Stirlings formel

och multiplikation med n + 1/2 samt en liten omskrivning ger0 < a n − a n+1 < 1 ( 14 n − 1 ).n + 1Om vi ersätter n med n + 1, n + 2, . . . , n + p − 1 och adderar olikheterna såfår vi0 < a n − a n+p < 1 ( 14 n − 1 ).n + pCauchys konvergensprincip (se nedan) ger att lim n→∞ a n existerar; vi betecknardet med a. Om vi bara låter p → ∞ så får viså vi kan skriva0 < a n − a < 14n ,a n = a + c n4n , där 0 ≤ c n ≤ 1 för alla n.Enligt definitionen (3) av a n betyder detta att(log n! = a + n + 1 )log n − n + c n24n ,vilket gern! = e a n n+ 1 2 e −n e c n4n . (4)Det som återstår är förstås att bestämma värdet av konstanten e a och detär här som Wallis produkt kommer in. Vi har(2n)!! = 2n · (2n − 2) · . . . · 2 = 2 n · n · (n − 1) · . . . · 1 = 2 n n!och sätter vi in (4) så får vi(2n)!! = e a 2 n n n+ 1 2 e −n e cn4n .Efter lite hyfsningsarbete får vi vidare(2n − 1)!! = (2n)!(2n)!! = 2n+ 1 2 n n e −n e c 2n8n − cn4n7