Miniprojekt 2: 2D datorgrafik

TNA005 VT 2007
Michael Hörnquist
Miniprojekt 2: 2D datorgrafik
I den här uppgiften studerar vi hur man kan använda sig av linjära avbildningar för att modifiera
bilder i två dimensioner. Mycket är repetition av vissa grundbegrepp ur linjära algebran, men
avsnitten om translation är antagligen nya för de flesta studenter.
Linjära avbildningar (linear transformations)
Minns att en avbildning (eller funktion) F kallas linjär om den uppfyller
F (αx + βy) = αF (x) + βF (y)
för alla x och y i avbildningens definitionsmängd (ett vektorrum eller ett linjärt rum, vilket är
synonymer) och alla skalärer (tal) α och β. Elementen i vektorrummet kan vara vanliga tal, men
de kan också vara vektorer i R n , funktioner, eller andra objekt.
Fundera: Är den funktion f som ges av f(x) = 2x + 3 linjär? Hur ser dess graf ut?
Skalning, skjuvning, rotation, projektion och spegling
Skalning (dilation): Den matris som svarar mot skalningsavbildningen kan skrivas
( ) a 0
.
0 b
Notera hur determinanten ger areaförändring. Vad händer om a < 0? Vad händer om b = 0? Vad
beskriver determinanten av matrisen? Vad har den för egenvärden och egenvektorer?
Skjuvning (shearing): Den matris som svarar mot skjuvningsavbildningen kan skrivas
( ) 1 a
,
0 1
om det handlar om skjuvning parallellt med x-axeln. Hur ser matrisen ut som svarar mot skjuvning
parallellt med y-axeln? Vad beskriver determinanten av matrisen? Vilka egenvektorer finns och
varför? Vad blir inversen av matrisen?
Rotation (rotation): Den matris som svarar mot rotationsavbildningen kan skrivas
( )
cos v − sin v
R =
.
sin v cos v
Åt vilket håll vrider den en punkt? Varför? Vad blir R 2 ? Vad är R 1.5 ? Vad är det(R)? Hur inser
man att egenvektorer endast finns för vissa speciella v (vilka)? Hur inser man enkelt vad inversen
blir?
1

Projektion (projection): Den matris som svarar mot projektionsavbildningen kan skrivas
( )
cos
P =
2 v sin v cos v
sin v cos v sin 2 .
v
Vad är här v? Vad blir P 2 ? Vad blir P 100 ? Vad är det(P )? Hur ser man egenvärden och egenvektorer
direkt här? Vad kan sägas om matrisinversen?
Spegling (reflection): Den matris som svarar mot speglingsavbildningen kan skrivas
( )
cos 2v sin 2v
S =
.
sin 2v − cos 2v
Vad är här v? Vad blir S 2 ? Vad är det(S)? Hur ser man egenvärden och egenvektorer direkt här?
Hur inser man att S −1 = S?
Translation (translation)
Ett standardsätt att göra det möjligt att hantera även s.k. affina avbildningar inom ramen för den
linjära teorin är att utöka objekten med ytterligare en komponent. Exempelvis kan den räta linjen
y = kx + m hanteras inom ramen för linjär teori genom att man utökar x till kolonnvektorn (x 1) t
och skriver ekvationen för den räta linjen enligt
( x
y = (k m) .
1)
Mer allmänt, om vi har en punkt (x, y) som vi önskar avbilda till en ny punkt (x ′ , y ′ ) enligt
x ′ = x + a, y ′ = y + b, låter vi den ursprungliga punkten representeras av vektorn (x, y, 1) t och
avbildningen till de primmade koordinaterna blir
⎛ ⎞ ⎛
⎝ x′
y ′ ⎠ = ⎝ 1 0 a
⎞ ⎛
0 1 b⎠
⎝ x ⎞
y⎠ .
1 0 0 1 1
Matriserna ovan för skalning, skjuvning, rotation, projektion samt spegling blir nu:
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
⎞
a 0 0
1 a 0
cos v − sin v 0
skalning ⎝0 b 0⎠ , skjuvning ⎝0 1 0⎠ , rotation ⎝sin v cos v 0⎠ ,
0 0 1
0 0 1
0 0 1
⎛
⎞ ⎛
⎞
cos 2 v sin v cos v 0
cos 2v sin 2v 0
projektion ⎝sin v cos v sin 2 v 0⎠ , spegling ⎝sin 2v − cos 2v 0⎠ .
0 0 1
0 0 1
Vad blir determinanten av dessa olika matriser?
Sammansatta avbildningar
En orsak till att man önskar bekriva transformationerna som linjära avbildningar är att man ofta
är intresserad av sammansatta avbildningar. Det kan t.ex. handla om att först vrida och sedan
translatera ett objekt. Avbildningsmatrisen för en sådan sammansatt operation blir ingenting annat
än produkten av motsvarande två matriser, vilken enkelt beräknas en gång för alla.
2

