Lösningar

P1. Behållare med vatten i ett slutet rum. MMVA01 2010-01-07
Givet: m w = 45 kg; T 1,w = 95 ◦ C; T 1,a = 12 ◦ C; V rum = 90 m 3 ; P 1,a =
101.3 kPa; behållarens massa försummas; ämnesdata vid 300 K.
Sökt: (a) T 2 , (b) S gen,tot
Låt hela rummet inklusive behållaren vara ett slutet system. Stela väggar
samt isolerat innebär att det inte sker något energiutbyte med omgivningen
(Q = W = 0). Energibalans, enkelt kompressibelt system:
0 = Q−W = ∆U = (∆U) a +(∆U) w .
Luften = perfekt gas: (∆U) a = [mc v (T 2 −T 1 )] a .
Table A-2: c v = 0.718 kJ/(kgK); m a = ρ 1,a V 1,a = ρ 1,a (V rum −V 1,w ), där
ρ 1,a = P 1,a /(R a T 1,a ), V 1,w = m w /ρ 1,w .
TableA-3:ρ 1,w = 961kg/m 3 ⇒ V 1,w = 0.0468m 3 , d.v.s.V 1,a = 89.95m 3 .
R a = 287 J/(kgK), T 1,a = 285.15 K ger ρ 1,a = 1.2378 kg/kg samt
m a = 111.3 kg.
Vattnet: (∆U) w = [mc(T 2 −T 1 )] w . Table A-3: c ≃ c p = 4.18 kJ/(kgK)
Insättning ger T 2 = 70.245 ◦ C = 343.40 K.
(b) Entropibudget med S in = S out = 0 ger S gen,tot = ∆S = ∆S a +∆S w ,
där ∆S a = [mc v lnT 2 /T 1 ] a = 14.86 kJ/kg, och ∆S w = [mclnT 2 /T 1 ] w =
−13.09 kJ/kg, d.v.s. S gen,tot = 1.77 kJ/K.
Svar: (a) T 2 = 70 ◦ C, (b) S gen,tot = 1.8 kJ/K.
Anm. Efter snabb uppskattning kunde givetvis luftens volym sättas till
rummets d:o.

P2. Isolerad värmeväxlare. MMVA01 2010-01-07
Givet: ˙Vo = 1.63 dm 3 /s; ρ o = 920 kg/m 3 ; c avg,o = 2.20 kJ/(kgK);
T 3 = 150 ◦ C; T 4 = 40.0 ◦ C; T 1 = 15.0 ◦ C; ṁ w = 2.50 kg/s.
Sökt: (a) T 2 , (b) Ṡgen,tot
Med kontrollvolym runt hela värmeväxlaren gäller ˙Q = Ẇother = 0. Vid
försumbaraändringari potentielloch kinetiskenergi,θ = h, gällerenligt
energibalans, stationära förhållanden:
˙Q−Ẇother = 0 = Σ(ṁh) out −Σ(ṁh) in
Massbalans: ṁ 1 = ṁ 2 = ṁ w ; ṁ 3 = ṁ 4 = ṁ o , vilket ger
0 = ṁ w (h 2 −h 1 )+ṁ o (h 4 −h 3 ),d.v.s.h 2 = h 1 +ṁ o (h 3 −h 4 )/ṁ w .Eftersom
h(T) för vätskor kan T 2 bestämmas.
ṁ o = (ρ˙V) o = 1.4996 kg/s; h 3 −h 4 = c avg,o (T 3 −T 4 ) = 242 kJ/kg
h 1 ≃ h f@15◦ C = 62.99 kJ/kg (Table A-4).
Insättning ger h 2 = 208.15 kJ/kg.
Med h 2 ≃ h f@T2 fås T 2 = 49.72 ◦ C.
(b)EnligtentropibudgetvidstationäraförhållandenfåsṠgen = Ṡout−Ṡin.
Endast massutbyte innebär Ṡout−Ṡin = ṁ o (s 4 −s 3 )+ṁ w (s 2 −s 1 ), där
s 4 −s 3 = c avg,o lnT 4 /T 3 = −0.6623 kJ/(kgK).
s 1 ≃ s f@15◦ C = 0.2245 kJ/(kgK), s 2 ≃ s f@49.72◦ C = 0.7001 kJ/(kgK),
s 2 −s 1 = 0.4756 kJ/(kgK).
Insättning ger Ṡgen = 0.1958 kJ/K.
Svar: (a) T 2 = 49.7 ◦ C, (b) Ṡgen,tot = 0.196 kJ/K.

