Teme Master radova - Matematika (školska 2012/2013) - Prirodno

Univerzitet u Nišu 

Prirodno-matematički fakultet 

Departman za matematiku 

T E M E 

MASTER RADOVA NA 

MASTER AKADEMSKIM STUDIJAMA : 

MATEMATIKA 

U Nišu, 10.10.2012. godine

Naslov master rada 

Mentor 

Studijski program 

Modul 

Kratak sadržaj rada 

Spisak reprezentative 

literature 

Bulove algebre 

Dr Snežana Ilić 

Matematika 

Predlog članova komisije 1. Dr Snežana Ilić, 

2. Dr Miroslav Ćirić, 

3. Dr Vladimir Pavlović. 

Iako svoju najvažniju ulogu Bulove algebre imaju u Logici i Računarstvu, 

one su uspostavile jaku vezu sa problemima Topologije, Teorije mera, 

Funkcionalne analize,.. . 

Parcijalno uredjen skup (A,≤) je mreža ako za svaka dva elementa 

postoji supremum i infimum. Na mreži se definišu operacije i . Za 

a,bA: a b=infab , , a b=supab , . Na taj način je definisana 

algebra (A, , ), za koju kažemo da je pridružena mreži (A,≤). 

Za tvrdjenje u jeziku mreža, d označava njegovo dualno tvrdjenje 

dobijeno zamenom simbola , redom simbolima , . Važi sledeća 

teorema, Princip dualnosti: Ako tvrdjenje važi u svakoj mreži, tada 

važi i dualno tvrdjenje d . 

Mreža koja zadovoljava jedan od identiteta: x (y z)=(x y) (x z) 

ili x (y z)=(x y) (x z) je distributivna. Mreža A je kompletna 

ako svaki neprazan podskup od A ima supremum i infimum. Neka je A 

mreža koja ima najmanji element 0, najveći 1 i aA. Za element bA 

kažemo da je komplement od a ako je a b=0 i a b=1. Ako svaki 

element ima komplement, kažemo da je A mreža sa 

komplementiranjem. 

Algebarska struktura (B,+, ,-,0,1) u kojoj su operacije + i asocijativne i 

komutativne, važe distributivni zakoni i zakon apsorpcije jedne operacije 

prema drugoj, x+(-x)=1 i x (-x)=0 je Bulova algebra. Bulove algebre su 

distributivne mreže sa komplementiranjem. Za Bulove algebre, takodje, 

važi princip dualnosti formulisan za mreže, s tim što se ovde vrši i 

zamena simbola 0, 1 jednog drugim. 

Uvodi se pojam Bulovog prstena, atoma, atomične Bulove algebre, 

podalgebre Bulove algebre generisane podskupom, homomorfizma, 

kongruencije, ideala, filtra, ultrafiltra, proizvoda Bulovih algebri i 

proučavaju se njihove osobine. Veoma važna veza se uspostavlja 

izmedju Bulovih algebri i jedne klase topoloških prostora. Svaka Bulova 

algebra se može potopiti u kompletnu Bulovu algebru. Posebna pažnja 

posvećena je problemu nalaženja najmanje takve kompletne Bulove 

algebre, kao i konstrukciji slobodne Bulove algebre. 

1. Ž. Perović: Bulove algebre, Prosveta Niš, 1998. 

2. S. Roman: Lattices and Ordered Sets, Springer 

- 1 -


Mentor 


Modul 



literature 

Predlog članova komisije 

Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe 



Veliku i veoma značajnu klasu raznovrsnih konačnih i beskonačnih 

grupa čine grupe “kretanja“ ( grupe kongruencija) geometrijskih figura. 

Kretanjem (ili kongruentnim preslikavanjem) date geometrijske figure F 

naziva se takvo premeštanje figure F (u prostoru ili u ravni) kojim se 

figura F prevodi u samu sebe, tj. preslikava na samu sebe. 

Najprostije grupe kretanja su grupe rotacija pravilnih poligona u ravni. 

Ako bi se posmatralo preslikavanje n-tougla na sebe u prostoru, tada bi 

se pobrojanim rotacijama dodale i tzv. refleksije poligona, tj. rotacije za 

ugao π oko ose simetrije poligona. 

Neka je u prostoru ili u ravni data figura F. Razmotrimo sva 

preslikavanja te figure na nju samu, tj. sva kretanja (u prostoru ili u 

ravni) kojima se ta figura prevodi u sebe. Kao proizvod g 1 g 2 dvaju 

kretanja g 1 i g 2 definisaćemo kretanje koje je rezultat uzastopno 

izvedenih, najpre, kretanja g 1 a zatim kretanja g 2 . Skup svih takvih 

kretanja figure F sa definisanom operacijom množenja obrazuje grupu. 

Grupe kretanja pravilnih poligona su konačne. Upoznaćemo i druge 

konačne grupe kretanja, naime grupe kretanja nekih poliedara (pravilne 

piramide, pravilne bipiramide, pravilnog tetraedra, kocke, oktaedra, 

ikosaedra i dodekaedra). 

Primer beskonačne grupe kretanja je grupa svih kretanja prave u bilo 

kojoj ravni kojoj ta prava pripada. Drugi primer je grupa svih 

preslikavanja kruga na sebe u njegovoj ravni. 

