論理回路 第３回 - 九州大学

論 理 回 路第 3 回九 州 大 学 工 学 部電 気 情 報 工 学 科2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 関 数• f : {0, 1} n → {0, 1}• 入 力 は{0, 1} 上 のn 次 元 ベクトル• n 入 力 で2 n 個 の 入 力 ベクトル•2 n 個 の 入 力 ベクトルに 対 応 する 出 力({0, 1}の 要 素 )を 指 定 すれば 良 い。• 有 限 の 入 力 組 み 合 わせしか 無 い!!!2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 関 数 [p.23]• f : {0, 1} n → {0,1}• n 変 数 論 理 関 数 (Logic Function)• スイッチング 関 数 (SwitchingFunction)• 2 n 個 の 入 力 に 対 し、0または1を 出 力 として 割 り 当 てる。• 全 てのn 変 数 論 理 関 数 は、2 2n 個 存 在 する2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 関 数 の 表 現 法• 真 理 値 表x 1 x 2 x 3 f– 入 力 の 組 み 合 わせ2 n– すべての 入 出 力 関 係 を列 挙– 入 力 変 数 の 組 み 合 わせを2 進 整 数 と 見 て 出 力が1となる 入 力 の 整 数を 列 挙 する 表 現 法Σ(1, ( , 2, 3, 4, 6,7)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1011110112008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

真 理 値 表x 1 x 2 x 3 x 4 f x 1 x 2 x 3 x 4 f0 0 0 001 0 0 000 0 0 101 0 0 110 0 1 011 0 1 010 0 1 111 0 1 110 1 0 011 1 0 000 1 0 101 1 0 110 1 1 011 1 1 010 1 1 111 1 1 112008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

(0, 0, 1,0)幾 何 学 的 表 現(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )(0, 1, 1, 1)(1, 1, 1, 1)(0, 1, 1, 0)(1, 1, 1, 0)(0, 1, 0, 0)(0, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 0)(0, 0, 1, 1)(1, 0, 1, 0) (1, 0, 1, 1)(0, 1, 0, 1)(1, 1, 0, 1)(1, 1, 0, 0)(0, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1)2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 式 による 表 現[p.20-21]• 論 理 変 数 と 定 数 (0および1)に+, ・, ’ を有 限 回 施 して 得 られる 式 を 論 理 式 という。• 論 理 式 の 帰 納 的 定 義– 論 理 変 数 および0, 1は 論 理 式 である。– PとQを 論 理 式 とするとき、(P)+(Q), (P)・(Q)、および(P)’は 論 理 式 である。• 論 理 式 の 中 で 論 理 変 数 およびその 否 定 をリテラルとよぶ。xy + x’z2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 式 の 形 式[p.21]• 積 項 : 各 変 数 のリテラルを 高 々1 個 しか 含 まない 論 理 積 。 x(y+z’) xyx xy’z• 積 項 の 論 理 和 からなる 論 理 式 を 積 和 形 論 理 式とよぶ。 x’y+xy’z• 和 項 : 各 変 数 のリテラルを 高 々1 個 しか 含 まない 論 理 和 。x’+y’+z ’ x(y+z’)y+xz( • 和 項 の 論 理 積 からなる 論 理 式 を 和 積 形 論 理 式とよぶ(x’+y)(x+y’+z)2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 式 表 現• AND, OR, NOTを 用 いて 式 として 関 数 を 表現 する。• f = x 1 ’x 2 ’x 3 x 4 ’+ x 1 ’x 2 ’x 3 x 4 +x 1 ’x 2 x 3 ’x 4 ’ +x 1 ’x 2 x 3 x 4 ’+ x 1 ’x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 ’x 3 ’x 4+ x 1 x 2 ’x 3 x 4 ’ + x 1 x 2 ’x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 ’x 4+ x 1 x 2 x 3 x 4 ’+ x 1 x 2 x 3 x 42008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

積 和 表 現 [p.24]• f = x 1 ’x 2 ’x 3 x 4 ’ +x’x 1 x 2 ’x 3 x 4 +x 1 ’x 2 x 3 ’x 4 ’+ x 1 ’x 2 x 3 x 4 ’ + x 1 ’x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 ’x 3 ’x 4+ x 1 x 2 ’x 3 x 4 ’ + x 1 x 2 ’x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 ’x 4+ x 1x 2x 3x 4’+ x 1x 2x 3x 4 …(1)= x 3 + x 1 x 4 + x 1 ’x 2 x 4 ’ …(2)• 論 理 積 を 和 で 接 続 。うまく 積 を 作 れば2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科短 くなる。

積 和 形 論 理 式 の 基 本 的 な 概 念• 最 小 項 : 各 変 数 のリテラルを 全 て 含 む積 項 ( 真 理 値 表 の 各 行 、 幾 何 学 表 現 の各 頂 点 に 対 応 )• 積 和 標 準 形 : 最 小 項 の 論 理 和 としての論 理 式 表 現 。 積 項 の 順 序 を 無 視 すれば一 意 に 決 まる。2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

和 積 表 現• f = (x 1 + x 2 + x 3 +x 4 ) (x 1 + x 2 + x 3 +x 4 ’)(x 1 +x 2 ’+x 3 + x 4 ’)(x 1 ’ +x 2 + x 3 + x 4 )(x 1 ’ + x 2 ’ + x 3 + x 4 ) …(3)= (x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 3 + x 4 ’)(x 1 ’ + x 3 +x 4 ) …(4)• 論 理 和 の 積 。うまく 和 をとれば 小 さく2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科なる。

