MMV211 Strömningslära LABORATION 1 Omströmmade kroppar

Institutionen för Energivetenskaper, LTH
MMV211
Strömningslära
LABORATION 1
Omströmmade
kroppar
MÅLSÄTTNING
(1) Förstå hur kroppsform och ytråhet påverkar krafterna på en omströmmad kropp
(2) Förstå hur modellförsök kan användas för att bestämma krafterna på en verklig kropp
(3) Förstå vad som orsakar avlösning
(4) Bestämma och analysera tryckfördelning runt en cylinder och längs en vingprofil
SAMMANFATTNING
Kraften på en omströmmad tvådimensionell kropp, t. ex. en vingprofil, kan delas upp i ett s.k.
strömningsmotstånd, verkande i strömningsriktningen, och en lyftkraft, vinkelrätt mot
strömningsriktningen. Till sitt ursprung i lokala krafter verkande mot kroppens yta kan
strömningsmotståndet delas upp i två komponenter: formmotståndet, tryckkrafternas bidrag,
och friktionsmotståndet, de viskösa krafternas bidrag. Av central betydelse vid modellförsök
är Reynolds likformighetslag som säger att inkompressibel strömning kring geometriskt
likformiga kroppar, utan inverkan av fria vätskeytor, blir likformig om Reynolds tal är lika.
I laborationen ingår tre försök.
Försök 1: Mätning av strömningsmotstånd
Bestäm strömningsmotståndet för några olika rotationssymmetriska kroppar samt två cylindrar
med cirkulärt tvärsnitt (olika diametrar).
Försök 2: Kraftmätning på vingprofil
Bestäm strömningsmotstånd och lyftkraft för en vingprofil vid olika anfallsvinklar.
Försök 3: Tryckmätning
Mät hur det statiska trycket varierar dels runt en cylinder och dels längs en vingprofil. Bestäm
även cylinderns formmotstånd.
FÖRBEREDELSER
Läs detta PM samt Ch. 7.1, 7.5, 7.6 i kursboken, F. M. White, Fluid Mechanics 1 .
Laborationen inleds med viss kunskapskontroll.
REDOVISNING
Varje laborant skall redovisa mätningar och resultat i ett laborationsprotokoll som delas ut vid
laborationstillfället. Redovisning sker i direkt anslutning till laborationen.
Laborationstiden är ca. 4 timmar, inklusive redovisning.
1 Vidare sidhänvisningar är till 7th edition in SI Units, 2011.

2
Krafter på en omströmmad kropp
En fast kropp som omströmmas av ett visköst medium utsätts för en kraft på grund av
strömningen. Denna kraft är resultanten till de tryck- och friktionskrafter som verkar på
kroppsytan. 2 Betrakta en vingformad kropp med stor bredd, se Fig. 1. Strömningen kring
vingprofilen kan betraktas som tvådimensionell.
Figur 1: Krafter på en omströmmad tvådimensionell kropp
Kraften F kan delas upp i två komposanter, strömningsmotståndet D, som verkar i
strömningsriktningen och lyftkraften L, som verkar vinkelrätt strömningsriktningen.
Strömningsmotståndet brukar i sin tur delas upp i ett formmotstånd och ett friktionsmotstånd.
Formmotståndet är tryckkrafternas bidrag (statiskt tryck p) och friktionsmotståndet är
friktionskrafternas, eller de viskösa krafternas bidrag (väggskjuvspänning τ).
Beloppet av F brukar anges i form av en dimensionslös koefficient C definierad enligt
2
V
F C A
(1)
2
V - anströmningshastighet
A - karakteristisk area
- fluidens densitet
För geometriskt likformiga kroppar gäller Reynolds likformighetslag:
Strömningen kring geometriskt likformiga kroppar blir likformig om Reynolds tal är
lika. Förutsättningar: inkompressibel strömning utan inverkan av fria vätskeytor.
Reynolds tal, Re, definieras enligt
V V
Re = (2)
V - karakteristisk hastighet, t.ex. enligt ovan
- karakteristisk längd
- dynamisk viskositet, / - kinematisk viskositet
2 Viskösa ytnormalspänningar försummas.