Kretanja koja prevode datu figuru u podudarnu figuru nazivamo 

izometrijskim transformacijama. Izometrijske transformacije su razne 

vrste simetrija (osna simetrija, centralna simetrija, ravanska simetrija), 

rotacija i translacija kao i, razume se, raznovrsne kombinacije istih. Naš 

cilj je da upoznamo geometrijska svojstva izometrijskih transformacija i 

njihovih grupa. 

1. P.S. Aleksandrov: Uvod u teoriju grupa, Privredna štampa, Beograd, 

1982.; 

2. N. Božović, Ž. Mijajlović: Uvod u teoriju grupa, Naučna knjiga, 

Beograd, 1983.; 

1. Dr Snežana Ilić, 

2. Dr Ljubica Velimirović, 


- 2 -


Mentor 


Modul 



literature 


Univerzalna algebra 



Pojam grupe, prstena i polja se ovde ponovo razmatraju, ali sa 

apstraktnijeg nivoa, odnosno sa stanovišta univerzalnih algebarskih 

struktura. Na ovaj način se omogućava da se kompaktno prikažu 

pojedine oblasti algebre i izbegne u osnovi nepotrebno ponavljanje 

definicija ključnih pojmova kod konkretnih algebarskih struktura. I što je 

važnije, student može da stekne uvid u suštinske algebarske pojmove i 

konstrukcije, zajedničke svim algebarskim strukturama (kao, na primer, 

pojmovi i konstrukcije: term, algebarski zakon, algebarski varijetet, 

homomorfizam, proizvod algebri, kongruencija i količnička algebra). 

Neka je A neprazan skup. Algebarska struktura ili algebra je svaka 

uredjena n-torka A =(A,f 1 ,f 2 ,...,f k ,a 1 , a 2 ,...,a m ) gde su n,k i m prirodni 

brojevi, n=k+m+1, f 1 ,f 2 ,...,f k operacije skupa A i a 1 , a 2 ,...,a m A. 

Najznačajnija klasifikacija algebri je prema jeziku, tj. prema broju i vrsti 

algebarskih operacija i konstanti koje učestvuju u njihovoj definiciji. 

Razne osobine algebarskih struktura izražavaju se algebarskim 

zakonima. Algebarski zakoni su, zapravo, posebna vrsta formula 

zapisanih na jeziku razmatrane algebre. Algebarsku strukturu održavaju 

specijalna preslikavanja-homomorfizmi. Posledica ove činjenice je da 

homomorfne slike čuvaju mnoge algebarske osobine polazne algebre. 

Proizvod algebri, Dekartov stepen algebre, podalgebra generisana 

podskupom i količnička algebra su primeri konstrukcije novih algebri. 

Algebarski varijeteti predstavljaju jednu moguću klasifikaciju algebri 

datog jezika. S druge strane, mnoge značajne klase algebri ne mogu se 

u tom formalizmu na pogodan način predstaviti. Ne postoji algebarska 

teorija koja opisuje tačno klasu svih algebarskih polja. Isto tako ima 

važnih primera algebri na kojima su definisane odredjene relacije koje 

su u vezi sa operacijama date algebre (na primer, uredjena polja). Takve 

proširene strukture nisu obuhvaćene formalnom definicijom algebre. 

Stoga su razvijeni formalni sistemi koji, izmedju ostalog, dopuštaju 

izučavanje i takvih primera algebarskih struktura. Jedan od tih 

formalizama, kojim ćemo se baviti, je teorija modela. Smatra se da je 

teorija modela oblast smeštena izmedju algebre i logike. Jedan deo ove 

oblasti zasnovan je na predikatskom računu. 

1. Ž. Mijajlović: Algebra 1. deo, Milgor 1993.; 

2. S. Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra, 

Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin. 

1. Dr Snežana Ilić, 

2. Dr Jelena Ignjatović, 


- 3 -


Mentor 


Modul 



literature 


Poliedri i njihova površina i zapremina 

Dr Ljubica Velimirović 


U radu bi se razmatrali poliedri ,različiti načini izračunavanja površine i 

zapremine, kao i varijacija tih veličina s obzirom na deformacije 

1. S. Minčić, Lj. Velimirović, Differential Geometry of Curves and 

Surfaces (in Serbian), Faculty of Science and Mathematics, 

University of Nis, 2006 

2. M. Stanković, Osnovi geommetrije, PMF u Nišu, Niš, 2006 

3. I Kh Sabitov, The volume of a polyhedron as function of its metric, 

Fund prikl mat 2 1235-1246 

4. V.A. Alexandrov, How one can crush a milk carton in such a way as 

to enlarge its volume 

1. Dr Ljubica Velimirović 

2. Dr Milan Zlatanović 

3. Dr Vladimir Pavlović 

- 4 -


Mentor 


Modul 



literature 


Moderna diferencijalna geometrija površi nulte srednje krivine 



U radu bi se razmatrala klasifikacija s obzirom na srednju krivinu. 

Specijalno se analiziraju površi nulte sredne krivine. Analizirao bi se 

način nastajanja ovih površi kao i vrste minimalnih površi. 

1. Robert Osserman, Survey on Minimal Surfaces A Gray Modern 

Differential Geometry of Curves and Sufaces Bocca Roton, 1998. 

