VÄXELSTRÖM - Tfe
VÄXELSTRÖM - Tfe
VÄXELSTRÖM - Tfe
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>VÄXELSTRÖM</strong><br />
Nu skall vi lämna den relativt stabila likströmmens värd, sätta snurr på saker och ting och gräva<br />
fram komplexmatten i tillämpningens ljus. Likström är egentligen bara ett specialfall av<br />
växelström, fast med frekvensen 0.<br />
Växelströmmens anatomi<br />
Till skillnad från likströmmen så varierar växelströmmen polaritet i ett periodiskt förlopp. I våra<br />
kraftnät härrör denna periodicitet från generatorns spolar som rör sig cirkulärt genom ett<br />
magnetfält. Just denna cirkulära rörelse är upphovet till det vi kallar sinusformad växelspänning.<br />
Denna låter sig beskrivas som en kurva, en vågform, med en amplitud som funktion av tiden.<br />
När vi studerar växelströmmen med ett oscilloskop kommer den att visas på den här formen.<br />
Vi ritar upp ett definitionsexempel enligt följande:<br />
u = û ⋅sin<br />
u<br />
1<br />
2<br />
= û ⋅sin<br />
( ω ⋅t<br />
)<br />
( ω ⋅t<br />
+ φ)<br />
φ = fasvinkeln i grader<br />
û = amplituden<br />
ω = vinkelfrekvensen (rad/s)<br />
T = periodtid (s)<br />
f = frekvens i Hz<br />
f<br />
1<br />
T<br />
ω = 2<br />
⋅π<br />
⋅ f
Visardiagram<br />
Ett annat, och i dessa sammanhang mycket praktiskt sätt att representera en sinusformad storhet<br />
som växelström är att använda ett s.k. visardiagram.<br />
I stället för ett ordinärt x/y diagram, använder vi oss av en roterande visare där visarens längd<br />
kommer att motsvara spänningens toppvärde, och dess argument (vinkeln) ersätter tidsaxeln.<br />
Växelspänningens frekvens är alltså hur snabbt visaren roterar, därav begreppet vinkelhastighet för<br />
en frekvens uttryckt i radianer per sekund. (Brukar betecknas med lilla omega; ω.)<br />
Betrakta uttrycket u = û ⋅ sin(<br />
ω ⋅ t + φ)<br />
. Vid tiden t=0 blir u = û ⋅sinφ<br />
2<br />
Visaren û får vid tidpunkten t=0 följande läge:<br />
Om inget annat anges tänker vi oss att uttrycket u = û ⋅ sin(<br />
ω ⋅ t + φ)<br />
0<br />
2 representeras av en visare<br />
û som bildar vinkeln φ med den positiva x-axeln. Positiva x-axeln kallar vi i detta sammanhang<br />
för referensriktning.
Beteckningssätt:<br />
Det sinusformade uttrycket:<br />
( ω ⋅ + φ)<br />
u = û ⋅sin<br />
t<br />
2 (våg-form)<br />
representeras av en visare û som vi betecknar på följande sätt:<br />
eller på följande sätt:<br />
u = û ⋅ ∠φ<br />
(visar-/polär form)<br />
u = û ⋅ e<br />
j⋅φ<br />
(exponentform)<br />
Detta utläses ”Visaren û har längden/beloppet û och bildar vinkeln φ med referensriktningen”.<br />
På vi kan även uttrycka det som:<br />
u = a + jb<br />
(rektangulär form)<br />
Observera att vi i elektroniken använder j istället för i när<br />
vi åsyftar det imaginära talplanet, detta för att inte blanda<br />
ihop det med i = varierande ström.<br />
û +<br />
b<br />
φ = arctan<br />
a<br />
a = û ⋅cosφ<br />
b = û ⋅sinφ<br />
2 2<br />
= a b (pythagoras sats)<br />
Observera<br />
Genom att gå över till visarform har vi inte med tiden i uttrycket längre. Vi har gått över från tidsdomän till<br />
frekvensdomän.