3
Reynolds likformighetslag medför bland annat att den dimensionslösa koefficienten C under
angivna förutsättningar och för en viss geometri endast blir en funktion av Re (och
dimensionslös tid, t.ex. tV / ). Om F står för tidsmedelvärderad kraft gäller således
C f (Re)
(3)
Praktiskt innebär Reynolds likformighetslag att då man vill bestämma kraften på en kropp
experimentellt, är det inte tvunget att välja samma kroppsstorlek, hastighet, medium, tryck,
temperatur, m.m. som i verkligheten. Om bara Re är lika, eller eventuellt ligger i ett område
där C är oberoende av Re, är det ändå möjligt att skala (överföra resultat från) modellförsök
till verkliga förhållanden. Det är därför möjligt att använda resultat som erhållits vid t.ex.
luftströmning även på vattenströmning, om bara Re är lika.
Strömningsmotstånd
Uppdelning i formmotstånd
D
p
och friktionsmotstånd
D
f
:
D D p D f
(4)
Om är vinkeln mellan normalen n till ytelementet dA och den ostörda strömningsriktningen
(se Fig. 1), kan formmotståndet D allmänt skrivas 3
p
D
p
A
p dA cos
A
( p gz)
dA cos
A
V p *( x*,
y*,
z*,Re)
*
2
2
dA*cos
2
2
V p *( x*,
y*,
z*,Re)
dA*cos
= V funkt (Re)
*
A
2
2
Storheter markerade med * är dimensionslösa, ex. x x / . Om kroppens projicerade yta
2
vinkelrätt mot strömningsriktningen är A så är A proportionell mot . (Man kan naturligtvis
välja andra ytor, som bestäms av kroppens dimensioner.) Vi skriver därför
*
D
p
2
V
CD,
p A , där C D , p enbart beror av Re.
2
På samma sätt fås det totala friktionsmotståndet
D f
dAsin
V t
V
dA sin
n
2
V
*
t
n
dA
*
sin
3 Höjdtryckstermen g z integrerat över en sluten yta är noll.

4
Alltså
Med
V funkt (Re) V
2
2
2
V
funkt (Re)
V
D f CD,
f A , där C D , f enbart beror av Re.
2
C C enligt ekv. (4) fås för det totala strömningsmotståndet
C D D, f D,
p
2
V
D CD
A , där C D enbart beror av Re.
2
C D kallas för motståndskoefficient.
Lyftkraft
På samma sätt som ovan visas att
2
V
L CL
A , där C L (lyftkraftskoefficient) enbart beror av Re.
2
Med hjälp av ovanstående formler kan mätning av krafter i ett fall lätt omräknas till ett annat,
förutsatt att kropparna (geometrin, inklusive t.ex. anfallsvinkel i Fig. 1) är likformiga och Re
samma. Vid symmetriska strömningsfall (m.a.p. anströmningsriktningen) är lyftkraften i
medel lika med noll.
Val av karakteristisk area och längd
För likformiga kroppar kan den karakteristiska längden respektive arean A väljas
godtyckligt. För ”trubbiga” kroppar, kroppar som normalt sett ger upphov till stora avlösta
områden, väljs vanligen som karakteristisk area kroppens yta projicerad vinkelrätt
strömningen (”frontarean”); som karakteristisk längd någon typisk tvärdimension i denna yta.
För cylindrar med cirkulärt tvärsnitt väljs diametern (d) som karakteristisk längd samt
A bd , där b är cylinderns längd.
För långsträckta slanka kroppar av vingtyp (”vingprofiler”) väljs i regel medelkordan ( c )
som karakteristisk längd (se Fig. 2). Som karakteristisk area, A, väljs då den s.k. planarean
(vingytan), A A bc
, där b är vingbredden.
p
Figur 2: Vingprofil vid viss anfallsvinkel α.

