Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

Algebarska Topologija - Predavanja 

Vladimir Pavlović 

November 5, 2012

Sadrˇzaj 

I Algebra: 

homologija apstraktnih komplekasa 5 

I.1 Slobodne Abelove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

I.1.1 Kanonska slobodna Abelova grupa nad datim skupom . . . . . . . . . . . . 6 

I.2 Abelova grupa AbGrupa(X, P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

I.2.1 “Usmerene duˇzi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

I.2.2 “Usmereni trouglovi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

I.2.3 Definicija. Elementarne funkcije p a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

I.2.4 ˇ Sta bi bio skup X kod nas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

I.3 Apstraktni kompleksi. A p} , A p) i A p] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

I.4 Grupa Cn(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

I.4.1 Alternativno vid¯enje n-lanaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

I.4.2 Lanci 〈v〉. Definisanje homomorfizama na Cp(A) . . . . . . . . . . . . . . . 23 

I.5 Definicija grupa homologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

I.6 Nekoliko primera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

I.7 C-kompleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

I.7.1 Grupe homologije C-komplekasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

I.7.2 Morfizmi C-komplekasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

I.7.3 Indukovani homomorfizmi grupa homologija: (hn)⋆ . . . . . . . . . . . . . . 35 

I.8 Prirodno utapanje grupa lanaca podkompleksa: Cn(A0|A) . . . . . . . . . . . . . . 37 

I.9 Prirodno podizanje ɛA i redukovana homologija. Grupe H0(A) i H0(A) . . . . . . . 39 

I.10 Joˇs neki primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

I.11 Homologija konusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

I.12 Simplicijalna preslikavanja i indukovani homomorfizmi: fn,♯ i fn,∗ . . . . . . . . . . 52 

I.13 Nosači i morfizmi C-komplekasa lanaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

I.13.1 C-homotopija izmed¯u morfizama C-komplekasa . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

I.13.2 Teorema o acikličnim nosačima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

II Skupovno-kombinatorni deo: 

od algebre ka geometriji 63 

II.1 Popunjavanje apstraktnog kompleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

II.2 Topoloˇska interpretacija grupe H0(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

II.3 Simplicijalne aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

II.4 Usitnjenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

II.5 Usitnjenja i simplicijalne aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

II.5.1 Homomorfizam in;A1,J1,A2,J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

II.5.2 Kad je in;A1,J1,A2,J2 izomorfizam: acikličnost nosača . . . . . . . . . . . . . 71 

II.6 F, F, I i usitnjenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

II.6.1 Odnos izmed¯u (F, F, I)-komplekasa i funkcije I . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

II.6.2 sd-ekstenzori i usitnjenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3

4 SADR ˇ ZAJ 

III Geometrija: 

geometrijski simpleksi i kompleksi 81 

III.1 Elementi afine geometrije realnih vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

III.1.1 Afina nezavisnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

III.1.2 Konveksnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

III.2 Geometrijski simpleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

III.2.1 Baricentrične koordinate tačaka: BsA,V i natA,V . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

III.2.2 Skelet geometrijskog simpleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

III.2.3 Interior geometrijskog simpleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

III.3 Geometrijski kompleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

III.3.1 Ekvivalentne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

III.3.2 Baricentrične koordinate u odnosu na geometrijske komplekse: BkA,V . . . 89 

III.4 Realizovanje apstraktnih komplekasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

III.4.1 Slobodan realan vektorski prostor Vek(S) nad S . . . . . . . . . . . . . . . 91 

III.4.2 Kanonsko realizovanje apstraktnog kompleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

III.5 Afine ekstenzije preslikavanja: Af A1;V1,V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

IV Topologija: 

poliedri i trijangulacije 97 

IV.1 Vek(S): norma · S i metrika DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

IV.2 Topologizacija geometrijskog simpleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

IV.2.1 Topologiziranje skupova ∆X: metrika dX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

IV.2.2 V-prirodna topologija g-simpleksa: metrika mA,V . . . . . . . . . . . . . . . 98 

IV.3 Topologizacija tela simplicijalnog kompleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

IV.3.1 Metrika MA,V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

IV.3.2 Finalna topologija familije topologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

IV.3.3 V-prirodna topologija g-kompleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

IV.3.4 Konačni geometrijski kompleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

IV.3.5 Neprekidnost afinih ekstenzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

IV.3.6 Preslikavanje natA,V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

IV.4 Baricentrične subdivizije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

IV.4.1 Geometrijski simpleksi i subdivizije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

IV.4.2 Baricentrične subdivizije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

IV.4.3 Baricentrične subdivizije i simplicijalna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . 115 

IV.4.4 Norme, dijametri, g-simpleksi i subdivizije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

IV.4.5 Teorema o simplicijalnoj aproksimaciji za konačne g-komplekse . . . . . . . 118 

V Simplicijalna homologija topoloˇskih poliedara 121 

V.1 Subdivizije i izomorfizmi homologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

V.2 Indukovani homomorfizmi hn,⋄;A1,A2;V1,V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 

V.3 Invarijantnost grupa homologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 

V.4 Homotopna preslikavanja indukuju iste homomorfizme . . . . . . . . . . . . . . . . 126 

VI Recycle bin 131

Deo I 

Algebra: 

homologija apstraktnih 

komplekasa 

I.1 Slobodne Abelove grupe 

Konvencija. Za Abelove grupe G = (G, ◦) koristićemo aditivnu notaciju:¯ 

- piˇsemo “+” umesto “◦” pa je tako x + y ≡ x ◦ y a −x ≡ x−1 je element suprotan elementu x 

(inverz elementa x), za x, y ∈ G; 

- za x1, . . . , xn ∈ G, n ∈ N, imamo x1 + · · · + xn ≡ x1 ◦ · · · ◦ xn; 

- 0 je oznaka za neutral. 

- za x ∈ G i n ∈ N imamo nx = x + · · · + x ≡ x 

 

n puta 

n je n-ti stepen elementa x; ako je n ∈ Z negativan 

broj imamo nx = (−x) + · · · + (−x) ≡ (x 

 

−n puta 

−1 ) −n ; najzad 0x ≡ x0 = 0. 

Smatraćemo da je 

x = 0. ✷ 

x∈∅ 

§ 

Za X ⊆ G kaˇzemo da je baza Abelove grupe G ako vaˇzi: 

za svako z ∈ G postoji jedinstven Xz ⊆ X (koji je za z = 0 prazan skup) i jedinstvena funkcija 

mz : Xz → Z \ {0} (koja je za z = 0 jednaka ∅) tako da je 

z = 

x∈Xz 

mz(x)x 

Ovo je ekvivalentno konjunkciji sledeća dva uslova: 

(Baza 1) za svako z ∈ G postoje k ∈ N i x1, . . . , xk ∈ X, n1, . . . , nk ∈ Z tako da je z = 

n1x1 + · · · + nkxk; 

(Baza 2) ako su k ∈ N i x1, . . . , xk ∈ X, n1, . . . , nk ∈ Z takvi da je xi = xj ⇐ i = j i 

n1x1 + · · · + nkxk = 0, onda je ni = 0 za 1 ≤ i ≤ k. 

Ako za X ⊆ G vaˇzi uslov (Baza 2) onda za X kaˇzemo da je algebarski nezavisan podskup 

(Abelove) grupe G. 

Ako je G trivijalna grupa onda je ∅ (u skladu sa gornjom definicijom) baza za G. 

5

6 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRAKTNIH KOMPLEKASA 

Za G kaˇzemo da je slobodna Abelova grupa ako ima bazu. 

Neka je G = (G, +) Abelova grupa i X0 proizvoljan skup. Za G je kaˇzemo da je slobodna nad 

skupom X0 akko postoji neka baza X ⊆ G za G i neka bijekcija b : X0 → X. 

§ 

Neka je X ⊆ G baza Abelove grupe G = (G, +), neka je G1 = (G1, +) proizvoljna Abelova 

grupa i 

f : X → G1 

proizvoljno preslikavanje. Tada postoji jedinstven homomorfizam g : G → G1 grupa G i G1 

takav da je g(x) = f(x) za svako x ∈ X. 

Taj homomorfizam g je definisan na sledeći način: ako je z ∈ G \ {0} postoji jedinstven 

Xz ⊆ X i jedinstvena funkcija mz : Xz → Z \ {0} tako da je z = 

mz(x)x; stavimo g(x) = 

 

x∈Xz 

mz(x)f(x); takod¯e definiˇsemo da je g(0) = 0. 

x∈Xz 

I.1.1 Kanonska slobodna Abelova grupa nad datim skupom 

Smatramo da je skup X Z sa standardnom strukturom Abelove grupe datom sa: 

ako X = ∅ za f, h ∈ X Z funkcija (f + h) : X → Z definisana sa 

(f + h)(x) = f(x) + h(x) 

za svako x ∈ X, a ako je X = ∅ onda na X Z = {∅} imamo trivijalno “sabiranje” +. 

Za f ∈ X Z definiˇsemo 

§ 

support(f) : df 

= {x ∈ X : f(x) = 0} 

Neka je X proizvoljan skup. Ako je X = ∅ neka je G = {∅} a ako je X = ∅ neka je 

G : df 

 

= f ∈ X 

Z : support(f) je konačan skup 

Podrupa G = (G, +) grupe X Z je slobodna Abelova grupa. 

Ako X = ∅, jedna baza ovako definisane grupe G je skup E := {ex| x ∈ X} gde je ex ∈ G 

krakteristična funkcija skupa {x}; sa x ↦→ ex zadata je bijekcija izmed¯u X i E. 

Ovako definisanu Abelovu grupu G nazivamo 

kanonska slobodna Abelova grupa nad skupom X. 

Ako je Abelova grupa G slobodna nad skupom X onda je G izomorfna kanonskoj slobodnoj 

Abelovoj grupi nad skupom X. 

Lako je videti da ako je X = X1 ∪ X2 i X1 ∩ X2 = ∅, i ako su G, G1 i G2 kanonske Abelove 

grupe nad X, X1 i X2, respektivno, onda je G ∼ = G1 × G2 (znakom “ ∼ =” označavaćemo izomorfnost 

grupa).

I.2. ABELOVA GRUPA ABGRUPA(X, P) 7 

I.2 Abelova grupa AbGrupa(X, P) 

Neka je X = ∅ proizvoljan i neka je fiksirana particiju P skupa X na dvočlane podskupove: 

X = P, svaki P ∈ P je podskup od X sa tačno 2 elementa i vaˇzi P ∩ Q = ∅ za svako P, Q ∈ P 

Posmatramo podgrupu G ′ = (G ′ , +) grupe X Z koja se sastoji od svih onih funkcija f : X → Z sa 

osobinom da za proizvoljno {a, a ′ } ∈ P vaˇzi f(a) = −f(a ′ ): 

Slika I.2.1. 

Slika I.2.2.


I.2.1 “Usmerene duˇzi” 

Slika I.2.3. 

Slika I.2.4.


I.2.2 “Usmereni trouglovi” 

Slika I.2.5. 

Slika I.2.6.


Slika I.2.7. 

Slika I.2.8. 

Slika I.2.9. 

5


I.2.3 Definicija. Elementarne funkcije p a 

Slika I.2.10. 

Posmatramo podgrupu G grupe G ′ koja se sastoji od svih onih funkcija f ∈ G ′ za koje je skup 

support(f) konačan. Ovako dobijenu Abelovu grupu G ćemo označiti sa 

AbGrupa(X, P) 

Drugim rečima AbGrupa(X, P) je presek podgrupe G ′ i kanonske Abelove grupe nad skupom 

X. 

Slika I.2.11.


Slika I.2.12. 

Elementarna funkcija p a ∈ AbGrupa(X, P) odred¯ena sa a ∈ X je definisana na sledeći način: 

ako je a ′ ∈ X tako da je {a, a ′ } ∈ P onda p a (a) = 1, p a (a ′ ) = −1 i p a (x) = 0 inače. 

Slika I.2.13.


Slika I.2.14. 

Stav I.2.1 Neka je Y ⊆ X takav da je Y ∩ P jednočlan za svako P ∈ P (drugim rečima Y se 

dobija tako ˇsto se iz svakog P ∈ P izabere po tačno jedan element). 

(a) Skup p a : a ∈ Y je baza grupe AbGrupa(X, P) i za svako f ∈ AbGrupa(X, P) \ {0} vaˇzi 

f = 

 

a∈Y ∩ support(f) 

(b) Ako je G1 = (G1, +) proizvoljna Abelova grupa i 

proizvoljno preslikavanje takvo da je 

T0 : Y → G1 

T0(a) = −T0(a ′ ) 

f(a) p a 

kad god je {a, a ′ } ∈ P, onda postoji jedinstven homomorfizam 

grupa AbGrupa(X, P) i G1 takav da je 

T : AbGrupa(X, P) → G1 

T (p a ) = T0(a) za svako a ∈ X. 

Taj homomorfizam T je definisan na sledeći način: ako je f ∈ AbGrupa(X, P) \ {0} onda je 

T (f) = 

 

f(a) T0(pa ) 

dok je T (0) = 0. ✷ 

a∈Y ∩ support(f)


I.2.4 ˇSta bi bio skup X kod nas? 

“Usmerene strelice” se mogu doˇziveti kao ured¯eni parovi: 

Slika I.2.15.


“Usmereni trouglovi” se mogu doˇziveti kao jedna specijalna vrsta skupova od po tri ured¯ena 

para: 

Slika I.2.16.


Slika I.2.17. 

Slika I.2.18. 

Generalizacijom po ovom modelu dolazimo do nečeg ˇsto bi smo mogli nazvati “usmeren konačan 

skup”. Za četvoročlane skupove tako neˇsto joˇs uvek moˇzemo da vizueliziramo:


Slika I.2.19. 

Slika I.2.20. 

Slika I.2.21. 

5


Konvencija. Za neprazan konačan skup A sa m ∈ N elemenata uvodimo oznaku dim(A) : df 

= 

m − 1. ✷ 

Ako je n ∈ N i 0 ≤ i, j ≤ 1 tako da je i = j onda je transp n (i, j) ona funkcija f : {0, . . . , n} → 

{0, . . . , n} koja je odred¯ena sa f(i) = j, f(j) = i i f(x) = x ako x ∈ {0, . . . , n} \ {i, j} (tj. to je 

odgovarajuća transpozicija). 

Neka je A neprazan konačan skup sa k + 1 elemenata, k ≥ 0. Uvodimo oznaku 

Bij(k, A) : df 

= {f : {0, . . . , k} → A | f je bijekcija} 

Definiˇsemo a : df 

= {(0, a)} : {0} → {a}. Ovo bi se moglo nazvati “1-torka”. Ako je A = {a} 

singlton onda je 

Bij(0, A) = Bij 0, {a} = {a} 

Neka je n, m ∈ N0 i neka je 

injektivna (n + 1)-torka a 

injektivna (m + 1)-torka. Definiˇsemo 

§ 

u = (u0, . . . , un) = u(0), . . . , u(n) 

v = (v0, . . . , vm) = v(0), . . . , v(m) 

u ∼ v 

na sledeći način. Ako je n = 0 ili m = 0 onda u ∼ v znači u = v . Ako je n, m ∈ N onda definiˇsemo 

u ∼ v 

akko n = m i postoje k ∈ N i i1, . . . , i2k, j1, . . . , j2k ∈ {0, . . . , n}, gde is < js za svako s = 0, 2k, 

tako da vaˇzi 

v = u ◦ transp n (i1, j1) ◦ · · · ◦ transp n (i2k, j2k) 

 

Setimo se da je u : {0, . . . , n} → u(0), . . . , u(n) i u : {0, . . . , m} → v(0), . . . , v(m) 

Drugim rečima u ∼ v znači da su u i v iste duˇzine i v se dobija od u tako ˇsto neka dva “elementa” 

zamene mesta, pa onda u tako dobijenoj (n+1)- torci ponovo neka dva “elementa” zamene 

mesta, i to se tako nastavlja ukupno paran broj puta. 

§ 

Ako je A := {a0, . . . , an} dimenzije n ∈ N0, u := (a0, . . . .an) i u ∼ v onda imamo u, v ∈ 

Bij(n, A); definiˇsemo 

[u] : df 

= w ∈ Bij(n, A) : u ∼ w 

Pokazuje se da ∼ odred¯uje jednu relaciju ekvivalencije na skupu Bij(n, A). Tako ako je w ∈ 

Bij(n, A) onda imamo da je 

∼ 

(w0, . . . , wi−1, wi, wi+1, . . . , wj−1, wj, wj+1, . . . , wn) 

(w0, . . . , wi−1, wj, wi+1, . . . , wj−1, wi, wj+1, . . . , wn)


zatim (w0, . . . , wi−1, wi, wi+1, . . . , wj−1, wj, wj+1, . . . , wn) 

∩ (w0, . . . , wi−1, wj, wi+1, . . . , wj−1, wi, wj+1, . . . , wn) 

= ∅ 

kao i (w0, . . . , wi−1, wi, wi+1, . . . , wj−1, wj, wj+1, . . . , wn) 

∪ (w0, . . . , wi−1, wj, wi+1, . . . , wj−1, wi, wj+1, . . . , wn) 

= Bij(n, A) 

Dakle postoje jedinstveni skupovi P, N ⊆ Bij(n, A) sa istim brojem elemenata (oba sa po 

(n + 1)!/2 njih) tako da je P ∩ N = ∅, P ∪ N = Bij(n, A) i tako da za svako w ∈ Bij(n, A) vaˇzi 

i 

Naravno: 

iliti, ako je w ∈ Bij(n, A) proizvoljno: 

i 

Ova dva skupa nazivamo 

[w] = P ili [w] = N 

P := (u0, u1, . . . , un) 

N := (u1, u0, . . . , un) 

P := (w0, . . . , wi−1, wi, wi+1, . . . , wj−1, wj, wj+1, . . . , wn) 

N := (w0, . . . , wi−1, wj, wi+1, . . . , wj−1, wi, wj+1, . . . , wn) 

orijentacije skupa A = {a0, . . . , an} 

§ 

Neka je za m ∈ N data po neka familija Sm konačnih skupova sa po m elemenata. Posmatrajmo 

(Abelove) grupe 

AbGrupa(Xm, Pm) 

gde se Xm sastoji od svih orijentacija skupova iz Sm, a 

 

 

Pm = {PA, NA} : A ∈ Sm 

gde smo sa PA i NA označili (one) dve (različite) orijentacije skupa A ∈ Sm. 

Nama će za ovako dobijen niz AbGrupa(Xm, Pm) (m ∈ N) Abelovih grupa biti od interesa 

činjenica ˇsto se u jednom specijalnom slučaju na (uslovno rečeno) “prirodan način” mogu definisati 

izvesni homomorfizmi 

hm : AbGrupa(Xm, Pm) → AbGrupa(Xm−1, Pm−1) 

tako da je svaka kompozicija hm+1 ◦ hm trivijalan homomorfizam – naime u slučaju kad za svako 

A ∈ Sm+1 i svaki podskup B ⊆ A sa tačno m elemenata imamo da je B ∈ Sm.


I.3 Apstraktni kompleksi. A p} , A p) i A p] 

Definicija I.3.1 Za neprazan skup A nepraznih konačnih skupova kaˇzemo da je apstraktan kompleks 

(a-kompleks) ako vaˇzi ∅ = S ⊆ A ∈ A ⇒ S ∈ A. Ako je kompleks B ⊆ A za B kaˇzemo da 

je podkompleks a-kompleksa A. 

Elemente a-kompleksa nazivamo njegovim a-simpleksima. Elemente a-simplekasa datog akompleksa 

nazivamo temenima tog a-kompleksa. ✷ 

Ako je A neprazan skup onda je ⌈A⌉ : df 

= {S ⊆ A| S = ∅ i S je konačan} jedan primer apstraktnog 

kompleksa. 

Za neprazan skup A definiˇsemo Bd(A) : df 

= {S ⊆ A| ∅ = S = A}. Jasno je da ako je A akompleks 

i A ∈ A onda je Bd(A) podkompleks od A. 

i 

Za p ∈ N0 stavljamo 

A ≤p} : df 

= {A ∈ A| dim(A) ≤ p} 

A p} : df 

= {A ∈ A| dim(A) = p} 

Jasno je da je A = A 0} skup svih temena a-kompleksa A. 

Kako je A = ∅ to je A p} = ∅ za bar jedno p ∈ N0. Ako je A p} = ∅ za neko p ∈ N0 onda je 

A q} = ∅ za svako q ≥ p. U tom slučaju najveći p ∈ N0 tako da je A p} = ∅ nazivamo dimenzijom 

a-kompleksa A. 

i 

Za a-kompleks A, p ∈ N0 i uvodimo oznake 

§ 

A p) : df 

= 

A∈A p} 

Bij(p, A) 

A p] : df 

= [v]∼A : A ∈ A p} , v ∈ Bij(p, A) 

Ako je A ∈ A p} i a ∈ Bij(p, A) skup [a] nazivamo 

orijentisani simpleks a-kompleksa A ; 

za orijentisani simpleks [a] kaˇzemo: da je dimenzije p kao i da je odred¯en p + 1-torkom a. 

Podsetimo se da je x : df 

= {(0, x)} : {0} → {x}. Uz ovakvo označavanje imamo A0) = 

{x | x ∈ A}. Čisto da bude jasnije: 

A 0} ∋ {a} 

A 0) ∋ a = {(0, a)} 

A 0] ∋ [a] = {a}

I.4. GRUPA CN(A) 21 

za a ∈ A. 

Slika I.3.22. 

Ako je n ∈ N tako da je A n} = ∅ onda particiju skupa A n] na dvočlane podskupove 

(a0, a1, . . . , an) , (a1, a0, . . . , an) 

gde a = (a0, . . . , an) ∈ A n) označavamo sa On(A). Dakle 

iliti 

On(A) : df 

= 

(a0, a1, . . . , an) , (a1, a0, . . . , an) 

: (a0, . . . , an) ∈ A n) 

 

On(A) : df 

 

= {PA, NA} : A ∈ A n} 

 

gde smo sa PA i NA označili (one) dve (različite) orijentacije skupa A ∈ A. 

I.4 Grupa Cn(A) 

Neka je A a-kompleks i n ∈ N. Ako je A n} = ∅ onda definiˇsemo 

Cn(A) : df 

= AbGrupa A n] , On(A)


a za funkcije iz AbGrupa A n] , On(A) kaˇzemo da su n-lanci nad A. 

Ako je A n} = ∅ onda pod n-lancem nad A podrazumevamo skup ∅, a grupu Cn(A) : df 

= {∅}, 

definiˇsemo kao trivijalnu. 

Pod 0-lancem nad A podrazumevamo svaku funkciju f : A0] → Z za koju je support(f) 

konačan skup, a grupu 0-lanaca a-kompleksa A definiˇsemo kao kanonsku Abelovu grupu 

C0(A) : df 

 

= f : A 0] → Z : support(f) je konačan skup 

⊆ A0] 

Z 

nad skupom A 0] . 

§ 

U svakom slučaju, ovako definisanu grupu Cn(A) nazivamo grupom n-lanaca a-kompleksa A; 

neutral ove grupe je konstantna funkcija 0n ≡ 0n,A : df 

= (x, 0) | x ∈ An] (ˇsto se svodi na ∅ u 

slučaju kad je An} = ∅). 

§ 

Drugim rečima: 

Ako je A n} = ∅ onda pod n-lancem nad A podrazumevamo svaku funkciju f : A n] → Z takvu 

da 

(1) skup f ↼ [Z \ {0}] je konačan i 

(2) ako n > 0 onda za svako A ∈ A n] i svako u, v ∈ Bij(n, A) vaˇzi u ∼ v ⇒ f([u]) = −f([v]). 

Ako je A n} = ∅ onda pod n-lancem nad A podrazumevamo skup ∅. 

I.4.1 Alternativno vid¯enje n-lanaca 

Ako je G = (G, +) Abelova grupa, n ∈ N i h : A n) → G uvodimo sledeće dve skraćenice: 

(1 : h, G): postoji konačan V ⊆ A n} tako da za svako A ∈ A n} \ V i svako u ∈ Bij(n, A) vaˇzi 

f(u) = 0; 

i 

(2 : h, G): za svako A ∈ A n) i svako u, v ∈ Bij(n, A) vaˇzi 

u ∼ v ⇒ f(u) = f(v) i u ∼ v ⇒ f(u) = −f(v) 

(ovde ovaj uslov koji “ stoji desno” zapravo povlači onaj koji “stoji levo”). 

Ako h zadovoljava (1 : h, G) kaˇzemo da h skoro svuda isčezava; ako h zadovoljava (2 : h, G) 

kaˇzemo da h poˇstuje permutacije. 

Stav I.4.1 Ako je G = (G, +) Abelova grupa, n ∈ N i h : A n) → G onda (2 : h, G) vaˇzi akko 

za svako A ∈ A n) , svako u, v ∈ Bij(n, A) i svako 0 ≤ i < j ≤ n vaˇzi h(u) = −h (u ◦ transp n (i, j)) 

(drugim rečima ako u = (u0, . . . , un) onda 

svako 0 ≤ i < j ≤ n). ✷ 

h(u0, . . . , un) = −h(u0, . . . , ui−1, uj, ui+1, . . . , uj−1, ui, uj+1, . . . , un) 

Neka privremeno, za potrebe naredna dva stava, E : A n) → A n] označava funkciju E(v) = [v] 

za v ∈ A n) .


Slika I.4.23. 

Stav I.4.2 Neka je G = (G, +) proizvoljna Abelova grupa. Ako je n ∈ N i h : A n) → G onda su 

sledeća dva uslova ekvivalentna: 

– vaˇzi (2 : h, G); 

– h = E ◦ f za neko f : A n] → G koje zadovoljava 

f [(v1, v1, . . . , vn)] = −f [(v0, v1, . . . , vn)] 

Stav I.4.3 Za n ∈ N vaˇzi: preslikavanje f : A n] → Z je n-lanac akko preslikavanje h := f ◦ E 

zadovoljava (1 : h, Z) i (2 : h, Z). ✷ 

Stav I.4.4 Ako je n ∈ N i h : A n) → Z onda su sledeći uslovi ekvivalentni: 

- vaˇze (1 : h, Z) i (2 : h, Z); 

- postoji n-lanac fh nad A tako da je h = fh ◦ E. 

Sa h ↦→ fh je uspostavljena bijektivna veza izmed¯u Cn(A) i skupa svih preslikavanja h : A n) → Z 

koja isčezavaju skoro svuda i poˇstuju permutacije. ✷ 

I.4.2 Lanci 〈v〉. Definisanje homomorfizama na Cp(A) 

Neka je A a-kompleks. Ako je n ∈ N i v = (v0, . . . , vn) ∈ A n) definiˇsemo 

sa 

i 

〈v; A〉 ∈ Cn(A) 

(v0, 〈v; A〉 v1, . . . , vn) 

(v1, 〈v; A〉 v0, . . . , vn) 

= 1 

= −1 

✷


〈v; A〉(x) = 0 

ako x ∈ An] (v0, \ v1, . . . , vn), (v1, v0, . . . , vn) 

. 

Drugačije rečeno, 〈v; A〉 je elementarna funkcija iz AbGrupa A n] , On(A) koja je odred¯ena sa 

[v]. 

sa 

i 

Za v ∈ A 0) definiˇsemo 

§ 

〈v; A〉 ∈ C0(A) 

〈v; A〉([v]) = 1 

〈v; A〉(x) = 0 ako x ∈ A 0] \ {[v]} 

Drugim rečima ako je a ∈ A onda 〈a; A〉([a]) = 1 i 〈a; A〉([b]) = 0 za svako b ∈ A, b = a. 

§ 

Ako je jasno o kom se a-kompleksu A radi onda ćemo pisati samo 〈v〉 umesto 〈v; A〉. Lance 〈v〉 

ćemo nazivati elementarnim lancima. 

Umesto 〈(v0, . . . , vn)〉 pisaćemo kraće samo 〈v0, . . . , vn〉. 

§ 

Iz same definicije elementarnih lanaca sledi da ako su n ∈ N0, {A1, A2} ⊆ A n} i vi ∈ Bij(n, Ai) 

za i ∈ {1, 2} proizvoljni onda 

A1 = A2 ⇒ 〈v1〉([v2]) = 0. 

Ako je n > 0 ovo je zato ˇsto A1 = A2 povlači [v2] = [v1] i [v2] = v1 ◦ transp n (0, 1) . 

Osnovno svojstvo elementarnih lanaca je ovo: 

ako je n ∈ N, v ∈ A n) i 0 ≤ i < j ≤ n onda je 〈v ◦ transp n (i, j)〉 = −〈v〉 odnosno: 

〈v0 . . . , vi−1, vj, vi+1, . . . , vj−1, vi, vj+1, . . . , vn〉 = −〈v0 . . . , vi−1, vi, vi+1, . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vn〉 

(ovde se naravno znakom “−” označava suprotan element u grupi Cn(A)). 

Ako je n ∈ N onda pod n-selektorom za A podrazumevamo svaki skup N ⊆ A n) za koji vaˇzi: 

za svako u ∈ A n) postoji tačno jedno v ∈ N tako da je 

§ 

u ∼ v ili u ∼ v ◦ transp n (0, 1) . 

Drugim rečima n-selektori su podskupovi od A n) koji se ovako dobijaju: 

za svako A ∈ A n} izaberimo po jednu bijekciju vA ∈ Bij(n, A); vA| A ∈ A n} je n-selektor. 

Naredna dva tvrd¯enja direktne su posledice Stavova I.2.1 i I.4.2.


Slika I.4.24. 

Teorema I.4.1 Ako je n ∈ N i N ⊆ An) n-selektor za A onda je 〈v〉 | v ∈ N baza Abelove 

grupe Cn(A). Shodno tome imamo 

 

 

- Cn(A) = m(v) · 〈v〉 | S ⊆ N je konačan skup, m : S → Z , 

v∈S 

 

- Cn(A) = m(t) · 〈w(t)〉 | T je konačan skup, m : T → Z, w : T → N , 

t∈T 

- Cn(A) = m(t) · 〈w(t)〉 | T je konačan skup, m : T → Z, w : T → A n) 

 

. ✷ 

t∈T 

Teorema I.4.2 Neka je G = (G, +) Abelova grupa i n ∈ N. Ako je 

h : A n) → G 

preslikavanje koje poˇstuje permutacije (tj. za koje vaˇzi (2 : h, G)) onda postoji jedinstven homomorfizam 

lh : Cn(A) → G 

tako da je 

lh(〈v〉) = h(v) 

za svako v ∈ A n) . Ovaj homomorfizam nazivamo homomorfizam indukovan preslikavanjem h. 

Obrnuto, ako je l : Cn(A) → G proizvoljan homomorfizam onda preslikavanje h : A n) → G 

definisano sa h(v) = l(〈v〉), za v ∈ A n) , poˇstuje permutacije. ✷


Teorema I.4.3 Skup {〈a〉 | a ∈ A} je baza Abelove grupe C0(A). Shodno tome imamo 

 

- C0(A) = m(t) · 〈a(t)〉| T je konačan skup, m : T → Z, a : T → 

A , 

t∈T 

- ako je G = (G, +) Abelova grupa i h : A → G proizvoljno preslikavanje tada postoji jedinstven 

homomorfizam l : C0(A) → G tako da je l(〈a〉) = h(a) za svako a ∈ A. Ovaj homomorfizam 

nazivamo homomorfizam indukovan preslikavanjem h. ✷ 

I.5 Homomorfizmi ∂n i definicija n-te grupe homologije 

abstraktnog kompleksa 

Ako je n ∈ N, v = (v0, . . . , vn) ∈ A n) i 0 ≤ i ≤ n definiˇsemo 

Neka je m ∈ N fiksirano. 

v ˆ0 : df 

= (v1, . . . , vn) ∈ A n−1) , 

v ˆn : df 

= (v0, . . . , vn−1) ∈ A n−1) i 

v î : df 

= (v0, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn) ∈ A n−1) , ako 0 

Slučaj 1: A m} = ∅. Definiˇsemo funkciju δm : A m) → Cm−1(A) sa 

za v = (v0, . . . , vm) ∈ A m) . 

δm(v) : df 

= 

§ 

m 

k=0 

(−1) k 〈v ˆk 〉 

Pokaˇzimo da δm poˇstuje permutacije. Neka je 0 ≤ i < j ≤ m zatim 

Imamo 

v := (v0, . . . , vi−1, vi, vi+1 . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vm) ∈ A m) i 

u := (v0, . . . , vi−1, vj, vi+1 . . . , vj−1, vi, vj+1, . . . , vm) = v ◦ transp m (i, j) 

δm(u) = 

te obzirom da: 

m 

k=0; 

k /∈{i,j} 

(−1) k 〈u ˆk 〉 + (−1) i 〈v0, . . . , vi−1, vi+1 . . . , vj−1, vi, vj+1, . . . , vm〉 

+(−1) j 〈v0, . . . , vi−1, vj, vi+1 . . . , vj−1, vj+1, . . . , vm〉, 

- ako k /∈ {i, j} onda 

〈u ˆk ⎧ 

ˆk 

⎨ v ◦ transpm (i − 1, j − 1) 

〉 = 

⎩ 

 

 

ˆk v ◦ transpm (i, j − 1) 

 

ˆk v ◦ transpm (i, j) 

( za 0 ≤ k < i) 

⎫ 

⎬ 

( za 

( za 

i < k < j) 

⎭ 

j < k ≤ m) 

= −〈vˆk 〉

I.5. DEFINICIJA GRUPA HOMOLOGIJE 27 

- kao i da 

〈v0, . . . , vi−1, vi+1 . . . , vj−1, vi, vj+1, . . . , vm〉 = (−1) j−1−i 〈v0, . . . , vi−1, vi, vi+1 . . . , vj−1, vj+1, . . . , vm〉 

= (−1) j−1−i 〈v ˆj 〉 = −(−1) i (−1) j 〈v ˆj 〉 i slično 

to je 

δm(u) = − 

〈v0, . . . , vi−1, vj, vi+1 . . . , vj−1, vj+1, . . . , vm〉 = −(−1) j (−1) i 〈v î 〉 

m 

k=0; 

k /∈{i,j} 

(−1) k 〈v ˆk 〉 − (−1) j 〈v ˆj 〉 − (−1) i 〈v î 〉 = − 

m 

k=0 

(−1) k 〈v ˆk 〉 = −δm(v). 

Homomorfizam indukovan sa δm (videti Teoremu I.4.2) označavamo sa “∂m,A”, odnosno samo 

“∂m” ako je jasno o kom je a-kompleksu reč. Dakle 

i 

za svako v ∈ A m) . 

∂m : Cm(A) → Cm−1(A) 

∂m(〈v〉) = δm(v) = 

m 

i=0 

(−1) i 〈v î 〉 

Slučaj 2: A m} = ∅. U ovom slučaju je Cm(A) trivijalna grupa i ∂m,A = ∂m definiˇsemo kao 

jedini mogući (dakle trivijalni) homomorfizam ∂m : Cm(A) → Cm−1(A). 

Homomorfizam ∂m nazivamo m-ti rubni operator a-kompleksa A. 

Ako {a, b} ∈ A 1} onda je 

§ 

 

∂1 〈a, b〉 = 〈b〉 − 〈a〉 

Slika I.5.25.


Ako {a, b, c} ∈ A1} onda je 

 

〈a, b, c〉 = 〈b, c〉 − 〈a, c〉 + 〈a, b〉 = 〈a, b〉 + 〈b, c〉 + 〈c, a〉 

∂2 

Slika I.5.26. 

Slika I.5.27.

I.6. NEKOLIKO PRIMERA 29 

§ 

Za n ∈ N jezgro od ∂n označavamo sa Zn(A) : df 

= ker(∂n) = {x ∈ Cn(A) | ∂n(x) = 0n−1}. 

Takod¯e definiˇsemo i Z0(A) : df 

= C0(A). 

Za n ∈ N0 elemente grupe Zn(A) nazivamo n-ciklima (jednina: cikl) a-kompleksa A dok za 

samu grupu Zn(A) kaˇzemo da je grupa n-ciklova od A. Jasno Zn(A) je podgrupa od Cn(A). 

Za n ∈ N0 podgrupu Bn(A) : df 

= {∂n+1(x) | x ∈ Cn+1(A)} = ran (∂n+1) grupe Cn(A) nazivamo 

grupom n-rubova a-kompleksa A a njene elemente n-rubovima a-kompleksa A. Primetimo da ako 

je A n+1} = ∅ onda je Bn(A) = {0n} trivijalna grupa. 

Dakle imamo Bn(A) ∪ Zn(A) ⊆ Cn(A) za svako n ∈ N0. Za n = 0 je po definiciji zapravo 

Bn(A) ⊆ Zn(A). Da je to slučaj i za n ∈ N sadrˇzaj je narednog stava. 

Stav I.5.1 ∂n ◦ ∂n+1 je trivijalan homomorfizam za svako n ∈ N. 

Dokaz. Neka je v ∈ An+1) . Imamo 

n+1 

∂n ◦ ∂n+1(〈v〉) = (−1) i ∂n(〈v î n+1 

〉) = (−1) i 

⎡ 

n 

⎣ 

i=0 

= 

n 

n 

i=0 j=i 

i=0 

(−1) i+j 〈(v î ) ˆj 〉 + 

j=0 

(−1) j 〈(v î ) ˆj 〉 

 

⎤ 

⎦ = 

n+1 

n 

i=0 j=0 

n+1 i−1 

(−1) i+j 〈(v î ) ˆj 〉. 

i=1 j=0 

Primetimo da ako je 0 ≤ i ≤ j ≤ n onda je (v î ) ˆj = (v ˆj+1 ) î . Zato je 

n 

n 

i=0 j=i 

(−1) i+j 〈(v î ) ˆj 〉 = 

n+1 k−1 

= 

k=1 s=0 

n 

n 

i=0 j=i 

(−1) i+j 〈(v ˆj+1 ) î 〉 = 

 

n 

n+1 

s=0 k=s+1 

(−1) s+k−1 〈(v ˆk ) ˆs n+1 i−1 

〉 = − (−1) i+j 〈(v î ) ˆj 〉. 

i=1 j=0 

(−1) i+j 〈(v î ) ˆj 〉 = 

(−1) s+k−1 〈(v ˆk ) ˆs 〉 = 

Tvd¯enje je pokazano (imajući u vidu Teoremu I.4.1 kao i činjenicu da je ∂n ◦ ∂n+1 homomorfizam). 

✷ 

Definicija I.5.1 Za n ∈ N0 faktor grupu Hn(A) : df 

= Zn(A)/Bn(A) grupe n-cikala nazivamo “n-ta 

grupa homologije a-kompleksa A”. ✷ 

Primetimo da ako je A n+1} = ∅ onda je Hn(A) = Zn(A)/{0n} ∼ = Zn(A). 

Ako je n ∈ N0 i x, y ∈ Cn(A) onda za x kaˇzemo da je homologan sa y, i to zapisujemo sa “x h ∼ y”, 

ako je x − y ∈ Bn(A). Koristimo i oznaku [x] h ∼ := x ⊕ Bn(A). Dakle Hn(A) = {[x] h ∼ | x ∈ Zn(A)} 

je podgrupa grupe Cn(A)/Bn(A) = {[x] h ∼ | x ∈ Cn(A)}. 

I.6 Nekoliko primera 

Primer I.6.1 Neka je A1 := {a, c}, {a, b}, {b, c}; {a}, {b}, {c} .


Imamo C1(A1) = n〈a, b〉 + m〈b, c〉 + k〈c, a〉 | n, m, k ∈ Z . Dalje 

x := n〈a, b〉 + m〈b, c〉 + k〈c, a〉 ∈ Z1(A1) akko 

0 = ∂1(x) = n 〈b〉 − 〈a〉 + m 〈c〉 − 〈b〉 + k 〈a〉 − 〈c〉 

= (k − n)〈a〉 + (n − m)〈b〉 + (m − k)〈c〉 

akko vaˇzi k − n = n − m = m − k = 0 obzirom da su 〈a〉, 〈b〉 i 〈c〉 tri različita elementa baze 

 

 

〈a〉, 〈b〉, 〈c〉 grupe C0(A1) . Dakle Z1(A1) = αx0| α ∈ Z , gde je x0 := 〈a, b〉 + 〈b, c〉 + 〈c, a〉. 

Dalje C2(A1) = {02} pa je B1(A1) = {01}. Zato je H1(A1) = Z1(A1)/B1(A1) ∼ = Z1(A1) ∼ = Z 

(element x0 grupe C1(A1) je, kao i svi nenula elementi te grupe, beskonačnog reda). ✷ 

Primer I.6.2 Neka je A2 := {a, b, c}; {a, c}, {a, b}, {b, c}; {a}, {b}, {c} . 

Imamo (A2) ≤1} = (A1) ≤1} i (A2) i] = (A1) i] za i = 0, 1, te i Ci(A2) = Ci(A1) za i = 0, 1. Zato 

je C1(A2) = C1(A1) = αx0| α ∈ Z , gde je x0 := 〈a, b〉 + 〈b, c〉 + 〈c, a〉. 

Dalje C2(A2) = α〈a, b, c〉| α ∈ Z pa je B1(A1) = (∂2) →C2(A2) = 

α∂2 

 

〈a, b, c〉 | α ∈ Z . 

Kako je ∂2 〈a, b, c〉 = 〈b, c〉 − 〈a, c〉 + 〈a, b〉 = x0 to je B1(A1) = Z1(A1). Odatle imamo H1(A2) = 

Z1(A2)/B1(A2) = Z1(A2)/Z1(A2) ∼ = {0}. ✷ 

Primer I.6.3 Neka je A3 := ⌈{a, b, c}⌉∪⌈{a, b, d}⌉∪⌈{a, b, e}⌉∪⌈{b, c, d}⌉∪⌈{a, c, d}⌉∪⌈{b, c, e}⌉∪ 

⌈{a, c, e}⌉ a-kompleks simbolički prikazan na Slici I.6.28. 

Slika I.6.28. 

Skup N := (a, b, d), (d, b, c), (a, c, d), (a, e, b), (c, e, b), (a, e, c), (a, b, c) je 2-selektor a-kompleksa 

A3 te je skup X2 := {σi| i = 1, 7} baza Abelove grupe C2(A3) gde je 

σ1 = 〈a, b, d〉, σ2 = 〈d, b, c〉, σ3 = 〈a, c, d〉, σ4 = 〈a, e, b〉, σ5 = 〈c, e, b〉, σ6 = 〈a, e, c〉, σ7 = 〈a, b, c〉. 

Neka je x := 

7 

kiσi ∈ Z2(A3). 

i=1


(1) Imamo (∂2 x) [b, d] = 0 ∈ Z i (∂2 x) = 

0 = 

7 

ki(∂2 σi) [b, d] = 

i=1 

i/∈{1,2} 

7 

ki∂2 (σi). Dakle 

i=1 

ki(∂2 σi) [b, d] + k1(∂2 σ1) [b, d] + k2(∂2 σ2) [b, d] = 

= k1(∂2 σ1) [b, d] + k2(∂2 σ2) [b, d] 

obzirom da (jasno) uvek vaˇzi: “ ∂n〈v0, . . . , vn〉 [w0, . . . , wn−1] = 0 kad god je {v0, . . . , vn} ∈ 

An} , {w0, . . . , wn−1} ∈ An−1} i {w0, . . . , wn−1} ⊆ {v0, . . . , vn}”. Dakle imamo 

 

0 = k1 〈a, b〉 [b, d] + 〈d, a〉 [b, d] 

+ k1〈b, d〉 [b, d] + 

 

+ k2 〈b, c〉 [b, d] + 〈c, d〉 [b, d] 

+ k2〈d, b〉 [b, d] = k1 − k2, 

tj. k2 = k1. 

(2) Skup X1 := 〈d, a〉, 〈d, b〉, 〈d, c〉, 〈e, a〉, 〈e, b〉, 〈e, c〉, 〈a, b〉, 〈b, c〉, 〈c, a〉 je baza Abelove 

grupe C1(A3). 

Intermeco. Neka je X ⊆ G baza Abelove grupe G = (G, +) i x0 ∈ X. Definiˇsemo πx0,X,G : G → Z 

tako da ako je g ∈ G i g = 

mx · x, gde je mx ∈ Z za x ∈ X, onda πx0,X,G(g) = mx0. Za 

x∈X 

πx0,X,G(g) kaˇzemo da je “koordinata od g uz x0 u odnosu na (bazu) X u (Abelovoj) grupi G. Ako 

je X i/ili G poznato i fiksirano piˇsemo skraćeno i samo “πx0,X” ili “πx0”. Lako je videti da je πx0 

homomorfizam Abelovih grupa G i Z, tj. da vaˇzi 

za svako n1, n1 ∈ Z i svako g1, g2 ∈ G. ✷ 

πx0(n1 · g1 + n2 · g2) = n1 · πx0(g1) + n2 · πx0(g2) 

Najpre (nadalje izbacujemo “i” iz donjeg indeksa u “∂i” kad god je iz konteksta jasno o kom 

rubnom homomorfizmu je reč) 

0 = π 〈d,a〉, X1,C1(A3) (02) = π 〈d,a〉(02) = π 〈d,a〉(∂ x) = 

7 

i=1 

kiπ 〈d,a〉(∂ σi) = k1π 〈d,a〉(∂ σ1)+k3π 〈d,a〉(∂ σ2) 

jer je π 〈d,a〉(∂ σi) = 0 za j /∈ {1, 3} prema definiciji homomorfizama “∂i”. Dakle 

 

 

 

 

0 = k1 · π 〈d,a〉 〈a, b〉 + 〈b, d〉 + 1 · 〈d, a〉 + k3 · π 〈d,a〉 〈a, c〉 + 〈c, d〉 + 1 · 〈d, a〉 = k1 + k3, 

tj. k3 = −k1. 

Slično 0 = π 〈a,b〉(∂ x) = k1 · π 〈a,b〉(∂ σ1) + k4 · π 〈a,b〉(∂ σ4) + k7 · π 〈a,b〉(∂ σ7) = k1 − k4 + k7 

 

primetimo da je π〈a,b〉(∂ σ4) = π 〈a,b〉 〈a, e〉 + 〈e, b〉 + 〈b, a〉 = π〈a,b〉 〈a, e〉 + 〈e, b〉 − 〈a, b〉 = −1 . 

Dakle k1 − k4 + k7 = 0. 

Iz 0 = π 〈d,c〉(∂ x) sledi 0 = −k3 − k2 (dakle sad već niˇsta novo). 

Iz 0 = π 〈e,a〉(∂ x) sledi 0 = −k4 − k6.


Iz 0 = π 〈e,b〉(∂ x) sledi 0 = k4 + k5. 

Iz 0 = π 〈e,c〉(∂ x) sledi 0 = −k5 + k6. 

Iz 0 = π 〈b,c〉(∂ x) sledi 0 = k2 + k7 + k5. 

Iz 0 = π 〈c,a〉(∂ x) sledi 0 = k7 − k3 + k6. 

(3) Iz prethodnog moˇzemo zaključiti (reˇsavanjem odgovarajućeg sistema linearnih jednačina) da 

7 

je x = kiσi ∈ Z2(A3) akko postoje neki n, m ∈ Z tako da je k2 = k1 = n, k3 = −n, k4 = n + m, 

i=1 

k5 = k6 = −n − m i k7 = m, tj. akko za neke n, m ∈ Z imamo 

x = nσ1 + nσ2 − nσ3 + (n + m)σ4 − (n + m)σ5 − (n + m)σ6 + mσ7, 

odnosno (uz smenu n = α, n + m = β - pa je onda m = β − α) akko za neke α, β ∈ Z imamo 

x = α · (σ1 + σ2 − σ3 − σ7) + β · (σ4 − σ5 − σ6 + σ7). 

Dakle 

Z2(A3) = α · x1 + β · x2 | α, β ∈ Z 

 

gde je x1 := σ1 + σ2 − σ3 − σ7 i x2 := σ4 − σ5 − σ6 + σ7. Jasno je da je x1 = x2 

 

ˇsto 

 

sledi 

 

na primer 

iz toga ˇsto nemaju sve iste koordinate u bazi X2, ili iz x1 [a, b, c] = −1 = −x2 [a, b, c] ; takod¯e 

iz α · x1 + β · x2 = 02 sledi α = β = 0 (ˇsto se direktno proverava). Zato je {x1, x2} dvoelementna 

baza (Abelove) grupe Z2(A3) pa je Z2(A3) ∼ = Z × Z. Sada, kako je dim(A3) = 2 (pa je A3} = ∅) 

te i B2(A3) = {02}, imamo H2(A3) ∼ = Z2(A3) ∼ = Z × Z. ✷ 

Primer I.6.4 Neka je A4 := A3 ∪ {a, b, c, d} . 

Imamo 

B2(A4) = (∂3) → C3(A4) = ∂ → α〈a, b, c, d〉 | α ∈ Z = 

= α· 〈b, c, d〉−〈a, c, d〉+〈a, b, d〉−〈a, b, c〉 | α ∈ Z = α·(σ1+σ2−σ3−σ7) | α ∈ Z = {α·x1 | α ∈ Z} 

gde je x1 := σ1+σ2−σ3−σ7. Iz Primera I.6.3 znamo da je Z2(A4) = Z2(A3) = α·x1+β·x2 | α, β ∈ 

Z . Zato je 

H2(A4) = Z2(A4)/B2(A4) = (α · x1 + β · x2) ⊕ B2(A4) | α, β ∈ Z = (β · x2) ⊕ B2(A4) | β ∈ Z = 

= β · x2 ⊕ B2(A4) | β ∈ Z 

ciklična generisana sa x2 ⊕ B2(A4) = [x2] h ∼ - klasom homologije 2-cikla x2. Da bi videli da li 

je H2(A4) ∼ = Z ili H2(A4) ∼ = Zn za odgovarajuće n ∈ N, treba utvrditi kakvog je reda element 

x2 ⊕ B2(A4) grupe H2(A4) = Z2(A4)/B2(A4) (ekvivalentno: grupe C2(A4)/B2(A4)). Neka je 

k ∈ N0 takvo da k · x2 ⊕ B2(A4) = B2(A4), tj. (k · x2) ⊕ B2(A4) = B2(A4). Ovo znači da je 

k · x2 ∈ B2(A4) odnosno da je kx2 = mx1 za neko m ∈ Z. No sada iz mx1 + (−k)x2 = 02 sledi 

m = −k = 0 (jer je {x1, x2} dvoelementan algebarski nezavisan skup - kao ˇsto smo to već 

videli). Dakle x2 ⊕ B2(A4) je beskonačnog reda pa je H2(A4) ∼ = Z. ✷ 

Primer I.6.5 Neka je 

M := ⌈{a0, a1, a4}⌉ ∪ ⌈{a1, a2, a5}⌉ ∪ ⌈{a2, a3, a0}⌉ ∪ ⌈{a0, a5, a2}⌉ ∪ ⌈{a5, a4, a1}⌉ ∪ ⌈{a4, a3, a0}⌉ 

a-kompleks prikazan na Slici I.6.29.


