2 Fourierserier

TNG032 Fö2 17 januari 2005
Olof Svensson
2 Fourierserier
a. Fourierserien till en funktion i E var:
Några kommentarer kring denna.
f(t) ∼ a ∞ 0
2 + ∑
(a n cos(nt) + b n sin(nt))
n=1
• Vad kan man ha detta till? Jo, t.ex. inom ellära så är de signaler som är enkla att hantera sin
svängningar. Och Fourierserien säger ju att varje signal kan skrivas som sin och cos.
• Varför sin nt och cos nt? Kan man välja något annat?
• Vi kan välja många andra funktioner som “baser”, så länge vi tar ortogonala, med avseende
på någon skaärprodukt. Även så bör det vara ett fullständigt eller slutet system. Sen om det
blir likhet eller inte är en svårare fråga. För Fourierserierna kan man säga att det avgjordes
först 1966. (Långt efter 1800!)
b. Om vi antar att f(t) är tillräcklig snäll, så har vi likhet i de flesta punkterna. Mer precist:
Om f ∈ E, och vänster och högerderivator finns i alla punkter i intervallet [−π, π], då konvergerar
Fourierserien, och:
f(t−) + f(t+)
= a ∞
0
2 2 + ∑
(a n cos(nt) + b n sin(nt))
n=1
Så, i punkter där f(t) är kontinuerlig (och derivatorna finns enligt ovan) kommer vi att få likhet.
c. Ännu bättre är Carleson: Det finns en berömd sats av Lennart Carleson, (1966), som säger att
Fourierserien till en funktion i L 2 konvergerar nästan överallt. Kontinuerliga funktioner på intervallet
[−π, π] är i L 2 så satsen säger att dess Fourierserier konvergerar nästan överallt. Exakt vad
nästan överallt betyer kan vi inte gå in på, men det säger att för kontinuerliga funktioner får vi
konvergens, i de flest punkter. Carlesons sats bekräftar Fouriers förmodan (från 1800 ca.!) att de
flesta funktioner kan uttryckas i Fourierserie.
d. Vi kan ta funktioner e int , för n = −∞ . . . ∞. De är ortogonala i L 2 [−π, π]. Och med projektionsformeln
kan vi utveckla i serie Det blir
f(t) ∼
∞∑
n=−∞
c n e int
Där koefficienterna c n är de som kommer från projektionsformeln:
c n = 〈f, eint 〉
‖e int ‖ 2
= ∫ π
−π f(t)eint dt
2π
= 1 ∫ π
f(t)e −int dt
2π −π
e. Vi kan också byta från L 2 [−π, π] till ett godtyckligt intervall, L 2 [a, a + T ], där T är längden på
intervallet, och perioden. Vi kommer att få ta andra basfunktioner. Vi väljer, med Ω = 2π/T .
1, sin nΩt, cos nΩt
Vi kan visa att de är ortogonala, och gå igenom samma härledning av Fourierserien som förut. Om
vi gör det får vi:
a ∞ 0
2 + ∑
(a n cos(nΩt) + b n sin(nΩt))
Där koefficienterna är
n=1
a n = 2 T
∫ a+T
a
f(t) cos(nΩt)dt,
b n = 2 T
∫ a+T
a
f(t) sin(nΩt)dt,
Vi väljer a så att det passar funktionen f(t) bäst.

2.4 Parseval
a. Vi ska nu gå igenom Parsevals likhet, som är en version av Pytagoras sats. Om f(t) ∈ E har
Fourierserien:
f(t) ∼ a ∞
0
2 + ∑
(a n cos(nt) + b n sin(nt))
Då gäller:
n=1
∫
1 π
|f(t)| 2 dt = |a 0| 2
π −π
2
+
∞∑ (
|an | 2 + |b n | 2)
Integralen kan tolkas som energi, effekt, likheten ovan ger då ett sätt att se hur mycket av effekten
som finns i en viss frekvensdel av signalen t.ex..
b. Vi kan använda Parseval för att beräkna serier, t.ex.vi har beräknat Fourierserien till den udda
fyrkantvågen f(t) = 1 då 0 < t < π och med Parseval kan vi då bestämma
∞∑
n=0
n=1
1
(2n + 1) 2
c. En generaliserad Parseval är, om f(t) och g(t) har Fourierserier
Då gäller:
f(t) ∼ a ∞
0
2 + ∑
(a n cos(nx) + b n sin(nt)) , g(t) ∼ c ∞
0
2 + ∑
(c n cos(nt) + d n sin(nt))
n=1
∫
1 π
f(t)g(t)dt = a 0c 0
π −π
2
+
n=1
∞∑ ( )
an c n + b n d n
Om f(t) = g(t) så blir denna version av Parseval samma som den tidigare.
d. En viktig sak är entydigheten av Fourierserier, om f(t), g(t) ∈ E, har samma Fourierserie, så är
f(t) = g(t), utom möjligen i ett ändligt antal punkter.
2.5 Gibbs fenomen
a. Gibbs fenomen är att Fourierserien i punkter där funktionen har ett språng, kommer Fourierserien
att “skjuta över målet”.
2.6 Sinus och Cosinusserier
a. Nu ska vi se på funktioner f(t) som är definierade i intervallet [0, π] och där uppfyller villkoren för
konvergens. Om vi vill använda oss Fourierserien på intervallet [−π, π] måste vi definiera funktionen
på hela intervallet. Och enklast är att välja f(t) att bli udda, eller jämn, då kommer ju antingen
a n = 0 eller b n = 0.
b. Cosinusserie Om vi tänker oss att f(t) som är definierad i intervallet [0, π] utvidgas till att bli
jämn i [−π, π], så
f(t) ∼ a ∞ 0
2 + ∑
a n cos(nt)
Där a n fås ur
a n = 2 π
∫ π
0
n=1
n=1
f(t) cos(nt)dt, n = 0, 1, 2, 3 . . .
c. Sinusserie Om vi tänker oss att f(t) som är deinierad i intervallet [0, π] utvidgas till att bli udda
i [−π, π], så
∞∑
f(t) ∼ b n sin(nt)
Där b n fås ur
b n = 2 π
∫ π
0
n=1
f(t) sin(nt)dt, n = 1, 2, 3 . . .
d. Sinus- och cosinusserier kommer vi att använda i 2.11.

2.7 Derivering och integrering av Fourierserier
a. Vi ska se om vi kan derivera eller integrera termvis i Fourierserier
b. Om f(t) och f ′ (t) ∈ E så gäller att
f(t) ∼ a ∞ 0
2 + ∑
(a n cos(nt) + b n sin(nt))
n=1
Och Fourierserien till f ′ (t) får vi genom att derivera i serien, om det gäller att f(−π) = f(π):
f ′ (t) ∼
∞∑
(−na n sin(nt) + nb n cos(nt))
n=1
c. Integration av Fourierserien till f(t) ∈ E:
f(t) ∼ a ∞ 0
2 + ∑
(a n cos(nt) + b n sin(nt))
n=1
Om vi integrerar enligt ∫ x
f(t)dt får vi en funktion av x, om vi utnyttjar Fourierserien till f och
−π
integrerar den termvis får vi:
∫ x
−π
f(t)dt ∼ a 0(x + π)
2
+
∞∑
n=1
[
an
n sin(nx) − b n
n (cos(nx) − cos(nπ)) ]
Vilket inte är en Fourierserie då x finns med (om a 0 ≠ 0). Här kan vi naturligtvis ersätta x med
Fourierserien till x.