Differentialekvationer Sverker Aasa och Per ... - Malmö högskola

Differentialekvationer
Sverker Aasa och Per Jönsson
Malmö 2008
NMS, Malmö högskola

1 Differentialekvationer
Ett system eller en process beskrivs ofta av en ordinär differentialekvation. Differentialekvationen
talar om hur ändringen per tidsenhet (derivatan) av systemvariabeln y beror på systemets tillstånd
y ′ (t) = f(t, y)
beskrivning av hur förändringshastigheten
beror av systemvariablerna
Lite tillspetsat kan man säga att differentialekvationen är en matematisk beskrivning eller modell
för hur systemet regleras. Givet ett värde y0 på den studerade variabeln vid en tidpunkt t = 0
(begynnelsevärde) kan man med hjälp av differentialekvationen ta reda på variabelns värde y(t)
vid en senare tidpunkt t. Detta kallas att lösa differentialekvationen. Ibland kan man få fram en
analytisk lösning, dvs. en lösning där y(t) ges i termer av standardfunktioner. I de flesta fall måste
man dock använda någon numerisk metod, där man beräknar approximativa värden på y(t) i olika
diskreta punkter i ett tidsintervall. För mekaniska system är differentialekvationerna ofta av andra
ordningen, vilket innebär att vi har kunskap om andraderivatan. Även i dessa fall måste man i
allmänhet förlita sig på numeriska lösningsmetoder.
2 Analytiska lösningar
Differentialekvationer löses ofta genom en serie omskrivningar, varvid det hela övergår till det
enklare problemet att bestämma en primitiv funktion. Lösningsmetoder för differentialekvationer
behandlas i de flesta läroböcker i matematisk analys, se till exempel Persson och Böijers Envariabelanalys.
I många fall kan differentialekvationer också hanteras av datoralgebraprogram. Lösningar
med Maxima, som är ett fritt nerladdningsbart program, beskrivs i detalj i kompendiet Symbolisk
matematik med Maxima. Även grafprogram som Graph 4.13 kan vara till stor hjälp.
3 Anpassning av modeller till data
Lösningar till differentialekvationer beror ofta på en eller flera parametrar. Dessa parametrar kan
bestämmas genom att anpassa lösningen till experimentella data. I det allmänna fallet har vi en
anpassningsfunktion y(t,a) som beror av parametrarna a = (a1, a2, . . . , am). Vi vill på något sätt
bestämma parametrarna så att funktionen ansluter så bra som möjligt till ett antal datapunkter
(ti, yi), i = 1, 2, . . .,n.
(t 1 ,y 1 )
(t 2 ,y 2 )
(t i ,y i )
y(t i ,a 1 ,a 2 ,a 3 )
(t n ,y n )
Figur 1: Anpassning av modell till datapunkter.
I minsta-kvadratmetoden tittar man på summan av de kvadratiska avvikelserna mellan anpassningsfunktionen
y(t,a) och datapunkterna
χ 2 =
n
i=1
(y(ti,a) − yi) 2
kvadrerad avvikelse i y-led
mellan anpassningsfunktionen
beräknad i ti och datavärdet yi
och bestämmer parametrarna a så att summan blir så liten som möjlig. Metoden är illustrerad
i figur 1 för anpassning av ett andragradspolynom. Anpassningar underlättas av de utmärkta
2

