Uppsala Universitet Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Uppsala Universitet
Matematiska Institutionen
Bo Styf
Kryssproblem (redovisningsuppgifter).
Flervariabelanalys, 5 hp
STS, X
2010-03-19
Till var och en av de ˚atta lektionerna hör ett par problem, som kallas för redovisningsuppgifter
eller kryssproblem.
I början av varje lektion cirkulerar en lista p˚a vilken varje student kan kryssa för de problem
som hon/han är beredd att lösa framme vid tavlan.
Därefter tar läraren, med slumpens hjälp, ut en student som f˚ar presentera sin lösning framme
vid tavlan. Under lösningsprocessen skall hela klassen, framför allt de som kryssat problemet,
vara aktiva (ställa fr˚agor och komma med förslag till ändringar/tillägg). Efter en stund avbryter
läraren och proceduren upprepas för nästa problem.
Observera att alla som har satt ett kryss vid en uppgift f˚ar tillgodoräkna sig uppgiften. Av dig
som löser ett problem vid tavlan krävs inte att lösningen är fullständig eller korrekt. Det enda
som krävs är att det m˚aste vara uppenbart att du har förberett sig väl. Om s˚a inte är fallet
har du nog chansat p˚a att slippa bli utvald att lösa uppgiften. Konsekvensen blir att du inte f˚ar
tillgodoräkna dig n˚agot av de problem som du kryssat under den aktuella lektionen eller tidigare
lektioner. Du blir allts˚a helt nollställd!
Man kan givetvis förbereda sig individuellt för dessa presentationer, men bäst är kanske att
arbeta i en grupp med c:a tre medlemmar. Dels blir d˚a arbetsbelastningen för var och en
mindre, vad gäller problemlösningen. Dels kan man hjälpa till med att förbättra varandras
presentationer.
För redovisningsuppgifterna belönas du med maximalt 2 bonuspoäng: Om du kryssat minst
en uppgift p˚a varje lektion f˚ar du en bonuspoäng. Om du kryssat minst 75% av redovisningsuppgifterna
(till exempel 12 av 16 om det är tv˚a uppgifter per lektion) f˚ar du en bonuspoäng.
Om du är fr˚anvarande fr˚an en lektion p˚a grund av sjukdom kommer du, efter
uppvisande av sjukintyg fr˚an läkare, att f˚a tillfälle att senare redovisa uppgifterna.
Om du är fr˚anvarande fr˚an en lektion av annat skäl kan du be en kurskamrat (ej
läraren!) att kryssa de problem du förberett, s˚a att du deltar i lottningen. Om du
r˚akar bli utlottad s˚a f˚ar du redovisa senare. Observera att du d˚a inte kan göra om
detta, d.v.s du f˚ar inte en g˚ang till l˚ata n˚agon kryssa i ditt ställe.
Bonuspoängen adderas till skrivningspoängen vid ordinarie tentamen i maj 2010 men detta
sker ej vid andra tentamenstillfällen.
1

Uppgifter till lektion nr 1:
1. Grafen till ekvationen 4x 2 + y 2 = 4 utgör en ellips i planet. En likbent triangel har ett
hörn i origo och de b˚ada andra hörnen p˚a ellipsen. Bestäm maximala arean av en s˚adan
triangel.
2. Beräkna integralerna
(a) ln x
√x dx,
(b)
3
0
2
√ x
2(x + 1) dx.

Uppgifter till lektion nr 2:
1. L˚at L vara skärningslinjen mellan planen 2x−y −z = 1 och y −3z = 1. L˚at Γ vara kurvan
med parametriseringen
r(t) = (3 − t 2 , t 2 + 3t, t 2 + 4t + 3), −∞ < t < ∞.
Visa att kurvorna skär varandra och bestäm, i varje förekommande fall, skärningsvinkeln.
Avgör om Γ är en plan kurva (allts˚a om det finns ett plan som Γ ligger i).
2. L˚at Γ vara (den slutna) skärningskurvan mellan paraboloiden z = x 2 + 5y 2 och planet
2y − z + 3 = 0. L˚at Γp beteckna projektionen av Γ p˚a xy-planet. Parametrisera Γ och Γp.
Bestäm omkretsen av Γ. Visa att Γ är en cirkel och bestäm dess radie och medelpunkt.
3

Uppgifter till lektion nr 3:
1. (a) Bestäm alla punkter P0 = (a, b, c) p˚a paraboloiden
z = 3 + x2 + y2 ,
2
som är s˚adana att tangentplanet, till paraboloiden, i P0 g˚ar genom punkten (1, 0, 0).
Visa att mängden av alla s˚adana punkter P0 bildar en ellips E och bestäm en ekvation
för planet som E ligger i.
(b) (extrauppgift, som ej behöver redovisas) Bestäm E:s halvaxlar och area. Om alla
räta linjestycken, fr˚an en punkt p˚a E till punkten (1, 0, 0), dras ut s˚a bildas en (sned,
elliptisk) kon. Bestäm volymen av denna kon.
2. (a) Beräkna, om det existerar, gränsvärdet
x
lim
(x,y)→(0,0)
2y + xy2 x2 + y2 (b) Beräkna alla första- och andraderivator av funktionen
z = f(x, y) =
y
x 2 + y 2
Avgör även om funktionen är harmonisk, allts˚a om den satisfierar differentialekvationen
zxx + zyy = 0.
4
.