2. Lj. Velimirović, P. Stanimirović, M. Zlatanović, Geometry of curves 

and surfaces using program package MATHEMATICA, Faculty of 

Sciences and Mathematics, 2010 



3. Dr Svetozar Rančić 

- 5 -


Mentor 


Modul 



literature 


Geodezijske linije na površi 



Geodezijske linije na površi su linije koje minimiziraju rastojanje između 

tačaka ali i krive koje imaju nultu geodezijsku krivu. 

U radu bi se razmatrao način određivanja geodezijskih linija na površi sa 

diferencijalno geometrijskog aspekta i primene i značaj određivanja 

podele ovim linijama u primenama. 

1. S. Minčić, Lj. Velimirović, Diferencijalna geometrija krivih i površi, 

PMF Niš, 2006 




3. A. Gray, Modern diferential Geometrz of Curves and Surfaces 


2. Dr Mića Stanković 


- 6 -


Mentor 


Modul 



literature 


Oblik površi 



U radu bi se razmatrao oblik površi uz korišćenje aparata 

diferencijalne geometrije. Razmatrao bi se operator oblika i oblici 

zakrivljenosti površi kao i linije krivine i asimptotske linije. 

Takođe bi se vizualizovale značajne linije i vršila izračunavanja uz 

korišćenje paketa Mathematica. 

1. S. Minčić, Lj. Velimirović, Diferencijalna geometrija krivih i površi, 

PMF Niš, 2006 




3. A. Gray, Modern diferential Geometrz of Curves and Surfaces 




- 7 -


Mentor 


Modul 



literature 


Peti Euklidov postulat i geometrija Lobačevskog 

Dr Mića Stanković 


U uvodnom delu rada, pored istorijskog razvoja geometrije, potrebno 

je navesti osnovne aksiome i definicije vezane za apsolutnu geometriju. 

Naročito obratiti pažnju na kontraverznost petog euklidovog postulate, 

nemogućnost njegovog dokazivanja i njegove ekvivalente. 

U glavnom delu rada nakon uvođenja Aksiome Lobačevskog obraditi 

osnovne pojmove i tvrđenja Hiperboličke geometrije. 

1. Lopandić, D., Osnovi i elementi geometrije Lobačevskog sa zbirkom 

rešenih zadataka - skripta, Beograd, 1970. 

2. Lučić, Z., Euklidska i hiperbolička geometrija, Matematički fakultet, 

Beograd, 1994. 

3. Prvanović, M., Neeuklidske geometrije, PMF u Novom Sadu, Novi 

Sad, 1974. 

4. Stanković, M., Osnovi geometrije, PMF u Nišu, Niš, 2006. 

5. Tošić, R., Zbirka rešenih zadataka iz neeulidske geometrije, PMF u 

Novom Sadu, Novi Sad, 1971. 




- 8 -


Mentor 


Modul 



literature 


Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije 

Dr Mića Stanković 


U prvom delu rada potrebno jepored ostalog razmotriti 

geometrijsko mesto tačaka iz kojih se data duž vidi pod datim uglom, 

zatim, geometrijska mesta upisanog i spolja upisanih krugova trougla 

kada su dve tačke fiksirane a treća nije, kao Apolonijev krug. 

Zatim na primerima konstrukcija geometrijskih likova u ravni 

pokazati primenu ovih geometrijskih mesta tačaka. 

1. Lopandić, D., Osnovi i elementi geometrije Lobačevskog sa zbirkom 


2. Lučić, Z., Euklidska i hiperbolička geometrija, Matematički fakultet, 


3. Stanković, M., Osnovi geometrije, PMF u Nišu, Niš, 2006. 

4. Tošić, R., Zbirka rešenih zadataka iz neeulidske geometrije, PMF u 

Novom Sadu, Novi 




- 9 -


Mentor 


Modul 



literature 


Teorija oscilatornosti linearnih diferencijalnih jednačina drugog 

reda 

Dr Jelena Manojlović 

Master akademske studije matematike 

U radu će biti izložene osnove teorije oscilatornosti linearnih DJ drugog 

reda: 

- Šturmova teorija (Pikonov identitet, teoreme o razdvajanju nula, 

teorema poređenja, ciklična teorema); 

- konjugovanost jednačine, dominantna i recesivna rešenja 

- metode teorije oscilatornosti (varijacioni princip, Rikatijeva tehnika i 

teorija upoređenja); 

- osnovni kriterijumi oscilatornosti DJ (Wong, Kamenev, Philos, Hile i 

Hartman tipa). 

1. O. Došly, P. Rehak: Half-linear differential equations, Elsevier 2005. 

2. Svetlana Janković, Diferencijalne jednačine, Niš 2004. 

3. Ravi P. Agarwal, Said R. Grace, Donal O'Regan: Oscillation theory 

for second order linear, half-linear, superlinear and sublinear 

dynamic equations, Kluwer Academic Publishers, 2002. 