Slika I.6.29. 

Imamo da je X2 := {σi : i = 1, 6} baza za C2(M), gde je: 

σ1 := 〈a0, a1, a4〉, σ2 := 〈a1, a2, a5〉, σ3 := 〈a2, a3, a0〉, σ4 := 〈a0, a5, a2〉, σ5 := 〈a5, a4, a1〉 

i σ6 := 〈a4, a3, a0〉. 

Takod¯e, X1 := {βi : i = 1, 12} je baza za C1(M), gde je: 

β1 := 〈a3, a0〉, β2 := 〈a0, a1〉, β3 := 〈a1, a2〉, β4 := 〈a2, a3〉, β5 := 〈a0, a5〉, β6 := 〈a5, a4〉, 

β7 := 〈a4, a3〉, β8 := 〈a1, a4〉, β9 := 〈a2, a5〉, β10 := 〈a0, a4〉, β11 := 〈a1, a5〉, β12 := 〈a2, a0〉. 

Računamo najpre H1(M). Neka je x = 

00 = ∂x = 

12 

12 

i=1 

li · βi ∈ Z1(M), {l1, . . . , l12} ⊆ Z. Tada je 

li · ∂βi = (l1 + l12 − l2 − l10 − l5) · 〈a0〉 + (l2 − l8 − l11 − l3) · 〈a1〉+ 

i=1 

+(l3 − l9 − l12 − l4) · 〈a2〉 + (l4 + l7 − l1) · 〈a3〉 + (l10 + l8 + l6 − l7) · 〈a4〉 + (l11 + l9 + l5 − l6) · 〈a5〉. 

A ovo vaˇzi akko je (l1, . . . , l12) ∈ Z12 reˇsenje sistema 

⎧ 

⎪⎨ 

l1 + l12 − l2 − l10 − l5 

l2 − l8 − l11 − l3 

l3 − l9 − l12 − l4 

= 

= 

= 

0 

0 

0 

⎪⎩ 

l4 + l7 − l1 

l10 + l8 + l6 − l7 

l11 + l9 + l5 − l6 

= 

= 

= 

0 

0 

0 

Matrica ovog homogenog sistema je 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 −1 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 1 

0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 

0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 

−1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 1 −1 1 0 1 0 0 

0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 1 0 

gde kolone s leva na desno odgovaraju redom nepoznatima l1, . . . , l12. Nakon niza elementarnih 

transformacija V2 + V3 + V4 + V5 + V6 ↦→ V1; (V4, V2, V3, V6, V5) dobija se homogen sistem koji je 

ekvivalentan polaznom a ima matricu 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

−1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 

0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 

0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 

0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 1 0 

0 0 0 0 0 1 −1 1 0 1 0 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦


odakle vidimo da se brojevi l4, l7, l8, l9, l10, l11, l12 ∈ Z mogu birati proizvoljno, dok su preostali 

jednoznačno odred¯eni sa 

l6 = l7 − l8 − l10 

l5 = l7 − l8 − l9 − l10 − l11 

l3 = l4 + l9 + l12 

l2 = l4 + l8 + l9 + l11 + l12 

l1 = l4 + l7 

Dakle x ∈ Z1(M) akko za neke l4, l7, l8, l9, l10, l11, l12 ∈ Z vaˇzi: 

x = l4 · (β4 + β3 + β2 + β1) + l7 · (β7 + β6 + β5 + β1) + l8 · (β8 − β6 − β5 + β2)+ 

+l9 · (β9 − β5 + β3 + β2) + l10 · (β10 − β6 − β5) + l11 · (β11 − β5 + β2) + l12 · (β12 + β3 + β2). 

Stavimo x4 := β4 + β3 + β2 + β1, x7 := β7 + β6 + β5 + β1, x8 := β8 − β6 − β5 + β2, 

x9 := β9 − β5 + β3 + β2, x10 := β10 − β6 − β5, x11 := β11 − β5 + β2 i x12 := β12 + β3 + β2. 

Imamo β4+β1 h ∼ β4+β1+∂(−σ3) h ∼ β4+β1+(β12−β1−β4) = β12, tj. x4 h ∼ β2+β3+β12 = x12. 

Imamo ∂ 

6 

σi 

 

= β2+β3+β4+β5+β6+β7+2β1 pa je β1+β5+β6+β7 h ∼ −(β1+β2+β3+β4), 

i=1 

tj. x7 h ∼ −x4. 

Imamo x8 h ∼ x8 + ∂(σ5 + σ2 + σ4) = β2 + β3 + β12 = x4, tj. x8 h ∼ x4. 

Imamo x9 h ∼ x9 + ∂σ4 = x4, tj. x9 h ∼ x4. 

Imamo x10 h ∼ x10 + ∂(σ1 + σ5 + σ2 + σ4) = x4, tj. x10 h ∼ x4. 

Imamo x11 h ∼ x11 + ∂(σ2 + σ4) = x4, tj. x11 h ∼ x4. 

Imamo x12 h ∼ x4. 

Na osnovu svega ovog zaključujemo da je x h ∼ (l4 − l7 + l8 + l9 + l10 + l11 + l12) · x4. Dakle za 

svako x ∈ Z1(M) postoji m ∈ Z tako da je x h ∼ m · x4. Kako je joˇs i x4 ∈ Z1(M) to odavde sledi 

H1(M) = [x] h ∼ : ∈ Z1(M) = m · [x4] h ∼ : m ∈ Z . 

Preostaje joˇs da se utvrdi kog je reda element [x4] h ∼ grupe H1(M). Neka je m ∈ Z takvo da je 

m·[x4] h ∼ = [01] h ∼ = B1(M). Imamo B1(M) = [m·x4] h ∼ = [m(β2+β3+β12)] h ∼ , tj. m(β2+β3+β12) ∈ 

B1(M), pa je u := m · β2 + m · β3 + m · β12 = ∂ 

6 

i=1 

ki · σi 

sledi specijalno 0 = πβ7(u) = πβ7(v) = k6 pa je zapravo u = ∂ 

 

=: v za neke ki ∈ Z, i = 1, 6. Odavde 

5 

i=1 

ki · σi 

dobijamo 0 = πβ10(u) = πβ10(v) = −k1 kao i m = πβ2(u) = πβ2(v) = k1. Dakle m = 0. 

Zato je [x4] h ∼ beskonačnog reda pa je H1(M) ∼ = Z. 

§ 

 

. A odavde sada 

Izračunajmo sada H2(M). Primetimo da za svako 1 ≤ i ≤ 6 postoji 1 ≤ j(i) ≤ 12 tako 

konkretno: j : 

da je πβ j(i) (∂σi) = 1 i πβ j(i) (∂σm) = 0 za svako m ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {i} 

1 2 3 4 5 6 

2 3 4 5 6 7 

 

. Neka je x = 

6 

km · σi za neke km ∈ Z, m = 1, 6, tako da je ∂x = 01. 

m=1 

Za svako i = 1, 6 imamo 0 = πβ j(i) (∂x) = 

6 

km · πβ (∂σm) = ki. Dakle x = 02. Otuda je 

j(i) 

m=1 

C2(M) = {02} pa je i H2(M) = {[02] h ∼ } trivijalna grupa. ✷

I.7. C-KOMPLEKSI 35 

I.7 C-kompleksi 

I.7.1 Grupe homologije C-komplekasa 

Definicija I.7.1 Svaki niz G = 

(Gn, dn+1) : n ∈ N0 , gde su Gn, za n ∈ N0, Abelove grupe 

a dn : Gn → Gn−1, za n ∈ N, homomorfizmi tako da je dn ◦ dn+1 : Gn+1 → Gn−1 trivijalan 

homomorfizam za svako n ∈ N, nazivamo C-kompleks (“chain complex”). ✷ 

Za Gn kaˇzemo da je grupa n-lanaca C-kompleksa G. 

Iz Definicije I.7.1 sledi da je, za n ∈ N, Bn(G) : df 

= ran(dn+1) podgrupa grupe Zn(G) : df 

= 

ker(dn); faktor grupu Hn(G) : df 

= ker(dn)/ran(dn+1) nazivamo n-ta grupa homologije C-kompleksa 

G. Definiˇsemo i Z0(G) : df 

= C0(G) kao i nultu grupu homologije H0(G) : df 

= G0/ran(d1) C-kompleksa 

G. 

Ako je A a-kompleks onda za GA := 

(Cn(A), ∂n+1,A) : n ∈ N0 kaˇzemo da je C-kompleks 

lanaca a-kompleksa A. Jasno: Zn(A) = Zn(GA), Bn(A) = Bn(GA) i Hn(A) = Hn(GA) za svako 

n ∈ N0. 

Definicija I.7.2 Pod podizanjem C-kompleksa G = 

(Gn, dn+1) : n ∈ N0 podrazumevamo bilo 

koji epimorfizam e : G0 → Z takav da je e ◦ d1 : G1 → Z trivijalan homomorfizam. ✷ 

Ako je e podizanje C-kompleksa G onda definiˇsemo grupu H0(G) = H0,e(G) : df 

= ker(e)/ran(d1) 

i stavljamo Hn(G) : df 

= Hn(G) za n ∈ N. Ovo su e-redukovane grupe homologije (nulta, prva, druga 

itd.) C-kompleksa G. 

I.7.2 Morfizmi C-komplekasa 

Definicija I.7.3 Pod morfizmom C-komplekasa (skraćeno: C-morfizmom) 

iz C-kompleksa G = 

(Gn, dn+1) : n ∈ N0 

ka C-kompleksu G ′ = (G ′ n, d ′ 

n+1) : n ∈ N0 

podrazumevamo svaki niz (hn : n ∈ N0) homomorfizama hn : Gn → G ′ n za koji vaˇzi d′ n+1 ◦ hn+1 = 

hn ◦ dn+1 za svako n ∈ N0. ✷ 

Definicija I.7.4 Ako su e i e ′ podizanja C-komplekasa G = 

′ (Gn, dn+1) : n ∈ N0 

 

i G = 

′ (G n, d ′ 

n+1) : n ∈ N0 , tim redom, za C-morfizam (hn : n ∈ N0) iz G ka G ′ kaˇzemo da poˇstuje 

podizanja e i e ′ ako vaˇzi e ′ ◦ h0 = e. ✷ 

I.7.3 Indukovani homomorfizmi grupa homologija: (hn)⋆ 

Neka je h = (hn : n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G = 

(Gn, dn+1) : n ∈ N0 ka C-kompleksu 

G ′ = (G ′ n, d ′ 

n+1) : n ∈ N0 . 

Neka je n ∈ N0 proizvoljno. Ako su x, y ∈ Gn tako da je b := x − y ∈ Bn(G) = ran(dn+1). 

Tada imamo b = dn+1(c), za neko c ∈ Gn+1, te je hn(x) − hn(y) = hn(b) = (hn ◦ dn+1)(c) = 

d ′ n+1 (hn+1(b)) ∈ Bn(G ′ ). Dakle 

i sa 

(hn) ⇀ (x ⊕ Bn(G)) ⊆ hn(x) ⊕ Bn(G ′ ) 

(hn) ⋆ (S) = hn(x) ⊕ Bn(G ′ ), gde je x ∈ S proizvoljno, za S ∈ Gn/Bn(G)


korektno je definisano preslikavanje 

(hn) ⋆ : Gn/Bn(G) → G ′ n/Bn(G ′ ) 

(jer ne zavisi od izbora elementa x). 

Ako je n > 0 i x ∈ Zn(G) onda je d ′ n(hn(x)) = hn−1(dn(x)) = hn−1(0n−1) = 0 ′ n−1 (gde su sa 

nm i 0 ′ m , za m ∈ N0, označeni neutrali grupa Gm i G ′ m , respektivno) pa je hn(x) ∈ Zn(G ′ ). Ovo 

znači da 

(hn) ⇀ Zn(G) ⊆ Zn(G ′ ) 

Jasno ovo jednakost vaˇzi i za n = 0. Zato za svako m ∈ N0 zapravo imamo 

 

(hn) ⋆ ⇀ 

Hn(G) ⊆ Hn(G ′ ) 

Dakle 

i 

Restrikciju preslikavanja (hn) ⋆ na skup Hn(G) označavamo sa (hn)⋆ i nazivamo 

homomorfizam n-tih grupa homologija C-komplekasa G i G ′ 

indukovan C-morfizmom h = (hn : n ∈ N0). 

(hn)⋆ : Hn(G) → Hn(G ′ ) 

(hn)⋆(S) = hn(x) ⊕ Bn(G ′ ), gde je x ∈ S proizvoljno, za S ∈ Zn(G)/Bn(G). 

Da je, za svako n ∈ N0, preslikavanje (hn)⋆ : Hn(G) → Hn(G ′ ) zaista homomorfizam proverava 

se direktno: 

x (hn)⋆ ⊕ Bn(G) + y ⊕ Bn(G) 

 

= (hn)⋆ (x + y) ⊕ Bn(G) = hn(x + y) ⊕ Bn(G ′ ) = 

za svako x, y ∈ Zn(G). 

= hn(x) + hn(y) ⊕ Bn(G ′ ) = hn(x) ⊕ Bn(G ′ ) + hn(y) ⊕ Bn(G ′ ) = 

 

= (hn)⋆ x ⊕ Bn(G) + (hn)⋆ y ⊕ Bn(G) , 

Ako su e i e ′ podizanja C-komplekasa G i G ′ i ako (hn : n ∈ N0) poˇstuje podizanja e i 

e ′ , onda se lako proverava da (h0) → ker(e) ⊆ ker(e ′ ) te da ((h0) ⋆ ) → H0(G) ⊆ H0(G ′ ), odnosno 

((h0)⋆) → H0(G) ⊆ H0(G ′ ), jer (h0)⋆ = (h0) ⋆ . Restrikciju preslikavanja (h0)⋆ na skup H0(G) = 

ker(e)/B0(G) nazivamo 

homomorfizam nultih (e, e ′ )-redukovanih grupa homologija C-komplekasa G i G ′ 

i označavamo sa (h0)⋆,e . Znači 

indukovan C-morfizmom h 

(h0)⋆,e : H0,e(G) → H0,e ′(G′ ) 

Za n > 0, pod homomorfizmom n-tih (e, e ′ )-redukovanih grupa homologija C-komplekasa G i G ′ 

indukovanim C-morfizmom h, u oznaci (hn)⋆,e , podrazumavamo već definisan homomorfizam 

(hn)⋆ indukovan sa (hn : n ∈ N0).

I.8. PRIRODNO UTAPANJE GRUPA LANACA PODKOMPLEKSA: CN(A0|A) 37 

Stav I.7.1 Ako je f = (fn : n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G = 

(Gn, dn+1) : n ∈ N0 ka 

C-kompleksu G ′ = (G ′ n, d ′ 

n+1) : n ∈ N0 , a g = (gn : n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G ′ 

= 

′ (G n, d ′ 

′′ ′′ 

n+1) : n ∈ N0 ka C-kompleksu G = (G n, d ′′ 

n+1) : n ∈ N0 onda je (gn ◦ fn : n ∈ N0) 

C-morfizam iz G ka G ′′ . Pri tom vaˇzi 

za svako n ∈ N0. 

(gn ◦ fn)⋆ = (gn)⋆ ◦ (fn)⋆ 

Ako su e, e ′ i e ′′ podizanja C-kompleksa G, G ′ i G ′′ , tim redom, i ako morfizam f poˇstuje e i 

e ′ a g poˇstuje e ′ i e ′′ , onda (gn ◦ fn : n ∈ N0) poˇstuje e i e ′′ i pri tom vaˇzi 

(gn ◦ fn)⋆,e = (gn)⋆,e ′ ◦ (fn)⋆,e 

za svako n ∈ N0 (ˇsto se u svetlu iznad već navedenog svodi na jedini novi podatak da (g0 ◦ f0)⋆,e = 

(g0)⋆,e ′ ◦ (f0)⋆,e). 

Takod¯e (idGn : n ∈ N0) je C-morfizam iz G ka njemu samom koji poˇstuje e i e i, ako stavimo 

tn : df 

= idGn za n ∈ N0, imamo (tn)⋆ = id Hn(G) kao i (tn)⋆,e = id Hn,e(G) . 

Dokaz. Neka je hn : df 

= gn ◦ fn. Da je (hn : n ∈ N0) morfizam, da on poˇstuje e i e ′′ pod 

učinjenim pretpostavkama, kao i da je (idGn : n ∈ N0) morfizam koji poˇstuje poˇstuje e i e, stvar 

je rutinske provere. 

Neka je n ∈ N0 i neka je x ∈ Zn(G). Zbog x ∈ x ⊕ Bn(G), fn(x) ∈ fn(x) ⊕ Bn(G ′ ) i 

gn(fn(x)) ∈ gn(fn(x)) ⊕ Bn(G ′′ ) imamo 

 

(gn)⋆ ◦ (fn)⋆ x ⊕ Bn(G) 

= (gn)⋆ fn(x) ⊕ Bn(G ′ ) = gn(fn(x)) ⊕ Bn(G ′′ ) = hn(x) ⊕ Bn(G ′′ ) = 

 

= (hn)⋆ x ⊕ Bn(G) . 

 

Dalje ako je x ∈ Zn(G) onda imamo (tn)⋆ x ⊕ Bn(G) = tn(x) ⊕ Bn(G) = x ⊕ Bn(G). Dakle 

(tn)⋆ = idHn(G) . 

Proveru tačnosti ostatka tvrd¯enja prepuˇstamo čitaocu. ✷ 

I.8 Prirodno utapanje grupa lanaca podkompleksa: Cn(A0|A) 

Neka je A0 ⊆ A podkompleks a-kompleksa A. Tada je (A0) n] ⊆ A n] ; dok su n-lanci kompleksa 

A0 po svojoj prirodi nekakve funkcije definisane na skupu (A0) n] , n-lanci kompleksa A su nekakve 

funkcije definisane na ˇsirem skupu A n] . 

tj. 

kao i 

Za svako n ∈ N0 definiˇsemo 

Cn(A0| A) : df 

= 

 

h ∈ Cn(A) : h(x) = 0 za svako x ∈ A n] \ (A0) n] 

Cn(A0| A) : df 

 

= h ∈ Cn(A) : support(h) ⊆ (A0) n]


in : Cn(A0) → Cn(A) tako da je in(f) = h akko 

h(x) = f(x) za svako x ∈ (A0) n] , i h(x) = 0 za svako x ∈ A n] \ (A0) n] . 

Neka su, za n ∈ N, ∂n i ∂ ◦ n n-ti rubni homomorfizmi a-komplekasa A i A0, respektivno. Takod¯e 

neka su, ɛ i ɛ◦ prirodna podizanja a-komplekasa A i A0, respektivno. 

Stav I.8.1 Za svako n ∈ N0 vaˇzi 

(0) in(〈v; A0〉) = 〈v; A〉 za svako v ∈ A n) 

0 ; 

(1) in je injektivan homomorfizam; 

(2) i → n Cn(A0) = Cn(A0|A) i Cn(A0|A) je podgrupa od Cn(A); 

(3) dijagram 

Cn+1(A) ⊇ Cn+1(A0|A) 

↓ ∂n+1 

Cn(A) ⊇ Cn(A0|A) 

in+1 

←− Cn+1(A0) 

↓ ∂ ◦ n+1 

in 

←− Cn(A0) 

komutira, tj. in+1 ◦ ∂n+1 = in ◦ ∂ ◦ n+1. Takod¯e vaˇzi i ɛ ◦ i0 = ɛ◦; 

(4) ∂ → n+1Cn+1(A0|A) ⊆ Cn(A0|A); 

(5) i → n Zn(A0) = Cn(A0|A) ∩ Zn(A) i i → 0 ker(ɛ◦) = C0(A0|A) ∩ ker(ɛ); 

(6) i → n Bn(A0) = ∂ → n+1Cn+1(A0|A) ⊆ Bn(A) ∩ Cn(A0|A). 

Za n ∈ N0 homomorfizam in nazivamo prirodno utapanje grupe Cn(A0) u grupu Cn(A) kao 

Cn(A0|A). 

Dokaz. (0) Ovo sledi iz same definicije preslikavanja in direktnom proverom. 

(1) Neka su fi ∈ Cn(A0), hi := in(fi), za i = 1, 2, f := f1 − f2 i h := in(f). Treba pokazati da je 

h = h1 − h2. 

Ako je x ∈ (A0) n] onda je h(x) = f(x) = f1(x) − f2(x) = h1(x) − h2(x) = (h1 − h2)(x). 

Ako je x ∈ An] \ (A0) n] onda je h(x) = 0 = 0 − 0 = h1(x) − h2(x) = (h1 − h2)(x). 

(2) Neka je h ∈ Cn(A) tako da je h(x) = 0 za svako x ∈ An] \ A0 i neka je f restrikcija od h na 

skup (A0) n] . Tada imamo: 

- ako x ∈ (A0) n] onda in(f)(x) = f(x) = h(x); 

- ako x ∈ An] \ (A0) n] onda in(f)(x) = 0 = h(x). 

Dakle h = in(f). Ovo dokazuje [eventualno] netrivijalnu inkluziju date skupovne jednakosti. 

Odavde zajedno sa (1) sledi i da je Cn(A0|A) je podgrupa od Cn(A) (ˇsto se inače moˇze i direktno 

proveriti). 

(3) Znajući da su im, m ∈ N0 homomorfizmi, na osnovu Teoreme I.4.1 dovoljno je pokazati da vaˇzi 

(∂n+1 ◦ in+1) 〈v; A0〉 = (in ◦ ∂◦ n+1) 〈v; A0〉 za svako v ∈ (A0) n+1) 

. Prema (0) je im 〈u; A0〉 =

I.9. PRIRODNO PODIZANJE ɛA I REDUKOVANA HOMOLOGIJA. GRUPE H0(A) I H0(A)39 

〈u; A〉 za svako m ∈ N0 i svako u ∈ (A0) m) . Zato za v ∈ (A0) n+1) imamo 

(∂n+1 ◦ in+1) 〈v; A0〉 n+1 

 

= ∂n+1 〈v; A〉 = 

= in 

 

n+1 

(−1) i 〈v î ; A0〉 

i=0 

obzirom da je in homomorfizam. 

(4) Sledi iz (2) i (3). 

(5) Za n = 0 ovo je isto ˇsto i (2). Neka je n > 0. 

 

i=0 

 

(−1) i 〈v î n+1 

; A〉 = (−1) i in 

i=0 

◦ 

= in ∂n+1 〈v; A0〉 = (in ◦ ∂ ◦ n+1 ) 〈v; A0〉 , 

〈v î ; A0〉 = 

(⊆) : Za x ∈ Zn(A0) ⊆ Cn(A0) na osnovu (2) imamo y := in(x) ∈ i → n Cn(A0) = Cn(A0|A) ⊆ 

Cn(A) i ∂ ◦ n(x) = 0n−1,A0. No ∂n(y) = (∂n ◦ in)(x) = (in−1 ◦ ∂ ◦ n)(x) = in−1(0n−1,A0) = 0n−1,A (jer 

je in−1 homomorfizam), tj. y ∈ Zn(A). 

(⊇) : Ako je y ∈ Cn(A0|A) ∩ Zn(A) onda je, na osnovu (2), y = in(x) za neko x ∈ Cn(A0). 

Takod¯e je ∂n(y) = 0n−1,A. Otuda 0n−1,A = (∂n ◦ in)(x) = (in−1 ◦ ∂◦ n )(x) = in−1(∂◦ n (x)) pa kako je 

i in−1(0n−1,A0) = 0n−1,A a in−1 injektivno, to mora biti ∂◦ n (x) = 0n−1,A0, tj. x ∈ Zn(A0). Dakle 

y ∈ i→ n Zn(A0). 

Jednakost i→ 0 ker(ɛ◦) = C0(A0|A) ∩ ker(ɛ) se utvrd¯uje na sličan način. 

(6) i→ n Bn(A0) = i→ 

◦ 

n (∂n+1) →Cn+1(A0) = (in ◦ ∂◦ n+1) →Cn+1(A0) = (∂n+1 ◦ in+1) → 

Cn+1(A0) = 

→ in+1Cn+1(A0) = ∂→ n+1Cn+1(A0|A) ⊆ ∂→ n+1Cn+1(A) ∩ Cn(A0|A) = Bn(A) ∩ Cn(A0|A), 

= ∂ → n+1 

jer vaˇzi (4). ✷ 

k 

Komentar uz Stav I.8.1. Iz Stava I.8.1 kao i Teorema I.4.1 i I.4.3 proizilazi 

j=1 

Cn(A0| A) = 

mj〈vj; A〉 | k ∈ N; za svako 1 ≤ j ≤ k je mj ∈ Z i vj ∈ Bij(n, Vj) za neko Vj ∈ (A0) n} 

 

, 

tj. da je Cn(A0| A) podgrupa od Cn(A) generisana elementima oblika 〈v; A〉 gde je v ∈ Bij(n, A) 

za neko A ∈ (A0) n} . Takod¯e, ako je S ⊆ n) n) 

A0 ⊆ A n-selektor za a-kompleks A0 

onda je 

〈v; A〉| v ∈ S baza za Cn(A0| A). ✷ 

Iz Komentara uz Stav I.8.1 direktno sledi da ako su A1 i A2 podkompleksi a-kompleksa A i 

n ∈ N0 proizvoljno onda vaˇzi 

A1 ⊆ A2 ⇒ Cn(A1| A) ⊆ Cn(A2| A). 

I.9 Prirodno podizanje ɛA i redukovana homologija. Grupe 

H0(A) i H0(A) 

Neka je A a-kompleks. Definiˇsemo g : A → Z kao konstantno preslikavanje g(a) = 1 za svako 

a ∈ A. 

Homomorfizam ɛA : C0(A) → Z indukovan preslikavanjem g (videti Teoremu I.4.3) predstavlja 

podizanje C-kompleksa lanaca a-kompleksa A: 

ako je (a, b) ∈ A 1) imamo (ɛA ◦ ∂1)(〈a, b〉) = ɛA(〈b〉 − 〈a〉) = ɛA(〈b〉) − ɛA(〈a〉) = 1 − 1 = 0; obzirom


da je grupa C1(A) generisana skupom {〈v〉 | v ∈ A 1) } sledi da je ɛA ◦ ∂1 : C1(A) → Z trivijalan 

homomorfizam. 

ɛA nazivamo prirodnim podizanjem a-kompleksa A i označavaćemo ga samo sa “ɛ” ukoliko 

znamo na koje se “A” misli. 

ɛ-redukovane grupe homologije Hn(GA), n ∈ N0, C-kompleksa GA lanaca a-kompleksa A nazivamo 

redukovanim grupama homologije a-kompleksa A i označavamo ih sa Hn(A) = Hn(GA). 

Dakle: 

Hn(A) = Hn(A) za n ∈ N i H0(A) = ker(ɛ)/B0(A). 

Kako je ker(ɛ) ⊆ C0(A) podgrupa od C0(A) to je H0(A) = x ⊕ B0(A) | x ∈ ker(ɛ) ⊆ 

x ⊕ B0(A) | x ∈ C0(A) = H0(A) podgrupa od H0(A). 

Neka je A a-kompleks, n ∈ N0, l ∈ N i S1, . . . , Sl ⊆ A takvi da je 

§§ 

Si ∩ Sj = ∅ ⇐ i = j 

za svako i, j = 1, l. 

Dalje neka su dati xi, yi ∈ Cn(A) za i = 1, l tako da: 

ako nije xi = 0n onda je 

pi 

xi = 

j=1 

mi,j〈ui,j〉 

za neke pi ∈ N i mi,j ∈ Z, ui,j ∈ Bij 

n, Ui,j za j = 1, pi gde su Ui,j ∈ An} takvi da 

i ako nije yi = 0n onda je 

Ui,j ⊆ Si 

qi 

yi = 

j=1 

ki,j〈vi,j〉 

za neke qi ∈ N i ki,j ∈ Z, vi,j ∈ Bij 

n, Vi,j za j = 1, qi gde su Vi,j ∈ An} takvi da 

Pod ovim pretpostavkama ako vaˇzi 

onda mora biti 

Vi,j ⊆ Si 

l 

xi = 

i=1 

l 

i=1 

yi 

xi = yi za svako i = 1, l


Da je ovo tačno vidi se iz (I) i (II) koji slede. 

(I) Neka je i0 ∈ {1, . . . , l}, B ∈ An} tako da B ⊆ Si0 i b ∈ Bij(n, B). 

[b] = 0. Ako je xi0 = 0 onda iz B = Ui0,j ⊆ Si0 za svako 

Ako je xi0 = 0 onda je naravno xi0 

j = 1, pi sledi 

za svako j = 1, pi te je ponovo xi0 

Ako je yi0 = 0 onda je naravno yi0 

j = 1, qi sledi 

svako s = 1, qi te je ponovo yi0 

U svakom slučaju je xi0 

[b] = 0. 

[b] = 0. 

[b] = yi0 

〈ui0,j〉 [b] = 0 

[b] = 0. Ako je yi0 = 0 onda iz B = Vi0,j ⊆ Si0 za svako 

[b] . 

〈vi0,s〉 [b] = 0 

(II) Ako je i0 ∈ {1, . . . , l} i B ∈ An} tako da je B ⊆ Si0 i b ∈ Bij(n, B). Tada je B ⊆ Si za svako 

i ∈ {1, . . . , l} \ {i0} pa je na osnovu dela pod (I) 

 

xi [b] = yi [b] = 0 

za svako i ∈ {1, . . . , l} \ {i0}; otuda je 

 

l 

⎛ 

[b] 

xi = xi0 [b] + ⎝ 

i 

Iz 

l 

xi = 

i=1 

i=1 

l 

i=1 

yi 

⎛ 

 

[b] 

= yi0 [b] + ⎝ 

 

i∈{1,...,l}\{i0} 

 

i∈{1,...,l}\{i0} 

l 

 

yi sada sledi xi0 [b] = yi0 [b] . 

i=1 

§ 

xi 

yi 

⎞ 

⎠ [b] = xi0 

⎞ 

⎠ [b] = yi0 

[b] + 0 = xi0 

[b] + 0 = yi0 

Neka je A a-kompleks. Na skupu A definiˇsemo relaciju A, i piˇsemo nadalje “” umesto 

toga kad god znamo o kom se a-kompleksu radi, na sledeći način: 

ako v, w ∈ A onda v w akko v = w ili postoje n ∈ N i a0, . . . , an ∈ A tako da je a0 = 

v, an = w i {ai, ai−1} ∈ A 1} za 1 ≤ i ≤ n. 

Jasno je da je ovim definisana relacija ekvivalencije na skupu A. Sa [v] označimo klasu 

ekvivalencije temena v ∈ A u odnosu na relaciju . Takod¯e je jasno da je v w akko postoje 

n ∈ N0 i A0, . . . , An ∈ A tako da je v ∈ A0, w ∈ An i, ako n > 0, Ai ∩ Ai−1 = ∅ za 1 ≤ i ≤ n. 

Ako je A puna relacija A × A (drugim rečima ako je graf A, A 1} povezan) za akompleks 

A reći ćemo da je povezan. 

Jedno zapaˇzanje: ako su s ∈ A i A ∈ A proizvoljni onda je ili A ⊆ [s] ili A ∩ [s] = ∅; ovo 

sledi iz A ⊆ [a] za svako a ∈ A. 

[b] 

[b]


Teorema I.9.1 Ako je S ⊆ A proizvoljna transverzala relacije “” onda je Abelova grupa 

H0(A) slobodna nad S. Preciznije, ako je X := 〈s〉 ⊕ B0(A) | s ∈ S onda je f : S → X dato sa 

f(s) : df 

= 〈s〉 ⊕ B0(A) bijekcija a X je baza za H0(A). 

Dokaz. Neka su S, X i f kao gore. Označimo sa Y podgrupu od H0(A) = C0(A)/B0(A) 

generisanu skupom X. Označimo sa 0 := B0(A) neutral grupe H0(A). 

Pokaˇzimo da vaˇzi uslov (Baza 1) iz Odeljka I.1, tj. da je H0(A) = Y . Kako je C0(A) generisana 

skupom 〈v〉 | v ∈ A to je H0(A) = C0(A)/B0(A) generisana skupom 〈v〉 ⊕ B0(A) | v ∈ A . 

Zato je dovoljno pokazati da je 〈v〉 ⊕ B0(A) ∈ Y za svako v ∈ A. Neka je v ∈ A proizvoljno 

teme. Kako je S transverzala za to postoji neko s ∈ S tako da je s v. 

Ako je v = s onda je 〈v〉 ⊕ B0(A) = 〈s〉 ⊕ B0(A) ∈ Y . 

Ako je s v zato ˇsto postoje n ∈ N i a0, . . . , an ∈ A tako da je a0 = s, an = v i 

{ai, ai−1} ∈ A1} 

n−1 

n−1 

 

za 1 ≤ i ≤ n, onda je ∂1 〈ai, ai+1〉 = 〈ai+1〉 − 〈ai〉 = 〈an〉 − 〈a0〉 = 

〈v〉 − 〈s〉 ∈ B0(A). Otuda je 〈v〉 ⊕ B0(A) = 〈s〉 ⊕ B0(A) ∈ Y . 

Pokaˇzimo sada da vaˇzi uslov (Baza 2). Zapravo pokaˇzimo formalno joˇs jači uslov: 

ako su k ∈ N i s1, . . . , sk ∈ S, m1, . . . , mk ∈ Z tako da i = j ⇒ si = sj onda 

k 

i=1 

i=0 

i=0 

 

 

mi · 〈si〉 ⊕ B0(A) = 0 ⇒ (mi = 0 za svako 1 ≤ i ≤ k). 

Iz ovoga da će direktno slediti specijalno 

 

i da je f injektivno. 

 

Zaista, ako je 

 

〈s1〉 ⊕ B0(A) = 

〈s2〉 ⊕ B0(A) za neke s1, s2 ∈ S onda je 〈s1〉 ⊕ B0(A) + (−1) · 〈s2〉 ⊕ B0(A) = 0 pa ne moˇze 

biti s1 = s2. 

Neka su k, si i mi kao gore. Ako 

onda je 

Imamo 

0 = 

k 

i=1 

 

 

mi · 〈si〉 ⊕ B0(A) = 

k 

i=1 

k 

mi · 〈si〉 ∈ B0(A) pa postoji neko c ∈ C1(A) tako da je 

i=1 

∂1c = 

k 

mi · 〈si〉 

i=1 

c = 

l(A) · 〈vA, wA〉 

A∈T 

 

mi · 〈si〉 ⊕ B0(A) = B0(A) 

za neki konačan T ⊆ A 1} i neko l : T → Z, gde je (vA, wA) ∈ Bij(1, A) za A ∈ T pa je 

A = {vA, wA} . (Setimo se da je ovim kad je T = ∅ obuhvaćen i slučaj c = 01) 

Za i = 1, k stavimo Si := [si] i S0 := ( A) \ 

k 

Si. 

i=1 

Za i = 0, k stavimo Ti := {A ∈ T : A ⊆ Si} i ci := 

kad god je Ti = ∅). 

A∈Ti 

l(A) · 〈vA, wA〉 (ˇsto znači da je ci = 01


Kako za svako x ∈ A i A ∈ A vaˇzi ili A ⊆ [x] ili A ∩ [x] = ∅ to imamo da je 

Zato je 

c = 

k 

∂1ci = 

i=0 

k 

i=0 

ci 

k 

mi · 〈si〉 (I.1) 

Ako je T0 = ∅ onda je i S0 = ∅ pa moˇzemo izabrati neko s0 ∈ S0 a (I.1) zapisati kao 

k 

∂1ci = 

i=0 

i=1 

k 


i=0 

gde je m0 = 0. 

Ako je T0 = ∅ onda je c0 = 0 pa se (I.1) svodi na 

U svakom slučaju iz (I.1) sledi 

k 

∂1ci = 

i=1 

k 


i=1 

∂1ci = mi · 〈si〉 

za svako i = 1, k (kao i ∂1c0 = 0 no ovaj podatak nam nije potreban za dokaz tvrd¯enja) obzirom 

da vaˇzi 

kao i 

ako nije ∂1ci = 0 onda je Ti = ∅ i 

∂1ci = 

l(A) · 〈wA〉 − 〈vA〉 i {vA} ⊆ A ⊆ Si, {wA} ⊆ A ⊆ Si za svako i = 0, k, 

A∈Ti 

{si} ⊆ Si za i = 1, k 

Da privedemo dokaz kraju preostaje samo da se primeti sledeće: 

0 = ε(∂1ci) = ε mi · 〈si〉 = mi ε 〈si〉 = mi, 

za svako 1 ≤ i ≤ k (na osnovu definicije pojma prirodnog podizanja ε datog a-kompleksa). 

Dakle mi = 0 za sve 1 ≤ i ≤ k. Time je dokaz teoreme zavrˇsen. ✷ 

Dakle ako je a-kompleks A povezan onda je H0(A) ∼ = Z. Ako se A razbija na tačno k ∈ N 

klasa relacije onda je H0(A) ∼ = Z × · · · × Z. 

 

k puta 

Teorema I.9.2 Ako je A proizvoljan a-kompleks i ako je S ⊆ A proizvoljna transverzala relacije 

“A” i a ∈ S proizvoljno, onda je H0(A) slobodna nad skupom S \ {a}. Preciznije: 

- ako je A povezan onda je H0(A) trivijalna; 

- ako A nije povezan onda je S \{a} neprazan, h : S \{a} → 〈s〉−〈a〉 ⊕B0(A) | s ∈ S \{a} =: Y 

definisano sa h(s) = 〈s〉 − 〈a〉 h ∼ = 〈s〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) je bijekcija a Y je baza za H0(A). 

Za proizvoljan a-kompleks A vaˇzi H0(A) ∼ = Z × H0(A).


Dokaz. Označimo sa 0 := B0(A) neutral za H0(A) pa i za podgrupu H0(A) grupe H0(A). 

Pretpostavimo najpre da je A povezan a-kompleks. Tada je S = {a} i 〈a〉 ⊕ B0(A) je baza 

za H0(A). Neka je x ∈ H0(A) proizvoljno. Imamo da je x = c ⊕ B0(A) ∈ 

 

H0(A) ⊆ H0(A), za neko 

c ∈ ker(ɛ), pa je c ⊕ B0(A) = n · 〈a〉 ⊕ B0(A) za neko n ∈ Z, tj. c = n · 〈a〉 + b za neko b ∈ B0(A). 

Otuda je 0 = ɛ(c) = n + ɛ(b) = n, tj. c = b ∈ B0(A) pa je x = B0(A) = 0. Dakle H0(A) = {0} je 

trivijalna. 

Neka sada A nije povezan. Ako je s ∈ S onda je ɛ 〈s〉−〈a〉 = 1−1 = 0 pa je 〈s〉−〈a〉 ∈ ker(ɛ), 

te 〈s〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) ∈ H0(A). Dakle Y ⊆ H0(A) pa je i Y0 ⊆ H0(A), gde je Y0 podgrupa od 

H0(A) generisana sa Y . 

Neka je x ∈ H0(A) proizvoljno. Znamo da je X := 〈s〉 ⊕ B0(A) | s ∈ S baza za H0(A) i da 

je f : S → X dato sa f(s) = 〈s〉 ⊕ B0(A) bijekcija. 

Imamo da je x = c ⊕ B0(A) ∈ H0(A), za neko c ∈ ker(ɛ), pa je 

c ⊕ B0(A) = 

n = − 

Dakle c = 

 

n · 〈a〉 + 

 

n · 〈a〉 + 

k 

mi. Otuda je 

i=1 

k 

i=1 

k 

i=1 

x = c ⊕ B0(A) = 

 

mi · 〈si〉 ⊕ B0(A), za neke k ∈ N, n ∈ Z, mi ∈ Z i si ∈ S \ {a}. 

 

mi · 〈si〉 + b za neko b ∈ B0(A) pa je ɛ(c) = n + 

k 

i=1 

 

〈si〉 mi · − 〈a〉 

⊕ B0(A) ∈ Y0. 

k 

mi + ɛ(b) tj. 

Kako je x ∈ H0(A) bilo proizvoljno ovim smo ustanovili da je H0(A) ⊆ Y0, pa zapravo imamo da 

je H0(A) = Y0. 

k 

 

〈si〉 Ako je mi · − 〈a〉 

⊕ B0(A) = 0, za neke k ∈ N, n ∈ Z, mi ∈ Z i si ∈ S \ {a} 

i=1 

tako da i = j ⇒ si = sj, onda je n · 

n = − 

 

 

〈a〉 ⊕ B0(A) 

+ 

k 

i=1 

mi · 

i=1 

 

 

〈si〉 ⊕ B0(A) 

= 0, za 

k 

mi. f je injekcija pa zbog i = j ⇒ si = sj kao i a = si za 1 ≤ i ≤ k, imamo 

i=1 

i = j ⇒ 〈si〉 ⊕ B0(A) = 〈sj〉 ⊕ B0(A) kao i 〈a〉 ⊕ B0(A) = 〈si〉 ⊕ B0(A) za 1 ≤ i ≤ k. Otuda 

obzirom da je X baza za H0(A) sledi mi = 0 za 1 ≤ i ≤ k. Ovim je pokazano da je Y baza za 

Y0 = H0(A). h je injektivno jer je f injektivno i jer 

〈t1〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) = 〈t2〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) akko 〈t1〉 ⊕ B0(A) = 〈t2〉 ⊕ B0(A) 

za svako t1, t2 ∈ A. 

Jednakost H0(A) ∼ = Z × H0(A) sada direktno sledi: ako je A povezan onda je H0(A) ∼ = Z dok 

je H0(A) trivijalna, a ako A nije povezan onda je H0(A), respektivno H0(A), Abelova grupa koja 

je slobodna nad skupom S, respektivno S \ {a}. ✷

I.10. JO ˇ S NEKI PRIMERI 45 

I.10 Joˇs neki primeri 

Neka su T , K i P a-kompleksi simbolički prikazani na Slici I.10.30. Za svako A ∈ T , K, P 

označimo sa A ′ i A0 a-komplekse prikazane na Slici I.10.31. 

Slika I.10.30. 

Slika I.10.31.


Neka je {σi : i = 1, 20} baza za C2(A), A ∈ T , K, P , koja je prikazana na Slici I.10.30. 

Pokaˇzimo najpre da 

za svako A ∈ T , K, P vaˇzi: ∀x ∈ C1(A) ∃yx ∈ C1(A ′ |A) 

h 

x ∼ yx 

Neka je A ∈ T , K, P fiksirano. Označimo s1 := (g5, g2), s2 := (g5, g3), s3 := (g5, g4), 

s4 := (g1, g4), s5 := (g1, c), s6 := (g1, b), s7 := (g2, g1), s8 := (e, g1), s9 := (d, g1), s10 := (c, g4), 

s11 := (g2, e), s12 := (g3, g2), s13 := (b, g2), s14 := (g3, b), s15 := (g3, c), s16 := (g4, g3), s17 := 

(d, g3), s18 := (e, g3) i s19 := (g4, d). Neka je x ∈ C1(A) proizvoljno. 

Označimo θ1 := σ10, θ2 := σ11, θ3 := σ12, θ4 := σ8, θ5 := σ7, θ6 := σ1, θ7 := σ4, θ8 := σ3, 

θ9 := σ2, θ10 := σ20, θ11 := σ5, θ12 := σ13, θ13 := σ6, θ14 := σ14, θ15 := σ15, θ16 := σ18, θ17 := σ17, 

θ18 := σ16 i θ19 := σ19. 

 

Primetimo da je ∂θi [sj] 

= 0 i ∂θi [si] ∈ {1, −1} za svako 1 ≤ i ≤ 19 i svako 1 ≤ j < i. 

Definiˇsimo xi ∈ C1(A) i mi ∈ Z za 1 ≤ i ≤ 19 sa: m1 := −x [s1] · 

∂θ1 [s1] , x1 := x + m1 

· ∂θ1; 

mk := −xk−1 [sk] · 

∂θk [sk] , xk := xk−1 + mk 

· ∂θk, za 1 < k ≤ 19. Jednostavnom indukcijom 

po 1 ≤ i ≤ 19 se lako proverava da je xi [sj] = 0, za svako 1 ≤ j ≤ i. Specijalno x19 ∈ C1(A ′ |A), 

a prema načinu konstrukcije je x19 h ∼ x. Dakle moˇzemo uzeti yx : df 

= x19. 

Iz (I.2) sledi da ako je z ∈ Z1(A) onda je i yx ∈ Z1(A), preciznije yx ∈ Z1(A) ∩ C1(A ′ |A). No 

lako je videti da Z1(A) ∩ C1(A ′ |A) ⊆ Z1(A) ∩ C1(A0|A). Dakle ustanovili smo da mora biti 

(I.2) 

za svako A ∈ T , K, P vaˇzi: x ∈ Z1(A) =⇒ yx ∈ Z1(A) ∩ C1(A0|A) (I.3) 

Za A ∈ {T , K} definiˇsimo α := 〈a, b〉 + 〈b, c〉 + 〈c, a〉 i β := 〈a, d〉 + 〈d, e〉 + 〈e, a〉. Lako se 

proverava da 

ako je A ∈ {T , K} onda vaˇzi: z ∈ Z1(A) ∩ C1(A0|A) ⇐⇒ ∃n, m ∈ Z (z = n · α + m · β) (I.4) 

Definiˇsimo δ := 〈a, b; P〉 + 〈b, c; P〉 + 〈c, d; P〉 + 〈d, e; P〉 + 〈e, f; P〉 + 〈f, a; P〉. Lako se proverava 

da vaˇzi 

z ∈ Z1(P) ∩ C1(P0|P) ⇐⇒ ∃n ∈ Z (z = n · δ) (I.5) 

Najzad nije teˇsko videti i da 

ako je A ∈ {T , K, P} onda vaˇzi: ∀x ∈ C2(A) 

∂x ∈ C1(A0|A) ⇐⇒ ∃n ∈ Z (x = n · θ) (I.6) 

Na osnovu (I.2) i (I.3) zaključujemo H1(A) = [x] h ∼ : x ∈ Z1(A) = [yx] h ∼ : x ∈ Z1(A) ⊆ 

[z] h ∼ : z ∈ Z1(A) ∩ C1(A0|A) tj. zaključujemo da vaˇzi 

ako je A ∈ {T , K, P} onda vaˇzi: H1(A) = [z] h ∼ : z ∈ Z1(A) ∩ C1(A0|A) 

Konačno, direktnim računom se dobija 

(I.7) 

∂2,T θ = 01,T ; ∂2,K θ = 2β; ∂2,P θ = −2δ. (I.8) 

Prelazimo na izračunavanje grupa H1(A) za A ∈ {T , K, P}. 

1) H1(T ): na osnovu (I.7) i (I.4) dobijamo da je 

H1(T ) = [n · α + m · β] h ∼ : n, m ∈ Z = n · [α] h ∼ + m · [β] h ∼ : n, m ∈ Z .

I.11. HOMOLOGIJA KONUSA 47 

dvočlan algebarski nezavisan skup, iz čega će slediti da je H1(T ) ∼ = 

Pokaˇzimo da je [α] h , [β] h 

∼ ∼ 

Z × Z. Neka su n, m ∈ Z takvi da je n · [α] h + m · [β] h = [0] h . Ovo znači da je nα + mβ = ∂x 

∼ ∼ ∼ 

za neko x ∈ C2(T ). Sada zbog ∂x = nα + mβ ∈ C1(T0|T ), iz (I.6) sledi da je ∂x = n∂θ, za neko 

n ∈ Z, pa je (koristeći se sa (I.8)) nα + mβ = ∂x = 0. A odavde se direktnom proverom dobija da 

mora biti n = m = 0. 

2) H1(K): na osnovu (I.7) i (I.4) dobijamo da je H1(T ) = n · [α] h ∼ + m · [β] h ∼ : n, m ∈ Z . Neka 

su n, m ∈ Z proizvoljni. Koristeći (I.6) i (I.8) imamo 

n · [α] h ∼ + m · [β] h ∼ = [0] h ∼ ⇐⇒ ∃x ∈ C2(T ) nα + mβ = ∂x ⇐⇒ ∃k ∈ Z nα + mβ = k · ∂θ 

⇐⇒ ∃k ∈ Z nα + mβ = 2k · β ⇐⇒ n = 0 ∧ m ∈ 2Z . 

Posmatrajmo f : Z × {0, 1} → H1(K) definisano sa f(n, i) : df 

= n · [α] h ∼ + i · [β] h ∼ . Označimo 

sa G := Z × Z2 proizvod dotičnih dveju grupa i sa “⊕G” sabiranje u grupi G. Za proizvoljne 

(n1, i2), (n2, i2) ∈ Z × {0, 1} postoji neko l ∈ {0, −1} tako da je 

f (n1, i2) ⊕G (n2, i2) = f(n1 + n2, i1 +2 i2) = (n1 + n2) · [α] h ∼ + (i1 +2 i2) · [β] h ∼ = 

= (n1 +n2)·[α] h ∼ +(i1 +i2)·[β] h ∼ 

+2l·[β] h ∼ = (n1 +n2)·[α] h ∼ +(i1 +i2)·[β] h ∼ = f(n1, i2)+f(n2, i2) . 

Dakle f : G → H1(K) je homomorfizam grupa. Jasno je da je f preslikavanje na. Takod¯e ako je 

(n, i) ∈ Z × {0, 1} tako da je f(n, i) = [0] h ∼ onda (kako smo to već pokazali) mora biti n = 0 i 

i ∈ 2Z ∩ {1, 0} = {0}. Zato je ker(f) = {(0, 0)} pa je f i monomorfizam. Ovim smo pokazali da je 

f : G → H1(K) izomorfizam datih grupa pa je H1(K) ∼ = Z × Z2. 

