Hamiltonska cykler
och här introduceras två av de viktigaste.
Sats 4(Ore sats): Betrakta grafen G=(V,E) där |V| = 3. Om deg (x) + deg(y) = |V| för alla
icke- närliggande(grannar) x ,y ? V då har G en Hamiltonsk cykel.
Bevis: För beviset se ref.[19]
Följdsats 5: Betrakta en graf G=(V,E) där |V|= 3. Om deg(v)= V/2 för varje hörn v, har G en
Hamiltonsk cykel.
Exempel:
Betrakta bild 3.8. Om G är grafen i bilden, så bildar kanterna {a, b}, {b, c}, {c, f}, {f, e}, {e,
d}, {d, g}, {g, h}, {h, i} en Hamiltontur. Men har G en Hamiltoncykel?
Bild 3.8
Eftersom G har nio hörn måste en Hamiltoncykel i G innehålla nio kanter. Börja i hörn b för
att försöka bilda en Hamiltoncykel. Från b kan både c och a nås. På grund av symmetrin i
grafen spelar det ingen roll vilken hörn som väljs. Välj hörn c. Återigen går det att välja
antigen hörn f eller i. Valet denna gång faller på hörn f vilket betyder att kant {c, i} tas bort
från möjliga promenadvägar eftersom c redan har passerats en gång. Resonemanget blir det
likartade om hörn i väljs. För att inkludera hörn i i cykelturen blir färden från f mot i. Med
kanterna {c, f}{f, i} i cykelturen går det inte att ha kanten {e, f} i cykeln. Om färden tar sin
väg mot e blir den fast och kan inte gå vidare och därmed finns det ingen Hamiltoncykel i den
här grafen.
Om en graf G har en Hamiltoncykel, så har G en subgraf (delgraf) H med följande egenskaper
[10]:
1. Varje hörn hos H har graden 2.
2. H har samma antal kanter som hörn.
3. H är sammanhängande.
4. H innefattar alla hörn hos G.
4 Matematisk beskrivning på springarproblemet
Springarensfärd på ett schackbräde (n x m då m=n) kan illustreras med en graf eller
”springargraf”. En sådan kan definieras som grafen G=(V,E) där
V={ ( i , j ) | 1 = i = n, 1 = j = n }
och
E={ ( ( i , j ) , ( k , l ) ) | ( | i - k | ,| j - l | ) =(1,2) eller
(2,1) }
16

I denna graf finns ett hörn för varje ruta av brädet och en kant mellan två hörn då springaren
kan förflytta sig från den ena rutan till den andra. Springargrafen för fallet n=m har n 2 hörn
och 4n 2 - 12n +8 kanter [6].
Ett springarcykelproblem kan definieras som en delmängd av Hamiltoncykelproblematiken
och ett springarturproblem kan definieras till Hamiltonturproblemet. Eftersom
Hamiltoncykelproblemet är ett NP-komplett problem är springarcykelproblemet också ett NPkomplett
problem.
Problem 1: Visa att problemet att hitta en springarcykel på ett n x m bräde är ekvivalent med
att hitta en Hamiltoncykel i motsvarande graf.
Lösning: I en Hamiltoncykel, behöver man besöka varje hörn i grafen G precis en gång och
att man besöker varje kant en gång och endast en gång och återkommer till startpunkten är
alltså en cykel. Det är viktigt att notera att alla kanter inte behöver utnyttjas i en
Hamiltoncykel. Det är precis denna cykel som görs då springaren förflyttar sig (L- drag) på
brädet och besöker varje ruta och återvänder till startpunkten [13].
Kombinatoriska metoder appliceras generellt för att hitta Hamiltoncykler i en graf [2,10] dock
är detta inte tillämpbar på större grafer. Då det gäller springarproblemet har det utvecklats
olika algoritmer för att försöka lösa problemet. Backtracking-algoritmen hittar lösningar men
den är långsam och tidskrävande. En algoritm som passar (se 2.2) väl när det gäller att hitta
springarturer och därmed Hamiltonturer är Warnsdorffs metod.
4.1 Tillämpning av Warnsdorffs metod
Metoden tillämpas på en springargraf genom att verifiera graden av varje nästa möjliga hörn
(springarensdrag) och välja ut det hörn (ruta) som har lägsta graden. Hörn med lägsta grad
ligger i riskzon för isolering och därmed är det viktigt att använda dessa hörn innan isolation
inträffar. Det som gör metoden tidskrävande är att om alla eller många hörn har samma grad
går algoritmen vidare ner till ”barnhörn” för att kunna hitta lägsta grad mellan alla dessa
”barnhörn” osv. Ett barnhörn av ett hörn, är ett hörn som inte har besökts och kan nås med en
enkel förflytning från givet hörn. Som det nämndes i avsnitt 2.2 duger metoden för mindre
bräden men att den blir svårare att applicera för större bräden. Bild 4.1 visar ett praktiskt
exempel på denna metod för ett 3 x 3 bräden. I bilderna 4.1 och 4.2 har standardbeteckningar
för rutor på schackbräden använts.
17