Uppgift
I det egendomliga Utlandet, 1 där man inte talar svenska utan engelska, undervisas i ämnet linjär
algebra på ett besynnerligt sätt. Studenterna blir väldigt duktiga på att räkna med matriser, att
bestämma egenvärden och egenvektorer, lösa ekvationssystem, beräkna determinanter, m.m., m.m.,
men de får aldrig chansen att se hur många av dessa begrepp kan tolkas geometriskt. Er uppgift är
nu att övertyga en sådan student om nyttan av att tolka begrepp geometriskt och hur detta lägger
grunden för tillämpningar inom datorgrafik. Dessvärre orkar dessa studenter varken lyssna eller
läsa speciellt mycket, och därför tvingas ni att vara mycket kortfattade (men korrekta, givetvis).
Er presentation skall innehålla åtminstone tre av avbildningstyperna skalning, skjuvning, rotation,
projektion, spegling och translation. Den skall också rymma begreppen determinant, invers, sammansatt
avbildning, egenvektor och egenvärde, men alla begrepp behöver inte exemplifieras för
varje avbildningstyp. Använd gärna de öppna frågor som finns i texten ovan, men ha ett fritt
förhållningssätt till dem.
Förslag på arbetsgång:
• Skaffa ett lämpligt objekt att låta genomgå olika avbildningar. Ett tråkigt exempel är det
”F” som användes på föreläsningen och som ges av
( )
0 2 2 7 7 2 2 8 8 0 0
.
0 0 8 8 10 10 14 14 16 16 0
Tag gärna något bättre.
• Skriv en funktion som givet en matris av det slag som anges ovan drar räta linjer mellan dess
koordinater.
• Utöka koordinatmatrisen så att det även blir möjligt att translatera objektet.
• Bygg ut funktionen ovan så den även fungerar för den nya typen av koordinatmatris.
• Pröva, lek, tänk, lek, pröva och tänk igen!
Redovisning
Ni skall redovisa arbetet på max två A4-sidor på engelska, samt muntligt på svenska eller engelska,
enligt kursinformationen. Konstnärlighet i bilderna är vare sig nödvändigt eller tillräckligt, men en
fördel.
1 med ett stänk av ironi
3

Litteraturlista
För att klara den engelska nomenklaturen uppmanas ni uppsöka biblioteket och låna godtycklig
lärobok med titeln ”Linear algebra” (finns även referensexemplar). På kurshemsidan finns även en
engelsk-svensk ordlista för högskolematematik.
• Linjär algebra, TNA002, G. Baravdish, kompendium utgivet av Linköpings universitet, ITN,
2006.
• MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap, andra utgåvan, P. Jönsson, Studentlitteratur,
Lund 2006.
• 3D Computer Graphics, 3rd ed., A. Watt, Addison-Wesley, 2000. [Kurslitteratur i kursen
i datorgrafik. Kapitel 1 innehåller mycket linjär algebra som den nödvändiga grunden för
grafiktillämpningar.]
4