33.9 Det elektriska fältet kan skrivas på ... - Laser Physics, KTH

33.9 

Det elektriska fältet kan skrivas på vektorform som E = [Ex Ey Ez] = [0 0 2.0⋅cos(π×10 15 (tx/c)]. 

Denna vektor kan i sin tur skrivas om som en fältstyrka multiplicerad med en 

riktningsvektor med beloppet 1, vilket i det här fallet blir ganska lätt: E = [0 0 

2.0⋅cos(π×10 15 (t-x/c)] = 2.0⋅cos(π×10 15 (t-x/c)⋅[0 0 1]. På samma form ska magnetfältet, B, tas 

fram. 

Fältstyrkan hos B, Bfält, fås ur fältstyrkan hos E, Efält = 2.0⋅cos(π×10 15 (t-x/c), genom formeln 

Efält / Bfält = c ⇒ Bfält = 2.0 ⋅cos(π×10 15 (t-x/c)/c. 

Riktningsvektorn hos B, eB, fås ur riktningsvektorn hos E, eE = [0 0 1], samt riktningsvektorn 

för propagationen, ek. Eftersom propagationen sker i positiv x-led gäller att ek = [1 0 0]. 

Formeln som ger eB är eE × eB = ek. Den kan lösas på två sätt: 

Det första sättet är genom den s.k. högerhandsregeln. Håll höger hands tumme, pekfinger och 

långfinger så att de bildar 90° vinkel mot varandra och ser ut som axlarna till ett koordinat 

system (x, y, z) enligt följande figur: 

Rita också upp ett koordinatsystem i rummet, antingen i huvudet eller på papper. Vrid handen 

så att tummen pekar längs med eE enligt detta koordinatsystem och långfingret längs med ek. 

Pekfingret kommer då peka längs med eB vilket kommer visa sig vara [0 –1 0]. 

Det andra, mer matematiska sättet är att helt enkelt räkna fram eB. Linjär algebra ger att eE × 

ex ey ez ex ey ez 

eB = ek ⇒ eB = ek × eE = det ek = det 1 0 0 = - ey = [0 –1 0] 

eE 0 0 1 

Slutligen blir alltså B = Bfält⋅eB = 2.0 ⋅cos(π×10 15 (t-x/c)/c ⋅ [0 –1 0] och eftersom alla enheter 

är SI-enheter är enheten på B tesla (T).

33.25 

Definiera λ som våglängden (= 3 m) och Em som amplituden på det elektriska fältet (= 300 

V/m). eE är det elektriska fältets riktningsvektor (= [0 1 0]) och ek är propagationsriktningen 

(= [1 0 0]). 

a) 

Det gäller att ljushastigheten c0 = λf där f är frekvensen. Detta ger f = c0/λ = 100 MHz (≈ 

svensk FM-radio) 

b) 

Magnetfältets amplitud, Bm, ges av Em/Bm = c0 ⇒ Bm = 1 μT. 

Magnetfältets riktningsvektor, eB, ges av högerhandsregeln eller linjär algebra (se uppgift 

34.9E) till [0 0 1] 

c) 

Vågtalet k = 2π/λ = 2.1 m -1 . 

Vinkelfrekvensen ω = 2πf = 630 Mrad/s. 

d) 

Intensiteten I = (c0μ0) -1 E 2 rms = (c0μ0) -1 (Em/sqrt(2)) 2 ≈ 120 W/m 2 . 

e) 

Definiera A som plattans area (= 2.0 m 2 ). 

Rörelsemängdsmoment som överförs till plattan under tidsintervallet Δt: ΔP = ΔU/c0 = 

I⋅A⋅Δt/c0. För att få hastigheten med vilken rörelsemängdsmoment överförs till plattan 

deriveras som vanligt rörelsemändsmomentet, P, med avseende på tiden, t, d.v.s. 

∂P 

ΔP 

I ⋅ A 

−7 

= = = 8 ⋅10 

Nm / s 

∂t 

Δt 

c 

0 

Strålningstrycket pr = I/c0 = 4⋅10 -7 Pa. 

Observera att båda storheterna i e)-uppgiften måste multipliceras med 2 vid en totalt 

reflekterande yta, på samma sätt som vid en elastisk respektive inelstisk stöt inom mekaniken.

33.26 

Definiera M = 1.99⋅10 30 kg som solens massa och ms = 1500 kg som skeppets massa. Solens 

effekt är P = 3.9⋅10 26 W. 

Gravitationskraften ges av FG = G⋅M⋅ms/r 2 där r är avståndet mellan solen och skeppet medan 

G = 6.67⋅10 -11 N⋅m 2 ⋅kg -2 är gravitationskonstanten. 

Trycket från solvinden är p = 2⋅I/c enligt (33-35) där I är intensiteten och c = 3⋅10 8 m/s är 

ljushastigheten. Kraften från solvinden blir sedan, enligt definitionen av tryck, FS = p⋅A där A 

är seglets area. 

Intensiteten från solen ges, om solen ses som en punktkälla vilket är rimligt på lite avstånd, av 

I = P/(4πr 2 ). 

För att krafterna ska ta ut varandra krävs att FG = FS vilket ger att A = 2G⋅M⋅ms⋅c⋅π/P ≈ 

10 6 m 2 .

33.35 

Definiera θ12 som vinkeln mellan den första polarisatorn och den andra (= θ1 + θ2 i figuren = 

60°). Definiera θ23 som vinkeln mellan den andra polarisatorn och den tredje( = θ2 + θ3 i 

figuren = 60°). Definiera I0 som intensiteten som faller in mot systemet. 

Intensitet: I0 

Opolariserat 


Polarisation: θ1 


Polarisation: θ2 

Ljuset som faller in mot den första polarisatorn är opolariserat. Opolariserat ljus som faller in 

mot en polarisator får alltid sin intensitet halverad. Alltså är I1 = I0/2. Vidare får ljuset samma 

polarisationsriktning som polarisatorn, d.v.s. θ1. 

Ljuset som faller in mot den andra polarisatorn är alltså polariserat. Den andel av ljuset som 

passerar polarisatorn ges av cos 2 Δθ där Δθ är vinkeln mellan ljusets polarisation och 

polarisatorns polarisationsriktning, d.v.s. mellan θ1 och θ2. Detta ger att I2 = I1 cos 2 θ12 = I0/8. 

Ljuset som passerat genom polarisatorn får ljuset samma polarisationsriktning som 

polarisatorn, d.v.s. θ2. 

Ljuset som faller in mot den tredje polarisatorn är alltså även det polariserat. Intensiteten som 

passerar genom ges av I3 = cos 2 θ23 = I0/32. 

Alltså har 1/32 av ljusintensiteten transmitterats, vilket motsvarar 3.1 %. 


Polarisation: θ3

33.38 

Definiera Iin som den intensitet som faller in mot solglasögonen och It som den intensitet som 

transmitteras genom dem. Iv är den vertikalt polariserade komponenten av Iin medan Ih är den 

horisontellt polariserade komponenten. Ev är den vertikalt polariserade komponenten av det 

infallande elektriska fältet medan Eh är den horisontellt polariserade komponenten. 

a) 

Den horisontella komponenten elimineras i glasögonen, vilket ger att It = Iv. Vidare är I 

proportionellt mot E 2 varför Iv = K⋅E 2 v samt Ih = K⋅E 2 h, där K är en konstant. Slutligen är 

enligt uppgiften Eh = 2.3⋅Ev. Det ger: 

I 

I 

t 

in 

= 

I 

v 

I v 

+ I 

h 

2 

KEv 

= 

KE + KE 

2 

v 

2 

h 

= 

K( 

E 

2 

v 

KE 

+ 

2 

v 

( 2. 

3E 

) 

v 

2 

1 

= 

) 1+ 

2. 

3 

2 

= 

0. 

16 

b) 

Nu transmitteras istället det som tidigare eliminerades, d.v.s. 1-0.16 = 0.84.

33.49 

θut 

θin 

Definiera θut som utfallsvinkeln (= 90°) och θin som infallsvinkeln. L är karets längd (= 1.10 

m) och h är dess höjd (= 0.85 m). n är vätskans brytningsindex. 

Geometri ger tan θin = L/h ⇒ θin = 52.3°. 

L 

Snells lag säger att nin⋅sin θin = nut⋅sin θut där nin är brytningsindex i mediet ljuset faller in från 

och nut är brytningsindex i mediet ljuset faller in mot. Snells lag applicerad på situationen i 

uppgiften, där nin = n och nut = nluft ≈ 1, ger att n = sin θin /sin θut = 1.26. 

h

33.66 

Glasets brytningsindex är n = 1.60 och toppvinkeln är φ = 60°. 

θ 

Kvadratvinkelsumma på kvadraten som utgörs av φ, β samt de två räta vinklarna mellan 

insidorna på prismats kanter och normalerna ger φ+β+90°+90° = 360° ⇒ β = 120°. 

Snells lag applicerad på brytningen i första sidan ger nluft⋅sin θ = n⋅sin θ1 ⇒ 

θ1 = sin -1 (sin θ /n). Antas nu att θ är liten (∼ < 30°) , eftersom vi söker minsta vinkeln, gäller 

att sin θ = θ. Det innebär att θ1 = θ /n, med vinkeln given i radianer. 

Triangelvinkelsumma på triangeln som utgörs av θ1, θ2 och β ger θ1 + θ2 + 2π/3= π ⇒ 

θ2 = π/3 - θ /n. 

Snells lag applicerad på brytningen i andra sidan ger n⋅sin θ2 = nluft⋅sin θ3 ⇒ 

θ3 = sin -1 [n⋅sin(π/3 - θ /n)]. 

Totalreflexion sker när θ3 blir imaginär, d.v.s. då n⋅sin(π/3 - θ /n) > 1. Det ger att gränsvärdet 

går där π/3 - θ /n = sin -1 (1/n), jmf formel (33-44) i boken. Med angivet värde n = 1.60 blir 

θ = 34°. Antagandet att vinkeln är liten håller nätt och jämt, så resultatet är inte helt exakt. 

Om man inte antar små vinklar måste svaret räknas ut numeriskt. Det ger det exakta svaret 

θ = 36°. 

φ 

θ1 θ2 

β 

θ3

34.3 

x 

Ur uppgiften d = 3.0 m. 

B 

d d 

d/2 

θi 

θR 

Reflektionslagen ger att θR = θi. Om punkten där strålen från tjuven träffar spegeln flyttas 

längs med spegeln inses att ju längre från säkerhetsvakten punkten kommer, desto större blir 

θR och därmed också θi. Ju större θi blir, desto kortare blir x och desto närmare spegeln är 

alltså tjuven. Det betyder att punkten på spegeln där säkerhetsvakten först ser tjuven är 

punkten närmast honom själv. I den punkten är enligt figuren θR = tan -1 (d/d) = 45°. Det ger 

θi = 45° och ur geometri x = (d/2)/tan θi = d/2 = 1.5 m. 