1. Dr Jelena Manojlović 

2. Dr Svetlana Janković 

3. Dr Miljana Jovanović 

- 10 -


Mentor 


Modul 



literature 


Asimptotska svojstva rešenja nelinearnih diferencijalnih jednačina 

drugog reda tipa Emden-Fowlera 



U radu će biti detaljno razmotrena neoscilatorna rešenja nelinearnih DJ 

drugog reda. Neoscilatorna rešenja se najpre klasifikuju u disjunktne 

podklase prema svojim asimptotskim svojstvima, a zatim se detaljno 

ispituju potrebni i dovoljni uslovi za egzistenciju rešenja koja pripadaju 

svim uočenim podklasama, u zavisnosti od odgovarajućih integralnih 

uslova koje zadovoljavaju koeficijenti DJ. Egzistencija singularnih 

rešenja prve i druge vrste takođe se posebno ispituje. Korišćenjem svih 

dobijenih rezultata i generalizacije Fubinije teoreme, struktura skupa 

svih neoscilatornih rešenja može se potpuno opisati u zavisnosti od 

odgovarajućih integralnih uslova. 

1. O. Došly, P. Rehak: Half-linear differential equations, Elsevier 2005. 

2. Ravi P. Agarwal, Said R. Grace, Donal O'Regan: Oscillation theory 

for second order linear, half-linear, superlinear and sublinear 

dynamic equations, Kluwer Academic Publishers, 2002. 




- 11 -


Mentor 


Modul 



literature 


Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne 

jednačine 



U radu će biti izložene osnove Karamatine teorije pravilno i sporo 

promenljivih funkcija (integralna reprezentacija, osnovna svojstva 

funkcija, Karamatina integralna teorema). Zatim će biti pokazana 

egzistencija fundamentalnog sistema rešenja, koja su pravilno 

promenljive funkcije, linearnih i polulinearnih diferencijalnih jednačina 

drugog reda. 

1. N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular Variation, 

Encyclopedia of Mathematics and its Applications 27, Cambridge 

University Press, 1987. 

2. V. Marić, Regular Variation and Differential Equations, Springer, 

2000. 

3. O. Došly, P. Rehak, Half-linear differential equations, Elsevier 2005. 




- 12 -


Mentor 


Modul 



literature 


Reprezentacije C*-algebri 

Dr Dragan Đorđević 


Izučavaju se fundamentalni pojmovi u C*-algebrama. Posebno, 

istraživanje se odnosi spektralna svojstva elemenata C*-algebri, 

Gelfandovu reprezentaciju komutativnih C*-algebri, pozitivne linearne 

funkcionale, aproksimativne jedinice, kao i konstrukciju Gelfanda- 

Naimarka –Segala. Ispitivaće se ekstermne tačke jedinične kugle u C*algebri. 

1. W. Arveson, An invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, Berlin – 

Heidelberg – New York, 1976. 

2. B. Blackadar,Operator algebras: theory of C*-algebras and von 

Neumann algebras, Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg, 2006. 

3. K. R. Davidson, C*-algebras by example, Fields Institute of 

Monographs, 1996. 

4. M. Takesaki, Theory of operator algebras I, Springer-Verlag, Berlin – 

Heidelberg – New York, 2002. 

1. Dr Dragan Đorđević 

2. Dr Vladimir Rakočević 

3. Dr Dragana Cvetković Ilić 

- 13 -


Mentor 


Modul 



literature 


Mera i integral na topološkim prostorima 



Izučavaće se reprezentacije linearnih funkcionala na lokalno kompatnom 

Hausdorfovom prostoru. Prikazaće se osobine mere Hara na 

kompaktnim grupama. Posebna pažnja posvetiće se teoremi Stouna- 

Vajerštrasa. Ispitivaće se operatori između Lebegovih prostora. 

1. N. Dinculeanu, Integration on locally compact spaces, Noordhof 

International Publishing, Leyden, 1974. 

2. S. Kantorovitz, Introduction to modern analysis, Oxford University 

press, New York, 2003. 

3. A. W. Knapp, Advanced real analysis, Birkhauser, Boston – Basel – 

Berlin, 2005. 

4. L. Nachbin, The Haar integral, D. Van Nostrand, Princeton – New 

Jersey, 1965. 

5. W. Rudin, Real and complex analysis, Mc Grow Hill, New York, 

1987. 




- 14 -


Mentor 


Modul 



literature 


Riman-Stiltjesov integral vektorskih funkcija 



Izučavaće se osobine Riman-Stiltjesovog integrala vektorske funkcije u 

odnosu na skalarnu funkciju. U skladu sa tim, od interesa su vektorske 

funkcije ograničen varijacije, kao i primene u funkcionalnoj analizi. 

Osobine integrala vektorskih funkcija biće upoređene sa odgovarajućim 

osobinama integrala skalarnih funkcija. 

1. T. Apostol, Mathematical analysis, Adisson – Wesley, Reading, 

Massachusetts, 1974. 

2. S. Kurepa, Funkcionalna analiza: elementi teorije operatora, Školska 

knjiga, Zagreb, 1980. 

3. W. Rudin, Principles of mathematical analysis, 

4. F. E. Burk, A garden of integrals, The Mathematical Assotiation of 

America, 2007. 


2. Dr Snežana Živković Zlatanović 

3. Dr Dijana Mosić 

- 15 -


Mentor 


Modul 



literature 


Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora 

Dr Dragana Cvetković Ilić 


U okviru ove teme kandidat bi osim osnovnih osobina spektra 

ograničenih linearnih operatora i klasifikacije spektra, izložio i najvažnije 

rezultata u vezi sa spektrom kompaktnih, samoadjungovanih i unitarnih 

operatora kao i njihovu spektralnu dekompoziciju i definiciju 

odgovarajucih spektralnih integrala. 

1. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knija, 1994. 

2. S. Kurepa, "Funkcionalna analiza, Elementi teorije operatora", 

Zagreb 1981. 

3. M. Schechter, Principles of functional analzsis, Hn Wiley & Sons, 

1978. 



3. Dr Snežana Živković Zlatanović 

- 16 -


Mentor 


Modul 



literature 


Banachove algebre i funkcionalni račun u Banachovim algebrama 



U ovom radu bi bili izloženi osnovni rezultati iz teorije Banachovih 

algebri sa specijalnim osvrtom na Banachovu algebru B(X) ograničenih 

linearnih operatora na prostoru X. Takođe bi bila izučavana invertibilnost 

elemenata Banachove algebre kao i osnovni elementi funkcionalnog 

računa u Banachovim algebrama. 

1. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knija, 1994. 

2. Svetozar Kurepa, Funkcionalna analiza, Elementi teorije operatora, 

Zagreb 1981. 

3. R. Meise, D. Vogt , Introduction to Functional Analysis, Oxford 

University 

4. Press, Oxford, 1997. 

5. R. Walter, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, New 

York, 1973. 

6. R. Douglas, Banach algebra techniques in operator theore, Springer, 

1997. 




- 17 -


Mentor 


Modul 



literature 


Hardy-evi prostori i Toeplitz operatori 



U okviru ove teme kandidat bi izučavao osobine Hardy-evih prostora sa 

1 2 

kojima nije imao prilike da se susretne tokom studija ( H , H , H ), 

egzistenciju maksimalnih ideala na ovim prostorima kao i određenih 

podalgebri. Takođe bi izložio i osnovne osobine Toeplitzovih operatora 

2 

definisanih na Hardy-evom prostoru H . 

1. R. Douglas, Banach algebra techniques in operator theore, 

Springer, 1997. 

2. K. Zhu, Operator theory in function spaces, American 

Mathematical Society, 1961. 

3. Böttcher, B. Silbermann, Analysis of Toeplitz operators, Springer, 

2001. 




- 18 -


Mentor 


Modul 



literature 


Generalisani inverzi matrica 



Ova tema bi predstavljala nastavak Teorije generalisanih inverza, u 

specijalnom slučaju na skupu matrica čije je delove eventualno kandidat 

imao prilike da čuje u okviru predmeta Uopšteni inverzi matrica. Naime, 

kandidat bi detaljnije izučavao rešavanje jednačina korišćenjem 

uopštenih inverza kao i perturbacionu analizu Moore-Penroseovog i 

Drazinovog inverza matrica. 

1. Ben-Israel and T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and 

Applications, 2nd Edition, Springer Verlag, New York, 2003. 

2. S. L. Campbell, C. D. Meyer, Generalized Inverse of Linear 

Transformations, Pitman, London, 1979; Dover, New York, 1991. 

3. G. Wang, Y. Wei, S. Qiao, Generaliyed Inverses: Theory and 

Computations, Science Press, 2006. 


2. Dr Dijana Mosić 

3. Dr Nebojša Dinčić 

- 19 -


Mentor 


Modul 



literature 


Uređeni poluprsteni, dioidi i primene 

Dr Miroslav Ćirić 


Polugrupe, monoidi, uređeni monoidi, poluprsteni, uređeni poluprsteni, 

dioidi, aditivno-idempotentni poluprsteni, inkline, linearni sistemi nad 

dioidima, matrični račun nad dioidima, tranzitivno zatvorenje i 

konvergencija stepena, sopstvene vrednosti i sopstveni vektori, primena 

u rešavanju optimizacionih problema. 

1. M. Gondran, M. Minoux, Graphs, Dioids and Semirings – New 

Models and Algorithms, Springer, Berlin, 2008. 

1. Dr Miroslav Ćirić 

2. Dr Snežana Ilić 


- 20 -


Mentor 


Modul 



literature 


MAX-PLUS algebre i primene 

Dr Miroslav Ćirić 


Max-plus i min-plus algebre, linearni sistemi nad max-plus algebrama, 

matrice nad max-plus algebrama, sopstvene vrednosti i sopstveni 

vektori, primene: sinhronizacija, kombinatorna optimizacija. 

1. P. Butkovič, Max-linear Systems: Theory and Algorithms, Springer, 

London, 2010. 

1. Dr Miroslav Ćirić 



- 21 -


Mentor 


Modul 



literature 


Fazi relacije, fazi relacijske jednačine i primene 

Dr Jelena Ignjatović 


Uređeni skupovi, mreže i Bulove algebre, reziduirane mreže, trougaone 

norme na realnom jediničnom intervalu, fazi skupovi, fazi relacije, 

kompozicija i reziduali fazi relacija, tranzitivno zatvorenje, fazi kvaziuređenja, 

fazi ekvivalencije, linearne fazi re-lacijske jednačine i 

nejednačine, sopstveni fazi skupovi fazi relacija, primene fazi relacijskih 

jednačina i nejednačina. 