5
Symmetriska kroppar
En symmetrisk kropp, t. ex. en sfär, påverkas i medel endast av en kraft i strömningsriktningen
(D). Mot denna svarar enligt ekv. (1) en dimensionslös koefficient, motståndskoefficienten
C D , som följer likformighetslagen. Några exempel på hur C D varierar med Re
ges i Fig. 3a och Fig. 3b, som visar C D som funktion av Re för en slät 4 sfär respektive en
”oändligt” 5 lång, slät cylinder med cirkulärt tvärsnitt i vinkelrätt anströmning.
I Fig. 3a (sfär) och för låga Re närmar sig kurvan asymptotiskt en rät linje. Vid tillräckligt lågt
Re fås strömningsmotståndet D ur Stokes formel, ekv. (7.64) i White,
D 3 Vd
(5)
Insättning i ekv. (1) med A d / 4 och Re Vd / ger
2
24
C D
(6)
Re
vilket innebär en rät linje i ett dubbellogaritmiskt diagram (streckad i Fig. 3a).
2
5
Inom 5 10 Re 310
är C D för en slät sfär approximativt konstant (0.44 ± 0.07). I
detta intervall är alltså strömningsmotståndet D grovt sett proportionellt mot hastigheten i
2
kvadrat, D V , medan det vid låga Re (ca. Re < 1) är direkt proportionellt mot V.
Figur 3a: Motståndskoefficienten för en slät sfär (Fox & McDonald 1994).
4 Vid höga Re kommer ytans skrovlighet kommer att inverka på C D , se Fig. 5.3 och Fig. D5.2 i White.
5 Tillräckligt lång så att längden inte inverkar på medelströmningen, jämför Fig. 5.3 i White.

6
Figur 3b: Motståndskoefficienten för en ”oändligt” lång, slät cirkulär cylinder.
Enligt tidigare kan strömningsmotstånd delas upp i formmotstånd och friktionsmotstånd. Vid
höga Re är friktionsmotståndet litet i förhållande till formmotståndet, och förhållandet
minskar med ökat Re. Vid tillräckligt höga Re kan därför strömningsmotståndet uppskattas
genom integrering av tryckkrafternas bidrag i strömningsriktningen över hela kroppsytan. För
strömningen kring en cirkulär cylinder är formmotståndet helt dominerande vid Reynolds tal
högre än ca. 3000, se Fig. 3b. Motståndskoefficienten p.g.a. friktionskrafter, , kan
uppskattas enligt:
C D , f 3.5/ Re
(7)
2
C D , f
För den cirkulära cylindern inom 310
Re 310
är C D = 1.08 ± 0.15. Observera att
både sfären och cylindern uppvisar s.k. drag crisis, d.v.s. en plötslig, kraftig minskning i
motståndskoefficient med ökat Re över ett snävt intervall. För en slät sfär och en slät cylinder
med cirkulärt tvärsnitt sker detta fenomen vid ca. Re 310
. Denna ”motståndskris” är
såpass stor att strömningsmotståndet minskar vid passagen genom den plötsliga minskningen i
C D vid ökad hastighet (Reynolds tal). Fenomenet hänger samman med omslag från laminär
till turbulent strömning i samband med gränsskiktsavlösning, se s. 497-499 i White. Vid högre
6
Re (kring Re 410
i Fig. 3b), återgår motståndskoefficienten till en nivå lägre än före
motståndskrisen, för cylindern från ca. C 1. 2 till C 0. 6 .
D
D
5
5

