LABORATION - KRETSPROCESSER

MMVF01
Termodynamik
och
Strömningslära
LABORATION -
KRETSPROCESSER
Under laborationen ska du jobba med en Stirlingmotor och en
värmepump.
Förberedelser
Repetera först i kursboken (Çengel & Boles, "Thermodynamics – An
Engineering Approach", 7th Ed.) om värme och arbete, kap. 2-3/4
och 4-1; termodynamikens första huvudsats, kap. 2-6, 4-2, 5-3 och
kretsprocesser, termodynamikens andra huvudsats och
Carnotprocessen, kap. 6-3/4/7. Läs sedan specifikt om
Stirlingprocessen i kap. 9-7 och den ideala kylmaskinprocessen av
ångkompressionstyp i kap. 11-1/2/3. Läs därefter genom denna
laborationsinstruktion fram till det ställe där utförandedelen börjar.
Gör följande uppgifter
Lösningarna lämnas renskrivna till handledaren för kontroll innan
laborationen börjar.
1.1 I en kvasistatisk kretsprocess för en värmemotor med enbart
volymändringsarbete representeras nettoarbetet, under ett varv, av
den inneslutna arean i ett p-V-diagram. En motor genomlöper en
“fyrkantig kretsprocess” enligt
diagrammet i figuren.
(a) Vilken enhet har pV ?
(b) Hur stort arbete uträttar motorn
under ett varv i kretsprocessen?
(c) Vilken effekt avger motorn om
det tar 0.20 s för kretsprocessen
att genomlöpa ett varv?
Svar: (b) 1,6 kJ, (c) 8,0 kW.
1.2 I figuren visas ett schematiskt p-V-diagram för den ideala
Stirlingprocessen (ideal Stirlingmotor, arbetsmedium: ideal gas).
Kretsprocesser 1

Rita av diagrammet och
markera tillfört och bortfört
värme. Under vilken del av
kretsprocessen tar regeneratorn
upp respektive avger
värme?
1.3 För en värmemotor (arbetsgivande kretsprocessmaskin)
definieras termisk verkningsgrad th som kvoten mellan det
nettoarbete Wnet,out som motorn presterar och det värme Q in som
tillförs processen. Den högsta teoretiska termiska verkningsgraden
för en värmemotor är
th,max
TH
TC
T
1
T T
H
C
H
där T H är den högsta och T C den lägsta temperaturen under kretsprocessen.
I en testbil med en Stirlingmotor är den högsta temperaturen
under kretsprocessen 700°C och den lägsta temperaturen
100°C. Beräkna processens högsta möjliga termiska verkningsgrad.
Svar: 62 %.
1.4 För en värmepump definieras värmefaktorn COPHP som kvoten
mellan det värme som avges från den varma sidan Q out och det
nettoarbete Wnet,in som måste tillföras motorn (kompressorn) som
driver kretsprocessen. Den högsta teoretiska värmefaktorn för en
värmepump ges av
COP
HP, max
TH
T T
H
C
1
1T
/ T
C
H
där T H är den högsta och T C den lägsta temperaturen under kretsprocessen.
En värmepump som tar värme (energi) från utomhusluften
har en praktisk (verklig) värmefaktor som är hälften av det
teoretiskt högsta värdet. Beräkna värmepumpens praktiska värmefaktor
för följande två fall.
(a) Uteluftens temperatur är –20°C och värmepumpen levererar
varmvatten med temperaturen 50°C.
(b) Uteluftens temperatur är 0°C och värmepumpen levererar varmvatten
med temperaturen 40°C.
2 Kretsprocesser