,3
c,1 b,2
a,2
a,1
c,3
Bild 4.1
Varje hörn i grafen G i bilden motsvarar en ruta på 3 x 3 brädet. Det finns ett isolerat hörn
(b,2) och således finns ingen Hamiltoncykel.
När det gäller ett bräde med 4 x 4 rutor som 16 hörn och 24 kanter blir problemet lite mer
komplicerat.
b,1
c,2
a,3
18

a,3
c,4
b,4
c,2
b,2
a,1
d,4
a,4
d,1
d,3 b,1
Bild 4.2
Även här finns det ingen Hamiltoncykel. Det är bara hörn (a,1), (a,4), (d,1) och (d,4) som har
graden 2. Motsatta hörn har samma grannar. Det är (b,3) och (c,2) för (a,1) och (d,4), och det
är (b,2) och (c,3) för (a,4) och (d,1). Om (a,1) varken är start eller ändpunkt av Hamiltonturen
då måste det vara omgärdat av (b,3) och (c,2). Det samma gäller för (d,4) eftersom (a,1), (b,3),
(c,2) och (d,4) måste vara första eller sista hörn i turen.
Detsamma gäller för (a,4), (b,2), (c,3) och (d,1). Eftersom de andra åtta hörnen måste vara
förenade genom Hamiltonturen. Det är omöjligt eftersom grafen inte är sammanhängande.
Nummerordningen på bild 4.3 visar färdvägen på grafen i bild 4.2.
b,3
c,3
3,1
d,2
a,2
19

1 2 3 4
a 1 14 7 10
b 8 11 4 13
c 15 2 9 6
d 5 12 3
Bild 4.3
Det första brädet som har en tur är 5 x 5 brädet. Det finns vissa tillfällen då Warnsdorffs regel
inte lyckats att hitta Hamiltonturer trots att dessa existerar. Ett typexempel på detta fall
illustreras i nedanstående exempel, bild 4.4.
10
9
8
X
7
6
1
Bild 4.4
X är startpunkten i denna graf. Enligt Warnsdorffs regel, borde hörn 9 väljas vilket gör
Hamiltontur omöjlig i grafen.
Ingo Wegener och hans kompanjoner i “Solution of the Knight’s Hamiltonian Path Problem
on Chessboards”[22] försökte förbättra Warnsdorffs metod genom att dela upp större bräden
till mindre bräden för vilka finns kända turer. Det fanns möjligheter att förbättra Warnsdorffs
regler så att den misslyckades mer sällan. Förbättringen var förslagen av Arnd Roth [15] i
hans ”Mathematica notebook”. Hans förslag gjorde att algoritmen klarade upp till 428 x 428
bräden.
5
2
4
3
20

4.2 Finns det några generella regler för en springarcykel?
I sin studie bestämmer Schwenk [20] för vilka värden på n och m cykler inte kan existera.
Cull och De Curtins [21] visade i sin tur existensen av cykler för de flesta värden på n och m.
Resultatet av dessa studie kan sammanfattas så här:
På ett n x m bräde 1