7
Figur 4: Tryckfördelning kring en omströmmad cylinder (
Re
4 5
10 10
).
Fig. 4 visar tryckfördelningen längs stagnationspunktens strömlinje (”axialströmlinjen”) vid
strömning kring en lång cylinder. Tryckdifferensen p fås som p p patm
, där p atm är
den ostörda fluidens tryck (i detta fall atmosfärstrycket). Man ser att det sker en tryckstegring
framför cylindern fram till stagnationspunkten. Likaså sker en tryckstegring från det låga
trycket i vakområdet tills trycket p atm återhämtats en bit nedströms. Tryckfördelningen kring
själva cylindern är typisk och kommer att studeras närmare under laborationen.
Vingprofiler
En vingprofil påverkas i allmänhet av en resulterande kraft som ej är parallell med
strömningsriktningen. Enligt tidigare, om strömningen i medel är tvådimensionell, kan kraften
delas upp i två komposanter, strömningsmotståndet D och lyftkraften L, mot vilka svarar
motståndskoefficienten
C . Betrakta nu strömning kring en
C D och lyftkraftskoefficienten L
vingprofil liknande den i Fig. 2, vid konstant Re (konstant hastighet). Både C D och C L
kommer att variera med anfallsvinkeln (geometrin ändras!). Till en början ökar både C D
och C L då ökas (Fig. 5). C L når emellertid ett maxvärde för ett visst kritiskt värde
k . Då ökas ytterligare minskar C L .
Förklaringen är följande: Vid små anfallsvinklar ligger strömningen an utmed vingen nästan
till dess bakkant. P.g.a. vidhäftningen fås en omlänkning av strömningen nedåt vid bakkanten,
vilket enligt Newtons lagar innebär en kraft på vingen uppåt d.v.s. en lyftkraft 6 . Samtidigt fås
en hopträngning av strömlinjerna på översidan och omvänt på undersidan, d.v.s.
hastighetsökning på ovansidan och omvänt på undersidan. Enligt Bernoullis ekvation innebär
detta en resulterande tryckkraft uppåt. (Re antas högt d.v.s. friktionseffekter är underordnade.)
Om emellertid den kritiska anfallsvinkeln k överskrids, så löser strömningen av nästan
framme vid framkanten ( k = ”stallvinkel”). Ett stort virvelområde uppstår på översidan och
strömlinjerna på ovansidan fortsätter nästan rakt fram i strömningsriktningen, se Fig. 5 och
Fig. 7.24 i White. Därmed blir det omlänkade flödet mindre, lyftkraften minskar. Samtidigt
6 Även strömningen uppströms påverkas, vid vingens framkant sker en omlänkning uppåt vilket också bidrar till
lyftkraften.

8
ökar strömningsmotståndet. Man säger att vingen överstegras (eng. stall). Vid t. ex. landning
med flygplan är detta fenomen av stor vikt. Det gäller då att erhålla största möjliga C L , så att
lyftkraften förmår hålla planet uppe vid så låg hastighet som möjligt. Överskrids k så att
vingen överstegras kan planet börja sjunka snabbt.
Figur 5: Polardiagram för en vinge med b / c 5 (Finnemore & Franzini 2002).
Den anfallsvinkel där förhållandet mellan lyftkraft och strömningsmotstånd har ett maximum
kallas gynnsammaste glidvinkeln ( ). Vid segelflygning och långflygningar kan denna
g
vinkel vara intressant att känna till, ty om man vill komma så långt som möjligt skall man
flyga vid den gynnsammaste glidvinkeln. För den välvda vingen i Fig. 5 är 1
.
Randeffekter, vingspetsvirvlar
I praktiken har alla vingar och cylindrar ändlig bredd vilket innebär en annan strömningsbild
vid ändarna, s.k. randeffekter. Om bredden är stor i förhållande till den karakteristisk längden
kan randeffekterna försummas. Om så inte är fallet kan betydelsen av randeffekterna minskas
med s.k. ändplattor (tunna plattor som monteras på ändarna av kroppen). För verkliga, ändliga
vingar som genererar en lyftkraft sker det alltid ett visst mått av överströmning från vingens
undersida till dess översida, vid ändarna utjämnas då tryckskillnaden mellan under- och
översida. Detta i sin tur ger upphov till s.k. vingspetsvirvlar. Detta innebär givetvis lägre
lyftkraft men framförallt ett högre strömningsmotstånd, ett s.k. lyftkraftsinducerat motstånd.
Detta fenomen behandlas närmare i Ch. 8 av White.
g