Genom att införa visarrepresentation kan vi enkelt behandla växelströmskretsar. Att arbeta med<br />
växelström förefaller en smula komplicerat, eftersom spänningen hela tiden växlar storlek och<br />
riktning, men genom att på detta sätt införa en matematisk storhet med vektorkaraktär så kan vi<br />
räkna med den precis som med vanlig vektorräkning. När beräkningen är slutförd har man som<br />
resultat en spänning i vektorform, som enkelt kan återföras till tidsdomänen.<br />
Addition och subtraktion kan utföras geometriskt/analytiskt med visardiagram inte helt olika<br />
mekanikens kraftreduktionsdiagram. Man kan välja att rita enligt polygon- eller<br />
parallellogrammetoden, men resultatet blir givetvis detsamma.<br />
...och om vi har omvänt tecken på den ena spänningskällan:
Komponenter och växelströmsegenskaper<br />
Några olika komponenter, resistorn, kondensatorn och spolen kan sammanställas med avseende<br />
på sina växelströmsegenskaper:<br />
Resistor Kondensator Spole<br />
symbol:<br />
symbol:<br />
symbol:<br />
Resistans Kapacitans Induktans<br />
Ohm Ω Farad F Henry H<br />
u = R ⋅ i<br />
1<br />
u = ∫i<br />
dt<br />
C<br />
u = L ⋅<br />
Frekvensoberoende Frekvensberoende Frekvensberoende<br />
u och i ligger i fas u ligger 90° efter i (-90°) u ligger 90° före i (90°)<br />
i = î ⋅sin<br />
u = û ⋅sin<br />
Z = R R<br />
( ω ⋅t<br />
)<br />
( ω ⋅t<br />
)<br />
i = î ⋅ sin<br />
u = û ⋅ sin<br />
Z<br />
X<br />
C<br />
C<br />
1<br />
=<br />
ω ⋅C<br />
( ω ⋅ t)<br />
o ( ω ⋅ t − 90 )<br />
1<br />
= ⇒ Z<br />
j ⋅ω<br />
⋅C<br />
C<br />
=<br />
−<br />
⋅<br />
ω<br />
j<br />
C<br />
i = î ⋅ sin<br />
di<br />
dt<br />
u = û ⋅ sin<br />
Z<br />
X<br />
L<br />
L<br />
= ω ⋅ L<br />
( ω ⋅ t)<br />
o ( ω ⋅ t + 90 )<br />
= j ⋅ω<br />
⋅ L
Resistorer<br />
Resistorns egenskap är att utgöra ett hinder för strömmen, och denna egenskap kallas resistans.<br />
Resistansen är fullständigt frekvensoberoende, och därtill helt reell i det komplexa perspektivet.<br />
Resistansen mäts och anges i enheten Ohm. Resistorer utförs i olika varianter och av olika<br />
material. Kolmassa var vanligt förr i tiden, men numera görs de oftast av en metallfilm på en<br />
keramisk kropp. Även trådlindade motstånd förekommer, framför allt vid höga effekter. Alla<br />
material har ett elektriskt motstånd, resistivitet, och denna varierar också i varierande grad med<br />
avseende på temperaturen.<br />
Ideal resistor<br />
Den ideala resistorn är fullkomligt frekvensoberoende, och ström såväl som spänning följs åt i<br />
samma fas. Strömmen över resistansen kan vi teckna:<br />
û<br />
î = ∠0°<br />
Som synes är det gamla hederliga ohms lag, och vinkeln = 0.<br />
R<br />
Verklig resistor<br />
I många fall är även den verkliga resistorn så pass nära den ideala att vi inte behöver tänka på det,<br />
men framför allt vid höga frekvenser kommer även den minsta lilla elektriska ledare att uppvisa<br />
en påtaglig egen induktans! En ledning behöver inte vara formad som en spole för att ge upphov<br />
till en induktans.<br />
Vissa motstånd är dessutom trådlindade, och består därigenom i sig själv av en spole. Dessutom<br />
uppstår kapacitanser mellan spolens varv.