Svar: (a) 2,3 (b) 3,9.
1.5 I en demonstrationsvärmepump, enligt figur 1.1, tas värme Q in ,
från en “kall reservoar” som innehåller 10 liter vatten-glykolblandning.
Värme Q ut , avges till en “varm reservoar” som innehåller
10 liter vatten ( m 10 kg ). Q in är den värmemängd som normalt tas
“gratis” från en lämplig reservoar och Q ut är den nyttiga värmemängd
som normalt används till uppvärmning. Kompressorn tillför arbetet
W (absolutbelopp), som vi betalar för via elräkningen. Vattnets
specifika värmekapacitet kan antas vara konstant,
C HO 4,2 kJ/(kg K) .
2
(a) Temperaturen i den varma reservoaren höjdes 25,8°C på tiden
1616 s. Hur stor medeleffekt har lämnats till den varma reservoaren?
Figur 1.1. Schematisk bild av en värmepump. De viktigaste delarna är
kompressor, expansionsventil, kall och varm reservoar.
Figur 1.2. Temperaturens variation med tiden i den varma reservoaren.
Kretsprocesser 3

(b) Diagrammet i figur 1.2 visar hur temperaturen i den varma reservoaren
varierade med tiden t. Mätningen började då värmepumpen
startades. För enkelhets skull anpassades en rät linje till mätpunkterna
med hjälp av minsta kvadratmetoden. Detta gav
T = a·t + b
där a = 0,0163°C/s och b = 25,7°C. Vi har då en approximation till
hur temperaturen varierar med tiden i den "varma reservoaren" när
temperaturen ökar från runt 26°C till 52°C. Kompressorns effekt
approximeras till att vara konstant 158 W under mättiden.
Beräkna värmefaktorn COPHP för värmepumpen då temperaturen
varierar enligt ovan. Du ska få lite hjälp på vägen. Värmefaktorn kan
momentant definieras som
COP
HP
Q
W
ut
net,in
Eftersom vi mäter effekter kan uttrycket skrivas
COP
HP
Q Q dt Q
W dt W
W
ut ut ut
net,in net,in net,in
där
ut
Q är avgiven effekt i den varma behållaren och W net, in kompressorns
effekt. Med hjälp av kedjeregeln kan vi skriva
Q
ut
Q
dt
ut
Q
dT
ut
dT
dt
Till sist utnyttjas
Qut
dT
(mC)
H O
2
där m är massan och C specifik värmekapacitet.
Svar: (a) 0,67 kW (b) 4,3.
Stirlingprocessen
Enligt Carnots första princip har alla reversibla värmemotorer, där
värmeutbytet (med motorns omgivning) endast sker via två värmereservoarer,
samma termiska verkningsgrad. För Carnotprocessen
sker värmeutbytet via två isoterma delprocesser, värmetillförsel vid
TH och värmeavgivning vid TC (TC < TH). Mellan dessa sker kom-
4 Kretsprocesser

pression och expansion under adiabatiska förhållanden, d.v.s. utan
värmeutbyte. Under en reversibel adiabatisk process för ett slutet
system är ju entropin konstant enligt definition, vilket innebär att
dessa delprocesser är isentroper. Stirlingprocessen har liksom
Carnotprocessen värmetillförsel och värmeavgivning vid två konstanta
temperaturer (isotermer) men isentroperna är ersatta med
isokorer, delprocesser vid konstant volym (se kap. 9-7 i kursboken).
Det värme som egentligen behöver avyttras vid isokoren mellan TH
och TC kan under ideala (teoretiska) förhållanden till 100 % återanvändas
internt i processen för den uppvärmning som krävs under
isokoren mellan TC och TH. Denna interna värmeåtervinning brukar
kallas regenerering. I praktiken kan aldrig regenereringen ske fullständigt.
Slutsatsen enligt Carnots första princip är dock att under
reversibla förhållanden och 100 % regenerering har Stirlingprocessen
lika hög termisk verkningsgrad som Carnotprocessen,
th, Stirling
Stirlingmotorn
TH
TC
T
th,Carnot
th,max
1
T T
Genom åren har det utvecklats flera Stirlingmotorer
i undervisningssyfte. Det finns
t.ex. en sol-Stirlingmotor som är försedd med
en parabolspegel, se figur 1.3. Laborationens
Stirlingmotor är åskådligt gjord med en cylinder
av glas så att man kan se de olika
delarna. Se figur 1.4. Motorn har två kolvar,
en arbetskolv och en förflyttningskolv, som
löper i samma cylinder. Arbetskolven ändrar
gasens tryck och volym i cylindern genom att
komprimera eller expandera gasen. Förflyttningskolvens
rörelser ändrar inte cylinderns motor försedd med
Figur 1.3 En Stirling-
volym utan förflyttar bara gasen fram och parabolspegel som fokuserar
solljus på
tillbaka mellan det varma och det kalla
motorns yttersta del.
området. Då förflyttningskolven t.ex. rör sig
uppåt i cylindern flyttas gasen från den övre till den nedre volymen.
H
C
H
Kockums AB i Malmö tillverkar Stirlingmotorer, för ubåtar och
solenergiomvandling. Kockums är även involverat i olika utvecklingsprojekt med
Stirlingmotorer, t.ex. i samarbete med bilindustrin samt företag och institutioner
inom energisektorn.
Kretsprocesser 5

