Bölüm 2: Zaman sabitesi

Bölüm 2: Zaman sabitesiSAR1S2RVR-L seri devredeakımın artışeğrisiVLX LŞekil 2.1: R-Lseri devreVX LR-L seri devredeakımın azalışeğrisiŞekil 2.2: R-L seri devreye uygulananDC akımın "artış" ve "azalış" eğrilerit (s)5τA. R-L seri (indüktif özellikli) devrelerde zaman sabitesiOmik direnç (R) ile indüktif direnç (X L ) şekil 2.1'de görüldüğü gibi seri bağlanıp akımuygulanırsa, devreye seri bağlı olan ampermetrenin ibresinin aniden maksimum değere çıkmadığıgörülür. Bunun sebebi, bobinin oluşturduğu manyetik alanın üreteçten gelen akımın artışına karşıkoymasıdır.R (direnç) ve L (bobin) ile oluşturulan seri bir devreden geçen akımın, 5.τ zaman sonramaksimum değere ulaştığı, hassas deneyler sonucunda anlaşılmıştır.Buna göre, R-L seri bağlı devrelerin zaman sabitesi τ=L/R [s] ile bulunabilir.Örnek: 2 ohm’luk direnç ile 0,2 henry’lik bobin seri bağlanmıştır. Devrenin zaman sabitesinibulunuz.Çözüm: τ=L/R = 0,2/2 = 0,1 sNot: Her bobinin mutlaka bir miktar omik direnci vardır. Omik direnci hiç olmayan bobineideal bobin denir. Gerçekte ideal bobin yoktur. İdeale yakın bobin vardır.R-L seri bağlı devreden geçen akımın zamana göre değişim grafiği çizilecek olursa şekil2.2'de verilen logaritmik eğriler bulunur.Şekil 2.2'deki logaritmik eğrilerden yararlanılarak e tabanlı logaritmik denklembulunmuştur.Uzun hesaplamalar gerektiren e tabanlı denklemin nasıl çıktığı üzerinde durulmadanhesaplamalarda kullanılan formül doğrudan verilecektir.Şarj anında akımın ânî değeri:i = V/R.(1-e -(R / L).t ) [A] ya da, i = V/R.[1-1/e (R/L).t ] [A]Verilen denklemde,i: Anahtar kapatıldıktan sonra akımın maksimum değerine ulaşmadan önce herhangi bir tanındaki ânî değeri,V: Devreye uygulanan gerilim,R: Devredeki direncin değeri,L: Bobinin indüktansı (henry),e: Neper logaritma tabanı (2,71828)30PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

Deşarj anında akımın ani değeri:i = V/R.(e -(R/L).t ) [A] ya da i = V/R(1/e (R/L).t ) [A]Örnek: Şekil 2.2'de verilen devrede R = 2 Ω, L = 4 H, V = 20 V olduğuna göre, R-L seridevrede anahtar kapatıldıktan 2 s sonra akımın ani değeri nedir? Heaplayınız.Çözüm: Devreden geçebilecek doğru akımın maksimum değeri, Imaks = V/R = 20/2 = 10 ADC uygulandıktan 2 s sonra devreden geçen akımın ani değeri,i = V/R.(1-e -(R/L).t ) = 20/2(1-1/e (2/4).2 ) = 10.(1-1/e 1 ) = 10.(1-1/2,718 1 )i = 10-10/2,718 = 6,32 AÖrnek: Şekil 2.2'de verilen devrede akım maksimum değerde akarken S anahtarı 2 konumunaalındıktan 2 saniye sonra hangi değere düşer?Çözüm: i = V/R.(e -(R/L).t) ) = 10.1/e (R/L).t = 10/2,718 = 3,68 AEk bilgi: LogaritmaBir sayının logaritmasını bulmak, o sayının ait olduğu sayı sisteminde, tabanın kaçıncı kuvvetiolduğunu belirlemektir.Desimal (on tabanlı) sayı sisteminde kullanılan logaritmaya adi logaritma denir.Örneğin, Log10 = 1, Log100 = 2, Log1000 = 3'tür.Tabanı 2,71828 olan neper logaritması ise Ln ile gösterilir. Bunun mantığı yine aynıdır. Sadecebir sayının neper logaritma değeri bulunurken 2,71828'in kaç katı olduğu belirlenir.Örneğin, Ln3 = 1,09. Ln5 = 1,60. Ln10 = 2,3. Ln100 = 4,605'tir.Başka bir ifadeyle: 3 = e 1,09 . 5 = e 1,6 . 10 = e 2,3 . 100 = e 4,605 'tir.Logaritma hesapları için ya hazır logaritma cetvelleri ya da hesap makinesi kullanılır.VV besleme1S2R deşarjRX CR-C seri devredeakımın artışeğrisiR-C seri devredeakımın azalışeğrisit (s)Şekil 2.3: R-C seri devre5τŞekil 2.4: R-C seri devreye uygulanan DCakımın artış ve azalış eğrileriB. R-C seri (kapasitif özellikli) devrelerde zaman sabitesi (R-C time constant)Kondansatörün her iki levhasında eşit derecede elektron bulunduğu zaman eleman boş olaraknitelenir. Kondansatörün dolması demek, iki levhadan birinin (+), diğerinin (-) yük ileyüklenmesidir.Kondansatör bir R direnci üzerinden şarj olurken, uçlarındaki gerilimin, U besleme geriliminin% 63,2'sine çıkması için geçen zamana bir zaman sabitesi denir. Başka bir deyişle, dolu birkondansatörün uçları arasındaki gerilimin, boşalma esnasında ilk gerilim değerinin % 36,8'inedüşmesi için geçen zamana bir zaman sabitesi adı verilir.Kondansatörler bir DC kaynağına bağlandığında ampermetrenin ibresi önce yüksek bir değergösterir. Sonra 0 A değerine doğru iner.Şekil 2.3'te verilen devrede anahtar 2 konumuna alınırsa deşarj işlemi başlayacağından ampermetreters yönde yüksek bir akım değeri gösterir daha sonra ibre sıfır değerine doğru düşer.31PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