3) H1(P): na osnovu (I.7) i (I.5) dobijamo da je H1(P) = n · [δ] h ∼ : n ∈ Z . Ispitajmo kog je 

reda element [δ] h ∼ grupe H1(P). Neka je n ∈ Z takvo da n · [δ] h ∼ = [0] h ∼ . Imamo n · δ = ∂x za neko 

x ∈ C2(P). Iz (I.6) sledi da je ∂x = n∂θ, za neko n ∈ Z, pa je (koristeći se sa (I.8)) n · δ = −2n · δ; 

odavde imamo 3n · δ = 0, te i n = 0. Dakle [δ] h ∼ je beskonačnog reda pa je H1(P) ∼ = Z. 

Prelazimo na izračunavanje grupa H2(A) za A ∈ {T , K, P}; kako je (A) 3} = ∅ to je B2(A) = 

{02,A} pa je H2(A) ∼ = Z2(A); na osnovu (I.6) imamo da je Z2(A) ⊆ {n · θ : n ∈ Z}. 

Ako je n ∈ Z takvo da je 01,A = ∂2,A(n · θ) = n∂2,A(θ), onda pretpostavka n = 0 povlači da 

je element ∂2,A(θ) grupe C1(A) konačnog reda pa mora biti ∂2,A(θ) = 01,A; no ako je A ∈ K, P 

onda na osnovu (I.8) imamo ∂2,A(θ) = 01,A pa zaključujemo da je n = 0; dakle Z2(A) = {0 ¯ 2,A }. 

Ovim smo pokazali da je H2(A) trivijalna grupa za A ∈ K, P . 

Iz ∂2,T θ = 01,T sledi da je Z2(A) = {n · θ : n ∈ Z} pa je H2(T ) ∼ = Z. ✷ 

I.11 Homologija konusa 

Definicija I.11.1 Ako su A i v proizvoljni onda za Cone(v, A) : df 

= A ∪ {v} ∪ A| A ∈ A ∪ {∅} 

kaˇzemo da je konus nad A sa vrhom v. ✷ 

Jasno je da ako je A a-kompleks onda je i Cone(v, A) a-kompleks. 

Teorema I.11.1 Ako je A a-kompleks i w /∈ A onda je B := Cone(w, A) a-kompleks i pritom 

je grupa Hn(B) trivijalna za svako n ∈ N0. 

Dokaz. Da je H0(B) trivijalna grupa sledi iz Teoreme I.9.1 i činjenice da je B 1} povezan graf. 

(I) - priprema


sa 

Neka su, za n ∈ N, ∂n i ∂ ′ n n-ti rubni operator a-kompleksa A i B, tim redom. 

Za n ∈ N0 definiˇsimo 

gn : A n) → Cn+1(B) 

gn(v0, . . . , vn) : df 

= 〈(w, v0, . . . , vn); B〉 

Jasno je da gn poˇstuje permutacije. Neka je fn : Cn(A) → Cn+1(B) indukovani homomorfizam. 

Dalje, za n ∈ N0, neka je hn : Cn(A) → Cn(B) prirodno utapanje Cn(A) u Cn(B) kao Cn(A| B) (A 

je podkompleks od B). 

Fiksirajmo n > 0. 

Za v = (v0, . . . , vn) ∈ A n) imamo 

(∂ ′ n+1 ◦ fn)(〈v; A〉) = ∂ ′ n+1(fn(〈v; A〉)) = ∂ ′ n+1〈(w, v0, . . . , vn); B〉 = 

n+1 

= 〈(v0, . . . , vn); B〉 + 

= 〈v; B〉 − fn−1 

n 

i=0 

i=1 

(−1) i 〈v î ; A〉 

Dakle ∂ ′ n+1 ◦ fn = hn − fn−1 ◦ ∂n . . . (∗). 

(−1) i fn−1(〈v î−1 ; A〉) = 〈v; B〉 − 

 

n 

i=0 

(−1) i fn−1(〈v î ; A〉) = 

= hn(〈v; A〉) − fn−1(∂n〈v; A〉) = (hn − fn−1 ◦ ∂n)(〈v; A〉). 

Ako je x ∈ A onda je (∂ ′ 1 ◦ f0)(〈x; A〉) = ∂ ′ 1 (〈(w, x); B〉) = 〈x; B〉 − 〈w; B〉. Zato ako je ɛ 

prirodno podizanje od A i c := 

mt 〈t; A〉 ∈ C0(A), gde je T ⊆ A konačan i mt ∈ Z za t ∈ T , 

t∈T 

onda imamo 

 

 

◦ f0) mt 〈t; A〉 = 

mt (〈t; B〉 − 〈w; B〉) = 

 

 

mt h0(〈t; A〉) − 

(∂ ′ 1 

t∈T 

t∈T 

t∈T 

 

 

 

= h0 mt 〈t; A〉 − ɛ(c)〈w; B〉, 

t∈T 

tj. (∂ ′ 1 ◦ f0)(c) = h0(c) − ɛ(c)〈w; B〉 . . . (∗∗). 

Neka je z ∈ Zn(B). 

(II) - prelazimo na dokaz 

fn(x) = 

ls〈w; x s 0, . . . , x s n| B〉 

s∈S 

z = fn−1(y) + hn(x): 

z = 

kt〈w; y t 0, . . . , y t n−1| B〉 + 

ls〈x s 0, . . . , x s n| B〉 

t∈T 

s∈S 

y = 

kt〈y t 0, . . . , y t n−1| A〉 x = 

ls〈x s 0, . . . , x s n| A〉 

t∈T 

s∈S 

t∈T 

mt 

 

〈w; B〉 =



Tada je z = hn(x)+fn−1(y) za neko x ∈ Cn(A) i neko y ∈ Cn−1(A). Imamo z−(∂ ′ n+1 ◦ fn)(x) = 

hn(x) + fn−1(y) − hn(x) + (fn−1 ◦ ∂n)(x) = fn−1(y + ∂n(x)), tj. 

z − (∂ ′ n+1 ◦ fn)(x) = fn−1(c) . . . (∗ ∗ ∗) 

za c := y +∂n(x) ∈ Cn−1(A). Takod¯e ∂ ′ 

′ 

n z −(∂ n+1 ◦ fn)(x) = ∂ ′ n(z)−(∂ ′ n ◦∂ ′ n+1 )(fn(x)) = 0n−1,B 

(jer je z n-cikl a-kompleksa B) pa je zato 

0n−1,B = ∂ ′ n (fn−1(c)) = 

h0(c) − ɛ(c) 〈w; B〉 ako n = 1, zbog (∗∗); 

hn−1(c) − fn−2(∂n−1(c)) ako n > 1, zbog (∗) 

tj. h0(c) = ɛ(c) 〈w; B〉 za n = 1, odnosno hn−1(c) = fn−2(∂n−1(c)) za n > 1. 

Ako je n > 1 onda iz 

- hn−1(c) ∈ Cn−1(A| B) (videti Stav I.8.1 pod (2)), 

- fn−2(∂n−1(c)) ∈ (fn−2) → Cn−2(A) 

i činjenice da je Cn−1(A| B) ∩ (fn−2) → Cn−2(A) = {0n−1,B} 

sledi da je hn−1(c) = 0n−1,B, pa kako je hn−1 monomorfizam to je c = 0n−1,A. Odatle je 

fn−1(c) = 0n−1,B odnosno z = ∂ ′ n+1 (fn(x)) ∈ Bn(B) na osnovu (∗ ∗ ∗). Ovim je pokazano da 

je Zn(B) = Bn(B) tj. Hn(B) = Hn(B) je trivijalna. 

Ako je n = 1 onda iz 

- h0(c)([w]) = 0 jer je h0(c) ∈ C0(A|B) i [w] ∈ B 0] \ A 0] i


- ɛ(c) 〈w; B〉 ([w]) = ɛ(c) 

sledi ɛ(c) = 0 pa i h0(c) = 00,B. Sada kao i malopre zaključujemo c = 00,A pa je z = ∂ ′ 2 (f1(x)) ∈ 

B1(B). Dakle i H1(B) = H1(B) je trivijalna grupa. ✷ 

Primetimo da je ako je A proizvoljan skup sa bar dva elementa i a ∈ A onda je ⌈A⌉ = 

Cone a, ⌈A \ {a}⌉ . Otuda je Hm(⌈A⌉) trivijalna grupa za svako m ∈ N0. 

Teorema I.11.2 Neka je n ∈ N i A proizvoljan skup sa n + 1 elemenata (tj. dim(A) = n). Tada 

je za k ∈ N0 \ {n − 1} grupa Hk(Bd(A)) je trivijalna dok je Hn−1(Bd(A)) beskonačna ciklična. 

Ako je v ∈ Bij(n, A) proizvoljno imamo: 

∂n(〈v; ⌈A⌉〉) ∈ Zn−1(Bd(A)) za n ≥ 2, odnosno 

∂1〈v; ⌈A⌉〉 ∈ ker(ε Bd(A)) za n = 1, 

i vaˇzi da je Hn−1(Bd(A)) generisana elementom {∂n〈v; ⌈A⌉〉} = ∂n〈v; ⌈A⌉〉 ⊕ Bn−1(Bd(A)) ∈ 

Hn−1(Bd(A)). 

Dokaz. Neka je najpre n ≥ 2. 

Za svako 0 ≤ k ≤ n − 1 vaˇzi Bd(A) k} = ⌈A⌉ k} (Slika I.11.33). Otuda se za svako 0 ≤ k ≤ n − 1 

grupa Ck(Bd(A)) poklapa sa grupom Ck(⌈A⌉), za svako 1 ≤ k ≤ n − 1 rubni operator ∂ k,Bd(A) se 

poklapa sa rubnim operatorom ∂ k,⌈A⌉ a takod¯e je i ɛ Bd(A) = ɛ ⌈A⌉. Zato 

- za 1 ≤ k ≤ n − 1 grupa Zk(Bd(A)) se poklapa sa Zk(⌈A⌉) a takod¯e je i ker 

ɛBd(A) = ker ɛ⌈A⌉ ; 

- za 0 ≤ k ≤ n − 2 grupa Bk(Bd(A)) = ran 

∂k+1,Bd(A) se poklapa sa grupom Bk(⌈A⌉) = 

ran 

∂k+1,⌈A⌉ . 

Prema tome ako je 1 ≤ k ≤ n − 2 onda se grupa Hk(Bd(A)) = Zk(Bd(A))/Bk(Bd(A)) poklapa 

sa grupom Hk(⌈A⌉) = Zk(⌈A⌉)/Bk(⌈A⌉) koja je trivijalna grupa. Takod¯e, grupa H0(Bd(A)) = 

ker 

ɛBd(A) /B0(Bd(A)) poklapa se sa grupom H0(⌈A⌉) = ker 

ɛ⌈A⌉ /B0(⌈A⌉) pa je i ona trivijalna. 

Za svako k ≥ n je Bd(A) k} = ∅ pa je Hk(Bd(A)) trivijalna. Ispitajmo strukturu jedine preostale 

grupe homologije a-kompleksa Bd(A) - grupe Hn−1(Bd(A)). 

Kako je Cn(Bd(A)) trivijalna to je trivijalna i Bn−1(Bd(A)) pa je (vodimo računa da je n−1 ≥ 1) 

Hn−1(Bd(A)) = Hn−1(Bd(A)) = Zn−1(Bd(A))/{0 n−1,Bd(A)}. 

Imamo Zn−1(Bd(A)) = Zn−1(⌈A⌉) = Bn−1(⌈A⌉), jer je Hn−1(⌈A⌉) trivijalna. No ⌈A⌉ n} = 

{A} pa ako je v ∈ Bij(n, A) proizvoljno onda je {v} n-selektor za ⌈A⌉, te je shodno tome 〈v; ⌈A⌉〉 

baza za Cn(⌈A⌉). Otuda jeCn(⌈A⌉) je (beskonačna) ciklična generisana elementom 〈v; ⌈A⌉〉. Zato 

je Bn−1(⌈A⌉) ciklična, ∂n 

 

v; ⌈A⌉ ∈ Bn−1(⌈A⌉) = Zn−1(Bd(A)) i Bn−1(⌈A⌉) je generisana sa 

∂n 〈v; ⌈A⌉〉 . Kako je Bn−1(⌈A⌉) podgrupa od Cn−1(⌈A⌉) a ova potonja nema nenula elemente 

konačnog reda (po samoj definiciji grupalanaca) to ni Bn−1(⌈A⌉) nema nenula elemente konačnog 

reda. Sada, obzirom da je ∂n 〈v; ⌈A⌉〉 

 

= 0n−1,⌈A⌉, 

 

imamo da je Bn−1(⌈A⌉) = Zn−1(Bd(A)) 

beskonačna ciklična generisana sa ∂n 〈v; ⌈A⌉〉 ∈ Zn−1(Bd(A)). 

Dakle Zn−1(Bd(A))/{0n−1,Bd(A)} je beskonačna ciklična grupa generisana sa {∂n〈v; ⌈A⌉〉} = 

∂n〈v; ⌈A⌉〉 + {0n−1,Bd(A)} = ∂n〈v; ⌈A⌉〉 ⊕ Bn−1(Bd(A)).


Slučaj n = 1 se razmatra potpuno analogno, pri čemu je sada n−1 = 0 pa je ovde Hn−1(Bd(A)) = 

ker(ɛ Bd(A))/Bn−1(Bd(A)) gde je i ovde zbog Bd(A) 1} = ∅ grupa Bn−1(Bd(A)) trivijalna . ✷ 

Slika I.11.33.


I.12 Simplicijalna preslikavanja i indukovani homomorfizmi: 

fn,♯ i fn,∗ 

Definicija I.12.1 Neka su dati a-kompleksi A1 i A2. 

Za preslikavanje f : A1 → A2 kaˇzemo da je (A1, A2)-simplicijalno ako je A ∈ A1 ⇒ 

f → A ∈ A2 za svako A ∈ A1. 

Za bijektivno preslikavanje f : A1 → A2 kaˇzemo da je izomorfizam a-komplekasa A1 i 

A2 ako za svako A ⊆ A1 vaˇzi 

A ∈ A1 ⇐⇒ f → A ∈ A2 

drugim rečima ako f jeste (A1, A2)-simplicijalno a f −1 jeste (A2, A1)-simplicijalno preslikavanje. 

✷ 

Neka je f : A1 → A2 je (A1, A2)-simplicijalno preslikavanje. Ako je a ∈ A1 definiˇsimo 

f ′ 0 (a) = 〈f(a); A2〉. Ovako definisano preslikavanje f ′ 0 : A1 → C0(A2) na osnovu Teoreme 

 

I.4.3 indukuje homomorfizam f0,♯ : C0(A1) → C0(A2) takav da vaˇzi f0,♯ 〈a; A1〉 = 〈f(a); A2〉 

za a ∈ A1. Za f0,♯ kaˇzemo da je homomorfizam nultih grupa lanaca indukovan (A1, A2)simplicijalnim 

preslikavanjem f. 

Neka je sada n ∈ N. Neka je A ∈ (A1) n} i v = (v0, . . . , vn) ∈ Bij(n, A). Ako je dim(f → A) < 

dim(A) definiˇsimo f ′ n(v) = 0n,A2. Ako je dim(f → A) = dim(A) onda je (f(v0), . . . , f(vn)) ∈ 

Bij(n, f → A), te zbog f → A ∈ A2 imamo i (f(v0), . . . , f(vn)) ∈ (A2) n) . U ovom slučaju definiˇsimo 

f ′ n(v) = 

′ (f(v0), . . . , f(vn)); A2 . Pokaˇzimo da preslikavanje f n : (A1) n) → C0(A2) poˇstuje 

permutacije. Neka je 0 ≤ i < j ≤ n, A ∈ (A1) n} i v = (v0, . . . , vn) ∈ Bij(n, A). Ako 

dim(f → A) < dim(A) onda je f ′ n (v) = 0n,A2 = −f ′ n (v ◦ transp n (i, j)). Ako dim(f → A) = dim(A) 

onda je 

f ′ 

n v ◦ TRANSn i, j = 

= 

(f(v0), . . . , f(vi−1), f(vj), f(vi+1), . . . , f(vj−1), f(vi), f(vj+1), . . . , f(vn)); A2 = 

= − ′ 

(f(v0), . . . , f(vn)); A2 = −f n(v). 

Zato preslikavanje f ′ n : (A1) n) → C0(A2) na osnovu Teoreme I.4.2 indukuje homomorfizam 

fn,♯ : Cn(A1) → Cn(A2). Dakle ako je A ∈ (A1) n} i v = (v0, . . . , vn) ∈ Bij(n, A) onda 

- ako dim(f →A) < dim(A) (drugim rečima ako za neke 0 ≤ i < j ≤ n vaˇzi f(vi) = f(vj), tj. ako 

f ◦ v nije injektivno) onda fn,♯ 〈v; A1〉 = 0n,A2; 

- ako dim(f →A) = dim(A) (drugim rečima ako 0 ≤ i < j ≤ n ⇒ f(vi) = f(vj), tj. ako f ◦ v jeste 

injektivno) onda fn,♯ 〈v; A1〉 = 

(f(v0), . . . , f(vn)); A2 . 

Za fn,♯ kaˇzemo da je homomorfizam n-tih grupa lanaca indukovan (A1, A2)-simplicijalnim preslikavanjem 

f. 

Pokaˇzimo da je (fn,♯| n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa lanaca a-kompleksa A1 ka Ckompleksu 

lanaca a-kompleksa A2. Neka je n ∈ N i v = (v0, . . . , vn) ∈ (A1) n) . 

Ako f◦v = (f(v0), . . . , f(vn)) nije injektivno onda imamo (∂n,A2◦fn,♯) 〈v; A1〉 = ∂n,A2(0n,A2) = 

0n−1,A2. Na dalje razlikujemo dva slučaja. 

Slučaj 1. Postoje neki 0 ≤ i1 < i2 < i3 ≤ n tako da je f(vi1) = f(vi2) = f(vi3). Tada, kakvo 

god da je 0 ≤ j ≤ n, n − 1-torka f ◦ (vˆj 

ˆj ) nije injektivna pa je fn−1♯ 〈v ; A1〉 = 0n−1,A2. Zato 

je i (fn−1,♯ ◦ ∂n,A1) 〈v; A1〉 n 

ˆj 

= 

〈v ; A1〉 = 0n−1,A2. 

j=0 

(−1) j fn−1,♯

I.12. SIMPLICIJALNA PRESLIKAVANJA I INDUKOVANI HOMOMORFIZMI: FN,♯ I FN,∗ 53 

Slučaj 2. Postoje 0 ≤ i < j ≤ n tako da je f(vi) = f(vj) = f(vk) za svako 0 ≤ k ≤ n, 

k /∈ {i, j}. Tada za svako 0 ≤ k ≤ n takvo da je k /∈ {i, j}, n − 1-torka f ◦ (vˆk ) nije injektivna pa 

 

ˆk je fn−1,♯ 〈v ; A1〉 = 0n−1,A2. Zato je (fn−1,♯ ◦ ∂n,A1) 〈v; A1〉 n 

ˆk 

= 

〈v ; A1〉 = 

(−1) k fn−1,♯ 

k=0 

(−1) i î 

fn−1,♯ 〈v ; A1〉 + (−1) j ˆj 

fn−1,♯ 〈v ; A1〉 . Ako je n = 1 onda mora biti i = 0 i j = 1 te je 

(f0,♯ ◦ ∂1,A1) 〈v; A1〉 

= f0,♯ 〈v1; A1〉 

− f0,♯ 〈v0; A1〉 = 〈f(v1); A1〉 − 〈f(v0); A1〉 = 00,A2 jer je 

¯ 

f(v0) = f(v1). Neka je sada n ≥ 2. 

Zbog učinjene pretpostavke, ako f ◦ (v î ) nije injektivna onda ni f ◦ (v ˆj ) nije injektivna, te 

 

î je tada fn−1,♯ 〈v ; A1〉 

ˆj = fn−1,♯ 〈v ; A1〉 = 0n−1,A2 ¯ , pa imamo (fn−1,♯ ◦ ∂n,A1) 〈v; A1〉 = 

0n−1,A2. Zbog iste pretpostavke, ako f ◦ (v î ) jeste injektivna onda je i f ◦ (v ˆj ) injektivna, te je 

 

î 

fn−1,♯ 〈v ; A1〉 = (f(v0), . . . , f(vn)) î 

ˆj ; A2 kao i fn−1,♯ 〈v ; A1〉 = (f(v0), . . . , f(vn)) ˆj 

; A2 , 

pa je zato opet 

(fn−1,♯ ◦ ∂n,A1) 〈v; A1〉 = (−1) i î 

fn−1,♯ 〈v ; A1〉 + (−1) j ˆj 

fn−1,♯ 〈v ; A1〉 = 

= (−1) i (f(v0), . . . , f(vn)) î j 

; A2 + (−1) (f(v0), . . . , f(vn)) ˆj 

; A2 = 

= (−1) i (f(v0), . . . , f(vn)) î j (j−1)−i 

; A2 + (−1) (−1) (f(v0), . . . , f(vn)) î 

; A2 = 0n−1,A2 

jer je f(vi) = f(vj) po pretpostavci. 

i 

Neka je sada (f(v0), . . . , f(vn)) injektivna n-torka. Tada 

(∂n,A2 ◦ fn,♯) 〈v; A1〉 = ∂n,A2 

(fn−1,♯ ◦ ∂n,A1) 〈v; A1〉 = 

〈(f(v0), . . . , f(vn)); A2〉 = 

n 

j=0 

(−1) j fn−1,♯ 

〈v ˆj ; A1〉 = 

n 

j=0 

n 

j=0 

(−1) j 〈(f(v0), . . . , f(vn)) ˆj ; A2〉 

(−1) j 〈(f(v0), . . . , f(vn)) ˆj ; A2〉, 

jer je (f(v0), . . . , f(vn)) ˆj injektivno za svako 0 ≤ j ≤ n ako n ≥ 2, odnosno na osnovu definicije 

preslikavanja f0 ako je n = 1. 

Pokaˇzimo joˇs i da morfizam (fn,♯| n ∈ N0) poˇstuje (prirodna) podizanja ɛA1 

i ɛA2. Neka je a ∈ 

A1. Imamo (ɛA2 ◦ f0,♯) 〈a; A1〉 

= ɛA2 〈f(a); A2〉 

= 1 = ɛA1 〈a; A1〉 . Dakle ɛA2 ◦ f0,♯ = ɛA1, 

 

obzirom da je grupa C0(A1) generisana skupom 〈a; A1〉| a ∈ 

A1 , kao i da su ɛA2, f0,♯ i ɛA1 

homomorfizmi. 

Za f♯ : df 

= (fn,♯| n ∈ N0) kaˇzemo da je morfizam C-komplekasa lanaca od A1 prema A2 indukovan 

(A1, A2)-simplicijalnim preslikavanjem f. 

Definicija I.12.2 Za n ∈ N0 homomorfizam (fn,♯)⋆ n-tih grupa homologija C-komplekasa lanaca 

a-komplekasa A1 i A2 indukovan morfizmom f♯ = (fn,♯| n ∈ N0) izmed¯u dotičnih C-komplekasa 

(videti Odeljak I.7) označavamo sa 

fn,∗ : Hn(A1) → Hn(A2)


i nazivamo homomorfizam n-tih grupa homologija indukovan (A1, A2)-simplicijalnim preslikavanjem 

f. Takod¯e posmatramo i homomorfizme fn,∗,ɛA 1 = (fn,♯)⋆,ɛA 1 redukovanih grupa homologija 

indukovane sa f. 

Stav I.12.1 Ako su A1, A2 i A3 a-kompleksi, f : A1 → A2 (A1, A2)-simplicijalno preslikavanje 

i g : A2 → A3 (A2, A3)-simplicijalno preslikavanje onda je i h := g ◦ f : A1 → A3 

(A1, A3)-simplicijalno preslikavanje i pri tom vaˇzi 


hn,♯ = gn,♯ ◦ fn,♯, hn,∗ = gn,∗ ◦ fn,∗ i hn,∗,ɛA 1 = gn,∗,ɛA 1 ◦ fn,∗,ɛA 1 

Takod¯e, id A1 je (A1, A1)-simplicijalno preslikavanje i vaˇzi 

id A1 

 

n,♯ = id Cn(A1), id A1 

 

n,∗ = id Hn(A1) i id A1 

Dokaz. Neka je n ∈ N0 i v = (v0, . . . , vn) ∈ (A1) n) . 

 

n,∗,ɛA 1 

= id Hn(A1) . 

Ako za neke 0 ≤ i < j ≤ n vaˇzi f(vi) = f(vj) onda je i h(vi) = h(vj) pa je po definiciji 

fn,♯ 〈v; A1〉 

= hn,♯ 〈v; A1〉 = 0n,A2. No tada je i (gn,♯ ◦ fn,♯) 〈v; A1〉 = 0n,A3 (jer je gn,♯ 

homomorfizam). 

 

Ako ne postoje 0 ≤ i < j ≤ n takvi da je f(vi) = f(vj) onda je fn,♯ 〈v; A1〉 = 

(f(v0), . . . , f(vn)); 

A2 

. Ako za neke 0 ≤ i < j ≤ n vaˇzi g(f(vi)) = g(f(vj)), tj. h(vi) = h(vj) onda je po definiciji 

 

gn,♯ fn,♯ 〈v; A1〉 

 

= 0n,A3 i hn,♯ 〈v; A1〉 = 0n,A3. Ako ne postoje 0 ≤ i < j ≤ n takvi da je 

h(vi) = g(f(vi)) = g(f(vj)) = h(vj) onda je ponovo po definiciji 

 

hn,♯ 〈v; A1〉 = 

(h(v0), . . . , h(vn)); A3 = g(f((v0)), . . . , g(f((vn)) 

; A3 = gn,♯ 

 

fn,♯ 

 

〈v; A1〉 

. 

Kako je grupa Cn(A1) generisana elementarnim lancima 〈v; A1〉, za v ∈ (A1) n) , to je jednakost 

hn,♯ = gn,♯ ◦ fn,♯ dokazana. 

Iz hn,♯ = gn,♯ ◦ fn,♯ za svako n ∈ N0 na osnovu Stava I.7.1 direktno sledi hn,∗ = gn,∗ ◦ fn,∗ 

i hn,∗,ɛA 1 = gn,∗,ɛA 1 ◦ fn,∗,ɛA 1 za svako n ∈ N0 (jer je pn,∗ = (pn,♯)⋆ i pn,∗,ɛA 1 = (pn,♯)⋆,ɛA 1 za 

p ∈ {f, g, h} prema Definiciji I.12.2). 

Za proveru drugog dela tvrd¯enja stava dovoljno je znati kako se definiˇsu homomorfizmi Ckomplekasa 

lanaca indukovani simplicijalnim preslikavanjima, Definiciju I.12.2 i iskoristiti Stav 

I.7.1. ✷ 

Komentar uz Stav I.12.1. Ako je f : A1 → A2 izomorfizam a-komplekasa A1 i A2 

onda iz Stava I.12.1 sledi da su fn,∗ : Hn(A1) → Hn(A2) i fn,∗,ɛA 1 : Hn(A1) → Hn(A2) izomorfizmi 

grupa za svako n ∈ N0. ✷ 

I.13 Nosači i morfizmi C-komplekasa lanaca 

I.13.1 C-homotopija izmed¯u morfizama C-komplekasa 

Definicija I.13.1 Neka su f = (fn : n ∈ N0) i g = (gn : n ∈ N0) C-morfizmi iz C-kompleksa 

G = 

′ ′ (Gn, dn+1) : n ∈ N0 ka C-kompleksu G = (G n, d ′ 

n+1) : n ∈ N0 . Pod C-homotopijom

I.13. NOSAČI I MORFIZMI C-KOMPLEKASA LANACA 55 

od f ka g podrazumevamo svaki niz (Dn : n ∈ N0) homomorfizama Dn : Gn → G ′ n+1 tako da za 

svako n ∈ N0 i svako x ∈ Gn vaˇzi 

i 

g. 

gn(x) − fn(x) = d ′ n+1 (Dn(x)) + Dn−1(dn(x)), ako n > 0 

g0(x) − f0(x) = d ′ 1 (D0(x)). 

Ako postoji neka C-homotopija od f ka g kaˇzemo da je C-morfizam f C-homotopan C-morfizmu 

Ako je (Dn : n ∈ N0) C-homotopija od f ka g onda je (−Dn : n ∈ N0) C-homotopija od g ka 

f. Ako je joˇs (Tn : n ∈ N0) C-homotopija od g ka h onda je (Dn +Tn : n ∈ N0) C-homotopija od f 

ka h. Ovo znači da je relacija “biti C-homotopan” relacija ekvivalencije na skupu svih C-morfizama 

iz G ka G ′ . 

Stav I.13.1 Neka su f = (fn : n ∈ N0) i g = (gn : n ∈ N0) C-morfizmi iz G ka G ′ takvi da 

postoji neka C-homotopija (Dn : n ∈ N0) od f ka g. 

(1) Za svako n ∈ N0 vaˇzi (fn)⋆ = (gn)⋆. 

(2) Ako su e i e ′ podizanja za G i G ′ , tim redom, i ako f poˇstuje e i e ′ , onda i g poˇstuje e i e ′ . 

Takod¯e vaˇzi (f0)⋆,e = (g0)⋆,e. 

Dokaz. (1) Neka je n ∈ N0 i x ∈ Zn(G). Ako je n > 0 onda imamo 

 

(gn)⋆ x ⊕ Bn(G) = gn(x) ⊕ Bn(G ′ ) = 

= 

 

fn(x) + d ′ n+1 (Dn(x)) + Dn−1(dn(x)) 

 

⊕ Bn(G ′ ) = 

 

fn(x) + d ′ n+1 (Dn(x)) 

 

⊕ Bn(G ′ ) = fn(x) ⊕ Bn(G ′ ) + d ′ n+1 (Dn(x)) ⊕ Bn(G ′ ) = 

= fn(x) ⊕ Bn(G ′ 

) = (fn)⋆ x ⊕ Bn(G) 

jer d ′ n+1 (Dn(x)) ∈ Bn(G ′ ). Za n = 0 jednakost se utvrd¯uje na praktično potpuno isti način. 

(2) Neka vaˇzi e = e ′ ◦ f0. Ako je x ∈ G0 imamo e ′ (g0(x)) = e ′ 

 

 

D0(x) 

= 

e ′ (f0(x)) + (e ′ ◦ d ′ 1 ) D0(x) = (e ′ ◦ f0)(x) = e(x). Dakle e = e ′ ◦ g0. 

f0(x) + d ′ 1 

Kako su (f0)⋆,e i (g0)⋆,e restrikcije na skup ker(e)/B0(G) preslikavanja (f0)⋆ i (g0)⋆, respektivno, 

to iz (1) sledi (f0)⋆,e = (g0)⋆,e. ✷ 

Komentar uz Stav I.13.1. Dakle C-homotopni morfizmi C-komplekasa indukuju iste 

homomorfizme homologija kao i iste homomorfizme (e, e ′ )-redukovanih homologija, kad god 

oba (ekvivalentno: bar jedan) poˇstuju podizanja e i e ′ . Kao posledicu ovog i Stava I.7.1 imamo 

činjenicu da ako je f = (fn : n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G = 

(Gn, dn+1) : n ∈ N0 

ka C-kompleksu G ′ = (G ′ n , d′ 

n+1 ) : n ∈ N0 , a (gn| n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G ′ ka 

C-kompleksu G tako da su f i g 

med¯usobno C-homotopno inverzni morfizmi C-komplekasa, 

pod čim podrazumevamo to da je (gn ◦ fn : n ∈ N0) C-homotopan sa (idGn : n ∈ N0) a 

(fn ◦ gn : n ∈ N0) C-homotopan sa (idG ′ n : n ∈ N0) , onda su 

(fn)⋆ : Hn(G) → Hn(G ′ ) i (gn)⋆ : Hn(G ′ ) → Hn(G) 

✷


jedno drugom inverzna preslikavanja (tj. jedno drugom inverzni izomorfizmi grupa) 


Ukoliko su joˇs e i e ′ podizanja od G i G ′ , tim redom, tako da (fn| n ∈ N0) poˇstuje e i e ′ , a 

(gn| n ∈ N0) poˇstuje e ′ i e, onda su 

(fn)⋆,e : Hn,e(G) → Hn,e ′(G′ ) i (gn)⋆,e ′ : Hn,e ′(G′ ) → Hn,e(G) 

jedno drugom inverzni izomorfizmi grupa za svako n ∈ N0. 

I.13.2 Teorema o acikličnim nosačima 

Ako su A i B a-kompleksi onda svaku funkciju N takvu da je dom(N ) = A nazivamo nosač iz A 

u B ako vaˇzi 

- za svako A ∈ A skup N (A) je podkompleks od B; 

- za svako A1, A2 ∈ A vaˇzi implikacija A1 ⊆ A2 ⇒ N (A1) ⊆ N (A2). 

Ako je N nosač iz A u B, {n, m} ⊆ N0 i f : Cn(A) → Cm(B) onda kaˇzemo da N (n, m)-nosi 

funkciju f ako za svako A ∈ A n} i svako v ∈ Bij(n, A) vaˇzi 

f 〈v; A〉 

∈ Cm N (A)| B 

ˇsto u prevodu znači da ako je N (A) m} = ∅ onda postoje l ∈ N i za i = 1, l simpleksi 

Bi ∈ N (A) m} a-kompleksa N (A), zatim ki ∈ Z i ui ∈ Bij(m, Bi) tako da vaˇzi 

f 〈v; A〉 = 

m 

ki〈ui; B〉 

Teorema I.13.1 (Teorema o acikličnim nosačima - prvi deo) Neka je N nosač iz A u B a f = 

(fn| n ∈ N0) i g = (gn| n ∈ N0) morfizmi C-komplekasa lanaca od a-kompleksa A prema akompleksu 

B koji poˇstuju ɛA i ɛB. Neka je joˇs za svako n ∈ N0, i svako A ∈ An} grupa 

Hn N (A) 

trivijalna. 

Ako za svako n ∈ N0 nosač N (n, n)-nosi i fn i gn onda postoji C-homotopija (Dn| n ∈ N0) 

izmed¯u f i g i to takva da N (n, n + 1)-nosi Dn za svako n ∈ N0. 

Dokaz. Homomorfizme Dn : Cn(A) → Cn+1(B) definiˇsemo rekurzivno. 

(I) 

Neka je a ∈ 

A i stavimo x := 〈a; A〉. Neka su i0 i i1 prirodna utapanja grupa C0 

 

N ({a}) i 

C1 N ({a}) u grupe C0(B) i C1(B), respektivno (videti Odeljak I.8). 

Imamo 

 

ɛB g0(x) − f0(x) = (ɛB ◦ g0)(x) − (ɛB ◦ f0)(x) = ɛA(x) − ɛA(x) = 0. 

 

Dakle y := g0(x) − f0(x) ∈ ker(ɛB). Kako je po pretpostavci {g0(x), f0(x)} ⊆ C0 

 

N ({a})| B 

to je y ∈ C0 N ({a})| B ∩ ker(ɛB) = (i0) →ker(ɛN ({a})) (videti (5) iz Stava I.8.1). Zato postoji 

neko (preciznije: tačno jedno) c ∈ ker(ɛN ({a})) tako da je y = i0(c). Kako je 

H0 

 

N ({a}) = 

ker(ɛN ({a}))/B0 N ({a}) po pretpostavci trivijalna to je ker(ɛN ({a})) = B0 

 

N ({a}) pa moˇzemo 

fiksirati neko l ∈ C1 N ({a}) tako da je c = ∂1,N ({a})(l). Definiˇsimo D ′ 

0 〈a; A〉 = i1(l). Tada 

i=1


 

imamo y = i0 ∂1,N ({a})(l) 

= ∂1,A i1(l) = ∂1,A ◦ D ′ 

0 〈a; A〉 . 

Na ovaj način smo definisali funkciju D ′ 0 : 〈a; A〉| a ∈ A → C1(B) tako da za svako 

x ∈ 〈a; A〉| a ∈ A =: X vaˇzi g0(x) − f0(x) = ∂1,A ◦ D ′ 

0 (x). Kako je X baza za C0(A) to D ′ 0 

ima jedinstvenu ekstenziju D0 : C0(A) → C1(B) koja je homomorfizam dotičnih grupa. Formula 

g0(x) − f0(x) = ∂1,A ◦ D ′ 

0 (x) vaˇzi za svako x ∈ C0(A) jer po konstrukciji homomorfizma D0 

vaˇzi za svako x ∈ X a C0(A) je generisana skupom X. Takod¯e je po konstrukciji D0 

 

〈a; A〉 ∈ 

N ({a})| B , tj. N (0, 1)-nosi homomorfizam D0 : C0(A) → C1(B). 

C1 

(II) 

Da konstruiˇsemo odgovarajući homomorfizam D1 : C1(A) → C2(B) fiksiramo proizvoljan 1selektor 

M ⊆ A1) za A i pratimo deo (III) ispod - ovo prepuˇstamo čitaocu. Dakle uočimo 

proizvoljno v ∈ M. Za x := 〈v; A〉 imamo 

∂1,B(y) = g0(∂1,A(x)) − f0(∂1,A(x)) − 

∂1,B ◦ D0 ◦ ∂1,A (x) = 

= 

∂1,B ◦ D0 (∂1,A(x)) − 

∂1,B ◦ D0 (∂1,A(x)) = 00,B. 

Dakle y ∈ Z1(B). Ovo je jedino mesto gde se razmatranje ovde (doduˇse krajnje nesuˇstinski) 

razlikuje od onog u delu (III). 

(III) 

Neka je sada n ≥ 2 i pretpostavimo da su konstruisani homomorfizmi Dj : Cj(A) → Cj+1(B) 

za 0 ≤ j < n tako da za svako 0 ≤ j < n i svako x ∈ Cj(A) vaˇzi 

gj(x) − fj(x) = 

∂j+1,B ◦ Dj (x) + Dj−1 ◦ ∂j,A (x), ako j > 0 

i 

g0(x) − f0(x) = ∂1,B(D0(x)), 

i tako da N (j, j + 1)-nosi Dj za svako 0 ≤ j < n. 

Fiksirajmo proizvoljan n-selektor M ⊆ A n) za A . 

Uočimo proizvoljno v ∈ M . Neka je A ∈ An} takav da je v ∈ Bij(n, A). Stavimo x := 〈v; A〉 

i 

y := gn(x) − fn(x) − 

Dn−1 ◦ ∂n,A (x) 

 

Neka su in i in+1 prirodna utapanja grupa Cn N (A) i Cn+1 N (A) u grupe Cn(B) i Cn+1(B), 

respektivno. 

Imamo (uz koriˇsćenje indukcijske hipoteze) 

∂n,B(y) = gn−1(∂n,A(x)) − fn−1(∂n,A(x)) − 

∂n,B ◦ Dn−1 ◦ ∂n,A (x) = 

= 

∂n,B ◦ Dn−1 (∂n,A(x)) + 

Dn−2 ◦ ∂n−1,A (∂n,A(x)) − 

∂n,B ◦ Dn−1 (∂n,A(x)) = 

 

= Dn−2 (∂n−1,A ◦ ∂n,A)(x) = Dn−2(0n−2,A) = 0n−1,B. 

Dakle y ∈ Zn(B).


Ako v = (v0, . . . , vn) onda imamo 

Dn−1(∂n,A(x)) = 


n 

j=0 

(−1) j Dn−1 

〈v ˆj ; A〉 

Za svako 0 ≤ j ≤ n je v ˆj ∈ Bij n − 1, A \ {vj} te je po indukcijskoj hipotezi 

ˆj 

Dn−1 〈v ; A〉 ∈ Cn(N (A \ {vj})| B) ⊆ Cn(N (A)| B) 

jer je N (A \ {vj}) ⊆ N (A). Otuda je i Dn−1(∂n,A(x)) ∈ Cn(N (A)| B). Kako je po pretpostavci 

{fn(x), gn(x)} ⊆ Cn(N (A)| B) to je 

y ∈ Cn(N (A)| B) ∩ Zn(B) = (in) → Zn(N (A)). 

Otuda je y = in(c) za neko (zapravo - tačno jedno) c ∈ Zn(N (A)). No Hn(N (A)) je trivijalna, 

tj. Zn(N (A)) = Bn(N (A)) pa moˇzemo fiksirati neko l ∈ Cn+1(N (A)) tako da je c = ∂ n+1,N (A)(l).


Definiˇsimo D ′ 

n 〈v; A〉 = in+1(l) ∈ (in+1) →Cn+1(N (A)) = Cn+1(N (A)| B). Imamo 

y = (in ◦ ∂n+1,N (A))(l) = (∂n+1,B ◦ in+1)(l) = ∂n+1,B ◦ D ′ 

n 〈v; A〉 

te je 

′ 

gn 〈v; A〉 −fn 〈v; A〉 = y+ D n−1◦∂n,A 〈v; A〉 = ∂n+1,B◦D ′ ′ 

n 〈v; A〉 + D n−1◦∂n,A 〈v; A〉 . 

Na ovaj način smo definisali funkciju D ′ n : X → Cn+1(B), gde je X := 〈v; A〉| v ∈ M . Kako 

je X baza za Cn(A) to se D ′ n moˇze proˇsiriti do homomorfizma Dn : Cn(A) → Cn+1(B) (i to na 

jedinstven način). Pokaˇzimo da se indukcijska hipoteza očuvava. 

Po konstrukciji imamo da gn(x) − fn(x) = 

∂n+1,B ◦ Dn (x) + Dn−1 ◦ ∂n,A (x) vaˇzi za svako 

x ∈ X, pa kako je Cn(A) generisana skupom X to ova jednakost vaˇzi i za svako x ∈ Cn(A) (obzirom 

da su fn, gn, ∂n+1,B, ∂n,A, Dn−1 i Dn homomorfizmi, naravno). 

Pokazujemo da N (n, n + 1)-nosi Dn. Ako je v ∈ M i A ∈ An} takav da je v ∈ Bij(n, A) onda 

′ je po konstrukciji Dn 〈v; A〉 = D n 〈v; A〉 ∈ Cn+1(N (A)| B). Neka je sada u ∈ An) proizvoljno. 

M je n-selektor za A pa postoji neko v ∈ M tako da vaˇzi 

 

 

u ∼ v ili u ∼ v ◦ transpn (0, 1) . 

Ako je u ∼ v onda je 〈u; A〉 = 〈v; A〉 a ako je u ∼ 

 

 

v ◦ transpn (0, 1) onda je 〈u; A〉 = −〈v; A〉. 

U svakom slučaju, ako je A ∈ An} takav da je u ∈ Bij(n, A), imamo v ∈ Bij(n, A) i 

 

 

Dn 〈u; A〉 ∈ Dn 〈v; A〉 , Dn −〈v; A〉 

 

= Dn 〈v; A〉 , −Dn 〈v; A〉 

⊆ Cn+1(N (A)| B). 

Time je dokaz teoreme zavrˇsen. ✷ 

Teorema I.13.2 (Teorema o acikličnim nosačima - drugi deo) Neka je N nosač iz A u B takav 

da je za svako n ∈ N, i svako A ∈ An} grupa 

Hn−1 N (A) trivijalna. Tada postoji morfizam 

(fn| n ∈ N0) C-komplekasa lanaca od a-kompleksa A prema a-kompleksu B koji poˇstuje ɛA i ɛB 

takav da N (n, n)-nosi fn za svako n ∈ N0. 

Dokaz. Homomorfizme fn : Cn(A) → Cn(B) definiˇsemo rekurzivno. 

(I) 

Neka je a ∈ 

A i neka je i0 prirodno utapanje grupe C0 N ({a}) u grupu C0(B). Izaberimo 

proizvoljno ba ∈ N ({a}) i definiˇsimo f ′ 

ba; 0 〈a; A〉 = 〈ba; B〉 = i0 N ({a}) 

∈ 

(i0) → 

′ 

C0 N ({a}) = C0 N ({a})| B . Ovako definisano f 0 : A → C0(B) proˇsirimo do homomorfizma 

f0 : C0(A) → C0(B) na celu grupu C0(A). Jasno je da N (0, 0)-nosi f0. Za a ∈ A joˇs 

imamo i (ɛB ◦ f0) 〈a; A〉 

= ɛB 〈ba; B〉 

= 1 = ɛA 〈a; A〉 , pa f0 poˇstuje ɛA i ɛB.


(II) 

Fiksirajmo 1-selektor M ⊆ A1) za A. Neka je v ∈ M i A ∈ A1} tako da je v ∈ Bij(1, A). Neka 

su i0 i i1 prirodna utapanja grupa C0 N (A) i C1 N (A) u grupe C0(B) i C1(B), respektivno. 

Stavimo x := 〈v; A〉. Imamo (ɛB ◦ f0 ◦ ∂1,A)(x) = ɛA(∂1,A(x)) = 0 pa je (f0 ◦ ∂1,A)(x) ∈ ker(ɛB). 

Ako je v = (v0, v1) onda je A = {v0, v1} i f0(∂1,A(x)) = f0 〈v1; A〉 

−f0 〈v0; A〉 

∈ C0(N (A)| B) 

jer po pretpostavci za 0 ≤ j ≤ 1 vaˇzi f0 〈vj; A〉 ∈ C0(N ({vj})| B) ⊆ C0(N (A)| B) (obzirom da je 

{vj} ⊆ {v0, v1} = A) poˇsto N (0, 0)-nosi f0. 

Dakle (f0 ◦∂1,A)(x) ∈ C0(N (A)| B)∩ker(ɛB) = (i0) →ker(ɛN (A)) pa imamo (f0 ◦∂1,A)(x) = i0(c) 

za neko (tačno jedno) c ∈ ker(ɛN (A)). Kako je grupa H0(N (A)) trivijalna (jer A ∈ A1} ) to 

moˇzemo fiksirati neko l ∈ C1(N (A)) tako da je c = ∂1,N (A)(l). Definiˇsimo f ′ 

1 〈v; A〉 = i1(l) ∈ 

(i1) →C1(N (A)) ∈ C1(N (A)| B). Imamo (∂1,B ◦ f ′ 1) 〈v; A〉 = (∂1,B ◦ i1)(l) = (i0 ◦ ∂1,N (A))(l) = 

i0(c) = (f0 ◦ ∂1,A) 〈v; A〉 . 

Na ovaj način smo definisali preslikavanje f ′ 1 : 〈v; A〉| v ∈ M → C1(B) tako da za svako 

x ∈ X := 〈v; A〉| v ∈ M vaˇzi (∂1,B ◦ f ′ 1 )(x) = (f0 ◦ ∂1,A)(x). Proˇsirimo f ′ 1 do homomorfizma 

f1 : C1(A) → C1(B). 

Jednakost (∂1,B ◦ f1)(x) = (f0 ◦ ∂1,A)(x) vaˇzi za svako x ∈ C1(A) jer vaˇzi za svako x ∈ X 

a X generiˇse grupu C1(A). Po konstrukciji je f1 〈v; A〉 ∈ C1(N ({v0, v1})| B) za svako v = 

(v0, v1) ∈ M. Ako je u = (u0, u1) ∈ A1) proizvoljno onda je ili u ∈ M ili (u1, u0) ∈ M. U 

slučaju da je (u1, u0) ∈ M imamo f1 〈(u1, u0); A〉 

∈ C1(N ({u1, u0})| B) pa je f1 

 

〈u; A〉 = 

f1 −〈(u1, u0); A〉 

= −f1 〈(u1, u0); A〉 ∈ C1(N ({u0, u1})| B). Dakle N (1, 1)-nosi f1. 

(III) 

Neka je sada n ≥ 2 i pretpostavimo da su konstruisani homomorfizmi fj : Cj(A) → Cj(B) za 

0 ≤ j < n tako da za svako 0 < j < n vaˇzi ∂j,B ◦ fj = fj−1 ◦ ∂j,A, tako da je ɛB ◦ f0 = ɛA, i tako 

da N (j, j)-nosi fj za svako 0 ≤ j < n. 

Fiksirajmo proizvoljan n-selektor M ⊆ An) za A. 

Uočimo proizvoljno v ∈ M. Neka je A ∈ An} takav da je v ∈ Bij(n, A). Stavimo x := 〈v; A〉. 

Neka su in i in−1 prirodna utapanja grupa Cn N (A) i Cn−1 N (A) u grupe Cn(B) i Cn−1(B), 

respektivno. 

Imamo (∂n−1,B ◦ fn−1 ◦ ∂n,A)(x) = (fn−2 ◦ ∂n−1,A ◦ ∂n,A)(x) = fn−2(0n−2,A) = 0n−2,B pa je 

(fn−1 ◦ ∂n,A)(x) ∈ Zn−1(B). Na osnovu definicije rubnih homomorfizama i činjenice da je fn−1 

po indukcijskoj hipotezi homomorfizam i to takav da ga N (n − 1, n − 1)-nosi (kao i činjenice da 

je N nosač), lako (kao u delu (III) dokaza Teoreme I.13.1) dobijamo da je (fn−1 ◦ ∂n,A)(x) ∈ 

Cn−1(N (A)| B). 

Dakle (fn−1 ◦ ∂n,A)(x) ∈ Cn−1(N (A)| B) ∩ Zn−1(B) = (in−1) → Zn−1(N (A)) pa je (fn−1 ◦ 

∂n,A)(x) = in−1(c) za neko (tačno jedno) c ∈ Zn−1(N (A)). Imamo A ∈ A n} pa je grupa 

 

N (A) trivijalna. 

 

Zato moˇzemo fiksirati neko l ∈ Cn(N (A)) tako da je ∂n,N (A)(l) = c. 

〈v; A〉 = in(l) ∈ (in) →Cn(N (A)) = Cn(N (A)| B). Imamo (∂n,B ◦ f ′ n)(x) = 

Hn−1 

Definiˇsimo f ′ n 

(∂n,B ◦ in)(l) = (in−1 ◦ ∂n,N (A))(l) = in−1(c) = (fn−1 ◦ ∂n,A)(x). 

Na ovaj način smo definisali preslikavanje f ′ n : X → Cn(B), gde je X := 〈v; A〉| v ∈ M , 

tako da vaˇzi (∂n,B ◦ f ′ n )(x) = (fn−1 ◦ ∂n,A)(x) za svako x ∈ X. Proˇsirimo f ′ n do homomorfizma 

fn : Cn(A) → Cn(B). Na isti način kao i u delu (III) dokaza Teoreme I.13.1 zaključujemo da 

N (n, n)-nosi fn. (∂n,B ◦ fn)(x) = (fn−1 ◦ ∂n,A)(x) vaˇzi za svako x ∈ Cn(A) jer je grupa Cn(A) 

generisana skupom X i jer su sva preslikavanja koja se javljaju u dotičnoj jednakosti homomorfizmi. 