datorprogram som idag finns tillgängliga (se kapitel 10 i Symbolisk matematik med Maxima. Anpassningar
kan också göras på moderna miniräknare. Problemet med miniräknare är att plottarna
blir så små att det är svårt att se detaljer i anpassningen.
4 Processer som beskrivs av differentialekvationer
I det följande behandlar vi ett antal system och processer som beskrivs av differentialekvationer.
Man bör notera att differentialekvationerna bara är modeller för verkligheten och att de aldrig
kan ge en exakt beskrivning. Man måste också komma ihåg att alla experiment är behäftade
med mätfel, både statistiska och systematiska, och detta måste beaktas då man jämför med en
matematisk modell.
Radioaktivt sönderfall
Låt N(t) vara antalet atomer i ett radioaktivt prov vid tiden t. Noggranna experiment visar att
ändringen av antalet atomer per tidsenhet, som kommer från att vissa atomer sönderfaller, är
proportionellt mot antalet atomer i provet, dvs.
N ′ (t)
ändring per
tidsenhet
= −λN(t),
där λ är en positiv konstant som är karakteristisk för ämnet. Lösningen till differentialekvationen
är
N(t) = Ce −λt ,
där C är en konstant. Konstanten C brukar betecknas N0 och kan tolkas som antalet atomer
vid t = 0, dvs. då vi börjar studera sönderfallsprocessen. Antalet atomer i provet avtar alltså
exponentiellt med tiden t. Vid sönderfallsprocesser är man ofta intresserad av den tid T 1/2 det tar
för det ursprungliga antalet atomer N0 att halveras (halveringstiden). Insättning av t = T 1/2 ger
N0
2
halva ursprungsantalet
= N0e −λT 1/2 ⇔ 1
2 = e−λT 1/2 ⇔ ln
1
= −λT1/2 ⇔ ln 2 = λT1/2. 2
Vi ser alltså att halveringstiden T 1/2 är relaterad till sönderfallskonstanten λ enligt
T 1/2 =
ln 2
λ .
I tabellen nedan ger vi halveringstider för några viktiga ämnen.
ämne användning och förekomst halveringstid
239 Pu kärnvapen, restprodukt från kärnreaktorer 2.4111 · 10 4 år
235 U bränsle i kärnreaktorer 7.13 · 10 8 år
222 Rn radioaktiv gas som kommer från sönderfall av uran 3.82 dygn
137 Cs huvudprodukt vid klyvning av uran 30.0 år
14 C åldersbestämningar av arkeologiska fynd 5.730 · 10 3 år
3

I(x)
x
Figur 2: Strålningsintensiteten som passerar ett material beror av materialets tjocklek x.
Absorption av strålning
Elektromagnetisk strålning från t.ex. mobiltelefoner eller röntgenapparater absorberas av materia.
Intensiteten I(x) av strålningen som går igenom ett material beror av materialets tjocklek x (se
figur 2). Ändringen av intensiteten per längdenhet av det stoppande materialet är enligt Beer-
Lamberts lag proportionell mot den ingående intensiteten
I ′ (x)
ändring per
längdenhet
= −kI(x),
där k är en positiv konstant som beror materialet och vilken typ av strålning det är frågan om.
Lösningen till differentialekvationen är
I(x) = Ce −kx ,
där C är en konstant. Konstanten C brukar betecknas I0 och kan tolkas som strålningsintensiteten
vid x = 0, dvs. då tjockleken av det stoppande materialet är noll. Strålningen som går igenom ett
material avtar alltså exponentiellt med materialets tjocklek. Vid absorption av strålning är man
intresserad av halveringstjockleken x 1/2, dvs. den tjocklek på materialet som reducerar intensiteten
på strålningen till hälften. En liknande räkning som ovan ger
x 1/2 =
ln 2
k .
Halveringstjockleken för gammastrålning är cirka 1 cm i bly.
Avsvalning
Vi har en kopp nybryggt kaffe med temperatur T(t) som befinner sig i ett rum med konstant
temperatur Tomg. Erfarenhetsmässigt vet vi att kaffet kommer att svalna för att så småningom
få samma temperatur som omgivningen. Vi vet också att temperaturändringen per tidsenhet
(derivatan) är störst i början då det är stor temperaturskillnad mellan kaffet och omgivningen.
Processen styrs av Newtons avsvalningslag
T ′ (t) = −k (T(t) − Tomg),
där k är en positiv konstant som bland annat beror av materialet i kaffekoppen. Vi skriver ekvationen
på linjär form
T ′ (t) +
k T(t) = kTomg.
g(t)
Multiplikation med den integrerande faktorn e G(t) = e kt ger
T ′ (t)e kt + T(t)ke kt
D(T(t)e kt = kTomge
)
kt ,
4
I 0