1. R. Belohlavek, V. Vychodil, Fuzzy Equational Logic, Springer, Berlin- 

Heidelberg, 2005. 

2. G. J. Klir, B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Theory and 

Application, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995. 

1. Dr Jelena Ignjatović 



- 22 -


Mentor 


Modul 



literature 


Reziduirane mreže i primene 

Dr Jelena Ignjatović 


Uređeni skupovi, mreže i Bulove algebre, reziduirane mreže, trougaone 

norme na realnom jediničnom intervalu, BL-algebre, Heyting-ove 

algebre, MV-algebre, Gödel-ove algebre, osnovne fazi strukture, 

viševrednosne (fazi) logike bazirane na rezidui-ranim mrežama, 

aproksimativno rezonovanje. 

1. R. Belohlavek, Fuzzy Relational Systems: Foundations and 

Principles, Kluwer, New York, 2002. 

2. R. Belohlavek, V. Vychodil, Fuzzy Equational Logic, Springer, 

Berlin-Heidelberg, 2005. 

1. Dr Jelena Ignjatović 



- 23 -


Mentor 


Modul 



literature 


Ekstremne Laplasove sopstvene vrednosti grafova 

Dr Dragan Stevanović 


Laplasova matrica grafa G sa n čvorova je n n matrica L čiji 

dijagonala sadrži stepene čvorova grafa, a nedijagonalni elementi su 

jednaki -1 ili 0, u zavisnosti od toga da li su odgovarajući čvorovi susedni 

ili ne. Matrica L je pozitivno semidefinitna i 0 je uvek njena najmanja 

sopstvena vrednost. Neka je zato 2 najmanja pozitivna sopstvena 

vrednost L, a n najveća sopstvena vrednost matrice L. U teoriji 

kompleksnih mreža pokazano je da je mogućnost sinhronizacije fizičkih 

procesa na mrežama proporcionalna odnosu 2 / n 

. Rad na ovoj temi 

će obuhvatiti pregled postojećih rezultata i tehnika dokazivanja gornjih i 

donjih granica za 2 i n , kao i proučavanje ponašanja odnosa 2 / n 

u pojedinim modelima mreža. 

1. A.E. Brouwer, W.H. Haemers, Spectra of Graphs, Universitext Vol. 

396, Springer, 2012. 

2. P.V. Mieghem, Graph Spectra for Complex Networks, Cambridge 


3. F.M. Atay, T. Biyikoglu, J. Jost, Synchronization of networks with 

prescribed degree distributions, IEEE Transactions on Circuits and 

Systems I, 53 (2006) 92--98. 

4. F.M. Atay, T. Biyikoglu, J. Jost, Network synchronization: Spectral 

versus statistical properties, Physica D, 224 (2006), 35--41. 

5. F.M. Atay, T. Biyikoglu, Graph Operations and Synchronization of 

Complex Networks, Physical Review E 72 (2005), 016217. 

1. Dr Dragan Stevanović 



- 24 -


Mentor 


Modul 



literature 


Spektralni momenti i mere centralnosti 

Dr Dragan Stevanović 


U procesima koji se odvijaju u biološkim i socijalnim mrežama, mera 

centralnosti treba da pokaže koliko je koji čvor mreže ''bitan'' za 

odvijanje tog procesa. Mere centralnosti se mogu definisati pomoću 

raznih svojstava čvora, a jedan određeni tip takvih mera se definiše 

pomoću broja zatvorenih šetnji koje prolaze kroz dati čvor, i usko je 

i 

povezan s tzv. Estradinim indeksom, koji je jednak e i 

, gde su 

,..., 

1 n sopstvene vrednosti matrice susedstva grafa. Rad na ovoj temi 

će obuhvatiti pregled postojećih primena Estradinog indeksa i 

odgovarajućih mera centralnosti na probleme iz bioloških i ekoloških 

nauka, kao i proučavanje veza između ovih mera centralnosti i drugih 

svojstava čvorova grafa. 

1. D. Cvetković, P. Rowlinson, S. Simić, An Introduction to the Theory 

of Graph Spectra, London Mathematical Society Student Texts 75, 

Cambridge University Press, 2009. 

2. P.V. Mieghem, Graph Spectra for Complex Networks, Cambridge 


3. E. Estrada, O. Bodin, Using network centrality measures to manage 

landscape connectivity, Ecological Applications 18 (2008), 1810- 

1825. 

4. E. Estrada, D.J. Higham, N. Hatano, Communicability betweenness 

in complex networks, Physica A: Stat. Mech. Appl. 388 (2009), 764- 

774. 

5. E. Estrada, N. Hatano, Communicability graph and community 

structures in complex networks, Appl. Math. Comput. 214 (2009), 

500--511. 

1. Dr Dragan Stevanović 



- 25 -


Mentor 


Modul 



literature 


Homomorfizmi i Fredholmova teorija 

Dr Snežana Živković-Zlatanović 


U ovom radu se izučava Harteova generalizacija Fredholmove teorije 

za ograničene linearne operatore na Banachovom prostoru, na teoriju u 

opštim Banachovim algebrama. Harteova generalizacija je motivisana 

Atkinsonovom teoremom prema kojoj je ograničen linearan operator na 

Banachovom prostoru Fredholmov ako i samo ako je njegova klasa 

ekvivalencije invertibilan elemenat u Banachovoj algebri B(X)/K(X) gde 

je B(X) Banachova algebra ograničenih linearnih operatora na X, a K(X) 

ideal kompaktnih operatora u B(X). Prema Harteovoj definiciji, elemenat 

a algebre A je Fredholmov u odnosu na homomorhizam T:A→B ako je 

Ta invertibilan elemenat u algebri B. U okviru ove teme izučavaju se i 

T- Weylovi i T- Browderovi elementi, perturbacione klase i komutativne 

perturbacione klase ovih skupova kao i spektri indukovani ovim 

skupovima. 

1. R.E. Harte, Fredholm theory relative to a Banach algebra 

homomorphism, Math. Zeit. 179 (1982) 431-436 

2. R.E. Harte, Invertibility and singularity, Dekker 1988. 

3. R. Heymann, Fredholm theory in general Banach algebras, M.Sc. 

Thesis, Stellenbosch University (2010). 

4. S.Č. Živković-Zlatanović, D. S. Đorđević and R.E. Harte, Ruston, 

Riesz and perturbation classes, J. Math. Anal. Appl. 389(2012), 

871-886. 



3. Dr Snežana Živković-Zlatanović 

- 26 -


Mentor 


Modul 



literature 


Operatorske veličine u Fredholmovoj teoriji 



U okviru ove teme izučavaju se razne operatorske veličine koje 

karakterišu pojedine podskupove skupa semi-Fredholmovih operatora, 

kao i razne mere nekompaktnosti opratora, mere ne-stroge-singularnosti 

i mere ne-stroge-kosingularnosti operatora. Izlažu se i rezultati o 

asimptotskom ponašanju ovih operatorskih veličina i njihovoj vezi sa 

esencijalnim spektrima, kao i perturbacioni rezultati za neke 

podskupove skupa semi-Fredholmovih operatora. 

1. R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskij, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. 

Sadovskij, Measures of noncompactness and condensing Operators 

(in Russian), Nauka, Novosibirsk, 1986. 

2. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knjiga, Beograd, 1994. 

3. V. Müller, Spectral theory of linear operators and spectra systems in 

Banach algebras, Birkhäuser 2007. 

4. Martinon, Cantidades operacionales en teoria de Fredholm, Doctoral 

thesis, University of La Laguna,1989. 

5. Martinon, Operational quantities, Comment. Math. Univ. Carolinae 

38,3 (1997), 471-484. 

6. S. Živković, Mere nekompaktnosti i teorija operatora, Magistarski 

rad, Univerzitet u Nišu, Filozofski fakultet, 1995. 




- 27 -


Mentor 


Modul 



literature 


Semi-Fredholmovi operatori 



U okviru ove teme izučavaju se ograničeni gornji i donji semi- 

Fredholmovi operatori. Za ograničen lineran operator na Banachovom 

prostoru kažemo da je gornji semi-Fredholmov ako je njegovo jezgro 

konačne dimenzije, a slika zatvoren potprostor, dok, za ograničen 

lineran operator na Banachovom prostoru kažemo da je donji semi- 

Fredholmov ako je njegova slika konačne kodimenzije. U ovom radu 

izučavaju se i sledeći podskupovi skupa semi-Fredholmovih operatora: 

gornji i donji Weylovi, gornji i donji semi-Browderovi operatori, a takodje 

i odgovarajući podskupovi relativno regularnih operatora, tj. levi i desni 

Fredholmovi, Weylovi i Browderovi operatori. Osim toga, izučavaju se i 

spektri indukovani ovim skupovima operatora. 

1. S.R. Caradus, W.E. Pfaffenberger and B. Yood, Calkin algebras 

and algebras of operators on Banach spaces, Dekker 1974. 

2. M. Schechter, Principles of Functional Analysis, Academic Press, 

New York, 1971. 

3. V. Müller, Spectral theory of linear operators and spectral 

systems in Banach algebras, Birkhäuser 2007. 

4. P. Aiena, Fredholm and local spectral theory with applications to 

multipliers, Kluwer (2004). 

5. R.E. Harte, Invertibility and singularity, Dekker 1988. 

6. S. Živković-Zlatanović, V. Rakočević and D. Đorđević, Fredholm 

theory. 


2. Dr Dragana Cvetković-Ilić 


- 28 -


Mentor 


Modul 



literature 


Iterativne metode za nalaženje nepokretne tačke 

Dr Dejan Ilić 


U radu bi se razmatrale razne iterativne metode za nalaženje 

nepokretne tačke i upoređivale njihove brzine konvergencije. Akcenat bi 

bio stavljen na iteracije Krasnoselskog, Manna i Ishikawe. 

1. R. Agarwal, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge 

University Press, 2001 

2. V. Berinde, Iterative Approximation of Fixed Points, Springer, 2002 

3. M. Khamsi, W. Kirk, An Introduction to Metric Spaces and Fixed 

Point theory, JOHN WILEY & SONS, INC. 2001 


2. Dr Dejan Ilić 


- 29 -


Mentor 


Modul 



literature 


Nepokretne tačke za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa 

u tački 



U ovom radu sistematizovali bi se rezultati do kojih su došli V. Sehgal, L. 