✷


Prethodne dve teoreme očigledno vaˇze u specijalnom slučaju kada je N (A) acikličan a-kompleks 

za svako A ∈ A. Za a-kompleks L se kaˇze da je acikličan ako je grupa Hn(L) trivijalna za svako 

n ∈ N0.

62 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRAKTNIH KOMPLEKASA

Deo II 

Skupovno-kombinatorni deo: 

od algebre ka geometriji 

II.1 Popunjavanje apstraktnog kompleksa 

Definicija II.1.1 Ako je A a-kompleks onda za funkciju J kaˇzemo da je popunjavanje a-kompleksa 

A ako vaˇzi 

- A ⊆ dom(J); 

- J(A) je neprazan skup za svako A ∈ A; 

- ako je A ∈ A singlton onda je J(A) = A; 

- ako je A1, A2 ∈ A i A1 = A2 onda je J(A1) ∩ J(A2) = ∅. ✷ 

Konvencija uz Definiciju II.1.1. Kad je J popunjavanje od A koristimo oznake J(A) : df 

 

= 

J(S), za A ∈ A, i 

∅=S⊆A 

za a ∈ A. ✷ 

St(a, A, J) = St(a) : df 

= 

a∈A∈A 

St(a, A, J) = St(a) : df 

= 

a∈A∈A 

J(A), 

Komentar uz Definiciju II.1.1. Neka su A1, A2 ∈ A. Iz same definicije sledi da je J(A1) ⊆ 

J(A1), da A1 ⊆ A2 povlači J(A1) ⊆ J(A2) kao i da J(A1)∩J(A2) = J(A1 ∩A2) ako je A1 ∩A2 = ∅, 

odnosno da je J(A1) ∩ J(A2) = ∅ ako je A1 ∩ A2 = ∅. 

Takod¯e, ako je a ∈ A ∈ A onda je a ∈ J(A) kao i a ∈ St(a) ⊆ St(a). Ovo sledi iz a ∈ {a} = 

J({a}) i ∅ = {a} ⊆ A. 

Ako je A0 podkompleks a-kompleksa A i J popunjavanje a-kompleksa A, onda je J popunjavanje 

i a-kompleksa A0 i vaˇzi 

J(A) = 

J(A). ✷ 

A∈A0 

A∈A0 

J(A) 

Stav II.1.1 Ako je ∅ = A ⊆ A onda vaˇzi: A ∈ A ako i samo ako 

St(a) = ∅. 

Dokaz. Neka je x ∈ 

St(a) = ∅. Tada za svako a ∈ A postoji neko Sa ∈ A tako da je 

a∈A 

a ∈ Sa i x ∈ J(Sa). Ako su p, q ∈ A onda iz {x} ⊆ Sp ∩ Sq = ∅ i {Sp, Sq} ⊆ A sledi (obzirom da 

63 

a∈A

64 DEO II. SKUPOVNO-KOMBINATORNI DEO: OD ALGEBRE KA GEOMETRIJI 

je J popunjavanje a-kompleksa A) da je Sp = Sq. Dakle {Sa| a ∈ A} = {B} za neko B ∈ A. Ako 

a ∈ A onda a ∈ Sa = B. Zato je A ⊆ B ∈ A pa je i A ∈ A. 

Obrnuto, ako je A ∈ A onda je J(A) ⊆ St(a) za svako a ∈ A. Dakle ∅ = J(A) ⊆ 

St(a). 

✷ 

Stav II.1.2 Neka je J popunjavanje a-kompleksa A i B1, B2 ⊆ A podkompleksi od A. Ako je 

 

 

 

 

J(B) ∩ 

 

J(B) = ∅ 

onda je 

B1 ∩ B2 = ∅ i 

B∈B1 

 

B∈B1 

J(B) 

 

∩ 

B∈B2 

 

B∈B2 

J(B) 

 

= 

B∈B1∩B2 

J(B). 

Dokaz. Neka je L := 

B∈B1 J(B) ∩ 

B∈B2 J(B) = ∅ i x ∈ L proizvoljno. Tada je 

x ∈ J(B1) ∩ J(B2) za neke B1 ∈ B1, B2 ∈ B2. B1, B2 ∈ A, J(B1) ∩ J(B2) = ∅ pa je B1 = B2 ∈ 

B1 ∩ B2 = ∅. I joˇs je x ∈ J(B1) ⊆ J(B1) ⊆ 

J(B) =: D. Kako je x ∈ L bilo proizvoljno 

B∈B1∩B2 

ovim smo zapravo pokazali L ⊆ D. D ⊆ L je očigledno. ✷ 

Lema II.1.1 Neka je J popunjavanje a-kompleksa A, B1 ⊆ A proizvoljno i B2 ⊆ A a-kompleks. 

Tada iz B1 \ B2 = ∅ sledi 

 

 

 

 

J(B) \ 

 

J(B) = ∅. 

B∈B1 

B∈B2 

Dokaz. Neka je B1 ∈ B1 \ B2 = ∅. Kad bi bilo 

 

 

 

 

J(B) ⊆ 

 

J(B) 

 

 

= 

B∈B1 

B∈B2 

B∈B2 

J(B) 

onda bi iz J(B1) ⊆ J(B1) ⊆ 

B∈B1 J(B) sledilo J(B1) ∩ J(B2) = ∅ za neko B2 ∈ B2. No ovo bi 

značilo da je B1 = B2 ∈ B2, kontradikcija. ✷ 

II.2 Topoloˇska interpretacija grupe H0(A) 

Teorema II.2.1 Neka je J popunjavanje a-kompleksa A i τ topologija na skupu X := 

 

a∈A 

A∈A 

J(A) 

takva da je za svako a ∈ A otvorena zvezda St(a) τ-otvoren i τ-povezan. Za x ∈ X neka je 

Cx komponenta povezanosti tačke x u odnosu na τ. Ako je “” (preciznije “A”) ona relacija 

ekvivalencije koja je uvedena u Odeljku I.9 onda vaˇzi: 

(1) za svako u, v ∈ A je u v ⇐⇒ Cu = Cv; 

(2) za svako u ∈ A je Cu = St(a)| a ∈ A, a u ; 

(3) X = Cu| u ∈ A . 

Dokaz. (1) i (2): Primetimo na početku da za svako u ∈ A vaˇzi u ∈ St(u) ⊆ Cu. 

Za u, v ∈ A takve da je u v izaberimo po n(u, v) ∈ N0 tako da postoje a0, . . . , a n(u,v) ∈ A 

takvi da a0 = u, a n(u,v) = v i {ai, ai+1} ∈ A kad god {i, i + 1} ⊆ {0, . . . , n(u, v)}. Pokaˇzimo da 

indukcijom po k ∈ N0 da vaˇzi: 

∀u, v ∈ A 

u v ∧ n(u, v) = k ⇒ Cu = Cv .

II.3. SIMPLICIJALNE APROKSIMACIJE 65 

Za k = 0 ovo je evidentno. Pretpostavimo da tvrd¯enje vaˇzi za neko k ∈ N0 i neka su u, v ∈ A 

takvi da je u v i n(u, v) = k + 1. Postoje a0, . . . , ak+1 ∈ A takvi da a0 = u, ak+1 = v i 

{ai, ai+1} ∈ A kad god {i, i+1} ⊆ {0, . . . , k+1}. Kako je {ak, ak+1} ∈ A to je St(ak)∩St(ak+1) = ∅, 

prema Stavu II.1.1, pa kako su i St(ak) i St(ak+1) povezani to i P := St(ak) ∪ St(ak+1) mora biti 

povezan. Zbog toga iz ak ∈ St(ak) ⊆ P sledi da je P ⊆ Cak . ak+1 ∈ St(ak+1) ⊆ P ⊆ Cak 

sada povlači Cak+1 = Cak . Prema indukcijskoj hipotezi je Cak = Ca0 te konačno zaključujemo 

Cu = Ca0 = Cak+1 = Cv. 

Primetimo da za u, v ∈ A vaˇzi St(u) ∩ St(v) = ∅ ⇒ u v. Ovo sledi iz Stava II.1.1. 

Za u ∈ A stavimo Wu : df 

= St(a)| a ∈ A, a u . Na osnovu već dokazanog imamo 

Wu ⊆ Ca| a u = Cu. Pokaˇzimo da je Cu \ Wu τ-otvoren. 

Neka je x ∈ Cu \ Wu. Neka je Ax ∈ A takvo da x ∈ I(Ax) i izaberimo proizvoljno ax ∈ Ax. 

Tada je x ∈ St(ax) ⊆ Cx. No x ∈ Cu pa je Cx = Cu. Dakle x ∈ St(ax) ⊆ Cu. Pokaˇzimo da 

je Wu ∩ St(ax) = ∅. Pretpostavimo suprotno, tj. neka postoji neko z ∈ Wu ∩ St(ax). Tada za 

neko v ∈ A imamo da je u v i z ∈ St(v) ∩ St(ax) = ∅. Otuda ax v pa i ax u. Zato je 

Wu ⊇ St(ax) ∋ x, kontradikcija. Dakle x ∈ St(ax) ⊆ Cu \ Wu. 

Kako su sad i Wu i Cu \ Wu τ-otvoreni, Wu ⊆ Cu i u ∈ St(u) ⊆ Wu = ∅, a Cu τ-povezan, to 

mora biti Cu \ Wu = ∅, tj. Wu = Cu. 

Neka su najzad u, v ∈ A takvi da je Cu = Cv. Imamo v ∈ Cv = Cu = Wu pa je v ∈ St(a) za 

neko a ∈ A takvo da je a u. No v ∈ St(v) pa je v ∈ St(v) ∩ St(a) = ∅. Otuda sledi v a te i 

v u. 

(3) Ako je a ∈ A ∈ A i x ∈ I(A) onda je x ∈ St(a) ⊆ Ca. ✷ 

II.3 Simplicijalne aproksimacije 

Stav II.3.1 Neka je X := 

vanje. 

A∈A1 

J1(A), Y := 

A∈A2 

J2(A) i neka je h : X → Y proizvoljno preslika- 

(1) Neka je a ∈ A ∈ A1, x ∈ J1(A) i B ∈ A2 takvo da je h(x) ∈ J2(B). Tada za svako b ∈ A2 

vaˇzi: 

h → St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2) =⇒ b ∈ B . 

(2) Neka je a ∈ A1 i Ba ∈ A2 onaj jedinstveni a-simpleks takav da je h(a) ∈ J2(Ba). Tada za 

svako b ∈ A2 vaˇzi: 

h → St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2) =⇒ b ∈ Ba . 

Dokaz. (1) Neka su A ∈ A1 i x ∈ J1(A) proizvoljni a B ∈ A2 takav da je h(x) ∈ J2(B) 

i neka je b ∈ A2 takvo da h → St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2). Iz a ∈ A sledi x ∈ St(a, A1, J1) 

te je h(x) ∈ St(b, A2, J2). Zato postoji neko P ∈ A2 tako da je b ∈ P i h(x) ∈ J2(P ). Sada 

zbog h(x) ∈ J2(P ) ∩ J2(B) = ∅, {P, B} ⊆ A2 i činjenice da je J2 popunjavanje a-kompleksa A2 

zaključujemo da je P = B pa je b ∈ B. 

(2) Ovo sledi iz dela pod (1) uzimajući A := {a} i x := a. ✷ 

Definicija II.3.1 Neka je Ji popunjavanje a-kompleksa Ai, za i = 1, 2. 

Za funkciju h : 

J1(A) → 

J2(A) kaˇzemo da poˇstuje (A1, J1, A2, J2) ako 

A∈A1 

A∈A2 

∀v ∈ A1 ∃w ∈ A2 

 

h → 

St(v, A1, J1) ⊆ St(w, A2, J2) . ✷


Stav II.3.2 Neka je X := 

A∈A1 

J1(A), Y := 

A∈A2 

J2(A) i neka h : X → Y poˇstuje (A1, J1, A2, J2). 

Za svako a ∈ A1 izaberimo na proizvoljan način po jedno f(a) ∈ A2 tako da je 

h → St(a, A1, J1) ⊆ St(f(a), A2, J2). 

Za ovako definisano preslikavanje f : A1 → A2 vaˇzi: 

(1) ako su A ∈ A1 i x ∈ J1(A) proizvoljni a B ∈ A2 takav da je h(x) ∈ J2(B) onda f → A ⊆ B; 

(2) ako je a ∈ A1 i Ba ∈ A2 onaj jedinstveni simpleks takav da je h(a) ∈ J2(Ba) onda mora biti 

f(a) ∈ Ba; 

(3) f je (A1, A2)-simplicijalno preslikavanje. 

Dokaz. (1) i (2) slede iz Stava II.3.1, a (3) je direktna posledica tvrd¯enja pod (1) (i činjenice 

da je J1(A) = ∅ za svako A ∈ A1). ✷ 

Definicija II.3.2 Neka je X := 

J1(A) i Y := 

J2(A). Za preslikavanje f : A1 → A2 

A∈A1 

A∈A2 

kaˇzemo da je (A1, J1, A2, J2)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja h : X → Y ako 

∀v ∈ A1 h → St(v, A1, J1) ⊆ St(f(v), A2, J2). ✷ 

Iz Definicija II.3.1 i II.3.2 vidimo da reći da h : 

J1(A) → 

J2(A) poˇstuje (A1, J1, A2, J2) 

A∈A1 

je isto ˇsto i reći da postoji (A1, J1, A2, J2)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja h (tj. da h 

ima (A1, J1, A2, J2)-simplicijalnu aproksimaciju). Takod¯e je jasno da su (A1, J1, A2, J2)-simplicijalne 

aproksimacije datog preslikavanja h koje poˇstuje (A1, J1, A2, J2) upravo onakva preslikavanja 

f : A1 → A2 koja se pominju u Stavu II.3.2. 

Iz Stava II.3.2 sledi da svaka (A1, J1, A2, J2)-simplicijalna aproksimacija (ukoliko postoji) datog 

preslikavanja h : 

J1(A) → 

J2(A) mora biti (A1, A2)-simplicijalno preslikavanje. 

A∈A1 

A∈A2 

Stav II.3.3 Neka je Ji popunjavanje a-kompleksa Ai, za i = 1, 2, i neka su data preslikavanja 

h1,2 : 

J1(A) → 

J2(A) i h2,3 : 

J2(A) → 

J3(A). Ako je 

a 

onda je 

A∈A1 

A∈A2 

A∈A2 

A∈A3 

A∈A2 

f1,2 : A1 → A2 (A1, J1, A2, J2) − simplicijalna aproksimacija preslikavanja h1,2 

f2,3 : A2 → A3 (A2, J2, A3, J3)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja h2,3 

f2,3 ◦ f1,2 (A1, J1, A3, J3)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja h2,3 ◦ h1,2. 

Takod¯e, id A1 : A1 → A1 je (A1, J1, A1, J1)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja 

id 

A∈A1 

J1(A) . 

Dokaz. Pretpostavimo da je fi,j (Ai, Ji, Aj, Jj)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja hi,j 

za (i, j) ∈ {(1, 2), (2, 3)} i neka je a ∈ A1. Tada je (h1,2) →St(a, A1, J1) ⊆ St(f1,2(a), A2, J2) i 

(h2,3) →St(f1,2(a), A2, J2) ⊆ St(f2,3(f1,2(a)), A3, J3) pa je i 

(h2,3 ◦ h1,2) → St(a, A1, J1) = (h2,3) → 

 

(h1,2) → St(a, A1, J1) 

⊆ St(f2,3(f1,2(a)), A3, J3) = St((f2,3 ◦ f1,2)(a), A3, J3). 

 

⊆ (h2,3) → St(f1,2(a), A2, J2) ⊆ 

✷

II.3. SIMPLICIJALNE APROKSIMACIJE 67 

Definicija II.3.3 Za preslikavanja f1, f2 : A1 → A2 kaˇzemo da su med¯usobno (A1, A2)uklopiva 

ako za svako A ∈ A1 vaˇzi (f1) → A ∪ (f2) → A ⊆ B za neko B ∈ A2 (ˇsto je očigledno 

ekvivalentno sa tim da je (f1) → A ∪ (f2) → A ∈ A2). ✷ 

Iz same definicije je jasno da ako su f1, f2 : A1 → A2 med¯usobno (A1, A2)-uklopiva onda 

i f1 i f2 moraju biti (A1, A2)-simplicijalna preslikavanja. 

Stav II.3.4 Sve (A1, J1, A2, J2)-simplicijalne aproksimacije jednog te istog preslikavanja su med¯usobno 

(A1, A2)-uklopive. 

Dokaz. Neka su f1 i f2 simplicijalne aproksimacije preslikavanja h : 

J1(A) → 

J2(A) 

i neka je A ∈ A1. Ako je x ∈ J1(A) proizvoljno i B ∈ A2 takvo da je h(x) ∈ J2(B) onda prema 

Stavu II.3.2 mora biti (fi) → A ⊆ B za i ∈ {1, 2}, tj. (f1) → A ∪ (f2) → A ⊆ B. ✷ 

Teorema II.3.1 Ako su f, g : A1 → A2 med¯usobno (A1, A2)-uklopiva preslikavanja onda se 

poklapaju njima indukovani homorfizmi grupa homologija a-komplekasa A1 i A2, tj. fm,∗ = gm,∗ 

za svako m ∈ N0, kao i f0,∗,ɛA 1 = g0,∗,ɛA 1 . ✷ 

Dokaz. Za n ∈ N0 i A ∈ An} definiˇsimo N (A) : df 

= ⌈f →A ∪ g→A⌉. Kako su f i g (A1, A2)uklopiva 

preslikavanja to je N (A) podkompleks a-kompleksa A2 (naravno: N (A) = ∅ jer A = ∅). 

Imamo da je Hm(N (A)) trivijalna grupa čak za svako m ∈ N0. Pokaˇzimo da je 

 

 

fn,♯ 〈v; A1〉 

, gn,♯ 〈v; A1〉 

⊆ Cn(N (A)| A2) 

za svako v ∈ Bij(n, A) (ovo bi trebalo biti očigledno za onog ko zna ˇsta se ovde dogad¯a no dobro, 

hajde da “pokaˇzemo”). 

 

Neka je v = (v0, . . . , vn). Ako je f(vi) = f(vj) za neke 0 ≤ i < j ≤ n onda je fn,♯ 〈v; A1〉 = 

0n,A2 ∈ Cn(N (A)| A2). Ako je s druge strane f ◦ v injektivno onda je f →A ∈ n} A2 

 

i 

fn,♯ 〈v; A1〉 = 〈u; A2〉 za u = (f(v0), . . . , f(vn)) ∈ Bij(n, f →A). Iz f →A ∈ N (A) sledi f →A ∈ 

n} 

N (A) pa je u; N (A) ∈ Cn N (A) . Otuda je fn,♯ 〈v; A1〉 

= 〈u; A2〉 = in 

 

u; N 

 

(A) ∈ 

Cn(N (A)| A2), gde je in : Cn N (A) → Cn(A2) prirodno utapanje grupe Cn N (A) u grupu 

Cn(A2) kao Cn(N (A)| A2) (videti Stav I.8.1). 

Nosač N iz A1 u A2 i morfizmi (fn,♯| n ∈ N0) i (gn,♯| n ∈ N0) izmed¯u C-komplekasa lanaca 

od A1 prema A2 zadovoljavaju uslove Teoreme I.13.1. Prema Stavu I.13.1 i Teoremi I.13.1 sada 

sledi da za svako m ∈ N0 vaˇzi (fm,♯)⋆ = (gm,♯)⋆, tj. fm,∗ = gm,∗, kao i f0,∗,ɛA 1 = (f0,♯)⋆,ɛA 1 = 

(g0,♯)⋆,ɛA 1 = g0,∗,ɛA 1 . ✷ 

Posledica II.3.1 Neka su f1, f2 : A1 → A2 (A1, J1, A2, J2)-simplicijalne aproksimacije jednog 

te istog preslikavanja h : 

J1(A) → 

J2(A). Tada za svako n ∈ N0 vaˇzi (f1)n,∗ = (f2)n,∗. 

A∈A1 

Takod¯e je i (f1)0,∗,ɛA = (f2)0,∗,ɛA . 

1 1 

A∈A2 

Slobodnije rečeno: 

za svako n ∈ N0 sve (A1, J1, A2, J2)-simplicijalne aproksimacije nekog fiksiranog preslikavanja 

indukuju jedan te isti homomorfizam n-tih, kao i nultih redukovanih, grupa homologija akomplekasa 

A1 i A2. 

Dokaz. Ovo sledi iz Stava II.3.4 i Teoreme II.3.1. ✷ 

A∈A1 

A∈A2 

✷


II.4 Usitnjenja 

Definicija II.4.1 Ako su L i J popunjavanja a-kompleksa A i B, tim redom, onda je (B, J) 

usitnjenje od (A, L) ako vaˇzi 

- za svako B ∈ B postoji neko A ∈ A tako da je J(B) ⊆ L(A); 

- za svako A ∈ A je L(A) = {J(B)| B ∈ B, J(B) ⊆ L(A)}. 

Ukoliko je joˇs zadovoljen i uslov 

- za svako A ∈ A skup {B ∈ B| J(B) ⊆ L(A)} je konačan 

onda za usitnjenje (B, J) kaˇzemo da je finitarno. ✷ 

Iz Definicije II.4.1 direktno sledi da ako je (A1, L1) [finitarno] usitnjenje od (A2, L2), a (A2, L2) 

[finitarno] usitnjenje od (A3, L3), onda je i (A1, L1) [finitarno] usitnjenje od (A3, L3). 

Konvencija. Ako su B i A a-kompleksi i J popunjavanje i a-kompleksa B i a-kompleksa A, 

onda ćemo umesto “(B, J) je usitnjenje od (A, J)” govoriti i jednostavno “a-kompleks B J-usitnjava 

a-kompleks A”; ukoliko je J poznato ovo se dalje skraćuje na “a-kompleks B usitnjava a-kompleks 

A”. ✷ 

Stav II.4.1 Ako je (B, J) usitnjenje od (A, 

L) i B ∈ B, A ∈ A onda vaˇzi 

(1) ako je J(B) ⊆ L(A) i dim(A) = min dim(S)| S ∈ A, J(B) ⊆ L(S) onda je J(B) ⊆ L(A); 

(2) ako je J(B) ⊆ L(A) onda je J(B) ⊆ L(A0) za neko ∅ = A0⊆ A; 

 

(3) ako je J(B) ⊆ L(A) onda je J(B) ⊆ L(A) i dim(A) = min dim(S)| S ∈ A, J(B) ⊆ L(S) . 

Dokaz. (1) Neka je x ∈ J(B) proizvoljno. Iz J(B) ⊆ J(B) ⊆ L(A) = 

∅=S⊆A 

L(S) sledi da 

postoji neki neprazan S ⊆ A tako da je x ∈ L(S). Pokaˇzimo da mora biti S = A. 

Imamo S ∈ A kao i x ∈ L(S) ⊆ L(S), pa kako je (B, J) usitnjenje od (A, L) to postoji 

neko B1 ∈ B tako da je x ∈ J(B1) ⊆ L(S). Poˇsto je J(B1) = 

 

J(M) to je x ∈ J(B2) 

∅=M⊆B1 

za neki neprazan B2 ⊆ B1. Sada iz B, B2 ∈ B i x ∈ J(B) ∩ J(B2) sledi B = B2. Zato je 

J(B) = J(B2) ⊆ J(B1) ⊆ L(S) i pri tom je S ∈ A. Zbog S ⊆ A, i izbora skupa A mora biti 

S = A. 

 

(2) Neka je A0 ∈ A tako da je J(B) ⊆ L(A0) i dim(A0) = min 

 

dim(S)| S ∈ A, J(B) ⊆ 

L(S) . Upravo smo pokazali da mora biti J(B) ⊆ L(A0). Kako je ∅ = J(B) ⊆ J(B) ⊆ L(A) = 

⎡ 

 

L(S), a poˇsto A0 ⊆ A povlači L(A0) ∩ ⎣ 

⎤ 

L(S) ⎦ = ∅ to mora biti A0 ⊆ A. 

∅=S⊆A 

∅=S⊆A 

(3) Neka je sada J(B) ⊆ L(A) i A0 ∈ A minimalne dimenzije tako da je J(B) ⊆ L(A0). Znamo 

da mora biti J(B) ⊆ L(A0). Kako je J(B) = ∅ to je L(A) ∩ L(A0) = ∅ pa mora biti A = A0 te i 

J(B) ⊆ L(A). ✷ 

Komentar uz Stav II.4.1. Ako je (B, J) usitnjenje od (A, L) i B ∈ B onda iz Stava II.4.1 sledi 

da 

postoji jedinstven simpleks MB ∈ A tako da je J(B) ⊆ L(MB).

II.4. USITNJENJA 69 

Sam stav se moˇze onda preformulisati na sledećinačin: ako je B ∈ B i A ∈ A onda vaˇzi 

(a) A = MB akko J(B) ⊆ L(A) i dim(A) = min dim(S)| S ∈ A, J(B) ⊆ L(S) ; 

(b) J(B) ⊆ L(A) akko MB ⊆ A. ✷ 

Stav II.4.2 Neka su J i L popunjavanja a-komplekasa B i A, tim redom. Tada je (B, J) usitnjenje 

od (A, L) ako i samo su zadovoljena sledeća tri uslova: 

(1) za svako B ∈ B postoji A ∈ A tako da je J(B) ⊆ L(A); 

(2) ako je ∅ = B1 ⊆ B2 ∈ B i ako su A1, A2 ∈ A takvi da je J(Bi) ⊆ L(Ai) za i = 1, 2 onda je 

A1 ⊆ A2; 

(3) za svako A ∈ A vaˇzi L(A) = J(B) B ∈ B, J(B) ⊆ L(A) . 

Dokaz. (⇒) : (1) sledi iz (1) Stava II.4.1. (3) sledi iz činjenice da je J(P ) ⊆ J(P ) za svako 

P ∈ B. Preostaje jedino da pokaˇzemo (2). Dakle neka je ∅ = B1 ⊆ B2 ∈ B i neka su A1, A2 ∈ A 

takvi da je J(Bi) ⊆ L(Ai) za i = 1, 2. Zbog B1 ⊆ B2 

imamo J(B1) ⊆ J(B1) ⊆ J(B2) ⊆ L(A2) = 

L(S) (videti (3) Stava II.4.1). Kako za svako (U, V ) ∈ B × A vaˇzi ili J(U) ⊆ L(V ) ili 

∅=S⊆A2 

J(B) ∩ L(A) = ∅ (ovo sledi iz (1) Stava II.4.1 i same definicije pojma “popunjavanje”), to mora 

biti J(B1) ⊆ L(S) za neko ∅ = S ⊆ A2. No J(B1) ⊆ L(A1) pa odavde dobijamo A1 = S ⊆ A2. 

(⇐) : Proveru tačnosti ovog smera tvrd¯enja prepuˇstamo čitaocu. ✷ 

Stav II.4.3 Ako je (B, J) usitnjenje od (A, L) i A0 podkompleks od A onda su za svako B ∈ B 

sledeći uslovi ekvivalentni: 

(a) J(B) ⊆ 

L(A); 

A∈A0 

(b) J(B) ⊆ L(A) za neko A ∈ A0; 

(c) J(B) ⊆ L(A) za neko A ∈ A0; 

(d) J(B) ∩ 

L(A) = ∅. 

A∈A0 

Dokaz. (d)⇒(b): Neka je x ∈ J(B) ∩ 

A∈A0 

L(A) proizvoljno. Tada je x ∈ L(A0) za neko A0 ∈ 

A0 pa kako je (B, J) usitnjenje od (A, L) to postoji neko B1 ∈ B tako da je x ∈ J(B1) ⊆ L(A0). 

Iz x ∈ J(B1) sledi da je x ∈ J(B2) za neko ∅ = B2 ⊆ B1. Dakle x ∈ J(B) ∩ J(B2) = ∅ i B, B2 ∈ B 

pa je B = B2. Otuda J(B) = J(B2) ⊆ J(B1) ⊆ L(A0). 

(b)⇒(a): Ovo je jasno. 

(a)⇒(d): Ovo sledi iz ∅ = J(B) ⊆ J(B). 

(b)⇒(c): Ako je J(B) ⊆ L(A) za neko A ∈ A0 onda je J(B) ⊆ L(A0) za neko ∅ = A0 ⊆ A. Iz 

A ∈ A0 sledi i A0 ∈ A0. 

(c)⇒(d): Ovo sledi iz ∅ = J(B) I L(A) ⊆ L(A). ✷ 

Stav II.4.4 Ako je A0 podkompleks a-kompleksa A i (B, J) (finitarno) usitnjenje od (A, L) onda 

je (B0, J) (finitarno) usitnjenje od (A0, L), gde je 

B0 = 

 

B ∈ B| J(B) ⊆ 

A∈A0 

L(A) 

Dokaz. Na osnovu Stava II.4.3 vaˇzi B0 = {B ∈ B| J(B) ⊆ L(A) za neko A ∈ A0}. ✷ 

 

.


Stav II.4.5 Ako je (B, J) usitnjenje od (A, L), A0 podkompleks a-kompleksa A i B1 podkompleks 

a-kompleksa B takav da je (B1, J) usitnjenje od (A0, L) onda je 

 

B1 = B ∈ B| J(B) ⊆ 

 

L(A) . 

Dokaz. Prema Stavu II.4.4 za B0 := 

No prema pretpostavci je i 

S∈B1 

 

J(S) = 

A∈A0 

B ∈ B| J(B) ⊆ 

A∈A0 

A∈A0 

L(A). Sada iz 

S∈B0 

L(A) 

 

vaˇzi 

J(S) = 

obzirom da je B0 ∪ B1 ⊆ B i da je J popunjavanje a-kompleksa B. ✷ 

II.5 Usitnjenja i simplicijalne aproksimacije 

II.5.1 Homomorfizam in;A1,J1,A2,J2 

Stav II.5.1 Ako je (A1, J1) usitnjenje od (A2, J2) i X := 

A∈A1 

S∈B0 

S∈B1 

J(S) = 

A∈A0 

L(A). 

J(S) sledi B0 = B1, 

J1(A) onda identičko preslikavanje 

idX : X → X poˇstuje (A1, J1, A2, J2), tj. ima (A1, J1, A2, J2)-simplicijalnu aproksimaciju. Preciznije, 

ako je a ∈ A1 i Ba ∈ A2 onaj jedinstveni simpleks za koji je a ∈ J2(Ba) onda za svako 

b ∈ A2 vaˇzi 

St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2) akko je b ∈ Ba. 

Ako je f : A1 → A2 proizvoljna (A1, J1, A2, J2)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja 

idX i ako su A ∈ A1, B ∈ A2 takvi da je J1(A) ⊆ J2(B), onda je f → A ⊆ B. 

Dokaz. Za svako a ∈ A1 neka je Ba ∈ A2 onaj jedinstveni simpleks za koji je a ∈ J2(Ba). 

Neka su a ∈ A1 i b ∈ Ba proizvoljni. Pokaˇzimo da je St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2). Neka je 

a ∈ A ∈ A1 proizvoljno. Prema Stavu II.4.2 postoji Q ∈ A2 tako da je J1(A) ⊆ J2(Q). Imamo 

J1 {a} = {a} ⊆ J2(Ba). Dakle J1 {a} ⊆ J2(Ba), J1(A) ⊆ J2(Q) i {a} ⊆ A pa na osnovu Stava 

II.4.2 mora biti Q ⊇ Ba ∋ b. Zato J1(A) ⊆ J2(Q) ⊆ 

J2(S) = St(b, A2, J2). Kako je A ∈ A1 

b∈S∈A2 

takvo da a ∈ A bilo proizvoljno, to dobijamo St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2). 

Ovim smo pokazali da idX poˇstuje (A1, J1, A2, J2) kao i da ako je a ∈ A1 i b ∈ Ba onda vaˇzi 

inkluzija St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2). 

Ako uzmemo h := idX u Stavu II.3.1 zaključujemo da ako su a ∈ A1 i b ∈ A2 takvi da 

vaˇzi St(a, A1, J1) ⊆ St(b, A2, J2) onda, zbog St(a, A1, J1) = h → St(a, A1, J1) mora biti b ∈ Ba. 

Neka je f : A1 → A2 proizvoljna (A1, J1, A2, J2)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja 

h := idX i neka su A ∈ A1, B ∈ A2 takvi da je J1(A) ⊆ J2(B). Iz (2) Stava II.4.1 sledi da je 

J1(A) ⊆ J2(P ) za neko ∅ = P ⊆ B. Da pokaˇzemo f → A ⊆ B uočimo proizvoljno x ∈ J1(A). 

Imamo h(x) = x ∈ J2(P ) pa na osnovu (1) Stava II.3.2 mora biti f → A ⊆ P ⊆ B. ✷ 

Komentar uz Stav II.5.1. Iz Posledice II.3.1 i Stava II.5.1 sledi da kakvu god (A1, J1, A2, J2)simplicijalnu 

aproksimaciju f preslikavanja idX (a bar jedna uvek postoji) izabrali, tada f indukuje 

za svako n0 ∈ N jedan te isti homomorfizam in;A1,J1,A2,J2 = fn,∗ 

in;A1,J1,A2,J2 : Hn(A1) → Hn(A2)

II.5. USITNJENJA I SIMPLICIJALNE APROKSIMACIJE 71 

kao i jedan te isti homomorfizam i0,ɛA 1 ;A1,J1,A2,J2 = f0,∗,ɛA 1 

i0,ɛA 1 ;A1,J1,A2,J2 : H0(A1) → H0(A2). 

II.5.2 Kad je in;A1,J1,A2,J2 izomorfizam: acikličnost nosača 

Teorema II.5.1 Neka je (B, J) usitnjenje od (A, L) i neka je za svako A ∈ A 

Λ(A) : df 

= B ∈ B| J(B) ⊆ L(A) . 

Tada je Λ nosač iz A u B. Ako je za svako A ∈ A a-kompleks Λ(A) acikličan onda: 

(a) postoji bar jedan morfizam λ = (λn| n ∈ N0) C-komplekasa lanaca od A prema B (dakle 

λn : Cn(A) → Cn(B) za svako n ∈ N0) koji poˇstuje ɛA i ɛB takav da Λ (n, n)-nosi λn za svako 

n ∈ N0; 

(b) ako je joˇs za svako A ∈ A a-kompleks Λ(A) dimenzije ne veće od dim(A) onda postoji 

tačno jedan morfizam λ = (λn| n ∈ N0) C-komplekasa lanaca od A prema B koji poˇstuje ɛA i ɛB 

takav da Λ (n, n)-nosi λn za svako n ∈ N0; 

(c) ako je f : B → 

A proizvoljna (B, A)-simplicijalna aproksimacija od idX, gde je X := 

J(B) = 

L(A), i λ morfizam kao pod (a) onda su λ i f♯ med¯usobno C-homotopno inverzni 

B∈B 

A∈A 

morfizmi C-komplekasa te su konsekventno, (λn)⋆,ɛA : Hn(A) → Hn(B) i fn,∗,ɛB : Hn(B) → Hn(A) 

za svako n ∈ N0 izomorfizmi grupa koji su jedan drugom inverzni a takod¯e su i (λ0)⋆ : 

H0(A) → H0(B) i f0,∗ : H0(B) → H0(A) jedan drugom inverzni izomorfizmi. 

Dokaz. Za A ∈ A definiˇsimo Ψ(A) : df 

= ⌈A⌉. 

Za B ∈ B neka je MB ∈ A onaj jedinstveni a-simpleks od A za koji vaˇzi J(B) ⊆ L(MB). 

Znamo da je J(B) ⊆ L(MB). Definiˇsimo Θ(B) : df 

= ⌈MB⌉ = Ψ(MB) i Φ(B) : df 

= Λ(MB). 

(I) 

Pokaˇzimo da su Λ, Ψ, Θ i Φ nosači iz A u B, iz A u A, iz B u A i iz B u B, respektivno. 

Ako je ∅ = A1 ⊆ A2 ∈ A onda je L(A1) ⊆ L(A2) pa je zato Λ(A1) ⊆ Λ(A2) (prema definiciji 

preslikavanja Λ) a takod¯e je i Ψ(A1) = ⌈A1⌉ ⊆ ⌈A2⌉ = Ψ(A2). Dakle Λ i Ψ su nosači. 

Neka su ∅ = B1 ⊆ B2 ∈ B. Imamo J(B1) ⊆ J(B2) ⊆ L(MB2) pa je MB1 ⊆ MB2 (videti Stav 

II.4.2). Zato je Θ(B1) = Ψ(MB1) ⊆ Ψ(MB2) = Θ(B2) i Φ(B1) = Λ(MB1) ⊆ Λ(MB2) = Φ(B2), 

budući da smo već pokazali da su Λ i Ψ su nosači. Dakle Θ i Φ su nosači. 

(II) 

Za svako A ∈ A, B ∈ B a-kompleksi Λ(A), Ψ(A), Θ(B) i Φ(B) su aciklični, tj. Λ, Ψ, Θ i Φ su 

tzv. aciklični nosači. Ovo sledi iz Teoreme I.11.1 i iz pretpostavke da je Λ(A) acikličan a-kompleks 

za svako A ∈ A. 

Na osnovu Teoreme I.13.2 postoji bar jedan morfizam λ = (λn| n ∈ N0) C-komplekasa lanaca 

od A prema B koji poˇstuje ɛA i ɛB takav da Λ (n, n)-nosi λn za svako n ∈ N0, kao i bar jedan 

morfizam θ = (θn| n ∈ N0) C-komplekasa lanaca od B prema A koji poˇstuje ɛB i ɛA takav da Θ 

(n, n)-nosi θn za svako n ∈ N0. U naredna dva dela (III) i (IV) su fiksirani proizvoljni takvi 

morfizmi λ i θ. 

✷


(III) 

Pokaˇzimo da Ψ (n, n)-nosi idCn(A) i θn ◦ λn za svako n ∈ N0. Neka je n ∈ N0, A ∈ An} i 

u ∈ Bij(n, A). 

 

Iz A ∈ ⌈A⌉ = Ψ(A) sledi idCn(A) 〈u; A〉 = 〈u; A〉 ∈ Cn(Ψ(A)| A). 

 

Kako Λ (n, n)-nosi λn to je λn 〈u; A〉 ∈ Cn(Λ(A)| B). Zato postoje k ∈ N i Bj ∈ Λ(A), gde 

dim(Bj) = n, vj ∈ Bij(n, Bj), mj ∈ Z za 1 ≤ j ≤ k tako da je 

 

λn 〈u; A〉 = 

k 

mj〈vj; B〉. 

Fiksirajmo proizvoljno 1 ≤ j ≤ k. Iz Bj ⊆ Λ(A) sledi J(Bj) ⊆ L(A), tj. MBj ⊆ A, odakle 

dobijamo Θ(Bj) = ⌈MBj ⌉ ⊆ ⌈A⌉ = Ψ(A) te najzad i Cn(Θ(Bj)| A) ⊆ Cn(Ψ(A)| A). Dalje, kako 

Θ (n, n)-nosi θ to je θn 〈vj; B〉 

∈ Cn(Θ(Bj)| A) pa je θn 〈vj; B〉 ∈ Cn(Ψ(A)| A). 

Dakle (θn ◦ λn) 〈u; A〉 k 

= mjθn 〈vj; B〉 ∈ Cn(Ψ(A)| A). 

j=1 

j=1 

(IV) 

Pokaˇzimo da Φ (n, n)-nosi idCn(B) i λn ◦ θn za svako n ∈ N0. Neka je n ∈ N0, B ∈ Bn} i 

v ∈ Bij(n, B). 

 

Iz J(B) ⊆ L(MB) sledi B ∈ Λ(MB) = Φ(B) te je idCn(B) 〈v; B〉 = 〈v; B〉 ∈ Cn(Φ(B)| B). 

 

Kako Θ (n, n)-nosi θn to je θn 〈v; B〉 ∈ Cn(Θ(B)| A), tj. postoje k ∈ N i Aj ∈ Θ(B), gde 

dim(Aj) = n, uj ∈ Bij(n, Aj), mj ∈ Z za 1 ≤ j ≤ k tako da je 

 

θn 〈v; B〉 = 

k 

mj〈uj; A〉. 

j=1 

Fiksirajmo proizvoljno 1 ≤ j ≤ k. Iz Aj ∈ ⌈MB⌉ sledi Aj ⊆ MB pa je Λ(Aj) ⊆ Λ(MB). Λ 

(n, n)-nosi λn te je λn 〈uj; A〉 

∈ Cn(Λ(Aj)| B) ⊆ Cn(Λ(MB)| B) tj. λn 〈uj; A〉 ∈ Cn(Φ(B)| B). 

Dakle (λn ◦ θn) 〈v; B〉 k 

= mjλn 〈uj; A〉 ∈ Cn(Φ(B)| B). 

j=1 

(V) 

Neka je za svako A ∈ A a-kompleks Λ(A) dimenzije ne veće od dim(A) i neka su µ = (µn| n ∈ 

N0) i ν = (νn| n ∈ N0) proizvoljni morfizmi C-komplekasa lanaca od A prema B koji poˇstuju ɛA i 

ɛB takvi da Λ (n, n)-nosi µn i νn za svako n ∈ N0. Pokaˇzimo da mora biti µ = ν. 

Neka je (Dn| n ∈ N0) C-homotopija od µ ka ν takva da Λ (n, n + 1)-nosi Dn za svako n ∈ N0 

(ovakva C-homotopija postoji na osnovu Teoreme I.13.1). Pod učinjenom pretpostavkom homohorfizmi 

Dn moraju biti trivijalni za svako n ∈ N0: 

ako su n ∈ N0, A ∈ An} 

i u ∈ Bij(n, A) imamo Dn 〈u; A〉 = 0n+1,B jer je zbog dim(A) = n po 

pretpostavci Λ(A) n+1 

= 

 

∅ pa je Cn+1(Λ(A)) trivijalna grupa, a s druge strane kako Λ (n, n + 1)nosi 

Dn imamo Dn 〈u; A〉 ∈ Cn+1(Λ(A)| B) = (in+1) →Cn+1(Λ(A)), gde je in+1 prirodno utapanje 

grupe Cn+1(Λ(A)) u grupu Cn(B). Dakle Dn(x) = 0n+1,B za svako x ∈ Cn(A). 

Zato ako je n ∈ N0 i x ∈ Cn(A) imamo 

λn(x) − νn(x) = ∂n+1,B(Dn(x)) − Dn−1(∂n,A(x)) = ∂n+1,B(0n+1,B) − 0n,B = 0n,B 

ako n > 0, odnosno 

λ0(x) − ν0(x) = ∂1,B(D0(x)) = ∂1,B(01,B) = 00,B.

II.6. F, F, I I USITNJENJA 73 

(VI) 

Ako je f : B → A proizvoljna (B, A)-simplicijalna aproksimacija od idX onda Θ (n, n)-nosi 

fn,♯ za svako n ∈ N0. Zaista, neka je n ∈ N0, B ∈ B n} i v ∈ Bij(n, B). Iz J(B) ⊆ L(MB) na 

osnovu Stava II.5.1 sledi f → B ⊆ MB. Zato ako je f ◦v injektivno onda imamo f ◦v ∈ Bij(n, f → B) 

 

kao i fn,♯ 〈v; B〉 = 〈f ◦ v; A〉 ∈ Cn(Θ(B)| A) jer f → 

B ∈ ⌈MB⌉ = Θ(B). Ako f ◦ v nije injektivno 

onda ponovo imamo fn,♯ 〈v; B〉 = 0n,A ∈ Cn(Θ(B)| A). 

Zato ako je λ morfizam kao pod (a) onda na osnovu Teoreme I.13.1 i dokazanog u delovima 

(III) i (IV) sledi da su λ i f♯ med¯usobno C-homotopno inverzni morfizmi C-komplekasa (videti 

komentar uz Stav I.13.1) te su konsekventno (λn)⋆,ɛA : Hn(A) → Hn(B) i fn,∗,ɛB : Hn(B) → Hn(A) 

za svako n ∈ N0 izomorfizmi grupa koji su jedan drugom inverzni a takod¯e su i (λ0)⋆ : 

H0(A) → H0(B) i f0,∗ : H0(B) → H0(A) jedan drugom inverzni izomorfizmi. ✷ 

Komentar uz Teoremu II.5.1. Primetimo da deo (c) Teoreme II.5.1 specijalno kaˇze da ako 

je (B, J) usitnjenje od (A, L) takvo da je za svako A ∈ A a-kompleks B ∈ B| J(B) ⊆ L(A) 

acikličan onda vaˇzi: 

za svako n ∈ N0 in;B,J,A,L : Hn(B) → Hn(A) je izomorfizam; i0,ɛB;B,J,A,L : H0(B) → H0(A) je 

izomorfizam. 

II.6 F, F, I i usitnjenja 

U odeljku II.6 (dakle tekućem) biće fiksirani: neprazan skup F , a-kompleks F nekih podskupova 

od F i funkcija I : P(F) → P(F) takva da je: 

- I(A) = A za svako A ∈ F 0} ; 

- I(A) = ∅ za svako A ∈ F; 

- I(A) = ∅ za svako A ∈ P(F) \ F. 

U skladu sa notacijom od ranije stavljamo I(A) : df 

= 

∅=S⊆A 

I(S) za svako A ⊆ F. 

Definicija II.6.1 Za a-kompleks A kaˇzemo da je (F, F, I)-kompleks ako je A ⊆ F i ako je I 

popunjavanje a-kompleksa A. ✷ 

Konvencija. U odeljku II.6 (dakle tekućem) reč “f-kompleks” će značiti “(F, F, I)-kompleks” 

(gde su F, F i I fiksirani kao ˇsto smo to već rekli). ✷ 

Jasno, ako je A f-kompleks onda je i svaki a-kompleks B ⊆ A i sam f-kompleks. 

II.6.1 Odnos izmed¯u (F, F, I)-komplekasa i funkcije I 

Stav II.6.1 Ako su A1, A2 ⊆ F a-kompleksi od kojih je bar jedan f-kompleks i ako je 

 

A∈A1 

I(A) 

onda je H = A1 ∩ A2. 

 

∩ 

 

A∈A2 

I(A) 

 

= 

H∈H 

I(H) za neki a-kompleks H ⊆ A1 ∩ A2 

✷


Dokaz. ∅ = H ⊆ A1 ∩ A2 =: A povlači da je A podkompleks i od A1 i od A2 pa je I je 

popunjavanje a-kompleksa A. B2 := H ⊆ A je a-kompleks. Uzimajući joˇs i B1 := A1 ∩ A2 u Lemi 

II.1.1, iz B1 \ B2 = ∅ sledilo bi 

I(B) \ 

I(B) = ∅ tj. 

∅ = 

 

A∈A1∩A2 

I(A) 

dakle kontradikcija. ✷ 

 

\ 

B∈B1 

H∈H 

I(H) ⊆ 

B∈B2 

 

A∈A1 

I(A) 

 

∩ 

 

A∈A2 

I(A) 

 

\ 

H∈H 

I(H) = ∅ 

Stav II.6.2 Neka je (Ai| i ∈ ∆) skup f-komplekasa i A := 

Ai. Sledeći uslovi su ekvivalentni: 

(a) za svako i, j ∈ ∆, vaˇzi: 

ako je 

 

 

⎡ 

I(A) ∩ ⎣ 

A∈Ai 

A∈Aj 

za neki a-kompleks H ⊆ Ai ∩ Aj; 

(b) A je f-kompleks. 

⎤ 

I(A) ⎦ = ∅ onda je 

 

A∈Ai 

i∈∆ 

⎡ 

I(A) ∩ ⎣ 

⎤ 

I(A) ⎦ = 

I(H) 

Dokaz. (a)⇒(b): Neka su {i, j} ⊆ ∆, Ai ∈ Ai i Aj ∈ Aj tako da je I(Ai) ∩ I(Aj) = ∅. Neka je 

x ∈ I(Ai) ∩ I(Aj). Tada je x ∈ 

A∈Ai I(A) ∩ A∈Aj I(A) 

 

= 

H∈H I(H) za neki a-kompleks 

H ⊆ Ai ∩ Aj. Otuda je x ∈ I(H) za neko H ∈ H. Dakle I(Ai) ∩ I(H) = ∅ i Ai, H ∈ Ai pa 

je Ai = H. Analogno je Aj = H. Dakle Ai = Aj. Ovim smo pokazali da je I popunjavanje za 

a-kompleks A. ✷ 

II.6.2 sd-ekstenzori i usitnjenja 

Ako je C funkcija čiji se domen sastoji od ured¯enih parova oblika (A, L) gde je A ⊆ F a L familija 

podskupova od F, dok su vrednosti funkcije C familije podskupova od F, onda ćemo za C reći da 

je [finitaran] sd-ekstenzor za (F, F, I) (skraćeno: “[finitaran] sd-ekstenzor”) ako vaˇzi: 

- C({a}, ∅) = {{a}} za svako a ∈ E; 

- ako je A ∈ F tako da je dim(A) > 0 i L f-kompleks koji [finitarno] usitnjava f-kompleks Bd(A) 

onda je C(A, L) f-kompleks koji [finitarno] usitnjava f-kompleks ⌈A⌉ i pri tom je L ⊆ C(A, L). 

Definicija II.6.2 Neka je A f-kompleks i C [finitaran] sd-ekstenzor za (F, F, I). Rekurzivno 

definiˇsemo Sp(A, C), p ∈ N0 na sledeći način: 

- S0(A, C) : df 

= A 0} ; 

- Sp+1(A, C) : df 

= Sp(A, C) ∪ 

A∈A p+1} 

A∈Aj 

⎛ ⎧ 

⎨ 

C ⎝A, 

⎩ D ∈ Sp(A, 

 

 

 

C) 

I(D) ⊆ 

 

ukoliko Ap+1} = ∅, i Sp+1(A, C) : df 

= Sp(A, C) ako Ap+1} = ∅. 

