kompendium
kompendium
kompendium
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR<br />
10.1 Den enkla harmoniska oscillatorn.<br />
Ett föremål med massan m, som hängs upp i en lätt fjäder, får svänga kring sitt jämviktsläge.<br />
Under svängningen påverkas föremålet av en kraft från fjädern. Om kraften är riktad mot<br />
jämviktsläget och om dess storlek är proportionell mot fjäderns förlängning x (=avståndet till<br />
jämviktsläget) dvs kraften skrivas<br />
F = -kx<br />
sägs svängningen vara harmonisk. Proportionalitetskonstanten k kallas fjäderkonstant.<br />
Enheten för k är l N/m.<br />
En enkel harmonisk svängning innebär en variation mellan två ytterlighetsvärden som inte<br />
förändras i tiden. Det svängande systemets energi förändras heller inte. I verkliga mekaniska<br />
system förekommer alltid friktionskrafter som medför att systemets energi minskar med tiden.<br />
Man talar då om dämpade svängningar. Om någon yttre drivkraft periodiskt tillför energi till<br />
systemet (t.ex. gungande barn som får en knuff med jämna mellanrum) talar man om tvungna<br />
svängningar.<br />
Från gymnasiet vet vi att en harmonisk svängning kan beskrivas med en linjär projektion av<br />
en cirkulär rörelse med konstant vinkelhastighet hos en visare, vars längd representerar<br />
svängningens maximala avvikelse från jämviktsläget, amplituden A.<br />
Tidsberoendet för avvikelsen från jämviktsläget, elongationen fås som lösning till en<br />
differentialekvation.<br />
Differentialekvationen erhålles ur nedanstående två samband:<br />
F = "k # x<br />
vilket är ett uttryck för att kraften alltid är riktad mot jämviktsläget (se figurer ovan och<br />
nedan). Dessutom ger kraftlagen:<br />
!<br />
!<br />
F = m " a = m " d 2 x<br />
dt 2<br />
95
!<br />
!<br />
!<br />
De båda sambanden ger:<br />
d 2 x k<br />
+ " x = 0<br />
2<br />
dt m<br />
Denna ekvation satisfieras av olika uttryck t.ex.<br />
x = x(t) = A1 cos"t + A2 sin"t<br />
eller<br />
! x = x(t) = A3 cos("t +#)<br />
k<br />
där A1, A2, A3 och / är konstanter och där " =<br />
!<br />
m<br />
Säg att man ha en beskrivning ! av en svängning där man börjar räkna tid just då massan<br />
passerar jämviktstillståndet och tex är på väg i positiv riktning. I jämvikt måste man kräva att<br />
x = 0 då t = 0. Insättning i de båda ! uttrycken ger<br />
0 = Al + 0, d.v.s. Al = 0.<br />
0 = A3 cos/ d.v.s. " =<br />
!<br />
#<br />
(eller någon annan udda multipel<br />
2<br />
"<br />
av ). Med det angivna s.k. randvillkoret fås dels x = A2 sin"t och dels att<br />
2<br />
x = A3 cos("t +<br />
!<br />
#<br />
2 ) = A3 sin"t . De båda allmänna uttrycken övergår båda i formen<br />
x = Asin"t då randvillkoret tillämpas. Det är då tydligt att A = A2 = A3 är svängningens<br />
amplitud.<br />
2"<br />
Sinusuttryckets värde vid en viss tidpunkt upprepas efter tiden<br />
# . Denna tid är<br />
svängningens period, T.<br />
T = 2"<br />
# = 2" m<br />
k<br />
!<br />
96<br />
!
