28.06.2013 Views

ASAL SAYILAR VE TOPOLOJİ 1. Kısaca Topoloji Bu bölümde ...

ASAL SAYILAR VE TOPOLOJİ 1. Kısaca Topoloji Bu bölümde ...

ASAL SAYILAR VE TOPOLOJİ 1. Kısaca Topoloji Bu bölümde ...

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

<strong>ASAL</strong> <strong>SAYILAR</strong> <strong>VE</strong> <strong>TOPOLOJİ</strong><br />

M. BURÇ KANDEMİR<br />

Özet. <strong>Bu</strong> makalede, tamsayılar kümesi üzerindeki bir topolojiyi kullanarak<br />

asal sayıların sonsuz olduğu gösterilmiştir.<br />

<strong>1.</strong> <strong>Kısaca</strong> <strong>Topoloji</strong><br />

<strong>Bu</strong> <strong>bölümde</strong> kısaca topoloji hakkında bilgi ve gerekli teoremler ispatsız<br />

şekilde verilecektir.<br />

Tanım <strong>1.</strong><strong>1.</strong> X boştan farklı bir küme ve τ, X’ in altkümelerinin bir ailesi<br />

olsun. Eğer τ,<br />

(1) ∅, X ∈ τ,<br />

(2) A, B ∈ τ ⇒ A ∩ B ∈ τ,<br />

(3) A ⊆ τ ⇒ ∪ A ∈ τ,<br />

şartlarını sağlıyorsa, τ’ ya X kümesi üzerinde bir topoloji denir. (X, τ) ikilisine<br />

topolojik uzay denir. τ’ nun her elemanına açık küme denir. Tümleyeni<br />

açık olan kümeye de kapalı küme denir.<br />

Kapalı kümeler için aşağıdaki lemma verilir.<br />

Lemma <strong>1.</strong><strong>1.</strong> Herhangi sonlu sayıdaki kapalı kümelerin birleşimi kapalı ve<br />

herhangi sayıdaki kapalı kümelerin kesişimi kapalıdır. <br />

Boştan faklı X kümesi üzerinde bir topolojik yapı kurmak için, X kümesinin<br />

tüm açık altkümelerinin ailesi olan τ’ yu bilmek gerekir. Oysa, τ’<br />

yu oluşturan tüm açık altkümeleri gözönüne almaktansa, τ’ nun tüm elemanlarını<br />

belirlemeye yetecek sayıda τ’ nun açıklarını almak; yani τ’ nun<br />

bir alt ailesini almak doğal olarak daha kolaydır. <strong>Bu</strong> düşünceden hareketle<br />

baz tanımı verilir ve aynı zamanda verilen bir küme üzerinde topolojik yapı<br />

kurmanın bir yöntemi verilmiş olur. Dolayısıyla bir topolojik uzay için baz<br />

kavramının tanımı aşağıdaki verildiği gibidir.<br />

Tanım <strong>1.</strong>2. (X, τ) bir topolojik uzay ve X’ in bazı açık altkümelerinin ailesi<br />

B olsun. X’ in her açık altkümesi B’ nin elelmanlarının herhangi bir birleşimi<br />

olarak yazılabiliyorsa, B’ ye (X, τ) uzayının bir bazı denir.<br />

Baz için çok kullanışlı olan şu aşağıdaki teorem verilir.<br />

Teorem <strong>1.</strong><strong>1.</strong> (X, τ) bir topolojik uzay ve B, X’ in altkümelerinin bir ailesi<br />

olsun. Eğer,<br />

(i) ∪<br />

B∈B B = X,<br />

1


2 M. BURÇ KANDEMİR<br />

(ii) B’ nin sonlu sayıda elemanın kesişimi yine B’ de ise<br />

B, (X, τ) topolojik uzayı için bir bazdır. <br />

2. Asal sayılar ve <strong>Topoloji</strong><br />

<strong>Bu</strong> <strong>bölümde</strong>, öncelikle Z tamsayılar kümesi üzerinde bir topoloji tanımlayacağız.<br />

Daha sonra bu topolojiyi kullanarak asal sayıların sonsuz olduğunu<br />

kanıtlayacağız.<br />

2.<strong>1.</strong> Z üzerinde bir topoloji. Z tamsayılar kümesinin, a, b ∈ Z ve a ̸= 0<br />

olmak üzere<br />

S(a, b) = {a.n + b | n ∈ Z} = a.Z + b<br />

altkümelerini tanımlayalım.<br />

Örneğin, S(3, 5) = {. . . , −1, 2, 5, 8, 11, . . . } şeklindedir.<br />

<strong>Bu</strong>na göre aşağıdaki teoremi verebiliriz.<br />

Teorem 2.<strong>1.</strong> Z tamsayılar kümesi için,<br />

B = {S(a, b) | a, b ∈ Z, a ̸= 0}<br />

şeklinde tanımlanan küme ailesi Z kümesi üzerinde bir topoloji için bazdır.<br />

