Numeriska metoder för linjär algebra: Gausselimination

−0.99998 · 10 5 = −9.99998 · 10 4 ≈ −10.000 · 10 4 = −1.000 · 10 5
(≈ skall utläsas “avrundas till 3 siffror i br˚akdelen). I flyttalsystemet f˚ar vi allts˚a matrisen
10−5 0
1
−10
∗ 1
5 ∗ −105
.
eller systemet
10 −5 x1 + x2 = 1 (28)
−10 5 x2 = −10 5
3 Bestämm lösningen x1, x2 med substitution i omvänd ordning (bak˚at substitution).
Genom att i (28) sätta in x2 = 10 −5 · 10 5 = 1 erh˚alls x1 = (1 − 1) · 10 5 = 0:
x1 = 0
x2 = 1.
Om vi istället gör radbyte (byta raderna 2 och 1 i begynnelsematrisen för att f˚a augmenterad
matrisen med maximalelementet a11
1
10
1 ∗ 2
−5 1 ∗
,
1
och eliminera (multipliciera den första ekvationen med 10−5 och subtrahera fr˚an den andra
ekvationen) d˚a f˚ar vi
1
0
1
1 − 10
∗ 2
5 ∗ 1 − 2 · 10−5
,
som avrundas till
och lösningen blir här
1 1 ∗ 2
0 1 ∗ 1
x1 = 1
x2 = 1.
Kolla resultatet genom att räkna lösningen (för godtyckligt ɛ = 1) med Cramers regel:
ɛ
det
1
1
= ɛ − 1,
1
x1 = 1
ɛ − 1 det
1
2
1
=
1
1
1 − ɛ , x2 = 1
ɛ − 1 det
ɛ
1
1
=
2
1 − 2ɛ
1 − ɛ .
Om ɛ är litet, man kan skriva
och lösningen blir
1
1 − ɛ
≈ 1 + ɛ,
1 − 2ɛ
1 − ɛ
,
≈ (1 − 2ɛ)(1 + ɛ) ≈ 1 − ɛ
x1 ≈ 1
x2 ≈ 1.
(29)