Bild 4.5: Grått i bilden visar mängden X och vitt visar mängden Y.
I cykel C sker varje förflytning till en ruta i mängden X från en ruta tillhörande mängden Y
och vice versa. Eftersom |X | = |Y|, måste cykeln pendla mellan mängden X och Y. Enligt
lemma 1 måste springarens förflyttning växla mellan en svart och en vit ruta. Detta medför att
alla rutor mängden X måste ha samma färg. Om man startar i en vit ruta på kanten kan man
aldrig komma till en svart ruta på kanten. Men från partitionen från brädet är det uppenbart att
båda mängder innehåller både vita och svarta rutor. Detta är en motsägelsefullt och visar
därför att det inte existerar cykler C för 4 x m.
4.3 Går det att räkna alla springarcykler för ett n x m bräde?
Problemet med att hitta alla springarturer och springarcykler växer när brädet blir större. För
de stora brädena krävs effektiva algoritmer och kraftfulla datorer. Maximalt antal färdvägar
som måste provas för att hitta springarturer är mycket större än det faktiska antalet
springarturer eftersom springaren i många fall kör fast i en återvändsgränd innan den korsar
hela brädet. Genom att räkna antalet tillgängliga rutor från varje ruta och multiplicera dem
med varandra fås maximalt antal rutor som kan leda till turer. Men detta inkluderar även alla
möjliga rutor som kan leda till en återvändsgränd för att få förståelse för hur stort problemet är
kan resonemanget i exempel 1 vara till hjälp.
Exempel 1: Springaren börjar sin färd från rutan högst upp till vänster på brädet. Från denna
ruta finns två tillgängliga rutor, vilket medför två möjliga turer. Välj en av dessa rutor. Och nu
finns fem nya tillgängliga rutor som springaren kan välja osv. Det totala antalet turer eller
rättare sagt färdvägar kan fås genom att multiplicera antalet tillgängliga rutor, alltså 2 * 5 * ..
Eftersom springaren besöker varje ruta endast en gång är det kanske samma sak om man
multiplicerar antalet efterföljande rutor (barnruta/barnhörn) på brädet. Mot detta kan
argumenteras att man måste minska alla faktorer med 1 eftersom springaren alltid kommer
från en av dessa rutor men eftersom turen kan börja från vilken ruta som helst på brädet kan
varje ruta vara just den första.
Bilden 4.6 visar antalet färdvägar för varje ruta i ett 5 x 5 bräde och bilden 4.7 för ett 6 x 6
bräde. Av bilderna framgår att om brädet växer, växer även området i mitten och fylls på med
fler rutor av grad 8 ( barnruta/barnhörn) medan kanterna fylls på med fler rutor av grad 4.
2 3 4 3 2
3 4 6 4 3
4 6 8 6 4
3 4 6 4 3
2 3 4 3 2
Bild 4.6
2 3 4 4 3 2
3 4 6 6 4 3
22

4 6 8 8 6 4
4 6 8 8 6 4
3 4 6 6 4 3
2 3 4 4 3 2
Bild 4.7
Även om resonemanget i exempel 1ger en grov uppskattning på möjliga färdvägar, ger det en
uppfattning om hur snabbt antalet möjliga färdvägar, som måste provas för att hitta
springarturer/cykler, växer när brädet blir större. Ernesto Mordecki [1] visar i sitt arbete att det
totala antalet lösningar, betecknat S för springarcykel är delbart med 8 och ger en grov
övregräns på denna kvantitet.
I.Wegener och Löbbing(1996) räknas antalet springarturer till 33 439 123 484 294 på 8 x 8
brädet [5]. År 2000 instämmer Wegener [23] med B.D McKey [24] att antalet springarturer är
13 267 364 410 532 vilket förefaller vara den korrekta siffran.
B.D McKey gjorde ingen skillnad mellan ”cykler” och ”turer” och inte heller mellan deras
riktningar. Han utgick ifrån den vänstra grafen i bild 4.8. På den högra sidan i bilden har han
delat upp cykel i två grafer och tagit bort kopplingen mellan dessa från mittlinjen. Mer
generellt har uttrycket nedre och övre halvans tur använts för att visa en mängd av hörnosammanhängande
turer vars hörnmängd finns i den nedre och övre halvan av brädet, vars
kanter är springarens rörelser, och vars ändpunkter är av grad 3 och 4.
Han definierade turstrukturen av en halv- tur som den mängd av ändpunktspar som turen
innefattar. Med hjälp av Backtracking hittade han alla turstrukturer i halvorna, vilken uppgick
till 7934470 olika turstrukturer i varje halva. Sista steget var att matcha alla dess turstrukturspar
i varje halva mot varandra.
Bild 4.8
4.4 Clique och Cocliques
Frågan är vad är cocliques på springargrafen G och hur många icke-attackerande springare
k(8) kan det finnas på 8 x8 brädet [12]?
Problem 2: Visa att grafen G på n x m bräde, där n och m är positiva heltal, är bipartit.
23

