(vingarea) S Vingbredd b Korda c

VINGTEORI, INKOMPRESSIBEL
STRÖMNING
Flygplansvinge sedd uppifrån
Vingprofil (vingtvärsnitt)
Planarea (vingarea) S
Vingbredd b
Korda c; medelkorda c = S/b
Aspect Ratio AR = b/c
Fart V ∞
Anfallsvinkel rel. kordalinje α
Max. välvning h
Max. tjocklek t
Små anfallsvinklar α ≪ 1
Liten parabolisk symmetrisk välvning h/c ≪ 1
⎫⎪ ⎬
Slank (tunn) profil t/c ≤ 0.18 ⇒
Elliptisk planform AR > 4
Högt Reynolds tal Re > 3×10 6 ⎪ ⎭
C L = 2π(α+2h/c)
1+2/AR , C D = C DL=0 + C2 L
πAR , C D L=0
∼ 0.005
L = C L Sq ∞ , D = C D Sq ∞ , q ∞ = ρ ∞ V 2 ∞ /2
Ch. 4/5 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

LYFTKRAFT?
L. Prandtl T. J. Mueller
Vingenaccelererarkontinuerligtomgivandefluidnedåtvilketinnebär
enkraftpåvingenuppåt,enlyftkraft.Lyftkraftenkanocksåhärledas
till att vingen länkar om strömningen, uppåt strax framför vingen,
nedåtibakkant;motdennanettoimpulsändringnedåtsvararenmotriktad
kraft uppåt på vingen, en lyftkraft.
Strömningenkantänkassammansattavendärfluidenpasserarvingen
utan omlänkning (friktionsfri strömning) samt en medurs cirkulationsrörelse.
Friktion ⇒ Cirkulation ⇒ Lyftkraft
Cirkulationeninnebärökadhastighetpåovansidan,minskadpåovansidan,
d.v.s. en tryckskillnad, jfr. Bernoullis ekvation. En vinge bibringas
en hastighet lite snett nedåt. Hur utvecklas cirkulationen?
(a) precis vid start; strömning runt bakkant,ingenomlänkning,ingencirkulation
(b) friktion i kombination med tryckökning
⇒ strömningen klarar inte att
komma runt kanten ⇒ avlösning ⇒
moturs virvel (startvirvel), cirkulationen
utvecklas (medurs)
(c) bakkantsströmningen stabiliseras,
vingen lämnar startvirveln bakom
sig, cirkulationen närmar sig
slutvärdet
(d) startvirveln ett par kordor bakom,
cirkulationen fullt utvecklad
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

VIRVELSKIKT
Betrakta en oändlig rad av linjevirvlar längs x-axeln. Alla virvlar
har samma styrka K (Γ ′ = 2πK), samma rotationsriktning (medurs)
och ligger på samma inbördes avstånd a. Strömfunktion:
ψ = 1 2 Kln ⎡
ψ = konst. ger strömlinjer:
⎣ 1 2
⎛
⎝cosh 2πy
a −cos2πx a
⎞⎤
⎠⎦
Stora avstånd från x-axeln: u = ±πK/a = ±Γ ′ /(2a), v = 0. Cirkulation
kring rektangel med bredd dx och höjd upp i detta område:
dΓ = u u dx−u l dx = (Γ ′ /a)dx = γdx
Funktionen γ kan tolkas som cirkulation per längdenhet och kan för
ett allmänt virvelskikt vara en funktion av x.
Cirkulation: Γ = ∫ γds, lyftkraft per breddenhet: L ′ = ρ ∞ V ∞ Γ
Hur bestäms γ(s)?
Välvningslinjen måste vara som en strömlinje (ingen strömning
tvärs profilen) och γ måste uppfylla det s.k.
KUTTAVILLKORET
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

KUTTAVILLKORET
Vingprofil med cirkulation; liten anfallsvinkel; högt Reynolds tal.
KUTTAVILLKORET:
Det fysikaliskt riktiga värdet på cirkulationen Γ är det som
innebär ändlig hastighet vid bakkanten.
Γ = Γ Kutta gerjämnbakkantsströmning
i överensstämmelse med väl utformade
profiler vid små anfallsvinklar.
Villkor: γ(TE) = 0
TE = Trailing Edge
VillkoretkananvändasförattbestämmaΓ Kutta viaenvirvelskiktsfördelning
γ(x) = dΓ/dx längs kordalinjen; γ(x) modellerar friktionens
inverkan; lyftkraft per breddenhet, L ′ = ρ ∞ V ∞ Γ Kutta .
Betraktaenvinklad,plan,tunnplatta(h = 0,t/c ≪ 1);tvådimensionellpotentialströmningmedcirkulation;litenanfallsvinkelα;korda
c (framkant vid x = 0, bakkant vid x = c); sökt: γ(x).
Virvelskiktet ger vid x upphov till ett hastighetssprång, ∆u = γ(x).
Eftersom α är liten förutsätts γ/V ∞ ≪ 1.
Kuttavillkoret: γ(c) = 0
Ch. 4.5 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