S 

d

34.33 

Definiera r som sfärens radie och n som dess brytningsindex. Omgivningen antas vara luft. 

a) 

Lagen för avbildning vid en övergång mellan två material är: 

n1 n2 

n2 

− n1 

+ = 

p i r 

där n1 och n2 är brytningsindex i materialet ljuset faller in från respektive materialet ljuset 

faller in mot. p är objektavståndet, i bildavståndet och r är ytans krökningsradie. Om ytan 

buktar ut mot det infallande ljuset är r positiv, om den buktar ut bort från det infallande 

ljuset är r negativ. I situationen i uppgiften buktar ytan ut mot det infallande ljuset varför 

krökningsradien är positiv. Krökningsradien är den radie en yta skulle haft om den vore en 

cirkel eller en sfär. Detta kanske kan illustreras med följande figur: 

r 

r 

nluft 

n 

R 

Observera att en yta inte behöver ha samma krökningsradie över hela ytan utan krökningen 

kan variera. I situationen i uppgiften är ytan däremot verkligen en del av en riktig sfär och 

krökningsradien är radien på denna sfär, d.v.s. R. Eftersom ytan buktar mot ljuset är 

krökningsradien +R, annars hade den varit –R. 

I uppgiften är vidare p = ∞ eftersom strålarna är parallella, i = 2R eftersom strålarna ska skapa 

en bild på baksidan av sfären, n1 = nluft och n2 = n. Detta insatt i formeln ovan ger: 

nluft n n − nluft 

+ = ⇒ n = 2 

∞ 2R 

R 

b) 

Om strålarna ska skapa en bild i mitten av sfären blir i = R medan övriga variabler är samma 

som i a)-uppgiften. Det ger: 

nluft n n − nluft 

+ = ⇒ n = n −1 

∞ R R 

Sambandet n = n – 1 kan enbart gälla om n = ∞.

34.45 

h 

p i 

Definiera p som objektavståndet (=27 m), i som bildavståndet, h som höjden på skådisen 

(=1.80 m) samt h’ som skådisens höjd på filmen. f är linsens fokallängd (=75 mm). 

Linsformeln är: 

1 1 1 

= + 

f p i 

där f är linsens fokallängd, p är objektavståndet och i är bildavståndet. Linsformeln gäller 

enbart då omgivningen är luft, vilket antas vara fallet i uppgiften. Applicerad på situationen i 

uppgiften ger linsformeln: 

1 1 1 

= + ⇒ i = 0. 

0752 

0. 

075 27 i 

Som synes är i ≈ f vilket är fallet då p >> f. Det är denna situation som brukar approximeras 

med p = ∞. Förstoringen ges av m = -i/p = -2.8⋅10 -3 . Att förstoringen är negativ innebär att 

bilden hamnar upp och ned. h’ ges nu av |m| = h’/h ⇒ h’ = 5 mm. 

h’

34.49 

Infallande ljus 

Variant A 

Infallande ljus 

Variant B 

Definiera ng som glasets brytningsindex (=1.5). R är absolutbeloppet av den konvexa sidans 

krökningsradie (= 0.2 m) medan den plana sidans krökningsradie är ∞. Omgivningen är luft, 

vars brytningsindex nluft ≈ 1. 

a) 

Linsmakarformeln är: 

n ⎛ 1 1 ⎞ 

= ( n'−n) 

⎜ − ⎟ 

f ⎝ r1 

r2 

⎠ 

där f är linsens fokallängd, n är brytningsindex i den omgivning där linsen är tänkt att 

användas, n’ är linsmaterialets brytningsindex, r1 är krökningsradien hos linsens framsida och 

r2 är krökningsradien hos linsens baksida. Appliceras linsmakarformeln på situationen i 

uppgiften erhålls, om linsen är vänd enligt variant A: 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 

= ( ng 

−1) 

⎜ − ⎟ ⇒ f = 0. 

4m 

f ⎝ R ∞ ⎠ 

Om linsen istället är vänd enligt variant B erhålls: 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 

= ( ng 

−1) 

⎜ − ⎟ ⇒ f = 0. 

4m 

f ⎝ ∞ − R ⎠ 

Som synes spelar det ingen roll hur linsen är vänd, fokallängden blir densamma. 

b) 

Objekt placerad på fokallängds avstånd ger en bild i oändligheten.

34.88 

robj 

fobj 

Det måste antas att infallsvinkeln är så pass liten att den stråle som passerar genom mitten av 

objektivet också passerar genom mitten av ockularet (d.v.s. the eyepiece). Detta är vanligen 

fallet vid väldigt avlägsna objekt som betraktas med teleskop. 

Definiera robj som radien hos objektivet (=75/2 mm) och reye som radien hos ockularet. fobj är 

objektivets fokallängd och feye är ockularets. mθ är vinkelförstoringen (=36). 

Strålarna mellan linserna i figuren bildar två likformiga trianglar, under förutsättning att 

antagandet om infallsvinkeln gäller. Det innebär att fobj/robj = feye/reye ⇒ reye = robjfeye/fobj. 

Vinkelförstoringen kan beräknas ur formeln mθ = fobj/feye varför reye = robj/mθ ≈ 1 mm. 

Diametern som krävs blir alltså runt 2 mm. 

feye 

reye

34.89 

Definiera fobj som objektivets fokallängd (=0.04 m) och feye som ockularets fokallängd 

(=0.08m). O är objektet, I är den reella bild som skapas av objektivet och I’ är den virtuella 

bild som skapas av ockularet. s är tublängden. p1 är objektavståndet vid avbildningen i 

objektivet, i1 är motsvarande bildavstånd medan p2 är objektavståndet vid avbildningen i 

ockularet. 

a) 

Enligt uppgift är 25 cm = fobj +s+feye ⇒ s = 13 cm. 

b) 

Eftersom bilden I ska hamna precis innanför feye gäller att i1 ≈ f1 + s = 17 cm. 

Linsformeln ger: 

1 1 1 

= + ⇒ 

f i p 

1 

1 

O 

1 

I’ 

p 

1 

fobj 

= 

5. 

2 

cm 

fobj 

c) 

Den laterala förstoringen ges av m = -i1/p1 = -3.3. 

d) 

Vinkelförstoringen ges av formeln mθ = 25 cm / feye = 3.1. Just siffran 25 cm kommer från att 

detta är det kortaste avstånd på vilket ett normalt öga kan upplösa en bild och därför är det 

arbetsavstånd som vanligen används i mikroskopet. Formeln härleds i sin helhet på s.849-850 

i boken. 

e) 

Totala förstoringen ges av den laterala förstoringen i den första avbildningen multiplicerat 

med vinkelförstoringen i den andra. D.v.s. M = m⋅mθ = -3.3⋅3.1 = -10.2. 

s 

I 

feye 

p1 i1 p2

34.93 

p i 

Definiera p som objektavståndet (=0.4 m) och i som bildavståndet. f är linsens fokallängd vid 

parallellt inkommande strålar (=0.025 m) och f’ är linsens fokallängd vid situationen ovan. 

a) 

Eftersom parallellt inkommande strålar avbildas i fokus blir bildavståndet i det läget f, d.v.s. 

2.5 cm. Då objektet närmar sig måste bilden fortfarande hmna på näthinnan, d.v.s. i = 2.5 cm. 

Linsformeln ger i denna situation: 

1 1 1 

' 

= + ⇒ f = 0. 

0235 m 

f ' 0. 

4 0. 

025 

b) 

Eftersom f minskar blir linsen starkare. En starkare lins betyder att krökningen ökar. Detta 

innebär, faktiskt, att krökningsradien minskar. Detta kan också härledas ur linsmakarformeln 

som är (se uppgift 35.20E): 

n ⎛ 1 1 ⎞ 

= ( n'−n) 

⎜ − ⎟ 

f ⎝ r1 

r2 

⎠ 

Från bild 35-34 syns det att båda krökningsradierna är lika till beloppet men är vända åt olika 

håll. Om krökningsradien är R innebär detta att linsformeln blir: 

n ⎛ 1 1 ⎞ 2 n 

= ( n'−n) 

⎜ − ⎟ = ( n'−n) 

⇒ f = R ⇒ f ∝ R 

f ⎝ R − R ⎠ R 2( 

n'−n) 

Om f minskar minskar alltså även krökningsradien.

34.105 

Strategin är att först räkna ut avbildningen i den första linsen, som om den andra inte fanns. 

Därefter används bilden från den första linsen som ‘objekt’ vid avbildningen i den andra 

linsen. Eftersom linserna är ‘tunna’ upptar de en försumbar plats i rummet. Två tunna linser i 

optisk kontakt med varandra kan alltså sägas vara placerade i samma punkt längs med den 

optiska axeln. Alltså befinner sig båda linserna i systemets huvudplan. Det innebär bl.a. att 

bildavståndet i den andra avbildningen blir avståndet från bilden till huvudplanet och alltså 

hela systemets bildavstånd. Eftersom strålar som faller in från oändligheten mot en lins eller 

ett linssystem bryts ihop i fokus, kan fokus hittas genom att se var bilden hamnar om 

objektavståndet är ∞. 

Definiera p1 och p2 som objektavståndet i den första avbildningen (=∞ enligt planen ovan) 

respektive i den andra avbildningen. Definiera i1 och i2 som bildavstånden. f är fokallängden 

hos hela systemet medan f1 och f2 är fokallängden hos första respektive andra linsen. 

Linsformeln applicerad på den första avbildningen blir: 

1 1 1 

= + ⇒ i1 

= f1 

f ∞ i 

1 

1 

Objektavståndet i den andra avbildningen blir nu –f1 eftersom ‘objektet’ ligger på ‘fel’ sida 

om linsen. Linsformeln applicerad på den andra avbildningen blir då: 

1 1 1 

f1 

f2 

= + ⇒ i2 

= ... = 

f − f i 

f + f 

2 

1 

2 

1 

2 

Eftersom den slutliga bilden hamnar i i2 då objektet är i oändligheten måste i2 vara systemets 

fokallängd, f. Alltså blir f=f1f2/(f1+f2) V.S.V. 

i2 

i1

34.121 

a) 

Definiera p som objektavståndet till mitten av staven. L är stavens längd och f spegelns 

fokallängd. A är stavens främre ände, B dess bakre ände och iA, iB är bildavstånden för A 

resp. B. pA och pB är objektavstånden för A resp. B medan L’ är längden på bilden av staven. 

Linsformeln är: 

1 1 1 

= + 

f p i 

där f är fokallängden hos linsen eller spegeln, p är objektavståndet och i är bildavståndet. 

