基于Ｋｒｉｇｉｎｇ统计的移动曲面拟合 - 南京工业大学学报（自然科学版）

第 33 卷 第 3 期
2011 年 5 月
南 京 工 业 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 )
JOURNALOFNANJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY(NaturalScienceEdition)
Vol.33No.3
May2011
doi:10.3969/j.isn.1671-7627.2011.03.021
基 于 Kriging 统 计 的 移 动 曲 面 拟 合
管 莉 莉 , 李 明 峰 , 卢
扣 , 陈 春 晖
( 南 京 工 业 大 学 测 绘 学 院 , 江 苏 南 京 210009)
摘 要 : 通 过 方 位 取 点 法 选 取 采 样 点 , 移 动 拟 合 出 二 次 曲 面 来 逼 近 实 际 地 形 。 对 采 样 点 处 的 逼 近 误 差 进 行 Kriging
统 计 , 获 得 待 定 点 处 高 程 逼 近 误 差 的 最 优 估 值 。 进 行 了 基 于 Kriging 统 计 的 移 动 曲 面 拟 合 综 合 模 型 的 模 拟 计 算 , 通
过 单 一 曲 面 模 型 和 Kriging 统 计 模 型 的 逼 近 误 差 及 精 度 的 比 较 , 验 证 了 综 合 内 插 模 型 的 优 越 性 。
关 键 词 : 移 动 拟 合 ;Kriging; 方 位 取 点 法 ; 变 异 函 数
中 图 分 类 号 :P208 文 献 标 志 码 :A 文 章 编 号 :1671-7627(2011)03-0098-04
MovingcurvedsurfacefitingbasedonKrigingstatistics
GUANLili,LIMingfeng,LUKou,CHENChunhui
(ColegeofGeomaticsEngineering,NanjingUniversityofTechnology,Nanjing210009,China)
Abstract:Samplingpointswereselectedbymethodofbearingpointsampling,movingcurvedsurfacefits
aquadraticsurfacetotherealterain.Itsolvesoptimalestimationofapproximationerorinunknown
pointbyKrigingstatisticsofapproximationerorinsamplingpoints.Simulationofmobilecamberfiting
modelbasedonKrigingstatisticswascariedout.Bycomparisonofapproximationerorandprecisionbe
tweensinglesurfacemodelandKrigingstatisticmodel,itisverifiedthattheinterpolationcomprehensive
modelhasitsadvantage.
Keywords:movingfiting;Kriging;bearingpointssampling;variogram
内 插 是 数 字 高 程 模 型 (DEM) 的 核 心 问 题 ,DEM
内 插 是 根 据 相 邻 若 干 参 考 点 的 高 程 求 出 待 定 点 的 高
程 , 基 于 离 散 点 的 高 程 内 插 拟 合 是 构 建 地 形 模 型 高
程 的 主 要 途 径 [1] 。
目 前 , 基 于 离 散 点 的 移 动 拟 合 法 仅 考 虑 了 距 离 对
权 的 影 响 而 没 有 考 虑 采 样 点 间 的 空 间 位 置 特 征 关 系 。
克 里 格 (Kriging) 法 是 一 种 典 型 的 统 计 内 插 法 , 是 对 待
定 点 的 区 域 化 变 量 的 值 进 行 线 性 无 偏 最 优 估 计 的 一
种 方 法 。 该 算 法 不 仅 考 虑 了 待 定 点 与 邻 近 已 知 采 样
点 的 空 间 位 置 关 系 , 还 考 虑 了 各 邻 近 样 点 彼 此 间 的 位
置 关 系 , 通 过 设 计 变 异 函 数 , 综 合 考 虑 变 量 的 空 间 结
构 特 性 和 随 机 分 布 特 性 , 对 权 值 进 行 优 化 设 计 ,Krig
ing 法 更 好 地 消 除 了 函 数 模 型 的 残 余 误 差 , 克 服 了 一
般 距 离 加 权 插 值 法 插 值 结 果 的 不 稳 定 性 [2] 。
本 文 在 传 统 移 动 曲 面 拟 合 算 法 的 基 础 上 , 引 入
方 位 取 点 法 和 Kringing 统 计 插 值 , 将 函 数 模 型 的 规
律 性 和 统 计 模 型 的 灵 活 性 有 机 结 合 , 实 现 了 基 于
Kriging 统 计 的 移 动 曲 面 拟 合 综 合 插 值 模 型 的 内 插
拟 合 , 运 用 Matalab 编 写 程 序 , 实 现 对 采 样 点 高 程 的
精 确 插 值 计 算 和 精 度 分 析 。
收 稿 日 期 :2009-09-20
基 金 项 目 : 江 苏 省 资 源 环 境 信 息 工 程 重 点 实 验 室 ( 中 国 矿 业 大 学 ) 开 放 基 金 资 助 项 目 (20080104)
作 者 简 介 : 管 莉 莉 (1986—), 女 , 安 徽 六 安 人 , 硕 士 生 , 主 要 研 究 方 向 为 地 理 空 间 数 据 采 集 与 GIS 应 用 开 发 ; 李 明 峰 ( 联 系 人 ), 教 授 ,Email:
njuter@163.com.