(0, 0, 1,0)積 項 の 幾 何 学 的 表 現(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )x 3(0, 1, 1, 1)(1, 1, 1, 1)(0, 1, 1, 0)(1, 1, 1, 0)x 1 ’x 2 x 4 ’(0, 0, 1, 1)(1, 0, 1, 0) (1, 0, 1, 1)x (0, 1, 0, 1) 1 x 4(1, 1, 0, 1)(0, 1, 0, 0)(1, 1, 0, 0)(0, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1)(0, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 0)0 次 元 : 点 4 変 数 の 積1 次 元 : 辺 3 変 数 の 積2 次 元 : 面 2 変 数 の 積3 次 元 : 立 方 体 1 変 数 の 積2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

カルノー 図[p.28](0111) (1111)(0110) (1110)7156 14 (0011)311(0010 (1010) (1011)) 2 10(0101)5 13(0100) 4 12(1100)(0001)(1101)1 9 (1001)(0000) 0 8(1000)x 3 x 4カルノー 図 と 幾 何 学1 2的 表 現 の 対 応カルノー 図 は はn 次 元超 立 方 体 の 隣 接 関 係を 保 存 した2 次 元 的表 現 である。2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科x 1 x 20 0 0 1 1 1 1 00 0 0 1 3 201 4 5 7 611 1 12 13 15 141 0 8 9 11 10

変 数 の 数 に 対 応 したカルノー 図2 変 数x 1 0 1x 20 0 1x 2 x 33 変 数0 0 0 1 1 1 1 0x 10 0 1 3 21 2 3 1 4 5 7 65 変 数x 3 x 4 x 5x 1 x 2000 001 011 010 110 111 101 1000 0 0 1 3 2 6 7 5 40 1 8 9 11 10 14 15 13 121 1 24 25 27 26 30 31 29 281 0 16 17 19 18 22 23 21 202008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

演 算 に 関 する 考 察• OR, AND, NOTを 使 うのは 本 質 的 か?• ANDとNOTがあればORは 必 要 ない!x + y = (x’ y’)’• ORとNOTがあればANDは 必 要 ない!xy = (x’ + y’)’• NAND((x y)’= xNANDy)だけでも 良 い。x’ = x NAND xx+y = (x NAND x)NAND(y NAND y)xy = (x NAND y) NAND (x NAND y)2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 関 数 の 値 の 計 算• (1) 式 から(4) 式 でそれぞれすべての 入 力 ベクトルに 対 する 出 力 を 計 算してみよう。• 式 の 長 さと 計 算 の 複 雑 さの 関 係 は?• 論 理 式 と 幾 何 学 表 現 の 関 係 を 調 べよう。2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

2 分 決 定 グラフ [p.31](BDD: Binary Decision Diagram)x OBDD: 変 数 の10 1 順 序 が 固 定x 2 x 20 10 1x 3 x 3 x 3 x 30 10 10 101x 4 x 4 1 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 401 0 00 1 0 10 010 1112008 年 度 0 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科 1

二 分 決 定 グラフの 最 小 化(ROBDD: Reduced Ordered BDD)x 1等 価 な 節 点 の 統 合下 部 の 部 分 グラ0 1 フが 同 じ 形 のとき、 部 分 グラフx 20 1を 共 有 する。冗 長 な 節 点 の 除 去節 点 vの0 枝 と1枝 の 指 す 節 点 が同 じとき、vを 除去 し、vへの 入 力枝 をvの 枝 の 指 す節 点 に 直 結 する。変 数 の 順 序 を 決 めると 最 小 のROBDDは意 に 決 まる!x 3 x 30 1 01x 3 1x 4 x 4 00 0 1 と 最 小 のROBDDは 一10 12008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

論 理 関 数 の 等 価 性 判 定• 与 えられた2つの 論 理 関 数 ( 論 理 式 でも 真 理 値 表 でもBDDでも 何 でも 良 い)が、同 じ 関 数 であるかどうかを 判 定 する 問題 ( 論 理 関 数 に 関 する 基 本 問 題 )• f=g かを 判 定 する 問 題 。• 一 般 にn 変 数 関 数 の 場 合 、2 n に 比 例 した計 算 量 が 必 要 な 問 題 で、 計 算 機 科 学 の中 で 大 きな 計 算 量 を 必 要 とする 問 題 の代 表 とされている。(NP 完 全 問 題 )2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

不 完 全 定 義 論 理 関 数[p.35]x 1 x 2 x 3 x 4 fx 1 x 2 x 3 x 4 f0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 10 0 1 00*1 0 0 11 0 1 0110 0 1 1 1 1 0 1 1 10 1 0 00 1 0 11*1 1 0 01 1 0 1010 1 1 00 1 1 1111 1 1 01 1 1 1112008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

不 完 全 定 義 論 理 関 数• f : {0,1} n → {0, 1, *}•*をDon’t Careと 呼 ぶ。 出 力 が0でも1でも構 わないと 解 釈 する。• 対 応 する 入 力 が 入 らないことが 分 かっているような 場 合 に 生 じる。• 真 理 値 表 の*に 対 応 する 場 所 (k 箇 所 とする)にそれぞれ0または1を 代 入 した2 k 個 の 論理 関 数 の 集 合 を 表 すと 考 えても 良 い。2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科

練 習 問 題• 下 記 の 論 理 式 が 表 す 論 理 関 数 を 以 下 のそれぞれの 表 現 で 表 せ。– 真 理 値 表 、 幾 何 学 表 現 、 積 和 標 準 形 、BDD1. x (y + zw’) + x’yz2. (x + y’ +z)(w’ + xy)3. xy + x’z + x’wy’2008 年 度 九 州 大 学 工 学 部 電 気 情 報 工 学 科