Düzlem Gerilme Hali, Basınçlı Kaplar Problemi (Mukavemet - I ...

Problem :
D
Düzlem Gerilme Hali, Basınçlı Kaplar Problemi
(Mukavemet - I, Bütünleme Sınavı-20-3)
P
L
¸Sekil 1. ˙Ince cidarlı iç basınca maruz silindirik kap
¸Sekil 1 deki 600 mm uzunlu˘ga, 80 mm iç çapa, 2 mm cidar kalınlı˘gına sahip bir silindirik
kap 6 MPa lık bir iç basınca maruzdur. (a) Silindir yüzeyinde keyfi bir P noktasındaki gerilmeleri,
(b) Silindirin boyunda ve çapında ortaya çıkan de˘gi¸simleri, (c) Saat ibresi yönünde
yatayla 20 ± lik açı yapan düzlemdeki gerilme halini, (d) Asal gerilmeleri, uç kayma gerilmelerini
ve do˘grultularını bulunuz, (e) Tüm büyüklükleri Mohr dairesinde gösteriniz, (f)
Tresca ve von Mises kriterlerine göre malzemenin en küçük akma gerilmesini tespit ediniz.
Çözüm :
(a) ¸Sekil 2 de gösterildi˘gi gibi ince cidarlı silindirik basınçlı kaplar için cidar yüzeyinde
bir P noktasında alınan diferensiyel bir elemanda çember gerilmesi
ve boyuna gerilme
σ
H
σ L
¸Sekil 2. P noktasındaki diferensiyel eleman
¾H = pr
t
¾L = pr
2t
¾L = ¾H
2
= pd
2t
= pd
4t
ortaya çıkar. O halde
¡
6 6 £ 10
¾H =
¢ £ ¡ 80 £ 10 ¡3¢
2 £ (2 £ 10 ¡3 ;
)
¾H = 120 MPa
ve
¡
6 6 £ 10
¾L =
¢ £ ¡ 80 £ 10 ¡3¢
4 £ (2 £ 10 ¡3 ;
)
¾L =60MPa
Dr. M. Kemal Apalak 1

ulunur. Kesit yüzeyinde LH-düzleminde kayma gerilmesi ¾LH ortaya çıkmaz.
(b) Çap do˘grultusunda ¸sekil de˘gi¸stirme çevresel ¸sekil de˘gi¸stirmeye e¸sittir. Yani,
çevresel ¸sekil de˘gi¸stirmeden
"D = "H
"H = 1
E [¾H ¡ º (¾L + ¾zz)]
¾zz = 0
"H = 1
h
¾H ¡ º
E
³ ´i
¾H
2
"H = ¾H
(2 ¡ º)
2E
"H = pd
(2 ¡ º)
4Et
"D =
120 £ 106
"H = (2 ¡ 0:29)
2 £ 210 £ 109 "D = "H =4: 885 7 £ 10 ¡4
"H = ¼d2 ¡ ¼d1
¼d1
"H = ¢d
d1
= d2 ¡ d1
d1
yani "D = ¢d
yazılabilir. O halde, silindirik kabınçapındaki de˘gi¸sim
¢d
¢d
=
=
d1"H
4: 885 7 £ 10 ¡4 £ ¡ 80 £ 10 ¡3¢
¢d = 3: 908 6 £ 10 ¡5 m
boyuna ¸sekil de˘gi¸stirme
"L = 1
E [¾L ¡ º (¾H + ¾zz)]
¾zz = 0
"L = 1
E (¾L ¡ º¾H)
"L = 1
"L =
³ ´
¾H
¡ º¾H
E 2 ¾H
(1 ¡ 2º)
2E
"L = pd
(1 ¡ 2º)
4Et
d1
"L =
120 £ 106 (1 ¡ 2 £ 0:29)
2 £ 210 £ 109 "L = 0:000 12
Dr. M. Kemal Apalak 2