Applicerad på situationen i uppgiften ger linsformeln att: 

1 1 1 1 1 1 

= + samt = + 

f p i 

f p i 

A 

A 

B 

B 

Efersom A ligger på avståndet L/2 framför mittpunkten och objektavståndet för mittpunkten 

är p blir pA = p - L/2. På samma sätt blir pB = p + L/2. Längden av bilden på staven blir nu: 

−1 

−1 

⎛ 

1 1 

⎞ ⎛ 

1 1 

⎞ 

2 

f 

L' = iA 

− iB 

= 

⎜ 

− 

⎟ 

− 

⎜ 

− 

⎟ 

= ... = L 

⎜ 

2 

2 

2 

f p − L ⎟ ⎜ f p + L ⎟ 

2 

2 

p − 2 pf + f − L 

⎝ 

⎠ ⎝ 

⎠ 

4 

Eftersom staven enligt uppgiften är kort gäller att L

34.122 

Definiera d som det verkliga djupet myntet ligger på, da som djupet myntet verkar ligga på, θi 

som infallsvinkeln, θu som den utgående vinkeln och n som vattnets brytningsindex. L är 

avståndet från myntet till den punkt där den undersökta strålen korsar vattenytan. 

Omgivningen är luft. 

Snells lag applicerad på situationen i uppgiften ger n⋅sin θi =nluft⋅sin θu. Antas små vinklar, 

d.v.s. sin θi ≈ θi, samt nluft ≈ 1 ger detta att θu ≈ nθi. 

Geometri ger att tan θi = L/d samt att tan θu = L/da. Antas små vinklar, d.v.s. tan θ ≈ θ, ger 

detta att θi ≈ L/d samt θu ≈ L/da. 

Genom att sätta samman de tre formlerna ovan för vinklarna erhålls da = d/n, V.S.V. 

En alternativ lösning är att använda formeln för avbildning vid en övergång mellan två 

material. I situationen i uppgiften är n1 = n, n2 = nluft ≈ 1, p = d och i = - da. Krökningsradien r 

= ∞ eftersom det rör sig om en plan yta. Det ger: 

n 1 1− 

n d 

+ = ⇒ da 

= V. 

S. 

V. 

d − d ∞ n 

a 

d 

n 

nluft 

L 

θu 

θi 

da

35.4 

Definiera λ0 som våglängden i luft/vacuum (=589 nm). c0 är ljushastigheten i luft/vacuum 

(=3⋅10 8 m/s). 

a) 

Frekvensen f = c0/λ0 = 510 THz. 

b) 

Våglängden i glas med brytningsindex n = 1.52 är λg = λ0/n = 388 nm. 

c) 

Frekvensen är samma i alla material. Ljushastigheten i glaset är cg = λg⋅f = 2⋅10 8 m/s.

35.13 

n2 

n1 

L1 

L2 

Definiera n1 som brytningsindex i det undre blocket (= 1.40), n2 som brytningsindex i det övre 

blocket (= 1.60), L1 som längden av det undre blocket (= 4 μm) och L2 som längden av det 

övre blocket (= 4 μm). λ0 är vacuumvåglängden för det infallande ljuset (= 600.0 nm). 

a) 

Våglängden i det undre blocket är λ1 = λ0/n1 = 429 nm. 

Våglängden i det övre blocket är λ2 = λ0/n2 = 375 nm. 

Antalet våglängder ljuset tillryggalägger i det undre blocket är j1 = L1/λ1 = 9.32. 

Antalet våglängder ljuset tillryggalägger i det övre blocket är j2 = L2/λ2 = 9.33. 

Antalet våglängder ljuset tillryggalägger i de båda blocken är således lika. Men ljuset som tar 

vägen genom det övre blocket tillryggalägger även en sträcka L1-L2 i luft. Antalet våglängder 

i denna sträcka är (L1-L2)/λ0 = 0.833. Alltså är skillnaden mellan den övre och undre vågen 

efter passagen genom blockkonstruktionen 0.833 våglängder. 

b) 

Om skillnaden är ett helt antal, m, våglängder fås konstruktiv interferens, om skillnaden är 

(m+0.5) antal våglängder fås destruktiv interferens. 0.833 ligger emellan 0.5 och 1 varför 

interferensen varken blir konstruktiv eller destruktiv utan mittemellan.

35.15 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

d * 

* 

* 

Definiera d som avståndet mellan sändarna (= 2.0 m) och λ som våglängden (= 0.5 m). 

Interferensen mellan de två sändarna fungerar på samma sätt som interferensen i en 

dubbelspalt. Maxima ges av formeln för interferens i en dubbelspalt d⋅sin θ = mλ. Hur många 

maxima som finns begränsas av |sin θ| ≤ 1. Med de värden som ges i uppgiften leder detta 

villkor till |m| ≤ 4. Det ger följande möjliga värden på m: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Totalt 

alltså 9 maxima. Men eftersom sändarna, till skillnad från dubbelspalten, emitterar åt båda 

hållen finns det även 9 maxima i den andra riktningen. Det borde alltså ge totalt 18 maxima 

men m = 4 motsvarar 90° varför dessa båda maxima överlappar varandra och räknas som ett 

maxima. Samma sak gäller m = -4. Totalt finns alltså 16 maxima.

35.19 

d 

θ 

Uppförstoring av 

dubbelspalten 

θ 

Uppställningen 

Definiera d som avståndet mellan spalterna (= 1.20 mm), L som avståndet från spalterna till 

skärmen (= 5.40 m), h som avståndet mellan spalterna och θ som utfallsvinkeln från gittret. λ 

är våglängden (= 500 nm). 

De ljusa fransarnas position ges av formeln för interferens i en dubbelspalt. Den är d⋅sin θ = 

mλ. 

Geometri ger vidare att tan θ = h/L om h avser avståndet mellan första och andra ljusa 

fransen. 

Om h avser avståndet mellan första och andra ljusa fransen kan θ antas vara liten varför sin θ 

≈ tan θ. Detta tillsammans med de båda sambanden ovan ger h = 2.25 mm. 

I lösningen utgicks från att h var avståndet mellan första och andra fransen. Avståndet mellan 

fransarna kommer sjunka gradvis då θ ökar men är approximativt konstant 2.25 mm nära den 

mittersta fransen. 

L 

h

35.32 

Definiera E1 = E0 sin[ωt], E2 = E0 sin[ωt + φ] samt E0 = 2.00 µV/m, ω = 1.26⋅10 15 s -1 och φ = 

39.6 rad. 

a) Det totala fältet blir E = E1 + E2 = E0 (sin[ωt] + sin[ωt + φ] ) = 2 E0 sin[ωt + 

φ/2]cos[φ/2]. Tidsberoendet finns enbart i sinus-termen, därför motsvarar den termen 

oscillationen medan 2E0cos[φ/2] = 2.33 µV/m motsvarar amplituden. 

b) Intensiteten I är proportionell mot E 2 , d.v.s. I = C⋅E 2 där C är en konstant i 

sammanhanget. I mitten är fasskillnaden φ = 0, så intensiteten blir Icen = C⋅4 E0 2 . I 

punkten P gäller IP = C⋅4 E0 2 cos 2 [φ/2]. Kvoten mellan dessa blir cos 2 [φ/2] = 0.34. 

c) Mellan varje minimum, alltså mellan varje mörk frans, är fasskillnadsavståndet 2π. 

Eftersom φ / 2π = 6.3 ligger alltså P mellan sjätte och sjunde minimum, före det 

mellanliggande maximum. 

d) Fasdiagram ingår egentligen inte i kursen men svaret är ω. 

e) Fasdiagram ingår egentligen inte i kursen men svaret är φ vilket är ekvivalent med 

0.6π eftersom sin(φ + 2π) = sin(φ).

35.39 

Först viktigt att veta: Om en stråle reflekteras mot ett tätare medium (alltså om ytan den 

reflekteras mot har högre brytningsindex än materialet den kommer från) genomgår strålen ett 

fasskifte på Δφ = π rad. Det motsvarar en tillryggalagd sträcka av en halv våglängd eftersom 

en våglängd motsvarar en fas φ = 2π rad. 

Situationen i uppgiften: 

B 

A 

n1=1 

n2=1.25 

n3=1.5 

Stråle A reflekteras mot filmens yta. Stråle B transmitteras genom filmens yta, reflekteras mot 

glaset och transmitteras därefter ut ur filmen. Övriga transmissions/reflektions kombinationer 

blir antingen så svaga att de kan negligeras (om de slutar med att de reflekteras bakåt så som 

A & B) eller så blir de automatiskt omhändertagna genom T=1-R (om de transmitteras genom 

glaset). 

Stråle A och stråle B interfererar med varandra. Om de interfererar konstruktivt blir 

reflektionen från filmen stor. R blir nära 1 och en högreflektiv film har skapats. Om de 

interfererar destruktivt blir reflektionen från filmen liten. R blir nära 0, varför transmissionen 

T blir nära 1. En anti-reflex behandling har skapats. 

För att kunna se hur A och B interfererar undersöks skillnaden i den optiska väglängd de har 

tillryggalagt. Eftersom både har tillryggalagt samma sträcka till och från filmen behöver bara 

sträckan i filmen undersökas. 

Stråle A tillryggalägger ingen sträcka i filmen men genomgår ett fasskifte eftersom n2 > n1. 

Dess optiska väglängd blir därför DA = λ/2. 

Stråle B tillryggalägger sträckan 2d i filmen, där d är filmens tjocklek. Eftersom filmen har 

brytningsindex n2 upplevs den sträckan optiskt som en faktor n2 längre. Den genomgår också 

ett fasskifte eftersom n3 > n2. Dess optiska väglängd blir då DB=2n2d+λ/2. 

Den optiska väglängdsskillnaden blir ΔD = |DA-DB| = 2n2d. Om ΔL är ett helt antal 

våglängder blir interferensen konstruktiv, om ΔD är 0.5, 1.5, 2.5... o.s.v. antal våglängder blir 

interferensen destruktiv. Eftersom en anti-reflex (AR) behandling söks ska interferensen vara 

destruktiv varför ΔD = (m+0.5)λ. Eftersom det tunnaste skiktet söks sätts m = 0, vilket leder 

till att d = 120 nm för λ = 600 nm.

35.53 

a) 

Definiera n1 som luftens brytningsindex (=1), n2 som kerosenets brytningsindex (=1.2) och n3 

som vattnets brytningsindex (=1.3). ΔD är den optiska väglängdsskillnaden mellan en 

ljusstråle som passerar rakt genom kerosenet och en stråle som passerar genom kerosenets 

ytskikt, reflekteras mot vattnet, reflekteras igen mot luften och därefter passerar vidare ut i 

vattnet. L är tjockleken på kerosenet. 