vilket efter omskrivning är lika med
D(T(t)e kt ) = kTomge kt .
Integration av vänster och högerledet ger
T(t)e kt
=
varur vi löser ut T(t)
T(t) = Tomg + Ce −kt .
kTomge kt dt = Tomge kt + C,
Konstanten C är relaterad till kaffets begynnelsetemperatur. Om vi antar att kaffets temperatur
är T0 vid t = 0 så blir
och vi har
T0 = Tomg + C ⇔ C = T0 − Tomg
T(t) = Tomg + (T0 − Tomg)e −kt .
Vi ser att lösningen startar vid T0 för t = 0 för att så sakta närma sig Tomg. Genom att anpassa
lösningen till en experimentell avsvalningskurva kan vi få fram konstanten k.
Vätskeströmning
Vi har en vätskefylld behållare med ett hål i botten. Vätskenivån (avståndet från vätskeytan till
behållarens botten) betecknas med y(t), se figur 3.
y(t)
utströmmande vätska
med fart v(t)
Figur 3: Vätska som strömmar ut ur ett hål. Utströmningsfarten beror av vätskenivån.
Då vi öppnar hålet kommer vätskan att rinna ut varvid potentiell energi omvandlas till kinetisk
energi. Betrakta ett vätskeelement med massan m. Energin bevaras för elementet och vi har att
gmy(t)
pot. energi
= 1
2 mv(t)2
kin. energi
Från bevaringslagen ovan sluter vi att den utströmmande vätskans fart ges av
v(t) = 2gy(t).
Detta är också känt som Torricellis 1 lag. Den utströmmande vätskan gör att vätskenivån hela tiden
sänks. Efter lite funderande inser man att vätskenivåns hastighet (nivåns ändring per tidsenhet)
måste vara proportionell mot den utströmmande vätskans fart och därmed mot y(t), dvs.
y ′ (t) = −k y(t),
1 Torricelli (1608-1647) italiensk fysiker, lärjunge till Galilei. Barometerns uppfinnare och den förste att åstad-
komma vakuum.
5

där k är en positiv konstant. Differentialekvationen ovan är en modell för hur vätskenivån ändrar
sig med tiden. Om vi antar att vätskenivån är h vid tiden t = 0 då vätskan börjar strömma ut blir
lösningen till differentialekvationen
y(t) = − k
2 t + √ 2 h .
Notera att lösningen endast är giltig så länge uttrycket inom parentesen är större än eller lika med
noll. Att uttrycket inom parentes är noll motsvarar precis att all vätska har runnit ut.
Populationsdynamik
Vi ska sätta upp och studera några modeller för populationsdynamik, dvs. hur antalet individer i en
grupp växter eller djur utvecklar sig med tiden. En population ökar genom födslar och immigration
(invandring) och minskar genom dödsfall och emigration (utvandring). För enkelhetens skull antar
vi att populationen är sluten, dvs. att immigration och emigration är försumbara. Det är, som en
första modellhypotes, rimligt att anta att både antalet som föds per tidsenhet (inflödet) och antalet
som dör per tidsenhet (utflödet) är proportionellt mot antalet individer N(t) i populationen.
Matematiskt formulerad blir modellhypotesen
N ′ (t)
ändring per tidsenhet
= aN(t)
− bN(t) =
rN(t)
,
inflöde utflöde nettoflöde
där r = a − b styr nettoflödet. Lösningen till differentialekvationen är
N(t) = Ce rt ,
där C är en konstant som kan tolkas som populationens storlek N0 vid tiden t = 0, dvs. då vi
startar att titta på förändringarna. Om r > 0 (inflöde större än utflöde) har vi exponentiell tillväxt
medan om r < 0 (utflöde större än inflöde) så har vi exponentiell minskning. En svaghet med den
uppsatta modellen är att den förutsäger att ökningen av en population kan ske obegränsat, vilket
uppenbart är orimligt.
I en mera realistisk modell måste vi ta hänsyn till att miljön i form av ändlig tillgång på föda,
boplatser osv. till slut sätter gränser för tillväxten. Sålunda måste man tänka sig att r inte är en
konstant utan en funktion av N som minskar med ökande N. Antag att miljön har en bärarkapacitet
eller förmåga att föda K individer av en given population. Vi har då att r(N) = 0 då N = K.
Dessutom kan vi anta att r(N) antar sitt största värde rmax för N = 0. Vi vet inte i detalj hur
r(N) ser ut, men det enklaste antagandet vi kan göra är att r(N) minskar linjär från r = rmax
för N = 0 till r = 0 för N = K. Vi har då att
r(N) = rmax 1 − N
K
och differentialekvationen blir
N ′
(t) = rmax 1 − N(t)
K
N(t)
N(t) = rmaxN(t) − rmax
2
K
resurskonkurrens
I en population är sannolikheten att två individer stöter ihop med varandra (och konkurrerar) proportionell
mot N(t) 2 , och termen rmaxN(t) 2 /K tolkas som den täthetsberoende resurskonkurrensen
vid tiden t. Modellen ovan kallas den logistiska modellen. Lösningen till differentialekvationen
med begynnelsevillkoret N(0) = N0 är
N(t) =
N0Ke rmaxt
N0(e rmaxt − 1) + K
Lösningen kommer att gå i S-form från begynnelsevärdet N0 för att plana ut mot miljöns bärarkapacitet
K då t blir stor.
6
.