Gasen passerar då genom ett hål i kolvens mitt som innehåller
regeneratorn. Regeneratorn består av kopparull som har till uppgift
att mellanlagra värme då gasen passerar åt ena eller andra hållet.
Figur 1.4. Den Stirlingmotor som du ska använda under laborationen.
Figur 1.5 visar de fyra delprocesser som ingår i den ideala Stirlingcykeln.
Förutsatt att regeneratorn fungerar perfekt kan dess arbetssätt
beskrivas på följande sätt. Då gasen passerar regeneratorn från
motorns övre varma del, värms regeneratorn upp och gasen kyls av.
Gasen kommer då till motorns nedre del kyld till temperaturen T C .
Då gasen passerar regeneratorn från motorns nedre kalla del kyls
regeneratorn av och gasen värms upp. Det medför att gasen kommer
till motorns övre del uppvärmd till temperaturen T H .
Borttransporten av värme från motorns nedre del sker med hjälp av
kylvatten från en kran. Om vi låter flödet vara tillräckligt stort kommer
kylvattnets temperatur T C att vara konstant oavsett variationer
hos den borttransporterade effekten. Det betyder att vi har en kall
värmereservoar. Vi kan då anta att gasen i motorns nedre del får
samma temperatur T C som kylvattnet.
6 Kretsprocesser

Figur 1.5. Stirlingmotorns funktion. Diagrammet ovanför respektive
bild visar vilken tillståndsändring som bilden avser att visa. Bilden
visar startläget för tillståndsändringen och pilarna visar hur kolvarna
skall röra sig för att komma till tillståndsändringens slutläge. T.ex.
visar figuren ovanför a b kolvarnas lägen i tillståndet a och pilarna
visar hur kolvarna skall röra sig för att komma till tillstånd b. Se även
tabellen nedan.
Tillståndsändring
a b
b c
c d
d a
Tabell 1.1. Sammanfattning av tillståndsändringarna.
Gasens
temperatur
Ökar
Konstant
och hög
Minskar
Konstant
och låg
Gasens
volym
Konstant
och liten
Ökar
Konstant
och stor
Minskar
Arbetskolv Förflyttningskolv
Stilla i övre
vändläget
Uppifrån och
nedåt
Stilla i nedre
vändläget
Nerifrån och
upp
Uppifrån och
ner
Fortsätter
nedåt
Nerifrån och
upp
Stilla i övre
vändläget
I motorns övre volym tillförs energi via ett elektriskt värmeelement * .
En ökning av den tillförda elektriska effekten resulterar i en högre
temperatur T H vilket i sin tur ger upphov till ett större nyttigt arbete.
* Tänk på att det är en demonstrationsmaskin. En elmotor kan drivas med
betydligt högre totalverkningsgrad än en Stirlingmotor.
Kretsprocesser 7