Takod¯e definiˇsemo S(A, C) : df 

= 

Sp(A, C). ✷ 

p∈N0 

∅=S⊂A 

⎫⎞ 

⎬ 

I(A) ⎠, 

⎭ 

Lema II.6.1 Neka je A f-kompleks i C [finitaran] sd-ekstenzor za (F, F, I). Za A ∈ A0} stavimo 

JA : df 

= ∅, a za A ∈ A, dim(A) > 0 stavimo JA : df 

⎧ 

⎨ 

= 

⎩ D ∈ Sp(A, C)| I(D) ⊆ 

⎫ 

⎬ 

I(S) , gde 

⎭ 

∅=S⊂A 

je p = dim(A) − 1. Iz Definicije II.6.2 neposredno sledi da uz ove oznake vaˇzi Sp+1(A, C) = 

H∈H


Sp(A, C) ∪ 

A∈A p+1} 

za q ∈ N0 i A ∈ A. Tada 

(A) Za svako p ∈ N0 vaˇzi: 

C (A, JA) za svako p ∈ N0. Definiˇsimo joˇs S (q) 

A :df 

= {D ∈ Sq(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} 

(1.p) ako je A ∈ A≤p} onda je C(A, JA) f-kompleks koji [finitarno] usitnjava ⌈A⌉ i vaˇzi JA ⊆ 

C(A, JA); ako je joˇs i dim(A) > 0 onda je JA f-kompleks koji [finitarno] usitnjava Bd(A); ako je C 

finitaran sd-ekstenzor onda je C(A, JA) konačan skup; 

(2.p) Sp(A, C) = 

C(A, JA) i Sp(A, C) ⊆ F; 

A∈A ≤p} 

(3.p) ako su A1, A2 ∈ A≤p} takvi da je ⎣ 

- A0 : df 

= A1 ∩ A2 = ∅ (te stoga i A0 ∈ A ≤p} ), 

- C(A1, JA1) ∩ C(A2, JA2) = C(A0, JA0) i 

⎡ 

⎣ 

 

D∈C(A1,JA 1 ) 

⎤ 

⎡ 

I(D) ⎦ ∩ ⎣ 

⎡ 

 

D∈C(A1,JA 1 ) 

 

D∈C(A2,JA 2 ) 

⎤ 

⎡ 

I(D) ⎦ ∩ ⎣ 

⎤ 

⎡ 

I(D) ⎦ = ⎣ 

 

D∈C(A2,JA 2 ) 

 

D∈C(A0,JA 0 ) 

⎤ 

I(D) ⎦ = ∅ onda: 

⎤ 

I(D) ⎦ . 

(4.p) Sp(A, C) je f-kompleks koji [finitarno] usitnjava A≤p} i za svako A ∈ A≤p} vaˇzi S (p) 

A = 

C(A, JA); 

(B) S(A, C) je f-kompleks koji [finitarno] usitnjava A; ako su p, q ∈ N0, p ≤ q i A ∈ A ≤p} onda je 

{D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} = S (q) 

A 

(C) ako je p, q ∈ N0 tako da je p ≤ q onda je 

Sp(A, C) = 

A∈A ≤p} 

S (q) 

A 

= 

A∈A ≤p} 

= S(p) 

A . 

{D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)}. 

Dokaz. Dokaz dajemo paralelno i za “običnu” i za “finitarnu” varijantu tvrd¯enja. 

(A) Indukcijom po p ∈ N0. Neposredno se proverava da vaˇzi (1.0)-(5.0). Neka sada vaˇze (1.i)-(5.i) 

za 0 ≤ i ≤ p. 

Pokazujemo (1.p + 1). Ako je A ∈ A ≤p} tvrd¯enje sledi iz (1.p). Neka je A ∈ A p+1} , tj. A ∈ A i 

dim(A) = p+1. Skup Bd(A) je podkompleks f-kompleksa A ≤p} . Kako je prema (4.p) Sp(A, C), I 

[finitarno] usitnjenje od (A ≤p} , I) to je na osnovu Stava II.4.4 skup 

⎧ 

⎨ 

JA = 

⎩ D ∈ Sp(A, 

 

 

 

C) 

I(D) ⊆ 

 

S∈Bd(A) 

⎫ 

⎬ 

I(S) 

⎭ 

f-kompleks koji [finitarno] usitnjava Bd(A). Kako je C [finitaran] sd-ekstenzor to je C(A, JA) fkompleks 

koji [finitarno] usitnjava ⌈A⌉ i joˇs je JA ⊆ C(A, JA). Ako je C finitaran sd-ekstenzor, onda 

je C(A, JA) konačan skup jer je ⌈A⌉ konačan a C(A, JA) je f-kompleks koji finitarno usitnjava ⌈A⌉.


Pokazujemo (2.p + 1). Iz Sp+1(A, C) = Sp(A, C) ∪ 

sledi Sp+1(A, C) = 

 

A∈A ≤p+1} 

 

A∈A p+1} \A ≤p} 

C (A, JA) i (2.p) neposredno 

C(A, JA). Ako je D ∈ Sp+1(A, C) onda je D ∈ F, jer je D ∈ C(A, JA) 

za neko A ∈ A ≤p+1} , a prema (1.p + 1) C(A, JA) je specijalno f-kompleks. 

Pokazujemo (3.p + 1). Neka su A1, A2 ∈ A≤p+1} takvi da je 

⎡ 

⎣ 

 

⎤ ⎡ 

I(D) ⎦ ∩ ⎣ 

 

⎤ 

I(D) ⎦ = ∅ . 

D∈C(A1,JA 1 ) 

D∈C(A2,JA 2 ) 

Pretpostavimo da je A1 = A2 jer je inače ono ˇsto treba da se pokaˇze trivijalno zadovoljeno. 

Prema (1.p + 1) C(Ai, JAi) je f-kompleks koji usitnjava ⌈Ai⌉, za i = 1, 2, pa je zato 

 

I(D) = 

 

I(D) = 

I(S) = I(Ai) . 

D∈C(Ai,JA i ) 

D∈C(Ai,JA i ) 

S∈⌈Ai⌉ 

Kad bi bilo A0 : df 

= A1 ∩ A2 = ∅ onda bi imali S1 = S2 za svako (S1, S2) ∈ ⌈A1⌉ × ⌈A2⌉, te i 

I(S1) ∩ I(S2) = ∅ za svako (S1, S2) ∈ ⌈A1⌉ × ⌈A2⌉ ⊆ A × A. Ovo bi značilo 

⎡ 

I(A1) ∩ I(A2) = ⎣ 

⎤ ⎡ 

I(S) ⎦ ∩ ⎣ 

⎤ 

I(S) ⎦ = 

 

I(S1) ∩ I(S2) = ∅, 

S∈⌈A1⌉ 

S∈⌈A2⌉ 

(S1,S2)∈⌈A1⌉×⌈A2⌉ 

suprotno pretpostavci. Zato je A0 = ∅ pa je A0 ∈ A≤p+1} 

a prema (1.p + 1) C(A0, JA0) je 

f-kompleks koji usitnjava ⌈A0⌉ te je zato I(A0) = 

I(D). 

D∈C(A0,JA 0 ) 

Neka je {i, j} = {1, 2} i D ∈ C(Ai, JAi) \ Sp(A, C) proizvoljno. C(Ai, JAi) usitnjava ⌈Ai⌉ pa 

je I(D) ⊆ I(M) za neko ∅ = M ⊆ Ai. Ai ∈ A≤p} zbog (2.p) povlači D ∈ C(Ai, JAi) ⊆ Sp(A, C), 

suprotno pretpostavci. Dakle Ai ∈ Ap+1} . 

Kad bi bilo M ⊂ Ai sledilo bi dim(Ai) > 0 pa bi prema (2.p + 1) JAi bio f-kompleks koji 

usitnjava Bd(Ai). Zato, ako je x ∈ I(D) proizvoljno, zbog M ∈ Bd(Ai) i x ∈ I(D) ⊆ I(M) 

postojalo bi P ∈ JAi takvo da je x ∈ I(P ) ⊆ I(M) . Dakle imali bi D, P ∈ C(Ai, JAi) i 

x ∈ I(D) ∩ I(P ) = ∅. Kako je C(Ai, JAi) f-kompleks ovo bi značilo da je D = P ∈ JAi ⊆ Sp(A, C), 

suprotno pretpostavci. 

Znači M = Ai pa je I(D) ⊆ I(Ai). Imamo da je Ai = S za svako S ∈ ⌈Aj⌉ - pretpostavili smo da 

je Ai = Aj, a ako je ∅ = S ⊂ Aj onda ovo sledi iz dim(Ai) = p+1 dok je dim(S) < dim(Aj) ≤ p+1. 

Kako je {Ai}∪⌈Aj⌉ ⊆ A a I je popunjavanje a-kompleksa A, zaključujemo da je I(Ai)∩I(S) = ∅ za 

svako S ∈ ⌈Aj⌉, pa je i I(D) ∩ 

I(S) = ∅. Kako je D ∈ C(Ai, JAi) \ Sp(A, C) bilo proizvoljno 

zapravo smo pokazali da je 

⎡ 

⎣ 

S∈⌈Aj⌉ 

 

D∈C(Ai,JA i )\Sp(A,C) 

⎤ 

I(D) ⎦ ∩ I(Aj) = ∅. 

Kako su i, j tako da je {i, j} = {1, 2} bili proizvoljni, to odavde dobijamo 

 

 

∅ = I(A1) ∩ I(A2) = 

 

 

I(D) ∩ 

 

I(D) 

D∈M1 

D∈M2


gde je Mi : df 

= C(Ai, JAi) ∩ Sp(A, C) za i = 1, 2. M1 i M2 su podkompleksi f-kompleksa Sp(A, C) 

(vaˇzi (4.p)) pa iz Stava II.1.2 sledi M1 ∩ M2 = ∅ i 

 

 

 

 

I(D) ∩ 

 

I(D) = 

 

I(D). 

D∈M1 

Takod¯e je I(A1) ∩ I(A2) = I(A0) = ⎣ 

⎡ 

D∈M2 

 

D∈C(A0,JA 0 ) 

⎤ 

I(D) ⎦. 

D∈M1∩M2 

Dakle M1 ∩ M2 ⊆ Sp(A, C) ⊇ C(A0, JA0) pa kako je I popunjavanje a-kompleksa Sp(A, C) 

(prema (4.p)) to iz 

 

I(D) = 

 

I(D) 

D∈M1∩M2 

D∈C(A0,JA 0 ) 

sledi C(A0, JA0) = M1 ∩ M2 ⊆ C(A1, JA1) ∩ C(A2, JA2). Kako su C(Ai, JAi), za i ∈ {0, 1, 2}, 

f-kompleksi prema (1.p + 1), to iz 

⎡ 

⎣ 

 

⎤ ⎡ 

I(D) ⎦ ∩ ⎣ 

 

⎤ 

I(D) ⎦ = 

 

I(D) 

D∈C(A1,JA 1 ) 

D∈C(A2,JA 2 ) 

D∈C(A0,JA 0 ) 

sada na osnovu Stava II.6.1 sledi C(A1, JA1) ∩ C(A2, JA2) = C(A0, JA0). 

Pokazujemo (4.p + 1). Da je Sp+1(A, C) f-kompleks sledi iz (1.p + 1), (2.p + 1), (3.p + 1) i Stava 

II.6.2. Dalje imamo: 

- A≤p+1} = 

 

⌈A⌉; 

- Sp+1(A, C) = 

 

A∈A ≤p+1} 

A∈A ≤p+1} 

C(A, JA) 

- C(A, JA) je I-usitnjava ⌈A⌉ za svako A ∈ A ≤p+1} . 

Otuda Sp+1(A, C) I-usitnjava A ≤p+1} . Ako je A ∈ A ≤p+1} onda: C(A, JA) je podkompleks od 

Sp+1(A, C); ⌈A⌉ je podkompleks od A ≤p+1} ; Sp+1(A, C) I-usitnjava A ≤p+1} ; C(A, JA) I-usitnjava 

⌈A⌉. Prema Stavu II.4.5 odavde sledi S (p+1) 

A 

= C(A, JA) obzirom da je I(A) = 

S∈⌈A⌉ I(S) . 

Neka je sada C finitaran sd-ekstenzor. Treba pokazati da je u ovom slučaju Sp+1(A, C) fkompleks 

koji finitarno usitnjava A≤p+1} . No ovo direktno sledi iz S (p+1) 

A = C(A, JA) za svako 

A ∈ A≤p+1} i (1.p + 1). 

(B) Kako je Si(A, C) f-kompleks za svako i ∈ N0 i kako je po definiciji Si(A, C) ⊆ Si+1(A, C) to 

je i S(A, C) f-kompleks. Kako je (Si(A, C), I) usitnjavanje od (A ≤i} , I) za svako i ∈ N0, to je i 

(S(A, C), I) usitnjavanje od (A, I). 

Neka su p, q ∈ N0 tako da je p ≤ q i neka je A ∈ A≤p} . Tada je i A ∈ A≤q} . Zato je, prema 

A = C(A, JA) = S (p) 

A . Dalje, iz same definicije sledi da 0 ≤ i ≤ j ⇒ S(i) 

A ⊆ S(j) 

A . 

(4.p) i (4.q), S (q) 

Otuda je 

{D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} = 

p 

i=0 

S (i) 

A 

 

+∞ 

∪ 

i=p 

S (i) 

A 

= S(p) 

A 

= S(q) 

A . 

Neka je sada C finitaran sd-ekstenzor. Ako je A ∈ A i p := dim(A) onda zbog (1.p) vidimo da 

je {D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} konačan skup, jer se poklapa sa C(A, JA). Zato u ovom slučaju


S(A, C) finitarno usitnjava A. 

(C) Sledi direktno iz (2.p), (4.p) i (B). ✷ 

Lema II.6.2 Ako je A ∈ F i C [finitaran] sd-ekstenzor onda, kad god je A f-kompleks takav da je 

A ∈ A (a ovo specijalno povlači da je i ⌈A⌉ f-kompleks), vaˇzi 

{D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} = S(⌈A⌉, C). 

Dokaz. Indukcijom po dim(A). Za dim(A) = 0 vaˇzi {D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} = {A} = 

S(⌈A⌉, C). 

Neka je p ∈ N, pretpostavimo da je tvrd¯enje tačno za sve skupove B ∈ F takve da je dim(B) < p 

i neka je A ∈ F tako da je dim(A) = p. Neka je A f-kompleks takav da je A ∈ A; ovo specijalno 

povlači da je i ⌈A⌉ f-kompleks. Kako je ⌈A⌉r} = ∅ za svaki prirodan broj r > p to iz definicije 

Sq(⌈A⌉, C) (q ∈ N0) sledi da je Sq(⌈A⌉, C) = Sp(⌈A⌉, C) za svako q ≥ p, te je S(⌈A⌉, C) = Sp(⌈A⌉, C). 

Dakle imamo 

S(⌈A⌉, C) = Sp(⌈A⌉, C) = 

⎛ ⎧ 

⎨ 

= Sp−1(⌈A⌉, C) ∪ C ⎝A, 

⎩ D ∈ Sp−1(⌈A⌉, 

 

⎫⎞ 

 

⎬ 

C) 

I(D) ⊆ I(S) ⎠ = C 

⎭ 

A, Sp−1(⌈A⌉, C) 

∅=S⊂A 

jer ako je D ∈ Sp−1(⌈A⌉, C) onda, obzirom da Sp−1(⌈A⌉, C) usitnjava ⌈A⌉≤p−1} = Bd(A), postoji 

neko ∅ = A0 ⊂ A tako da je I(D) ⊆ I(A0) ⊆ 

I(S). Dalje imamo 

(3) 

= 

Sp−1(⌈A⌉, C) (1) 

= 

 

B∈⌈A⌉ ≤p−1} 

 

B∈⌈A⌉ ≤p−1} 

⎧ 

⎨ 

(5) 

= 

⎩ D ∈ Sp−1(A, 

 

 

 

C) 

I(D) 

⊆ 

 

∅=S⊂A 

{D ∈ S(A, C)|I(D) ⊆ I(B)} (4) 

= 

{D ∈ S(⌈A⌉, C)|I(D) ⊆ I(B)} (2) 

= 

B∈⌈A⌉ ≤p−1} 

 

B∈⌈A⌉ ≤p−1} 

 

B∈⌈A⌉ ≤p−1} 

S(⌈B⌉, C) = 

{D ∈ Sp−1(A, C)|I(D) ⊆ I(B)} = 

⎫ 

⎬ 

I(B) 

⎭ = 

⎧ 

⎨ 

⎩ D ∈ Sp−1(A, 

 

 

 

C) 

I(D) 

⊆ 

 

∅=S⊂A 

⎫ 

⎬ 

I(S) 

⎭ . 

Argumentacija za gornje jednakosti: 

(1): na osnovu (C) iz Leme II.6.1; 

(2): ako je B ∈ ⌈A⌉ ≤p−1} onda B ∈ ⌈A⌉ i dim(B) 

hipotezi {D ∈ S(⌈A⌉, C)|I(D) ⊆ I(B)} = S(⌈B⌉, C); 

(3): ako je B ∈ ⌈A⌉ ≤p−1} onda B ∈ A i dim(B) 

hipotezi S(⌈B⌉, C) = {D ∈ S(A, C)|I(D) ⊆ I(B)}; 

(4): na osnovu (B) iz Leme II.6.1 jer je ⌈A⌉ ≤p−1} ⊆ A ≤p−1} ; 

(5): na osnovu Stava II.4.3 jer je ⌈A⌉ ≤p−1} podkompleks od A ≤p−1} a (Sp−1(A, C), I) je usitnjenje 

od (A ≤p−1} , I). 

Zato je 

S(⌈A⌉, C) = C A, Sp−1(⌈A⌉, C) ⎛ ⎧ 

⎨ 

= C ⎝A, 

⎩ D ∈ Sp−1(A, 

 

 

 

C) 

I(D) 

⊆ 

 

∅=S⊂A 

⎫⎞ 

⎬ 

I(S) ⎠ = 

⎭


= {D ∈ S(A, C)|I(D) ⊆ I(A)} 

na osnovu Leme II.6.1 (dela (4.p) iz (A) i dela (B)) jer je A ∈ A, dim(A) = p. ✷ 

Teorema II.6.1 S(A, C) = 

A∈A 

S(⌈A⌉, C). 

Dokaz. S(A, C) = 

{D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} jer je (S(A, C), I) usitnjenje od (A, I). 

Takod¯e je 

A∈A 

A∈A 

{D ∈ S(A, C)| I(D) ⊆ I(A)} = 

A∈A 

S(⌈A⌉, C) na osnovu Leme II.6.2. ✷ 

Teorema II.6.2 Ako je A0 podkompleks f-kompleksa A onda je 

 

 

 

 

S(A0, C) = D ∈ S(A, C) I(D) ⊆ 

 

 

 

I(A) . 

Dokaz. Imamo 

 

 

 

 

D ∈ S(A, C) I(D) ⊆ 

 

A∈A0 

= 

A∈A0 

I(A) 

 

= 

A∈A0 

A∈A0 

S(⌈A⌉, C) = S(A0, C) 

gde su koriˇsćeni Stav II.4.3, Lema II.6.2 i Teorema II.6.1. ✷ 

D ∈ S(A, C) I(D) ⊆ I(A) =

80 DEO II. SKUPOVNO-KOMBINATORNI DEO: OD ALGEBRE KA GEOMETRIJI

Deo III 

Geometrija: 

geometrijski simpleksi i kompleksi 

III.1 Elementi afine geometrije realnih vektorskih prostora 

III.1.1 Afina nezavisnost 

Prazan skup ∅ ⊆ V smatramo linearno nezavisnim skupom vektora prostora V. 

Definicija III.1.1 S ⊆ V je afino nezavisan ako za svaki konačan P ⊆ S i svako λ ∈ P R takvo 

da je 

λ(p) = 0 vaˇzi 

p∈P 

 

λ(p)p = −→ 0 ⇒ ∀p ∈ P (λ(p) = 0) . 

p∈P 

Stav III.1.1 Neka je S ⊆ V i a ∈ S. Skup S je afino nezavisan akko je skup M := {x − a| x ∈ 

S, x = a} linearno nezavisan. 

Dokaz. Neka je S afino nezavisan i neka je M0 ⊆ M konačan. Takod¯e neka je λ : M0 → R tako 

da je 

λ(m)m = −→ 0 . Za svako m ∈ M0 postoji po f(m) ∈ S \ {a} tako da je m = f(m) − a. 

m∈M0 

Jasno f : M0 → ran(f) ⊆ S \ {a} je bijekcija. 

Neka je P := ran(f) ∪ {a} i θ : P → R tako da θ(p) = λ(f −1 (p)) za p ∈ ran(f) i θ(a) = 

− 

λ(m). Kako je f(m) = a za svako m ∈ M0 to je θ korektno definisano preslikavanje. 

m∈M0 

Imamo 

 

θ(p) = 

p∈P 

−→ 0 = 

m∈M0 

p∈ran(f) 

λ(m)m = 

θ(p) + θ(a) = 

m∈M0 

m∈M0 

λ(m)f(m) + 

λ(m) + 

 

 

− 

m∈M0 

− 

m∈M0 

λ(m) 

 

λ(m) 

 

= 0 i 

a = 

θ(p)p 

pa kako je P konačan podskup afino nezavisnog skupa S to je θ(p) = 0 za svako p ∈ P , te specijalno 

i 0 = θ(f(m)) = λ(m) za svako m ∈ M0. 

81 

p∈P

82 DEO III. GEOMETRIJA: GEOMETRIJSKI SIMPLEKSI I KOMPLEKSI 

Neka 

je sada M linearno nezavisan i P ⊆ S konačan. Takod¯e neka je λ : P → R tako da je 

λ(p)p = −→ 0 i 

λ(p) = 0. Imamo 

p∈P 

p∈P 

⎡ 

−→ 

0 = λ(p)p − ⎣ 

⎤ 

λ(p) ⎦ a = 

λ(p)(p − a) = 

p∈P 

p∈P 

p∈P 

p∈P \{a} 

λ(p)(p − a) 

pa sledi da je λ(p) = 0 za svako p ∈ P \ {a}. Ako a /∈ P onda je dokaz zavrˇsen a ako je a ∈ P onda 

imamo 0 = 

λ(p) = 

λ(p) + λ(a) = 0 + λ(a), tj. λ(a) = 0. ✷ 

p∈P 

p∈P \{a} 

Stav III.1.2 Ako su S ⊆ E afino nezavisan skup, P, Q ⊆ S konačni skupovi i λ ∈ P R i µ ∈ QR takvi da je 

λ(x) = 

µ(x) i 

λ(x)x = 

µ(x)x onda je λ(x) = µ(x) za x ∈ P ∩ Q, 

x∈P 

x∈Q 

x∈P 

x∈Q 

λ(x) = 0 za x ∈ P \ Q i µ(x) = 0 za x ∈ Q \ P . 

Dokaz. Iz 

λ(x)x = 

µ(x)x sledi −→ 0 = 

= 

x∈P ∪Q 

x∈P 

x∈Q 

x∈P ∩Q 

[λ(x)−µ(x)]x+ 

x∈P \Q 

λ(x)x+ 

x∈Q\P 

(−µ(x))x 

δ(x)x za δ : P ∪ Q → R definisano sa δ(x) = λ(x) − µ(x) ako x ∈ P ∩ Q, δ(x) = λ(x) ako 

x ∈ P \ Q i δ(x) = µ(x) ako x ∈ Q \ P . Imamo 

x∈P ∪Q 

δ(x) = 

λ(x) − 

µ(x) = 0 pa kako je 

P ∪ Q konačan podskup afino nezavisnog skupa S to mora biti δ(x) = 0 za svako x ∈ P ∪ Q. ✷ 

III.1.2 Konveksnost 

Definicija III.1.2 Za skup S ⊆ V je konveksan (skup u r.v.p. V) ako za svako t ∈ [0; 1] i svako 

x, y ∈ S vaˇzi (1 − t)x + ty ∈ S. 

Skup Cx(S) = CxV(S) = {C ⊆ V| S ⊆ C i C je konveksan} nazivamo konveksno zatvorenje 

skupa S. ✷ 

Za neprazan skup X = ∅ označimo 

∆X : df 

 

= λ ∈ X 

 

 

R 

X \ λ↼ {0} je konačan, ran(λ) ⊆ [0, 1] i 

 

λ(x) = 1 

(suma koja se ovde javlja je konačna). Primetimo da ako je X konačan skup onda je ∆X 

= {λ ∈ 

XR | ran(λ) ⊆ [0, 1] i λ(x) = 1}. 

x∈X 

Stav III.1.3 Za neprazan S ⊆ V sledeći uslovi su ekvivalentni: 

(1) S je konveksan; 

(2) za proizvoljan skup Q i svako λ ∈ ∆Q i π ∈ QS vaˇzi 

λ(q)π(q) ∈ S; 

q∈Q 

(3) za svaki konačan P ⊆ S i svako λ ∈ ∆P vaˇzi 

λ(p)p ∈ S. ✷ 

p∈P 

x∈P 

Stav III.1.4 Za M ⊆ V vaˇzi: 

(1) Cx(M) je konveksan skup; 

(2) Cx(M) = { 

λ(p)p | P ⊆ M je konačan neprazan i λ ∈ ∆P }; 

p∈P 

x∈X 

x∈Q

III.2. GEOMETRIJSKI SIMPLEKSI 83 

(3) Cx(M) = { 

λ(x)x | λ ∈ ∆M }; 

x∈M 

(4) ako su skup Q i π : Q na 

−→ M proizvoljni onda je Cx(M) = { 

λ(q)π(q) | λ ∈ ∆Q}. ✷ 

III.2 Geometrijski simpleksi 

Definicija III.2.1 Neprazan konačan afino nezavisan skup M ⊆ V zvaćemo k.a.n. skup u V, ili 

jednostavno k.a.n. u V. 

Skup oblika CxV(P ), gde je P ⊆ V neki k.a.n. u V, nazivamo geometrijski simpleks u V, ili 

jednostavno g-simpleks u V. ✷ 

III.2.1 Baricentrične koordinate tačaka: BsA,V i natA,V 

Definicija III.2.2 Neka je A ⊆ V k.a.n. skup u V i σ := Cx(A) g-simpleks u V. 

Za svako x ∈ σ i a ∈ A na osnovu (3) iz Stava III.1.4 postoji λ(x, a) ∈ [0; 1] tako da je 

x = 

λ(x, a) · a. Pri tom je ovako definisana funkcija λ : σ × A → [0; 1] prema Stavu III.1.2 

a∈A 

jedinstveno odred¯ena (pri fiksiranom r.v.p. V) i za nju ćemo koristiti oznaku BsA,V. Dakle 

BsA,V : σ × A → [0; 1]. 

Za x ∈ σ i a ∈ A broj BsA,V(x, a) nazivamo baricentrična koordinata od x u odnosu na k.a.n. A u 

V pri temenu a. 

Za x ∈ σ funkciju 

BsA,V(x, ·) : A → [0; 1] 

nazivamo baricentrična reprezentacija od x u odnosu na k.a.n. A u r.v.p. V . Primetimo da je 

BsA,V(x, ·) ∈ ∆A. 

Za a ∈ A funkciju 

BsA,V(·, a) : σ → [0; 1] 

nazivamo (baricentrična) koordinatna funkcija k.a.n. skupa A u r.v.p. V pri temenu a. 

Ako je jasno o kom r.v.p. V je reč piˇsemo i samo BkA(x, a), BkA(x, ·) i BkA(·, a) za x ∈ σ i 

a ∈ A. 

Definicija III.2.3 Ako je A k.a.n. u V i σ := Cx(A) definiˇsemo natA,V : σ → ∆A sa 

za x ∈ σ. ✷ 

natA,V(x) : df 

= BsA,V(x, ·) 

Komentar uz Definiciju III.2.3. Iz (3) Stava III.1.4 i Stava III.1.2 sledi da je 

bijekcija izmed¯u Cx(A) i ∆A. ✷ 

natA,V : Cx(A) → ∆A 

q∈Q


Stav III.2.1 Neka je A ⊆ V k.a.n. skup u V, m ∈ N, x1, . . . , xm ∈ CxV(A). Ako su ti ∈ [0; 1] za 

m 

i = 1, m tako da je ti = 1 onda je 

za svako a ∈ A. 

i=1 

i=1 

BsA,V 

m 

i=1 

ti · xi, a 

 

= 

m 

i=1 

ti · BsA,V(xi, a) 

Dokaz. Imamo 

m 

m 

 

x := ti · xi = ti · 

 

BsA,V(xi, a) · a = 

ν(a) · a, 

gde je ν(a) : df 

= 

i=1 

a∈A 

m 

ti · BsA,V(xi, a) ∈ [0; 1] za a ∈ A. Kako je joˇs i 

i=1 

 

ν(a) = 

 

m 

a∈A 

a∈A 

i=1 

ti · BsA,V(xi, a) 

i=1 

zaključujemo da je ν(a) = BsA,V(x, a) za svako a ∈ A. ✷ 

a∈A 

a∈A 

 

m 

 

= ti · 

 

m 

BsA,V(xi, a) = ti = 1 

III.2.2 Skelet geometrijskog simpleksa 

 

Lema III.2.1 (1) Ako je P k.a.n. i σ = Cx(P ) onda je P = x ∈ σ | ne postoje u, v ∈ σ tako da 

je u = v i x = 1 

 

(u + v) . 

2 

(2) Ako su P i Q k.a.n. skupovi i Cx(P ) = Cx(Q) onda je P = Q. 

Dokaz. (1) Označimo sa D skup na desnoj strani jednakosti koju treba da pokaˇzemo. 

Neka su p ∈ P i x1, x2 ∈ σ tako da je p = 1 

2 (x1 + x2) proizvoljni. Prema Stavu III.2.1 imamo 

1 = BsP,V(p, p) = 1 

2 · BsP,V(x1, p) + 1 

2 · BsP,V(x2, p). Kako je 0 ≤ BsP,V(xi, p) ≤ 1, i = 1, 2, to 

odavde sledi BsP,V(x1, p) = BsP,V(x2, p) = 1, tj. x1 = x2 = p. Dakle ne moˇze biti x1 = x2. Ovim 

je pokazano da je P ⊆ D. 

 

Neka je sada z ∈ σ \ P i neka je λ baricentrična reprezentacija od z u odnosu na P . Tada je 

λ(y) = 1 kao i ran(λ) ⊆ [0, 1]. 

y∈P 

Iz λ(y) /∈ (0, 1) za svako y ∈ P bi sledilo da je z ∈ P ili 

λ(y) ∈ {0} ∪ [2, +∞), ˇsto je 

nemoguće. 

Iz λ(y0) ∈ (0, 1) za tačno jedno y0 ∈ P bi sledilo 

λ(y) ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), ˇsto je takod¯e 

nemoguće. 

Dakle postoje y1, y2 ∈ P tako da je y1 = y2 i λ(y1), λ(y2) ∈ (0, 1). Neka je 0 < ε < 

min λ(y1), 1 − λ(y1), λ(y2), 1 − λ(y2) . Definiˇsimo λ1, λ2 : P → R na sledeći način: 

λ1(y) = λ2(y) = λ(y) za y ∈ P \{y1, y2}; λ1(y1) = λ(y1)+ε, λ1(y2) = λ(y2)−ε; λ2(y1) = λ(y1)−ε, 

y∈P 

y∈P 

i=1

III.2. GEOMETRIJSKI SIMPLEKSI 85 

λ2(y2) = λ(y2) + ε. Primetimo da je ova definicija korektna zbog y1 = y2. Na osnovu izbora broja 

ε vaˇzi ran(λ1) ∪ ran(λ2) ⊆ [0, 1]. Imamo 

⎡ 

 

λ1(y) = ⎣ 

 

⎤ 

λ(y) ⎦ + λ(y1) + ε + λ(y2) − ε = 

λ(y) = 1. 

y∈P 

y∈P \{y1,y2} 

Slično je 

λ2(y) = 1. Zato je xi : df 

= 

λi(y)y ∈ σ za i = 1, 2. (Recimo) zbog λ1(y1) = λ2(y1) 

y∈P 

y∈P 

mora biti x1 = x2 (baricentrične reprezentacije u odnosu na P su im različite). Najzad 

1 

2 (x1 + x2) = 

⎡ 

λ1(y) + λ2(y) 

y = ⎣ 

2 

 

⎤ 

λ(y) + λ(y) 

y⎦ 

+ 

2 

λ(y1) + ε + λ(y1) − ε 

y1+ 

2 

y∈P 

y∈P \{y1,y2} 

+ λ(y2) − ε + λ(y2) + ε 

2 

y2 = 

λ(y) = z. 

Ovim je pokazano da je σ \ P ⊆ σ \ D, ˇsto obzirom da je P ∪ D ⊆ σ povlači D ⊆ P . 

(2) sledi direktno iz (1). ✷ 

Lema III.2.1 omogućava uvod¯enje sledeće definicije. 

Definicija III.2.4 Ako je σ g-simpleks u V onda postoji jedinstven T k.a.n. tako da je σ = 

CxV(T ); ovaj jedinstveni k.a.n. označavamo sa SkV σ ili SkV(σ) i nazivamo V-skelet g-simpleksa σ 

(ili jednostavno piˇsemo Sk σ ili Sk(σ) i kaˇzemo skelet od σ, ako je jasno o kom r.v.p. V je reč). 

Iz same definicije direktno imamo da je Cx(Sk σ) = σ i Sk(Cx(T )) = T kad god su σ g-simpleks 

i T k.a.n. u V. ✷ 

Ako je σ g-simpleks u V i k.a.n. A u V-skelet g-simpleksa σ onda za BsA(x, a), BsA(x, ·) i 

BsA(·, a), gde x ∈ σ i a ∈ A, kaˇzemo i da su, tim redom, baricentrična koordinata od x u odnosu 

na g-simpleks σ u V pri temenu a, baricentrična reprezentacija od x u odnosu na g-simpleks σ u 

V i (baricentrična) koordinatna funkcija g-simpleksa σ u V pri temenu a. Za broj dim(A) kaˇzemo 

i da je dimenzija g-simpleksa σ i označavamo ga sa dim(σ) = dimV(σ). 

df 

Definicija III.2.5 Za g-simplekse σ1 i σ2 uvodimo relaciju: σ1 σ2 ⇐⇒ Sk σ1 ⊆ Sk σ2 i, ukoliko 

ovo vaˇzi, za σ1 kaˇzemo da je lice od σ2. Relacija (preciznije: V) je (očigledno) parcijalno 

ured¯enje na skupu svih g-simplekasa prostora V. ✷ 

Stav III.2.2 Ako je P ⊆ V k.a.n., Q ⊆ V proizvoljan i Cx(P ) = Cx(Q) onda je P ⊆ Q. 

Dokaz. Neka je p ∈ P proizvoljno. Iz p ∈ Cx(P ) = Cx(Q) sledi da postoji neki konačan 

λ(y)y. 

Q ′ 

⊆ Q i λ ∈ ∆Q ′ tako da je p = 

y∈Q ′ 

Nije moguće da vaˇzi λ(y0) ∈ (0, 1) za tačno jedno y0 ∈ Q ′ jer bi tada moralo biti 

λ(y) ∈ 

(0, 1) ∪ (1, +∞). 

Pretpostavimo da postoje y1, y2 ∈ Q ′ tako da je y1 = y2 i λ(y1), λ(y2) ∈ (0, 1). Neka je 

0 < ε < min λ(y1), 1 − λ(y1), λ(y2), 1 − λ(y2) . Definiˇsimo λ1, λ2 : Q ′ → R na sledeći način: 

y∈P 

y∈P 

y∈P


λ1(y) = λ2(y) = λ(y) za y ∈ Q ′ \ {y1, y2}; λ1(y1) = λ(y1) + ε, λ1(y2) = λ(y2) − ε; λ2(y1) = 

λ(y1) − ε, λ2(y2) = λ(y2) + ε. Ova definicija je korektna zbog y1 = y2. Kao i u dokazu Leme 

III.2.1 imamo da je ran(λ1) ∪ ran(λ2) ⊆ [0, 1] kao i da je 

λ1(y) = 

λ2(y) = 1. Zato je 

xi : df 

= 

y∈Q ′ 

λi(y)y ∈ Cx(Q ′ ) ⊆ Cx(Q) = Cx(P ) za i = 1, 2. Zbog λ1(y1) = λ2(y1) mora biti x1 = x2. 

y∈Q ′ 

y∈Q ′ 

Ali 1 

2 (x1 + x2) = p ∈ P . Obzirom da je P k.a.n. ovo protivureči Lemi III.2.1. 

Dakle jedini mogući slučaj je da vaˇzi λ(y) ∈ {0, 1} za svako y ∈ Q ′ . No kako je λ ∈ ∆Q ′ to 

odavde sledi da postoji y0 ∈ Q ′ tako da je λ(y0) = 1 i λ(y) = 0 za svako y ∈ Q ′ \ {y0}. Dakle 

p = y0 ∈ Q ′ ⊆ Q. ✷ 

III.2.3 Interior geometrijskog simpleksa 

Definicija III.2.6 Ako je σ g-simpleks u V definiˇsemo njegov V-interior sa 

int σ = int(σ) = intV σ = intV(σ) : df 

= σ \ {Cx(P )| P ⊂ Sk σ}. 

smatramo da je Cx(∅) = ∅; u skladu s tim imamo int{x} = {x} . ✷ 

Stav III.2.3 Vaˇzi int σ = 

 

x∈Sk σ 

λ(x)x| λ ∈ ∆Sk σ, ran(λ) ⊆ (0, 1] 

 

. Drugim rečima int σ je 

skup svih onih tačaka g-simpleksa σ kojima nijedna baricentrična koordinata nije jednaka 0. 

Dokaz. Neka je x ∈ σ i neka je λ baricentrična reprezentacija od x u odnosu na Sk σ. 

Neka je najpre x ∈ int σ. Kad bi bilo λ(y) = 0 za neko y ∈ Sk σ onda bi imali 

 

 

z∈Sk σ 

λ(z) = 1 kao i x = 

z∈Sk σ 

λ(z)z = 

 

z∈Sk σ\{y} 

z∈Sk σ\{y} 

λ(z) = 

λ(z)z te bi bilo x ∈ Cx(Sk σ \ {y}) , a ovo je 

nemoguće zbog Sk σ \ {y} ⊂ Sk σ po definiciji pojma int σ. 

S druge strane ako je λ(y) > 0 za svako y ∈ Sk σ i ako je P ⊂ Sk σ proizvoljan onda ne 

moˇze biti x ∈ Cx(P ) jer bi tada za µ - baricentričnu reprezentaciju od x u odnosu na P sledilo 

x = 

µ(z)z = 

λ(z)z te bi na osnovu Stava III.1.2 moralo biti λ(y) = 0 za svako Sk σ \ P . 

z∈P 

x∈Skσ 

Ali Sk σ \ P = ∅. ✷ 

Stav III.2.4 Za g-simplekse σ1 i σ2 vaˇzi σ1 = σ2 akko int(σ1) = int(σ2). 

Dokaz. Stavimo P := Sk σ1, Q := Sk σ2 i pretpostavimo int(σ1) = int(σ2). 

Neka je n broj elemenata skupa P . Ako je n = 1 onda je P = {p} za neko p ∈ V pa je 

σ1 = {p} = int σ1 = int σ2, tj. σ2 = {p}. 

Neka je sada n > 1 i neka je p ∈ P proizvoljno. Imamo 

a := 2 

3 

⎛ 

1 

p + ⎝ 

3(n − 1) 

 

⎞ 

s⎠ 

∈ int σ1 = int σ2 kao i 

s∈P \{p} 

b := 1 

⎛ 

2 

p + ⎝ 

3 3(n − 1) 

 

⎞ 

s⎠ 

∈ int σ1 = int σ2. 

s∈P \{p}

III.3. GEOMETRIJSKI KOMPLEKSI 87 

Zato 

 

su BsQ(a, q) i BsQ(b, q) za q ∈ Q definisani. Za t = −1 sada imamo p = (1 − t)a + tb = 

 

(1 − t)BsQ(a, q) + tBsQ(b, q) · q kao i 

q∈Q 

 

(1 − t)BsQ(a, q) + tBsQ(b, q) = (1 − t) 

BsQ(a, q) + t 

BsQ(b, q) = 1 . 

q∈Q 

Odavde moˇzemo zaključiti da za svako p ∈ P postoji po µp : Q → R tako da je 

µp(q) = 1 i 

 

µp(q)q = p. Pokaˇzimo da za proizvoljno p ∈ P mora biti ran(µp) ⊆ [0, 1]. Ovo bi automatski 

q∈Q 

povlačilo P ⊆ Cx(Q) te i Cx(P ) ⊆ Cx(Q); analogno bi se dobilo Cx(Q) ⊆ Cx(P ) i dokaz bi bio 

gotov. 

Pretpostavimo suprotno onom ˇsto treba utvrditi da postoji neko p0 ∈ P i neko q0 ∈ Q tako da 

je µp0(q0) < 0 (pod uslovom 

µp(q) = 1 ovo je negacija onog ˇsto treba da se pokaˇze). 

q∈Q 

Za k ∈ N, k > 1 definiˇsimo αk : P → [0, 1] sa αk(p0) = 1− 1 

k i αk(p) 

1 

= za p ∈ P \{p0}. 

k(n − 1) 

Mnoˇzeći jednakosti p = µp(q0)q0 + 

µp(q)q sa αk(p) i sabirajući dobijene jednakosti kad 

q∈Q\{q0} 

p prod¯e skupom P dobijamo (videti Stav III.2.3) 

int(σ2) = int(σ1) ∋ rk := 

αk(p)p = 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

αk(p)µp(q) ⎦ q = 

θk(q)q 

p∈P 

gde smo stavili θk(q) : df 

= 

αk(p)µp(q). Imamo 

θk(q) = 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

αk(p)µp(q) ⎦ = 

p∈P 

⎡ 

 

αk(p) ⎣ 

⎤ 

µp(q) ⎦ = 1. Kako je rk ∈ int σ2 ⊆ σ2 = CxV(Q) to odavde na osnovu Stava 

p∈P 

q∈Q 

III.1.2 sledi da je θk(q) ≥ 0 za svako q ∈ Q, i svako k ∈ N, k > 1. 

S druge strane je θk(q0) = 

αk(p)µp(q0) = αk(p0)µp0(q0) + 

p∈P 

q∈Q 

q∈Q 

p∈P 

q∈Q 

q∈Q 

q∈Q 

p∈P \{p0} 

q∈Q 

p∈P 

q∈Q 

αk(p)µp(q0). Imamo 

da αk(p) → 0 za p ∈ P \ {p0} odnosno αk(p0) → 1 kad k → +∞. Kako smo pretpostavili da je 

µp0(q0) < 0 to za dovoljno veliko k mora biti θk(q0) < 0, suprotno već utvrd¯enom. ✷ 

III.3 Geometrijski kompleksi 

Definicija III.3.1 Ako je F = V, F = {A ⊆ V | A je k.a.n.} i I(A) = IV(A) = intV(CxV(A)) 

ako je A ⊆ V k.a.n., odnosno I(A) = IV(A) = ∅ ako A ⊆ V nije k.a.n. onda (F, F, I)-komplekse 

nazivamo V-temene ˇseme, ili temene ˇseme u V. ✷ 

Komentar uz Definiciju III.3.1. Ako je A k.a.n. u V onda iz Stava III.2.3 koristeći se Stavom 

III.1.2 moˇzemo zaključiti da je CxV(A) = 

intV CxV(S) , tj. 

∅=S⊆A 

IV(A) = CxV(A), 

a takod¯e i da ako su neprazni P, Q ⊆ A tako da P = Q onda je 

IV(P ) ∩ IV(Q) = intV(CxV(P )) ∩ intV(CxV(Q)) = ∅.


Iz ovog se specijalno moˇze zaključiti da ako je A k.a.n. u V onda je ⌈A⌉ V-temena ˇsema. ✷ 

Definicija III.3.2 Skup K g-simplekasa u V nazivamo geometrijski kompleks (ili: g-kompleks) u 

V ako je B := {Sk σ| σ ∈ K} temena ˇsema u V. Za V-temenu ˇsemu B kaˇzemo da je V-pridruˇzena 

g-kompleksu K u V a za skup K da je V-telo g-kompleksa K u V. 

Ako je B V-temena ˇsema onda za g-kompleks {Cx(A)| A ∈ A} u V kaˇzemo da je V-pridruˇzen 

V-temenoj ˇsemi B a za njegovo telo da je V-telo V-temene ˇseme B. ✷ 

Iz same Definicije III.3.2 sledi da je skup K g-simplekasa u V g-kompleks u V akko: 

(K1) ako je σ0 g-simpleks tako da je σ0 σ za neko σ ∈ K onda je i σ0 ∈ K; 

(K2) ako su σ1, σ2 ∈ K tako da je σ1 = σ2 onda je int(σ1) ∩ int(σ2) = ∅. 

III.3.1 Ekvivalentne definicije 

Stav III.3.1 Skup K g-simplekasa je g-kompleks akko vaˇze uslov (K1) i uslov 

(K2 ′ ) ako su σ1, σ2 ∈ K takvi da je σ1 ∩ σ2 = ∅ onda je σ1 ∩ σ2 g-simpleks i to takav da je 

σ1 ∩ σ2 σ1 i σ1 ∩ σ2 σ2. ✷ 

Dokaz. Neka je K skup g-simplekasa u V. Stavimo B := Sk σ| σ ∈ K . 

Neka je K g-kompleks u V. Da pokaˇzemo da vaˇzi (K2 ′ ) neka su σ1, σ2 ∈ K takvi da je 

σ1 ∩ σ2 = ∅. Ako stavimo Pi : df 

= Sk σi, i = 1, 2, onda imamo (videti Komentar uz Definiciju 

III.3.1) ∅ = σ1 ∩ σ2 = I(P1) ∩ I(P2) pa je ∅ = P1 ∩ P2 i σ1 ∩ σ2 = I(P1) ∩ I(P2) = I(P1 ∩ P2) ∈ K, 

obzirom da je po pretpostavci I popunjavanje za a-kompleks B kao i da je {P1, P2, P1 ∩ P2} ⊆ B. 

Obrnuto, neka vaˇze uslovi (K1) i (K2 ′ ). Da pokaˇzemo da vaˇzi (K2) neka su σ1, σ2 ∈ K takvi 

da je int(σ1) ∩ int(σ2) = ∅. Stavimo Pi : df 

= Sk σi, i = 1, 2. Neka je x ∈ int(σ1) ∩ int(σ2) ⊆ σ1 ∩ σ2 

proizvoljno. Iz σ1∩σ2 = ∅ i (K2 ′ ) sledi da postoji neko ∅ = P0 ⊆ P1∩P2 tako da je σ1∩σ2 = Cx(P0). 

σ1 \ 

Kad bi bilo P0 ⊂ P1 imali bi istovremeno x ∈ Cx(P0) ⊆ 

⎛ 

⎝ 

∅=S⊂P1 

⎞ 

ovo znači da je σ1 = σ2. 

∅=S⊂P1 

Cx(S) i x ∈ int(σ1) = 

Cx(S) ⎠, ˇsto nije moguće. Dakle mora biti P0 = P1. Analogno se dobija P0 = P2. A 

Inače ovaj se dokaz mogao privesti kraju i ovako: ⌈P1⌉ i ⌈P2⌉ su V-temene ˇseme (videti Komentar 

uz Definiciju III.3.1), i imamo {P0, P1} ⊆ ⌈P1⌉ kao i {P0, P2} ⊆ ⌈P2⌉; sada iz x ∈ I(P1)∩I(P0) = 

∅ i x ∈ I(P2) ∩ I(P0) = ∅ sledi P1 ⊆ P0 i P2 ⊆ P0, tj. P1 = P2 = P0. ✷ 

Definicija III.3.3 Za k.a.n. skupove M i N kaˇzemo da su kompatibilno postavljeni ako vaˇzi 

Cx(M) ∩ Cx(N) = Cx(M ∩ N). ✷ 

Stav III.3.2 Neka su M i N k.a.n. skupovi i L ⊆ M ∩ N. Ako vaˇzi Cx(M) ∩ Cx(N) = Cx(L) 

onda mora biti L = M ∩ N. ✷ 

Stav III.3.3 Skup K g-simplekasa je g-kompleks akko vaˇze uslov (K1) i uslov 

(K2 ′′ ) ako je σ1, σ2 ∈ K onda su Sk σ1 i Sk σ2 kompatibilno postavljeni. ✷ 

Stav III.3.4 Skup K g-simplekasa je g-kompleks akko vaˇze uslov (K1) i uslovi 

(K3) σ1, σ2 ∈ K ⇒ σ1 ∩ σ2 = ∅ ili σ1 ∩ σ2 ∈ K ; 

(K4) za svako σ1, σ2 ∈ K vaˇzi σ1 ⊆ σ2 ⇐⇒ σ1 σ2 . ✷

III.3. GEOMETRIJSKI KOMPLEKSI 89 

III.3.2 Baricentrične koordinate u odnosu na geometrijske komplekse: 

BkA,V 

Za proizvoljnu funkciju f definiˇsemo supp(f) : df 

= x ∈ dom(f)| f(x) = 0 . 

Definicija III.3.4 Neka je A V-temena ˇsema u V i K g-kompleks u V koji joj je V-pridruˇzen. 

Ako je x ∈ K onda postoji tačno jedan σx ∈ K tako da je x ∈ int σx. Neka je, za x ∈ K 

i a ∈ Sk σx, λ(x, a) ∈ [0; 1] baricentrična koordinata od x u odnosu na Sk σx pri temenu a. Za 

x ∈ K i a ∈ A definiˇsemo baricentričnu koordinatu od x u odnosu na V-temenu ˇsemu A pri 

temenu a kao broj µ(x, a) ∈ [0; 1] takav da µ(x, a) = λ(x, a) za a ∈ Sk σx, odnosno µ(x, a) = 0 

inače. Za ovako definisanu funkciju µ : K × A → [0; 1] koristimo oznaku BkA,V. Dakle 

i ako je x ∈ int σx tako da je σx ∈ K onda 

odnosno 

Za x ∈ K funkciju 

BkA,V : K × A → [0; 1] 

BkA,V(x, a) = BsSk σx,V(x, a) za a ∈ Sk σx, 

BkA,V(x, a) = 0 za a ∈ A \ Sk σx. 

BkA,V(x, ·) : A → [0; 1] 

nazivamo baricentrična reprezentacija od x u odnosu na V-temenu ˇsemu A (ili: u odnosu na gkompleks 

K u V). 

Za a ∈ A posmatramo i funkciju 

BkA,V(·, a) : K → [0; 1], 

i nazivamo je (baricentrična) koordinatna funkcija V-temene ˇseme A (ili: g-kompleksa K u V) pri 

temenu a. 