第 3 期
管 莉 莉 等 : 基 于 Kriging 统 计 的 移 动 曲 面 拟 合
99
1 综 合 模 型 拟 合 原 理
11 方 位 取 点 法
方 位 取 点 法 是 以 待 定 点 为 中 心 把 采 样 区 域 分 成
n 个 扇 面 , 在 每 个 扇 面 里 取 距 离 最 近 的 点 进 行 曲 面 拟
合 。 该 取 点 方 式 克 服 了 数 据 点 偏 向 的 问 题 , 考 虑 了 采
样 点 与 待 定 点 的 位 置 分 布 情 况 , 比 按 距 离 取 点 的 方 法
更 好 地 利 用 变 异 函 数 对 采 样 点 空 间 位 置 关 系 的 统 计
特 性 , 较 大 地 发 挥 Kriging 统 计 的 作 用 , 达 到 调 节 插 值
曲 面 平 滑 程 度 的 目 的 。 图 1 为 按 方 位 取 点 法 示 意 图 。
图 1 按 方 位 取 点 法 示 意
Fig.1 Schematicdiagram ofthebearingpointsamplingmethod
[3-5]
12 Kriging 的 理 论 基 础
1.2.1 本 征 条 件
1.2.1.1 无 偏 条 件
满 足 F^(x k ) 为 区 域 化 变 量 F(x k ) 的 无 偏 估 计 量 ,
λ i F(x k )]
=
即 E[F^(x k )-F(x k )]=0,E[F^(x k )] =E [ ∑ n
i=1
∑ n
λ i E[F(x k )], 由 此 得 无 偏 条 件
i=1
∑ n
λ i =1 (1)
i=1
1.2.1.2 最 优 条 件
估 计 值 F^(x 0 ) 与 其 实 际 值 之 差 的 平 方 和 最 小 ,
σ 2 = E[F(x k ) -F^(x k )] 2 。 用 协 方 差 函 数 可 表
达 为
∑ n
j=1
σ 2 =c(x k ,x k )+∑ n λ i j c(x i ,x j )-2∑ n i c(x i ,x k )(2)
i=1
i=1λ
1.2.2 半 变 异 函 数
区 域 化 变 量 F(x i ) 在 点 x i 和 x i +h 处 的 值
F(x i ) 与 F(x i +h) 差 的 方 差 的 一 半 称 为 区 域 化 变 量
F(x i ) 的 半 变 异 函 数 , 记 为 γ(h)。F(x i ) 满 足 本 征
假 设 时 , 对 于 所 有 采 样 点 所 组 成 的 任 意 点 对 有
γ(h)= 1 2N
∑ (F(x i ,y i )-F(x j ,y j )) 2 (3)
(x i ,y i )-(x j ,y j ) =h
式 中 :h 为 点 对 (x i ,y i ) 与 (x j ,y j ) 的 距 离 ;N 为 距 离 h 的
点 对 的 数 目 。 先 将 采 样 点 代 入 方 程 (4) 求 出 任 意 距 离
h 的 点 对 的 实 验 变 异 函 数 γ(h), 然 后 用 合 适 的 理 论 函
数 模 型 拟 合 出 样 本 内 半 变 异 函 数 关 于 距 离 的 模 型 。
一 般 的 二 维 数 据 分 布 情 况 , 都 选 择 经 典 的 球 形
函 数 模 型
{
0 h=0
γ(h)= C 0 +C 3 h
2 a -1 h
( 3 3
2 a)
0a
C 0
(4)
式 中 :C 0 为 块 金 常 数 ;C 0 +C 为 基 台 值 ;C 为 拱 高 ;a
为 变 程 。
13 综 合 模 型 拟 合 方 法
1.3.1 移 动 拟 合 曲 面 函 数 模 型
选 取 一 仿 真 模 拟 的 地 形 模 型 为 原 始 的 插 值
曲 面 。
Z =xexp(-x^2-y^2) (5)
先 对 采 样 点 进 行 坐 标 中 心 化 , 即 将 坐 标 原 点 移 至
待 定 点 K(x k ,y k ) 上 , 再 将 插 值 区 域 以 待 定 点 为 中 心
分 8 个 方 位 , 在 每 个 方 位 区 域 里 选 择 距 离 待 定 点 最 近
的 采 样 点 组 成 采 样 点 样 本 对 待 定 点 进 行 曲 面 拟 合 。
拟 合 曲 面 函 数 模 型 为
Z =ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f (6)
⎡ x 2 1 x 1 y 1 y 2 1 x 1 y 1 1⎤
⎢
⎥
⎢
令 A =
x 2 2 x 2 y 2 y 2 2 x 2 y 2 1⎥
⎢
⎥,