!<br />
!<br />
" =<br />
f = 1<br />
T<br />
k<br />
m<br />
kallas vinkelfrekvensen. Enhet 1 rad/s<br />
= 1<br />
2" #<br />
k<br />
m kallas svängningens frekvens. Enhet 1 s-1 = 1 Hz<br />
10.2 Harmoniska oscillatorns energi.<br />
Energin hos en harmonisk svängning växlar periodiskt mellan enbart potentiell energi i<br />
vändlägena och enbart kinetisk energi vid passage av jämviktsläget. I lägena däremellan är<br />
energin både kinetisk och potentiell.<br />
Om x = x (t) = A sin )t får man hastigheten<br />
vx = A" cos"t<br />
vars maximala värde är A), som antas då partikeln passerar jämviktsläget.<br />
På samma sätt fås<br />
ax = "A #$<br />
!<br />
!<br />
2 sin$t = "A #$ # x<br />
vars maximala värde är "A #$<br />
!<br />
2 och som antas i vändlägena. Kraften på partikeln är då störst!<br />
Kinetiska energin vid en viss elongation är då<br />
Ek =<br />
!<br />
1<br />
2 mv 2 1<br />
x =<br />
2 m " A2 # 2 cos 2 #t<br />
medan den potentiella energin är<br />
Ep =<br />
!<br />
1<br />
2 kx2 = 1<br />
2 k " A2 sin 2 #t<br />
Den totala energin<br />
E = Ek + Ep =<br />
!<br />
1<br />
2 A2 (m" 2 cos 2 "t + k sin 2 "t) = 1<br />
2 kA2<br />
Den totala energin är således konstant och proportionell mot amplitudens kvadrat.<br />
Obs! Dessa samband är naturligtvis också giltiga om fjädern hängs vertikalt och vikten<br />
oscillerar upp och ner.<br />
Obs! Om fjädern massa inte är försumbar kan man visa att ovanstående samband är giltiga om<br />
massan m i uttrycken ersätts med en effektiv massa meff = m + 1<br />
3 m fjäder , där m är viktens<br />
massa.<br />
Exempel:<br />
En vikt med massan 0,2 kg är fäst i fjäder med<br />
fjäderkonstanten 5 N/m och kan röra sig<br />
horisontellt på ett friktionsfritt underlag, se<br />
vidstående figur. Fjädern dras ut och släpps vid<br />
t = 0. Vid t = 0,3 s har vikten hastigheten – 40<br />
cm/s och befinner i en punkt med koordinaten x<br />
= - 6 cm.<br />
a) Bestäm på formen x = A sin ()t + /) den<br />
funktion som beskriver viktens rörelse.<br />
b) När är viktens hastighet störst första gången?<br />
c) Hur stor är accelerationen vid t = 1,0 s ?<br />
d) Hur stor är den totalt upplagrade energin?<br />
!<br />
97
Lösning<br />
a) Vinkelfrekvensen " =<br />
k<br />
m<br />
Med x = A sin ()t + /) får vi att hastigheten kan uttryckas v = = A) cos ()t + /)<br />
dvs<br />
!<br />
- 0,06 = A sin (1,5 + /)<br />
- 0,4 = A•5 cos (1,5 + /)<br />
(1)<br />
(2)<br />
=<br />
5<br />
= 5 rad/s<br />
0,2<br />
dx<br />
dt<br />
Dividera (1) med (2)<br />
"0,06 1<br />
= tan(1,5 +#)<br />
"0,4 5<br />
!<br />
Vilket ger 1) 1,5 + / = arctan 0,75 = 36,9° = 0,644 rad $ / = - 0,856 rad<br />
2) 1,5 + / = 36,9° + 180° = 3,785 rad $ / = 2,285 rad<br />
Insättning av / = - 0,856 rad i (1) ger A = - 0,1 men A alltid positivt dvs vi måste förkasta<br />
!<br />
detta värde på /<br />
Insättning av / = 2,285 rad i (1) ger A = 0,1<br />
Rörelsen beskrivs av x = 0,1 sin (5t + 2,285) och v = 0,5 cos (5t + 2,285)<br />
b) Hastighetens största värde är 0,5 m/s och inträffar vid passage av jämviktsläget. Första<br />
gången detta passeras är den på väg i negativ riktning varför hastighetsvärdet är – 0,5. Således<br />
skall gälla - 0,5 = 0,5 cos (5t + 2,285) vilket ger t = 0,17 s<br />