Lösning: Se lemma 3 i avsnitt 4.2
Låt oss återgå till frågan i början av detta avsnitt. Grafen G är bipartit och därmed är svaret 32
springare, vilket framgår av bilden 4.9 [14].
Bild 4.9
64 rutor kan partitioneras till 32 par var, enligt springarens drag. Varje par av rutor kan
innehålla högst en springare. Bild 4.10 visar hur springaren täcker hela brädet (Coclique).
Bild 4.10
Finns det då någon generell metod för att räkna antalet icke-attackerande springare k(n) på nxn
bräden? Ja, det gör det (Madachy 1979 [18]). Generellt gäller:
K(n)=(n 2 +1)/2 n>1 udda
K(n)=n 2 /2 n>2 jämn
En Clique på G är bara en mängd av parvis (alla par av hörn) försvarande eller attackerande
springare. Det kan inte bli mer än två springare eftersom G är bipartit.
En annan klassik fråga i detta sammanhang är vilket som är det minsta antal springare som
krävs för att antigen täcka (ockupera) eller försvara varje ruta i 8 x 8 bräden. Bilden 4.11 visar
24

hur 12 springare täcker alla icke ockuperade rutor (kallad domination number ) [14]. Svaret på
denna fråga för godtyckligt stort bräde är inte känd men lösningar för bräden upp till 15 x 15
storlek är kända sedan 1918.
Frågar man sig istället om antalet springare som försvara varje ruta, oavsett om den ockuperat
eller inte på 8 x 8 i bräden, är svaret inte längre 12 utan 14. På ett n x m bräde behövs minst
(m*n)/8 springare eftersom en springare attackerar högst 8 rutor [14].
5 Sammanfattning
Bild 4.11
Ända sedan schackspelet uppfanns i Indien för cirka 1500 år sedan har spelet underhållit och
fascinerat människor världen över, pjäsernas rörelser på brädet, taktik och planering av varje
drag, brädets enkelhet och spelets oändliga utmaningar. De flesta matematiska studier och
forskningar om schack har gjorts i syfte att söka sifferhemligheterna hos schackbrädet och
schackpjäsernas rörelser. Det görs även andra matematiska studier inom detta område. Två
frågor som brukar ställas i detta sammanhang är,
Hur många pjäser av en given typ kan placeras på ett schackbräde utan att de attackerar
varandra?
Vad är minsta antalet pjäser som krävs för att täcka eller attackera alla rutorna på ett bräde?
Icke-attackerande torn, icke-attackerande kungar, icke-attackerande springare och åtta damer
är sådana problem som tillhör denna kategorifråga. Ett annat problem som har intresserat
matematiker är springarproblemet. Problemet är gammalt och behandlades redan av Leonard
Euler (1707-83). Frågan är om springaren kan ta sig runt brädet och därvid besöka varje ruta
en och endast en gång. Och om det finns en sådan tur, kommer genast följdfrågan hur många
olika sådana turer det finns.
Det finns två varianter av springarproblemet. Den första varianten är att finna en tur där
springaren besöker alla rutorna endast en gång. Denna tur kallas springartur. Den andra
varianten av springarproblemet är att finna en cykel som täcker alla rutor på brädet och även
här besöks alla rutor endast en gång. Med cykel menas att pjäsen kommer tillbaka till
utgångspunkten, eller om startrutan är nåbar från sista rutan i färden. Denna varianten kallas
för springarcykel och är intressant för att den är en delmängd av Hamiltoncykel problemet
som tillhör kategorin NP-kompletta problem.
Kombinatoriska metoder appliceras generellt för att hitta Hamiltoncykler i en graf. Dock är
detta inte tillämpbart på större grafer. Vad gäller springarproblemet har det utvecklats olika
algoritmer för att lösa problemet. Backtracking-algoritmen hittar lösningar men den är
25