Yapılan bu deneylerin elektriksel grafikleri çizilecek olursa şekil 2.4'teki logaritmik özelliklieğriler bulunur. Eğrilerden çıkarılan denklemlere göre kondansatörler 5t (tau)’luk zaman aralığındadolar ya da boşalırlar.Omik direnci hiç olmayan bir kondansatör, ideal kondansatör olarakadlandırılır. Ancak gerçekte ideal kondansatör yoktur, ideale yakın kondansatör vardır. Çünkü,şarj olurken akıma karşı hiç direnç göstermeyen kondansatör yapılamamıştır. Yani, kondansatörünbağlantı ayaklarının ve plakaların yapıldığı metalin belli bir omik direnci söz konusudur.Herhangi bir kondansatör tek başına üretece bağlandığı anda hemen dolmaz. Dolma işlemibelli bir süre alır. Bu süre çok kısa olduğu için ihmal edilebilir.Kondansatör şekil 2.3'te görüldüğü gibi bir direnç üzerinden devreye bağlandığında zamansabitesi denklemi: τ = R.C [s] şeklinde bulunur.Kondansatör şarj olurken geriliminin belirli bir sürede yükseldiğini, deşarj olurken yine belirlibir sürede yüksüz hâle döndüğünü belirtmiştik. Bu yaklaşım ışığında yapılan deneylerde bulunandoluluk oranları şu şekilde olmaktadır:τ (zaman sabitesi) I (şarj akımı) V (şarj gerilimi)1 τ sonra % 36,8 % 63,22 τ sonra % 13,5 % 86,53 τ sonra % 4,98 % 95,024 τ sonra % 1,83 % 98,175 τ sonra % 0,67 % 99,33Örnek: Şekil 2.3'te verilen devrede 1000 µF’lık kondansatör, 10 kΩ‘luk direnç üzerinden şarjolmaktadır. a. Kondansatörün zaman sabitesini, b. Kondansatörün tam olarak dolması için geçenzamanı bulunuz.Çözüm: a. τ = R.C = 10000.0,001 = 10 s b. Kondansatörün dolma zamanı = 5.τ = 50 sKondansatörün plâkalarında biriken enerjinin gerilim ve akım değerinin herhangi birandaki seviyesini bulmada kullanılan denklemlerŞarj anında akımın ve gerilimin ani değerleri:vc = V.(1-e -t/R.C ) [V]ic = V/R.(e -t/R.C ) [A]Örnek: Değeri 2 MΩ olan bir direnç ile kapasite değeri 2 µF olan bir kondansatör seri bağlanmışve sisteme 200 V uygulanmıştır. Buna göre anahtar kapandıktan 2 s sonra kondansatör uçlarındakigerilim kaç volt olur? Bulunuz.Çözüm:vc=V.(1-e -t/R.C )=200.(1-e -2/2.2 )=200.(1-e -1/2 )=200.[1-(1/e 1/2 )]=200.[1-(1/ )]= 78,6 VDeşarj anında akımın ve gerilimin ani değerleri:vc = V.(e -t/R.C ) [V]ic = -V/R.(e -t/R.C ) [A]Örnek: Kapasite değeri 1 µF olan bir kondansatöre 250 V uygulanarak şarj işlemi yapılmıştır.Ardından üreteç sistemin dışına çıkarılarak kondansatör uçlarına 1 MΩ‘luk direnç paralel olarakbağlanmıştır. Buna göre deşarj işlemi başladıktan 2 s sonra kondansatör uçlarındaki gerilim kaçvolta iner? Bulunuz.Çözüm: vc = V.(e -t/R.C ) = 250.(e -1/1.1 ) = 250.e -1 = 250.(1/2,718) = 92 VSorular1. Zaman sabitesi nedir? Anlatınız.2. R-L seri devrede akım niçin hemen maksimum değere ulaşamaz? Açıklayınız.3. R-C seri devrede şarj ve deşarj olaylarını anlatınız.32PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com