Bir Boyutlu Isıl Gerilme Problemi (Mukavemet - I, I. Ara Sınavı-17-2 ...

Problem :
Bir Boyutlu Isıl Gerilme Problemi
(Mukavemet - I, I. Ara Sınavı-17-2)
1
D
400 mm 2
E
A C
B
2m
Q
¸Sekil 1
500 mm 2
¸Sekil 1 de bir rijit ABC plakası, AD ve CE çubukları tarafından ta¸sınmakta olup, yük tatbik
edilmeden önce konumu yataydır. Plakanına˘gırlık merkezi olan B noktasına yava¸syava¸s
bir Q kuvveti tatbik edilmi¸s ve B noktasının 10 mm kadar a¸sa˘gıya do˘gru inmesi sa˘glanmı¸stır.
Daha sonra bu Q kuvveti yava¸syava¸skaldırılmı¸stır. AD ve CE çubuklarının çelikten yapıldı˘gı
ve mükemmel elastik ve mükemmel plastik ¸sekilde davrandıkları bilinmektedir. Çelik için
E =200GPa ve ¾Y = 300 MPa dır. a) Söz konusu konuma B noktasının gelebilmesi
için gerekli Q kuvveti nedir, bu kuvvete maruz iken ABC plakasının konumu ne olur, A ve C
noktalarının çökme miktarlarını bulunuz, b) Bu Q kuvveti kaldırıldı˘gı zaman ABC plakasının
son konumu ne olur.
Çözüm :
Malzemenin elasto-plastik özelli˘ge sahip olması nedeniyle çubukların elastik ¸sekil de˘gi¸stirme
davranı¸sları öncelikle kontrol edilmelidir. Çubuklar çelikten imal edilmi¸stir. Çelik için
mümkün elastik ¸sekil de˘gi¸stirme
"Y = ¾Y
E
σ
σ Y
2m
300 £ 106
= =1:5 £ 10¡3
200 £ 109 1.5 10 -3
¸Sekil 2. Çubukların gerilme-¸sekil de˘gi¸stirme davranı¸sı
Dr. M. Kemal Apalak 1
2
ε

olur. Bu durumda çelik için gerilme ¸sekil de˘gi¸stirme diyagramı ¸sekil 2 deki gibi olur. Çubukların
elastik sınırlar içinde en yüksek ta¸sıyabilece˘gi yükler
(F 1) max = ¾Y A1 = 300 £ 10 6 £ 400 £ 10 ¡6 = 120 £ 10 3 N
(F 2) max = ¾Y A2 = 300 10 6 £ 500 £ 10 ¡6 = 150 £ 10 3 N
olacaktır. Çubuk sisteminin serbest cisim diyagramı (¸sekil 3) gözönüne alınacak olursa
F 1
1 2
A C
B
Q
F 2
¸Sekil 3. Serbest cisim diyagramı
§MA =0; 2 £ Q ¡ 4 £ F2 =0 ! F2 = Q
2
§Fy =0; F1 + F2 = Q ! F1 = Q
2
1 nolu çubuk F =120£ 10 3 N luk bir yükte akmaya ba¸slayacaktır. Bu nedenle çubuk
sistemi için plastik davranı¸sın çubuklarda ba¸slayabilmesi için bu yük yeterlidir. Dolayısıyla
en yüksek çubuk kuvveti Fmax = 120 £ 10 3 Nolur.Ayrıca en yüksek Qmax yükü
Qmax =2£ Fmax = 240 £ 10 3 N
olur.
Bu kritik yük için her bir çubuk elemanında meydana gelen elastik ¸sekil de˘gi¸stirme miktarları
(¢1) el =
(¢1) el = 3£ 10 ¡3 m
(¢2) el =
µ µ
FL
L
= ¾Y = 300 £ 10
AE 1;el E 1;el
6
µ
Fmax L
AE
(¢2) el =
2;el
6£ 10 ¡3 m
=
µ
2
200 £ 109
120 £ 10 3 £ 5
500 £ 10 ¡6 £ 200 £ 10 9
Dr. M. Kemal Apalak 2

1 2
A C
B
A 1
¸Sekil 4. En büyük elastik ¸sekil de˘gi¸stirme konumu
bulunur. Elastik ¸sekil de˘gi¸stirmeler neticesinde çubuk sistemi ¸sekil 4 deki konumu alacaktır.
1 nolu çubuk bu yük altında plastik ¸sekil de˘gi¸stirmeye maruz kalacaktır, yani akacaktır.
Ancak 2 nolu çubuk hala akma gerilmesinin altında bir gerilmeye sahip oldu˘gundan ¸sekil
de˘gi¸stirmesi bu esnada duracaktır. Orta B noktasının elastik yer de˘gi¸stirmesi ¸sekil 4 deki
geometriden
CC1 ¡ AA1
=
BB1 ¡ AA1
AC
AB ! BB1 = AA1 + AB
AC £ (CC1 ¡ AA1)
BB1 =3:0+ 1
(6:0 ¡ 3:0) = 4:5 mm
2
bulunur. 2 nolu çubu˘gun uzamaması nedeniyle C1 noktası etrafında ABC plakası, 1 nolu
çubuk uzarken dönecektir. B noktası 10 mm a¸sa˘gı indi˘gi andaki ABC blokunun yeni konumu
¸sekil 5 deki gibi olacaktır. BB2 =10mm oldu˘guna göre geometriden
Q
B 1
1 2
A B C
A 1
A 2
¸Sekil 5. B noktasının 10 mm lik dü¸sey yerde˘gi¸stirmesine tekabül eden konum
Dr. M. Kemal Apalak 3
Q
B 1
B 2
C 1
C 1

AA2 ¡ CC1
=
BB2 ¡ CC1
AC
AB ! AA2 = AC
AB £ (BB2 ¡ CC1)+CC1
µ
4
AA2 = £ (10 ¡ 6) + 6 = 14 mm
2
A1A2 = AA2 ¡ AA1 =14¡ 3=11mm
bulunur. 1 nolu çubuk A1A2 =11mm kadar plastik olarak uzayacaktır. Yük kaldırıldıktan
sonra 2 nolu çubuk halen elastik oldu˘gundan CC1 =6mm lik elastik uzamasını geri vererek,
C1 noktası C konumuna gelecektir.
1 2
A
A 3
A 2
¸Sekil 6. Yük tamamen kaldırıldıktan sonraki konum
Ancak 1 nolu çubuk AA1 = 3 mm lik elastik uzamasını geri verecek ve üzerinde 11 mm
lik plastik uzama daimi olarak kalacaktır. Bu durumda ABC plakasının son konumu ¸sekil 6
daki gibi olacaktır.
AA3
=
BB3
AC
AB ! BB3 = AB
AC £ AA3 = 2
£ 11 = 5:5 mm
4
Görüldü˘gü gibi plakanın A noktası 11 mm ve B noktası 5:5 mm a¸sa˘gıda olmak üzere C
noktası ba¸slangıç konumuna eri¸secektir.
Dr. M. Kemal Apalak 4
B
B 3
B 2
C
C 1