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣ x 2 n x n y n y 2 n x n y n 1⎦
Z 1
⎡
a
⎤ ⎡ ⎤
⎢ b⎥
⎢ Z 2
⎥
X =⎢
⎥,Z =⎢
⎥
⎢
⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎣ f⎦ ⎣ Zn⎦
(7)
利 用 最 小 二 乘 法 平 差 求 解 移 动 曲 面 方 程 的 系 数
X =(A T PA) -1 A T PZ
式 中 :P 为 权 阵 ,P(i,i)= 1 d 2 i,d i 为 采 样 点 与 待 定 点
的 距 离 。
得 到 平 差 后 的 函 数 逼 近 模 型
Z =AX (8)
拟 合 出 的 该 函 数 模 型 与 原 地 形 模 型 的 差 为 高 程
逼 近 误 差 记 为 ΔZ′

100
南 京 工 业 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 第 33 卷
ΔZ′(x,y)=Z (x,y)-Z(x,y) (9)
1.3.2 Kriging 统 计 模 型
设 区 域 内 采 样 点 i( 二 维 坐 标 (x i ,y i )) 处 的 高 程
逼 近 误 差 ΔZ(x i ),i=1,2,3,…,n 为 观 测 值 , 待 定 点 k
的 高 程 逼 近 误 差 的 估 值 ΔZ^(x k ) 可 以 通 过 周 围 n 个 采
样 点 的 高 程 逼 近 误 差 ΔZ′(x i ) 的 线 性 组 合 来 取 值 , 即
ΔZ^(x k )=∑ n
i
λ i ΔZ′(x i ) (10)
式 中 λ i 为 采 样 点 i 的 权 。
在 无 偏 条 件 下 使 得 ΔZ^(x k ) 的 估 计 方 差 最 小 ,
因 此 对 式 (2) 根 据 拉 格 朗 日 乘 法 原 理 令 S=σ 2 -
2 μ ( ∑ n
λ i - 1
i=1
) , 分 别 求 F 关 于 λ i 和 μ 的 偏 导 数 , 并
令 其 为 0, 即 列 出 Kriging 方 程 组 整 理 后 得 到
{
∑ n
λ i -1=0
i=1
∑ n
λ j c(x i ,x j )-c(x i ,x k )=μ
j=1
(11)
从 移 动 拟 合 模 型 算 出 其 与 地 形 模 型 在 采 样 点 处
的 逼 近 误 差 满 足 本 征 假 设 条 件 , 根 据 协 方 差 函 数 与
变 异 函 数 的 关 系 c(h)=c(0)-γ(h), 将 方 程 组 表
达 成 关 于 变 异 函 数 的 方 程 组 为
{
∑ n
λ i -1=0
i=1
∑ n
λ j γ(x i ,x j )+μ=γ(x i ,x k )
j=1
将 该 方 程 组 写 成 矩 阵 形 式 , 令
λ 1
(12)
⎡ γ 11 γ 12 … γ 1n 1
⎤ ⎡ ⎤
⎢ γ 21 γ 22 … γ 2n 1⎥
⎢ λ 2
⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
T =⎢
⎥,S=
⎢ ⎥,
⎢
γ n1 γ n2 … γ nn 1
⎥ ⎢ ⎥
λ n
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
1 1 1 1 0
⎦ ⎣ -μ⎦
⎡ γ(x 1 ,x p )
⎤
⎢ γ(x 2 ,x p ) ⎥
⎢ ⎥
M =⎢
⎥
⎢
γ(x n ,x p )
⎥
⎢ ⎥
⎣
1
⎦
则 Kriging 方 程 组 为
TS=M (13)
解 方 程 组 得 到 各 采 样 点 的 加 权 系 数 [6] , 将 S 矩
阵 及 ΔZ(x i ) 代 入 式 (10) 求 得 待 定 点 的 高 程 逼 近 误
差 的 估 值 为
ΔZ^(x k )=∑ n λ i ΔZ′(x i )=∑ n λ i (AX-Z)(14)
i
i
由 式 (9) 求 得 待 定 点 的 高 程 估 值 为
Z^(x k )=Z (x k )-ΔZ^(x k ) (15)
则 Kriging 统 计 模 型 与 原 地 形 模 型 的 逼 近 误 差 为
ΔZ″(x k )=Z^(x k )-Z(x k ) (16)
2 算 例
21 拟 合 理 论 变 异 函 数
在 曲 面 上 随 机 取 400 个 采 样 点 的 值 作 为 内 插 计
算 的 数 据 。 将 所 有 采 样 点 按 相 对 距 离 分 为 若 干 等
级 , 计 算 每 个 等 级 内 采 样 点 对 的 个 数 和 每 个 等 级 内