När Stirlingmotorn varit igång en stund har temperaturen T H stabiliserats
och vi har fått ett stationärt tillstånd. Motorn hålls då igång
genom att värme tillförs till den övre delen av motorn (så att
expansionen sker isotermt) och värme bortförs från den nedre delen
av motorn (så att kompressionen sker isotermt). Arbetet som gasen
uträttar under den isoterma expansionen används dels till att uträtta
nyttigt arbete (från maskinanvändarens synpunkt) och dels till att
lagra rörelseenergi hos ett svänghjul. Se figur 1.4. Dessutom försvinner
en del energi genom t ex friktion och strålningsförluster men det
bortser vi ifrån. Det arbete som tillförs gasen under den isoterma
kompressionen tas från svänghjulet (som därmed förlorar rörelseenergi).
Nettoarbetet för processen blir skillnaden mellan det av
gasen uträttade arbetet (under den isoterma expansionen) och det till
gasen tillförda arbetet (under den isoterma kompressionen). I den
schematiska beskrivningen i figur 1.5 är det bara en kolv åt gången
som rör sig. I praktiken blir det bara en approximation eftersom den
mekaniska konstruktionen gör att båda kolvarna rör sig (mer eller
mindre) samtidigt.
pV-indikatorn (Indikatordiagram)
Arbetskolvens läge är ett mått på den inneslutna luftens volym. På
laborationens Stirlingmotor överförs arbetskolvens rörelse via ett
snöre och några hävarmar till en spegel som vrids i sidled. Spegeln
belyses med en laser och reflexen syns på en skärm. När volymen
ändras rör sig laserfläcken horisontellt över skärmen. Trycket kan
mätas genom att spegelupphängningen via en slang är ansluten till
luften i motorn. Tryckändringar i motorn tvingar spegeln att röra sig
kring en horisontell axel så att laserfläcken flyttas i vertikalled. På
skärmen syns alltså ett p-V-diagram över kretsprocessen.
Värmepump
En värmepump, precis som en kylmaskin, överför värme från ett kallare
område till ett varmare område. För en värmepump är vi intresserade
av den värmemängd (Q ut ) som kan avges vid den varma temperaturen,
medan vi för en kylanläggning är intresserade av den värmemängd
(Q in ) som tas upp från det kalla området. I en värmepump
eller en kylmaskin utnyttjas normalt fasövergångar i ett köldmedium.
I institutionens värmepumpar är det tetrafluoretan * som medför att vi
* Kemisk formel C2H2F4, beteckning R-134a, se kap. 11-6 i kursboken.
8 Kretsprocesser

får kokning och kondensering vid lämpliga temperaturer och rimliga
tryck.
I en praktisk värmepump tas värme från en sjö, från marken eller
från uteluften. Detta värme används för att förånga köldmediet i förångaren.
I kondensorn kondenseras köldmediet varvid det omgivande
vattnet upptar värme, som kan användas för att t.ex. värma upp ett
hus. När förhållandena väl stabiliserats kommer kretsprocessens
högsta och lägsta temperatur (T H respektive T C ) att vara konstanta.
Laborationens värmepump har s.k. koaxialförångare och koaxialkondensor
(se figur 1.6). Både koaxialförångare och koaxialkondensor
består av ett inre rör (böjt som en spiral) i vilket köldmediet
strömmar. Runt om detta rör finns ett grövre rör i vilket en glykolvattenblandning
(eller bara vatten) strömmar.
Figur 1.6. Värmepumpsanläggning med koaxialförångare och koaxialkondensor.
Kretsloppet enligt figur 1.6
Process D A: Köldmedium i gasfas vid lågt tryck och låg temperatur
komprimeras adiabatiskt (nästan) av kompressorn till högt
tryck (12 atm 1.2 MPa) och hög temperatur (70°C).
Process A B: I kondensorn kyls gasformigt köldmedium av vatten
som leds genom kondensorn. Köldmediet övergår då från gasfas till
vätskefas. Den värmemängd, som frigörs vid denna fasövergång, tas
upp av vattnet, som kommer uppvärmt ut ur kondensorn.
Process B C: Expansionsventilen fungerar huvudsakligen som en
mekanisk strypventil. Köldmediets tryck, och därmed temperatur
minskar kraftigt vid passagen av expansionsventilen.
Kretsprocesser 9