Kondensatorer<br />
Kondensatorns grundläggande egenskap kallas kapacitans och är dess förmåga att lagra elektrisk<br />
laddning. Kondensatorn kan ses som två plattor med en spalt av luft eller annat icke-ledande<br />
material emellan. Avståndet mellan plattorna och plattornas storlek avgör kondensatorns<br />
kapacitans, som mäts i Farad. En Farad uttrycks 1F och är en mycket stor enhet, varför den i<br />
praktiken uttrycks som mikro- nano- och pikofarad, dvs 10 -6 , 10 -9 och 10 -12 Farad.<br />
För att minska avståndet mellan kondensatorns elektroder använder man andra isolerande<br />
material än luft mellan dem. Dessa material kan göras mycket tunna, och besitter dessutom en<br />
förmåga som kallas permitivitet. Detta innebär att elektronerna i sina banor i materialets atomer<br />
förskjuts, så att en sorts negativ tyngdpunkt bildas. Atomen blir då en elektrisk dipol, och dessa<br />
kan då vrida sig och antaga samma riktning som det elektriska fältet mellan elektroderna. Detta<br />
gör att verkan av avståndet mellan elektroderna minskar, och kapacitansen ökar. Denna förmåga<br />
gör att man kallar isolationsmaterialet för dielektrikum.<br />
Om man vill räkna ut kondensatorns kapacitans gäller följande formel:<br />
A<br />
C = ε ⋅<br />
D<br />
där<br />
C = kapacitansen i Farad<br />
A = arean i m 2<br />
d = avståndet mellan elektroderna i m<br />
ε = permitiviteten.<br />
Permitiviteten är egentligen ε0 . εr där ε0 = permetiviteten i vacuum (8,85 . 10 -12 ) och<br />
εr = dielektricitetskonstanten. Dielektricitetskonstanten är ett relativt tal som beskriver<br />
dielektrikumets permitivitet i förhållande till vacuumets permitivitet.<br />
Dielektricitetskonstanten för några material:<br />
Luft 1<br />
Vatten 80<br />
Glas 10<br />
Polyester 3,3<br />
Keramik 5-50000<br />
Kondensatorn har ett stort antal användningsområden. Som kopplingskondensator blockerar den en<br />
likspänning, men leder en växelspänning vidare. Som avkopplingskondensator kortsluter den en<br />
växelspänning som är överlagrad på en likspänning. I filter och resonanskretsar används<br />
kondensatorn, ofta tillsammans med motstånd och/eller en spole som frekvensbestämmande<br />
komponent. Man använder kondensatorns upp- och urladdningstid som tidsbestämmande<br />
konstant i t.ex. astabila vippor.<br />
Kondensatorn uppvisar ett ”frekvensberoende motstånd” som kallas kapacitiv reaktans.<br />
Denna uttrycks som:<br />
X C<br />
1<br />
=<br />
ω ⋅C<br />
där Xc = reaktansen i Ω<br />
ω = vinkelfrekvensen (2 . π . f (i Hertz) ) i Rad/s<br />
C = kapacitansen i F
Ideal kondensator<br />
Som nämnts tidigare skulle en ideal kondensator bara ha en kapacitiv reaktans och ingen resistans<br />
eller induktans. Väl dimensionerade kondensatorer gör dock att vi åtminstone vid lite lägre<br />
frekvenser kan räkna med dem som ideala.<br />
Spänningen över kondensatorn är proportionell mot integralen ∫ i dt, och vi kan ställa upp detta<br />
analytiskt enligt följande:<br />
u C<br />
1 1<br />
= ∫ i dt = ∫ î ⋅sin<br />
C C<br />
î<br />
ω ⋅C<br />
î<br />
ω ⋅C<br />
( ω ⋅ t)<br />
= ⋅ cos(<br />
ω ⋅t<br />
) = ⋅sin(<br />
ω ⋅t<br />
− 90°<br />
)<br />
Sålunda finner vi att spänningen över kondensatorn är omvänt proportionell mot<br />
vinkelhastigheten (frekvensen) och 90 grader (eller π/2) efter strömmen som är riktfas<br />
Reaktansen, dvs det ”frekvensberoende motståndet” är omvänt proportionellt mot<br />
vinkelhastigheten, dvs reaktansen minskar med högre frekvens.<br />
X C<br />
1<br />
=<br />
ω ⋅C<br />
Verklig kondensator<br />
Detta gäller givetvis en ideal kondensator. I praktiken får<br />
varje kondensator såväl en resistiv som en induktiv<br />
påverkan från anslutningar osv. Kretsens verkliga<br />
”växelströmsmotstånd”, impedansen, kommer därför att<br />
skilja en smula.<br />
Upp- och urladdning av en kondensator tar alltid en viss<br />
tid. Med tidskonstanten τ (tau) åsyftar man den tid det tar<br />
för laddningen att nå till 1-e -1 (ca 63.2%) av spänningen i<br />
stationärtillståndet.<br />
Denna uttryckes som:<br />
τ = R ⋅ C<br />
där<br />
τ = tiden i sekunder<br />
R = serieresistansen i Ω<br />
C = kapacitansen i Farad<br />
Serieresistansen avser resistansen i anslutningar, elektroder och eventuella förluster i<br />
dielektrikumet.