半 变 异 函 数 γ(h), 将 所 有 等 级 的 (h,γ(h)) 点 连 接
后 就 可 以 得 到 实 验 变 异 函 数 , 采 用 最 小 二 乘 法 求 出
球 形 函 数 模 型 中 的 未 知 系 数 , 即 拟 合 出 样 本 内 关 于
距 离 的 变 异 函 数 [7] 。
采 样 点 的 最 大 相 对 距 离 为 124m, 取 宽 度 为
10m, 将 采 样 点 按 距 离 分 成 14 组 , 由 式 (3) 计 算 每
组 的 半 变 异 函 数 值 , 实 验 变 异 函 数 图 像 如 图 2 所 示 。
图 2 实 验 变 异 函 数 图 像
Fig.2 Experimentalvariogram
建 立 实 验 变 异 函 数 后 , 再 以 最 小 二 乘 法 计 算 出 理 论 变
异 函 数 的 待 定 系 数 :C 0 =0,C=1159388,a=
1237380, 代 入 式 (4) 拟 合 出 的 理 论 变 异 函 数 为
{
0 h=0
γ(h)= 14055h-00000306h 3 0124
22 计 算 与 精 度 比 较
将 400 个 采 样 点 按 区 域 分 成 8 组 , 分 别 取 其 中
心 点 为 检 核 点 。 将 采 样 点 的 三 维 坐 标 及 检 核 点 的 二
维 坐 标 代 入 综 合 模 型 , 程 序 自 动 计 算 得 到 8 组 检 核

第 3 期
管 莉 莉 等 : 基 于 Kriging 统 计 的 移 动 曲 面 拟 合
101
点 的 拟 合 高 程 估 值 , 与 它 们 的 曲 面 真 值 进 行 比 较 , 逼
近 误 差 结 果 如 图 3 所 示 。
3 结 论
通 过 对 逼 近 误 差 及 各 项 指 标 的 比 较 分 析 , 验 证
了 对 单 一 移 动 曲 面 拟 合 的 插 值 结 果 进 行 Kriging 统
计 后 , 可 提 高 内 插 精 度 。Kriging 统 计 方 法 在 拟 合 中
受 地 形 起 伏 影 响 小 , 拟 合 精 度 高 , 相 比 传 统 方 法 具 有
更 大 的 适 合 范 围 。 但 该 方 法 在 高 程 拟 合 中 的 应 用 也
存 在 一 定 局 限 性 ——— 计 算 过 程 较 单 一 按 距 离 定 权 繁
琐 , 计 算 量 大 。
所 示 。
图 3 2 个 模 型 的 逼 近 误 差 曲 线
Fig.3 Approximationerrorcurvesoftwomodels
同 时 , 计 算 得 到 拟 合 精 度 的 各 项 指 标 , 如 表 1
表 1 各 项 指 标 统 计
Table1 Statistictableofvariousindexes
插 值 模 型 平 均 中 误 差 均 方 根 差 最 大 偏 差
移 动 曲 面 拟 合 507 542 68
基 于 Kriging
统 计 的 移 动
拟 合 综 合 模 型
279 298 60
mm
参 考 文 献 :
[1] 李 志 林 , 朱 庆 . 数 字 高 程 模 型 [M]. 武 汉 : 武 汉 大 学 出 版
社 ,2003.
[2] 史 文 中 , 吴 立 新 . 三 维 空 间 信 息 系 统 模 型 与 算 法 [M]. 北 京 :
电 子 工 业 出 版 社 ,2007.
[3] 曾 怀 恩 , 黄 声 享 . 基 于 Kriging 方 法 的 空 间 数 据 插 值 研 究 [J].
测 绘 工 程 ,2007,16(5):5-8.
[4] 吴 学 文 , 晏 路 明 . 普 通 Kriging 法 的 参 数 设 置 及 变 异 函 数 模 型
选 择 方 法 [J]. 地 球 信 息 科 学 ,2007,9(3):104-108.
[5] TangYanbing.Comparisonofsemivariogram modelsforkriging
monthlyrainfalineasternChina[J].JournalofZhejiangUniver
sityScience,2002,3(5):584-590.
[6] 张 小 红 , 程 世 来 , 许 晓 东 . 基 于 Kriging 统 计 的 GPS 高 程 拟 合
方 法 研 究 [J]. 大 地 测 量 与 地 球 动 力 学 ,2007,27(2):47-51.
[7] 王 靖 波 , 潘 懋 , 张 绪 定 . 基 于 Kriging 方 法 的 空 间 散 乱 点 插 值
[J]. 计 算 机 辅 助 设 计 与 图 形 学 报 ,1999,11(6):525-529.