Guseman, Ray i Rhoades, a koji se odnose na neprekidna preslikavanja 

kompletnog metričkog prostora na sebe, sa kontraktivnom iteracijom u 

svakoj tački prostora. Takođe, razmatrali bi se rezultati Lj. Ćirića kao i 

rezultati novijeg datuma vezani za navedenu problematiku. 



2. Lj. Ćirić, Some recent results in metrical fixed point theory, Beograd, 

2003. 

3. M. Khamsi, W. Kirk, An Introduction to Metric Spaces and Fixed 

Point theory, JOHN WILEY & SONS, INC. 2001 




- 30 -


Mentor 


Modul 



literature 


Nepokretne tačke za parove preslikavanja 



Proučavanja zajedničke nepokretne tačke za parove preslikavanja koja 

zadovoljavaju određene kontraktivne uslove datiraju još od 1976. 

godine. Prve rezultete dali su G. Jungck, K. Das i K. Naik. U ovom radu 

bi se razmatrala uopštenja njihovih rezultata na konusnim i parcijalnim 

metričkim prostorima. 



2. W. Kirk, B. Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory, Kluwer 

Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2001 




- 31 -


Mentor 


Modul 


Spisak reprezentativne 

literature 


algebre Borelovih skupova 

Dr Vladimir Pavlović 


Ako je ( X , ) topološki prostor onda za elemente algebre 

B( X , ) P( 

X ) generisane sa kažemo da su Borelovi skupovi 

prostora ( X , ) . Tema ovog rada su upravo familije B ( X , ) , sa 

specijalnim osvrtom na slu\v caj separabilnih kompletno metrizabilnih 

topologija . Neke od jedinica koje bi bile obrađene su: Borelova 

hijerarhija; standardni Borelovi prostori; analitički skupovi; veza sa 

kategorijama Baire-a; Borelovi skupovi i mere; teoreme o selekciji i 

uniformizaciji; teoreme Ramsey-tipa; neke igre na topološkim 

prostorima. 

1. Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Graduate 

Texts in Mathematics 156, Springer-Verlag, 1995. 

2. S.M. Srivastava, A Course on Borel Sets, Graduate Texts in 

Mathematics 180, Springer, 1998. 




- 32 -


Mentor 


Modul 


Spisak reprezentativne 

literature 


Prsteni neprekidnih funkcija 

Dr Vladimir Pavlović 


Ovaj rad je posvećen pitanju u kojoj meri i na koji način algebarske 

osobine prstena C (X ) neprekidnih realnoznačnih funkcija i topološke 

osobine potpuno regularnog prostora X na kome su one definisane 

utiču jedne na druge. Između ostalog biće razmatrani: odnos između 

ideala prstena C (X ) i z -filtera (tj. filtera nul skupova) prostora X ; 

topologija Stone-a na skupu svih maksimalnih ideala; rezultat o 

homeomorfnosti kompaktnih prostora čiji su prsteni neprekidnih funkcija 

izomorfni; karakterizacija maksimalnih ideala prstena C (X ) 

posredstvom kompaktifikacija Stone-Čech-a. 

1. Leonard Gillman, Meyer Jerison, Rings of Continuous Functions, 

Van Nostrand, Princeton, 1960. 

2. Ryszard Engelking, General Topology, Revised edition, Springer, 

1989. 




- 33 -


Mentor 


Modul 



literature 


Karakteristične krive i površi u hiperboličkoj geometriji 

Dr Milan Zlatanović 


U uvodnom delu rada potrebno je osvrnuti se na istorijski pregled 

neeuklidskih geometrija, zatim navesti Hilbertov sistem aksioma. Jedan 

deo rada će se odnositi na aksiomu Lobačevskog i njene posledice. 

U ravni L 2 se definišu karakteristične krive, i to: cikl, oricikl i ekvidistanta. 

Potrebno je svaku od ovih krivih ispitati i dati odgovarajuće osobine koje 

za njih važe. 

Posmatrajući snopove pravih u L 3 , moguće je definisati površi 

kao što su: sfera, orisfera i ekvidistantna površ. Za svaku od ovih površi 

važe odgovarajuće osobine. Treba napomenuti da je na orisferi moguće 

uvesti Euklidsku geometriju, tj. važe sve aksiome Euklidske geometrije. 

Pod unutrašnjom geometrijom površi podrazumeva se skup svih onih 

osobina njenih figura, koje se dobijaju sredstvima same površi, ne 

pozivajući se na okolni prostor u koji je ta površ smeštena. Kao što smo i 

rekli, unutrašnja geometrija orisfere je Euklidska geometrija, dok je 

unutrašnja geometrija ekvidistantne površi Hiperbolička geometrija. 

1. D. Lopandić, Osnovi i elementi geometrije Lobačevskog sa zbirkom 


2. Z. Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija, Matematički fakultet, 


3. M. Prvanović, Neeuklidske geometrije, PMF u Novom Sadu, Novi 

Sad, 1974. 

4. M. Stanković, Osnovi geometrije, PMF u Nišu, Niš, 2006. 

5. R. Tošić, Zbirka rešenih zadataka iz neeulidske geometrije, PMF u 

Novom Sadu, Novi Sad, 1971. 




- 34 -

Teme Master radova - Matematika (školska 2012/2013) - Prirodno

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?