15 Spelteori

14 Spelteori
14.1 Två pers nollsummespel: sadelpunkt
14.2 Två pers nollsummespel: randomiserad strategi, dominans, grafisk
lösning
14.3 LP och nollsummespel
14.4 Två personer - icke konstant spel.
14.5 Intro till n-pers spel teori
14.6 Kärnan i ett n-pers spel
14.7 Shapley värde

14.1 Två-personers nollsummespel och konstantsummespel:
sadelpunkt
1. Det finns en radspelare och kolumnspelare
2. Radspelaren måste välja en av m strategier
Kolumnspelaren måste välja en av n strategier
3. Om radspelaren väljer sin i:te strategi och kolumnspelaren sin j:te, då
erhåller radspelaren en belöning a ij och kolumnspelaren förlorar ett
belopp a ij
1
2
M
m
a
a
a
1
11
21
m1
a
a
a
2
11
22
m2
L
L
L
O
L
a
a
a
n
1n
2n
mn
Belöningsmatris

Antagande
Varje spelare väljer en strategi som tillåter spelaren att göra så bra ifrån sig
som möjligt, givet att motståndaren vet vilken strategi spelaren följer.
Radspelaren ska välja raden med max(rad min).
Kolumnspelaren ska välja kolumnen med min(kol max).
_______
Om max(rad min) = min (kolumn max) sägs spelet ha en sadelpunkt.
Om ett spel har en sadelpunkt säger vi att detta är spelets värde för
radspelaren.
En sadelpunkt kan också ses som en jämviktspunkt eftersom ingen av spelarna
tjänar på att själv byta strategi.

14.2 Spel utan sadelpunkt
Om ett nollsummespel saknar sadelpunkt är det svårare att bestämma
spelets värde och optimala spelstrategier.
Vi måste tillåta fler spelstrategier för att lösa detta.
Mixad eller randomiserad strategi betyder att spelaren väljer en strategi
med en viss sannolikhet. Tex p=1/3 för 1,x eller 2 vid stryktips.
En mixad strategi sägs vara ren om något x i = 1, (x 1 ,x 2 ,…,x m )

14.3 LP och nollsummespel
Ex: Sten, påse, sax
kolumnspelare
radspelare sten påse sax min
0 -1 +1 -1
+1 0 -1 -1
-1 +1 0 -1
max +1 +1 +1
Eftersom spelet saknar sadelpunkt (max(rad min) = min (kolumn max))
låter vi radspelaren välja mixade strategin (x 1 ,x 2 ,x 3 ).
Den förväntade vinsten mot kolumnspelarens val blir då
kolumnspelare väljer rad spelarens förväntade vinst
sten 0 x 1 +1 x 2 -1 x 3 = x 2 –x 3
påse -x 1 + x 3
sax x 1 -x 2

Enligt grundantagandet kommer nu kolumnspelaren välja den strategi
som gör radspelarens vinst så liten som möjligt, dvs
min(x 2 -x 3 ,- x 1 + x 2 , x 1 -x 2 ) (*)
och radspelaren bör då välja (x 1 ,x 2 ,x 3 ) så att (*) blir så stor som möjligt.
Låt v beteckna max (*), då kan vi formulera detta som ett LP
max z = v
st v ≤ x2 -x3 v ≤ - x1 + x3 v ≤ x1 -x2 x1 + x2 + x3 = 1
x1 ,x2 ,x3 ≥
0
stenbegränsning
påsbegränsning
saxbegränsning

Eller om man formulerar problemet för GLPK
max v
st
v - x2 + x3

Kolumnspelaren
Väljer också en mixad strategi, som vi kan kalla (y 1 ,y 2 ,y 3 )
Pss som tidigare
Rad spelaren väljer Radspelarens förväntade vinst om
kolumnspelaren väljer (y 1 ,y 2 ,y 3 )
sten -y 2 + y 3
påse y 1 -y 3
sax -y 1 + y 2
Eftersom radspelaren förväntas känna till (y 1 ,y 2 ,y 3 ) kommer radspelaren
välja en strategi som ser till att han erhåller en förväntad vinst,
max(-y 2 + y 3 , y 1 -y 3 , -y 1 + y 2 ) (**)
Dvs kolumnspelaren ska välja (y 1 ,y 2 ,y 3 ) så att (**) blir så liten som möjligt.

Formulerat som ett LP problem får vi
min z = w
st w ≥ y2 -y3 w ≥-
y1 + y3 w ≥ y1 -y2 y1 + y2 + y3 = 1
y1 ,y2 ,y3 ≥0
Man kan visa att radspelarens LP dual är lika med kolumnspelarens LP
Dualsatsen ger oss att det optimala objektsfunktionsvärdet v för radspelarens
LP och det optimala objektsfunktionsvärdet för w är lika

Sammanfattning
1. Kolla efter sadelpunkt, finns inga gå vidare
2. Stryk radspelarens dominerande strategier, och kolumnspelarens
dominerande strategier.
3. Är matrisen 2x2 ⇒
lös grafiskt, annars lös mha LP metoden.

14.4 Två personers ickekonstantsummespel
Spelet ”fångarnas dilemma”
Ex: Två fångar erbjuds olika alternativ vid ett förhör
• Om endast en av er erkänner och vittnar mot den andre fången
kommer personen som erkänt gå fri och den andre får 20-års fängelse
• Om båda erkänner 5 års fängelse för båda
• Om ingen erkänner 1 års fängelse för båda
Fånge 2
Fånge 1 Erkänner Erkänner inte
Erkänner ( -5, -5 ) ( 0, -20 )
Erkänner inte ( -20, 0 ) ( -1, -1 )

Def: Spelarnas val av strategi sägs vara en jämviktspunkt (EQP) om
ingendera av spelarna kan tjäna på att ensidigt ändra sin strategi.
Ex forts. (-1, -1) är ingen EQP eftersom ensidig ändring av strategi
endast ger någon förtjänst åt den som erkänner.
(-5, -5) är en EQP däremot
Mer formellt: Om vi betecknar
NC = ensidig ändring av strategi
C = gemensamt strategibeslut
P = straff för ensidigt beslut
S = straff för den som blir lurad
R = belöning om båda samarbetar
T = frestelse om man luras

För att det ska vara ett ”FD” spel krävs det att
T > R > P > S
Spelare 2
Spelare 1 NC C
NC (P,P) (T,S)
C (S,T) (R,R)

Ex. Vulcaner och Klingeoner håller på att upprusta. Det antas att varje
nation har två möjligheter; utveckla ett ny missil eller försöka att
bibehålla status quo.
Belöningsmatrisen i poäng ges nedan
(-10,-10) EQP
Klingeoner
Vulcaner DNM MSQ
DNM (-10,-10) (10,-100)
MSQ (-100,10) (0,0)

14.5 introduktion till n-personers spelteori
Ett n-personers spel karaktäriseras av spelets karaktäristiska funktion
Def. För varje delmängd S av N är den karaktäristiska funktionen V av
ett spel lika med summan som medlemmarna av S minst erhåller
om dom samarbetar och formar en koalition.
Det betyder att V(S) kan bestämmas genom att man beräknar hur
mycket medlemmarna av S kan få utan hjälp av spelarna utanför S.
Ex 1. Spelare 1 äger en landbit som är värderat till 10. Spelare 2 är en
mäklare som kan sälja landbiten till ett värde av 20. Spelare 3 är en
mäklare som kan sälja till ett värde av 30. Hitta V för spelet
V({ }) = V({2}) = V({3}) = V({2,3}) = 0
V({1}) = 10
V({1,2}) = 20
V({1,3}) = 30
V({1,2,3}) = 30

V måste vara superadditiv dvs V({A U B}) ≥ V({A}) + V({B})
Lösningsrecept för n-personers spel
Låt X = {x 1 ,x 2 ,…,x n } vara belöningsvektorn där spelare i erhåller
belöning x i .
V(N) =
n
∑ i=
1
x
i
X i ≥ V({ i }) för varje i ∈
Om X uppfyller (1) och (2) säger vi att X är en imputation
N
I ex 1 skulle X=(10,10,10) vara en imputation men inte (5,20,5) eftersom
X 1 < V( {1} )
(1)
(2)

