Föreläsning 5

Lektion 5
Ordinära differentialekvationer
En ordinär differentialekvation av första ordningen kan skrivas i
formen , där är någon given funktion. Lösningen till
ekvationen är funktionen , som kan bestämmas entydigt, om man
har ett randvillkor, t.ex. .
En ekvation av den här typen kan lösas med Eulers metod:
Man startar alltså i med (randvillkoret). Sedan
beräknar man approximativa värden på i punkterna ,
osv. Då steglängden blir det här en allt
noggrannare approximation av .
Exempelprogram. Löser x(t) med Eulers metod, då
Differentialekvationer av högre ordning
Differentialekvationer av högre ordning är viktiga i fysiken, t.ex.
Newtons lagar kan skrivas som andra ordningens differentialekvationer.
Differentialekvationer av högre ordning kan skrivas om som ett
13
system av kopplade första ordningens ekvationer.
Exempel: Rörelse i en dimension
Programmering för fysiker. Lektion 5.
En partikel med massan m som påverkas av en kraft F accelererar med
accelerationen a, enligt Newtons andra lag . Accelerationen
är positionens andra derivata:
Det här kan skrivas om som två första ordningens ekvationer:
, ,
där v är partikelns hastighet.
Ekvationerna skrivs alltså som derivatan av en funktion uttryckt med
funktionerna utan derivator. Ett ekvationssystem av den här typen kan
lösas med Eulers metod, se nedan.
Kopplade differentialekvationer
Betrakta ett system av kopplade första ordningens differentialekvationer:
, , osv,
där , , ... är givna funktioner, och kan bero av och alla .
Det här systemet kan lösas med Eulers metod på samma sätt som en
ensam ekvation:
I ett program beräknar man alltså derivatan för alla och adderar
sedan till varje dess derivata gånger .
Ekvationerna för ett tidssteg för rörelseekvationen i exemplet ovan
blir:
där kan bero av t, x och v, beroende på problemet som studeras.
En pendel
Differentialekvationen för pendelns rörelse är
.
För att kunna lösa ekvationen analytiskt, antar man att vinkeln är
liten, och att . Lösningen blir då , där

. Exempelprogrammet nedan löser numeriskt, utan
approximationen att vinkeln är liten.
Exempelprogram. En pendel.
Differentialekvationen skrivs om till två kopplade första ordningens
ekvationer. Variablerna lagras i arrayen , så att vinkeln finns i
och vinkelhastigheten i Ekvationerna har nu formen
, .
Derivatorna beräknas i funktionen Tidssteget utförs
i funktionen . Variablerna är placerade i en array på det här sättet
för att programmet ska vara mer allmänt. Om man vill lösa ett annat
problem måste man skriva in ekvationerna för det nya problemet i
funktionen och möjligen ändra längden på arrayen i
, men funktionen kan användas som den är. En array är också
praktisk om man har många likadana variabler, t.ex. ett system av
kopplade pendlar. I det här exemplet kunde man istället ha använt två
skilda variabler för vinkeln och dess derivata, men då hade också
funktionen för tidssteget blivit specifik för just det här problemet.
För varje tidssteg skriver programmet ut t, och . Värdena skrivs
till skärmen, men kan fås i en fil om man kör programmet såhär:
Resultatet kan plottas med gnuplot:
Fler exempel finns på kurshemsidan.
14
Programmering för fysiker. Lektion 5.
Mer information om lösning av differentialekvationer finns i
W. H. Press et al.: Numerical Recipes in C - The art of scientific com-
puting, 2:nd edition (Cambridge university press 1992)
Gnu Scientific Library (GSL) innehåller funktioner för lösning av
ODE:r: http://www.gnu.org/software/gsl/