VINKLAD PLAN PLATTA
Lyftkraft per breddenhet: L ′ = ρ ∞ V ∞ ∫ c
0 γ(x)dx
Lyftkraftskoefficient: c l = L ′ /(q ∞ c) = 2 ∫ 1
0 (γ/V ∞)d(x/c)
Lyftkraft = resulterande tryckkraft“uppåt”
L ′ ≃ L ′ cosα = ∫ c
0 (p l−p u )dx
Bernoullis ekvation visar att trycket runt plattan varierar som γ(x),
C p,u = −γ/V ∞ ; C p,l = +γ/V ∞ , C p = (p−p ∞ )/q ∞ .
• Hur bestäms γ?
Ingen strömning genom plattan, v(y = 0) = 0 , för alla x ∈ [0,c]
Bidrag till vertikal hastighet vid x från dΓ = γdξ vid ξ:
[dv] x = −dΓ
2π(x−ξ) = −γdξ
2π(x−ξ)
Totalt vid x från hela virvelskiktet:
v vs = 1 ∫ c −γdξ
2π 0 x−ξ
som tillsammans med bidraget från friströmmen, V ∞ sinα = V ∞ α,
skall vara noll, d.v.s.
V ∞ α− 1
2π
∫ c
0
γdξ
x−ξ = 0
Med γ(c) = 0 från Kuttavillkoret fås lösningen
γ(x) = 2V ∞ (c/x−1) 1/2 α
Insättning visar att lyftkraftskoefficienten varierar linjärt med α:
Γ Kutta = ∫ c
0 γ(x)dx = πcV ∞α ⇒ c l = 2πα
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

VINKLAD PLAN PLATTA ...
Små anfallsvinklar: c l = 2πα
Tryckfördelning Hastighetsfördelning
• Moment kring framkanten (LE = Leading Edge)
alpha = 5 deg
M LE ′ = − ∫ xdL ′ = ρ ∞ V ∫ c
∞ xγdx = −(c/4)L′
0
Momentmässigt verkar alltså lyftkraften centrerad till en punkt en
kvarts korda från framkanten, c m,LE = −c l /4. Eftersom detta innebär
c m,c/4 = 0, oberoende av α, sammanfaller således profilens
tryckcentrum med dess aerodynamiska centrum, d.v.s.
x ac /c = 1/4
Resultaten ovan stämmer bra för alla slanka och symmetriska vingprofiler.
Hur påverkar profilens välvning?
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

SLANKA, VÄLVDA VINGPROFILER
Betrakta en slank men svagt välvd vingprofil; 1 välvningslinje z(x);
maximal välvning h ≪ c; tjocklek t ≪ c; liten anfallsvinkel α.
Virvelskikt placerat längs
(a) välvningslinjen
(b) kordalinjen
t/c ≪ 1 och h/c ≪ 1 ⇒
w ′ (s) = w(x)
w(x) = ∫ c
0 [dw] x ⇒ 1
2π
∫ c
0
Ingen strömning tvärs välvningslinjen
⇒ V ∞,n + w ′ (s) = 0. Små
vinklar⇒V ∞,n = V ∞ (α−dz/dx).
Inducerad hastighet vinkelrätt
mot kordalinjen vid x från ett
virvelelement γdξ vid x = ξ:
[dw] x = −γ(ξ)dξ
2π(x−ξ)
⎛
γ(ξ)dξ
x−ξ = V ∞
⎝α− dz
⎞
⎠,
dx
som kan lösas vid givet z(x). För c l och c m,c/4 gäller (ekv. 4.57/64):
c l = 2π(α−α L=0 ), α L=0 = −(1/π) ∫ π
0 g(θ)(cosθ−1)dθ
g = dz/dx, θ = cos −1 (1−2x/c)
c m,c/4 = π(A 2 −A 1 )/4, A n = (2/π) ∫ π
0 g(θ)cosnθdθ
Ex. Symmetrisk, parabolisk välvningslinje, z = 4ˆx(1− ˆx)h, där ˆx =
x/c ger α L=0 = −2h/c, A 1 = 4h/c, A 2 = 0, d.v.s. c m,c/4 = −πh/c.
1 Observera bytet y → z, v → w
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

AERODYNAMISKA DATA
Symmetrisk profil, NACA 0012 (h/c = 0; t/c = 0.12)
α L=0 = 0 ◦ , c l,max ≈ 1.3, α stall ≈ 13 ◦ , x ac /c ≃ 0.25
Välvd profil, NACA 2412 (h/c = 0.02, vid x/c = 0.4; t/c = 0.12)
α L=0 = −2.1 ◦ , c l,max ≈ 1.6, α stall ≈ 16 ◦ , x ac /c ≈ 0.24
x ac /c = 0.25−m 0 /a 0 , m 0 = dc m,c/4 /dα, a 0 = dc l /dα (4.71)
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

AERODYNAMISKA DATA ...
Lägst c d kring c l = 0; vid
högaαökarc d kraftigt,lutningen
dc l /dα minskar; till
slutskeravlösningpåovansidan,
c l minskar dramatiskt
(överstegring= stall);
max. c l vid α ≃ α stall .
(White, Fluid Mechanics, 2011)
Data för NACA-profiler:
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

VINGPROFILER ...
Figure 4.63
Figure 4.57 Figure 4.58
Ch. 4 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

MODERNA LÅGHASTIGHETSPROFILER
Via numeriska beräkningar och mätningar i vindtunnlar utvecklades
under1970-taletvingprofilernamotalltbättreprestanda,framförallt
avseende högre c l,max och generellt högre c l /c d .
Sektionvislyftkraftskoefficient;jämförelse 2 mellanNACA2412(1933)
och NASA LS(1)-0417 (1973):
2
1.5
1
cl
0.5
0
−0.5
NACA 2412, Re = 5.7×10 6
−1
2π(α+tan (2ĥ)), ĥ = 0.020
NASA LS(1)-0417, Re = 6.3×10 6
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
α[ ◦ ]
NACA LS(1)-04xx har ca. 30% högre c l,max och ca. 50% högre c l /c d
vid c l = 1 jämfört med NACA-profiler av standardtyp med samma
tjocklek(sammat/c); NACA LS(1)-0417lanserades1978 på det lilla
civila sportplanet Piper PA-38 Tomahawk.
2 Data från Fig. 4.37 i kursboken.
Kreg Anderson, 2010
Ch. 4.11 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH