ASAL SAYILAR VE TOPOLOJİ 1. Kısaca Topoloji Bu bölümde ...

2 M. BURÇ KANDEMİR
(ii) B’ nin sonlu sayıda elemanın kesişimi yine B’ de ise
B, (X, τ) topolojik uzayı için bir bazdır.
2. Asal sayılar ve Topoloji
Bu bölümde, öncelikle Z tamsayılar kümesi üzerinde bir topoloji tanımlayacağız.
Daha sonra bu topolojiyi kullanarak asal sayıların sonsuz olduğunu
kanıtlayacağız.
2.1. Z üzerinde bir topoloji. Z tamsayılar kümesinin, a, b ∈ Z ve a ̸= 0
olmak üzere
S(a, b) = {a.n + b | n ∈ Z} = a.Z + b
altkümelerini tanımlayalım.
Örneğin, S(3, 5) = {. . . , −1, 2, 5, 8, 11, . . . } şeklindedir.
Buna göre aşağıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 2.1. Z tamsayılar kümesi için,
B = {S(a, b) | a, b ∈ Z, a ̸= 0}
şeklinde tanımlanan küme ailesi Z kümesi üzerinde bir topoloji için bazdır.
Kanıt. Bunu görmek için, Teorem 1.1’ den yararlanalım. Önce (i) şartının
sağlandığını görelim. Eğer a = 1 ve b = 0 alırsak, S(1, 0) = 1.Z + 0 = Z elde
edilir. Dolayısıyla Z ∈ B’ dir. Böylece ∪ B = Z olur.
Şimdi (ii) şartının sağlandığını görelim. A, B ∈ B olsun. Dolayısıyla, a, c ̸=
0 için A = a.Z + b ve B = c.Z + d olacak şekilde a, b, c, d ∈ Z elemanları
vardır. Bu iki kümenin kesişimi A ∩ B = (a.Z + b) ∩ (c.Z + d) şeklindedir.
Burada iki durum söz konusudur. Birincisi obeb(a, c), d − b’ yi bölmüyorsa,
A∩B = ∅’ dır. Buda aşikar durumdur. İkincisi obeb(a, c), d−b’ yi bölüyorsa,
A ∩ B = okek(a, c).Z + max { α | a böler (b + α), c böler (d + α), α ∈ Z +}
şeklinde elde edilir. Dolayısıyla A ∩ B ∈ B elde edilir.
Sonuç olarak, Teorem 1.1’ den B ailesi Z üzerindeki bir topoloji için bazdır.
Yukarıdaki teoremden elde edilen bazın ürettiği topoloji,
⎧
⎫
⎨ ∪
⎬
τ = S(a, b) | M ⊆ Z ∪ {∅}
⎩
⎭
a,b∈M
ailesidir.
Bu topoloji için aşağıdaki şu iki yorumu yapabiliriz.
(i) Herbir S(a, b) sonsuz eleman içerdiğinden, τ’ nun her elemanı sonsuz
elemanlıdır.
(ii) Herbir S(a, b)’ nin tümleyeni,
(S(a, b)) c = S(a, b + 1) ∪ S(a, b + 2) ∪ · · · ∪ S(a, b + a − 1)
şeklinde olduğundan açık, ve dolayısıyla S(a, b) kapalıdır.