Process C D: I förångaren övergår köldmediet från vätskefas till
gasfas. Förångningen (kokningen) är möjlig genom att köldmediet tar
upp värme från en glykol-vattenblandning, som leds genom förångaren.
Värmefaktorn COPHP (godhetstalet för en värmepump) definieras som
kvoten mellan avgivet värme och tillfört nettoarbete, vilket för en
godtyckligt liten del av processen (momentant) kan skrivas
COP HP
Q
W
ut
net,in
På laborationen har vi två 10 liters spannar med vatten, som får
representera de båda temperaturreservoarerna. Med så små volymer
kommer temperaturen att ändras med tiden. Eftersom värmepumpen
tar värme från den ena spannen och lämnar värme till den andra
kommer temperaturen (T C ) att sjunka i den första spannen och
temperaturen (T H ) att stiga i den andra. När temperaturerna ändras
med tiden varierar även värmefaktorn. Vi kan skriva den momentana
värmefaktorn som
COP HP
Q
W
ut
net, in
där Q ut är den värmeeffekt som momentant överförs till den varma
behållaren och W net, in W
e, in är den momentana elektriska effekt som
kompressorn använder.
10 Kretsprocesser

Utförande
Uppgift 1: Undersökning av Stirlingmotorn
Dra sakta runt motorns svänghjul för hand (åt rätt håll) och övertyga
dig om hur de fyra tillståndsändringarna kommer till stånd. Fundera
över hur energiutbytet med omgivningen går till för de olika tillståndsändringarna.
Uppgift 2: Stirlingmotorns termiska verkningsgrad
Bestäm Stirlingmotorns termiska verningsgrad
då den används som värmemotor.
Tänk först ut vilka storheter
som måste mätas för att uträttat arbete
och tillförd energi skall kunna beräknas.
Utför därefter mätningarna.
OBS. Stirlingmotorn är ömtålig (och dyr).
Den får inte startas utan handledarens
medverkan!
Uppgift 3: Stirlingprocessen som kylskåp
eller värmepump
Handledaren kommer att visa hur man
kan köra en Stirlingmotor som en
arbetskrävande kretsprocessmaskin
(”Stirlingmaskin”). Motorn dras runt
med en drivrem från en elektrisk
motor, se figur 1.7. Vattenkylningen är
som vanligt i maskinens nedre del men
glödtråden är ersatt med en termometer.
(a) Stirlingmotorns drivhjul dras runt
åt samma håll som det roterade när
motorn kördes som värmemotor. Rita
kretsprocessen schematiskt i ett p-Vdiagram
och markera den isoterm som
bestäms av kylvattnets temperatur T kyl .
Ange kretsprocessens omloppsriktning
och var arbetsgasen tar upp respektive
avger värme. Vad brukar en maskin av denna typ kallas?
Figur 1.7 Svänghjulet på
Stirlingmotorn kan drivas
runt av en elektrisk motor.
Varje gång kretsprocessen
genomlöps tar arbetsgasen
upp värme som sedan avges
antingen till kylvattnet
eller till den del där termometern
sitter.
Kretsprocesser 11

(b) Riktningen på den drivande motorn vänds, så att Stirlingmotorns
svänghjul dras runt åt andra hållet. Rita åter kretsprocessen schematiskt
i ett p-V-diagram och markera den isoterm som bestäms av
kylvattnets temperatur T kyl . Ange kretsprocessens omloppsriktning
och var arbetsgasen tar upp respektive avger värme. Vilken typ av
maskin har vi nu?
Figur 1.8. Laborationens värmepumpsanläggning med inkopplat mätsystem.
Uppgift 4a: Fasövergångar i värmepumpen
Starta värmepumpen och datainsamlingssystemet enligt handledarens
instruktion. Temperaturerna i den varma- respektive kalla
behållaren (TH, TC) samt det tillförda elektriska arbetet (We,in) avläses
automatiskt av datainsamlingsprogrammet "Science workshop" med
en frekvens som du bestämmer, ett lämpligt samplingsintervall är
10 s.
Leta upp alla tryck- och temperaturmätare som finns installerade på
värmepumpen. Mät vid två tidpunkter (lämpligen i början och i slutet
av mätserien) tryck och temperatur på alla ställen där det finns
mätare installerade. För att värmepumpen skall fungera tillfredsställande
krävs det att fasövergångarna sker där de skall. Studera
detta genom att föra in alla mätpunkterna i det färdigtryckta p-Tdiagrammet
som du får av handledaren. Markera var fasövergångarna
sker.
12 Kretsprocesser

