Numeriska metoder för linjär algebra: Gausselimination

Man kan ocks˚a använda en ekvivalent metod att lösa linjära ekvationssystem som kallas
Cramers regel. Betrakta tex ekvationssystemet
med 2 × 2 koefficientmatrisn
och kolonnvektorerna
Skriv systemet i formen
à är en 2 × 3 matris
Vi har
x =
2x1 + 4x2 = 1
6x1 + 3x2 = 2 (4)
A =
2 4
6 3
x1
x2
2 4
6 3
, b =
x1
x2
à = [A b] =
det
2 4
6 3
=
,
1
2
1
2
2 4 1
6 3 2
= −18,
dvs., det A = 0. D˚a har ekvationssystemet (4) en entydig lösning, matrisn A är inverterbar
(icke-singulär), och vi kan skriva lösningen enligt Cramers regel:
x1 = − 1
18 det
1 4
2 3
= 5/18, x2 = − 1
18 det
.
.
.
2 1
6 2
= 2/18.
Men att bestämma inversen till en n × n matris (och att använda Cramers regel) är en
mödosam procedur och det är oftast enklare att lösa systemet med elimination.
Det finns tv˚a huvudklasser av metoder för numerisk lösning av linjära ekvationssystem,
direkt och iterativa metoder. Med en direkt metod, beräknar man lösningen genom att utföra
ett ändligt antal aritmetiska operationer. Om man skulle räkna utan avrundningsfel, skulle den
beräknade lösningen vara den exakta lösningen till ekvationssystemet. Den mest grundläggande
direkta metoden för lösning av linjära ekvationssystem är Gausselimination (GS).
Gausselimination
M˚alet med GS är att överföra koefficientmatrisen p˚a högertriangulär form. Metoden innebär
att man adderar multipler av ekvationerna till varandra. Lösningen f˚as sedan genom bak˚at
substitution.
Man kan använda tre elementära operationer utan att bryta mot systemslösning:
(1) byta varje tv˚a rader (dvs., ekvationer);
(2) multipliciera en rad (dvs., en ekvation) med ett tal (= 0);
(3) ersätta en rad med summan av den här raden och en annan rad multiplicierad med
ett tal.