9
Försöksutrustning
Vindtunnel
Under mätningarna vill vi ha en luftström som har så konstant och likriktad hastighet som
möjligt inom mätsektionen. För att få en luftström med riktigt bra sådana egenskaper behövs
egentligen en dyr och utrymmeskrävande sluten vindtunnel. Under laborationen uppnås
emellertid tillräcklig noggrannhet med en kort öppen vindtunnel.
Den öppna vindtunneln består av en axialfläkt som är inbyggd i en kanal med cirkulärt
tvärsnitt. I kanalen är det monterat en ledskenekrans vilken är till för att bryta ned de virvlar
som alstras av fläktbladen. Vid kanalens utlopp minskas arean med hjälp av utbytbara dysor
(munstycken). Dysorna innebär dels att hastigheten ökas, dels fås en jämnare hastighetsprofil.
Prandtlrör
Hastigheten (friströmshastigheten) mäts med ett s.k. Prandtlrör (eng. Pitot-static tube).
Utförande och funktion finns beskrivet i White, Ch. 6.12.
Bernoullis ekvation, som förutsätter stationär, inkompressibel, friktionsfri strömning, gäller
med god noggrannhet i fria luftströmmen. Om effekter av tyngdacceleration försummas gäller
längs en strömlinje:
p
V
2
2
konst. (8)
där p är statiskt tryck, densitet och V hastighet. Kombinationen V 2 /2 kallas dynamiskt
tryck, och utgör skillnaden mellan trycket hos luften i uppbromsat och strömmande tillstånd.
Vid Prandtlrörets främre tryckuttag är hastigheten noll ( V 0, stagnationspunkt) och trycket
lika med stagnationstrycket. Vid hålkransen har hastigheten återhämtat sig till luftströmmens
fria hastighet. Vid lämplig utformning är även trycket vid hålkransen lika med trycket i den
fria luftströmmen. Tillämpning av ekv. (8) ger då hastigheten V i den ostörda strömningen:
2
V
p0
p
p 0 stagnationstryck
2
2(
p 0 p)
V (9)
Luftens densitet kan beräknas ur ideala gaslagen,
p
, där R 287 J/(kg K) och T absolut temperatur. (10)
RT
Tryck- och kraftmätning
Vid mätning av tryckdifferenser används en manometer baserad på ett U-rör med avläsning
direkt i pascal (Pa). Detaljerad beskrivning av handhavandet meddelas vid laborationstillfället.
Strömningsmotstånd och lyftkraft mäts med hjälp av en tvåkomponentvåg. Beskrivning och
handhavande av vågen ges vid laborationstillfället.

10
UTFÖRANDE
Laborationen består av tre delförsök:
1. Kraftmätningar
(1) Mät strömningsmotstånd, D, för några olika rotationssymmetriska kroppar (Fig. 6).
Figur 6: Rotationssymmetriska kroppar.
(2) Gör motsvarande mätning för två cylindrar med olika diametrar.
Beräkna Re och C D för samtliga kroppar
Jämför resultaten med Fig. 3 i detta PM samt Table 7.3 i White.
2. Mätning av strömningsmotstånd och lyftkraft
Mät strömningsmotstånd D och lyftkraft L för en vinge vid given (uppmätt) hastighet vid olika
anfallsvinklar, t. ex. α = -2 o , 0 o , 2 o , 5 o , 10 o , 17 o , 20 o .
Beräkna Reynolds tal, C D och C L samt rita diagram över
(1) C D och C L som funktion av anfallsvinkel (i samma diagram). Ange approximativt värde
på ”stallvinkeln” α k .
(2) C L som funktion av C D , varvid en -skala markeras utefter kurvan (Lilienthals polardiagram,
se Fig. 5). I detta diagram kan den gynnsammaste glidvinkeln (den anfallsvinkel,
vid vilken kvoten L / D C L / CD
är maximal) bestämmas genom att dra en tangent till
kurvan genom origo. Lutningen för denna linje är då C L / CD
. Den punkt där kvoten
C L / C D är maximal finner vi nu genom att undersöka var tangenten genom origo tangerar
kurvan C ) med störst lutning.
L ( CD