långsam och tidskrävande. Warnsdorffs regel är en annan algoritm som appliceras i detta
sammanhang.
Det finns generella regler för vilka n x m bräden det finns springarcykler och springarturer på
men att hitta alla de turer/cykler och räkna dem är inte det lättast då brädet blir större. Det
krävs effektiva algoritmer och kraftfulla datorer. Till exempel har B.D McKay räknat antalet
springarturer till 13 267 364 410 532. Han gjorde ingen skillnad mellan ”cykel” och ”turer”
och inte heller mellan deras riktningar. Ernesto Mordecki har i sin uppsats försökt ge en
överbegränsning för antalet springarcykler.
Icke-attackerande springare (Cocliques) och försvarande eller attackerande springare (Clique)
är också intressanta ur grafteorins perspektiv eftersom grafen på G på n x m bräde, där n och
m är positiva heltal, är bipartit.
26

6 Referenser
[1] Ernesto Mordecki. On the number of Knight’s Tours. Facultad de Ciencias, Centro de
Matematica. Ingua 4225.11400 Montevideo.Uruguay, 2001.
[2] http://www.combinatorics.org/
[3] Mark R.Keen, Knight’s Tour.
http://www.markkeen.com/knight.html
[4] G. Jelliss, Knight’s Tour Notes.
http://www.ktn.freeuk.com/
[5] M. Löbbing and I.Wegener. The Number of Knight’s Tours Equals
33,439,123,484,294- Counting with Binary Decision Diagrams. Electronical Journal
of Combinatorics, 3 no.1.,1996
[6] I. Parberry An Efficient Algorithm for the Knight’s Tour Problem. Discrete Applied
Mathematics, vol.73,pp. 251-260, 1997.
[7] N. Biggs, E.Lloyd, RJ.Wilson. Graph Theory. Oxford Clarendon 1986.
[8] Norman L Biggs. Discrete Mathematics. Oxford Science Publications, 1985.
[9] Winfried Karl Grassmann, Jean-Paul Tremblay. Logic And Discrete Mathematics.
Prentice Hall, 1996.
[10] Ralph P.Grimaldi. Discrete And Combinatorial Mathematics. Addison Wesley
Longman,Inc.
[11] Jerzy Gizycki. Stora Schackboken. Fröleen,1961.
[12] Noam D Elkies, Richard P. Stanley. Mathematical Knight. Stanford University,
Department of Mathematics, 2003.
[13] http://www.math.harvard.edu
[14] http://www.mathworld.com/
[15] Arnd Roth, The Problem of the Knight.
http://sunny.mpimf-heidelberg.mpg.de/people/roth/Mma/Knight.html
[16] L. Euler.The Koenigsberg Bridges. Scientific American, 189, no. 1, 1953.
[17] Miodrag Petkovioc. Mathematics And Chess. Dover Publications, Inc, 1997.
[18] Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. Dover Publications, 1979.
[19] Ore O. Theory of Graphs. Rhode Isaland, 1962.
27

[20] A.J Schwenk. Which rectangular chessboards have a knight’s tour? Mathematics
Magazine, 64()5:325-332,1991.
[21] P.Cull and J.DeCurtins. Knight’s tour revisted. Fibonacci Quarterly, 16:276-285,
1978.
[22] I.Wegener, H.Morsy, T.Hindrichs, A. Conrad. Solution of the Knight’s Hamiltonian
Path Problem on Chessboards. Discrete Applied Mathematics, 50:125-134, 1994.
[23] I. Wegener. Branching programs and binary decision diagrams. Theory and
applications. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM,
Philadelphia, PA,2000.
[24] Brendan D.MacKay. Knight’s Tours of an 8 x 8 Chessboard. Computer Science
Department, Australian National University, Canberra, ACT 0200, Australia.
[25] Basil Vandegriend. Finding Hamilton Cycles: Algorithm, Graphs And Performance.
Edmonton, Alberta, 1998.
[26] H. C Warnsdorff. von Des Rösselsprungs einfachste und allgemeinste Lösung.
Schmalkalden, 1823.
[27] Kevin McGown, Ananda Leininger. Knight’Tour. MIT and Oregon State University,
2002.
Matematiska och systemtekniska institutionen
SE-351 95 Växjö
tel 0470-70 80 00, fax 0470-840 04
www.msi.vxu.se
28