Spolar<br />
Spolen kallas även induktor och dess grundläggande egenskap kallas induktans. Denna anges i<br />
enheten Henry (H). Spolen utgörs i princip av en ledare lindad ett antal varv, med eller utan<br />
kärna. Spolens induktans är den egenskap som motverkar alla förändringar i strömmen som går<br />
igenom den. Vid strömförändringar i spolen uppstår en motriktad spänning som kallas mot-emk.<br />
En spole med induktansen 1H har en mot-emk på 1V då strömmen förändras med 1A/s.<br />
Spolar har ett antal användningsområden, bland annat i avstämda filter och svängningskretsar för<br />
att blockera eller välja ut vissa frekvenser. De kan även användas för likströmsfiltrering och<br />
energilagring i olika typer av nätaggregat.<br />
Spolen har ett ”frekvensberoende motstånd” som kallas reaktans, och en likspänningsresistans i<br />
själva tråden. Den induktiva reaktansen X L uttrycks:<br />
X L<br />
= ω ⋅ L<br />
där XL = spolens reaktans i Ω<br />
ω = vinkelfrekvensen (2 . π . f (i Hertz) ) i Rad/s<br />
L = induktansen i Henry<br />
Ideal spole (induktor)<br />
En ideal spole skulle ha en resistans = 0. Tråkigt nog finns inga sådana spolar att tillgå i<br />
verkligheten, men med lämplig utformning av spolen, och i relativt lågfrekventa tillämpningar kan<br />
vi ofta räkna med att resistansen är försumbar.<br />
Som nämndes sist är spänningen över en spole proportionell mot strömderivatan di/dt. Sålunda<br />
ser vi att vid strömmens toppvärden, dvs di/dt =0 är spänningen noll, och vid di/dt:s maxvärde,<br />
är spänningen max. Ur grafen kan vi då analogt se att spänningen ligger 90 grader, eller π/2 rad<br />
före strömmen, som vi anger som riktfas.<br />
Om man vill visa sig på styva linan en stund kan man ju ställa upp det analytiskt:<br />
Spänningen över spolen är lika med induktansen gånger strömderivatan di/dt enligt följande:<br />
d<br />
u = ⋅ î ⋅ sin(<br />
ω ⋅ t)<br />
L<br />
dt<br />
= î ⋅ω<br />
⋅ L ⋅ cos(<br />
ω ⋅ t)<br />
= î ⋅ω<br />
⋅ L ⋅ sin(<br />
90°<br />
− ω ⋅ t)<br />
u = î ⋅ω<br />
⋅ L ⋅ sin ω ⋅ t + 90°<br />
L<br />
( )<br />
Som synes får vi en positiv 90 graders fasskillnad mellan û och î som är riktfas.<br />
Spänningen och därmed reaktansen hos spolen är proportionell mot vinkelhastigheten.<br />
X L<br />
= ω<br />
⋅<br />
L
Verklig spole (induktor)<br />
Spolens totala impedans, dvs kombinationen av resistans och reaktans blir ett komplext tal,<br />
eftersom reaktansen är komplex.<br />
Z L = X L<br />
2<br />
+ R<br />
2<br />
Spolen har ytterligare en egenskap som benämnes Q-värde efter Q=Quality (en äldre benämning<br />
är godhetstal). Detta är kvoten mellan spolens reaktans och serieresistans. Lägre resistans ger högre<br />
Q-värde och möjliggör bl.a. konstruktion av brantare filter.<br />
X<br />
Q =<br />
R<br />
L<br />
S<br />
Går vi ytterligare upp i frekvens kommer verkan av kapacitans mellan spolens varv att börja<br />
påverka, och modellen blir ytterligare lite mer komplicerad.
Transienter<br />
Vad är en transient signal?<br />
Definitionsmässigt är det en spänning<br />
eller ström som varierar som funktion av<br />
tiden och som är en konsekvens av en plötslig<br />
förändring i insignalen / invärdet.<br />
Ett exempel på detta är vid påslag<br />
och/eller frånslag av spänning över en<br />
kondensator i serie med en resistans.<br />
När man tittar på det transienta förloppet i en viss krets kan man dela upp detta i två delar; den<br />
transienta delen (transient) och den stationära delen (steady state).<br />
Transienter i RC-kretsar<br />
Vi tänker oss en strömkälla i serie med en<br />
brytare, en resistans och en kapacitans enligt<br />
vidstående bild.<br />
När brytaren är öppen går ingen ström genom<br />
kretsen. Kondensatorn är oladdad. När<br />
brytaren sluts vid t=0 kommer strömmen att<br />
rusa in i kondensatorn i dess<br />
uppladdningsförlopp. Strömmen i kretsen<br />
kommer att bli som följande:<br />
i<br />
C<br />
=<br />
E<br />
⋅ e<br />
R<br />
t<br />
−<br />
R⋅C<br />
Vid t = 0 kommer C att vara irrelevant eftersom exponentuttrycket = 1, och strömmen i kretsen<br />
och därigenom in i kondensatorn kommer att vara lika med E genom R. Likaså är spänningen<br />
över kondensatorn vid t = 0 lika med 0V.<br />
Sedan laddas kondensatorn upp som funktion av tiden, och strömmen I C kommer att gå mot noll<br />
enär t går mot ∞. RC i exponentuttrycket är vad som brukar kallas kretsens tidskonstant.<br />
När strömmen in i kondensatorn minskar ökar spänningen över den, för att till slut plana ut och<br />
gå mot E. När mindre än 1% skiljer Uc från E antager vi att kondensatorn är uppladdad, vilket<br />
sker efter knappt 5 tidskonstanter.<br />
Spänningen över C kan uttryckas:<br />
⎛<br />
u<br />
⎜<br />
C = E ⋅ 1 − e<br />
⎝<br />
t<br />
−<br />
R ⋅ C<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Observera att när tidskonstantenτ = t = RC så får vi:<br />
u C<br />
(<br />
= E ⋅ 1−<br />
e<br />
−1<br />
) = 0,63E som nämndes tidigare.
Exempel i verkliga livet:<br />
Som synes beror strömmen i kretsen bl.a. på konstanten R. En ideal kondensator kopplad direkt<br />
till ett batteri skulle alltså laddas oändligt snabbt med oändlig ström. Ideala kondensatorer finns<br />
inte, men direkt kopplade till strömkällan kan de alltså vid tillslag dra oerhörda mängder ström. I<br />
praktiken får detta effekt i t.ex. en bilstereoförstärkare, där man brukar ha mycket stora<br />
kapacitanser som energireserv. Att koppla in dessa till strömkällan direkt kan ge så stora<br />
strömmar att säkringarna brinner av! Därför är vissa liknande apparater försedda med en<br />
serieresistans vid uppstarten, för att ladda upp kondensatorerna lite försiktigare.<br />
När kondensatorn laddats upp fullständigt kan vi antaga att spänningen u c = E. Om vi så kopplar<br />
bort den ursprungliga källan E genom att kortsluta den, laddar vi ur kondensatorn genom R.<br />
Detta ger analogt med tidigare resonemang följande uttryck:<br />
u<br />
C<br />
= E ⋅ e<br />
t<br />
−<br />
R⋅C<br />
Strömmen ic uttrycks på samma sätt som tidigare, fast den här gången går den åt andra hållet.<br />
i<br />
C<br />
E<br />
= − ⋅ e<br />
R<br />
t<br />
−<br />
R⋅C<br />
En kondensator som laddats upp skulle, om den vore ideal, behålla sin laddning och därmed<br />
spänning i all oändlighet, men alla verkliga kondensatorer har förluster, och denna verkar som ett<br />
R genom vilken kondensatorn sakta urladdas.<br />
Initialvärden<br />
Om nu kondensatorn i föregående krets inte var helt urladdad, utan hade en spänning U 1 vid t=0,<br />
vad händer då? Jo, kondensatorns uppladdningscykel startar ifrån detta initialvärde, och vi får<br />