Ako je jasno o kom r.v.p. V je reč piˇsemo i samo BkA(x, a), BkA(x, ·) i BkA(·, a) za x ∈ K i 

a ∈ A. ✷ 

Komentar uz Definiciju III.3.4. Iz same Definicije III.3.4 sledi da je supp BkA,V(x, ·) = 

A ∈ A gde je A ∈ A onaj jedinstveni k.a.n. za koji vaˇzi x ∈ int CxV(A) . Zato je BkA,V(x, ·) ∈ 

∆ A kao i 

x = 

BkA,V(x, a) · a = 

BkA,V(x, a) · a. 

a∈ A 

Odavde se direktno vidi da BkA,V(x1, ·) = BkA,V(x2, ·) za x1, x2 ∈ K povlači x1 = x2. ✷ 

Stav III.3.5 Ako je x ∈ σ1 ∩ σ2, {σ1, σ2} ⊆ K i ako su λ1 i λ2 baricentrične reprezentacije od x 

u odnosu na g-simplekse σ1 i σ2, tim redom, onda je 

- λ1(p) = λ2(p) za p ∈ Sk σ1 ∩ Sk σ2; 

- λ1(p) = 0 za p ∈ Sk σ1 \ Sk σ2; 

- λ2(p) = 0 za p ∈ Sk σ2 \ Sk σ1. 

a∈A


Dokaz. Neka je Ai : df 

= Sk σi, i = 1, 2 i A0 : df 

= A1 ∩ A2. Na osnovu Stava III.3.3 je σ1 ∩ σ2 = 

CxV(A0). A0 je k.a.n. x ∈ CxV(A0) povlači A0 = ∅ . Zato uzimajući u Stavu III.1.2 S = P = A1 

i Q = A0, iz 

λ1(a) · a = x = 

BsA0,V(x, a) · a i 

λ1(a) = 1 = 

BsA,V(x, a) 

a∈A1 

a∈A0 

sledi λ1(p) = 0 za svako p ∈ A1 \ A0 = Sk σ1 \ Sk σ2 kao i λ1(p) = BsA0,V(x, p) za svako 

p ∈ A1 ∩ A0 = A0 = Sk σ1 ∩ Sk σ2. Analogno se dobija λ2(p) = 0 za svako p ∈ A2 \ A0 = 

Sk σ2 \ Sk σ1 kao i λ2(p) = BsA0,V(x, p) za svako p ∈ A2 ∩ A0 = A0 = Sk σ1 ∩ Sk σ2. Specijalno 

λ1(p) = BsA0,V(x, p) = λ2(p) za svako p ∈ Sk σ1 ∩ Sk σ2. ✷ 

Stav III.3.6 Neka je µx baricentrična reprezentacija tačke x ∈ K u odnosu na kompleks K. 

Fiksirajmo proizvoljan σ ∈ K tako da je x ∈ σ. Neka je λx baricentrična reprezentacija od x u 

odnosu na simpleks σ. Tada je µx(p) = λx(p) za p ∈ Sk σ a µx(p) = 0 za p ∈ B \ Sk σ, gde je 

B V-temena ˇsema V-pridruˇzena g-kompleksu K. 

Dokaz. Iz x ∈ σ = I Sk σ sledi da za neko ∅ = A0 ⊆ Sk σ vaˇzi x ∈ I(A0) = int(σ0), gde 

σ0 = CxV(A0) ∈ K. Prema Definiciji III.3.4 je sada 

a∈A1 

a∈A0 

µx(a) = BsA0,V(x, a) za svako a ∈ A0 i µx(p) = 0 za svako p ∈ B \ A0. 

Ako je p ∈ B \ Sk σ onda zbog B \ Sk σ ⊆ B \ A0 direktno sledi µx(p) = 0. 

Neka je sada p ∈ Sk σ. Na osnovu Stava III.3.5 iz x ∈ σ ∩ σ0 i {σ, σ0} ⊆ K sledi λx(p) = 

BsA0,V(x, p) = µx(p) za svako p ∈ Sk σ ∩ Sk σ0 = A0 kao i λx(p) = 0 = µx(p) za svako p ∈ 

Sk σ \ Sk σ0 ⊆ B \ A0. Dakle λx(p) = µx(p) za svako p ∈ Sk σ. ✷ 

Stav III.3.7 Neka je µx baricentrična reprezentacija tačke x ∈ K u odnosu na kompleks K. 

Fiksirajmo proizvoljno p ∈ B, gde je B V-temena ˇsema V-pridruˇzena g-kompleksu K. Tada 

- ako ne postoji σ ∈ K tako da je {x, p} ⊆ σ onda je µx(p) = 0; 

- u suprotnom, izaberimo proizvoljno σ ∈ K tako da je {x, p} ⊆ σ. Tada je p ∈ Sk σ i ako je λx 

baricentrična reprezentacija od x u odnosu na simpleks σ imamo µx(p) = λx(p). 

Dokaz. Tvrd¯enje direktno sledi iz Stava III.3.6. Eventualno treba samo prokomentarisati da 

ako je p ∈ B i σ ∈ K tako da je p ∈ σ onda zbog {p} ∈ K, σ ∈ K i {p} ⊆ σ mora biti {p} σ, a 

ovo znači da je p ∈ Sk σ. ✷ 

III.4 Realizovanje apstraktnih komplekasa 

Definicija III.4.1 Pod V-realizovanjem apstraktnog kompleksa A podrazumevamo svaki ured¯en 

par (f, V) takav da je V realan vektorski prostor a f funkcija takva da je dom(f) = 

A, ran(f) = 

B za neku V-temenu ˇsemu B i f : A → B je (A, B)-simplicijalan izomorfizam a-komplekasa 

A i B. 

Za V-temenu ˇsemu D kaˇzemo da je V-realizacija a-kompleksa A ako su A i D izomorfni akompleksi. 

✷ 

Definicija III.4.2 Ako je A proizvoljan a-kompleks onda za g-kompleks u V K kaˇzemo da je 

V-geometrijska realizacija apstraktnog kompleksa A ako je V-temena ˇsema koja je V-pridruˇzena 

g-kompleksu K V-realizacija od A - jednostavnije rečeno ako su A i Sk σ| σ ∈ K izomorfni 

a-kompleksi. ✷ 

Komentar uz Definiciju III.4.2. Svako V-realizovanje (f, V) datog apstraktnog kompleksa A 

jedinstveno odred¯uje V-realizaciju f → A| A ∈ A 

i V- geometrijsku realizaciju CxV 

f → A | A ∈ A . 

Za njih redom kaˇzemo da su V-realizacija i V-geometrijska realizacija a-kompleksa A koja 

odgovara V-realizovanju (f, V). ✷

III.4. REALIZOVANJE APSTRAKTNIH KOMPLEKASA 91 

III.4.1 Slobodan realan vektorski prostor Vek(S) nad S 

Za proizvoljno S = ∅ na skupu 

Vek(S) : df 

= f ∈ S R | supp(f) je konačan 

definiˇsemo linearnu strukturu nad R tako ˇsto funkcije iz Vek(S) sabiramo med¯usobno i mnoˇzimo 

realnim brojevima na uobičajen način. U nastavku ćemo sa “Vek(S)” označavati podjednako i 

gore definisan skup kao i ovako dobijen realan vektorski prostor. Primetimo da je 

∆S ⊆ Vek(S). 

Za svako a ∈ S sa χ(a, S) ćemo označavati karakterističnu funkciju skupa {a} u odnosu na 

skup S, tj. χ(a, S) : S → {0, 1}, χ(a, S)(b) = 0 ako b ∈ S \ {a} i χ(a, S)(a) = 1. 

Stav III.4.1 Ako su U i V konačni podskupovi od S a λ : U → R, µ : V → R tako da je 

λ(a) · χ(a, S) = 

µ(a) · χ(a, S) onda je: 

a∈U 

a∈V 

- λ(a) = 0 za svako a ∈ U \ V , µ(a) = 0 za svako a ∈ V \ U; 

- λ(a) = µ(a) za svako a ∈ U ∩ V . 

Za svako f ∈ Vek(S) vaˇzi f = 

f(a) · χ(a, S). Indeksirana familija χ(a, S) : a ∈ S je 

a∈supp(f) 

baza vektorskog prostora Vek(S). ✷ 

U naredna dva stava za a ∈ S koristićemo oznaku ca : df 

= χ(a, S); dakle ca : S → R, ca(a) = 1 i 

ca(b) = 0 za b ∈ S \ {a}. 

Stav III.4.2 Neka je B Vek(S)-temena ˇsema, K njoj Vek(S)-pridruˇzen g-kompleks i λ ∈ K. 

Ako je 

B ⊆ {ca| a ∈ S} 

onda 

za svako a ∈ S takvo da je ca ∈ B. 

 

BkB,Vek(S) λ, ca = λ(a) 

Dokaz. Zbog B ⊆ {ca| a ∈ S} postoji konačan A ⊆ S tako da je 

 

 

R := supp BkB,Vek(S)(λ, ·) = ca| a ∈ A . 

Obzirom da ako a1, a2 ∈ S onda a1 = a2 ⇒ χ(a1, S) = χ(a2, S) to sada imamo 

 

BkB,Vek(S) λ, ca · ca = 

BkB,Vek(S)(λ, b) · b = 

a∈A 

(videti Komentar uz Definiciju III.3.4). 

= λ = 

b∈R 

a∈supp(λ) 

λ(a) · ca 

A i supp(λ) su konačni podskupovi od S pa je prema Stavu III.4.1: 

- λ(a) = BkB,Vek(S) λ, ca za svako a ∈ A ∩ supp(λ); 

- λ(a) = 0 za svako a ∈ supp(λ) \ A, ˇsto povlači supp(λ) ⊆ A;


 

 

 

- BkB,Vek(S) λ, ca = 0 za svako a ∈ A\supp(λ); no ako je a ∈ A onda je ca ∈ R = supp BkB,Vek(S)(λ, ·) 

 

pa mora biti BkB,Vek(S) λ, ca 

= 0; 

 

prema tome zaključujemo da je A ⊆ supp(λ). 

Dakle λ(a) = BkB,Vek(S) λ, ca za svako a ∈ A = supp(λ). Neka je a ∈ S \ A takvo da je 

ca ∈ 

 

B. Tada je a ∈ S \ supp(λ) pa je λ(a) = 0; takod¯e, tada je ca /∈ R = supp BkB,Vek(S)(λ, ·) 

 

pa je BkB,Vek(S) λ, ca = 0. ✷ 

Definicija III.4.3 Za neprazan A ⊆ S definiˇsemo 

s(A; S) : df 

 

 

= x ∈ Vek(S) 

supp(x) ⊆ A; ran(x) ⊆ [0; 1] i 

 

 

 

Drugim rečima s(A; S) = x ∈ ∆S 

 

 

supp(x) ⊆ A ⊆ Vek(S). ✷ 

m∈ supp(x) 

 

x(m) = 1 . 

Stav III.4.3 Skup {ca| a ∈ A je afino nezavisan podskup realnog vektorskog prostora Vek(S). 

Specijalno, za svaki neprazan konačan A ⊆ S skup {ca| a ∈ A je k.a.n. u Vek(S) i pritom vaˇzi 

Cx {ca| a ∈ A} = s(A; S). 

Dakle s(A; S) je g-simpleks u Vek(S) i imamo Sk (s(A; S)) = {ca| a ∈ A}. 

Dokaz. Kako je 〈ca| a ∈ S〉 linearno nezavisan sistem (ˇstaviˇse - baza) vektorskog prostora 

Vek(S) to je i 〈ca| a ∈ A〉 = 〈ca − 0| a ∈ A〉, gde je 0 ∈ Vek(S) konstantna nula funkcija, linearno 

nezavisan sistem. Drugim rečima {ca| a ∈ A} ∪ {0} je afino nezavisan skup pa je i {ca| a ∈ A} 

afino nezavisan. 

Neka je x ∈ Cx {ca| a ∈ A} . Tada je x = 

t(a) · ca za neko t ∈ ∆A. Ako je a0 ∈ S \ A 

a∈A 

onda je ca(a0) = χ(a, S)(a0) = 0 za svako a ∈ A pa je i x(a0) = 0. Zato je supp(x) ⊆ A. Ako 

je a0 ∈ A onda je x(a0) = t(a0) · ca0(a0) + 

t(a) · ca(a0) = t(a0) · χ(a0, S)(a0) = t(a0); 

specijalno je t(a0) ∈ [0; 1]. Otuda imamo 

Ovim je pokazano da je x ∈ s(A; S). 

Ako je x ∈ s(A; S) onda imamo x = 

ran(x) ⊆ [0; 1] i 

 

a∈ supp(x) 

x(a) = 1. ✷ 

a∈A\{a0} 

 

a∈supp(x) 

 

a∈ supp(x) 

III.4.2 Kanonsko realizovanje apstraktnog kompleksa 

x(a) = 

x(a) = 

t(a) = 1 (jer t ∈ ∆A). 

a∈A 

Neka je M fiksiran apstraktan kompleks. 

a∈A 

x(a) · ca ∈ Cx {ca| a ∈ A} jer je supp(x) ⊆ A, 

Za realan vektorski prostor Vek ( M) kaˇzemo da je kanonski vektorski prostor koji odgovara 

a-kompleksu M. 

Funkciju χ ·, M : M → Vek ( M) ćemo skraćeno označavati sa “rM”. Dakle rM : 

 

M → Vek ( M) i rM(m) = χ m, M za svako m ∈ M. Znamo da je rM injekcija. 

Takod¯e definiˇsemo Vs(M) : df 

 

χ 

= m, M m ∈ M 

rM 

→M 

M ∈ M = 

 

M ∈ M .

III.5. AFINE EKSTENZIJE PRESLIKAVANJA: AFA1;V1,V2 93 

Teorema III.4.1 Uz date oznake vaˇzi: 

(a) Vs(M) je Vek ( 

M)-temena ˇsema; 

(b) rM, Vek ( 

M) je Vek ( M)-realizovanje a-kompleksa M. 

 

rM→M 

 

Dokaz. (a) Vs(M) = 

 

M ∈ M je a-kompleks jer je M a-kompleks. Na osnovu 

Stava III.4.3 →M 

rM je k.a.n. u Vek M za svako M ∈ M. 

Neka su M1, M2 ∈ M. Ako je M1 ∩ M2 = ∅ onda iz Definicije III.4.3 sledi da je s(M1; M) ∩ 

s(M2; M) = ∅. Dakle ako je s(M1; M)∩s(M2; M) = ∅ onda je M1∩M2 ∈ M i s(M1; M)∩ 

s(M2; M) = s(M1 ∩ M2; M); na osnovu Stava III.4.3 je Sk (s(Mi; M)) = {rM(m)| m ∈ Mi} 

za i = 1, 2 i Sk (s(M1 ∩ M2; M)) = {rM(m)| m ∈ M1 ∩M2}; zato je g-simpleks s(M1 ∩M2; M) 

lice i od s(M1; M) i od s(M2; M) (videti Stav III.3.1). 

(b) Ovo je direktna posledica definicije preslikavanja rM i dela pod (a). ✷ 

- Za par 

rM, Vek M 

 

kaˇzemo da je kanonsko realizovanje a-kompleksa M. 

- Vek ( M)-temenu ˇsemu Vs(M) nazivamo kanonska realizacija a-kompleksa M. 

- g-kompleks u Vek ( M) koji je Vek ( M)-pridruˇzen Vek ( M)-temenoj ˇsemi Vs(M), dakle 

Rg(M) : df 

 

= s M; 

M | M ∈ M 

nazivamo kanonska geometrijska realizacija a-kompleksa M. 

III.5 Afine ekstenzije preslikavanja: AfA1;V1,V2 

Neka su V1 i V2 r.v.p., A1 V1-temena ˇsema, K1 V1-pridruˇzen g-kompleks V1-temenoj ˇsemi A1 i 

neka je g : A1 → V2 proizvoljno preslikavanje. 

Definiˇsimo AfA1;V1,V2(g) : K1 → V2 na sledeći način. Ako je x ∈ K1 onda 

AfA1;V1,V2(g)(x) : df 

= 

a∈ A1 

BkA1,V1(x, a) · g(a). 

Funkciju AfA1;V1,V2(g) nazivamo (A1, V1, V2)-afina ekstenzija preslikavanja g. Da pokaˇzemo 

da je ovo zaista ekstenzija preslikavanja g, neka je a0 ∈ A proizvoljno. Imamo 

AfA1;V1,V2(g)(a0) = 

BkA1,V1(a0, a) · g(a) = BkA1,V1(a0, a0) · g(a0) = g(a0) 

jer je 

za svako a ∈ A1. 

a∈ A1 

 

1 ako a = a0, 

BkA1,V1(a0, a) = 

0 ako a = a0


Neka je sada joˇs data i V2-temena ˇsema A2 tako da je g : A1 → A2 (A1, A2)-simplicijalno 

preslikavanje, i neka je K2 V2-pridruˇzen g-kompleks V2-temenoj ˇsemi A2. Za i = 1, 2 uvedimo 

privremeno sledeće oznake: ako je x ∈ Ki onda postoji jedinstveno Ai,x ∈ Ai tako da je x ∈ 

IVi(Ai,x). Označimo G := AfA1;V1,V2(g). Uz ove pretpostavke i oznake moˇzemo dokazati 

naredna tri tvrd¯enja - Teoremu III.5.1 i Stavove III.5.1 i III.5.2. 

Teorema III.5.1 Sledeća tvrd¯enja su tačna: 

(1) za svako A ∈ A1 vaˇzi G → IV1(A) = IV2(g → A) i G → IV1(A) = I V2(g → A); 

(2) za svako x ∈ K1 vaˇzi 

A 2,G(x) = g → A1,x 

i 

za svako b ∈ A2, kao i 

BkA2,V2(G(x), b) = 

a∈ A 1 

g(a)=b 

Bsg → A,V2(G(x), b) = 

kad god je x ∈ I V1(A), A ∈ A1 i b ∈ g → A; 

(3) G : K1 → K2; 

(4) ako je g injektivno onda je i G injektivno i vaˇzi 

a∈A 

g(a)=b 

BkA1,V1(x, a) 

BsA,V1(x, a) 

BkA2,V2(G(x), g(a)) = BkA1,V1(x, a) 

za svako a ∈ A1 i svako x ∈ K1; 

(5) ako je g (A1, A2)- simplicijalan izomorfizam a-komplekasa A1 i A2 onda je G : K1 → K2 

bijekcija i vaˇzi 

G −1 = AfA2;V2,V1(g −1 ). 

Dokaz. Neka je A ∈ A1 i x ∈ IV1(A). Stavimo sa : df 

= BsA,V1(x, a), za a ∈ A, i y := G(x). Ako 

je a ∈ 

A1 \ A onda je BkA1,V1(x, a) = 0 pa imamo 

y = 

sa · g(a) = 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎟ 

sa · g(a) ⎠ = 

⎛ ⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎟ 

sa⎠ 

· b = 

tb · b 

a∈A 

gde tb : df 

= 

a∈A 

g(a)=b 

b∈g → A 

a∈A 

g(a)=b 

sa za b ∈ g → A. Imamo 

b∈g → A 

b∈g → A 

a∈A 

g(a)=b 

b∈g → A 

tb = 

sa = 1. Za b ∈ g→A jasno je da je tb ≥ 0. 

Zato odavde proizilazi da je y ∈ I V2(g → A) kao i Bsg → A,V2(y, b) = tb = 

a∈A 

g(a)=b 

Ako je x ∈ IV1(A) onda je sa > 0 za svako a ∈ A, te ako je b ∈ g→A1,x onda postoji bar jedno 

ab ∈ A1,x tako da je b = g(ab) ˇsto povlači tb ≥ sab > 0; dakle u ovom slučaju je y ∈ IV2(g→A). Iz prethodne analize zaključujemo da za svako A ∈ A1 i x ∈ IV1(A) vaˇzi: G→IV1(A) ⊆ 

IV2(g→A); G→IV1(A) ⊆ IV2(g→A); za svako b ∈ g→A je 

a∈A 

Bsg → A,V2(G(x), b) = 

a∈A 

g(a)=b 

BsA,V1(x, a) 

sa za svako b ∈ g → A.

III.5. AFINE EKSTENZIJE PRESLIKAVANJA: AFA1;V1,V2 95 

te konsekventno i 

BkA2,V2(G(x), b) = 

a∈ A 1 

g(a)=b 

BkA1,V1(x, a). 

Ako je s druge strane b ∈ 

→ 

A2 \ g A onda zbog G(x) ∈ I V1(g→A) mora biti BkA2,V2(G(x), b) = 

0; takod¯e zbog x ∈ I V1(A) imamo BkA1,V1(x, a) = 0 za svako a ∈ ( A1) \ A pa je 

 

a∈ A 1 

g(a)=b 

BkA1,V1(x, a) = 

 

a∈( A 1 )\A 

g(a)=b 

BkA1,V1(x, a) = 0. 

Da dokaz (1), (2) i (3) privedemo kraju preostaje joˇs da pokaˇzemo da za svako A ∈ A1 vaˇzi 

IV2(g → A) ⊆ G → IV1(A); odavde će zapravo slediti IV2(g → A) = G → IV1(A) te i 

G → 

→ 

IV1(A) = G 

= 

∅=S⊆A 

∅=S⊆A 

IV2(g → S) = 

IV1(S) = 

 

∅=T ⊆g → A 

∅=S⊆A 

Dakle neka je A ∈ A1 i y ∈ IV2(g → A). Tada uz oznake qb : df 

imamo 

y = 

b∈g → A 

qb · b = 

a∈A 

G → IV1(S) = 

IV2(T ) = IV2(g → A). 

qg(a) 

ka 

= Bsg→A,V2(y, b) > 0 za b ∈ g→A 

· g(a) 

gde je za a ∈ A ka ∈ N broj elemenata nepraznog skupa g↼ {g(a)} ∩ A ∋ a. Dalje, kako očigledno 

za u, v ∈ A iz g(u) = g(v) sledi ku = kv to je 

qg(a) = 

⎛ ⎞ 

⎜ 

 

⎝ 

qg(a) ⎟ 

⎠ = 

qb = 1. 

Jasno q g(a) 

ka 

a∈A 

ka 

b∈g → A 

> 0 za a ∈ A pa je x := 

qg(a) 

ka 

a∈A 

g(a)=b 

ka 

b∈g → A 

 

· a ∈ IV1(A) i vaˇzi BkA1,V1(x, a) = q g(a) 

a∈A 

odnosno BkA1,V1(x, a) = 0 za a ∈ 

A1 \ A. Zato je 

y = 

 

qg(a) 

· g(a) = 

BkA1,V1(x, a) · g(a) = G(x) ∈ G → IV1(A). 

a∈A 

ka 

a∈ A1 

ka 

za a ∈ A 

Pokazujemo (4). Ako je g injektivno i ako su x1, x2 ∈ K1 takvi da je G(x1) = G(x2) onda na 

osnovu (2) za proizvoljno a ∈ 

A1 vaˇzi BkA1,V1(x1, a) = BkA2,V2 G(x1), g(a) 

= BkA2,V2 G(x2), g(a) = 

BkA1,V1(x2, a) a znamo da BkA1,V1(x1, ·) = BkA1,V1(x2, ·) povlači x1 = x2. Ovim je pokazano (4). 

Da pokaˇzemo (5) neka je sada g (A1, A2)-simplicijalan izomorfizam. Imamo G→ 

K1 = 

G→ 

 

IV1(A) = 

G → IV1(A) = 

IV2(g → A) = 

IV2(A) = K2. Ovo znači da 

A∈A1 

A∈A1 

A∈A1 

je G : K1 → K2 preslikavanje na, pa je zbog (4) preslikavanje G bijekcija. 

Kako je g−1 : A2 → A1 injektivno (A2, A1)-simplicijalno preslikavanje to za F := Af A2;V2,V1(g−1 ) 

prema već dokazanom imamo 

−1 

F (y), g (b) = BkA2,V2(y, b) 

BkA1,V1 

A∈A2


za svako b ∈ A2. No g−1 : A2 → A1 je bijekcija pa se ovo moˇze zapisati i kao 

 

F (y), a = BkA2,V2(y, g(a)) 

BkA1,V1 

za svako a ∈ A1. Takod¯e znamo da je 

BkA2,V2(y, g(a)) = BkA2,V2 

G G −1 (y) , g(a) = BkA1,V1 

G −1 (y), a 

za svako a ∈ A1, pa je F (y) = G −1 (y). Ovim je pokazano i F = G −1 . ✷ 

Stav III.5.1 Neka su dati m ∈ N, x1, . . . , xm ∈ K1 i ti ∈ [0; 1] za i = 1, m tako da je 

Ako postoji neko σ ∈ K tako da je {x1, . . . , xm} ⊆ σ onda vaˇzi 

 

m 

 

m 

G 

= ti · G(xi). 

i=1 

ti · xi 

i=1 

m 

ti = 1. 

 

m 

 

Dokaz. Stavimo Sk σ =: A ∈ A1. Imamo x1, . . . , xm, ti · xi ⊆ CxV1(A), A ∈ A1 pa 

 

i=1 

m 

 

 

→ → je G(x1), . . . , G(xm), G ti · xi ⊆ CxV2 g A , g A ∈ A2 (videti (1) Teoreme III.5.1). 

i=1 

m 

 

 

m 

 

→ 

Takod¯e je z := ti · G(xi) ∈ CxV2 g A . Zato je da pokaˇzemo da je y := G ti · xi = z 

i=1 

i=1 

(potrebno i) dovoljno da proverimo da vaˇzi Bsg→A,V2(y, b) = Bsg→A,V2(z, b) za svako b ∈ g→A. Za 

b ∈ g→A koristeći Teoremu III.5.1 i Stav III.2.1 imamo 

Bsg→A,V2(y, b) = 

 

m 

 

ti · xi, a = 

= 

m 

i=1 

ti · 

a∈A 

g(a)=b 

BsA,V1 

i=1 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

 

m ⎟ 

BsA,V1(xi, a) ⎠ = 

a∈A 

g(a)=b 

i=1 

a∈A 

g(a)=b 

m 

i=1 

ti · BsA,V1(xi, a) 

ti · Bsg → A,V2(G(xi), b) = Bsg → A,V2(z, b). 

Komentar uz Stav III.5.1. (Za one koji znaju ˇsta su afini prostori i afina preslikavanja) 

Funkcija AfA1;V1,V2(g) svoj naziv “(A1, V1, V2)-afina ekstenzija preslikavanja g” duguje upravo 

činjenici formulisanoj Stavom III.5.1. Doduˇse, korektnije bi bilo reći “(A1, V1, V2)-deo-po-deo 

afina ekstenzija”. ✷ 

Stav III.5.2 Neka je X ⊆ K1. Ako postoji neko σ ∈ K tako da je X ⊆ σ onda vaˇzi 

G→ 

→ CxV1(X) = CxV2 G X . 

Dokaz. Ovo sledi iz Stavova III.5.1 i III.1.4. ✷ 

 

i=1 

= 

✷

Deo IV 

Topologija: 

poliedri i trijangulacije 

Definicija IV.0.1 Ako je d metrika na skupu X onda ćemo topologiju na X koju d indukuje 

označavati sa T (d). 

Ako je di metrika na Yi i Xi ⊆ Yi za i = 1, 2, i ako je f : X1 → X2 onda za f kaˇzemo da je 

(d1, d2)-izometrično preslikavanje ako za svako u, v ∈ X1 vaˇzi d2 f(u), f(v) = d1(u, v). ✷ 

IV.1 Vek(S): norma · S i metrika DS 

Za S = ∅ definiˇsemo funkciju · S : Vek(S) → [0, +∞) sa 

λS : df 

= max |λ(a)| | a ∈ S 

za λ ∈ Vek(S). 

Lako je videti da je · S norma na r.v.p. Vek(S). Metriku na Vek(S) indukovanu normom 

· S označavamo sa DS. Dakle 

i DS(λ1, λ2) = λ1 − λ2S odnosno 

za λ1, λ2 ∈ Vek(S). 

DS : Vek(S) × Vek(S) → [0; +∞) 

DS(λ1, λ2) = max |λ1(a) − λ2(a)| | a ∈ S 

IV.2 Topologizacija geometrijskog simpleksa 

IV.2.1 Topologiziranje skupova ∆X: metrika dX 

Ako je X = ∅ onda je ∆X ⊆ Vek(X) pa moˇzemo posmatrati restrikciju dX : df 

dX je metrika na skupu ∆X. Dakle 

dX : ∆X × ∆X → [0; 1] 

97 

= 

DX ¯ (∆X × ∆X).

98 DEO IV. TOPOLOGIJA: POLIEDRI I TRIJANGULACIJE 

i 

za λ1, λ2 ∈ ∆X. 

dX(λ1, λ2) = max |λ1(x) − λ2(x)| x ∈ X 

Jasno ∆X ⊆ X [0; 1] a lako je videti da je topologija T (dX) na skupu ∆X koju metrika dX indukuje 

jača od topologije koju ∆X nasled¯uje od Tihonovskog stepena X [0; 1] uobičajene topologije 

sementa [0; 1]. Lako se proverava da ukoliko je X konačan onda se topologija T (dX) poklapa sa 

topologijom koju ∆X nasled¯uje od Tihonovskog stepena X [0; 1] uobičajene topologije segmenta 

[0; 1]. S druge strane ∆X = f ↼ {1} za f : X [0; 1] → R definisano sa f := 

hx gde je, za x ∈ X, 

x∈X 

hx : X [0; 1] → [0; 1] projekcija hx(λ) : df 

= λ(x), za λ ∈ X [0; 1]. Kao (konačna) suma neprekidnih 

funkcija i f je neprekidna a odavde proizilazi da je ∆X zatvoren podskup od X [0; 1]. Kako je 

X [0; 1] kompaktan prostor ovim smo dokazali sledeći stav. 

Stav IV.2.1 Ako je X = ∅ konačan skup onda je T (dX) kompaktna metrizabilna topologija. ✷ 

Druga varijanta dokaza Stava IV.2.1 bi bila da se najpre pokaˇze (naravno pod uslovom da je 

X = ∅ konačan) da se topologija T (dX) poklapa sa topologijom koju ∆X nasled¯uje od X R a potom 

i da je ∆X zatvoren u X R i ograničen u odnosu na uobičajenu euklidsku metriku na X R. 

IV.2.2 V-prirodna topologija g-simpleksa: metrika mA,V 

Definicija IV.2.1 Neka je σ g-simpleks u V i neka je A njegov V-skelet. Topologiju 

(natA,V) ↼ U | U ∈ T (dA) 

na skupu σ nazivamo V-prirodna topologija g-simpleksa σ. ✷ 

Stav IV.2.2 V-prirodna topologija g-simpleksa σ u V je kompaktna metrizabilna topologija. 

Dokaz. Definicija IV.2.1 i Stav IV.2.1. ✷ 

Kako je natA,V : σ → ∆A bijekcija (videti komentar uz Definiciju III.2.3) to je sa 

mA,V(x, y) : df 

= dA natA,V(x), natA,V(y) 

za x, y ∈ σ definisana metrika na skupu σ. Imamo 

 

mA,V(x, y) = maxnatA,V(x)(a) 

− natA,V(y)(a) 

= maxBsA,V(x, 

a) − BsA,V(y, a) . 

a∈A 

Definicija IV.2.2 Ako je σ g-simpleks u V i A njegov V-skelet onda za mA,V kaˇzemo da je Vprirodna 

metrika g-simpleksa σ. Dakle za x, y ∈ σ je 

 

mA,V(x, y) = maxBsA,V(x, 

a) − BsA,V(y, a) . 

a∈A 

Komentar uz Definiciju IV.2.2. Kako je topologija T (dA) indukovana metrikom dA i kako je 

natA,V : σ → ∆A bijekcija, to iz samih definicija V-prirodne topologije g-simpleksa σ i metrike 

mA,V proizilazi sledeća činjenica: 

a∈A 

✷

IV.2. TOPOLOGIZACIJA GEOMETRIJSKOG SIMPLEKSA 99 

V-prirodna topologija g-simpleksa σ je indukovana metrikom mA,V; 

natA,V : σ → ∆A je (mA,V, dA)-izometrično preslikavanje. 

Stav IV.2.3 Neka su θ i σ g-simpleksi u V takvi da je θ ⊆ σ, neka je τ2 V-prirodna topologija 

g-simpleksa θ a τ1 topologija na θ koju σ nasled¯uje od V-prirodne topologije g-simpleksa σ. Tada 

je τ2 = τ1 i θ ⊆ σ je zatvoren podskup u odnosu na V-prirodnu topologiju g-simpleksa σ. 

Dokaz. Neka je Sk σ = {a1, . . . , an} =: A, tako da ai = aj kad god 1 ≤ i < j ≤ n, i 

Sk θ := {b1, . . . , bm} =: B, tako da bi = bj kad god 1 ≤ i < j ≤ m. Stavimo λj,i : df 

= BsA,V(bj, ai) 

za 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m. 

Neka su x, y ∈ θ proizvoljni. Stavimo µj : df 

= BsB,V(x, bj) i νi : df 

= BsB,V(y, bj) za 1 ≤ j ≤ m. 

Tada je 

m 

m 

x = µj · bj i y = 

j=1 

pa prema Stavu III.2.1 sledi Xi : df 

= BsA,V(x, ai) = 

m 

j=1 

j=1 

νj · bj 

µjλj,i i Yi : df 

= BsA,V(y, ai) = 

✷ 

m 

νjλj,i za 

1 ≤ i ≤ n. Otuda imamo 

mA,V(x, y) = max 

1≤i≤n |Xi−Yi| 

⎛ 

⎞ 

m 

≤ max ⎝ |µj − νj| λj,i⎠ 

≤ m·L· max 

1≤i≤n 

1≤j≤m |µj −νj| = m·L·mB,V(x, y) 

j=1 

gde je L := max{λj,i| 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}, pa je idθ : θ → θ (τ2, τ1)-neprekidno preslikavanje. 

Kako je τ2 kompaktna topologija to je idθ i τ2 zatvoreno preslikavanje. Dakle idθ : θ → θ je 

(τ2, τ1)-homeomorfizam, tj. τ2 = τ1. Odavde specijalno sledi da je (θ, τ1) = (θ, τ2) kompaktan 

podprostor Hausdorff-ovog prostora (σ, τσ), gde je τσ V-prirodna topologija g-simpleksa σ, te je 

kao takav τσ-zatvoren. ✷ 

Napomena uz Stav IV.2.3. Moˇze se pokazati da ako su σ1, σ2 proizvoljni g-simpleksi u V onda 

se topologija na skupu σ1∩σ2 (koji sam ne mora biti g-simpleks) nasled¯ena od V-prirodne topologije 

simpleksa σ1 poklapa sa topologijom na skupu σ1 ∩ σ2 nasled¯enom od V-prirodne topologije simpleksa 

σ2. ✷ 

Stav IV.2.4 Ako je A k.a.n. u V, σ := Cx(A) i τσ V-prirodna topologija g-simpleksa σ onda je 

preslikavanje BsA,V : σ × A → [0; 1] τσ ⊗ P(A) -neprekidno. 

Dokaz. Neka je (x0, a0) ∈ σ × A i ε > 0. Ako je U mA,V-otvorena kugla sa centrom u x0 i 

poluprečnikom ε, tj. U := x ∈ σ|mA,V(x0, x) < ε i ako V := {a0} onda je U × V τσ ⊗ P(A) - 

otvoren skup i za (x, a) ∈ U × V imamo a = a0 i 

|BsA,V(x, a) − BsA,V(x0, a0)| = |BsA,V(x, a) − BsA,V(x0, a)| ≤ 

 

maxBsA,V(x, 

p) − BsA,V(x0, p) = mA,V(x, x0) < ε. 

p∈A 

Kako je joˇs (x0, a0) ∈ U × V to je τσ ⊗ P(A) -neprekidnost preslikavanja BsA,V u tački (x0, a0) 

pokazana. ✷ 

Napomena uz Stav IV.2.4. Ako je τX topologija na skupu X, τZ topologija na skupu Z 

a Y = ∅ proizvoljan skup onda je f : X × Y → Z (τX ⊗ P(Y ), τZ)-neprekidno ako i samo ako 

je za svako y ∈ Y preslikavanje fy : X → Z definisano sa fy(x) = f(x, y) (τX, τZ)-neprekidno. 

Stoga Stav IV.2.4 drugim rečima kaˇze da su sve koordinatne funkcije g-simplekasa u V neprekidne 

u odnosu na njihovu V-prirodnu topologiju. ✷ 

j=1


Stav IV.2.5 Ako je σ g-simpleks u V i τσ V-prirodna topologija od σ onda je int(σ) τσ-gust 

podskup od σ. 

Dokaz. Neka je A := Sk σ, x ∈ σ, ε > 0 i K mA,V-otvorena kugla sa centrom u x i 

poluprečnikom ε. Za a ∈ A neka je λa : df 

= BsA,V(x, a). Stavimo A0 := {a ∈ A| λa = 0}. 

Ako je A0 = A onda je x ∈ int(σ) ∩ K. Neka je sada A0 ⊂ A i k ∈ N broj elemenata skupa 

A \ A0. Fiksirajmo a0 ∈ A0 proizvoljno. Neka je 0 < ε ′ < min{ε, λa0} i 

y := 

 

a∈A0\{a0} 

λa · a + (λa0 − ε ′ ) · a0 + 

a∈A\A0 

Tada je y ∈ σ i BsA,V(y, a) > 0 za svako a ∈ A. Dakle y ∈ int(σ). Joˇs imamo 

tj. y ∈ K. ✷ 

 

mA,V(x, y) = max 0, ε ′ , ε′ 

 

= ε 

k 

′ < ε, 

IV.3 Topologizacija tela simplicijalnog kompleksa 

IV.3.1 Metrika MA,V 

Definicija IV.3.1 Neka je A V-temena ˇsema i K njoj V-pridruˇzen g-kompleks u V. Za x1, x2 ∈ 

K definiˇsemo: 

ε ′ 

k 

· a. 

MA,V(x1, x2) : df 

= max 

a∈ A |BkA,V(x1, a) − BkA,V(x2, a)|. 

Jednostavno se proverava da je MA,V metrika na skupu K. ✷ 

Stav IV.3.1 Neka je K g-kompleks u V, A V-temena ˇsema koja mu je V-pridruˇzena. Tada je 

BkA,V : K × A → [0; 1] T (MA,V) ⊗ P( A) -neprekidno preslikavanje. 

Dokaz. Treba pokazati da je za svako a ∈ A koordinatna funkcija BkA,V(·, a) : K → [0; 1] 

τ-neprekidno preslikavanje (videti napomenu uz Stav IV.2.4). Neka je a0 ∈ A. Za x, y ∈ K 

imamo 

 

MA,V(x, y) = max BkA,V(x, a) − BkA,V(y, a) ≥ |BkA,V(x, a0) − BkA,V(y, a0) . 

a∈ A 

Ovo pokazuje da je BkA,V(·, a0) čak Lipschitz neprekidno. ✷ 

Stav IV.3.2 Neka je K g-kompleks u V, A njemu V-pridruˇzena temena ˇsema i σ ∈ K proizvoljno. 

Ako A := Sk σ onda za svako x1, x2 ∈ σ vaˇzi 

Drugim rečima 

MA,V(x1, x2) = mA,V(x1, x2). 

 

MA,V ¯ (σ × σ) = mA,V.

IV.3. TOPOLOGIZACIJA TELA SIMPLICIJALNOG KOMPLEKSA 101 

Dokaz. Za x1, x2 ∈ σ imamo 

 

MA,V 

 

¯ (σ × σ) 

(x1, x2) = MA,V(x1, x2) = max 

a∈ A |BkA,V(x1, a) − BkA,V(x2, a)|. 

Kako je x1, x2 ∈ σ = CxV(A) to je BkA,V(x1, a) = BkA,V(x2, a) = 0 za a ∈ A \ A odnosno 

BkA,V(xi, a) = BsA,V(xi, a) za i = 1, 2 i a ∈ A. Zato je 

 

MA,V 

 

¯ (σ × σ) 

 

(x1, x2) = max 

a∈A |BsA,V(x1, a) − BsA,V(x2, a)| = mA,V(x1, x2). 

Lema IV.3.1 Neka su P1 i P2 k.a.n. skupovi u V i xi ∈ IV(Pi) za i = 1, 2. Neka je A V-temena 

ˇsema tako da je {P1, P2} ⊆ A. Tada je 

 

= max 

MA,V(x1, x2) = 

max BsP1,V(x1, a), max BsP2,V(x2, a), max 

a∈P1\P2 

a∈P2\P1 

a∈P1∩P2 

 

BsP1,V(x1, a) − BsP2,V(x2, a) 

 

Dokaz. Kako je BkA,V(xi, a) = 0 za a ∈ A \ Pi odnosno BkA,V(xi, a) = BsPi,V(xi, a) za 

a ∈ Pi to imamo 

 

MA,V(x1, x2) = max BkA,V(x1, a) − BkA,V(x2, a) = 

 

= max 

 

= max 

a∈ A 

max 

a∈P1\P2 

max 

a∈P2\P1 

 

BkA,V(x1, a) − BkA,V(x2, a) , 

 

BkA,V(x1, a) − BkA,V(x2, a) , 

 

max BkA,V(x1, a) − BkA,V(x2, a) 

a∈P1∩P2 

 

max BsP1,V(x1, a), max BsP2,V(x2, a), max 

a∈P1\P2 

a∈P2\P1 

a∈P1∩P2 

 

= 

 

BsP1,V(x1, a) − BsP2,V(x2, a) 

 

Stav IV.3.3 Neka je za i = 1, 2 Ai V-temena ˇsema i Ki njoj V-pridruˇzen g-kompleks u V. Ako je 

A2 ⊆ A1 onda je MA2,V = 

MA1,V ¯ K2. 

Dokaz. Ovo sledi direktno iz Leme IV.3.1. ✷ 

Stav IV.3.4 Neka je S = ∅, B Vek(S)-temena ˇsema i K njoj Vek(S)-pridruˇzen g-kompleks u 

Vek(S). 

Ako je B ⊆ {χ(a, S)| a ∈ S} 

onda je 

Drugačije rečeno 

za svako λ1, λ2 ∈ K. 

MB,Vek(S) = 

 

 

DS ¯ K × K . 

M B,Vek(S)(λ1, λ2) = DS(λ1, λ2) 

. 

. 

✷ 

✷


Dokaz. Stavimo A := {χ(a, S)| a ∈ S} i neka su λ1, λ2 ∈ K. Jasno B ⊆ A pa je prema 

Stavu IV.3.3 

M B,Vek(S)(λ1, λ2) = M A,Vek(S)(λ1, λ2). 

Dakle 

 

MB,Vek(S)(λ1, λ2) = max BkA,Vek(S)(λ1, b) − BkA,Vek(S)(λ2, b) = 

 

= max 

BkA,Vek(S) a∈S 

b∈ A 

 

λ1, χ(a, S) 

− BkA,Vek(S) λ2, χ(a, S) 

obzirom da je A = {χ(a, S)| a ∈ S}, te je na osnovu Stava III.4.2 

M B,Vek(S)(λ1, λ2) = max 

a∈S |λ1(a) − λ2(a)| = DS(λ1, λ2). 

IV.3.2 Finalna topologija familije topologija 

Stav IV.3.5 Ako je T := (Xi, τi)| i ∈ I familija topoloˇskih prostora i X := 

Xi onda je τ := 

{L ⊆ X| ∀i ∈ I (L ∩ Xi ∈ τi)} topologija na skupu X. Nju nazivamo finalna topologija familije T . 

Ako je f : X → Y i τY topologija na skupu Y onda je f (τ, τX)-neprekidno preslikavanje ako i 

samo ako je za svako i ∈ I f ¯ Xi : Xi → Y (τi, τY )-neprekidno preslikavanje. 

Dokaz. Neka su L, M ∈ τ i i ∈ I. Iz L ∩ Xi, M ∩ Xi ∈ τi sledi i (L ∩ M) ∩ Xi = (L ∩ Xi) ∩ 

(M ∩ Xi) ∈ τi. 

Nekla je sada L ⊆ τ i i ∈ I. Imamo L ∩ Xi = {L ∩ Xi| L ∈ L} ∈ τi jer je L ∈ τi za svako 

L ⊆ L. 

Kako je joˇs za svako i ∈ I naravno X ∩ Xi = Xi i ∅ ∩ Xi = ∅ to je τ topologija na X. 

Neka je sada f : X → Y i τY topologija na skupu Y . Pretpostavimo najpre da je f ¯ Xi : Xi → 

Y (τi, τY )-neprekidno preslikavanje za svako i ∈ I. Ako je V ∈ τY onda je τi ∋ ↼V f ¯ Xi = 

Xi ∩ f ↼V za svako i ∈ I pa je f ↼V ∈ τ. Dakle f je (τ, τY )-neprekidno preslikavanje. 

Obrnuto, ako je f je (τ, τY )-neprekidno i V ∈ τY onda je f ↼V ∈ τ, tj. ↼V f ¯ Xi = 

Xi ∩ f ↼V ∈ τi za svako i ∈ I. Dakle f ¯ Xi : Xi → Y je (τi, τY )-neprekidno preslikavanje za 

svako i ∈ I. ✷ 

Stav IV.3.6 Ako je τ finalna topologija na X := 

Xi familije (Xi, τi)| i ∈ I onda je L ⊆ X 

τ-zatvoren akko je za svako i ∈ I skup L ∩ Xi τi-zatvoren. 

Dokaz. L ⊆ X je τ-zatvoren akko X \ L je τ-otvoren akko za svako i ∈ I vaˇzi Xi \ (L ∩ Xi) = 

(X \ L) ∩ Xi ∈ τi akko za svako i ∈ I skup L ∩ Xi je τi-zatvoren. ✷ 

Stav IV.3.7 Neka je (X, τ) proizvoljan topoloˇski prostor, Xj ⊆ X za j ∈ J tako da je 

Xj = X, 

i za svako j ∈ J τj topologija na Xj nasled¯ena od τ. Ako je τfin finalna topologija familije 

(Xj, τj)| j ∈ J onda je τ ⊆ τfin. 

Dokaz. Ako je U ∈ τ onda je po definiciji pojma “nasled¯ene topologije” U ∩ Xj ∈ τj za svako 

j ∈ J, pa na osnovu definicije pojma “finalne topologije date familije” odavde sledi U ∈ τfin. ✷ 

Za familiju (Xi, τi)| i ∈ I topoloˇskih prostora kaˇzemo da je koherentna ukoliko se za svako 

i, j ∈ I topologija na skupu Xi ∩ Xj nasled¯ena od τi poklapa sa onom nasled¯enom od τj. 

i∈I 

i∈I 

j∈J 

✷


Stav IV.3.8 Neka je je (Xi, τi)| i ∈ I koherentna familija topoloˇskih prostora, X := 

Xi, τ 

i∈I 

finalna topologija date familije i, za svako i ∈ I, τ ′ i topologija na skupu Xi nasled¯ena od τ. Tada 

(1) τ ′ i ⊆ τi; 

(2) ako joˇs vaˇzi i “za svako i, j ∈ I Xi ∩ Xj je istovremeno τi-zatvoren (otvoren) i τj-zatvoren 

(otvoren)” onda je τ ′ i = τi i Xi je τ-zatvoren (otvoren) za svako i ∈ I. 

Dokaz. Neka je i ∈ I i A ∈ τ ′ i . Ovo znači da je postoji neko L ∈ τ tako da je A = L ∩ Xi. Ali 

L ∈ τ povlači da je L ∩ Xi ∈ τi. Ovim je pokazano da je τ ′ i ⊆ τi. 

Neka sada vaˇzi joˇs i “zatvorena” verzija dodatnog uslova iz (2) (dokaz tvd¯enja u slučaju 

“otvorene” verzije je analogan). Neka su i, j ∈ I i L ⊆ Xi proizvoljni gde je L τi-zatvoren. 

Za označimo sa τi,j topologiju na skupu Xi ∩ Xj nasled¯enu od τi. Skup L ∩ Xj = L ∩ (Xi ∩ Xj) je 

τi,j-zatvoren jer je L τi-zatvoren. Ali iz τi,j = τj,i sledi da je L ∩ Xi i τj,i-zatvoren. Dakle L ∩ Xj 

je τj,i-zatvoren podskup od Xi ∩ Xj a Xi ∩ Xj je τj-zatvoren podskup od Xj. Zato je L ∩ Xj 

τj-zatvoren. Kako je j ∈ I bilo proizvoljno to moˇzemo zaključiti da je L τ-zatvoren. Uzimajući 

specijalno L = Xi dobijamo da je Xi τ-zatvoren. Ako je N ⊆ Xi proizvoljan τi-zatvoren onda je 

kako smo to videli N i τ zatvoren te je zbog N = Xi ∩ N skup N i τ ′ i -zatvoren. Dakle sledi τi ⊆ τ ′ i . 

✷ 

IV.3.3 V-prirodna topologija g-kompleksa 

Definicija IV.3.2 Ako je K g-kompleks u V onda ćemo finalnu topologiju familije (σ, τσ)| σ ∈ 

K , gde je τσ V-prirodna topologija g-simpleksa σ, nazivati V-prirodna topologija g-kompleksa K 

(primetimo da je ovo topologija na skupu K). Ako je B temena ˇsema u V onda ćemo Vprirodnu 

topologiju njoj V-pridruˇzenog g-kompleksa Cx(B)| B ∈ B u V nazivati V-prirodna 

topologija temene ˇseme B. 

Ako je A proizvoljan apstraktan kompleks i (f, V) neko njegovo V-realizovanje onda ćemo Vprirodnu 

topologiju V-temene ˇseme f →A| A ∈ A označavati sa Top(A; f, V). Drugim rečima 

Top(A; f, V) je V-prirodna topologija V-realizacije koja odgovara V-realizovanju (f, V). ✷ 

Definicija IV.3.3 Ako je K g-kompleks u V onda za topoloˇski prostor oblika 

K, τK kaˇzemo 

da je poliedar u realnom vektorskom prostoru V. 

Definicija IV.3.4 Za topoloˇski prostor (X, µ) kaˇzemo da je topoloˇski poliedar ako postoji neki 

realan vektorski prostor V, A temena ˇsema u V i neki g : X → K (µ, τ)-homeomorfizam, gde je K Vtelo 

V-temene ˇseme A a τ V-prirodna topologija V-temene ˇseme A. U tom slučaju za A kaˇzemo da 

je V-geometrijska trijangulacija topoloˇskog poliedra (X, µ) a za par (g, V) da geometrijski realizuje 

(X, µ). 