Undersöker transmissionen genom oljan och utnyttjar att en låg transmission ger hög 

reflektion enligt 1=T+R. För transmissionen gäller att stråle A passerar rätt genom kerosenet, 

varför dess väglängd är DA= n2L. Stråle B reflekteras mot kerosenskiktets undersida, vänder 

uppåt och reflekteras sedan tillbaka mot skiktets ovansida för att slutligen transmitteras ned i 

vattnet. Den upplever alltså ett fasskifte, vid reflektionen mot skiktets undersida och DB = 

3n2L+λ/2. Alltså är ΔD = 2n2L+λ/2. Eftersom våglängder som ger hög reflektion söks ska 

transmissionen vara låg och interferensen mellan de transmitterade strålarna således 

destruktiv. Detta ger ΔD = (m+½)λ vilket leder till λ = 2n2L/m. En tabell över vilken 

våglängd som motsvarar varje m-värde blir: 

m = 1 -> λ = 1100 nm 

m = 2 -> λ = 550 nm 

m = 3 -> λ = 370 nm 

Ju högre m desto lägre våglängd. Eftersom uppgift frågar efter vilken våglängd som ”syns” 

starkast kan enbart synligt ljus komma ifråga. Redan m = 3 ger UV-ljus så tabellen behöver 

inte fortsätta. 1100 nm är IR så svaret måste bli 550 nm. 

b) 

Här efterfrågas istället hög transmission, d.v.s. konstruktiv interferens. Detta ger ΔD = mλ 

vilket leder till λ = 2n2L/(m+½). Tabellen blir: 

m = 0 -> λ = 2200 nm 

m = 1 -> λ = 736 nm 

m = 2 -> λ = 442 nm 

m = 3 -> λ = 315 nm 

2200 nm är IR, 315 nm är UV. Kvar är 736 nm samt 442 nm som båda är synliga. Ögats 

känslighet toppar dock runt 550 nm varför 442 nm syns klart bättre. Alltså syns 442 nm bäst.

35.54 

Definiera tjockleken l = 272.7 nm. λ är våglängden i allmänhet och en av våglängderna som 

upplever maximal reflektion är λm = 600 nm. Brytningsindex hos filmen är n och luftens 

brytningsindex sätts till nluft = 1. ΔD är vägskillnaden för ljusstrålarna. 

Vi tittar på reflektion där stråle A och B definieras på samma sätt som i uppgift 35.39. 

Skillnaden är att i det här fallet är brytningsindex bakom filmen ( = n3 i uppgift 35.39) lägre 

än brytningsindex i filmen. Det innebär att stråle B inte upplever något fasskifte. Alltså blir 

ΔD = 2nl+λ/2. Konstruktiv interferens kräver att ΔD = mλ, där m är ett godtyckligt heltal. Vi 

vet alltså att 2nl+λm /2 = mλm → n = (m+1/2) λm /(2l). 

m = 0 ger n < 1, så det är omöjligt. m = 1 ger n = 1.65 vilket är fullt rimligt. m > 1 ger n > 

2.75 vilket låter orimligt högt. Ett rimligt antagande om brytningsindex ger därför att m = 1 

för reflektionsmaximat vid 600 nm. Det innebär att n = 1.65. 

För destruktiv interferens krävs att ΔD = (m+1/2)λ → 2nl+λ /2 = (m+1/2)λ → λ = 2nl/m. 

Följande våglängder kommer alltså att ge destruktiv interferens: 

m = 0 motsvarar ∞ nm 

m = 1 motsvarar 900 nm 

m = 2 motsvarar 450 nm 

m = 3 motsvarar 300 nm... 

I uppgiften framgår inte bandbredden på det vita ljuset så ingen specifik våglängd kan sägas 

vara viktigare än de andra. I en sån här situation skulle alltså alla våglängder ge rätt svar på 

tentan. Men eftersom 600 nm är inom det vita ljusets bandbredd kan man kanske anta att det 

är synligt ljus som avses i uppgiften varför 450 nm är svaret som söks. Observera att det är en 

vanlig formulering på tentor och inlämningsuppgifter att fråga om vilken våglängd som syns 

starkast eller svagast. I sådana fall avses enbart synliga våglängder, eftersom övriga ju inte 

”syns”.

35.75 

Definiera l som den andra kateten i den triangel som utgörs av r, R och den vertikala 

mittlinjen. l går alltså längs med den vertikala mittlinjen. 

Interferensmönstret uppstår genom att strålar som passerar genom det övre glasets första yta 

och reflekteras mot det övre glasets andra yta (stråle A) interfererar med strålar som passerar 

genom det övre glaset, reflekteras mot det undre glaset och sedan passerar tillbaka genom det 

övre glaset (stråle B). Skillnaden i väglängd uppstår alltså i luftgapet som fungerar som en 

tunn film med tjocklek d. 

l 

d 

θ 

r 

R 

d 

Först måste ett uttryck för d som funktion av de kända sträckorna r och R härledas. Ur 

geometri kan ses att eftersom R är en radie och l+d utgör en sträcka från centrum till sfärens 

kant måste l+d = R. Pythagoras sats ger vidare att l 2 = R 2 – r 2 . Genom att sätta samman de 

båda uttrycken fås R 2 – r 2 = R 2 – 2Rd + d 2 . Eftersom r

35.81 

Interferensmönstret uppstår genom vägskillnaden mellan stråle A som går i den övre armen 

och stråle B som går i den horisontella armen. När vacuumpumpen ändrar trycket i 

vacuumkammaren ändrar den väglängden för stråle B och, eftersom stråle A har konstant 

optisk väglängd, därmed vägskillnaden ΔD. 

Den optiska väglängden genom kammaren för stråle B innan pumpen börjar pumpa är DB1 = 

2nluftd, där d = 5 cm är kammarens längd. Efter det att pumpen har pumpat ut luften är den 

optiska väglängden DB2 = 2d. Ändringen i ΔD blir δ(ΔD) = |DB2 – DB1| = 2(nluft – 1)d. 

Interferensfransar, d.v.s. maxima, bildas då ΔD = mλ. En ändring på 60 fransar motsvarar en 

ändring från m till m+60. Alltså blir δ(ΔD) = (m+60)λ -mλ = 60λ. Detta ger nluft = 1.0003.

36.10 

d 

ϕ 

Definiera L som salens längd (= 100 m), d som bredden på talarbåsets öppning (= 0.3 m) och 

h som avståndet mellan lyssnarens position längs med väggen och väggens mittpunkt. θ är 

utfallsvinkeln från talarbåset, vs är ljudhastigheten i luft (= 343 m/s) och f är ljudets frekvens 

(= 3 kHz). 

Ljudets våglängd ges av λs = vs/f = 11.4 cm. 

Diffraktionsmönstret ges av diffraktionsformeln för en spalt som är a⋅sin θ = mλ där a är 

spaltens bredd, θ är utfallsvinkeln till ett minimum, m är detta minimums ordning (m = ±1, 

±2, ±3,..) och λ är våglängden. Applicerad på situationen i uppgiften ger diffraktionsformeln 

d⋅sin ϕ = mλs. Eftersom första minimum söks är m = 1 ⇒ ϕ = 22.4°. 

Geometri ger vidare att tan ϕ = h/L vilket ger h = 41.2 meter. 

L 

h

36.22 

Ljuskällan Skada på ögonlinsen ger detta 

diffraktionsmönster på näthinnan 

θ 

Det gör att bilden 

uppfattas så här av hjärnan 

Definiera θ som vinkelavståndet mellan toppen och botten av ringen runt lampan (= 2.5°) och 

λ som våglängden (= 550 nm). 

Ett cirkulärt mönster innebär cirkulär ojämnhet. Första diffraktionsminimum hittas med hjälp 

av diffraktionsformeln för en cirkulär öppning. Denna formel är sin ϕ = 1.22 λ/a där ϕ är 

vinkelavståndet mellan centralmaximum och första minimum, λ är våglängden och a är 

diameterna på den cirkulära öppningen. I situationen i uppgiften sägs det dock att första 

diffraktionsmaximum söks. 

För att hitta första diffraktionsmaximum krävs egentligen överkurskunskaper. Kort förklarat 

kan sägas att diffraktionsmönstret motsvarar fouriertransformen av öppningen. I fallet med 

cirkulär öppning erhålls då en Besselfunktion och ur denna funktion kan första maximum 

hittas vid sin ϕ = 1.635 λ/a. 

För att hitta första maximum inom kursens ramar krävs en vettig approximation. Denna är att 

avståndet till andra minimum är dubbla avståndet till första minimum, som i fallet med 

rektangulär öppning. Det innebär att andra minimum skulle ligga på avståndet 2.44 λ/a. Första 

maximum borde då ligga precis mittemellan första och andra minimum, d.v.s på avståndet 

1.83 λ/a. Ur detta fås att sin θ/2 = 1.83 λ/a ⇒ a = 46 μm.

36.27 

L 

Bilen sedd 

framifrån 

a 

Definiera L som avståndet mellan sandkornen (= 100 µm) och a som pupillerdiametern (= 1.5 

mm). λ är den ansatta våglängden för sandkornens färg (= 650 nm). θ är vinkelseperationen 

mellan strålarna från de båda sandkornen när de når ögat och ϕ är divergensvinkeln efter 

diffraktionen i ögonlinsen, definierad som vinkeln till första minimum. Sandkornen antas vara 

punktkällor. 

a) 

Ljusstrålar från två olika punktkällor träffar pupillen med något olika infallsvinklar. 

Skillnaden mellan infallsvinklarna kallas vinkelseparationen och innebär att strålarna kommer 

träffa två olika punkter på näthinnan. Men diffraktion i ögonlinsen gör att strålarna sprids ut 

och träffar en större fläck, formad som ett diffraktionsmönster, på näthinnan. Om fläckarna 

överlappar varandra kan det bli svårt för ögat att urskilja att det rör sig om två olika punkter. 

Rayleighkriteriet bestämmer huruvida två punkter som ögat betraktar smälter ihop till en enda 

eller inte. Rayleighkriteriet säger att gränsen för upplösning går vid fallet att första minimum 

av det ena diffraktionsmönstret hamnar på samma ställe som maximum av det andra. 

Eftersom vinkelavståndet från det ena mönstrets maximum till det andra är θ och 

vinkelavståndet från det ena mönstrets maximum till dess första minimum är ϕ säger 

Rayleighkriteriet helt enkelt att θ = ϕ . Diffraktionsformeln för en cirkulär öppning ger sin ϕ 

= 1.22 λ/a. Antas små vinklar, vilket det är nära upplösningsgränsen, gäller att sin ϕ ≈ ϕ och θ 

= ϕ = 1.22 λ/a = 529 μrad. 