P3. Rörkrök, infästningskraft. MMVA01 2010-01-07
Givet: p 1 = 180 kPa; p a = 100 kPa; D 1 = 0.050 m; D 2 = 0.085 m;
ϕ = 125 ◦ ; ˙V = 0.020 m 3 /s; T = 10 ◦ C; ∆p f = 0.
Sökt: F A,x , F A,y
Lägg en kontrollvolymrunt kröken, med in- och utlopp som skär igenom
infästningarna.
Impulssatsen (ett inlopp, ett utlopp): ṁ(V 2 −V 1 ) = ΣF CV , d.v.s.
x: ṁ(V 2,x −V 1,x ) = ΣF x
y: ṁ(V 2,y −V 1,y ) = ΣF y
Massflöde, ṁ = ρ˙V; Tabell: ρ = 999.7 kg/m 3 ⇒ ṁ = 19.994 kg/s.
V 1,x = V 1 = ˙V/A 1 = 4˙V/(πD 2 1) = 10.186 m/s; V 2 = (D 1 /D 2 ) 2 V 1 =
3.5245 m/s; V 2,x = V 2 cosϕ = −2.0216 m/s, vilket ger ṁ(V 2,x −V 1,x ) =
−244.08 N.
Kraft på kontrollvolymen från infästningen, R = −F A . I övrigt finns
endast tryckkrafter (horisontellt), d.v.s.
ΣF x = −F A,x +(p 1 −p a )A 1 −(p 2 −p a )A 2 cosϕ. Trycket p 2 kan beräknas
via Bernoullisutvidgadeekvation(utan förluster,inget teknisktarbete),
p 1 +ρV1 2 /2 = p 2 +ρV2 2 /2, vilket ger p 2 = 225.6 kPa.
Insättning ger F A,x = (157.08+408.97+244.08) N = 810.12 N.
V 1,y = 0, V 2,y = V 2 sinϕ = 2.8871 m/s, vilket ger ṁ(V 2,y − V 1,y ) =
57.725 N.
ΣF y = −F A,y −(p 2 −p a )A 2 sinϕ,vilketgerF A,y = −(584.06+57.725)N =
−641.8 N.
Svar: F A,x = 0.81 kN; F A,y = −0.64 kN.

P4. Vattenledning mellan två bassänger. MMVA01 2010-01-07
Givet: z 2 = 14 m; D = 60 mm; gjutjärn; skarpkantat inlopp; två rörböjar,
vardera med K L = 0.20; a = 11 m; b = 38 m; ventil, K L = 10;
˙V = 18 dm 3 /s.
Sökt: z 1
Bernoullis utvidgade ekvation mellan den stora ytan övre ytan (2) och
den motsv. undre ytan (1), inget tekniskt arbete:
p 1 +ρV 2
1 /2+ρgz 1 = p 2 +ρV 2
2 /2+ρgz 2 +∆p f ,
där p 1 ≃ p 2 = p a ; V 1 ≃ V 2 ≃ 0; ∆p f = (fl/D+ΣK L )ρV 2 /2. Insättning
ger z 1 = z 2 +(fl/D+ΣK L )V 2 /(2g).
Friktionsfaktor, f = φ(Re,ǫ/D), Re = ρVD/µ.
Tabell A1: ρ = 999.7 kg/m 3 , µ = 1.306×10 −3 Pas.
Medelhastighet,V = ˙V/A = 4V/(πD 2 ) = 6.366m/s,d.v.s.Re = 2.922×
10 5 (turbulent strömning).
Tabell 8-3: ǫ = 0.26 mm, d.v.s. ǫ/D = 0.00433. Haalands formel (s. 100)
ger f = 0.02948.
Rörlängd, l = a+b = 49 m, vilket ger fl/D = 24.07.
Skarpkantat inlopp, K L = 0.5 (Fig. 8-10); utlopp, K L = 1 (Fig. 8-8),
d.v.s. ΣK L = (0.5+2×0.20+10+1) = 11.9.
Insättning med g = 9.81 m/s 2 ger z 1 = 88.7 m.
Svar: z 1 = 89 m.
C. Norberg