Föreläsning 1

Föreläsning 1
Kursens innehåll
1) Differentialkalkyl
- Mängder i planet och rummet; kurvor, ytor
- Gränsvärden
- Derivator; gradienter, kedjeregeln
- Optimering; lokala undersökningar, Lagrangemultiplikatorer
2) Integralkalkyl
- Dubbelintegraler
- Variabelbyten
- Trippelintegraler
- Tillämpningar; volymer, masscentra, tröghetsmoment
3) Vektoranalys i planet
- Vektorfält
- Kurvintegaler
- Greens formel, konservativa vektorfält; potentialer
Obligatoriska moment
Två datorlaborationer med Maple. Dessa syftar dels till att få en inblick i
Maple, som är ett oerhört kraftfullt datorprogram för matematik, dels till att
illustrera några av kursens viktigare moment.
Mängder i R 2
Det viktigaste man ska ta med sig från de första avsnitten i boken är olika
metoder att beskriva mängder i R 2 och R 3 . Ofta gör man detta med ekvationer
och olikheter. Ekvationen y = x/2 − 1 beskriver till exempel en linje, dvs om
man ritar samtliga punkter (x, y) som uppfyller att y = x/2 − 1 får vi bilden
av en rät linje med riktningskoefficient 1/2:
2
1
−1 1 2 3
−1
−2
y
På liknande sätt beskriver ekvationen (x − 1) 2 + (y + 1) 2 = 3 en cirkel med
medelpunkt (1, −1) och radie √ 3:
1
−1 1 2 3
−1
−2
−3
y
Mängder som definieras av olikheter brukar kännas mer ovana. Låt oss titta
på ett par exempel.
Exempel Rita mängden som definieras av olikheterna: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x.
Observera att detta egentligen är fyra olikheter, 0 ≤ x, x ≤ 2, 0 ≤ y och y ≤ x.
De två första olikheterna ger bara en begränsning på x. Låt oss fokusera på
de två sista.
x
x
Flerdimensionell analys (FMA 430)
Frank Wikström
Fixera ett visst värde på x. På den prickade linjen är y = x, så ovanför
denna är y ≥ x. På motsvarande sätt är y ≤ x under linjen y = x. Vi vill
dessutom att y ≥ 0, dvs att y ska ligga ovanför x-axeln.
2
1
y
y = x
y = 0
y ≥ x
y ≤ x
y = x
1 2
Om vi nu låter x variera över alla tillåtna punkter, dvs 0 ≤ x ≤ 2, och markerar
alla punkter som uppfyller att 0 ≤ y ≤ x, dvs punkter ovanför x-axeln och
under linjen y = x får vi lösningen till olikheterna 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x.
2
1
y
0 ≤ x ≤ y
0 ≤ x ≤ 2
1 2
Det är viktigt att notera att mängder kan beskrivas på flera olika sätt.
Triangeln ovan kan även beskrivas genom att börja med att fokusera på ykoordinaten.
För att täcka över hela figuren, måste y variera mellan 0 och 2.
Fixera sedan ett värde på y. Vad ska då x variera mellan?
2
1
y
x ≤ y
x = y x = 2
x ≥ y
1 2
På den prickade linjen är y = x, eller om man så vill x = y. Vi ser att xkoordinaten
ska ligga mellan den prickade linjen och linjen x = 2, dvs y ≤ x ≤
2. Triangeln kan alltså lika gärna beskrivas med olikheterna y ≤ x ≤ 2, 0 ≤
y ≤ 2. Att kunna beskriva mängder på detta vis, på flera olika sätt, kommer
att bli mycket viktigt när vi så småningom ska beräkna dubbelintegraler.
Exempel Ett lite besvärligare exempel: Rita en bild av de punkter som uppfyller
∣x∣ + ∣y∣ ≤ 1. Beloppstecknet ställer till lite bekymmer. Det enklaste är
förmodligen att dela upp i olika fall, beroende på tecknet på x och y. Anta
först att både x och y är positiva, dvs att punkten (x, y) ligger i första kvadranten.
Då blir olikheten x + y ≤ 1, eller y ≤ 1 − x. På motsvarande sätt som
ovan är vi alltså intresserade av punkter under linjen y = 1 − x.
I andra kvadranten är x < 0 och y > 0, så olikheten blir i detta fall −x+y ≤ 1
dvs y ≤ 1 + x, och vi vill ta med punkter i andra kvadranten som ligger under
linjen y = 1 + x. På motsvarande sätt hanteras tredje och fjärde kvadranterna.
Resultatet blir en kvadrat, vriden 45° i förhållande till koordinataxlarna.
x
x
x

y = 1 + x
y = −1 − x
1
∣x∣ + ∣y∣ ≤ 1
−1 1
−1
y
y = 1 − x
y = x − 1
Ett alternativt sätt att resonera: Efter att vi har tagit reda på vad som händer
i första kvadranten, kan vi observera att lösningsmängden till olikheten
∣x∣ + ∣y∣ ≤ 1 är symmetrisk med avseende på spegling i x- respektive y-axeln,
dvs om (x, y) löser olikheten, så gör också (−x, y), (x, −y) och (−x, −y)
det. Den fullständiga lösningsmängden blir alltså triangeln i första kvadranten
tillsammans med sina speglingar i koordinataxlarna. Det är en god idé att
träna på att observera liknande symmetrier.