Geometri ger att tan θ/2 = (L/2)/D där D är avståndet mellan öga och sandkorn. Med 

antagandet om små vinklar blir θ = 2⋅tan θ/2 = L/D ⇒ D ≈ 19 cm. 

b) 

När våglängden minskar, minskar även θ. Minskar θ kommer D att öka. 

θ 

θ 

Situationen då strålarna når ögat 

ϕ 

Rayleighkriteriet

36.31 

Definiera L = 2000 km som avståndet till missilen och λ = 1.4 nm som våglängden hos lasern, 

vilket är djupt inne i UV-området. Fiberändens diameter är d = 200 µm. 

a) 

Diametern hos en laserstråle definieras vanligen som avståndet mellan diffraktionens innersta 

minima (m = -1, 1), eftersom så gott som all energi finns samlad där. 

Diffraktionsvinkeln till de innersta minima är sin θ = (±)1.22 λ/d. Samtidigt ger geometri att 

diametern på strålen blir D = 2L⋅tan θ . Från dessa samband samt antagandet om små vinklar, 

d.v.s. sin θ = tan θ = θ, ger D = 2L⋅1.22 λ/d = 34 m. 

b) 

Intensiteten är inverst proportionell mot arean. Arean är proportionell mot diametern i 

kvadrat. Om diametern har ökat en faktor 170 000, som i det här fallet, har alltså intensiteten 

sjunkit till en faktor 3.4⋅10 -11 av det ursprungliga värdet.

36.40 

a 

d 

θ 

Definiera d som avståndet mellan spalterna och a som spaltbredden. λ är våglängden och θ är 

utfallsvinkeln. 

a) 

För att diffraktionen ska eliminera en interferensfrans krävs att vinkeln till ett 

diffraktionsminimum sammanfaller med vinkeln till ett interferensmaximum. Fjärde 

interferensmaximum i en dubbelspalt ges av d⋅sin θ = 4λ. Om den vinkeln också motsvarar 

m:te diffraktionsminimum gäller att a⋅sin θ = mλ. Dessa båda samband ger att d/a = 4/m. 

b) 

d/a är förstås fast och kan inte ändras. Som framgår av uppgiften ovan motsvarar d/a även 

utsläckt interferensmaximum/utsläckande diffraktionsminimum. Undersöker man 

diffraktionsminimum m+n, där n är ett godtyckligt heltal, har nämnaren alltså ökat med en 

faktor m+n/m vilket täljaren också måste göra för att kvoten ska vara konstant. Alltså släcks 

även interferensmaximum 4(m+n)/m = 4+4n/m. 

Är exempelvis m = 1 släcks alltså interferensmaxima 4 + 4n, d.v.s. vart fjärde. Är exempelvis 

m = 2 släcks 4 + 2n, d.v.s. vartannat.

36.41 

Definiera λ som våglängden ( = 440 nm). a är spaltens bredd och d är avståndet mellan 

centrum på två intilligande spaltar. 

a) 

Ur figuren inses att första diffraktionsminima ligger vid θ = 5°. Detta eftersom hela mönstret 

har en dal där; man kan se att toppvärdena sjunker till θ = 5° därefter stiger värdet på topparna 

igen (för att åter sjunka vid andra diffraktionsminima). Alltså från från formeln för diffraktion 

i en spalt a⋅sin θ = pλ ⇒ a⋅sin 5 = 1⋅440⋅10 -9 ⇒ a = 5 μm 

b) 

Ur figuren inses att tredje intensitetsmaximat, som alltså motsvarar m = 2 eftersom första 

maximat motsvarar m = 0, ligger vid θ = 2.5°. Alltså från formeln för interferens mellan två 

spalter d⋅sin θ = mλ ⇒ d⋅sin 2.5 = 2⋅440⋅10 -9 ⇒ d = 20 μm 

c) 

Formel ur boken för intensiteten efter ett gitter: I(θ) = Imax(cos 2 β)((sin α )/α) 2 där α = 

πa/λ⋅sin θ och β = πd/λ⋅sin θ. Denna ger att värdena stämmer.

36.49 

Definiera d = 1/(180 000) m som avståndet mellan gittrets spalter. λ1 = 400 nm och λ2 = 500 

nm enligt uppgiftslydelsen. 

a) 

Gitterformeln är d sin θ = mλ vilket med m = 2 ger θ1 = 0.145 rad och θ2 = 0.181 rad för de 

två angivna våglängderna. Vinkelseparationen Δθ = 0.036 rad. 

b) 

Man får ett ekvationssystem: 

d sin θ = mλ1 

d sin θ = (m+k)λ2 

Det ger att k=m(λ1 - λ2)/ λ2 = -0.2m. Som synes blir k negativt, en längre våglängd medför 

alltså en lägre ordning om vinkeln är densamma. Vidare måste k vara ett heltal, så tillåtna 

värden på m blir 5, 10, 15... Den minsta vinkeln ges av den lägsta möjliga ordningen, i det här 

fallet 5. Vinkeln blir då θ = 0.368 rad. 

c) 

Gränsen för den maximala tillåtna ordningen uppstår eftersom -1 ≤ sin θ ≤ 1. Det innebär att, 

eftersom m+k < m, gränsen ges av 1 = mmaxλ1 / d → mmax = 13.89. Men m måste ju vara ett 

heltal, så den maximala ordningen blir 13.

36.51 

Definiera λ som våglängden ( = 600 nm). 

a) 

Separation mellan spalter påverkar interferensmönstret och inte diffraktionen. Alltså ska 

interferensmönstret undersökas. De två maxima som anges i uppgiften antas båda höra ihop 

med gittret i sig och antas således vara interferens max. Gitterformeln d⋅sin θ = mλ för dessa 

två maxima ett ekvationssystem: d⋅0.2 = mλ samt d⋅0.3 = (m+1)λ. Systemet kan lösas och ger 

d = 6 μm. 

b) 

Eftersom fjärde interferensmax försvinner är det logiskt att anta att det släcks ut av 

diffraktionen. Vinkeln till detta max ges av gitterformeln d.v.s. d⋅sin θ = 4λ ⇒ sin θ = 0.4. 

Denna vinkel ska alltså även ge ett minima för diffraktionen. Diffraktionsformeln ger a⋅sin θ 

= pλ för minima där p = ±1, ±2, .... Det innebär att ju lägre a desto lägre p om vinkel och 

våglängd är konstanta. Alltså ger p = 1 den minsta spaltvidden för en given vinkel, vilket ju är 

fallet i uppgiften. Följdaktligen gäller a⋅sin θ = 1⋅λ ⇒{sin θ = 0.4}⇒ a = 1.5 μm. 

c) 

Vilka interferensmax som syns begränsas av att diffraktionen släcker vissa max samt av att 

|sin θ| < 1. 

De interferensmax som släcks av diffraktionen ges av att vinklarna i gitterformeln och 

diffraktionsformeln sätts lika. Alltså gäller ekvationssystemet d⋅sin θ = mλ samt a⋅sin θ = pλ. 

Genom att dividera de båda ekvationerna med varandra fås d/a = m/p. Enligt värden från 

a)+b) uppgifterna är d/a = 4 varför m/p = 4. Alltså släcker p = 1 ut m = 4, p = 2 släcker m = 8, 

o.s.v. Vart fjärde interferensmaxima släcks alltså av diffraktionen. 

Det maximala värdet på m ges av |sin θ| = |mλ/d| < 1 ⇒ |m| < 10. 

Alltså produceras maxima av ordningen 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9 (samt förstås de negativa 

ordningarna av samma belopp).

36.58 

Upplösningskraft som behövs är R= λavg/Δλ där λavg är medelvärdet av våglängderna ( = 

589.3 nm) och Δλ är avståndet mellan våglängderna ( = 0.6 nm). Upplösningskraft som ges av 

gittret är R = Nm där N är antalet linjer och m är ordningen ( = 2). Observera att N är antalet 

linjer och inte antalet linjer per mm. För att gittret ska ha den upplösningskraft som behövs 

gäller alltså Nm ≥ λavg/Δλ vilket ger N ≥ 491.

36.67 

Definiera λ som våglängden ( = 1.2 Å) och θ som Braggvinkeln ( = 28°). m är ordningen ( = 

2). Formeln för Braggdiffraktion är 2d⋅sin θ = mλ ⇒ d = 2.6 Å. Observera att Braggvinkeln 

är definierad mellan infallande strålen och det reflekterande planet, alltså ej mellan infallande 

strålen och normalen till planet som är brukliga definitionen av infallsvinkel.

36.79 

Definiera ϕ = 1 mrad som diffraktionsvinkeln och λa = 500 nm samt λb = 600 nm som två 

våglängder vilka har maximum där. a är aperturens diameter och λm är våglängden som ger 

maximum vid vinkeln ϕ av ordningen m. 

Diffraktionsformeln ger a sin ϕ = mλm. Det inses att en längre våglängd medför ett lägre 

värde på m, ifall ϕ och a är konstanta. Alltså: 

a sin ϕ = mλb 

a sin ϕ = (m+k)λa 

Det ger att situationen i uppgiften uppstår för alla k= m(λb - λa)/ λa = 0.2 m. Men k måste vara 

ett heltal, annars fungerar det inte, så enbart m = 5, 10, 15... är tillåtna. 

Det inses ur diffraktionsformeln att med λm konstant gäller att ju lägre m, desto lägre a. Alltså 

gäller m = 5 för minsta möjliga värde på a. Det ger a = 2.5 mm.

40.59 

Definiera våglängden som λ ( = 694 nm) och lasermaterialets längd som L ( = 6 cm). R är 

lasermaterialets radie ( = 5 mm) och nr är lasermaterialets brytningsindex ( = 1.75). 

Frekvensen hos ljuset betecknas f. 

a) 

Eftersom de stående vågorna i lasermaterialet ska behandlas som om de vore i en orgelpipa 

ska det vara bukar vid ändarna. Det motsvarar att reflektionerna sker mot ett tunnare medium, 

antingen den omgivande luften eller en förspegling med lägre brytningsindex. Det ger 

följande formel för de stående vågorna n = 2nrL/λ. Observera att detta är samma formel som 

om det vore noder i ändarna, skillnad uppstår först då det blir en nod i ena änden och en buk i 

andra. Formeln ger n ≈ 303 000. Antalet noder är samma som n, hade det varit en nod i varje 

ände hade antalet noder varit n+1, fast 303 000 ±1 gör ju ingen större skillnad. 

b) 

Analogt med uppgit 41.64, fast med brytningsindex nr istället för 1, fås δλ/δn = λ 2 /(2nrL). 