Fjädersystem
Vi ska nu sätta upp och analysera några modeller för mekaniska svängningar. För den sakens
skull tänker vi oss en kropp med massa m fäst i en fjäder. Kroppen är kopplad till en viskös
dämpare (trögflytande olja) vilken utöver en kraft som motverkar rörelsen. Fjädern och dämparen
utgör ett så kallat dämpat fjädersystem. Dämpade fjädersystem har bland annat tillämpningar
som stötdämpare i bilar.
0
y(t)
m
k, fjäderkonstant
jämviktsläge
viskös dämpare
dämpningskonstant c
Figur 4: En kropp kopplad till en fjäder och en dämpare utgör ett så kallat dämpat fjädersystem
och tjänar som modell för stötdämpare i bilar.
Låt y(t) vara kroppens position vid tiden t. Kvantiteterna y ′ (t) och y ′′ (t) kan då tolkas som
kroppens hastighet och acceleration. Enligt Hooks lag är den återställande kraften från fjädern
proportionell mot avståndet y(t) till jämviktsläget och vi har
Ffjäder = −ky(t),
där den positiva konstanten k är den så kallade fjäderkonstanten. Vi har ett minustecken framför
eftersom kraften är motsatt riktad i förhållande till y(t). Noggranna experiment visar att kraften
från dämparen är proportionell mot hastigheten y ′ (t) och vi har
Fdämpare = −cy ′ (t),
där den positiva konstanten c är systemets dämpningskonstant. Den dämpande kraften är motsatt
riktad i hastigheten. Enligt Newtons andra lag är kraftsumman F lika med massan gånger
accelerationen och vi har
−ky(t) − cy ′ (t) = my
Ffjäder +Fdämpare ′′ (t).
Omordning ger
my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0.
Fri svängning
Vi antar först att dämpningskonstanten c = 0. Differentialekvationen blir då
my ′′ (t) + ky(t) = 0.
Karakteristiska ekvationen mr 2 +k = 0 har rötterna r1 = i k/m och r2 = −i k/m och lösningen
till differentialekvationen är
y(t) = C1 cosωt + C2 sin ωt,
7

där ω = k/m är systemets egenfrekvens. Lösningen kan också skrivas på formen
y(t) = Asin(ωt + δ).
Lösningen representerar alltså en sinussvängning med amplituden A och fasförskjutning δ.
Dämpade svängningar
Om vi tar hänsyn till dämpningen blir differentialekvationen
my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0.
Den karakteristiska ekvationen mr 2 + cr + k = 0 har rötterna
r1 = −c + √ c 2 − 4km
2m
och r2 = −c − √ c2 − 4km
.
2m
Man skiljer på tre fall beroende på om c 2 − 4km är positiv, negativ eller noll.
(i) c 2 − 4km > 0. I detta fallet är både r1 och r2 negativa och lösningarna har formen
y(t) = C1e r1t + C2e r2t .
En kropp som har förflyttats iväg från jämviktsläget går direkt tillbaka. Vi säger att vi har överkritisk
dämpning. En bra kompass är överkritiskt dämpad.
(ii) c 2 − 4km = 0. I detta fallet är r1 = r2 = −c/2m och lösningarna har formen
y(t) = (C1 + C2t)e −ct/(2m) .
En kropp som har förflyttats iväg från jämviktsläget går tillbaka efter maximalt en oscillation. Vi
säger att vi har kritisk dämpning. Fjädringen i många bilar ligger nära kritisk dämpning.
(iii) c 2 − 4km < 0. I detta fallet är r1 och r2 komplexa och lösningarna har formen
eller
y(t) = e −ct/(2m) (C1 cosµt + C2 sin µt)
y(t) = e −ct/(2m) Asin(µt + δ),
där µ = 1
√
2m 4km − c2 . En kropp som har förflyttats iväg från jämviktsläget går oscillerande
tillbaka. Amplituden på oscillationerna avtar exponentiellt. Vi säger att vi har underkritisk dämpning.
En gammal bil med utsliten fjädring uppvisar ofta underkritiskt dämpade oscillationer då
den kör över ett gupp.
Pendel
Betrakta pendeln i figur 5. Kroppen påverkas av tyngdkraften samt av spännkraften i snöret.
Komposantuppdelning av tyngdkraften ger att kraften i banriktningen är
F = −mg sin θ,
där minustecknet anger att kraften är riktad mot jämviktsläget.
För läget s(t) i banan gäller s(t) = L θ(t) vilket ger e är sammanbundna enligt Newtons andra lag
vilket ger
mL θ ′′ (t) = −mg sinθ(t) .
ma(t) nettokraft
8