11
3. Tryckmätningar
(a) Tryckmätning kring cylinder
Trycket vid cylinderytan mäts via ett litet borrat hål i ytan. Mät tryckskillnaden,
p
, mellan
trycket vid ytan på mitten av cylindern och trycket i den ostörda strömningen
(omgivningstrycket) med hålet i olika vinkellägen, ex. -20 o , 0 o , 10 o , 20 o , ... , 90 o , 100 o , 120 o ,
..., 180 o , -40 o , -20 o . Vinkelläget för stagnationspunkten ( 0) bestäms genom att utnyttja
symmetrin som (förhoppningsvis) råder hos tryckfördelningen på cylinderns ovan- och
undersida. Tryckdifferensen p runt cylinderytan mäts med en differensmanometer.
Analys:
Endast komponenten ( p cos
) bidrar till strömningsmotståndet. Vid 0
gäller enligt
2
Bernouillis ekvation: p
0 V
/ 2 (högt Re). Formmotståndet D p per breddenhet av
cylindern fås genom att integrera tryckkomponenten i strömningsriktningen runt hela
cylinderytan,
2
D p 0
p
cos
R d
P.g.a. symmetri räcker det att integrera över halva cylindern och multiplicera med 2, d.v.s.
2
p
cos
2 R p
cos
d
V
R d
(11)
p
D p
0 0 0
Motståndskoefficienten
C , beräknas enligt
D p
C
D,
p
D
V
2
p
2
2R
p
cos
d
p
0 0
(12)
(b) Tryckmätning kring en vingprofil
Tryckskillnaden mellan trycket vid olika fasta mäthål och omgivningstrycket,
en vingprofil (se Fig. 7, nästa sida).
px
, mäts för

12
Figur 7: Mäthålens placering längs vingprofilen.
UTVÄRDERING
Reynolds tal beräknas för både cylindern och vingprofilen.
Cylindern
(1) Plotta C p ( )
p
/ p
0
och C p cos ( p
/ p
0)
cos i samma diagram.
Vilken del bidrar mest till strömningsmotståndet, framsidan eller baksidan? Notera att
p 0 motsvarar stagnationstrycket.
(2) Uppskatta formmotståndet per breddenhet genom att summera ytan under kurvan
p / p
) cos .
( 0
(3) Beräkna C D , p samt uppskatta C D CD, p CD,
f
samt Fig. 3b i detta häfte.
. Jämför med tidigare kraftmätningar
Vingen
(1) Rita upp diagram över C p ( x)
px
/ px 0 px
/ p1
där x anger abskissan för hålens
projektion på undre tangentplanet (se Fig. 7). Vilken sida bidrar mest till lyftkraften,
översidan eller undersidan? På vilken sida (och var) finns risk för avlösning? Notera att
p 1
motsvarar stagnationstrycket.
(2) Uppskatta lyftkraften på vingen, per breddenhet
(3) Uppskatta lyftkraftskoefficienten C L .
REFERENSER
Finnemore, E. J. & Franzini, J. B. (2002), Fluid Mechanics (with Engineering
Applications), 10th Edition, McGraw-Hill.
Fox, R. W. & McDonald, A. T. (1994), Introduction to Fluid Mechanics, 4th Edition,
John Wiley & Sons, Inc.
White, F. M. (2011), Fluid Mechanics, 7th Edition in SI Units, McGraw-Hill.