Genom derivering av det kända sambandet f = c/λ fås även δf/δλ = - c/λ 2 . Matematik ger nu: 

2 

∂f ∂f 

∂λ 

c λ c 

= = − = ≈ 1430MHz 

2 

∂n 

∂λ 

∂n 

λ 2n 

L 2n 

L 

r 

r 

c) 

Tiden är sträckan delat med hastigheten. Hastigheten är c och den optiska sträckan för ett varv 

fram och tillbaka är 2L multiplicerat med brytningsindex. Inverteras det fås uttrycket i b). 

d) 

Matematik: 

Δf 

1430MHz − 

= = 3. 

30 ⋅10 

f c 

λ 

6

40.60 

Definiera L som kavitetslängden ( = 8 cm) och λ som våglängden ( ≈ 533 nm). n är ett heltal 

som är unikt för varje möjlig stående våg. 

En stående våg bildas med noder vid speglarna. Att noder hamnar vid speglarna beror på att 

de har större brytningsindex än mediumet som ljuset faller in mot speglarna från, gas. Med 

noder vid speglarna blir formeln för den stående vågen nλ/2 = L vilket ger λ = 2L/n och 

dessutom n = 2L/λ. Skillnaden i våglängd mellan närliggande stående vågor fås ur 

deriveringen: 

2 

∂λ ∂ ⎡2L 

⎤ 2L 

2L 

λ 

− 

= = − = − = ≈ 1. 

8 ⋅10 

2 

2 

∂n 

∂n 

⎢ 

⎣ n ⎥ 

⎦ n ( 2L 

) 2L 

λ 

12 

m

40.61 

Eu 

El 

Definiera λ = 580 nm som våglängden för en foton som emitteras vid transition från Eu till El. 

Energin i övergången fås ur formeln för energin hos en foton; E = hc/λ , där h är Planck’s 

konstant och c är ljushastigheten. Det ger E = 3.43⋅10 -19 J. 

{Bra att känna till: Energiangivelser med energier i de här nivåerna brukar ibland använda det 

s.k. vågtalet (cm -1 ) eller enheten elektronvolt (eV) som alternativ till Joule (J). Vågtalet är helt 

enkelt inversen till den motsvarande våglängden uttryckt i cm. Det skulle i det här fallet 

innebära 1/(580⋅10 -7 cm) = 17 000 cm -1 . Elektronvolt är energin i Joule delat med beloppet av 

elektronens laddning, e = 1.602⋅10 -19 C. I vårt fall är energin alltså 3.43⋅10 -19 /1.602⋅10 -19 = 

2.14 eV. Men om man använder de enheterna måste också alla andra konstanter konverteras, 

exempelvis är Boltzmanns konstant uttryckt i elektronvolt kB = 8.62⋅10 -5 eV/K. Därför är det 

oftast smidigast att så fort som möjligt konvertera liknande enheter till SI-enheten Joule.} 

a) 

Boltzmann fördelningen slår fast att förhållandet mellan populationen, N, hos två energinivåer 

vid termisk jämvikt är Nx/Ny = exp[-(Ex-Ey)/(kBT)] där T är temperaturen. Detta ger Nu/Nl = 

exp[-(Eu-El)/(kBT)] = exp[-(3.43⋅10 -19 )/(kB⋅300)] = 10 -36 . Det innebär, med Nl = 4⋅10 20 enligt 

uppgiften, att statistiskt sett ingen atom befinner sig i det övre tillståndet. 

b) 

Maximala energin blir NuE - NlE = 3⋅10 20 E - 10 20 E = 2⋅10 20 E = 68.6 J.

40.66 

a) 

För att excitera molekylerna från grundnivån till energinivån med energi E2 krävs energin E2 

= 0.289 eV = 0.289⋅1.602⋅10 -19 J = 4.63⋅10 -20 J. Energin hos en foton ges av Ef = hc/λ där h är 

Plancks konstant. Detta ger λ = 4 300 nm. 

b) 

Då molekylerna faller ned från energinivån med energin E1 till grundnivån frigörs en molekyl 

med energi E1 = 0.124 eV = 1.98⋅10 -20 J. Våglängden hos motsvarande foton blir analogt med 

a) 10 000 nm. Som alltid gäller är den emitterade våglängden längre än den exciterande i en 

lasringsprocess. 

c) 

IR

42.32 

Definiera Nv som antalet tillstånd i valensbandet och Nc som antalet tillstånd i ledningsbandet. 

a) 

Sannolikheten att ett elektrontillstånd är ockuperat av en elektron är P(E) = 

1/(exp[ΔE/kBT]+1) där T är temperaturen och ΔE är E-EF. 

Sannolikheten att ett tillstånd inte är ockuperat är P * (E) = 1 – P(E) = 1 - 1/(exp[ΔE/kBT]+1) = 

(exp[ΔE/kBT]+1)/(exp[ΔE/kBT]+1) - 1/(exp[ΔE/kBT]+1) = 1/(exp[-ΔE/kBT]+1). Alltså är 

P * (Ev) = 1/(exp[ΔEv/kBT]+1) eftersom ΔEv enligt uppgiften är EF-Ev. 

Antalet elektroner i en nivå med energi E ges som N0(E) = N(E)P(E) där N(E) är antalet 

elektrontillstånd i energinivå med energi E. Ur uppgiften fås att antalet elektroner i 

ledningsbandet, N0(Ec), motsvarar antalet hål i valensbandet, N0 * (Ev). Alltså gäller att: 

* 

N ( E ) = N ( E ) ⇒ 

0 

0 

* 

N P( 

E ) = N P ( E ) ⇒ 

c 

c 

c 

v 

v 

Nc 

Nv 

= 

exp 

⎡ΔEc 

⎤ 

+ 1 exp 

⎡ΔEv 

⎤ 

+ 1 

⎢⎣ kBT 

⎥⎦ ⎢⎣ kBT 

⎥⎦ 

v 

Ec 

EF 

Ev 

b) 

En omskrivning av resultatet i a) ger: 

exp 

⎡ΔEv 

⎤ 

+ 1 

N ⎢⎣ kBT 

⎥⎦ 

v 

⎧ 

, 

exp 

⎡ΔE 

⎫ 

= 

= ⎨Δ 

Δ >> → 

v ⎤ 

, exp 

⎡ΔE 

E 

c ⎤ 

v Ec 

kBT 

>> 1⎬ 

= 

N 

exp 

⎡ΔE 

⎤ 

1 ⎩ 

⎢⎣ kBT 

⎥⎦ ⎢⎣ kBT 

⎥⎦ 

c 

c + 

⎭ 

⎢⎣ kBT 

⎥⎦ 

exp 

⎡ΔEv 

⎤ 

⎢⎣ kBT 

⎥⎦ 

exp 

⎡ΔE Δ 

= 

= 

v E 

− c ⎤ 

⇒ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

exp 

⎡ΔE 

⎤ kBT 

kBT 

c 

⎢⎣ kBT 

⎥⎦ 

⎡ N ⎤ v 1 

1 

ln⎢ 

⎥ = ( ΔEv 

− ΔEc 

) = ( 2EF 

− Ec 

− Ev 

) ⇒ 

⎣ Nc 

⎦ kBT 

kBT 

ln 

⎛ N 

k 

v ⎞ 

BT 

E + 

⎜ ⎟ 

c Ev 

= + 

⎝ Nc 

E 

⎠ 

F 

2 

2 

Om Nv ≈ Nc blir ln(Nv/Nc) ≈ ln 1 = 0 och EF hamnar ungefär mitt emellan Ec och Ev.

41.38 

Definiera ledningsbandets energinivå som Ec = 1.11 eV = 1.79⋅10 -19 J och donatortillståndens 

energinivå som Ed = 1 eV = 1.61⋅10 -19 J. Det innebär att valensbandets energinivå blir Ev = 0. 

Temperaturen är T = 300 K och ockupationssannolikheten för donatortillstånden är vid den 

temperaturen Pd = 5⋅10 -5 . 

a) +b) 

Ockupationssannolikheten kan fås ur formel (41-6) som P(E)=(exp[(E-EF)/kT]+1) -1 där EF är 

Ferminivån. Det ger att Ed-EF = ln(Pd -1 -1)*kT=4.1⋅10 -20 J. Alltså är EF = 1.2⋅10 -19 J. 

c) 

Den sannolikheten är Pc(E)=(exp[(Ec-EF)/kT]+1) -1 = 6.5⋅10 -7 .

Fiberproblem 1: 

Beräkna absorptionsförlusten i en fiber där högsta tillåtna infallsvinkeln är 30°, kärnanas 

brytningsindex är 1.4 och absorptionskoefficientetn är 0.47 km -1 . 


En stegindexfiber har brytningsindex 1.54 för kärnan och 1.49 för manteln. Omgivningen är 

luft. 

a) Bestäm den kritiska vinkeln i fibern. 

b) Bestäm den numeriska aperturen NA för fibern. 

c) Bestäm den ljussamlande förmågan P för fibern. 


I en stegindexfiber har kärnan brytningsindex 1.53 och manteln 1.50. Kärnradien är 100 μm 

och våglängden 1000 nm. 

a) Beräkna antalet moder i fibern. 

b) Vilken är den största radie fibern skulle kunna ha för att vara singelmodig? 


Komponenterna i ett fiberoptiskt kommunikationssystem har följande egenskaper: 

Fiberlängd: 4 km 

Fiberförluster: 4 dB/km 

Antal skarvningar: 2 per km 

Skarvningsförluster: 0.5 dB per skarv 

Förluster vid inkoppling till detektor: 0.1 dB 

Minsta energi detektorn kan detektera: -40 dBm 

a) Vad blir effektmarginalen om ljuskällan är en LED med 10 mW uteffekt? Vid inkopplingen 

från LED i fibern blir förlusterna 20 dB. Vilken blir den minsta effekt som kan användas hos 

LEDen? 

b) Vad blir effektmarginalen om ljuskällan istället är en 10 mW laserdiod? Eftersom 

laserdioden har bättre koherens kan den fokuseras bättre och inkopplingsförlusterna blir bara 

3 dB. Vilken blir den minsta effekt som kan användas hos lasern? 


En multimod stegindexfiber är 1 km lång. Kärnan har brytningsindex 1.53 och manteln 1.50. 

a) Vilken är den maximala bithastigheten som kan användas i fibern? 

b) Om en LED används som ljuskälla, vilken blir begränsningen av den maximala 

bithastigheten p.g.a. kromatisk dispersion? Anta att LEDen emitterar runt 850 nm med 

en spektralbredd på 30 nm. Från figur 7.13 inses att d 2 n/dλ 2 för fibern är ca. 3⋅10 10 m -2 

för våglängder runt 850 nm. 

Fiber – teorifrågor av tentatyp 

A Hur fungerar en fotodiod respektive en lavinfotodiod? 

