Statik Belirsiz Ankastre Kiris Problemi (Mukavemet - II, Bütünleme ...

Problem :
Statik Belirsiz Ankastre Kiri¸sProblemi
(Mukavemet - II, Bütünleme Sınavı-24-2)
¸Sekil 1 de gösterilen bir ucu di˘ger ucu basit mesnetli kiri¸sin A ve B mesnetlerinde
ortaya çıkan mesnet reaksiyonlarının tümünü hesap ediniz. En büyük sehim de˘gerini ve
koordinatlarını bulunuz. Kiri¸s malzemesinin elastisite modülü 210 GPa dır.
y
200 N/m
Çözüm :
z
A
4m 2m 4m
1. Statik belirsiz ankastre kiri¸s
¸Sekil 2 gözönüne alınarak x ¡ x kesitinde e˘gilme momenti denklemi
Denge denklemleri
hx ¡ 4i2
Mz = MA + RA x ¡ 200
2
hx ¡ 6i2
+ 200
2
B x
X Fy =0; RA + RB = 200 £ 2 = 400 (2)
X MA =0; MA +(200£ 2) (4 + 1) ¡ 10RB =0
(1)
MA ¡ 10RB = ¡2000 (3)
EI d2y dx2 = Mz
hx ¡ 4i2 hx ¡ 6i2
= MA + RA x ¡ 200 + 200
2
2
EI dy
dx = MA
x
x + RA
2 100
¡
2 3 hx ¡ 4i3 + 100
3 hx ¡ 6i3 + C1 (5)
x
EI y = MA
2
2
Sınır ¸sartları uygulanırsa
x
+ RA
3
1. x =0da dy
dx =0¸sartı (5) denkleminde
C1 =0
2. x =0da y =0¸sartı (6) denkleminde
C2 =0
(6) denkleminde x =10da y =0uç ¸sartı
6
¡ 100
12 hx ¡ 4i4 + 100
12 hx ¡ 6i4 + C1 x + C2
Dr. M. Kemal Apalak 1
(4)
(6)

M A
R A
z
A
y
200 N/m
-200 N/m
4m 2m 4m
B x
2. Dı¸s yükler ve reaksiyonlar, singularity fonksiyonuna yüklerin uyarlanması
10
0=MA
2 10
+ RA
2 3 100
¡
6 12 (6)4 + 100
12 (4)4
0=50MA + 166:67RA ¡ 8666:67
50MA + 166:67RA = 8666:67 (7)
verir. (7) ve (2) denklemleri birlikte çözülürse
RA + RB = 400
RA = 400 ¡ RB
50MA + 166:67 (400 ¡ RB) = 8666:67
50MA ¡ 166:67RB
(8) ve (3) denklemleri birlikte çözülürse
= ¡58001 (8)
(5) e˘gim denklemi
50MA ¡ 166:67RB = ¡58001
MA ¡ 10RB = ¡2000
333:33RB = 41999
RB ' 126 N
RA = 400 ¡ 126
RA = 274 N
50MA ¡ 166:67:126 = ¡58001
MA = ¡740 Nm
Dr. M. Kemal Apalak 2
R B

EI dy
dx
(6) sehim denklemi
= ¡740x + 274x2
2
EI y = ¡740 x2
2
ve (4) moment denklemi
olur.
+ 274x3
6
100
¡
3 hx ¡ 4i3 + 100
hx ¡ 6i3
3
100
¡
12 hx ¡ 4i4 + 100
hx ¡ 6i4
12
Mz = ¡740 + 274:x ¡ 100 hx ¡ 4i 2 + 100 hx ¡ 6i 2
Eğilme momenti, (N.m)
800
600
400
200
0
0.0
-200
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
-400
-600
-800
-1000
Mesafe, (m)
3. E˘gilme momentinin de˘gi¸simi Mz
En büyük moment (4 · x · 6) arasında @M
@x
@M
@x
=0¸sartıyla aranabilir,
= 0 = 274 ¡ 200 (x ¡ 4)
x =5:37 m
Mmax = ¡740 + 274 (5:37) ¡ 100 (5:37 ¡ 4) 2
Mmax = 543:69 Nm
Dolayısıyla en büyük sehim x =5:37 mdeolu¸sur.
ymax = 1
·
¡
EI
740
2 (5:37)2 + 274
6 (5:37)3 ¡ 100
¸
(5:37 ¡ 4)4
12
ymax = 1
EI (¡3627:34)
ymax = ¡3627:34
EI
Ankastre kiri¸sin e˘gim ve sehim de˘gi¸simleri ¸sekil 4 ve 5 de gösterilmi¸stir.
Dr. M. Kemal Apalak 3

Eğim, E I (dy/dx)
Sehim (E I y)
1500
1000
500
-500
-1000
-1500
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
³
4. E˘gimin
Mesafe, (m)
EI dy
dx
´
de˘gi¸simi
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
0
Mesafe, (m)
5. Sehimin (EI y) de˘gi¸simi
Dr. M. Kemal Apalak 4