Mängder i R 3
Att rita figurer av mängder i R 3 för hand är besvärligt och fordrar massor av
övning. Enklast att hantera är mängder med symmetri, en vanlig sådan är
rotationssymmetri kring z-axeln. Om (x, y) är en punkt i planet, så är d =
√ x 2 + y 2 dess avstånd till origo (Pythagoras sats). På motsvarande sätt, om
(x, y, z) är en punkt i rummet, så är d = √ x 2 + y 2 dess avstånd till z-axeln.
Rita en bild av mängden z = x 2 + y 2 . Vi kan se denna yta som en funktionsgraf,
grafen till f (x, y) = x 2 + y 2 . Eftersom funktionsvärdet bara beror av d,
dvs f (x, y) = d 2 , så är funktionens värde densamma för alla punkter (x, y)
vars avstånd till origo är detsamma. Med andra ord är mängden z = x 2 + y 2
rotationssymmetrisk kring z-axeln. Det enklaste sättet att rita upp den är att
först rita kurvan z = f (d) (som en funktion av en variabel, d) och därefter
rotera den kring z-axeln:
4
2
z
z = d 2
1 2
d
z
4
2
0
−2
Resultatet blir en parabelformad skål, en så kallad paraboloid. Olikheter
hanteras liknande, till exempel blir x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 samma skål som syns
i bilden ovan, fast ”ifylld”.
Mängder utan rotationssymmetri är ofta hopplöst besvärliga att rita för
hand. Vi försöker oss dock på ett viktigt exempel, nämligen ytan z = x 2 − y 2 .
Det enklaste sättet att föreställa sig hur denna ser ut är förmodligen att variera
en variabel i taget. Om vi håller y = c konstant, så får vi kurvor z = x 2 − c 2 ,
dvs en familj av parabler (med toppen nedåt). Ju större ∣c∣ är, dvs ju längre
bort från x-axeln vi befinner oss, desto djupare ner hamnar parabeln.
Om vi i stället håller x = c konstant, får vi kurvorna z = c 2 − y 2 , dvs
parabler med toppen uppåt. Ytan z = x 2 − y 2 är alltså krökt åt olika håll i
x-led och y-led. Origo, som ligger på ytan blir ett minimum i x-led, men ett
maximum i y-led. Det tar en stund att föreställa sig detta, ytan ser ut ungefär
som en sadel eller ett bergspass, och den brukar kallas för en sadelyta.
y
0
2
x
2
0
x
−2
z
Terminologi
4
2
0
−2
−4
−2
y
0
Det finns ett antal ord som beskriver mängder och som man behöver känna
till.
öppet klot Mängden Br(⃗a) = {⃗x ∈ R n ∶ ∣⃗x − ⃗a∣ < r} kallas ett klot centrerat
i ⃗a med radie r. (I tre dimensioner är detta verkligen ett klot, i två
dimensioner en cirkelskiva.)
inre punkt Punkten ⃗a ∈ R n kallas en inre punkt till mängden M om det finns
ett (litet) öppet klot, centrerat i ⃗a som ligger helt inne i M.
randpunkt Punkten ⃗a ∈ R n kalas en randpunkt till mängden M om varje
öppet klot, centrerat i ⃗a innehåller punkter som ligger i M och punkter
som inte ligger i M. Mängden av alla randpunkter till M kallas randen
till M och betecknas ∂M.
sluten mängd En mängd M kallas sluten om den innehåller samtliga sina
randpunkter.
öppen mängd En mängd M kallas öppen om den inte innehåller några av
sina randpunkter.
begränsad En mängd M kallas begränsad om det finns något (stort) öppet
klot som helt omsluter M. I annat fall kallas mängden obegränsad.
Funktioner
Vi kommer att studera funktioner som beror av flera variabler (vanligen två
eller tre). Som i endim, antar vi att definitionsmängden är ”så stor som möjligt”
om vi inte säger något annat.
Funktioner R 2 → R
Funktioner av två variabler f (x, y) kan visualiseras. Grafen till en sådan funktion
är ytan z = f (x, y). (Vi har redan sett ett par exempel, se kursboken för
ytterligare exempel.)
Ett annat sätt att åskådliggöra sådana funktioner är med nivåkurvor (jämför
orienteringskartor eller isobarer). Idén är att lösa exkvationen f (x, y) = c
för några lämpligt valda värden på c och rita motsvarande kurvor. Vi tar
för enkelhets skull exemplet f (x, y) = x 2 + y 2 . Nivåkurvorna blir cirklar
x 2 + y 2 = c med radie √ c
3
2.5
−2 2
2
1.5
0.5
3
1
2
−2
Ju tätare nivåkurvorna ligger, desto brantare är funktionsgrafen.
Funktioner R 3 → R
1.5
1
2.5
y
2.5
2
Funktioner av tre variabler f (x, y, z) är svårare att åskådliggöra. Grafen till en
sådan funktion, w = f (x, y, z) blir en tredimensionell ”yta” i R 4 och går knappast
att föreställa sig. Det kan eventuellt fungera att visualisera en funktion av
tre variabler med dess nivåytor f (x, y, z) = c, men även detta är ganska svårt
i praktiken.
2
3
2
1.5
3
2
2.5
0
x
x
−2