θ
L
mg sinθ
Figur 5: En pendel bestående av en kula upphängd i ett snöre med längden L. Nettokraften på
kulan är F = −mg sin θ i banriktningen.
Förenkling ger
θ ′′ (t) + g
sinθ(t) = 0.
L
Ekvationen ovan kan inte lösas analytiskt. För små vinklar θ kan vi dock utnyttja approximationen
sin θ ≈ θ (första termen i Taylorutvecklingen) vilket ger
θ ′′ (t) + g
θ(t) = 0.
L
Karakteristiska ekvationen r 2 +g/L = 0 har rötterna r1 = i g/L och r2 = −i g/L och lösningen
till differentialekvationen är
θ(t) = Asin(ωt + δ).
där ω = g/L. Periodtiden T, dvs. tiden det tar att svänga från det ena vändläget och tillbaka,
ges av
T = 2π
L
= 2π
ω g .
Vi ser alltså att periodtiden är proportionell mot roten ur pendellängden.
Fallrörelse med motstånd
Ett föremål med massa m som släpps påverkas av tyngdkraften men också av en motriktad kraft
på grund av luftmotståndet. I de fall strömningen är turbulent, dvs. det bildas virvlar bakom
föremålet så att det uppstår en tryckskillnad mellan främre och bakre delen, är friktionskraften
ofta proportionell mot det fallande föremålets fart i kvadrat. Om vi väljer referensriktning så att
krafter och hastigheter är positiva då de är riktade nedåt blir nettokraften på kroppen
F(t) = mg
− kv(t)
tyngdkraft
2
.
luftmotstånd
Kombinerat med Newtons andra lag F(t) = ma(t) = mv ′ (t) ger detta upphov till differentialekvationen
mv ′ (t) = mg − kv(t) 2 .
9
mg

uppåtriktad kraft
pga luftmotstånd
F = −kv 2
tyngdkraft
F = mg
Figur 6: En kropp som faller i luft påverkas av tyngdkraften och en uppåtriktad kraft på grund av
luftmotståndet. Den uppåtriktade kraften är proportionell mot farten i kvadrat.
Lösningen till differentialekvationen med begynnelsevärdet v(0) = 0 är
m g e
v(t) =
k
2
√ gk
m t
− 1
e 2
√ gk
m t .
+ 1
mg
Från lösningen ser vi att farten närmar sig ett konstant värde vg = , den så kallade gräns-
k
farten, då tiden blir stor. Typiska gränsfarter för några olika föremål ges i tabellen nedan.
5 Förberedande uppgifter
Föremål gränsfart i m/s
människa vertikalt 85
människa horisontellt 55
fallskärmshoppare 5
bordtennisboll 8
golfboll 30
regndroppe 10
Innan de experimentella uppgifterna i nästa avsnitt får påbörjas skall följande uppgifter vara
redovisade och godkända.
1. Läs igenom kapitlet om differentialekvationer i läroboken.
2. Arbeta igenom kapitel 10 om minstakvadratanpassningar i kompendiet Matematik med datoralgebrasystem.
Kör exemplen i kapitlet.
3. Arbeta igenom kapitel 12 om differentialekvationer i kompendiet Matematik med datoralgebrasystem.
Kör exemplen i kapitlet.
4. Vi har kaffe med temperaturen T = 80 o C. Den omgivande temperaturen är Tomg = 20 0 C.
Plotta avsvalningskurvan i tidsintervallet [0, 150] för k = 0.02 och k = 0.05. De två plottarna
skall vara i samma figur. Vilken är betydelsen av k?
10