Uppgift 4b: Värmepumpens värmefaktor som funktion av tiden
Ta upp en mätserie med TH, TC och We,in under ca 20 minuter. När
datainsamlingen är färdig sparas resultaten på en fil för utskrift och
senare analys med hjälp av programmet MatLab. För att skriva ut TH,
TC och We,in som funktion av tiden används den färdiga MatLabrutinen
v_data.
Du ska beräkna den experimentella värmefaktorn för tre tidpunkter:
en i början, en i mitten och en i slutet av datainsamlingen. För att
göra detta måste du bestämma effekterna Q ut respektive W e, in, dvs
tidsderivatorna av Q ut och W e, in.
Grafisk bestämning av derivator är en metod som är både tidsödande
och som inte ger speciellt noggranna resultat. Man kan beräkna
derivator för alla tidpunkter i mätserien genom att anpassa en funktion
till mätdata. En sådan funktionsanpassning utjämnar de experimentella
osäkerheterna. I ett färdigt MatLab-program v_faktor
anpassas ett polynom av lämpligt gradtal till mätdata. Polynomet
deriveras sedan och värmefaktorn beräknas som funktion av tiden.
Jämför dina grafiskt beräknade värden med värden från MatLabprogrammet.
När du är klar med beräkningarna ska du bl.a. besvara följande
frågor. Varför minskar värmefaktorn med tiden? Vad betyder det att
värmefaktorn är lika med ett?
Exempel på MatLab-program
Här följer ett exempel på ett MatLab-program som läser in de
experimentella data, ritar diagrammet med temperaturen i den varma
reservoaren som funktion av tiden, anpassar ett tredjegradspolynom,
deriverar detta och ritar diagrammet med avgiven effekt
som funktion av tiden.
% Värmepump
%
% Läser in tid, temperaturer och tillförd elektrisk
% energi med hjälp av funktionen read_hdata_func.
% Funktionen kommer att fråga efter namnet på aktuell
% datafil
%-------------------------------------------------
[t W T_H T_C]=read_hdata_func
TH=T_H+273.15; % T_H i grader Celsius
Kretsprocesser 13

TC=T_C+273.15; % T_C i grader Celsius
%-------------------------------------------------
% plot ritar mätvärdena för temperaturen på den
% varma sidan (t, TH) markeras med “+”
%-------------------------------------------------
figure(1)
plot(t,TH,'+')
title('Temperaturen på den varma sidan som
funktion av tiden')
xlabel('tid/s')
ylabel('Tvarm/K')
%-------------------------------------------------
% polyfit anpassar ett polynom till mätpunkterna
% t och TH (tredjegradspolynom i detta fall)
% och lagrar polynomets koefficienter i en
% variabel (THpol)
%-------------------------------------------------
THpol=polyfit(t,TH,3)
%-------------------------------------------------
% polyder deriverar polynomet THpol. Nya
% koefficienter i THderiv
% Nästa rad multiplicerar med massan och
% värmekapacitiviteten och lagrar resultatet
% i variabeln PHpol.
% polyval beräknar den avgivna värmeeffekten (PH)
% med polynomet PHpol och tiderna i t
%-------------------------------------------------
THderiv=polyder(THpol);
PHpol=10*4190*THderiv;
PH=polyval(PHpol,t);
%-------------------------------------------------
% Diagram över avgiven effekt på den varma sidan
% som funktion av tiden
%-------------------------------------------------
figure(2)
plot(t,PH,'-')
title('Avgiven effekt (varma området) som
funktion av tiden')
xlabel('tid/s')
ylabel('Avgiven effekt/W')
14 Kretsprocesser