Uppgifter till lektion nr 4:
1. Lös den partiella differentialekvationen
∂2z ∂x2 − y2 ∂2z ∂y
∂z
− y = 4y2
2 ∂y
genom att transformera den till variablerna u = y e x , v = y e −x .
2. För en C 1 -funktion f(x, y) gäller att f(1, 1) = 1, Duf(1, 1) = 3 √ 5 och Dvf(1, 1) = −3 √ 2,
där u = 1
√ (−2, 1) och v =
5 1
√ (1, 1).
2
(a) I vilken riktning och med vilken hastighet avtar f(x, y) snabbast i punkten (1, 1)?
(b) Bestäm ekvationer för tangent- och normallinjerna till niv˚akurvan f(x, y) = 1 i punkten
(1, 1).
(c) Bestäm en ekvation för tangentplanet och en ekvation för normallinjen till ytan z =
f(x, y) i punkten (1, 1, 1).
(d) Bestäm alla enhetsvektorer w s˚adana att Dwf(1, 1) = −5. Bestäm för varje s˚adan
vektor även vinkeln mellan w och gradientvektorn till f i punkten (1, 1).
(e) Ange minst tre olika polynom i x, y, av grad högst tv˚a, som har egenskaperna hos f
ovan. Det betyder att f ska ha formen
där c, a, b, α, β, γ är konstanter.
f(x, y) = c + ax + by + αx 2 + βxy + γy 2 ,
5

Uppgifter till lektion nr 5:
1. (a) Visa att ekvationen
e y − x + tan(x + y) = 1
definierar y som en oändligt deriverbar funktion y = y(x) i en omgivning av (0, 0).
Beräkna även y(0), y ′ (0), y ′′ (0) och y ′′′ (0). Vi p˚aminner här om att
(b) Visa att ekvationen
D tan x = 1 + tan 2 x.
2x − y + z − e 2x−y−z = 1,
för (x, y, z) i en omgivning av (1, 1, 1), definierar z som en oändligt differentierbar
funktion, z = z(x, y), av (x, y). Avgör även om (1, 1) är en stationär punkt för
z(x, y).
(c) Visa att (det olinjära) ekvationssystemet
2 = xy + z
3 = x + y + e z2 −x
för (x, y, z) i en omgivning av (1, 1, 1), definierar y, z som oändligt deriverbara funktioner,
y = y(x), z = z(x), av x. Bestäm även en tangentvektor till kurvan
i den punkt där x = 1.
2. L˚at f(x, y) = x 3 + 4x 2 − 3x − 2xy + y 2 − 6y.
r(x) = (x, y(x), z(x))
(a) Bestäm Taylorpolynomet av ordning tv˚a (i variablerna h = x−a, k = y−b) i punkten
(a, b), d˚a (a, b) = (0, 0) och d˚a (a, b) = (−1, 1).
(b) Bestäm alla stationära punkter till f(x, y) och avgör deras karaktär (allts˚a om det är
fr˚agan om en lokal max-, min- eller sadelpunkt).
6

Uppgifter till lektion nr 6:
1. Bestäm största och minsta värdet av funktionen
d˚a x 2 − xy + y 2 ≤ 3.
f(x, y) = x3
3
+ y3
3
− x + y
4
2. Bestäm, om de existerar, maximum och minimum av funktionen f(x, y, z) = 4xy − z 2 p˚a
skärningscirkeln mellan sfären x 2 + y 2 + z 2 = 1 och planet x + y + z = 0.
7

Uppgifter till lektion nr 7:
1. Beräkna integralen
I =
D
|1 − xy| dx dy
där D är kvadraten med hörn i punkterna (0, 0), (2, 0), (2, 2) och (0, 2).
Ledning: Dela upp D i tv˚a omr˚aden, där funktionen 1 − xy är positiv respektive negativ.
2. (a) Visa att cirkeln, med centrum i (1, 0) och radien 1, i polära koordinater har ekvationen
r = 2 cos θ, − π π
2 ≤ θ ≤ 2 .
(b) Beräkna, genom överg˚ang till polära koordinater, x = r cos θ, y = r sin θ, integralen
I =
D
x
dx dy,
x2 + y2 där D är cirkelskivan med centrum i (1, 0) och radien 1.
8

Uppgifter till lektion nr 8:
1. Beräkna volymen av den ändliga kropp K som begränsas av ytorna z = 4x 2 + y 2 och
z = 4 − 3y 2 .
2. Beräkna
I =
D
(3x + y) 10 dx dy
där D är fyrhörningen med hörn i punkterna (0, 0), (2, −1), (1, 2) och (−1, 3).
Ledning: Inför nya variabler u, v s˚adana att u = 3x + y och D avbildas p˚a en axelparallell
rektangel.
9