Miniprojekt 2: 2D datorgrafik

Projektion (projection): Den matris som svarar mot projektionsavbildningen kan skrivas
( )
cos
P =
2 v sin v cos v
sin v cos v sin 2 .
v
Vad är här v? Vad blir P 2 ? Vad blir P 100 ? Vad är det(P )? Hur ser man egenvärden och egenvektorer
direkt här? Vad kan sägas om matrisinversen?
Spegling (reflection): Den matris som svarar mot speglingsavbildningen kan skrivas
( )
cos 2v sin 2v
S =
.
sin 2v − cos 2v
Vad är här v? Vad blir S 2 ? Vad är det(S)? Hur ser man egenvärden och egenvektorer direkt här?
Hur inser man att S −1 = S?
Translation (translation)
Ett standardsätt att göra det möjligt att hantera även s.k. affina avbildningar inom ramen för den
linjära teorin är att utöka objekten med ytterligare en komponent. Exempelvis kan den räta linjen
y = kx + m hanteras inom ramen för linjär teori genom att man utökar x till kolonnvektorn (x 1) t
och skriver ekvationen för den räta linjen enligt
( x
y = (k m) .
1)
Mer allmänt, om vi har en punkt (x, y) som vi önskar avbilda till en ny punkt (x ′ , y ′ ) enligt
x ′ = x + a, y ′ = y + b, låter vi den ursprungliga punkten representeras av vektorn (x, y, 1) t och
avbildningen till de primmade koordinaterna blir
⎛ ⎞ ⎛
⎝ x′
y ′ ⎠ = ⎝ 1 0 a
⎞ ⎛
0 1 b⎠
⎝ x ⎞
y⎠ .
1 0 0 1 1
Matriserna ovan för skalning, skjuvning, rotation, projektion samt spegling blir nu:
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
⎞
a 0 0
1 a 0
cos v − sin v 0
skalning ⎝0 b 0⎠ , skjuvning ⎝0 1 0⎠ , rotation ⎝sin v cos v 0⎠ ,
0 0 1
0 0 1
0 0 1
⎛
⎞ ⎛
⎞
cos 2 v sin v cos v 0
cos 2v sin 2v 0
projektion ⎝sin v cos v sin 2 v 0⎠ , spegling ⎝sin 2v − cos 2v 0⎠ .
0 0 1
0 0 1
Vad blir determinanten av dessa olika matriser?
Sammansatta avbildningar
En orsak till att man önskar bekriva transformationerna som linjära avbildningar är att man ofta
är intresserad av sammansatta avbildningar. Det kan t.ex. handla om att först vrida och sedan
translatera ett objekt. Avbildningsmatrisen för en sådan sammansatt operation blir ingenting annat
än produkten av motsvarande två matriser, vilken enkelt beräknas en gång för alla.
2