silindirik kabın boyundaki de˘gi¸sim
"L = ¢l
¢l =
=0:000 12
l
0:000 12 £ l =0:000 12 £ ¡ 600 £ 10 ¡3¢
¢l = 7:2 £ 10 ¡5 m
(c) Saat ibresi yönünde yatayla 20 ± lik açı yapan düzlemdeki gerilme bile¸senlerinin tespiti
için
¾xx = ¾L =60£ 10 6 Pa, ¾yy = ¾H = 120 £ 10 6 Pa, ¾xy =0
¾xx + ¾yy
2
¾xx ¡ ¾yy
2
= (60 + 120) £ 106
= (60 ¡ 120) £ 106
¾x 0 x 0 = ¾xx + ¾yy
2
=90£ 10
2
6
= ¡30 £ 10
2
6
+ ¾xx ¡ ¾yy
cos 2µ + ¾xy sin 2µ
2
¾x0x0 = 90£ 106 ¡ 30 £ 10 6 cos (¡40)
¾x0x0 = 67:02 £ 106 Pa
¾y 0 y 0 = ¾xx + ¾yy
2
¡ ¾xx ¡ ¾yy
cos 2µ ¡ ¾xy sin 2µ
2
¾y0y 0 = 90£ 106 +30£ 10 6 cos (¡40)
¾y0y 0 = 112:982 £ 106 Pa
y
¾x 0 y 0 = ¾yy ¡ ¾xx
¾x0y0 = 30£ 106 sin (¡40)
¾x0y0 = ¡19:28 £ 106 Pa
σ yy = 120 MPa
σ xx = 60
2
-20 º
sin 2µ + ¾xy cos 2µ
σ
x
x ′ y′
σ ′ = 112.
98
y′y
σ
x′y′
σ x′x′
= 67.
02
= −41.
23
¸Sekil 3. Saat ibresi yönünde 20 ± döndürülmü¸s düzlemde gerilme hali
Dr. M. Kemal Apalak 3

(d) Asal gerilmeler
Asal do˘grultular
¾a;b = ¾xx + ¾yy
2
¾a;b = 90£ 10 6 § 30 £ 10 6
s
µ¾xx
¶ 2
¡ ¾yy
§
2
+ ¾ 2 xy
¾a = 120 £ 10 6 Pa ve ¾b =60£ 10 6 Pa
2¾xy
¾xx ¡ ¾yy
=0; µa =0 ±
µb = µa +90 ± =90 ±
tan 2µa =
Uç kayma gerilmeleri
s
µ¾xx
¶ 2
¡ ¾yy
¾c;d = §
2
Uç kayma gerilmeleri düzlemleri
bu düzlemlerdeki normal gerilmeler
tan 2µc = ¾yy ¡ ¾xx
2¾xy
µd = µc +90 ± = 135 ±
¾n = ¾xx + ¾yy
2
+ ¾ 2 xy = § 30 £ 10 6 Pa
= 1; µc =45 ±
=90£ 10 6 Pa
(e) ¸Sekil 4 Mohr düzleminde gerilme halini göstermektedir. Mohr dairesinden ölçülen
de˘gerler :
¾x 0 x 0 =67MPa, ¾y 0 y 0 = 113 MPa, ¾x 0 y 0 = ¡19 MPa, ¾a = 120 MPa, ¾b =60MPa ve
¾c;d = § 30 MPa.
(f) Akma gerilmesi Tresca hipotezine göre
¾Y
2 = ¾a ¡ ¾b
2
¾Y = 120 £ 10 6 Pa
von Mises hipotezine göre
p
2
¾Y =
p
2
2
¾Y =
2
¾Y = 103:92£ 10 6 Pa
bulunur.
h
(¾1 ¡ ¾2) 2 +(¾2 ¡ ¾3) 2 +(¾3 ¡ ¾1) 2i 1 2
h ¡120 £ 10 6 ¡ 60 £ 10 6 ¢ 2 + ¡ 60 £ 10 6 ¡ 0 ¢ 2 + ¡ 0 ¡ 120 £ 10 6 ¢ 2 i 1 2
Dr. M. Kemal Apalak 4

σ ns , MPa
30
20
10
-10
-20
-30
σ y’x’
K
K ’
σ x’x’
σ c
σb 60 70 80 90 100
σ d
O
σy’y’ L
110 σa 120
2θ = 40 º
L ’
yy = H
¸Sekil 4. Mohr düzleminde gerilme halinin gösterimi
σ
L
σ
= 120
σ
σ nn , MPa
xx = L
Dr. M. Kemal Apalak 5
K
σ
= 60