Appendix MatLab
MatLab är ett beräkningsprogram som är konstruerat för numerisk
analys, matrishantering, grafik mm.
I MatLabs kommandofönster kan man göra variabeltilldelningar och
ge kommandon eller så kan man exekvera s.k. m-filer. En m-fil är en
textfil skriven i något editeringsprogram och sparat som filnamn.m.
m-filen består av exakt de tilldelningar och kommandon man annars
ger direkt. För att exekvera de kommandon som är givna i m-filen
skriver man helt enkelt bara filnamnet i MatLabs kommandofönster.
Ett vanligt fel här är att filnamn.m. är sparat i en annan mapp än i
den för MatLab aktuella mappen. Du ändrar aktuella mappen i
MatLab med kommandot "cd".
Nedan följer en mycket kort sammanställning av några vanliga
funktioner, som du kan ha nytta av på laborationen.
Polynomhantering
För polynomhantering finns i MatLab ett antal färdiga funktioner. Ett
polynom, p(x), lagras i MatLab som en radvektor p. Elementen representerar
koefficienterna i polynomet och är givna efter fallande ordning
på potenserna av x. Det betyder att polynomet
n
n 1
n1
1 0
p( x) a x a x ... a x a
i MatLab representeras av radvektorn
n
n
p a a ... a a
n1 1 0
Nedan följer några kommandon för polynomhantering.
p=polyfit(x,y,n) Om vektorn x innehåller x-värden och vektorn
y innehåller y-värden, returnerar polyfit
en vektor p som innehåller koefficienterna
för ett polynom p av gradtal n som anpassats
med minsta kvadratmetoden till datamängden.
yber=polyval(p,x) evaluerar polynomet p. Om x är en skalär så
returneras värdet av polynomet i punkten x.
Om x är en vektor evalueras polynomet för
vart och ett av elementen. Resultatet lagras i
yber.
pd=polyder(p) ger derivatan till polynomet vars koefficienter
är lagrade i vektorn p.
roots(p) ger nollställena till funktionen p(x) = 0.
Kretsprocesser 15

Grafikkommandon
plot(x,'+')
ritar kolumnerna i x mot deras index. Talparen
ritas ut med symbolen '+'.
plot(x,y,'+') ritar punkter i ett xy-diagram. y-värdena
finns i vektorn y och x-värdena i vektorn x.
Talparen ritas ut med symbolen '+'. Byts '+'
ut mot '-' ritas en linje mellan talparen.
loglog(x,y)
ritar en bild enligt plotkommandot, men med
10 log-skala längs båda axlarna.
semilogx(x,y) ritar en bild med 10 log-skala längs x-axeln
och linjär skala längs y-axeln.
semilogy(x,y) ritar en bild med 10 log-skala längs y-axeln
och linjär skala längs x-axeln.
axis([v1 v2 v3 v4]) sätter skalningen så att xmin=v1, xmax=v2,
ymin=v3 och ymax=v4.
hold on
håller kvar aktuell figur så att man kan rita
flera gånger i samma diagram med samma
skalning på axlarna.
hold off
avslutar kvarhållningen.
title('text') skriver 'text' överst i grafikfönstret.
xlabel('text') skriver 'text' under x-axeln.
ylabel('text') skriver 'text' vid y-axeln.
grid
ritar ett rutnät i grafikfönstret.
Övriga nyttiga kommandon
help
ger en lista över alla kommandon.
help kommando ger en förklaring till 'kommando'.
print
sänder en kopia av grafikfönstret till en skrivare.
En inledande punkt före varje operatortecken (.+, .-, .*, ./ osv.)
indikerar att det är en operation som skall utföras element för
element. Här krävs naturligtvis att matriserna har samma dimensioner.
Exempel: Följande MatLab-satser anpassar ett polynom med
minstakvadratmetoden.
16 Kretsprocesser

% Minsta kvadratanpassning med ett första
% ordningens polynom till mätserien y(1)=1.5,
% y(2)=2.0 samt y(3)=2.2.
% Observera att mätvärdena skiljs åt av mellanslag
% och att skiljetecknet för decimal är en punkt.
% Observera också att varje rad avslutas med ";".
% Om du utelämnar ";"-tecknet skriver MatLab ut
% (ekar) resultatet.
%---------------------------------------------
x=[1 2 3];
y=[1.5 2.0 2.2];
p=polyfit(x,y,1);
plot(x,y,'+')
hold on
yanp=polyval(p,x);
plot(x,yanp,'-')
xlabel('x')
ylabel('y(x)')
title('Min.kvad.anpassning')
GJ/CN, 2011
Kretsprocesser 17