c) För accelerationen gäller<br />
a =<br />
Vinkelfrekvensen 5 rad/s ger att perioden är 1,26 s. Varje period består ju av 4 kvartsperiod<br />
vardera om 0,32 s. Vid t = 1,0 s befinner sig vikten i sista kvartsperioden och på väg att<br />
bromsas in till utgångspunkten. Accelerationen är då riktad i negativ led. Den maximala<br />
accelerationen antas i vändlägena och i startpunkten är den – 2,5 m/s 2 dv<br />
dt<br />
!<br />
!<br />
= "A#2 (sin#t +$) = "0,1% 5 2 %sin(5 %1,0 + 2,285) = "2,11 m/s 2<br />
d) Den i fjädern upplagrade energin är<br />
Etot = 1<br />
2 kA2 = 1<br />
2 mv 2<br />
max = 25 mJ<br />
10.3 Matematisk pendel.<br />
Ett system som kan utföra harmoniska svängningar är den<br />
matematiska pendeln som består ! av en punktformig massa m<br />
som hänger i en viktlös tråd med längden d och svänger kring<br />
sitt jämviktsläge.<br />
För svängningar med liten utslagsvinkel är svängningstiden<br />
T = 2" d<br />
g<br />
Två olika härledningar av uttrycket för svängningstiden:<br />
l) Utnyttjande av ! sambandet mellan kraftmoment och ändring per tidsenhet av<br />
rörelsemängdsmomentet: M = dL<br />
dt<br />
!<br />
98
!<br />
!<br />
!<br />
De krafter som verkar på m är dels snörspänningen, dels<br />
tyngdkraften. Med upphängningspunkten som momentpunkt<br />
är det endast tyngdkraftens tangentiella komposant som<br />
utövar något moment. Detta strävar efter att återföra<br />
partikeln till jämviktsläget d.v.s. det verkar i negativ %-led:<br />
M = "(mgsin#)$ d<br />
L = m $ v t $ d = m $ ˙<br />
# d $ d = m $ d 2 $ ˙<br />
#<br />
vt är partikelns tangentialfart. Deriveras det senare uttrycket<br />
erhålls<br />
dL<br />
dt = md 2 " ˙ # ˙<br />
Man får följande differentialekvation:<br />
"mgd #sin$ = md<br />
!<br />
!<br />
2˙ $ ˙<br />
som efter omskrivning ger:<br />
d 2 " g<br />
+ # sin" = 0 (1)<br />
2<br />
dt d<br />
2) Utnyttjande av energiprincipen: Minskning i potentiell<br />
energi (vändläget väljs som ! referens) är lika med<br />
ökningen i kinetisk energi:<br />
mgd(1" cos# max ) " mgd(1" cos#) = 1<br />
2 mv 2 1<br />
t =<br />
2 m(d$)2<br />
Derivering med avseende på tiden ger<br />
"mgd ˙ # sin# = md 2 $ $ ˙ .<br />
Detta är (som sig bör) samma differentialekvation som (1)<br />
För små vinklar gäller att sin" # " (om % uttrycks i radianer) och differentialekvationen får<br />
samma form som den som gällde den enkla harmoniska oscillatorn. Jämförelse ger en lösning<br />
!<br />
" = g<br />
d<br />
" ="(t) =" max sin#t med<br />
och perioden T = 2# d<br />
g<br />
!<br />
Vad menas med en liten vinkel? Exempel: % = 1° motsvarar % = 0,0175 rad, sin l° = 0,0175<br />
Den procentuella skillnaden mellan % och sin %<br />
!<br />
" # sin"<br />
sin" = 5 $10#5 = 0,005%<br />
För % = 5° är motsvarande procentuella skillnad 12,7%.<br />
Uttrycket för pendelns svängningstid är således approximativt men är användbart om<br />
pendelutslaget endast är<br />
!<br />
någon grad, % < 5°.<br />
99
10.4 Fysisk pendel.<br />
Den matematiska pendelns massa är<br />
koncentrerad till ett mycket litet område ( till en<br />
punkt). En godtyckligt formad fast kropp, rörlig<br />
kring en horisontell axel utgör en fysisk pendel.<br />
En beskrivning av rörelsen hos denna pendel kan<br />
erhållas utgående från uttrycket M = I "# .<br />
Avståndet mellan vridningsaxeln, som går<br />
genom O, och pendelns tyngdpunkt kallas d.<br />
!<br />
Antag att pendeln i ett visst ögonblick rör sig så<br />
att % i figuren ökar. Tyngdkraftens moment gör<br />
att vinkelhastigheten och därmed<br />
rörelsemängdsmomentet minskar.<br />
Kraftmomentet:<br />
M = "mg # d sin$<br />
Steiners sats ger tröghetsmomentet med<br />
avseende på den aktuella rotationsaxeln: I = ITP + md<br />
!<br />
2 . Dessutom är " = ˙ # ˙<br />
Sammanställning ger:<br />
"mgd sin# = (ITp + md<br />
!<br />
!<br />
2 ) ˙ # ˙<br />
Efter omskrivning<br />
d 2 " mgd<br />
+ sin" = 0<br />
2 2<br />
dt ITp + md<br />
För små vinklar är den fysiska pendelns period<br />
!<br />
T = 2" I Tp + md 2<br />
10.5 Torsionspendeln.<br />
En massiv skiva hängande i en tråd kan utföra s.k. torsionssvängningar runt sin vertikala<br />
symmetriaxel. Systemet kallas ! torsionspendel. Det kraftmoment med vilket tråden påverkar<br />
skivan är proportionellt mot den vinkel skivan vridits från sitt jämviktsläge. Momentet strävar<br />
efter att återföra skivan till jämviktsläget: M = "k #$. Proportionalitetskonstanten k är beroende<br />
av trådmaterialets egenskaper. Sambandet M = I "# = I " ˙ $ ˙ ger ekvationen<br />
!<br />
d 2 " k<br />
+ 2<br />
dt I<br />
#" = 0<br />
!<br />
!<br />
100<br />
mgd<br />
Torsionspendelns ! period: T = 2" I<br />
, där I är skivans<br />
k<br />
tröghetsmoment m.a.p. den vertikala axeln.
!<br />
!<br />
10.6 Dämpade svängningar.<br />
När den svängande vikten rör sig i ett visköst medium, tex i en vätska, så utsätts vikten<br />
förutom av fjäderkraften av en bromsande friktionskraft, f, som om hastigheten är låg är<br />
proportionell mot hastigheten dvs f = bv = b " dx<br />
. Denna kraft gör att svängningens amplitud<br />
dt<br />
minskar med tiden då mekanisk energi förs ur systemet av denna icke konservativa kraft.<br />
Kraftlagen ger: F = "kx " bv<br />
#<br />
Men<br />
!<br />
# F = m " a = m "<br />
!<br />
d 2 x<br />
dt<br />
Sammanställning efetr omskrivning ger då:<br />
d<br />
!<br />
2 x b dx k<br />
+ " + " x = 0<br />
2<br />
dt m dt m<br />
Man kan visa att denna andra ordningens differentialekvation har lösningen<br />
x = A " e<br />
!<br />
#$t " cos(% bt +&) (1)<br />
där<br />
" = b<br />
2m (2)<br />
och<br />
där som tidigare " =<br />
Exempel<br />
!<br />
k<br />
m<br />
!<br />
" b = " 1# $ %<br />
'<br />
& "<br />
(<br />
2<br />
*<br />
)<br />
En vikt ! med massan 50 g är upphängd i en fjäder med fjäderkonstanten. Vikten är nedsänkt i<br />
ett kärl innehållande en viskös vätska. Vikten dras ut 8 cm från jämviktsläget och släpps. Den<br />
friktionskraft, f, som vätskan skapar mot rörelsen kan skrivas f = 0,172v, där v är viktens<br />
aktuella hastighet. Beräkna viktens avstånd från jämviktsläget vid tidpunkterna t = T, 2T, 3T,<br />
4T och 5T, där T är svängningens period.<br />
Lösning<br />
Ur givna data bestäms<br />
" = 0,172<br />
2 # 0,05 =1,72 s-1 och<br />
2<br />
$ 1, 72'<br />
Sammantaget ger detta " b = 20 1# & ) =19,93 s<br />
% 20 (<br />
!<br />
!<br />
!<br />
-1 (0 ))<br />
Härur kan periodtiden bestämmas T =<br />
!<br />
2"<br />
=<br />
# b<br />
2"<br />
= 0,315 s<br />
19,93<br />
Faskonstanten bestäms på följande sätt. Antag att x-axeln är riktad uppåt. Då x = -0,08 vid<br />
t = 0 och vi får "0,08 = 0,08 #1# cos$ % $ = &<br />
Sammantaget ger (1) för t = T = 0,315 s<br />
x = 0,08 " e #1,72"0,315 " cos(19,93" 0,315 + $) = #0,0465 m = - 4,65 cm<br />
!<br />
101<br />
" =<br />
(3)<br />
20<br />
0,05<br />
= 20 s-1
!<br />
Pss för vi för övriga tider (se tabell nedan). I diagrammet nedan visas också grafen för denna<br />
dämpade svängning.<br />
x (cm) t<br />
-8,00 0<br />
-4,65 T<br />
-2,71 2T<br />
-1,58 3T<br />
-0.92 4T<br />
-0,54 5T<br />
10.7 Tvungna svängningar.<br />
En dämpad svängning kan emellertid hållas i gång med hjälp av en yttre påverkan. Ett litet<br />
barn som gungar och inte lärt sig tekniken kan få hjälp att hålla “farten” genom att en<br />
utomstående i lämpliga ögonblick “knuffar” till gungan. Detta extra energitillskott måste<br />
kompensera energiförlusterna för att behålla amplituden. Ofta sker energitillförselngenom en<br />
kraft som varierar periodiskt och kan uttryckas<br />
F = F0 cos" yt<br />
där ) y är kraftens vinkelfrekvens<br />
denna tillkommande kraft gör att differentialekvationen får följande utseende:<br />
d<br />
!<br />
2 x b dx k F<br />
+ " + " x = 2<br />
dt m dt m m " cos# yt Lösningen till denna kan visas bli<br />
x = Ae cos(" et #$ e) (4)<br />
där<br />
och<br />
och där " =<br />
k<br />
m<br />
!<br />
!<br />
!<br />
A e =<br />
Ofta inför man ! Q-faktorn som<br />
b #$ e<br />
tan" e =<br />
m($ 2 2<br />
%$ e )<br />
F<br />
m 2 (" 2 2 2 2<br />
#" e )+ b $"e<br />
som tidigare är vinkelfrekvensen för den odämpade svängningen.<br />
!<br />
102<br />
(5)<br />
(6)<br />
Q = " # m<br />
b , varvid uttrycket för A e kan skrivas
!<br />
F<br />
Ae = m<br />
("<br />
!<br />
2 2 "<br />
#" e )+ 2 2<br />
$" e<br />
Q 2<br />
(7)<br />
Om detta tillämpas på föregående lösta exempel och inför en yttre kraft F som beskrivs av<br />
F = 0, 344 " cos# e " t<br />
erhålls för Q = 2,3 respetive 5,8 grafer som visas i<br />
vidstående diagram. Här kan då noteras att störst<br />
amplitud, Ae, erhålls då " e # " , dvs då energin<br />
matas in ungefär i takt med<br />
!<br />
det odämpade<br />
systemets vinkelfrekvens (egenfrekvens). Den<br />
vinkelfrekvens, " e , som ger störst amplitud kallas<br />
resonansfrekvensen,<br />
!<br />
" r , och den kan skrivas<br />
" r = " 2 # b2<br />
!<br />
2m<br />
!<br />
!<br />
(8)<br />
Om systemet är odämpad (b=0) blir således<br />
" r = " och ur (7) framgår att Ae " #.<br />
Skälet till detta är naturligtvis att då<br />
friktionsförluster saknas kommer den inmatade energin att lagras i systemet varvid<br />
amplituden ökar och ökar.<br />
!<br />
10.8 Övningsuppgifter<br />
1. Rörelsen hos en viss massa, friktionsfritt rörlig i änden av en spiralfjäder, beskrivs av<br />
x = 0,40 cos 2(0,35 t - 0,15) (m)<br />
Hur stor är svängningens a) amplitud? b) frekvens? c) period?<br />
2. En vikt som väger 0,5 kg utför en harmonisk svängningsrörelse med frekvensen 10 Hz<br />
och amplituden 10 cm. I ett visst ögonblick befinner sig vikten 5 cm från jämviktsläget.<br />
Beräkna värdet på följande storheter i detta ögonblick:<br />
a) accelerationen<br />
b) den resulterande kraft som verkar på vikten<br />
c) den potentiella energin<br />
d) den kinetiska energin<br />
3. Ett horisontellt bord svänger harmoniskt fram<br />
och tillbaka med amplituden 1,5 m och<br />
frekvensen 0,25 Hz. Vilken är den minsta<br />
statiska friktionskoefficient som krävs för att<br />
ett föremål placerat på bordet inte skall börja<br />
glida?<br />
4. En matematisk pendel är 60 cm och har massan 200 g. Pendeln lyfts så att den bildar 15°<br />
med lodlinjen och släpps därefter. Man startar tidtagning just då kulan släpps. Formulera<br />
ett uttryck för utslagsvinkeln, uttryckt i grader, som funktion av tiden.<br />
103
5. En vikt med massan 60 g hänger i vila i en fjäder vars fjäderkonstant är 50 N/m. Vikten<br />
dras ner 8,0 cm från sitt jämviktsläge och släpps. a) Ange en sinusfunktion som beskriver<br />
den uppkomna svängningen. b) Beräkna hur lång tid det tar för vikten att förflytta sig från<br />
startpunkten med x = - 8 cm till punkten med koordinaten x = 6 cm.<br />
6. Antag att det svängande systemet i föregående uppgift befann sig i punkten x = 4 cm och<br />
vikten var på väg ner vid t = 0. Bestäm fasvinkel och viktens acceleration vid t = 0.<br />
7. Vagn B (m B = 2,0 kg) är sammankopplad med låda A (m A<br />
= 1,0 kg) via en fjäder med fjäderkonstanten 20 N/m.<br />
Vilofriktionstalet mellan lådan och underlaget är 0,32.<br />
Vagnen ges en knuff åt höger. Hur stor får B:s<br />
begynnelsefart högst vara för att lådan inte skall börja<br />
glida?<br />
8. Beräkna svängningstiden för vidstående koppling. Vikten har<br />
massan m, fjädern har fjäderkonstanten k. Blocket och linorna<br />
har försumbar massa.<br />
9. Beräkna frekvensen hos en meterstav som svänger som en<br />
fysisk pendel om axeln går genom a) 90,0 cm-markeringen. b)<br />
50,5 cm-markeringen.<br />
10. En homogen cirkulär skiva med radien 30 cm kan<br />
rotera kring en axel genom en punkt P på skivans<br />
periferi. Axeln är vinkelrät mot skivans plan. Skivan<br />
släpps från vila i ett läge där diametern genom<br />
upphängningspunkten bildar vinkeln 45° med lodlinjen.<br />
Beräkna a) svängningstiden b) hastigheten hos skivans<br />
nedersta punkt A då skivan passerar det streckade<br />
jämviktsläget.<br />
11. En dämpad svängningsrörelse beskrivs av (1) s 10-7 med / = 0. Under den första<br />
fullständiga svängningen minskar amplituden med 5 %. Fjäderkonstanten är 20 N/m och<br />
massan 60 g.<br />
a) Hur stor blir proportionalitetstalet i uttrycket för friktionskraften om " b = "?<br />
b) Bestäm Q-faktorn<br />
c) Hur stor måste kraftens amplitud vara om den skall åstadkomma en<br />
svängningsamplitud på 10 cm vid resonans?<br />
!<br />
104
!<br />
!<br />
!<br />
!<br />
!<br />
Svar:<br />
1) a) 0.40 m. b) 0.11 Hz. c) 9.0 s.<br />
2) a) -197 m/s 2 b) -98,7 N c) 2,47 J d) 7,40 J<br />
3) µ > 0, 38<br />
4) " ="(t) =15°#sin(4,04 # t ± $ /2)<br />
5) a) x = 0,08sin(28,87 "t # b) s<br />
$<br />
2 ) 8,38 "10 #2<br />
6) " = 2, 62 rad, a = #28, 5 ms -2<br />
7) 0,50 m/s<br />
!<br />
8) T = "<br />
9) a) 0,64 Hz, b) 0,12 Hz.<br />
10) a) 0,21 s b) 2,1 m/s<br />
11) Svar: a) b) 61,2 c) 32,7 mN<br />
m<br />
k<br />
1,79 "10 #2 kgs #1<br />
!<br />
105