5. Lös differentialekvationen
y ′ (t) = −k y(t)
med begynnelsevillkor y(0) = h.
6. Lös differentialekvationen
N ′
(t) = rmax 1 − N(t)
N(t)
K
med begynnelsevillkor N(0) = N0. Det går bra att använda Maxima (jmf. uppgift 3 i kapitel
12). Låt N0 = 100 och K = 1000. Plotta lösningen N(t) i tidsintervallet [0, 80] för rmax = 0.1
och rmax = 0.2. De två plottarna skall vara i samma figur. Vilken är betydelsen av rmax?
7. Betrakta differentialekvationen
my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0.
för en dämpad svängning.
(a) Lös ekvationen med hjälp av Maxima (jmf. ex. 12.3). Notera att där är tre olika fall beroende
på värdet av c 2 − 4km.
(b) Tag m = k = 1 och c = 4 (överkritisk dämpning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret
y(0) = 1 och y ′ (0) = 0, vilket motsvarar att vi drar ut massan en längdenhet
och släpper den. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].
(c) Tag m = k = 1 och c = 2 (kritisk dämpning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret
y(0) = 1 och y ′ (0) = 0. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].
(d) Tag m = k = 1 och c = 0.1 (underkritisk dämpning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret
y(0) = 1 och y ′ (0) = 0. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].
(e) Tag m = k = 1 och c = 0 (fri svängning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret
y(0) = 1 och y ′ (0) = 0. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].
8. Betrakta differentialekvationen
mv ′ (t) = mg − kv(t) 2 .
för en fallande kropp.
(a) Lös ekvationen med hjälp av Maxima (jmf. uppgift 6 i kapitel 12) under förutsättning att
vi har begynnelsevärdet v(0) = 0.
(b) Visa att lösningen verkligen uppfyller ekvationen genom derivation och insättning.
(c) Tag m = 1 och k = 0.1 och plotta lösningen i tidsintervallet [0, 5]. Det går bra att approximera
g med 10. Vilken är gränsfarten?
6 Experimentella uppgifter
Gör följande experimentella uppgifter. Var noggranna när ni arbetar och se till att ni skriver ner
alla uppgifter ni behöver.
1. Uppgiften består i att illustrera radioaktivt sönderfall genom att kasta tärningar.
(a) Starta med alla tärningar i burken.
(b) Räkna antalet tärningar och notera antalet.
11

(c) Kasta tärningarna.
(d) Ta bort alla tärningar som visar 1.
(e) Räkna antalet kvarvarande tärningar och notera antalet.
(f) Kasta tärningarna på nytt och fortsätt på samma sätt tills det att tärningarna tar slut.
(g) Anpassa en exponentialfunktion N(t) = N0e −λt till data (här betecknar N(t) antalet
tärningar och t antalet slag). Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare.
Plotta data och anpassningsfunktion i samma figur.
(h) Bestämma halveringstiden, dvs. hur många kast det tar innan antalet tärningar har minskat
med en faktor 2.
2. I den här uppgiften skall vi titta på hur gammastrålning från ett radioaktivt preparat absorberas
av bly. Experimentuppställningen består av ett radioaktivt preparat och ett Geiger-
Müllerrör kopplat till en räknare som registrerar antalet gammafotoner som går igenom blyskiktet
under ett givet tidsintervall.
strålkälla blyplattor detektor (GM−rör)
Figur 7: Absorption av strålning i materia.
räknare
(a) Avläs på räknaren hur många fotoner som träffar Geiger-Müllerröret under ett givet tidsintervall.
(b) Mät tjockleken av en blyplatta med hjälp av ett skjutmått. Notera tjockleken. Placera
plattan mellan strålkällan och Geiger-Müllerröret. Avläs på räknaren hur många fotoner som
träffar Geiger-Müllerröret under ett givet tidsintervall.
(c) Häng på allt fler blyplattor och räknaren hur många fotoner som träffar Geiger-Müller
röret under ett givet tidsintervall.
(d) Anpassa en exponentialfunktion I(x) = I0e −kx till data med minstakvadratmetoden (här
12