följande modifierade uttryck:<br />
u<br />
C<br />
⎛<br />
= U i +<br />
i 1<br />
−<br />
⎝<br />
t<br />
⎞<br />
−<br />
−<br />
R⋅C<br />
R⋅C<br />
( E −U<br />
) ⋅⎜<br />
e ⎟ ⇒ u = E + ( U − E)<br />
⋅ e<br />
⎠<br />
C<br />
i<br />
t
Transienter i RL-kretsar<br />
Uppladdningsfasen<br />
Om vi tänker oss en ny krets med en induktor istället för en kapacitans, i serie med ett motstånd<br />
R , en brytare och en strönkälla så får vi ånyo en krets med transienta egenskaper, liknande RCkretsen<br />
men tvärtom så att säga.<br />
Då brytaren sluts vid tiden t=0 ligger helt plötsligt, ett oändligt kort ögonblick, hela E över<br />
spolen. Därigenom kommer ögonblicket efteråt strömmen att omedelbart börja flöda in i spolen.<br />
Spolens egenskaper är då sådana att den motverkar strömändringar genom att det induceras en<br />
s.k. mot-emk i spolen. När kretsen nått sitt stabila tillstånd har dock strömmen planat ut<br />
(strömändringen =0) och därigenom är den motriktade spänningen över L = 0. (Detta förutsätter<br />
förvisso en ideal induktor) Strömmen genom L kan tecknas som:<br />
⎛<br />
E ⎜<br />
iL = ⋅ ⎜1<br />
− e<br />
R ⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
t<br />
−<br />
⎛ L ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ R ⎠<br />
Tidskonstanten för RL-kretsen återfinner vi även här i exponentuttrycket, och för RL-kretsen<br />
tecknas denna som:<br />
τ =<br />
L<br />
R<br />
Vidare kan spänningen över L tecknas som:<br />
u<br />
L<br />
= E ⋅ e<br />
t<br />
−<br />
⎛ L ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ R ⎠
Urladdningsfasen<br />
Om vi tittar på hur kondensatorn respektive spolen lagrar energi, finner vi att kondensatorn<br />
lagrar sin energi i form av ett elektrostatiskt fält, medan spolen lagrar energin i ett magnetfält<br />
skapat av strömmen genom spolen. Detta ger en del intressanta konsekvenser. Eftersom energin i<br />
spolen är beroende av strömflödet genom densamma, kommer den att avge denna energi om<br />
strömmen plötsligt avbryts. En presumptivt oändligt snabb brytning av strömmen skulle sålunda<br />
ge upphov till en oändlig potential (mot-emk:n) över spolen.<br />
u L<br />
= L ⋅<br />
di<br />
dt<br />
I praktiken uppnår vi inte det oändliga, men med ett snabbt avbrott av strömmen genom en<br />
spole kan vi få en mycket hög spänning över den, stark nog att skapa en gnista, och skada<br />
komponenter som är känsliga för höga spänningar. Tändspolen i en bil är ett exempel på detta<br />
fenomen.<br />
Om vi vill koppla upp en krets för att mäta urladdningsfasen hos en spole är det alltså en fördel<br />
att koppla den på ett annorlunda sätt för att undvika den plötsliga strömförändringen och<br />
åtföljande spänningstopp.<br />
När då brytaren öppnas kan vi uttrycka det resulterande urladdningsförloppet:<br />
i<br />
L<br />
= I<br />
0<br />
⋅ e<br />
t<br />
−<br />
τ '<br />
där<br />
Och vad gäller spänningen sker följande:<br />
u<br />
u<br />
L<br />
L<br />
= u<br />
R1<br />
+ u<br />
R2<br />
= i<br />
⎛ R ⎞ 2<br />
= E ⋅ ⎜<br />
⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ R1<br />
⎠<br />
L<br />
I<br />
⋅ R + i ⋅ R = i<br />
1<br />
L<br />
2<br />
0<br />
=<br />
E<br />
R<br />
L<br />
τ '=<br />
R + R<br />
L<br />
⋅<br />
1<br />
1<br />
2<br />
( R + R ) = ⋅ ( R + R )<br />
1<br />
2<br />
E<br />
R<br />
1<br />
1<br />
2<br />
⎛ R<br />
= E ⋅ ⎜<br />
⎝ R<br />
1<br />
1<br />
R ⎞ 2<br />
+ ⎟<br />
R1<br />
⎠<br />
Och detta innebär att spänningen över L blir större än E relativt faktorn R 2 genom R 1.<br />
När brytaren sluts kommer spolen att polvända till en spänning enligt ovan.