14.6 Kärnan i ett n-personers spel
Def. En imputation Y sägs dominera X genom en koalition S om
∑i∈S och för alla i ∈
i y ≤ V(S) (3)
S, y i > x i
Vi skriver det som y > S x
Om y > S x då
• varje medlem av S föredrar y mot x
• eftersom (3) gäller kan medlemmarna verkligen erhålla sin
belöning Y
Def. Kärnan (the Core) av ett n-personers spel är mängden av alla ickedominerade
imputationer

Ex 1 forts.
Låt X = (19, 1, 10)
Y = (19.8, 0.1, 10.1)
Visa att Y > {1,3} X
Eftersom x 1 < y 1 och x 3 < y 3 samt
y 1 + y 3 ≤ 30 = V(S) = V({1,3})
Sats 1: En imputation X är i kärnan omm för varje delmängd S av N
∑i∈S i ≥ x V(S)

Ex 1 forts. En godtycklig imputation X måste uppfylla att
x 1 ≥ 10
x 2 ≥ 0
x 3 ≥ 0
x 1 + x 2 +x 3 = 30
En imputation X ingår i kärnan omm
x 1 + x 2 ≥ 20
x 1 + x 3 ≥ 30
x 2 + x 3 ≥ 0
x 1 + x 2 +x 3 ≥ 30
För att erhålla belöningen 30 måste x 2 = 0.
Om x 2 = 0 måste x 1 ≥ 20
Eftersom x 1 + x 3 = 30 måste 20 ≤ x 1 ≤30
Dvs ( x 1 , 0, 30 – x 1 ) , 20 ≤ x 1 ≤30 blir lösningen.

14.7 Shapley värde
Axiom
A1. Byte av spelaretikett byter spelarbelöning
∑ i=
1
n
A2. = V(N) x
i
A3. Om V( S – {i} ) = V( S ) håller för alla koalitioner S då är Shapley-värdet
för x i = 0.
A4. Låt X vara Shapley-värdesvektorn (SVV) för spelet S1 och låt Y vara
SVV för spelet S2 då är SVV för spelet (S1+S2): X+Y

Sats: Om A1-A4 är uppfyllt då ges Shapley värdet för i av
xi = ∑ pn (S)[V(S U {i}) – V(S)]
S!
( n − S −1)!
pn( S)
=
n!
S Antalet spelare i S
Bestäm Shapley värdet för spelarna i Ex 1. Vi hade att
V({ }) = V({2}) = V({3}) = V({2,3}) = 0
V({1}) = 10
V({1,2}) = 20
V({1,3}) = 30
V({1,2,3}) = 30

Spelare 1 (landägaren)
S P 3 (S) V(S U {1}) – V(S)
{ } 2 / 6 10
{ 2 } 1 / 6 20
{ 3 } 1 / 6 30
{ 2, 3 } 2 / 6 30
SV x 1 = 1 / 6 ·( 2·10 + 1·20 + 1·30+2·30 ) = 130 / 6

Spelare 2 (mäklare 1)
S P 3 (S) V(S U {2}) – V(S)
{ } 2 / 6 0
{ 1 } 1 / 6 20 – 10 = 10
{ 3 } 1 / 6 0
{ 1, 3 } 2 / 6 30 – 30 = 0
SV x 2 = 1 / 6 ·( 2·0 + 1·10 + 1·0+2·0 ) = 10 / 6

Spelare 3 (mäklare 2)
S P 3 (S) V(S U {3}) – V(S)
{ } 2 / 6 0
{ 1 } 1 / 6 30 – 10 = 20
{ 2 } 1 / 6 0
{ 1, 2 } 2 / 6 30 – 20 = 10
SV x 3 = 1 / 6 ·( 2·0 + 1·20 + 1·0+2·10 ) = 40 / 6

Sammanfattningsvis, lösningen med Shapley värde ger att vår
belöningsvektor blir
SVV = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 1/6 ( 130, 10 ,40)