etecknar I antalet fotoner som träffar Geiger-Müllerröret under ett givet tidsintervall och x
den totala tjockleken på blyplattorna). Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare.
Plotta data och anpassningsfunktion i samma figur.
(e) Bestämma halveringstjockleken, dvs. hur tjockt blylagret skall vara för att antalet fotoner
som träffar Geiger-Müllerröret skall ha minskat med en faktor 2.
3. I den här uppgiften skall vi ta upp en avsvalningskurva för kaffe. Ta fram en termometer och
köp en kopp varmt kaffe i någon automat på skolan.
(a) Starta med att bestämma omgivningens temperatur Tomg (rumstemperaturen).
(b) Sätt tiden t till noll och avläs kaffets begynnelsetemperaturen T0.
(c) Avläs temperaturen vid olika tidpunkter. Se till att ni får tillräckligt många datapunkter.
Notera både temperatur och tid.
(d) Anpassa en funktion
T(t) = Tomg + (T0 − Tomg)e −kt
till data. Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta data och anpassningsfunktion
i samma figur. Vilket värde får ni på k?
4. Gör hål i nederdelen av en 1.5 liters PET-flaska. Klistra på ett måttband eller något liknande
så att ni får en skala.
Figur 8: PET-flaska med hål och skala.
Utloppshål Skala
(a) Täpp till hålet i nederdelen av flaskan med ett finger. Fyll flaskan med vatten upp till 14
cm.
(b) Ta bort fingret så att vattnet strömmar ut samtidigt som en klocka startas. Notera tiderna
vid vilken nivån y(t) i flaskan passerar 14 cm, 13 cm, 12 cm osv.
13

(c) Upprepa försöket två gånger och bilda medelvärdet av tiderna.
(d) Anpassa en funktion
y(t) =
− k
2 t + √ 2 h .
till data. Här är h vätskenivån då vattnet börjar strömma ut ur flaskan. Anpassningen kan
göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta data och anpassningsfunktion i samma figur.
Vilket värde får ni på k?
5. Vi ska nu göra ett experiment för att titta på populationstillväxt då vi har obegränsat med
tillgångar. Individerna i populationen representeras av tärningar.
(a) Starta med 5 tärningar. Notera antalet.
(b) Kasta tärningarna.
(c) För varje tärning som visar 6 lägger ni till en ny tärning.
(d) Räkna antalet tärningar ni har då ni lagt till tärningar. Notera antalet.
(e) Kasta tärningarna på nytt och fortsätt på samma sätt tills det att tärningarna tar slut.
(f) Anpassa en exponentialfunktion N(t) = N0e kt till data (här betecknar N(t) antalet tärningar
och t antalet slag). Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta
data och anpassningsfunktion i samma figur. Bestäm fördubblingstiden, dvs. antalet kast det
tar för antalet tärningar (individer) att fördubblas.
6. Vi modifiera experimentet ovan för att titta på populationstillväxt då vi har täthetsberoende
resurskonkurrens. I vårt fall representeras individerna i populationen av tärningar och konkurrensen
uppkommer då det finns begränsat med plats för tärningarna.
Figur 9: Täthetsberoende konkurrens simulerad med tärningar.
(a) Lägg alla tärningarna i behållaren. Töm behållaren så att tärningarna faller ner på bordet.
(b) Tag frystejp och markera ett rektangulärt område sådant att en del av tärningarna hamnar
utanför området. Området är det livsutrymme som individerna i populationen tävlar om.
(c) Starta med fem tärningar. Lägg tärningarna i behållaren. Töm behållaren så att tärningarna
faller ner på bordet.
(d) Tärningar som hamnar utanför den markerade rektangeln blir utkonkurrerade och tas bort
(motsvarande individ i populationen dör). För varje tärning i rektangeln som visar 6 lägger ni
till en ny tärning.
14