Za apstraktan kompleks U kaˇzemo da je apstraktna trijangulacija topoloˇskog poliedra (X, µ) 

ako postoji neki realan vektorski prostor V, neka V-geometrijska trijangulacija od (X, µ) i neki 

(U, A)-simplicijalan izomorfizam f : U → A. ✷ 

Stav IV.3.9 Neka je K g-kompleks u V i σ ∈ K. Dalje neka je τ V-prirodna topologija g-kompleksa 

K a τσ V-prirodna topologija g-simpleksa σ. Tada se τσpoklapa sa topologijom koju σ nasled¯uje 

od τ. Takod¯e, σ je τ-zatvoren skup. 

Dokaz. Ovo sledi iz Definicije IV.3.2 i Stavova IV.2.3 i IV.3.8. ✷ 

Stav IV.3.10 Neka je K g-kompleks u V, A njemu V-pridruˇzena temena ˇsema i τ V-prirodna 

topologija g-kompleksa K. Tada je T (MA,V) ⊆ τ. 

Dokaz. Za svako σ ∈ K neka je τσ V-prirodna topologija g-simpleksa σ a τ ′ σ topologija na 

skupu σ koja je nasled¯ena od T (MA,V). Fiksirajmo proizvoljno σ ∈ K. Kako je topologija T (MA,V)


indukovana metrikom MA,V to je topologija τ ′ σ indukovana metrikom 

MA,V ¯ (σ × σ) = mA,V. 

No τσ je upravo ona topologija na skupu σ koja je indukovana metrikom mA,V (videti komentar 

uz Definiciju IV.2.2). Zato je τ ′ σ = τσ. Kako je σ ∈ K bio proizvoljan sada prema Stavu IV.3.7 

zaključujemo da je T (MA,V) ⊆ τ. ✷ 

Komentar uz Stav IV.3.10. Kako su metrizabilne topologije Hausdorff-ove, to inkluzija 

utvrd¯ena Stavom IV.3.10 ima za posledicu sledeću činjenicu: 

V-prirodna topologija proizvoljnog g-kompleksa u V je Hausdorff-ova. 

Napomena uz Stav IV.3.10. Moˇze se pokazati da je V-prirodna topologija proizvoljnog 

g-kompleksa u V normalna, čak parakompaktna Hausdorff-ova topologija. ✷ 

§ 

Stav IV.3.11 Neka je K g-kompleks u V, A V-temena ˇsema koja mu je V-pridruˇzena i τ Vprirodna 

topologija g-kompleksa K. Tada je BkA,V : K × A → [0; 1] τ ⊗ P( A) -neprekidno 

preslikavanje. 

Dokaz. Ovo sledi iz Stavova IV.3.1 i IV.3.10. ✷ 

Stav IV.3.12 Ako je K g-kompleks u V, σ ∈ K i τ V-prirodna topologija g-kompleksa K onda je 

τ-zatvorenje skupa int(σ) upravo σ. 

Dokaz. Ovo sledi iz Stavova IV.2.5 i IV.3.9. ✷ 

Stav IV.3.13 Neka je K g-kompleks u V, A V-temena ˇsema koja mu je V-pridruˇzena i τ Vprirodna 

topologija g-kompleksa K. Ako je a ∈ A onda su 

i 

(A, V) − otvorena zvezda temena a : St(a, A, I) = int(σ)| σ ∈ K, a ∈ Sk σ 

(A, V) − zatvorena zvezda temena a : St(a, A, I) = σ| σ ∈ K, a ∈ Sk σ 

T (MA,V)-otvoren i τ-zatvoren skup, tim redom. Pri tom je St(a, A, I) upravo τ-zatvorenje skupa 

St(a, A, I). 

Takod¯e, (A, V)-otvorene i (A, V)-zatvorene zvezde su τ-putno povezani skupovi. 

Dokaz. Koristeći Stavove III.3.6 i III.2.3 imamo 

 

St(a, A, I) = x ∈ 

K| BkA,V(x, a) ∈ (0; 1) = BkA,V(·, a) ↼ (0; 1) 

pa je na osnovu Stava IV.3.1 St(a, A, I) T (MA,V)-otvoren skup. Imamo 

St(a, A, I) = 

a∈A∈A 

I(A) = σ| σ ∈ K, a ∈ Sk σ . 

Ako je K0 ⊆ K proizvoljno onda je K0 τ-zatvoren skup (ovo se proverava direktno uz 

koriˇsćenje Stava IV.2.3). Specijalno St(a, A, I) je τ-zatvoren. Zato ako sa C označimo τ-zatvorenje 

skupa St(a, A, I), obzirom da je St(a, A, I) ⊆ St(a, A, I) to imamo C ⊆ St(a, A, I). 

Ako je A ∈ A takav da a ∈ A onda je I(A) ⊆ St(a, A, I) pa je τ-zatvorenje skupa I(A) podskup 

τ-zatvorenja skupa St(a, A, I). U svetlu Stava IV.3.12 ovo znači I(A) ⊆ C. Na taj način je 

✷


pokazana i obrnuta inkluzija St(a, A, I) ⊆ C. 

Podtrvd¯enje Neka je A ∈ A, a ∈ A i x ∈ σ, gde je σ := Cx(A). Pokaˇzimo da postoji 

T 

MA,V -neprekidno f : [0; 1] → σ tako da je f(0) = a i f(1) = x i tako da vaˇzi x ∈ int(σ) ⇒ 

f → (0; 1] ⊆ int(σ). 

Ako je A = {a} moˇzemo (a i moramo) uzeti f(t) = a za svako t ∈ [0; 1]. Neka je sada 

dim(A) = k > 0 i A = {p0, . . . , pk}, gde je p0 = a. Stavimo λi : df 

= BsA,V(x, pi) za i = 0, k. 

Definiˇsimo f : [0; 1] → V sa f(t) : df 

k 

= (1−t)·p0 + t·λi ·pi. Iz f(t) = 1−t(1−λ0) k 

·p0 + t·λi ·pi 

i=0 

se lako proverava da je f(t) ∈ σ kao i da je BsA,V(f(t), p0) = 1 − t(1 − λ0) i BsA,V(f(t), pi) = t · λi 

za i = 1, k. Ako je x ∈ int(σ) onda je 0 < λi < 1 za svako 0 ≤ i ≤ k, pa ako je t ∈ (0; 1] onda je 

0 < BsA,V(f(t), pi) za svako 0 ≤ i ≤ k, tj. f(t) ∈ int(σ). Dakle vaˇzi x ∈ int(σ) ⇒ f → (0; 1] ⊆ 

int(σ). 

Da pokaˇzemo da je f τ-neprekidno preostaje da primetimo da je na osnovu Stava IV.3.2, 

obzirom na to da je ran(f) ⊆ σ, 

 

f(t1), f(t2) = max |BsA,V(f(t1), pi) − BsA,V(f(t2), pi)| = 

mA,V 

i=0,k 

 

λi 

max · |t1 − t2| : i = 1, k ∪ (1 − λ0) · |t1 − t2| 

≤ |t1 − t2| 

za svako t1, t2 ∈ [0; 1]. ✷ 

Koristeći upravo dokazano Podtvrd¯enje jednostavno se proverava da su (A, V)-otvorene i (A, V)zatvorene 

zvezde τ-putno povezani skupovi. ✷ 

Definicija IV.3.5 Ako su A i B temene ˇseme u V onda za B kaˇzemo da je subdivizija od A ako 

je (B, I) finitarno usitnjenje od (A, I). ✷ 

Stav IV.3.14 Neka je za i = 1, 2 Ki g-kompleks u V, Ai V-temena ˇsema koja mu je V-pridruˇzena 

i τi V-prirodna topologija g-kompleksa Ki. Ako je A2 subdivizija od A1 onda je τ1 = τ2. 

Dokaz. Kroz dokaz ako je σ proizvoljan g-simpleks u V sa τσ ćemo označavati njegovu Vprirodnu 

topologiju. 

Neka je K τ1-zatvoren i θ ∈ K2. Tada je θ ⊆ σ za neko σ ∈ K1. σ ∩ K je τσ-zatvoren, a zbog 

θ ⊆ σ je θ ∩ K = θ ∩ (σ ∩ K). Odavde sledi da je θ ∩ K zatvoren u odnosu na topologiju koju θ 

nasled¯uje od τσ. No prema Stavu IV.2.3 ovo znači da je θ ∩ K τθ-zatvoren. Kako je θ ∈ K2 bio 

proizvoljan ovim smo pokazali da je K ∈ τ2. 

Neka je sada K τ2-zatvoren i σ ∈ K1. Skup L := θ ∈ K2| θ ⊆ σ je konačan i vaˇzi L = σ. 

Za svako θ ∈ L skup θ ∩ K je τθ-zatvoren pa kako je τθ isto ˇsto i topologija koju θ nasled¯uje od τσ 

a θ je τσ-zatvoren, to je θ ∩ K τσ-zatvoren. Sada zbog σ ∩ K = 

(θ ∩ K), a kako je L konačan, 

sledi da je σ ∩ K τσ-zatvoren. σ ∈ K1 je bio proizvoljan pa je K τ1-zatvoren. ✷ 

IV.3.4 Konačni geometrijski kompleksi 

Stav IV.3.15 Neka je K konačan g-kompleks u V, A njemu V-pridruˇzena temena ˇsema i τ Vprirodna 

topologija g-kompleksa K. Tada je τ je kompaktna topologija i joˇs vaˇzi τ = T (MA,V). 

Dokaz. Da je τ je kompaktna topologija sledi direktno iz Stavova IV.3.9 i IV.2.2. τ je kompaktna 

a T (MA,V) Hausdorff-ova pa zbog inkluzije T (MA,V) ⊆ τ ustanovljene Stavom IV.3.10 

mora biti τ = T (MA,V). ✷ 

θ∈L 

i=1


Lema IV.3.2 Neka je n ∈ N, A k.a.n. u R n i σ := CxR n(A). Rn -prirodna topologija g-simpleksa 

σ poklapa se sa topologijom na σ nasled¯enom od uobičajene euklidske topologije na R n . 

Dokaz. Neka je τσ R n -prirodna topologija g-simpleksa σ a τ topologija na σ nasled¯ena od 

uobičajene euklidske topologije na R n . Takod¯e, neka je A = { −→ a 1, . . . , −→ a k} tako da 1 ≤ i < j ≤ 

k ⇒ −→ a i = −→ a j, i neka je −→ a j = (aj,1, . . . , aj,n) za j = 1, k. 

Neka su dati realni brojevi li < ri za i = 1, n i neka je 

U := −→ x = (x1, . . . , xn) ∈ σ | xi ∈ (li; ri) za i = 1, n ∈ τ. 

i −→ x ∈ U proizvoljno. Tada je li < xi < ri za i = 1, n. Izaberimo bilo koje ε > 0 tako da je 

ε < min{|li − xi|, |ri − xi|} za svako i = 1, n. Tada za svako −→ y = (y1, . . . , yn) ∈ σ vaˇzi implikacija 

max |yi − xi| < ε ⇒ 

i=1,n 

−→ y ∈ U. 

Stavimo L := max |aj,i| i neka je δ > 0 takvo da je δ · k · L < ε. 

i=1,n 

j=1,k 

Za K := −→ y ∈ 

σ | mA,Rn(−→ y , −→ x ) < δ vaˇzi −→ x ∈ K ∈ τσ. Pokaˇzimo da je K ⊆ U. Neka je −→ y ∈ K proizvoljno. Za 

j = 1, k stavimo µj : df 

= BsA,Rn(−→ x , −→ a j) i λj : df 

= BsA,Rn(−→ y , −→ a j). Iz −→ k 

x = µj · −→ a j i −→ k 

y = 

sledi 

xi = 

k 

µj · aj,i i yi = 

j=1 

za i = 1, n. Imamo 

 

 

 

k 

|yi − xi| = 

λj · aj,i − 

 

≤ L · 

j=1 

k 

j=1 

µj · aj,i 

 

 

 

 

 

≤ 

k 

j=1 

λj · aj,i 

j=1 

k 

|λi − µi| · |aj,i| ≤ 

j=1 

k 

|λi − µi| ≤ L · k · mA,Rn(−→ y , −→ x ) ≤ δ · k · L < ε 

j=1 

za svako i = 1, n pa je −→ y ∈ U. 

j=1 

λj · −→ a j 

Ovim je pokazano da je τ ⊆ τσ pa kako je τ Hausdorff-ova a τσ kompaktna topologija to 

zapravo mora biti τ = τσ. ✷ 

Stav IV.3.16 Neka je n ∈ N i K g-kompleks u R n . Ako je K konačan onda se R n -prirodna 

topologija g-kompleksa K poklapa sa topologijom na K nasled¯enom od uobičajene euklidske 

topologije na R n . 

Dokaz. Neka je τK R n -prirodna topologija g-kompleksa K a τ topologija na K nasled¯ena od 

uobičajene euklidske topologije na R n . Za σ ∈ K neka je: 

τ1,σ topologija na σ nasledj ena od uobičajene euklidske topologije na R n ; 

τ2,σ topologija na σ nasledj ena od τ; 

τσ R n -prirodna topologija g-simpleksa σ u R n . 

“Tranzitivnost nasled¯ivanja topologija” kaˇze da je τ2,σ = τ1,σ a na osnovu Leme IV.3.2 je 

τ1,σ = τσ. 

Kako je τK finalna topologija familije (σ, τσ)| σ ∈ K = (σ, τ2,σ)| σ ∈ K to na osnovu Stava 

IV.3.7 mora biti τ ⊆ τK. Odavde sledi τ = τK jer je τ Hausdorff-ova topologija a τK kompaktna 

topologija prema Stavu IV.3.15 obzirom da je K konačan. ✷


IV.3.5 Neprekidnost afinih ekstenzija 

Teorema IV.3.1 Neka su za i = 1, 2 Vi r.v.p., Ai Vi-temena ˇsema, Ki g-kompleks u Vi koji je Vipridruˇzen 

Vi-temenoj ˇsemi Ai, τi Vi-prirodna topologija g-kompleksa Ki i neka je g : A1 → A2 

(A1, A2)-simplicijalno preslikavanje. Stavimo G := Af A1;V1,V2(g). Jasno G : K1 → K2. 

(1) Preslikavanje G je (τ1, τ2)-neprekidno. Preciznije, za svako A ∈ A1 ako B := g → A imamo da 

je 

G ¯ CxV1(A) : CxV1(A) → CxV2(B) (mA,V1, mB,V2) − Lipschitz neprekidno. 

(2) Ako je g injektivno onda je G (MA1,V1, MA2,V2)-izometrično preslikavanje. 

Specijalno, za svako A ∈ A1 ako B := g → A imamo da je 

G ¯ CxV1(A) : CxV1(A) → CxV2(B) (mA,V1, mB,V2) − izometrična bijekcija. 

(3) Ako je g izomorfizam a-komplekasa A1 i A2 onda je preslikavanje Af A1;V1,V2(g) : K1 → K2 

je (τ1, τ2)-homeomorfizam. 

Dokaz. (1) Na osnovu Stava IV.3.5 znaćemo da je G (τ1, τ2)-neprekidno ako pokaˇzemo da je za 

svako A ∈ A1 restrikcija GA : df 

= G ¯ CxV1(A) : CxV1(A) → K2 (τ1,A, τ2)-neprekidno, gde je τ1,A 

V1-prirodna topologija g-simpleksa CxV1(A) u V1. Za S ∈ A2 neka je τ2,S V2-prirodna topologija 

g-simpleksa CxV2(S) u V2. 

Neka je A ∈ A1 i B := g→A. Tada je G→CxV1(A) = CxV2(B) (videti Teoremu III.5.1) pa 

je GA : CxV1(A) → CxV2(B). Zato je GA je (τ1,A, τ2)-neprekidno ako i samo ako je (τ1,A, τ2,B)neprekidno. 

Kako je τ1,A = T (mA,V1) i τ2,B = T (mB,V2) ovo će tim pre slediti ako pokaˇzemo da 

je GA (mA,V1, mB,V2)-Lipschitz neprekidno. Neka je x1, x2 ∈ CxV1(A). Imamo 

 

mB,V2 GA(x1), GA(x2)) 

= maxBsB,V2 

GA(x1), b 

− BsB,V2 GA(x2), b . 

b∈B 

Za i = 1, 2 zbog GA(xi) ∈ CxV2(B) vaˇzi BkA2,V2 

je 

 

GA(x1), GA(x2)) 

= max 

pa je 

Imamo 

mB,V2 

mB,V2 

BkA2,V2 

GA(x1), GA(x2)) = max 

b∈B 

Kako je x1, x2 ∈ CxV1(A) to vaˇzi 

i 

pa je ustvari 

a ∈ A ⇒ 

mB,V2 

BkA2,V2 b∈B 

GA(xi), b = 

 

 

 

 

 

 

 

a∈ A 1 

g(a)=b 

GA(xi), b = BsB,V2 

GA(x1), b − BkA2,V2 

a∈ A 1 

g(a)=b 

BkA1,V1(xi, a) 

GA(xi), b za b ∈ B. Zato 

GA(x2), b . 

 

 

BkA1,V1(x1, a) − BkA1,V1(x2, a) 

 

 

. 

a ∈ 

A1 \ A ⇒ BkA1,V1(x1, a) = BkA1,V1(x2, a) = 0 

 

 

BkA1,V1(x1, a) = BsA,V1(x1, a) i BkA1,V1(x2, a) = BsA,V1(x2, a) 

 

GA(x1), GA(x2)) 

 

 

 

 

= max BsA,V1(x1, a) − BsA,V1(x2, a) 

b∈B 

a∈A 

 

 

 

 

 

. 

 

 

g(a)=b


Zato je 

mB,V2 

GA(x1), GA(x2)) ≤ max 

b∈g → A 

 

a∈A 

g(a)=b 

 

BsA,V1(x1, a)−BsA,V1(x2, a) ≤ max 

b∈g → A 

≤ kA · mA,V(x1, x2) 

 

a∈A 

g(a)=b 

mA,V(x1, x2) ≤ 

gde je kA ∈ N broj elemenata skupa A. Dakle GA je (mA,V1, mB,V2)-Lipschitz neprekidno, i jedna 

Lipschitz-ova konstanta je upravo kA. 

(2) Ako je g injektivno i x1, x2 ∈ K1. Neka je σi ∈ K1 tako da je xi ∈ σi i stavimo Ai := Sk σi, 

i = 1, 2. Ako je b ∈ 

→ 

A2 \ g 

A1 onda je BkA2,V2 G(xi), b 

= 0, i = 1, 

 

2. Ovo 

 

je zato ˇsto 

→ → na osnovu (2) Teoreme III.5.1 imamo G(xi) ∈ CxV2 g Ai , i = 1, 2, a b ∈ A2 \ g 

A1 

(jasno) povlači b /∈ g → A1 ∪ g → A2. 

Na osnovu (4) Teoreme III.5.1 vaˇzi BkA2,V2 

imamo 

MA2,V2 

GA(x1), GA(x2)) = max 

= max 

= max 

b∈ A2 

b∈g→ ( BkA2,V2 A1) 

a∈ A1 

 

G(xi), g(a) = BkA1,V1(xi, a) za i = 1, 2. Zato 

 

BkA2,V2 G(x1), b 

− BkA2,V2 G(x2), b = 

G(x1), b − BkA2,V2 

G(x2), b = 

 

BkA2,V2 G(x1), g(a) 

− BkA2,V2 G(x2), g(a) = 

= max 

a∈ |BkA1,V1(x1, a) − BkA1,V1(x2, a)| = MA1,V1(x1, x2). 

A1 

Dalje, kao (MA1,V1, MA2,V2)-izometrično preslikavanje G je injektivno. (1) Teoreme III.5.1 sada 

povlači da za svako A ∈ A1, ako stavimo B := g → A, imamo da je G ¯ CxV1(A) : CxV1(A) → 

CxV2(B) bijekcija, i to (mA,V1, mB,V2)-izometrična, na osnovu upravo pokazanog i Stava IV.3.2. 

(3) Ako je g : A1 → A2 izomorfizam a-komplekasa A1 i A2 onda je prema (5) Teoreme 

III.5.1 preslikavanje Af A1;V1,V2(g) : K1 → K2 bijekcija i vaˇzi 

AfA1;V1,V2(g) −1 = AfA2;V2,V1(g −1 ). 

No (kako smo upravo pokazali) Af A2;V2,V1(g −1 ) je (τ2, τ1)-neprekidno te zaključujemo da je 

AfA1;V1,V2(g) (τ1, τ2)-homeomorfizam. Ovim je teorema dokazana. ✷ 

Teorema IV.3.2 Neka su dati a-kompleks A i, za i ∈ {1, 2}, realni vektorski prostor Vi, Virealizovanje 

(fi, Vi) a-kompleksa A i neka je Ki Vi-telo Vi-temene ˇseme Ai : df 

= (fi) →A| A ∈ A . 

Tada su topoloˇski prostori K1, Top(A; f1, V1) i K2, Top(A; f2, V2) homeomorfni. ✷ 

Dokaz. Ovo sledi direktno iz Teoreme IV.3.1 jer je f2 ◦ (f1) −1 : A1 → A2 (A1, A2)simplicijalan 

izomorfizam. ✷ 

Komentar uz Teoremu IV.3.2. Na osnovu Teoreme IV.3.2 na neki način moˇzemo, do na 

homeomorfizam, govoriti o poliedru datog apstraktnog kompleksa A. ✷

IV.4. BARICENTRIČNE SUBDIVIZIJE 109 

IV.3.6 Preslikavanje natA,V 

Ako je A temena ˇsema u r.v.p. V a K njoj V-pridruˇzen g-kompleks, definiˇsemo natA,V : K → 

Vek A sa 

natA,V(x) : df 

= BkA,V(x, ·) ∈ ∆ A ⊆ Vek 

A 

za x ∈ K. 

Stav IV.3.17 Vaˇzi jednakost 

natA,V = Af A;V,Vek( A)(rA) . 

Dokaz. Neka je x ∈ K proizvoljno. Imamo 

y := Af 

A;V,Vek( A)(rA)(x) = 

BkA,V(x, a) · rA(a). 

Treba pokazati da je y = BkA,V(x, ·). Neka je a0 ∈ A proizvoljno. Imamo 

 

 

y(a0) = BkA,V(x, a) · rA(a) (a0) = 

BkA,V(x, a) · rA(a)(a0) = BkA,V(x, a0) 

jer je 

a∈A 

a∈A 

a∈A 

 

1, za a = a0, 

rA(a)(a0) = 

0, za a = a0 

Komentar uz Stav IV.3.17. Iz Teoreme IV.3.1 sledi: 

natA,V : K → Rg(A) je (MA,V, M Vs(A),Vek( A)) − izometričan (τ, τ0) − homeomorfizam, 

gde je τ V-prirodna topologija g-kompleksa K, a τ0 Vek A -prirodna topologija g-kompleksa 

Rg(A). ✷ 

IV.4 Baricentrične subdivizije 

IV.4.1 Geometrijski simpleksi i subdivizije 

Definicija IV.4.1 Ako je x, s ∈ V, x = s onda skupove oblika PPV[x; s] : df 

= {(1 − t)x + ts| t ∈ 

[0, +∞)} nazivamo polupravama s početkom u x. Za konačan A ⊆ V, ako A = {a1, . . . , ak}, 

dim(A) = k − 1 ∈ N0, onda definiˇsemo 

AffV(X) : df 

= 

k 

i=1 

ti · ai 

 

 

 

 

t1, . . . , tk ∈ R; 

k 

i=1 

 

ti = 1 

Stav IV.4.1 Ako x, s ∈ V, x = s, s ′ ∈ PPV[x; s] i x = s ′ onda PPV[x; s] = PPV[x; s ′ ]. 

Dokaz. Neka L := PPV[x; s] i L0 := PPV[x; s ′ ]. Znamo da je s ′ = (1 − t ′ ) · x + t ′ · s za neko 

t ′ > 0. Neka je t > 0 proizvoljno. 

Imamo (1 − t) · x + t · s ′ = (1 − t · t ′ ) · x + t · t ′ · s ∈ L. Kako je s = 

 

(1 − t) · x + t · s = 1 − t 

t ′ 

 

· x + t 

t ′ · s′ ∈ L0. 

Ovim je pokazano L0 ⊆ L i L ⊆ L0. ✷ 

. 

✷ 

 

1 − 1 

t ′ 

 

· x + 1 

t ′ · s′ to je


Stav IV.4.2 Ako je A k.a.n. u V i x ∈ IV(A) onda svaka poluprava s početkom u x ima najviˇse 

jednu zajedničku tačku sa skupom 

CxV(S). 

 

∅=S⊂A 

∅=S⊂A 

Dokaz. Iz x ∈ IV(A) i IV(A) ∩ IV(S) = ∅ za ∅ = S ⊂ A sledi da x /∈ 

CxV(S). 

∅=S⊂A 

IV(S) = 

Neka je 0 ≤ t2 ≤ t1 i yi := (1 − ti) · x + ti · s ∈ PP[x; s] za i = 1, 2. Pretpostavimo da je 

y2 ∈ 

CxV(S) i pokaˇzimo da vaˇzi implikacija: y1 ∈ CxV(A) ⇒ y1 = y2. 

∅=S⊂A 

Kako je x /∈ 

∅=S⊂A 

CxV(S) to je y2 = x pa je t2 > 0. Zato je i t1 > 0. Imamo y2 ∈ IV(S) 

za neko ∅ = S ⊂ A. Fiksirajmo proizvoljno a0 ∈ A \ S = ∅. Imamo y2 = (1 − t2) · x + t2 · 

1 

· y1 + t1 

 

− 1 

· x , odnosno y2 = (1 − α) · x + α · y1, za α := t2 

∈ [0; 1]. 

t1 

t1 

Neka je sada y1 ∈ CxV(A). Ako za a ∈ A stavimo λ(a) : df 

= BsA,V(x, a) i λi(a) : df 

= BsA,V(yi, a) 

za i = 1, 2, onda na osnovu Stava III.2.1 imamo 0 = λ2(a0) = (1 − α) · λ(a0) + α · λ1(a0). Zbog 

0 ≤ α ≤ 1 i λ(a0), λ1(a0) ≥ 0 ovo povlači (1 − α) · λ(a0) = 0, pa kako je λ(a0) = 0 (jer x ∈ IV(A)) 

to sledi da je α = 1, tj. y2 = y1. ✷ 

Stav IV.4.3 Za proizvoljne A ⊆ V i x ∈ V vaˇzi 

CxV({x} ∪ A) = 

 

y∈CxV(A) 

t1 

CxV({x, y}). 

Ako je joˇs A k.a.n. u V i x /∈ Aff V(A) onda je {x} ∪ A k.a.n., {x, y} dvočlan za svako y ∈ IV(A) i 

joˇs je 

IV({x} ∪ A) = 

IV({x, y}). 

y∈IV(A) 

Dokaz. Neka je z ∈ CxV({x} ∪ A). Tada postoje k ∈ N, a1, . . . , ak ∈ A, t0, . . . , tk ∈ [0; 1] tako 

k 

k 

da je ti = 1 i z = t0 · x + ti · ai. 

i 

i=0 

i=1 

Ako je t0 = 1 onda je ti = 0 za i = 1, k, pa je z = x ∈ 

 

y∈CxV(A) 

Neka je sad t0 = 1. Imamo z = (1 − t0) · y0 + t0 · x za y0 := 

0 ≤ ti 

1 − t0 

k 

i=1 

= 

ti 

1 − t0 

ti 

k 

j=1 tj 

= 1 

1 − t0 

k 

ti = 1 

i=1 

i=1 

CxV({x, y}). 

≤ 1 , za svako i = 1, k 

k ti 

· ai. Zbog 

1 − t0 

zaključujemo da je y ∈ CxV(A). Otuda je zbog t0 ∈ [0; 1] i z ∈ CxV({x, y0}) ⊆ 

Ovim je dokazana jedina netrivijalna inkluzija u prvoj skupovnoj jednakosti. 

 

y∈CxV(A) 

✷ 

CxV({x, y}).


Pretpostavimo sada da je A k.a.n. u V i x /∈ Aff V(A). Neka je A = {a1, . . . , ak} i dim(A) = 

k 

k 

k − 1 ∈ N0. Neka su dati t0, . . . , tk ∈ R takvi da je ti = 0 i t0 · x + ti · ai = −→ 0 . Ne moˇze biti 

k 

 

t0 = 0 jer bi tada sledilo x = − 

i=1 

ti 

 

k 

 

· ai ˇsto, zbog − 

t0 

i=1 

ti 

 

= − 

t0 

1 

k 

· ti = − 

t0 

i=1 

1 

· (−t0) = 1, 

t0 

povlači x ∈ Aff V(A). 

k 

Dakle t0 = 0 pa je ti · ai = −→ 0 . 

k 

Kako je ti = 0 a A k.a.n. ovo 

i=1 

znači da je zapravo ti = 0 za i = 1, k (ovde je bitno to ˇsto i = j ⇒ ai = aj a ˇsto je prema 

dim(A) = k − 1 tačno). Ovim je dokazano da je {x} ∪ A k.a.n. u V. Ako je y ∈ IV(A) onda je 

zbog y ∈ CxV(A) ⊆ Aff V(A) ∋ x skup {x, y} dvočlan. 

k 

k 

Neka je z ∈ IV({x}∪A). Tada postoje t0, . . . , tk ∈ (0; 1) tako da je ti = 1 i z = t0·x+ ti·ai. 

Kao i malopre z = (1 − t0) · y0 + t0 · x za y0 := 

i=0 

k 

i=1 

ti 

1 − t0 

i=1 

i=0 

i=0 

· ai, kao i 

k 

i=1 

ti 

1 − t0 

i=1 

= 1. Zbog 

t0, . . . , tk ∈ (0; 1) odavde imamo 0 < ti 

za i = 1, k, pa je y0 ∈ IV(A). Zato sada iz 0 < t0 < 1 

1 − t0 

sledi z ∈ IV({x, y0}) ⊆ 

IV({x, y}). 

y∈IV(A) 

Obrnuto, neka je y ∈ IV(A) i z ∈ IV({x, y}). Tada postoje t, µ1, . . . , µk ∈ (0; 1) tako da je 

k 

k 

k 

µi = 1, y = µi · ai kao i z = (1 − t) · y + t · x. Imamo z = t · x + (1 − t) · µi · ai, pa kako 

i=1 

i=1 

je 0 < (1 − t) · µi, 0 < t i t + 

i=1 

k 

(1 − t) · µi = 1 to odavde sledi z ∈ IV({x} ∪ A). ✷ 

i=1 

Stav IV.4.4 Ako je A k.a.n. u V i x ∈ CxV(A) onda je CxV(A) = 

∅=S⊂A 

Dokaz. Neka je y ∈ CxV(A). Ako je y = x onda je x ∈ 

∅=S⊂A 

CxV({x} ∪ S). ✷ 

CxV({x} ∪ S) trivijalno 

zadovoljeno. Pretpostavimo sda da je y = x. Ovo automatski povlači da je dim(A) > 0. 

Za a ∈ A stavimo λ(a) : df 

= BsA,V(x, a) i µ(a) : df 

= BsA,V(y, a). Kad bi za svako a ∈ A bilo 

λ(a) ≤ µ(a) onda bi, obzirom da zbog x = y postoji a ′ ∈ A takvo da je λ(a ′ ) = µ(a ′ ), sledilo 

1 = 

λ(a) < 

a∈A 

 

µ(a) = 1. Dakle skup A 

a∈A 

′ := {a ∈ A| λ(a) > µ(a)} mora biti neprazan. Neka 

 

 

µ(a) 

je r := min 1 + 

 

λ(a) − µ(a) a ∈ A′ 

S := A \ {a0} ∈ Bd(A). 

µ(a) 

≥ 1 i a0 ∈ A tako da je 1 + 

= r. Stavimo 

λ(a) − µ(a) 

Tvrdimo da vaˇzi: 

r · λ(a) − µ(a) ≤ λ(a), za svako a ∈ A. 

Zaista, ako λ(a) ≤ µ(a) onda je to očigledno, a ako je a ∈ A ′ onda zbog izbora broja r mora biti 

µ(a) 

r ≤ 1 + 

λ(a) − µ(a) = 

λ(a) 

λ(a) − µ(a) , tj. r · λ(a) − µ(a) ≤ λ(a). 

Takod¯e je 

(1 − r) · λ(a0) + r · µ(a0) = 

−µ(a0) 

λ(a0) − µ(a0) · λ(a0) + λ(a0) · µ(a0) 

= 0. 

λ(a0) − µ(a0)


Zato za z := (1 − r) · x + r · y imamo 

z = 

 

 

(1 − r) · λ(a) + r · µ(a) · a = 

 

 

(1 − r) · λ(a) + r · µ(a) · a. 

a∈A 

Jednostavno je videti da je 

 

 

(1 − r) · λ(a) + r · µ(a) = 

 

 

(1 − r) · λ(a) + r · µ(a) = 1, 

a∈S 

pa kako smo već pokazali da mora biti 0 ≤ (1 − r) · λ(a) + r · µ(a) za svako a ∈ S, to sledi 

z ∈ CxV(S) ⊆ CxV({x} ∪ S). Sada zbog x ∈ CxV({x} ∪ S) i 0 < 1 

≤ 1 zaključujemo da je 

 

r 

y = 1 − 1 

 

· x + 

r 

1 

r · z ∈ CxV({x} ∪ S). ✷ 

Stav IV.4.5 Ako je A k.a.n. u V, x ∈ CxV(A) i B V-temena ˇsema tako da je (B, IV) usitnjavanje 

od 

Bd(A), IV onda je CxV(A) = 

CxV {x} ∪ B . ✷ 

B∈B 

Dokaz. Za S ∈ Bd(A) neka je BS : df 

= B ∈ B| CxV(B) ⊆ CxV(S) usitnjavanje od 

. Kako je B (B, IV) 

 

Bd(A), IV to imamo 

 

BS = B, i CxV(S) = 

CxV(B), za svako S ∈ Bd(S). 

S∈Bd(S) 

Prema Stavu IV.4.4 vaˇzi CxV(A) = 

S∈Bd(A) 

B∈BS 

a∈S 

 

CxV {x} ∪ S . 

Neka je S ∈ Bd(A) proizvoljno. Koristeći Stav IV.4.3 imamo 

pa je zato 

 

CxV {x} ∪ S = 

y∈CxV(S) 

CxV(A) = 

S∈Bd(A) 

a∈A 

CxV({x, y}) = 

CxV({x, y}) 

 

CxV({x, y}) 

= 

⎧ 

⎨ 

⎩ CxV({x, 

 

 

 

y}) 

y ∈ 

 

 

 

 

 

 

CxV({x, y}) y ∈ CxV(B) = 

 

B∈B 

 

 

 

y ∈ 

 

 

B∈ 

S∈Bd(A) BS 

 

B∈B y∈CxV(B) 

B∈BS 

 

 

 

 

y ∈ 

 

CxV(B) 

B∈BS 

 

⎫ 

⎬ 

CxV(B) 

⎭ = 

CxV({x, y}) = 

B∈B 

= 

 

CxV(B) 

 

CxV {x} ∪ B . 

Stav IV.4.6 Ako je x ∈ V i A V-temena ˇsema takva da svaka poluprava ima najviˇse jednu 

zajedničku tačku sa V-telom K := 

CxV(A) od A onda je i Cone(x, A) V-temena ˇsema. ✷ 

A∈A 

Dokaz. (I) Pokaˇzimo najpre da je za svako A ∈ A skup {x} ∪ A k.a.n. u V. Dakle neka je 

A ∈ A, Neka je dim(A) =: k ∈ N0 i A = {a0, . . . , ak}. 

Slučaj 1: x ∈ CxV(A). Ako je A = {x} izaberimo a ∈ A \ {x}. Tada je {a, x} ⊆ CxV(A) pa je 

z1 := x + 1 

2 1 

· (a − x) = · x + 

3 3 3 · a ∈ CxV(A) i z2 := x + 1 

1 1 

· (a − x) = · x + 

2 2 2 · a ∈ CxV(A), pri 

✷


čemu je z1 = z2 zbog x = a. No očigledno je {z1, z2} ⊆ PPV[x; a] ∩ CxV(A) ⊆ PPV[x; a] ∩ K, a ovo 

je po pretpostavci stava nemoguće. Odavde zaključujemo da u ovom slučaju mora biti A = {x} 

pa je {x} ∪ A = {x} k.a.n. skup. 

k 1 

Slučaj 2: x /∈ CxV(A). Sada je sigurno x = b := 

k + 1 

i=0 

ai, pa je definisana poluprava 

PPV[x; b]. Pokaˇzimo da je x /∈ Aff V(A) iz čega će prema Stavu IV.4.3 slediti da je {x} ∪ A k.a.n. u 

k 

k 

V. Neka su suprotno onom ˇsto treba pokazati λ0, . . . , λk ∈ R takvi da je λi = 1 i λi ·ai = x. 

Izaberimo α1, α2 > 0, α1 = α2 takve da za svako j = 1, 2 i svako i = 0, k vaˇzi 

(αj − 1) · λi < 1 αj 

< 

k + 1 k + 1 . 

k 

 

Stavimo zj := (1 − αj) · λi + 

i=0 

αj 

 

· ai za j = 1, 2. Tada je (1 − αj) · λi + 

k + 1 

αj 

> 0 

k + 1 

k 

 

za svako i = 0, k i j = 1, 2. Kako je joˇs i (1 − αj) · λi + αj 

 

= 1 za j = 1, 2, to je 

k + 1 

i=0 

{z1, z2} ⊆ IV(A) ⊆ CxV(A) ⊆ K. No zj = (1 − αj) · x + αj · b ∈ PPV[x; b] za j = 1, 2, i z1 = z2 

zbog x = b i α1 = α2. Dakle PPV[x; b] ∩ K je bar dvočlan, suprotno pretpostavci stava. 

kao i 

(II) Preostalo je da pokaˇzemo da za svako A1, A2 ∈ A vaˇzi 

 

IV A1 ∪ {x} ∩ IV(A2) = ∅ 

 

A1 = A2 ⇒ IV A1 ∪ {x} 

∩ IV A2 ∪ {x} = ∅ . 

Ako je x ∈ K onda je lako videti da iz uslova stava sledi da je A = {x} = Cone(x, A). 

Pretpostavimo zato da je x /∈ K i neka su A1, A2 ∈ A proizvoljni. 

 

Neka je z ∈ IV A1 ∪ {x} proizvoljno. Imamo x /∈ K ⊆ A1. Lako se proverava da to ˇsto je 

x /∈ K i činjenica da je {x} ∪ A1 k.a.n.n. (ˇsto je upravo pokazano) povlače x /∈ Aff V(A). Sada 

prema Stavu IV.4.3 postoji y1 ∈ IV(A1) takvo da je z ∈ IV {x, y1} ; takod¯e, znamo da je x = y1 

 

pa je definisana poluprava PPV[x; y1]. z ∈ IV {x, y1} kaˇze da je {y1, z} ⊆ PPV[x; y1] kao i da je 

y1 = z. 

Najpre treba pokazati da je z /∈ IV(A2). Kad ne bi ovo vaˇzilo onda bi imali z ∈ K pa bi presek 

PPV[x; y1] ∩ K ⊇ {y1, z} bio bar dvočlan - kontradikcija. 

Pretpostavimo sada da je z ∈ IV A2 ∪ {x} 

. Sada na isti način kao malopre zaključujemo da 

postoji neko y2 ∈ IV(A2) takvo da je z ∈ IV {x, y2} ; takod¯e, znamo da je x = y2 pa je definisana 

poluprava PPV[x; y2]. Kako je jasno z ∈ PPV[x; y1] ∩ PPV[x; y2] a i z = x to je na osnovu Stava 

IV.4.1 PPV[x; y1] = PPV[x; y2] = PPV[x; z]. Dakle {y1, y2} ⊆ K ∩ PPV[x; z] pa po pretpostavci 

stava odavde sledi y1 = y2. Imamo yi ∈ IV(Ai) za i = 1, 2 pa je y1 = y2 ∈ IV(A1) ∩ IV(A2) = ∅. 

A1, A2 ∈ A pa dobijamo A1 = A2. ✷ 

Stav IV.4.7 Ako je A ⊆ V k.a.n., x ∈ I(A) i B subdivizija (temene ˇseme) Bd(A) onda je 

Cone(x, B) subdivizija od ⌈A⌉. ✷ 

Dokaz. Ovo sledi iz Stavova IV.4.2, IV.4.6 i IV.4.5. ✷ 

i=0 

i=0


IV.4.2 Baricentrične subdivizije 

Neka je w : {A ⊆ V| A je k.a.n.} → V tako da je w(A) ∈ I(A) za svaki k.a.n. A. 

Ako je A ⊆ V i L familija nekih podskupova od V definiˇsimo Cw(A, L) na sledeći način: 

- ako je A ⊆ V k.a.n., a-kompleks L subdivizija a-kompleksa Bd(A) definiˇsimo Cw(A, L) : df 

= 

Cone(w(A), L); 

- Cw({a}, ∅) : df 

= {{a}}; 

- Cw(S, H) : df 

= ∅ inače. 

Na osnovu Stava IV.4.7 i same definicije Cw je sd-ekstenzor. Ako je A temena ˇsema u V 

označavaćemo sdw(A) : df 

= S(A, Cw). 

Lema IV.4.1 Za svaki k.a.n. A ⊆ V vaˇzi sdw(⌈A⌉) = {w(B0), . . . , w(Bk)}| k = 0 i ∅ = B0 ⊆ 

A, ili k ∈ N i ∅ = B0 ⊂ · · · ⊂ Bk ⊆ A . 

Dokaz. Indukcijom po dim(A). Za dim(A) = 0 stvar je jasna. 

Pretpostavimo da je tvrd¯enje tačno za sve k.a.n. skupove dimenzije manje od p ∈ N i neka je 

A ⊆ V k.a.n. tako da dim(A) = p > 0. Kao u Lemi II.6.2 imamo 

sdw(⌈A⌉) = S(⌈A⌉, Cw) = Cw(A, Sp−1(⌈A⌉, Cw)) = Cone(w(A), Sp−1(⌈A⌉, Cw)), 

obzirom da je Sp−1(⌈A⌉, Cw) subdivizija od ⌈A⌉≤p−1} = Bd(A). 

S druge strane je 

Sp−1(⌈A⌉, Cw) = 

 

⎧ 

 

⎨ 

 

 

D ∈ S(⌈A⌉, Cw) 

⎩ I(D) ⊆ I(B) = 

 

 

B∈⌈A⌉ ≤p−1} 

S∈⌈B⌉ 

⎫ 

⎬ 

I(S) 

⎭ = 

 

B∈⌈A⌉ ≤p−1} 

S(⌈B⌉, Cw), 

gde su iskoriˇsćeni (C) iz Leme II.6.1 i Teorema II.6.2. Kako tvrd¯enje leme vaˇzi za sve k.a.n. 

skupove dimenzije manje od p to sada sledi 

⎛ 

sdw(⌈A⌉) = Cone ⎝w(A), 

⎞ ⎛ 

S(⌈B⌉, Cw) ⎠ = Cone ⎝w(A), 

⎞ 

sdw(⌈B⌉) ⎠ = 

∅=B⊂A 

∅=B⊂A 

 

= Cone w(A), {w(B0), . . . , w(Bk)}| k = 0 i B0 ⊂ A, ili k ∈ N i ∅ = B0 ⊂ · · · ⊂ Bk ⊂ A 

= 

= {w(B0), . . . , w(Bk)}| k = 0 i B0 ⊆ A, ili k ∈ N i ∅ = B0 ⊂ · · · ⊂ Bk ⊆ A , 

obzirom na definiciju pojma konusa. ✷ 

Stav IV.4.8 Za svaku temenu ˇsemu A u V vaˇzi sdw(A) = {w(B0), . . . , w(Bk)}| k = 0 i B0 ∈ 

A, ili k ∈ N i ∅ = B0 ⊂ · · · ⊂ Bk ∈ A . 

Dokaz. Sledi direktno iz Teoreme II.6.1 i Leme IV.4.1. ✷ 

Definicija IV.4.2 Ako je A ⊆ V k.a.n. neka je barV(A) = bar(A) : df 

= 

1 

dim(A) + 1 

 

x. Tačka 

barV(A) je očigledno ona tačka g-simpleksa CxV(A) kojoj su sve baricentrične koordinate u odnosu 

na elemente skupa A med¯usobno jednake i inače je poznata kao baricentar g-simpleksa CxV(A) 

(preciznije: V-baricentar). 

Ako je A temena ˇsema u V onda subdiviziju 

sd(A) = sd (1) (A) : df 

= sdbar(A) 

nazivamo (prva) baricentrična subdivizija od A. Rekurzivno se definiˇsu i sd (n+1) (A) : df 

= sd(sd (n) (A)). 

Da se naglasi o kom se to vektorskom prostoru radi piˇsemo 

sd (n) (A; V) = sd (n) (A). 

x∈A 

✷


IV.4.3 Baricentrične subdivizije i simplicijalna preslikavanja 

Stav IV.4.9 Neka su V i W r.v. prostori, A V-temena ˇsema, B W-temena ˇsema, K g-kompleks 

u V V-pridruˇzen temenoj ˇsemi A, a L g-kompleks u W W-pridruˇzen temenoj ˇsemi B. Neka je K1 

g-kompleks u V V-pridruˇzen temenoj ˇsemi sd(A; V), a L1 g-kompleks u W W-pridruˇzen temenoj 

ˇsemi sd(B; W). Ako je g : A → B (A, B)-simplicijalno preslikavanje, G := Af A;V,W(g) i 

g1 := G ¯ sd(A; V) : sd(A; V) → W onda vaˇzi: 

(1) G = Af sd(A;V);V,W(g1); 

(2) ako je g injektivno onda je g1 : sd(A; V) → sd(B; W) i g1 je sd(A; V), sd(B; W) - 

simplicijalno preslikavanje; 

(3) ako je g (A, B)-simplicijalni izomorfizam onda je i g1 : sd(A; V) → sd(B; W) 

sd(A; V), sd(B; W) -simplicijalni izomorfizam. 

Dokaz. (1) Stavimo G ′ := Afsd(A;V);V,W(g1). Neka je x ∈ K1. Tada je x ∈ CxV(A0) =: σ0 

za neko A0 ∈ sd(A; V). Za a ∈ A0 stavimo t(a) : df 

= BsA0,V(x, a). Postoji neko σ ∈ A tako da je 

σ0 ⊆ σ. 

Kako je A0 ⊆ σ0 ∈ K1 i A0 konačan skup to zbog x = 

t(a) · a prema Stavu III.5.1 mora 

biti 

a∈A0 

G ′ (x) = 

t(a) · G ′ (a). 

a∈A0 

Na isti način, kako je A0 ⊆ σ ∈ K i A0 konačan skup to zbog x = 

t(a) · a prema Stavu III.5.1 

mora biti 

G(x) = 

t(a) · G(a). 

a∈A0 

No ako je a ∈ A0 onda je jasno a ∈ sd(A; V) te imamo G ′ (a) = g1(a) = G(a). Zato je 

G(x) = G ′ (x). 

(2) Najpre primetimo da kako je g injektivno to na osnovu Teoreme III.5.1 imamo da je 

G barV(A) = barW(g → A) za svako A ∈ A. Odavde specijalno sledi da je g → sd(A; V) ⊆ 

sd(B; W). Neka je sada P ∈ sd(A; V) i dim(P ) > 0. Tada postoji neko A ∈ A, k ∈ N i ∅ = 

A0 ⊂ · · · ⊂ Ak ⊆ A tako da je P = barV(A0), . . . , barV(Ak) . Imamo G → P = barW(g → A0), . . . , 

barW(g → Ak) . Ponovo iz injektivnosti preslikavanja g i Ai ⊂ Ai+1 sledi g → Ai ⊂ g → Ai+1 i 

g → Ak ⊆ g → A =: B ∈ B. Stavimo Bi := g → Ai. Tada je G → P = barW(B0), . . . , barW(Bk) i 

∅ = B0 ⊂ · · · ⊂ Bk ⊆ B ∈ B pa je G → P ∈ sd(B; W). 

(3) U ovom slučaju prema Teoremi III.5.1 G : K → L je bijekcija i vaˇzi AfB;W,V(g −1 ) = 

G −1 . Prema (2) imamo da je g1 : sd(A; V) → sd(B; W) sd(A; V), sd(B; W) -simplicijalna 

injekcija. Preostaje da pokaˇzemo da je g1 preslikavanje “na” skup sd(B; W) kao i da je (g1) −1 

sd(B; W), sd(A; V) -simplicijalno preslikavanje. Za h := (G −1 ) ¯ sd(B; W) prema (2) imamo 

da je h : sd(B; W) → sd(A; V) kao i da je h sd(B; W), sd(A; V) -simplicijalno preslikavanje. 

No iz g1 = G ¯ sd(A; V) i h = (G −1 ) ¯ sd(B; W) sada direktno sledi (g1) −1 = h, te je (g1) −1 

sd(B; W), sd(A; V) -simplicijalno preslikavanje. ✷ 

Posledica IV.4.1 Neka su V i W r.v. prostori, A V-temena ˇsema, B W-temena ˇsema, K gkompleks 

u V V-pridruˇzen temenoj ˇsemi A, a L g-kompleks u W W-pridruˇzen temenoj ˇsemi 

B. Neka je g : A → B (A, B)-simplicijalni izomorfizam, G := Af A;V,W(g), n ∈ N i 

gn : df 

= G ¯ sd (n) (A; V) . 

Tada je gn : sd (n) (A; V) → sd (n) (B; W) i gn je sd (n) (A; V), sd (n) (B; W) -simplicijalni 

izomorfizam. 

a∈A0


Takod¯e vaˇzi G = Af sd (n) (A;V);V,W (gn). 

Dokaz. Ovo sledi iz Stava IV.4.9 indukcijom po n ∈ N. ✷ 

IV.4.4 Norme, dijametri, g-simpleksi i subdivizije 

Stav IV.4.10 Neka je · norma na r.v.p. V i d metrika indukovana tom normom. Za svako 

x ∈ V i svako l > 0 zatvorena d-kugle K[x, l] : df 

= {y ∈ V| d(x, y) ≤ r} sa centrom z i poluprečnikom 

r je konveksan skup u V. 

