B2-Lb1.pdf

Lektionsblad till Endimensionell analys, delkurs B2, E 2009
• Läs appendix A.1–A.5.
Förberedelser inför övning 1 Lv1
Övning 1 Lv1
• Vi börjar med några grundläggande räkningar med komplexa tal (addition,
multiplikation och konjugering): A.1, A.2, A.3. Observera att
(a + ib)(a + ib) = (a + ib)(a − ib) = a 2 − (ib) 2 = a 2 + b 2 = |a + ib| 2 .
✻
def. av konjugat
✻
konjugatregeln
✻
Pythagoras sats
Det gäller alltså att |z| 2 = zz för alla komplexa tal z. Kom ihåg detta!
• Vid division med det komplexa talet a + ib = 0 kommer följande omskrivning
till användning. Multiplicera täljare och nämnare med konjugatet
och erhåll
1
a + ib =
a − ib
(a + ib)(a − ib)
a − ib
= =
|a + ib| 2
a
a 2 + b
2 − i
b
a 2 + b 2
Gör nu uppgift A.4. Gör också uppgift A.5. Tänk på att om z och w
är komplexa tal så är |zw| = |z||w| och |z/w| = |z|/|w|. Hur förhåller
sig |z n | till |z|?
• Lös ekvationerna A.7, A.8. I dessa ekvationer är det lämpligt att ansätta
z = a + ib. Vi kommer längre fram att lösa ekvationer där detta
inte är lämpligt. Mer om det då.
Ansatsen z = a + ib kommer också till användning i några av uppgifterna
A.9, A.10, A.11, A.12, A.14, A.15. Observera också att vi kan
tolka |z − w| som avståndet mellan de komplexa talen z och w.
• Läs kapitel A.6–A.8.
Förberedelser inför övning 2 Lv1
Övning 2 Lv1
• Komplexa tal kan skrivas dels på rektangulär form, z = a+ib, och dels
på polär form z = r(cos θ + i sin θ) = re iθ . Observera att vi definierar
att e iθ = cos θ + i sin θ. Beteckningen e iθ är alltså bara ett kortare sätt
att skriva cos θ + i sin θ.
1

Lektionsblad till Endimensionell analys, delkurs B2, E 2009
✻
(a, b)
Om z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) så vill vi
ha ett samband mellan talen a och b och
✕
talen r och θ. Talet r är längden av den
r
vektor som pekar på punkten (a, b). Alltså
är r = |a+ib|. Talet θ är vinkeln mellan xaxeln
och vektorn, varför θ kan beräknas
θ
✲
med trigonometri. Observera att θ inte
är entydigt bestämt; vi kan lägga till 2πk,
där k är ett heltal.
Gör uppgift A.18, A.19, A.20, A.21.
• En produkt zw av två komplexa tal z och w kan tolkas som det komplexa
tal vars absolutbelopp är produkten av absolutbeloppen av z och
w, och vars argument är summan av argumenten av z och w. Rita en
figur som illusterar detta. Hur kan divisionen z/w tolkas?
Gör uppgift A22, A.24, A.25, A.26, A.27, A.28, A.29, A.32, A.34, A.36.
• Vid lösning av komplexa andragradsekvationer är det lämpligt att först
kvadratkomplettera ekvationen så att den är på formen
(z + w) 2 = u
och sedan ansätta z + w = a + ib, inte z = a + ib. (Det går att
ansätta z = a + ib med eller utan kvadratkomplettering, men det leder
i allmänhet till mycket svårare räkningar, varför ansatsen z+w = a+ib
är att föredra.) I exempel 17, på sidan 459 i läroboken, visas hur
kvadratkomplettering och ansatts går till. Studera detta exempel och
gör därpå uppgifterna A.37, A.38, A.40.
2