(e) Räkna antalet tärningar ni har då ni lagt till tärningar. Notera antalet.
(f) Lägg tärningarna i behållaren och fortsätt på samma sätt tills det att tärningarna tar slut.
(g) Anpassa en logistisk funktion
N(t) =
N0Ke rmaxt
N0(e rmaxt − 1) + K
till data. Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta data och anpassningsfunktion
i samma figur.
7. I denna uppgiften skall vi betrakta mekaniska svängningar. Välj en fjäder och en metallcylinder
så att ni får en svängning som inte är alltför snabb.
Figur 9: Metallcylinger upphängd i fjäder. Jämviktsläget samt två andra lägen har markerats.
(a) Bestäm massan för metallcylindern.
(b) Fäst fjädern i en hållare och häng metallcylindern i den nedre delen av fjädern. För den
fortsatta analysen är det bra om fjädern hänger nära whiteboardtavlan. Markera metallcylinderns
jämviktsläge med ett streck på whiteboardtavlan. Sätt ytterligare ett streck så att ni får
en längdskala.
(c) Dra ner metallcylindern en bit och släpp den sedan så att den oscillerar upp och ned. Filma
det hela med digitalkamera. Se till att ni får med ett par svängningar.
(d) Använd Vidshell för att bestämma y(t) som funktion av t.
15

(e) Anpassa funktionen
y(t) = Asin(ωt + δ).
till data. Plotta data och anpassningsfunktion i samma figur. Bestäm fjäderkonstanten k från ω.
8. Tillverka en enkel pendel med hjälp av ett snöre och en tyngd. Mät svängningstiden T som
funktion av snörets längd L. För att få bättre mätvärden kan ni ta tiden för 10 svängningar
och sedan dela tiden med 10. Se till att utslagsvinklarna inte blir för stora då uttrycken vi har
tagit fram endast gäller då sin θ ≈ θ. Plotta den uppmätta svängningstiden som funktion av
L. Plotta det teoretiska uttrycket T = 2π L/g i samma figur. Hur väl stämmer experiment
och teori?
9. I den här uppgiften skall vi studera fallrörelse med luftmotstånd. För att fallet inte skall bli
för snabbt använder vi oss av en badboll.
(a) Börja med att bestämma badbollens massa m.
(b) Gå till den stora trapphallen på lärarutbildningen (alternativt gymnastikhallen). Mät upp
en sträcka som ni kan ha som referens.
(c) Släpp badboll från en höjd som är tillräckligt stor för att bollen skall hinna bromsas upp
för att till slut falla med konstant fart. Filma fallet med digitalkamera och se till att ni får med
referenssträckan. Det kan vara bra att stå en bra bit från den fallande badbollen och använda
en lång brännvidd för att undvika parallaxfel.
(d) Använd VirtualDub för att bestämma bollens position y(t) som funktion av tiden t. Spara
datavärdena i en textfil.
(e) Beräkna badbollens fart numeriskt genom att bilda centrala differenskvoter.
(f) Plotta farten som funktion av tiden och bestäm badbollens gränsfart vg. Lös ut och bestäm
k från gränsfarten.
(g) Plotta den experimentellt bestämda farten v(t) som funktion av tiden. Plotta den teoretiska
farten
m g e
v(t) =
k
2
√ gk
m t
− 1
e 2
√ gk
m t
+ 1
i samma figur. Hur väl stämmer experiment och teori?
7 Redovisning
De experimentella uppgifterna skall redovisas i en skriftlig rapport skriven i Word eller något annat
ordbehandlingsprogram. Rapporten skall innehålla beräkningar och resultat för all uppgifterna.
Rapporten skall innehålla tillräckligt mycket text och förklaringar så att en utomstående läsare
utan problem kan förstå vad ni har gjort. Beräkningar utan kommentarer godkänns inte. Mätdata
och anpassningar skall redovisas och korrekta enheter skall användas. Det laborativa arbetet
skall dokumenteras med digitalkamera. Inklippta bilder och figurer skall förses med förklarande
text. Stor vikt läggs vid rapportens layout (se det som en träning att skriva bra och informativa
laborationsinstruktioner till era elever).
8 Vidare läsning
För den som är intresserad av biologi och ekologi rekommenderas
T. Bohlin, Introduktions till populationsekologi, Studentlitteratur, 2000.
16

Boken presenterar på ett lättfattligt sätt olika teorier inom populationsekologin. Här finns otroligt
mycket intressant material att hämta till matematikundervisningen. Kan vara bra att känna till
då många elever i skolan har ett stort intresse för miljöfrågor och människans påverkan på den
biologiska mångfalden.
Många differentialekvationer kommer från fysik och teknik. Den som vill fördjupa sig kan läsa
Ö. Nilsson och M. Österlund, Dynamisk simulering i fysik och teknik, Studentlitteratur, 2003.
Här finns lite fylligare bakgrund till en del av systemen och processerna vi har tagit upp under
denna laborationen.
17