B Vad innebär BER? 

C Vad innebär spektral känslighet hos en detektor? 

D Redogör för skillnaden mellan microlens och tapering.

E Vad blir bandbredden för frekvensen hos en laserpuls som emitterar runt 1310 nm med 

3 nm bandbredd i våglängd? 

F Redogör för skillnaden mellan intensitetsmodulation, fasmodulation och 

frekvensmodulation. 

G Förklara begreppet stimulerad emission. 

H Förklara begreppet bitlängd. Vilket är det fenomen som utgör den grundläggande 

begränsningen av bitlängden? 

I Förklara hur en EDFA fungerar. 

J Redogör för de tre optiska fönstren i fibrer och förklara fördelar respektive nackdelar 

med varje fönster. 

K Förklara begreppet dispersion. Vilka sorters dispersion finns det? Vilken sort 

dominerar i multimodfibrer? Vilken sort dominerar i singelmodfibrer? 

L Redogör för skillnaden mellan multimodfiber och singelmodfiber samt dess för och 

nackdelar.

Fiberproblem 1 

Definiera θm som maximala infallsvinkeln ( = 30°), n1 som kärnans brytningsindex ( = 1.4) 

och n2 som mantelns brytningsindex. α är absorptionskoefficienten ( = 0.47 km -1 ). NA är den 

numeriska aperturen, l är fiberns längd ( = 1 km) och leff är den effektiva längden genom 

fibern. Observera att leff är den sträcka ljuset tillryggalägger p.g.a. att strålarna inte går rakt 

genom fibern. leff är alltså inte den optiska väglängden, OL. OL = n1leff men kommer inte 

behövas i uppgiften. 

I är intensiteten efter fibern och I0 intensiteten innan fibern. L betecknar förlusterna i fibern. 

a) 

Anta en något förenklad modell där ljuset studsar fram genom fibern med 

totalreflexionsvinkeln, θc, mot manteln. 

θc 

Ur figuren kan ses att leff = l/sin θc. sin θc fås ur Snells brytningslag genom n1⋅sin θc = n2⋅sin 

90°. Det ger sin θc = n2/n1 varför leff = l⋅n1/n2. För NA finns gäller definitionen NA = sin θm. 

Vidare kan för en fiber fås ur brytningsindex genom NA = sqrt(n1 2 -n2 2 ). Genom att sätta 

samman dessa båda intryck för NA fås n2 = sqrt(n1 2 – sin 2 θm) och leff kan räknas ut. Den blir 

1.07 km. 

Absorptionsformeln ger I/I0 = exp[-αleff] = 0.61. Förlusterna, uttryckt i dB, ges som L = 10 

log10 (I/I0) = -2.2 dB. 

Observera att ju lägre mantelns brytningsindex är desto längre blir leff och desto högre blir 

förlusterna. Detta är en av anledningarna till att n1 och n2 ofta är så pass lika. Däremot blir ju 

NA högre ju lägre n2 är. Detta ger upphov till en optimering vid val av fiberdesign.


Definiera kärnans brytningsindex som n1 (= 1.54) och mantelns brytningsindex som n2 (= 

1.49). 

a) 

I enlighet med fiberproblem 1 fås den kritiska vinkeln ur Snells lag som θc = sin -1 (n2/n1) = 

75.4°. 

b) 

Alternativ 1, direkt från formel: 

N.A. = sqrt(n1 2 -n2 2 ) = 0.39 

Alternativ 2, en omväg: 

θm 

θb 

Snells lag ger : nluft⋅sinθm = n1⋅sinθm 

Triangelvinkelsumma ger : θb + θc + 90° = 180° 

Dessa två formler ger tillsammans θm = 22.8° varför N.A. = sin θm = 0.39 

c) 

Definition: 

P = N.A. 2 = 0.39 2 = 0.15 

θc



1.50). a är kärnradien (= 100 μm) och λ är våglängden (= 1000 nm). 

a) 

Den normaliserade frekvensen V ges av: 

2 

2πa 

⋅ N. 

A. 

2πa 

⋅ n1 

− n 

V = = 

λ 

λ 

2 

2 

= 189. 

4 

För V >> 1 ges antalet moder, N, av : N ≈ V 2 /2 = 17 936 

b) 

Då V >> 1 inte längre gäller, gäller inte formeln i a) uppgiften. Istället gäller att V < 2.405 för 

att fibern ska vara singelmodig. Det innebär: 

V 

< 

2. 

405 

2πa 

⋅ 

⇒ 

n 

λ 

2 

1 

− n 

2 

2 

< 

2. 

405 

⇒ a < 1. 

27 ⋅10 

−6 

m


Introducerar först enheten dBm. För att omvandla mellan en effekt i watt, Pw, till en effekt 

uttryckt i dBm, PdBm, används följande formel: 

PW 

PdBm 

= 10 ⋅ log10( 

) 

1 mW 

Enheten dBm baserar sig alltså på referensnivån 1 mW. En högre effekt än 1 mW ger ett 

positivt PdBm medan en lägre effekt än 1 mW ger ett negativt PdBm. Fördelen med att använda 

dBm är att effekter uttryckta i dBm kan adderas med förluster uttryckta i dB. 

Parametrarna i systemet är: 

Fiberlängd: l = 4 km 

Fiberförluster: α = 4 dB/km 

Antal skarvningar: Ns = 2 per km 

Skarvningsförluster: Ls = 0.5 dB per skarv 

Förluster vid inkoppling till detektor: Lkd = 0.1 dB 

Minsta energi detektorn kan detektera: Pmin,det = -40 dBm 

a) 

Inkopplingsförlusten Lik = 20 dB och ineffekten Pin = 10 mW = 10 dBm. 

Totala förluster Ltot = l⋅α+Ls⋅Ns⋅l+Lkd+Lik = 40.1 dB 

Effekten vid detektorn blir då Pdet = Pin – Ltot = 10 dBm – 40.1 dB = -30.1 dBm 

Effektmarginalen blir : Pmarginal = Pdet - Pmin,det = 9.9 dBm 

Minsta möjliga effekt blir : Pin - Pmarginal = 0.1 dBm ≈ 0 dBm = 1 mW 

b) 

Inkopplingsförlusten Lik = 3 dB och ineffekten Pin = 10 mW = 10 dBm. 

Totala förluster Ltot = l⋅α+Ls⋅Ns⋅l+Lkd+Lik = 23.1 dB 

Effekten vid detektorn blir då Pdet = Pin – Ltot = 10 dBm – 23.1 dB = -13.1 dBm 

Effektmarginalen blir : Pmarginal = Pdet - Pmin,det = 26.9 dBm 

Minsta möjliga effekt blir : Pin - Pmarginal = -16.9 dBm = 0.02 mW



1.50). l är fiberns längd ( = 1 km). T är tiden det tar för ljuset att passera genom fibern. 

a) 

Eftersom fibern är multimod begränsas den maximala bithastigheten av den modala 

dispersionen. Den breddning som en laserpuls upplever p.g.a. modal dispersion är skillnaden i 

T mellan den snabbaste moden och den långsammaste. 

Grundmoden är den snabbaste och åker i en förenklad modell bara rakt genom fibern. T för 

denna mod, TG, ges av: 

sträcka l 

TG = 

= 

hastigheten 

c0 

n 

θc 

1 

Den långsammaste moden studsar fram genom fibern med vinkeln θc. Som konstaterats i 

fiberproblem 1 innebär det att sträckan den tillryggalägger är l/sin θc. T för denna mod blir 

således : Tlångsam = TG/sin θc. 

Eftersom, vilket konstaterats i fiberproblem 1, sin θc = n2/n1 är nu alla parametrar kända för att 

räkna ut breddningen som : ΔT = Tlångsam – TG ≈ 100 ns. 

Bithastigheten begränsas av ΔT enligt Bmax = 1/ΔT = 10 7 s -1 . 

b) 

Formeln för kromatisk dispersion är: 

2 

3 

−9 

lλ 

∂ n 10 ⋅850 

⋅10 

10 −9 

ΔT 

= Δλ 

= 

3⋅10 

⋅ 3⋅10 

= 2. 

6ns 

2 

8 

c ∂λ 

3⋅10 

Bithastigheten begränsas av ΔT enligt Bmax = 1/ΔT ≈ 3.8⋅10 8 s -1 . Vid jämförelse med svaret 

ovan ses att även om ljuskällan är en bredbandig LED är den kromatiska dispersionen en 

storleksordning mindre än den modala. Därför kan kromatisk dispersion alltid försummas i 

multimodfibrer.

GAMLA BOKEN 34.1E 

a) 

Grundläggande mekanik ger att tiden = sträcka/hastigheten = 150 000/c0 = 0.5 ms 

b) 

Eftersom fullmånen befinner sig på andra sidan jorden sett från solen har ljuset tillryggalagt 

sträckan solen→jorden→månen→jorden. Eftersom månen ligger så nära jorden jämfört med 

solen är den sträckan ≈ sträckan solen→jorden = 1.5⋅10 8 km = 1.5⋅10 11 m. Återigen är tiden = 

sträcka/hastigheten = 1.5⋅10 11 /c0 = 500 s ≈ 8 min 20 sek 

c) 

Ännu en gång är tiden = sträcka/hastigheten = 2⋅1.3⋅10 12 /c0 = 8 667 s ≈ 2.4 timmar 

d) 

Ett ljusår är den sträcka ljuset tillryggalägger på 1 år. Sträckan 6500 ljusår tar alltså 6500 år 

att tillryggalägga. Om ljuset kom fram år 1054 skedde explosionen alltså år 1054 – 6500 = - 

5446.


LASER 

Definiera θ som divergensvinkeln (= 0.880 μrad), r som radien på strålen vid månens yta samt 

L som avståndet från lasern till månen (= 3.8⋅10 8 m). 

Geometri ger tan (θ/2) = r/L ⇒ r = 167.2 m. 

θ 

Arean som strålen belyser på månen är A = r 2 π ≈ 87 800 m 2 . 

L 

r

GAMLA BOKEN 34.48P 

Definiera α som toppvinkeln, β som vinkeln mellan normalerna till prismats sidor, θin som 

infallsvinkeln (= 35°), θ1 som utfallsvinkeln efter brytningen i prismats första sida, θ2 som 

infallsvinkeln vid brytningen i prismats andra sida samt θut som utfallsvinkeln ur prismat. n(λ) 

är prismats brytningsindex som är en funktion av våglängden. 

Eftersom prismat är liksidigt måste α = 60°. Kvadratvinkelsumma på kvadraten som utgörs av 

α, β samt de två räta vinklarna mellan insidorna på prismats kanter och normalerna ger 

α+β+90°+90° = 360° ⇒ β = 120°. 