Dokaz. Neka su y, z ∈ K[x, l] i t ∈ [0; 1]. Imamo 

d x, t · y + (1 − t) · z = x − t · y + (1 − t) · z = t · (x − y) + (1 − t) · (x − z) ≤ 

tj. t · y + (1 − t) · z ∈ K[x, l]. ✷ 

≤ t · x − y + (1 − t) · x − z ≤ t · r + (1 − t) · r = r 

Stav IV.4.11 Neka je · norma na r.v.p. V i d metrika indukovana tom normom. Za proizvoljan 

A ⊆ V k.a.n. skup u V vaˇzi: 

(1) za svako x ∈ CxV(A) tačna je nejednakost 

 

(2) diamd CxV(A) = max d(u, v). 

u,v∈A 

d barV(A), x ≤ dim(A) 

· diamd CxV(A) 

1 + dim(A) . 

Dokaz. (1) Stavimo r := dim(A) 


1 + dim(A) . Treba pokazati da je CxV(A) podskup 

zatvorene d-kugle P := y ∈ V| d barV(A), y ≤ r sa centrom barV(A) i poluprečnikom r. Kako 

je P prema Stavu IV.4.10 konveksan skup u V to će CxV(A) ⊆ P slediti ako pokaˇzemo da je A ⊆ P . 

Neka je dakle a0 ∈ A proizvoljno i stavimo dim(A) =: n. Imamo 

d 

 

 

1 

barV(A), a0 = a0 − barV(A) = (n 

+ 1) · · a0 − 

n + 1 

 

1 

 

 

· a 

n + 1 

a∈A 

= 

 

 

 

= 

1 

 

n + 1 · (a0 

 

 

 

− a) 

n 

≤ · max 

n + 1 a∈A\{a0} a0 − a ≤ n 


n + 1 . 

a∈A\{a0} 

(2) Za x ∈ V i l > 0 neka je K[x, l] : df 

 

= {y ∈ V| d(x, y) ≤ l}. Jasno diamd CxV(A) ≥ 

max d(u, v) =: r. 

u,v∈A 

Ako je a ∈ A proizvoljno onda je jasno A ⊆ K[a, r] pa je prema Stavu IV.4.10 CxV(A) ⊆ K[a, r]. 

Drugim rečima vaˇzi d(x, a) ≤ r za svako a ∈ A i svako x ∈ CxV(A), odnosno imamo A ⊆ K[x, r] 

za svako x ∈ CxV(A). Zatoje CxV(A) ⊆ K[x, r] za svako x ∈ CxV(A) pa je d(x, y) ≤ r za svako 

x, y ∈ CxV(A). Dakle diamd CxV(A) ≤ r. ✷ 

Lema IV.4.2 Neka je · norma na r.v.p. V, d metrika indukovana tom normom i A ⊆ V 

proizvoljan k.a.n. skup u V. Ako je B ∈ sd ⌈A⌉; V onda 

 

diamd CxV(B) ≤ dim(A) 


1 + dim(A) .


Dokaz. Ako je B ∈ sd ⌈A⌉; V onda postoje k ∈ N0 i ∅ = A0 ⊂ · · · ⊂ Ak ⊆ A tako da je 

B := barV(A0), . . . , barV(Ak) . Na osnovu (2) Stava IV.4.11 je 

 

diamd CxV(B) = max d barV(Ai), barV(Aj) . 

Dakle treba pokazati da je 

i,j=0,k 

d barV(Ai), barV(Aj) ≤ dim(A) 


1 + dim(A) 

za svako i, j = 0, k. 

Neka su 0 ≤ i ≤ j ≤ k proizvoljni. Ai ⊆ Aj povlači barV(Ai) ∈ CxV(Ai) ⊆ CxV(Aj) pa je na 

osnovu (1) Stava IV.4.11 

d barV(Ai), barV(Aj) ≤ dim(Aj) 

· diamd CxV(Aj) 

1 + dim(Aj) . 

dim(Aj) dim(A) 

Iz dim(Aj) ≤ dim(A) sledi 

≤ 

1 + dim(Aj) 1 + dim(A) . Takod¯e Aj ⊆ A povlači CxV(Aj) ⊆ 

 

CxV(A) te i diamd CxV(Aj) 

≤ diamd CxV(A) . Zato je 

d barV(Ai), barV(Aj) ≤ dim(A) 


1 + dim(A) . 

Stav IV.4.12 Neka je · norma na r.v.p. V, d metrika indukovana tom normom i neka je A 

konačna V-temena ˇsema. Tada vaˇzi 

 

 

max diamd CxV(B) 

B ∈ sd A; V 

≤ dim(A) 

 

 

· max diamd CxV(A) 

1 + dim(A) 

 

A ∈ A 

 

a-kompleks A je konačan pa je dim(A) = max dim(A)| A ∈ A ∈ N0 . 

Dokaz. Ako je B ∈ sd A; V onda je na osnovu Teoreme II.6.1 B ∈ sd ⌈A⌉; V za neko A ∈ A. 

Zbog toga tvrd¯enje direktno sledi iz Leme IV.4.2. ✷ 

Stav IV.4.13 Ako su Q i P k.a.n. skupovi u V takvi da je Q ⊆ Cx(P ) onda je dim(Q) ≤ dim(P ). 

Dokaz. Stavimo dim(P ) =: n, dim(Q) =: m i neka je P = {p0, . . . , pn}, Q = {q0, . . . , qm}. 

Ako je n = 0 ili m = 0 stvar je jasna. Pretpostavimo zato da je n, m > 0. 

Za j = 0, m i i = 0, n stavimo t(j, i) : df 

= BsP,V(qj, pi). Za j = 0, m imamo qj = n i=0 t(j, i) · pi. 

Zato je za svako 1 ≤ j ≤ m 

n 

 

 

n 

 

 

 

qj −q0 = t(j, i)−t(0, i) ·pi = t(j, 0)−t(0, 0) ·p0 + t(j, i)−t(0, i) · (pi −p0)+p0 = 

i=0 

= t(j, 0) · p0 − t(0, 0) · p0 + 

 

n 

= t(j, i) − 

jer je 

i=0 

n 

i=0 

n 

t(j, i) = 

i=0 

 

t(0, i) · p0 + 

n 

 

 

t(j, i) − t(0, i) · p0 + 

i=1 

i=1 

n 

 

 

t(j, i) − t(0, i) · (pi − p0) = 

i=1 

n 

 

 

t(j, i) − t(0, i) · (pi − p0) = 

i=1 

✷ 

n 

 

 

t(j, i) − t(0, i) · (pi − p0) 

n 

t(j, 0) ( = 1). Dakle {q1 − q0, . . . , qm − q0} je podskup lineala nad skupom 

i=0 

{p1 − p0, . . . , pn − p0}, pa kako su oba sistema vektora (q1 − q0, . . . , qm − q0) i (p1 − p0, . . . , pn − p0) 

linearno nezavisna to mora biti m ≤ n. ✷ 

i=1


Stav IV.4.14 Neka je · norma na r.v.p. V, d metrika indukovana tom normom i neka je A 

konačna V-temena ˇsema. Tada vaˇzi 

lim 

n→+∞ max 

 

 

diamd CxV(A) 

A ∈ sd (n) 

(A; V) = 0. 

Dokaz. Ako je V proizvoljna konačna V-temena ˇsema onda je na osnovu Stava IV.4.13 

dim sd(V) ≤ dim(V) pa je 

dim sd(V) 

1 + dim dim(V) 

≤ 

sd(V) 1 + dim(V) . 

Zato koristeći sa Stavom IV.4.12 moˇzemo indukcijom po n ∈ N pokazati da je 

 

 

max diamd CxV(A) 

A ∈ sd (n) n 

dim(A) 

 

(A; V) ≤ 

· max diamd CxV(A) 

1 + dim(A) 

 

 

A ∈ A 

IV.4.5 Teorema o simplicijalnoj aproksimaciji za konačne g-komplekse 

Lema IV.4.3 Neka je (X, τ) kompaktan topoloˇski prostor i neka su d1 i d2 metrike na X kompatibilne 

sa τ, tj. takve da vaˇzi T (d1) = T (d2) = τ. Neka je za svako n ∈ N data konačna familija 

Un ⊆ P(X) podskupova od X. 

Ako vaˇzi 

onda vaˇzi i 

lim 

n→+∞ max 

diamd1(Y )| Y ∈ Un = 0 

lim 

n→+∞ max 

diamd2(Y )| Y ∈ Un = 0 . 

Dokaz. Neka je ε > 0 proizvoljno. Kako je idX (τ, τ)-neprekidno, a po pretpostavci je τ = 

T (d1) = T (d2), to je idX (d1, d2)-uniformno neprekidno. Zato postoji neko δ > 0 tako da za svako 

x1, x2 ∈ X vaˇzi 

 

d1(x1, x2) < δ ⇒ d2(x1, x2) = d2 idX(x1), idX(x2) < ε 

2 . 

Po pretpostavci moˇzemo naći neko n0 ∈ N tako da je 

max 

diamd1(Y )| Y ∈ Un < δ 

za svako n ≥ n0. 

Tvrdimo da ako je n ≥ n0 proizvoljan prirodan broj onda mora biti 

max 

diamd2(Y )| Y ∈ Un < ε . 

Zaista, ako je Y0 ∈ Un i x1, x2 ∈ Y0 onda je d1(x1, x2) ≤ diamd1(Y0) < δ pa je d2(x1, x2) < ε 

2 . 

Zato za svako Y ∈ Un vaˇzi diamd1(Y ) ≤ ε 

< ε. ✷ 

2 

Stav IV.4.15 Neka je A konačna V-temena ˇsema i neka je d proizvoljna metrika na V-telu od 

A kompatibilna sa V-prirodnom topologijom temene ˇseme A (npr. MA,V). Tada vaˇzi 

lim 

n→+∞ max 

 

 

diamd CxV(A) 

A ∈ sd (n) 

(A; V) = 0. 

✷


Dokaz. (I) Dokaˇzimo najpre tvrd¯enje u slučaju kada je data metrika upravo MA,V. 

Neka je S := 

χ 

A, W := Vek(S), B := Vs(A) = a, A | a ∈ A 

 

A ∈ A , K := Rg(A) = 

 

CxVek(S)(B)| B ∈ B (videti Teoremu III.4.1) i neka je ε > 0. 

·S je norma na W a DS metrika indukovana tom normom. B je W-temena ˇsema i to konačna, 

jer je A konačan. Na osnovu Stava IV.4.14 postoji neko n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vaˇzi 

 

 

max diam CxW(B) DS 

 

B ∈ sd (n) 

(B; W) < ε. 

Neka je n ≥ n0 proizvoljno. 

Kako je, jasno, B ⊆ χ(a, S)| a ∈ S to je na osnovu Stava IV.3.4 

 

 

max diam CxVek(S)(B) 

MB,Vek(S) 

 

B ∈ sd (n) B; Vek(S) 

< ε, 

obzirom da je CxVek(S)(B) ⊆ K za svako B ∈ sd (n) B; Vek(S) , a K g-kompleks koji je Vek(S)pridruˇzen 

temenoj ˇsemi B. 

 

(n) 

Stavimo g := χ(·, S), G := Af A;V,W(g) i gn := G ¯ sd (A; V) . Tada je g : A → B 

(A, B)-simplicijalan izomorfizam prema Teoremi III.4.1. Zato je prema Posledici IV.4.1 preslikavanje 

gn : sd (n) (A; V) → sd (n) (B; W) sd (n) (A; V), sd (n) (B; W) -simplicijalan izomorfizam pa, 

za Gn := Af sd (n) (A;V);V,W (gn), prema (1) i (5) Teoreme III.5.1 vaˇzi 

 

 

CxW(B) 

B ∈ sd(n) 

Gn→CxV(A) 

 

(B; W) = 

 

A ∈ sd(n) 

(A; V) . 

No prema Posledici IV.4.1 Gn = G pa zapravo imamo 

 

 

CxW(B) 

B ∈ sd(n) 

(B; W) = G → 

 

CxV(A) 

A ∈ sd(n) 

(A; V) . 

Odavde, iz činjenice da je G 

MA,V, MB;V -izometrično preslikavanje (videti Teoremu IV.3.1) i iz 

 

 

max diam CxW(B) MB,W 

 

B ∈ sd (n) 

(B; W) < ε 

zaključujemo da mora biti 

 

 

max diam CxV(A) MA,V 

 

A ∈ sd (n) 

(A; V) < ε. 

(II) Ako je d proizvoljna metrika na V-telu od A kompatibilna sa V-prirodnom topologijom temene 

ˇseme A onda tvd¯enje sledi iz (I) i Leme IV.4.3. ✷. 

Teorema IV.4.1 (Teorema o simplicijalnoj aproksimaciji za konačne komplekse) Neka su dati 

realan vektorski prostor Vi i Vi-temena ˇsema Ai, za i ∈ {1, 2}, i neka je dato preslikavanje h : 

K1 → K2, gde je Ki Vi-telo od Ai, za 1 ≤ i ≤ 2. 

Ako je a-kompleks A1 konačan i ako je preslikavanje h (τ1, τ2)-neprekidno, gde je τi Vi-prirodna 

topologija Vi-temene ˇseme Ai (radi se dakle o topologiji na skupu Ki) za 1 ≤ i ≤ 2, onda postoji 

neko n ∈ N tako da h ima (sd (n) (A1; V1), A2)-simplicijalnu aproksimaciju. ✷


Dokaz. Videti dokaz Leme V.4.1 u narednoj glavi. ✷ 

Komentar uz Teoremu IV.4.1. Ako su A1, A2 i A temene ˇseme u realnom vektorskom 

prostoru V tako da su A1 i A2 subdivizije od A i ako sa K označimo V-telo od A (koje se poklapa 

sa V-telom od Ai, i = 1, 2) onda iz Stava IV.3.14 imamo da je τ1 = τ2 = τ, gde je τi V-prirodna 

topologija temene ˇseme Ai a τ V-prirodna topologija temene ˇseme A, pa je idX (τ1, τ2)-neprekidno 

preslikavanje. Ako je A1 konačan a-kompleks onda na osnovu Teoreme IV.4.1 

postoji neko n ∈ N tako da idX ima (sd (n) (A1), A2)-simplicijalnu aproksimaciju. 

✷

Deo V 

Simplicijalna homologija 

topoloˇskih poliedara 

V.1 Subdivizije i izomorfizmi homologija 

Lema V.1.1 Ako je temena ˇsema B subdivizija temene ˇseme A onda je za svako A ∈ A a-kompleks 

Λ(A) : df 

= B ∈ B| I(B) ⊆ I(A) acikličan. 

Dokaz. (I) Neka su w i C kao u odeljku IV.4.2. Pokaˇzimo da je tvrd¯enje leme tačno za 

B = sdw(A). 

Neka je najpre A ∈ A 0} , tj. A = {a} za neko a ∈ A. Tada je Λ(A) = {{a}} a ovo je jasno 

acikličan a-kompleks (ako je n > 0 onda je {{a}} n} = ∅ pa je Hn({{a}}) trivijalna, a H0({{a}}) je 

trivijalna jer je {{a}} povezan). 

Neka je sada dim(A) > 0 i stavimo p := dim(A) − 1 ≥ 0. Imamo 

za L := 

 

B ∈ Sp(A, Cw)| I(B) ⊆ 

Λ(A) = B ∈ S(A, Cw)| I(B) ⊆ I(A) 

= Cw A, L 

S∈Bd(A) 

 

I(S) , na osnovu (B) i (4.p) iz (A) Leme II.6.1. 

Sp(A, Cw) je subdivizija od A≤p} prema (4.p) iz (A) Leme II.6.1 pa kako je Bd(A) podkompleks 

od A≤p} to je na osnovu Stava II.4.4 L subdivizija od Bd(A). Zato prema izboru funkcije Cw imamo 

Λ(A) = Cone(w(A), L), a ovo je acikličan a-kompleks jer je w(A) /∈ 

L zaista: x ∈ L povlači 

{x} ∈ L te i {x} = I({x}) ⊆ I(S) za neko S ∈ Bd(A), obzirom da je L subdivizija od Bd(A), 

odakle zbog S = A i {S, 

A} ⊆ A sledi I(S) ∩ I(A) = ∅, pa zbog x ∈ I(S) i w(A) ∈ I(A) konačno 

dobijamo x = w(A) . 

(II) Pokaˇzimo sada da je tvrd¯enje leme tačno za proizvoljnu temenu ˇsemu A i B = sd (n) (A), 

kakvo god da je n ∈ N. Ovo ćemo učiniti indukcijom po n ∈ N. Za n = 1 radi se o specijalnom 

slučaju činjenice koju smo već utvrdili pod (I). 

121

122 DEO V. SIMPLICIJALNA HOMOLOGIJA TOPOLO ˇ SKIH POLIEDARA 

Fiksirajmo n ∈ N i pretpostavimo da je tvrd¯enje leme tačno za proizvoljnu temenu ˇsemu A 

i B = sd (n) (A). Neka je data temena ˇsema A0 i stavimo B0 := sd (n+1) (A0). Neka je A ∈ A0 

proizvoljno. Treba pokazati da je Λ0(A) : df 

= B ∈ B0| I(B) ⊆ I(A) acikličan. 

Neka je H := sd (n) (A0). Imamo Λ0(A) = D ∈ sd(H)| I(D) ⊆ I(A) . Kako je (H, I) usitnjenje 

od (A0, I) to je M := H ∈ H| I(H) ⊆ I(A) podkompleks od H i vaˇzi I(A) = 

I(H). Otuda 

je Λ0(A) = D ∈ sd(H)| I(D) ⊆ 

H∈M 

H∈M 

I(H) odnosno na osnovu Teoreme II.6.2, Λ0(A) = sd(M). 

Prema dokazanom u (I) a-kompleks {X ∈ sd(M)| I(X) ⊆ I(M)} je acikličan za svako M ∈ M. 

Zato obzirom da je (sd(M), I) usitnjenje od (M, I), na osnovu komentara uz Teoremu II.5.1 sledi 

da su Hm(sd(M)) i Hm(M) izomorfne grupe. No M je po indukcijskoj hipotezi acikličan pa je 

onda takav i sd(M) = Λ0(A). 

(III) Konačno pokazujemo da je tvrd¯enje leme tačno za proizvoljnu subdiviziju B date temene 

ˇseme A. 

Neka je A ∈ A fiksirano. Stavimo A0 := ⌈A⌉, B0 := Λ(A) i X := I(A). Kako je B subdivizija 

od A to je B0 subdivizija od A0. Uočimo proizvoljno k ∈ N0. 

Fiksirajmo proizvoljnu (B0, A0)-simplicijalnu aproksimaciju g : B0 → A0 identičkog preslikavanja 

idX (za ovo nam je čak dovoljan samo Stav II.5.1). 

A0 i B0 su subdivizije od A0 i A0 je konačan a-kompleks pa na osnovu komentara uz Teoremu 

IV.4.1 moˇzemo fiksirati neko n0 ∈ N tako da za idX postoji neka (sd (n0) (A0), B0)-simplicijalna 

aproksimacija f. Stavimo U := sd (n0) (A0). Dakle f : U → B0 je (U, B0)-simplicijalna aproksimacija 

identičkog preslikavanja idX. 

B0 i U su subdivizije od A0 i B0 je konačan a-kompleks (kao subdivizija konačne temene ˇseme 

A0) pa iz istih razloga moˇzemo naći neko m0 ∈ N tako da za idX postoji neka (sd (m0) (B0), U)simplicijalna 

aproksimacija h. Stavimo V := sd (m0) (B0). Dakle h : V → U je (V, U)simplicijalna 

aproksimacija identičkog preslikavanja idX. 

Po Stavu II.3.3 g ◦ f je (U, A0)-simplicijalna aproksimacija preslikavanja idX ◦ idX = idX. Zato 

je, obzirom na ono ˇsto je dokazano u delu (II), prema komentaru uz Teoremu II.5.1 imamo da je (g◦ 

f)k,∗ : Hk(U) → Hk(A0) izomorfizam grupa. Analogno dobijamo da je i (f ◦h)k,∗ : Hk(V) → Hk(B0) 

izomorfizam grupa. No prema Stavu I.12.1 imamo (g ◦ f)k,∗ = gk,∗ ◦ fk,∗ i (f ◦ h)k,∗ = fk,∗ ◦ hk,∗. 

Iz prve od ove dve jednakosti sledi da fk,∗ mora biti monomorfizam (tj. injektivan homomorfizam) 

a iz druge da fk,∗ mora biti epimorfizam (tj. homomorfizam “na”). Dakle fk,∗ : Hk(U) → Hk(B0) 

je izomorfizam pa kako je i gk,∗ ◦ fk,∗ izomorfizam to iz gk,∗ = (gk,∗ ◦ fk,∗) ◦ (fk,∗) −1 zaključujemo 

da je i gk,∗ : Hk(B0) → Hk(A0). No A0 = ⌈A⌉ je acikličan a-kompleks te konačno dobijamo da je 

Hk(Λ(A)) = Hk(B0) trivijalna grupa. ✷ 

Teorema V.1.1 Neka je V-temena ˇsema B subdivizija V-temene ˇseme A. Tada vaˇzi: 

in;B,I,A,I : Hn(B) → Hn(A) je izomorfizam za svako n ∈ N i 

i0,ɛB;B,I,A,I : H0(B) → H0(A) je izomorfizam. 

Dokaz. Ovo je direktna posledica Leme V.1.1 i komentara uz Teoremu II.5.1 . ✷ 

Konvencija. Ako je fiksiran realan vektorski prostor V i ako je V-temena ˇsema B subdivizija 

V-temene ˇseme A onda ćemo pisati 

in;B,A = in;B,I,A,I , za n ∈ N0

V.2. INDUKOVANI HOMOMORFIZMI HN,⋄;A1,A2;V1,V2 123 

i 

i0,ɛB;B,A = i0,ɛB;B,I,A,I. 

Komentar uz Teoremu V.1.1. Lema V.1.1 i Teorema II.5.1 dozvoljavaju da se izvuče zapravo 

joˇs jači zaključak od onog formulisanog Teoremom V.1.1: 

ako je V-temena ˇsema B subdivizija V-temene ˇseme A i ako je Λ(A) : df 

= B ∈ B| J(B) ⊆ L(A) 

onda ne samo da su in;B,A : Hn(B) → Hn(A) za svako n ∈ N i i0,ɛB;B,A : H0(B) → H0(A) 

izomorfizmi, već postoji tačno jedan morfizam λ = (λn| n ∈ N0) C-komplekasa lanaca od A prema 

B koji poˇstuje ɛA i ɛB a takav da Λ (n, n)-nosi λn za svako n ∈ N0, i pri tom vaˇzi 

(λn)⋆ = −1 in;B,A , za n ∈ N0, i 

(λ0)⋆,ɛA = −1. i0,ɛB;B,A 

Dakle λn : Cn(A) → Cn(B) za svako n ∈ N0. Ovaj morfizam λ = (λn| n ∈ N0) C-komplekasa 

lanaca od A prema B nazivamo (A, B)-subdivizioni operator. 

Jedinstvenost C-morfizma λ se obrazlaˇze Stavom IV.4.13 ✷ 

V.2 Homomorfizmi indukovani neprekidnim preslikavanjima: 

hn,⋄;A1,A2;V1,V2 

Teorema V.2.1 (Teorema o simplicijalnoj aproksimaciji) Neka su dati realan vektorski prostor 

Vi i Vi-temena ˇsema Ai, za i ∈ {1, 2}, i neka je dato preslikavanje h : K1 → K2, gde je Ki Vi-telo 

od Ai, za 1 ≤ i ≤ 2. 

Ako je preslikavanje h (τ1, τ2)-neprekidno, gde je τi Vi-prirodna topologija Vi-temene ˇseme Ai 

za 1 ≤ i ≤ 2, onda postoji neka V1-temena ˇsema U koja je V1-subdivizija od A1 tako da h ima 

(U, A2; V1, V2)-simplicijalnu aproksimaciju. (Bez dokaza) ✷ 

Komentar uz Teoremu V.2.1. Ako su date V-temene ˇseme A1, A2 i A tako da su i A1 i 

A2 V-subdivizije od A onda postoji V-subdivizija A3 od A1 tako da identičko preslikavanje idK 

ima (A3, A2; V, V)-simplicijalnu aproksimaciju, gde je K V-telo od A. Ovo sledi iz Teoreme V.2.1 

obzirom na to da se V-prirodna topologija τi od Ai poklapa sa V-prirodnom topologijom τ od A 

za i = 1, 2, pa je preslikavanje idK (τ1, τ2)-neprekidno. ✷ 

Lema V.2.1 Neka je A V-temena ˇsema a A ′ W-temena ˇsema, K V-telo od A a K ′ W-telo od A ′ , 

τ V-prirodna topologija od A a τ ′ W-prirodna topologija od A ′ i h : K → K ′ (τ, τ ′ )-neprekidno 


Ako su V-temene ˇseme A1 i A2 obe V-subdivizije od A i fi : Ai → A ′ (Ai, A ′ ; V, W)simplicijalne 

aproksimacije preslikavanja h za i = 1, 2, onda vaˇzi 

(f1)n,∗ ◦ (in;A1,A;V) −1 = (f2)n,∗ ◦ (in;A2,A;V) −1 , za svako n ∈ N0 i 

(f1)0,∗,ɛA 1 ◦ (i0,ɛA 1 ;A1,A;V) −1 = (f2)0,∗,ɛA 2 ◦ (i0,ɛA 2 ;A2,A;V) −1 . 

✷


Dokaz. Ako je V fiksiran i V-temena ˇsema G V-subdivizija V-temene ˇseme H onda ćemo po 

dogovoru skraćeno pisati in;G,H = in;G,H;V. 

Prema Komentaru uz Teoremu V.2.1 moˇzemo uočiti neku V-subdiviziju A3 od A1 i neku 

(A3, A2; V, V)-simplicijalnu aproksimaciju f32 : A3 → A2 od idK. Neka je f31 : A3 → A1 

proizvoljna (A3, A1; V, V)-simplicijalna aproksimacija od idK. 

Fiksirajmo proizvoljnu (Ai, A; V, V)-simplicijalnu aproksimaciju fi0 od idK za i = 1, 2. Kako 

je fi0 (Ai, A : V, V)-simplicijalna aproksimacija od idK i f3i (A3, Ai : V, V)-simplicijalna aproksimacija 

od idK, to je fi0 ◦ f3i (A3, A; V, V)-simplicijalna aproksimacija od idK ◦ idK = idK, za 

i = 1, 2. Kako su i f10 ◦ f31 i f20 ◦ f32 (A3, A; V, V)-simplicijalne aproksimacije jednog te istog 

preslikavanja idK to mora biti 

(f10 ◦ f31)n,∗ = (f20 ◦ f32)n,∗. 

Sada iz in;A1,A◦ in;A3,A1 = (f10)n,∗◦ (f31)n,∗ = (f10◦ f31)n,∗ = (f20◦ f32)n,∗ = (f20)n,∗◦ (f32)n,∗ = 

in;A2,A ◦ (f32)n,∗ zaključujemo da je 

izomorfizam grupa. 

Dalje imamo 

i 

(f32)n,∗ = −1 

in;A2,A ◦ in;A1,A ◦ in;A3,A1 : Hn(A3) → Hn(A2) 

(f1)n,∗ ◦ (in;A1,A) −1 = (f1)n,∗ ◦ in;A3,A1 

◦ (in;A3,A1) −1 ◦ (in;A1,A) −1 = 

= 

(f1)n,∗ ◦ (f31)n,∗ ◦ ((f10)n,∗ ◦ (f31)n,∗) −1 = (f1 ◦ f31)n,∗ ◦ −1 (f10 ◦ f31)n,∗ 

(f2)n,∗ ◦ (in;A2,A) −1 = −1 −1 (f2)n,∗ ◦ (f32)n,∗ ◦ (f32)n,∗ ◦ (f20)n,∗ = 

= (f2 ◦ f32)n,∗ ◦ −1 (f20)n,∗ ◦ (f32)n,∗ = (f2 ◦ f32)n,∗ ◦ −1. (f20 ◦ f32)n,∗ 

Dakle preostaje da pokaˇzemo da vaˇzi (f1 ◦ f31)n,∗ = (f2 ◦ f32)n,∗. No ovo je direktna posledica 

činjenice da su za i = 1, 2 preslikavanja fi ◦ f3,i (A3, A ′ ; V, W)-simplicijalne aproksimacije jednog 

te istog preslikavanja h ◦ idK = h (obzirom da je fi (Ai, A ′ ; V, W)-simplicijalna aproksimacija od 

h a f3i (A3, Ai; V, V)-simplicijalna aproksimacija od idK). 

Ovim je pokazano da (f1)n,∗ ◦ (in;A1,A;V) −1 = (f2)n,∗ ◦ (in;A2,A;V) −1 vaˇzi za svako n ∈ N0. 

Jednakost (f1)0,∗,ɛA ◦(i0,ɛA 1 1 ;A1,A;V) −1 = (f2)0,∗,ɛA ◦ (i0,ɛA 2 2 ;A2,A;V) −1 proizilazi iz ovog i činjenice 

(fi)0,∗,ɛA 1 ◦ (i0,ɛA i ;A1,A;V) −1 = 

 

(fi)n,∗ ◦ (in;Ai,A;V) −1 

 

¯ H0(A) za i = 1, 2. ✷ 

Definicija V.2.1 Neka je A V-temena ˇsema a A ′ W-temena ˇsema, K V-telo od A a K ′ W-telo od 

A ′ , τ V-prirodna topologija od A a τ ′ W-prirodna topologija od A ′ i h : K → K ′ (τ, τ ′ )-neprekidno 


Ako je V-temena ˇsema A0 koja je V-subdivizija od A i f : A0 → A ′ (A0, A ′ ; V, W)simplicijalna 

aproksimacija preslikavanja h, a n ∈ N0, onda homomorfizam 

fn,∗ ◦ (in;A0,A;V) −1 : Hn(A) → Hn(A ′ ) 

(koji na osnovu Leme V.2.1 ne zavisi od izbora subdivizije A0) nazivamo 

homomorizam n-tih grupa homologija a-komplekasa A i A ′ indukovan preslikavanjem h

V.2. INDUKOVANI HOMOMORFIZMI HN,⋄;A1,A2;V1,V2 125 

a homomorfizam 

fn,∗,ɛA 0 ◦ (in,ɛA 0 ;A0,A;V) −1 : Hn(A) → Hn(A ′ ) 

(koji na osnovu Leme V.2.1 ne zavisi od izbora subdivizije A0) nazivamo 

i 

Koristimo oznake 

homomorizam n-tih redukovanih grupa homologija a-komplekasa A i A ′ 

indukovan preslikavanjem h. 

hn,⋄;A,A ′ ;V,W : df 

= fn,∗ ◦ (in;A0,A;V) −1 

hn,⋄,ɛA;A,A ′ ;V,W : df 

= fn,∗,ɛA 0 ◦ (in,ɛA 0 ;A,A;V) −1 

a ukoliko su V i W fiksirani i samo hn,⋄;A,A ′, odnosno hn,⋄,ɛA;A,A ′. ✷ 

Za veˇzbu. Uz oznake iz Definicije V.2.1 pokazati da je h0,⋄,ɛA;A,A ′ restrikcija na skup H0(A) 

homomorfizma h0,⋄;A,A ′. ✷ 

Stav V.2.1 Neka je za i = 1, 3 Vi realan vektorski prostor, Ai temena ˇsema u Vi, τi Vi-prirodna 

topologija Vi-temene ˇseme Ai, Ki Vi-telo Vi-temene ˇseme Ai i neka je dato (τ1, τ2)-neprekidno 

preslikavanje h12 : K1 → K2 i (τ2, τ3)-neprekidno preslikavanje h23 : K2 → K3. Tada vaˇzi 

i 

(h23 ◦ h12)n,⋄;A1,A3;V1,V3 = (h23)n,⋄;A2,A3;V2,V3 ◦ (h12)n,⋄;A1,A2;V1,V2 

(h23 ◦ h12)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A3;V1,V3 = (h23)n,⋄,ɛA 2 ;A2,A3;V2,V3 ◦ (h12)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A2;V1,V2 

za svako n ∈ N0. Takod¯e je 

i 

za svako n ∈ N0. ✷ 

(idK1)n,⋄;A1,A1;V1,V1 = id Hn(A1) 

(idK1)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A1;V1,V1 = id Hn(A1) 

Dokaz. Stavimo h13 : df 

= h23 ◦ h12 i neka je n ∈ N0 fiksirano. Pisaćemo skraćeno 

(h13)⋄ = (h13)n,⋄;A1,A3;V1,V3, (h23)⋄ = (h23)n,⋄;A2,A3;V2,V3, (h12)⋄ = (h12)n,⋄;A1,A2;V1,V2 

i 

(h13)⋄,ɛA 1 = (h13)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A3;V1,V3, (h23)⋄,ɛA 2 = (h23)n,⋄,ɛA 2 ;A2,A3;V2,V3 i 

(h12)⋄,ɛA 1 = (h12)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A2;V1,V2. 

Neka je A ′ 2 takva V2-subdivizija od A2 da moˇzemo uočiti neku (A ′ 2 , A3)-simplicijalnu aproksimaciju 

f23 od h23. Fiksirajmo proizvoljnu (A ′ 2 , A2)-simplicijalnu aproksimaciju g2 od idK2. 

Neka je A ′ 1 takva V1-subdivizija od A1 da moˇzemo uočiti neku (A ′ 1, A ′ 2)-simplicijalnu aproksimaciju 

f12 od h12. Fiksirajmo proizvoljnu (A ′ 1 , A1)-simplicijalnu aproksimaciju g1 od idK1. 

Imamo (h23)⋄ = (f23)n,∗ ◦ [(g2)n,∗] −1 . Kako je g2 ◦ f12 (A ′ 1 , A2)-simplicijalna aproksimacija od 

idK2 ◦ h12 = h12 to je (h12)⋄ = (g2 ◦ f12)n,∗ ◦ [(g1)n,∗] −1 = (g2)n,∗ ◦ (f12)n,∗ ◦ [(g1)n,∗] −1 . Otuda 

imamo 

(h23)⋄ ◦ (h12)⋄ = (f23)n,∗ ◦ (f12)n,∗ ◦ [(g1)n,∗] −1 = (f23 ◦ f12)n,∗ ◦ [(g1)n,∗] −1 = (h13)⋄ 

jer je f23 ◦ f12 (A ′ 1, A3)-simplicijalna aproksimacija od h23 ◦ h12 = h13. 

Ovde su (prećutno) koriˇsćeni Stav IV.3.14, Teorema V.2.1, Stav II.3.3 i Stav I.12.1. 

Kako je (hij)⋄,ɛA i je restrikcija na skup Hn(Ai) preslikavanja (hij)⋄ to sada direktno sledi i 

(h23)⋄,ɛA 2 ◦ (h12)⋄,ɛA 1 = (h13)⋄,ɛA 1 . 

Za proveru preostalog dela tvrd¯enja dovoljno je jednostavno podsetiti se Stava II.3.3. ✷


V.3 Invarijantnost grupa homologije 

Neka je za i ∈ {1, 2} (Xi, µi) topoloˇski prostor, Vi realan vektorski prostor, Ai temena ˇsema u 

Vi, τi Vi-prirodna topologija Vi-temene ˇseme Ai, Ki Vi-telo Vi-temene ˇseme Ai i gi : Ki → Xi 

(τi, µi)-homeomorfizam. 

Pretpostavimo da postoji neki (µ1, µ2)-homeomorfizam h : X1 → X2. 

f12 : df 

= (g2) −1 ◦ h ◦ g1 je (τ1, τ2)-neprekidno preslikavanje a f21 : df 

= (g1) −1 ◦ h−1 ◦ g2 = (f12) −1 je 

(τ2, τ1)-neprekidno preslikavanje, i f12 ◦ f21 = idK2, f21 ◦ f12 = idK1. Na osnovu Stava V.2.1 zato 

sledi da je za svako n ∈ N0 

kao i 

i 

Dakle za svako n ∈ N0 je 

kao i 

izomorfizam grupa. 

(f21)n,⋄;A2,A1;V2,V1 ◦ (f12)n,⋄;A1,A2;V1,V2 = id Hn(A1) , 

(f12)n,⋄;A1,A2;V1,V2 ◦ (f21)n,⋄;A2,A1;V2,V1 = id Hn(A2) 

(f21)n,⋄,ɛA 2 ;A2,A1;V2,V1 ◦ (f12)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A2;V1,V2 = id Hn(A1) 

(f12)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A2;V1,V2 ◦ (f21)n,⋄,ɛA 2 ;A2,A1;V2,V1 = id Hn(A2) . 

(f12)n,⋄;A1,A2;V1,V2 : Hn(A1) → Hn(A2) 

(f12)n,⋄,ɛA 1 ;A1,A2;V1,V2 : Hn(A1) → Hn(A2) 

Uzimajući specijalno X1 = X2 =: X, µ1 = µ2 =: µ i h = idX iz prethodnog razmatranja i 

komentara uz Stav I.12.1 moˇze se izvesti sledeći zaključak: 

Teorema V.3.1 Ako su apstraktni kompleksi A1 i A2 oba apstraktne trijangulacije istog topoloˇskog 

poliedra onda za svako n ∈ N0 vaˇzi 

Hn(A1) ∼ = Hn(A2) i Hn(A1) ∼ = Hn(A2). 

U tom smislu, do na izomorfizam grupa, govori se o 

n-toj (redukovanoj ) grupi homologije topoloˇskog poliedra. 

Komentar uz Teoremu V.3.1. Teorema V.3.1 se izmed¯u ostalog moˇze koristiti: 

za računanje grupa homologije apstraktnih komplekasa tako ˇsto se (uz pretpostavke iz te teoreme) 

umesto Hn(A1) računa Hn(A2); 

za utvrd¯ivanje nehomeomorfnosti dva topoloˇska poliedra tako ˇsto se pokaˇze da su im grupe homologije 

za neko n ∈ N0 neizomorfne. ✷ 

V.4 Homotopna preslikavanja indukuju iste homomorfizme 

Ako je (X, d) metrički prostor i U pokrivač skupa X onda za realan broj ε > 0 kaˇzemo da je 

Lebesgue-ov broj za pokrivač U ako za svaki A ⊆ X vaˇzi implikacija 

diamd(A) < ε ⇒ ∃U ∈ U (A ⊆ U). 

Poznata je činjenica da ako je T (d) kompaktna topologija onda za svaki T (d)-otvoren pokrivač 

skupa X postoji neki Lebesgue-ov broj. 

✷

V.4. HOMOTOPNA PRESLIKAVANJA INDUKUJU ISTE HOMOMORFIZME 127 

Lema V.4.1 Neka su V i W r.v. prostori, K g-kompleks u V, L g-kompleks u W, A V-pridruˇzena 

temena ˇsema g-kompleksu K, B W-pridruˇzena temena ˇsema g-kompleksu L, X := K V-telo od 

K, Y := L W-telo od L, τX V-prirodna topologija temene ˇseme A, d2 := MB,W, i f, g : X → Y 

τX, T 

d2 -neprekidna preslikavanja. 

Ako su A i B konačni i ako postoji neko τX ⊗ λ, T 

d2 -neprekidno preslikavanje 

H : X × [0; 1] → Y 

gde je λ uobičajena (euklidska) topologija na [0; 1], tako da je H(·, 0) = f i H(·, 1) = g, onda 

postoje n, k ∈ N i za i = 0, k − 1 preslikavanja ϕi : sd (n) (A; V) → B tako da je za svako i = 

(n) 

0, k − 1 preslikavanje ϕi sd (A; V), B -simplicijalna aproksimacija i od H ·, i 

 

i + 1 

i od H ·, . 

k 

k 

Dokaz. Neka je d1 proizvoljna metrika na X kompatibilna sa τX. Tada je sa 

d (x1, t ′ ), (x2, t ′′ ) : df 

= d1(x1, x2) + |t ′ − t ′′ | 

za x1, x2 ∈ X i t ′ , t ′′ ∈ [0; 1], definisana metrika d : 

 

X × [0; 1] × X × [0; 1] → [0, +∞) na 

skupu X × [0; 1] koja je kompatibilna sa τX ⊗ λ. 

Neka je ε > 0 proizvoljan Lebesgue-ov broj za T 

d2 -otvoren pokrivač St b, B, IW | b ∈ 

 

B skupa Y . Kako je τX ⊗ λ = T (d) kompaktna topologija a H τX ⊗ λ, T 

d2 -neprekidno 

preslikavanje, to je H (d1, d2)-uniformno neprekidno pa postoji neko δ > 0 tako da za svako 

x1, x2 ∈ X i t ′ , t ′′ ∈ [0; 1] vaˇzi 

d (x1, t ′ ), (x2, t ′′ ) 

< δ ⇒ d2 H(x1, t ′ ), H(x2, t ′′ ) < ε. 

Neka je k ∈ N tako da je 1 

k < δ i stavimo hi : df 

 

= H ·, i 

 

 

za 0 ≤ i ≤ k. Tada je hi τX, T 

k 

 

d2 - 

neprekidno preslikavanje (jer je H τX ⊗ λ, T 

d2 -neprekidno). Zato je za i = 1, k − 1 Ui : df 

 

= 

(hi) ↼St 

b, B, IV ∩ (hi+1) ↼St 

b, B, IV 

 

b ∈ 

B familija τX-otvorenih skupova. Pokaˇzimo da 

je za svako i ∈ {0, . . . , k − 1} Ui pokrivač skupa X. Neka je dakle i ∈ {0, . . . , k − 1} i x ∈ X. 

Imamo 

 

d x, i 

 

 

i + 1 

 

, x, = d1(x, x) + 

i i + 1 

k k 

− 

1 

k k = < δ 

k 

pa je 

 

d2 hi(x), hi+1(x) 

= d2 H x, i 

 

i + 1 

, H x, < ε. 

k 

k 

Kako je ε Lebesgue-ov broj za St 

b, B, IW | b ∈ B to odavde sledi da postoji neko b ∈ B 

tako da je hi(x), hi+1(x) ⊆ St(b, B, IW), tj. x ∈ (hi) ↼St 

b, B, IV ∩ (hi+1) ↼St 

b, B, IV ∈ Ui. 

Kako je sada U := U0 ∩ · · · ∩ Uk−1| Ui ∈ Ui, za i = 0, k − 1 τX-otvoren pokrivač to je moguće 

izabrati neki Lebesgue-ov broj ε0 za U. Neka je n ∈ N takvo da je 

 

 

max diamd1 CxV(A) 

A ∈ sd (n) 

(A; V) < ε0 

3 

(videti Stav IV.4.15). Neka je i ∈ {0, . . . , k − 1} fiksirano. Konstruiˇsimo ϕi : sd (n) (A; V) → B 

tako da je ϕ sd (n) (A; V), B -simplicijalna aproksimacija i od hi i od hi+1.


Neka je a ∈ sd (n) (A; V). Ako je xj ∈ St a, sd (n) 

(A; V), IV , za j = 1, 2, onda je xj ∈ 

CxV(Aj) za neko Aj ∈ sd (n) (A; V) takvo da je a ∈ Aj. Ali takod¯e je i a ∈ CxV(Aj) pa 

 

je d1(xj, a) ≤ diamd1 CxV(A) < ε0 

3 . Dakle d(x1, x2) < 2 ε0 

. Odavde zaključujemo da je 

 

3 

diamd1 St a, sd (n) 

(A; V), IV 

 

≤ 2 ε0 

3 < ε0. Kako je ε0 Lebesgue-ov broj za U to postoje 

neki Uj(a) ∈ Uj za 0 ≤ j < k takvi da je St a, sd (n) 

(A; V), IV ⊆ U0(a) ∩ . . . Uk−1(a). Specijalno 

St a, sd (n) 

(A; V), IV ⊆ Ui(a). No Ui(a) = (hi) ↼St 

ba, B, IV ∩ (hi+1) ↼St 

ba, B, IV za neko 

ba ∈ B pa imamo 

(hi) → St a, sd (n) 

(A; V), IV ⊆ ba, B, IV 

i 

(hi+1) → St a, sd (n) 

(A; V), IV ⊆ ba, B, IV . 

Ako definiˇsemo ϕi(a) : df 

= ba ovo pokazuje da i hi i hi+1 poˇstuju sd (n) 

(A; V), IV, B, IW kao i da 

je ovako definisano preslikavanje ϕi : sd (n) (A; V) → B sd (n) (A; V), B -simplicijalna aproksimacija 

i od hi i od hi+1 (videti Odeljak II.3). ✷ 

Definicija V.4.1 Neka su (X, τX) i (Y, τY ) topoloˇski prostori i f, g : X → Y preslikavanja. 

Pod (τX, τY )-homotopijom podrazumevamo svako 

τX ⊗ λ, τY -neprekidno preslikavanje H : X × 

[0; 1] → Y , gde je λ uobičajena (euklidska) topologija na [0; 1]. Ako je H(·, 0) = f i H(·, 1) = g 

(ˇsto automatski povlači da f i g moraju biti (τX, τZ)-neprekidna preslikavanja) onda za H kaˇzemo 

da je (τX, τY )-homotopija od f ka g. Ako postoji neka (τX, τY )-homotopija od f ka g kaˇzemo: 

preslikavanje f je (τX, τY )-homotopno preslikavanju g i to zapisujemo sa 

“f ≈ g (mod τX, τY )” . 

Stav V.4.1 Neka su (X, τX), (Y, τY ) i (Z, τZ) topoloˇski prostori i u1, u2 : X → Y i v1, v2 : Y → Z 

preslikavanja. Ako je u1 ≈ u2 (mod τX, τY ) i v1 ≈ v2 (mod τY , τZ) onda je i v1 ◦ u1 ≈ 

v2 ◦ u2 (mod τX, τZ). 

Dokaz. Neka je U (τX, τY )-homotopija od u1 ka u2 a V (τY , τZ)-homotopija od v1 ka v2. 

Definiˇsimo H : X ×[0; 1] → Z sa H(x, t) : df 

= V U(x, t), t , za (x, t) ∈ X ×[0; 1]. Kako se neposredno 

proverava da je H(·, 0) = v1 ◦ u1 i H(·, 1) = v2 ◦ u2, to će dokaz stava biti zavrˇsen ako pokaˇzemo da 

je H (τX, τZ)-neprekidno preslikavanje. No ovo je direktna posledica činjenice da su i dijagonalni 

proizvodi i kompozicije neprekidnih neprekidna preslikavanja. ✷ 

Teorema V.4.1 V i W r.v. prostori, K g-kompleks u V, L g-kompleks u W, A V-pridruˇzena 

temena ˇsema g-kompleksu K, B W-pridruˇzena temena ˇsema g-kompleksu L, X := K V-telo od 

K, Y := L W-telo od L, τX V-prirodna topologija temene ˇseme A, τY W-prirodna topologija 

temene ˇseme B, i neka je preslikavanje f : X → Y 

τX, τY -homotopno preslikavanju g : X → Y . 

Tada je 

i 

fn,⋄;A,B;V,W = gn,⋄;A,B;V,W 

fn,⋄,ɛA;A,B;V,W = gn,⋄,ɛB;A,B;V,W. 

Dokaz. Dajemo dokaz samo za slučaj kad su oba a-kompleksa A i B konačna (dokaz u opˇstem 

slučaju dakle izostavljamo). Neka je H 

τX, τY -homotopija od f ka g. Koristeći Lemu V.4.1 

moˇzemo naći n, k ∈ N i za i = 0, k − 1 preslikavanja ϕi : A0 → B, gde je A0 := sd (n) (A; V), 

 

tako da je za svako i = 0, k − 1 preslikavanje ϕi A0, B 

-simplicijalna aproksimacija i od H ·, i 

 

i 

k 

✷

V.4. HOMOTOPNA PRESLIKAVANJA INDUKUJU ISTE HOMOMORFIZME 129 

 

od H ·, 

 

i + 1 

k 

. Za i = 0, k − 1 preslikavanja ϕi i ϕi+1 su oba A0, B)-simplicijalne aproksimacije 

 

i + 1 

istog preslikavanja H ·, , pa mora biti (ϕi)n,∗ = (ϕi+1)n,∗ i (ϕi)n,∗,ɛA = (ϕi+1)n,∗,ɛA . 

0 0 k 

 

Dakle dobili smo da je i (ϕ0)n,∗,ɛA = (ϕk−1)n,∗,ɛA . No H ·, 0 0 0 

 

= f i H ·, 

k 

k 

 

= g, te su ϕ0 i 

 

k 

A0, B)-simplicijalne aproksimacije od f i od g, tim redom. Zato je 

ϕk−1 

i 

fn,⋄;A,B;V,W = (ϕ0)n,∗ ◦ (in;A0,A;V) −1 = (ϕk−1)n,∗ ◦ (in;A0,A;V) −1 = gn,⋄;A,B;V,W 

fn,⋄,ɛA 0 ;A,B;V,W = (ϕ0)n,∗,ɛA 0 ◦ (in,ɛA 0 ;A0,A;V) −1 = (ϕk−1)n,∗,ɛA 0 ◦ (in,ɛA 0 ;A0,A;V) −1 = gn,⋄;A,B;V,W. 

Definicija V.4.2 Neka su X := (X, τX) i Y := (Y, τY ) proizvoljni topoloˇski prostori. 

Za 

τY , τX -neprekidno preslikavanje g kaˇzemo da je τX, τY -homotopno inverzno τX, τY -neprekidnom 

preslikavanju f ako vaˇzi 

g ◦ f ≈ idX (mod τX, τX) i f ◦ g ≈ idY (mod τY , τY ) . 

Za 

τX, τY -neprekidno f : X → Y kaˇzemo da je τX, τY -homotopna ekvivalencija ako postoji 

neko njemu 

τX, τY -homotopno inverzno preslikavanje. 

Za topoloˇske prostore X i Y kaˇzemo da su homotopno ekvivalentni ako postoji neka 

τX, τY - 

homotopna ekvivalencija. ✷ 

Teorema V.4.2 Ako su topoloˇski poliedri X := (X, τX) i Y := (Y, τY ) homotopno ekvivalentni i 

ako su apstraktni kompleksi A1 i A2 apstraktne trijangulacije od X i od Y, respektivno, onda za 

svako n ∈ N0 vaˇzi 

Hn(A1) ∼ = Hn(A2) i Hn(A1) ∼ = Hn(A2). 

Dokaz. Treba praktično ponoviti analizu iz Odeljka V.3 i iskoristiti Teoremu V.4.1 i Stav V.4.1 

na odgovarajućim mestima. ✷ 

✷

130 DEO V. SIMPLICIJALNA HOMOLOGIJA TOPOLO ˇ SKIH POLIEDARA

Deo VI 

Recycle bin 

Dakle ako je A a-kompleks i n ∈ N0 onda je Cn(A) podgrupa kanonske Abelove grupe nad 

skupom A n] . 

131

Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?