Stirlings formel

så för stora n är ∑ n 1k=1≈ log n med ganska god noggrannhet. Eftersomklog n → ∞ då n → ∞, så ger den vänstra olikheten att ∑ n 1k=1→ ∞ dåkn → ∞, dvs den harmoniska serien divergerar.Sätt nuγ n =n∑k=11− log n.kEnligt vad vi just visat är följden γ n nedåt begränsad. Vi har vidareγ n+1 − γ n = 1 − (log(n + 1) − log n) .n + 1Enligt medelvärdessatsen finns ett θ mellan 0 och 1 sådant att(ty D log x = 1/x) varförlog(n + 1) − log n = 11(n + 1 − n) =n + θ n + θ ,γ n+1 − γ n = 1n + 1 − 1n + θ < 0och följden γ n är tydligen avtagande. Det följer att lim n→∞ γ n existerar.Gränsvärdet brukar betecknas γ och heter Eulers konstant. Den är en avmatematikens ”naturkonstanter”, även om den inte är lika känd som e ochπ. Man har γ ≈ 0, 577, men det är okänt om γ är rationellt eller irrationellt(och således än mindre om γ är algebraiskt eller transcendent). Alla matematikerskulle dock bli synnerligen överraskade om det visade sig att γ vorerationellt!är alltså divergent, men mot-Anmärkning: Den harmoniska serien ∑ ∞ 1k=1 ksvarande alternerande serie∞∑ (−1) k+1= 1 − 1 k 2 + 1 3 − 1 4 + . . .k=13