Snells lag applicerad på brytningen i första sidan ger nluft⋅sin θin = n(λ)⋅sin θ1 ⇒ 

θ1 = sin -1 (sin θin /n(λ)). 

Triangelvinkelsumma på triangeln som utgörs av θ1, θ2 och β ger θ1 + θ2 + 120° = 180° ⇒ 

θ2 = 60°- sin -1 (sin θin /n(λ)). 

Snells lag applicerad på brytningen i andra sidan ger n(λ)⋅sin θ2 = nluft⋅sin θut ⇒ 

θut = sin -1 [n(λ)⋅sin(60°-sin -1 (sin θin /n(λ))]. 

Som synes varierar vinkeln θut med våglängden. Detta eftersom brytningsindex varierar med 

våglängden, ett fenomen som kallas materialdispersion. För kvarts kan brytningsindex för de 

olika våglängderna avläsas i Fig. 34-19 i boken. Resultatet blir: 

Blått ljus (λ ∼ 450 nm) → n = 1.465 → θut = 61.7° 

Gulgrönt ljus (λ ∼ 550 nm) → n = 1.459 → θut = 61.0° 

Rött ljus (λ ∼ 650 nm) → n = 1.456 → θut = 60.7° 

θin 

Det innebär att ett prisma kan användas för att separera de olika våglängderna i vitt ljus och 

bilda ett regnbågsmönster. 

α 

θ1 θ2 

β 

θut


En mörk frans uppkommer genom destruktiv interferens. Destruktiv interferens innebär att 

väglängdsskillnaden är ΔL = (m+1/2)λ, där λ är våglängden. Det motsvarar en fasskillnad på 

ΔL⋅2π = (2m+1)πλ.


Symmetri gör att halva intensiteten ligger mitt emellan min och max, c.v.s. vid d⋅sin θ = λ/4. 

Det leder till att sin θ = λ/(4d). Små vinklar får antas eftersom det är runt centralmaximat, 

varför sin θ ≈ θ. Alltså fås θ = λ/(4d). Eftersom θ anger vinkeln till 0 och det som efterfrågas 

är vinkeln mellan θ och -θ blir svaret Δθ = 2θ = λ/(2d). Vilket skulle visas.


Definiera stråle A som den stråle som passerar rakt igenom skiktet och stråle B som den stråle 

som reflekteras två gånger. DA är den optiska väglängden hos stråle A och DB är den optiska 

väglängden hos stråle B. ΔD är den optiska väglängdsskillnaden. n1 definieras som 

brytningsindex i det övre tjocka materialet, n2 som brytningsindex i det tunna skiktet och n3 

som brytningsindex i det undre tjocka lagret. 

Figur (a): 

A upplever inget fasskifte eftersom den ej reflekteras. Det gör den inte i nån figur. 

B upplever två fasskiften, ett i varje reflektion, eftersom n3 > n2 samtidigt som n1 > n2. 

Summan blir ett fasskifte på 2π vilket är likvärdigt med ett fasskifte på 0. 

Alltså: 

DA=n2L, DB=3n2L, ΔD = 2n2L 

För konstruktiv interferens gäller ΔD = mλ varför λ=2n2L/m. Formeln i uppgiften gäller alltså 

för situationen i figur (a). 

Figur (b): 

B upplever ett fasskifte, i den första reflektionen, eftersom n3 > n2. 

Alltså: 

DA=n2L, DB=3n2L+λ/2, ΔD = 2n2L+λ/2 

För konstruktiv interferens gäller ΔD = mλ varför λ=2n2L/(m+0.5). Formeln i uppgiften gäller 

alltså inte för situationen i figur (b). 

Figur (c): 

B upplever två fasskiften, ett i varje reflektion, eftersom n3 > n2 samtidigt som n1 > n2. 

Summan blir ett fasskifte på 2π vilket är likvärdigt med ett fasskifte på 0. 

Situationen är alltså samma som i figur (a) och formeln i uppgiften måste gälla. 

Figur (d): 

B upplever ett fasskifte, i den andraa reflektionen, eftersom n1 > n2. 

Situationen är alltså samma som i figur (b) och formeln i uppgiften gäller inte.


Om bredden på spalten fördubblas, fördubblas den effekt som passerar spalten eftersom arean 

fördubblas. 

Samtidigt ger diffraktionsformeln att vinkeln till första minimum halveras om spaltbredden 

fördubblas. Det innebär att ljusets tvärsnittsarea halveras. 

Eftersom intensiteten är effekt/area blir den fyrdubblad.


L 

Bilen sedd 

framifrån 

a 

θ 

Situationen då strålarna når ögat 

Definiera L som avståndet mellan strålkastarna (= 1.4 m) och a som pupillerdiametern (= 5.0 

mm). λ är den ansatta våglängden för strålkastarljuset (= 550 nm). θ är vinkelseperationen 

mellan strålarna från de båda strålkastarna när de når ögat och ϕ är divergensvinkeln efter 

diffraktionen i ögonlinsen, definierad som vinkeln till första minimum. 

a) 

Ljusstrålar från två olika punktkällor träffar pupillen med något olika infallsvinklar. 

Skillnaden mellan infallsvinklarna kallas vinkelseparationen och innebär att strålarna kommer 

träffa två olika punkter på näthinnan. Men diffraktion i ögonlinsen gör att strålarna sprids ut 

och träffar en större fläck, formad som ett diffraktionsmönster, på näthinnan. Om fläckarna 

överlappar varandra kan det bli svårt för ögat att urskilja att det rör sig om två olika punkter. 

Rayleighkriteriet bestämmer huruvida två punkter som ögat betraktar smälter ihop till en enda 

eller inte. Rayleighkriteriet säger att gränsen för upplösning går vid fallet att första minimum 

av det ena diffraktionsmönstret hamnar på samma ställe som maximum av det andra. 

Eftersom vinkelavståndet från det ena mönstrets maximum till det andra är θ och 

vinkelavståndet från det ena mönstrets maximum till dess första minimum är ϕ säger 

Rayleighkriteriet helt enkelt att θ = ϕ . Diffraktionsformeln för en cirkulär öppning ger sin ϕ 

= 1.22 λ/a. Antas små vinklar, vilket det är om ögat inte är så nära att man blir överkörd, 

gäller att sin ϕ ≈ ϕ och θ = ϕ = 1.22 λ/a = 130 μrad. 

b) 

Geometri ger att tan θ/2 = (L/2)/D där D är avståndet mellan öga och bil. Med antagandet om 

små vinklar blir θ = 2⋅tan θ/2 = L/D ⇒ D ≈ 1 mil. Svaret låter orimligt om man betänker hur 

verkligheten ser ut på mörka vintervägar men det beror på att uppgiften inte tar med 

spridningen i atmosfären som är långt från försumbar. 

θ 

ϕ 

Rayleighkriteriet


Definiera h som avståndet mellan Maui och rymdfärjan (= 354 km), λ som våglängden (= 500 

nm) och D som diametern på fläcken som träffar rymdfärjan (= 9.1 m). θ är vinkeln mellan 

centralmaximum och första minimum i diffraktionsmönstret som bildas av diffraktionen i 

lasermynningen. a är diametern på denna mynning. 

Diffraktionsformeln ger sin θ = 1.22 λ/a. 

Geometri ger tan θ = (D/2)/h. 

Små vinklar kan antas eftersom 9.1 m är litet jämfört med 354 km. Det leder till att sin θ ≈ tan 

θ. 

De tre sambanden ovan ger att a = 47 mm.


a) 

Avståndet d = sträcka per linje om man antar att sträckan från varje linje upp till nästa 

”tillhör” den linjen. Alltså d = total sträcka/antal linjer = 20⋅10 -3 /6000 = 3.3 μm. 

b) 

Definiera λ som våglängden (= 589 nm). Gitterformeln ger d⋅sin θ = mλ ⇒ θ = sin -1 

(m⋅0.178). Absolutbeloppet av sin kan maximalt vara 1 varför ⏐m⋅0.178| < 1 ⇒ |m| < 5.6. 

Eftersom m måste vara ett heltal innebär det att m kan anta värdena 0, ±1, ±2, .., ±5. De 

vinklar som varje ordning motsvarar är: 

m = 0 ⇒ θ = 0° 

m = ±1 ⇒ θ = ± 10.2° 

m = ±2 ⇒ θ = ± 20.7° 

m = ±3 ⇒ θ = ± 32.0° 

m = ±4 ⇒ θ = ± 45.0° 

m = ±5 ⇒ θ = ± 62.2°


a) 

Definiera λ som våglängden ( = 500 nm) och T som pulsens varaktighet ( = 10⋅10 -15 s). 

Pulsens fysiska längd, L, ges av det grundläggande mekaniska sambandet L = v⋅t = c⋅T= 3 

μm. Antalet våglängder, jλ, blir då L/λ = 6. 

b) 

Matematik ger X = 1 s ⋅1 s/10 fs ≈ 3 miljoner år


E13 

E12 

E11 

Uppenbarligen gäller att E12 = E11 + 1.2 eV och E13 = E12 + 1.2 eV. 

Boltzmann fördelningen slår fast att förhållandet mellan populationen, N, hos två energinivåer 

vid termisk jämvikt är Nx/Ny = exp[-(Ex-Ey)/(kBT)] där T är temperaturen. Detta ger N13/N11 = 

exp[-(E13-E11)/(kBT)] = exp[-(2.4eV)/(kB⋅2000)] = {observera att kB = 8.62⋅10 -5 eV/K måste 

användas och inte det vanliga värdet som anges i enheten J/K} = 9⋅10 -7 .


a) 

Tiden är som bekant sträckan genom hastigheten vilket blir 3.82⋅10 8 /c = 1.27 s. 

b) 

Tidsosäkerheten är följdaktligen sträckosäkerheten genom hastigheten vilket blir 15⋅10 -2 /c = 

500 ps. 

c) 

Definiera r som fläckens radie ( = 1.5 km) och D som sträckan mellan månen och jorden ( = 

3.82⋅10 5 km). Divergensvinkeln anges som ”half-beam divergence” och betecknas θ. 

Geometri ger att tan θ = r/D ⇒ θ = 3.9 μrad.


Definiera λ som våglängden ( = 140 nm) och ΔE som bandgapet ( = 7.6 eV). 

För att vara opakt, d.v.s. absorbera ljuset, krävs att fotonenergin är större än bandgapet. 

Fotonenergin fås ur Ef = hc/λ där h är Plancks konstant och blir således 1.42⋅10 -18 J. Energin 

hos bandgapet är 7.6 eV vilket motsvarar 1.2⋅10 -18 J. Eftersom Ef > ΔE är materialet opakt.

33.9 Det elektriska fältet kan skrivas på ... - Laser Physics, KTH

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?