Impedans<br />
Eftersom vi nu konstaterat att vi får komplexa storheter i ekvationerna när vi räknar på dessa, så<br />
använder vi vanlig vektormatematik för att räkna ut spänningar och strömmar när vi kombinerar<br />
de olika elementen.<br />
Kretselement med komplexa storheter innebär även att deras impedans blir komplex. Med<br />
impedans menar vi kvoten û/î genom kretselementet. Impedansen benämns med Z och dess<br />
belopp Z uttrycks i Ohm, dess argument (vinkeln φ) uttrycks i grader eller radianer.<br />
Impedansen räknas också vektoriellt och<br />
analogt med spänningarna. Som exempel kan vi<br />
ta vidstående krets med en resistans och en<br />
spole i serie.<br />
Då får vi ett visardiagram enligt följande:<br />
Pythagoras sats ger:<br />
Vi bildar kvoten:<br />
2<br />
( )<br />
2<br />
2 2 2<br />
( î ⋅ R)<br />
+ ( î ⋅ω<br />
⋅ L)<br />
= î ⋅ R + ( L)<br />
2<br />
û ⋅<br />
û<br />
î<br />
= ω<br />
2<br />
= Z = R + ω<br />
( ) 2<br />
⋅ L<br />
î ⋅ω<br />
⋅ L ω ⋅ L<br />
tan φ = =<br />
î ⋅ R R<br />
Om vi sedan ritar om beräkningstriangeln, och byter ut û mot î ⋅ Z så får vi följande figur:
Och om vi sedan dividerar alla sidorna med î övergår spänningstriangeln i en likformig triangel,<br />
där sidorna har dimensionen Ohm. Denna triangel kallas Impedanstriangeln och ser ut enligt<br />
följande:<br />
Gör vi motsvarande sak fast med en resistans i serie med en kondensator får vi en liknande, fast<br />
inverterad, triangel. Kvoten û/i kvarstår, och får då formeln:<br />
û<br />
î<br />
=<br />
Z<br />
=<br />
2 ⎛ 1 ⎞<br />
R + ⎜ ⎟⎠<br />
⎝ ω ⋅C<br />
2<br />
Rent generellt kan vi säga att beloppet av den komplexa storheten impedans |Z| fås enligt:<br />
û<br />
î<br />
2 2<br />
= Z = R + X där X står för reaktansen i allmänhet.<br />
Vid rent resistiv krets (ωL = 0) blir Z = R och φ = 0°<br />
Vid rent induktiv krets (R = 0) blir Z = ω ⋅ L och φ = 90°<br />
Vid rent kapacitiv krets (R=0) blir<br />
1<br />
Z = och φ = −90°<br />
ω ⋅C<br />
Genom att betrakta de komplexa storheterna grafiskt och geometriskt på det hör förevisade sättet<br />
kan man relativt snabbt förstå tingens ordning. Ett elegantare sätt att lösa problemen är förstås<br />
det rent matematiska, den s.k. jω-metoden, där vi uttrycker allt den på rektangulära formen a+jb.