Kanıt. <strong>Bu</strong>nu görmek için, Teorem <strong>1.</strong>1’ den yararlanalım. Önce (i) şartının<br />

sağlandığını görelim. Eğer a = 1 ve b = 0 alırsak, S(1, 0) = <strong>1.</strong>Z + 0 = Z elde<br />

edilir. Dolayısıyla Z ∈ B’ dir. Böylece ∪ B = Z olur.<br />

Şimdi (ii) şartının sağlandığını görelim. A, B ∈ B olsun. Dolayısıyla, a, c ̸=<br />

0 için A = a.Z + b ve B = c.Z + d olacak şekilde a, b, c, d ∈ Z elemanları<br />

vardır. <strong>Bu</strong> iki kümenin kesişimi A ∩ B = (a.Z + b) ∩ (c.Z + d) şeklindedir.<br />

<strong>Bu</strong>rada iki durum söz konusudur. Birincisi obeb(a, c), d − b’ yi bölmüyorsa,<br />

A∩B = ∅’ dır. <strong>Bu</strong>da aşikar durumdur. İkincisi obeb(a, c), d−b’ yi bölüyorsa,<br />

A ∩ B = okek(a, c).Z + max { α | a böler (b + α), c böler (d + α), α ∈ Z +}<br />

şeklinde elde edilir. Dolayısıyla A ∩ B ∈ B elde edilir.<br />

Sonuç olarak, Teorem <strong>1.</strong>1’ den B ailesi Z üzerindeki bir topoloji için bazdır.<br />

<br />

Yukarıdaki teoremden elde edilen bazın ürettiği topoloji,<br />

⎧<br />

⎫<br />

⎨ ∪<br />

⎬<br />

τ = S(a, b) | M ⊆ Z ∪ {∅}<br />

⎩<br />

⎭<br />

a,b∈M<br />

ailesidir.<br />

<strong>Bu</strong> topoloji için aşağıdaki şu iki yorumu yapabiliriz.<br />

(i) Herbir S(a, b) sonsuz eleman içerdiğinden, τ’ nun her elemanı sonsuz<br />

elemanlıdır.<br />

(ii) Herbir S(a, b)’ nin tümleyeni,<br />

(S(a, b)) c = S(a, b + 1) ∪ S(a, b + 2) ∪ · · · ∪ S(a, b + a − 1)<br />

şeklinde olduğundan açık, ve dolayısıyla S(a, b) kapalıdır.


<strong>ASAL</strong> <strong>SAYILAR</strong> <strong>VE</strong> <strong>TOPOLOJİ</strong> 3<br />

(ii)’ de verilen ifadeye bir örnek verecek olursak, daha önce S(3, 5) =<br />

{. . . , −1, 2, 5, 8, 11, . . . } şeklinde vermiştik.<br />

(S(3, 5)) c = {. . . , −3, −2, 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, . . . }<br />

şeklinde olur.<br />

= {. . . , −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . . } ∪ {. . . , −2, 1, 4, 7, 10, 14, . . . }<br />

= S(3, 6) ∪ S(3, 7)<br />

2.2. Asal sayılar sonsuzdur. Şimdi yukarıda tanımlanan topolojiyi kullanarak<br />

asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu gösterelim.<br />

Öncelikle herkes tarafından iyi bilinen ve ilk olarak ispatını Öklit’ in yaptığı<br />

aşağıdaki teoremi hatırlayalım.<br />

Teorem 2.2 (Aritmetiğin Temel Teoremi). Her 1’ den büyük doğal sayı<br />

sonlu sayıda asal sayının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılabilir.<br />

Dolayısıyla, “Aritmetiğin Temel Teoremi” nden, −1 ve 1 dışındaki tüm<br />

sayılar, p asal sayı olmak üzere bazı S(p, 0) kümeleri tarafından içerilirler.<br />

Örneğin 15 ∈ S(3, 0) veya 15 ∈ S(5, 0)’ dır. Böylece<br />

(1) {−1, 1} c = ∪<br />

S(p, 0)<br />

p asal sayı<br />

şeklinde elde edilir.<br />

Artık asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtlayabiliriz. Varsayalım ki, asal<br />

sayılar kümesi sonlu olsun. Öyleyse yukarıdaki (1) eşitliğinin sağ tarafı yukarıda<br />

yaptığımız yorumun (ii) koşulundan kapalı kümelerin sonlu birleşimi<br />

şeklindedir. Böylece Lemma <strong>1.</strong>1’ den bu birleşim kapalıdır. <strong>Bu</strong> da, {−1, 1}<br />

kümesinin açık olduğunu gösterir. Fakat yukarıda yaptığımız yorumun (i)<br />

koşulunda τ’ nun her bir elemanı sonsuz eleman içermektedir. <strong>Bu</strong> bir çelişkidir.<br />

Sonuç olarak asal sayılar kümesi sonsuz sayıda eleman içerir.<br />

Kaynaklar<br />

[1] William F. Basener, Topology and Its Applications, John Wiley & Sons Inc., 2006,<br />

pp.342.<br />

[2] Gülhan Aslım, Genel <strong>Topoloji</strong>, Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları No:109, 1998,<br />

pp.274.<br />

E-mail address, M.B. Kandemir: mbkandemir@mu.edu.tr<br />

Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, 48000<br />

Muğla, Türkiye

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!